Lý thuyết dây loại II

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC:TS. Phạm Thúc Tuyền, Trƣờng Đại học Khoa Học
Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

TRẦN TIẾN MẠNH

LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số:60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

CÁN BỘ DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Phạm Thúc Tuyền, Trƣờng Đại học Khoa
Học Tự Nhiên-ĐHQGHN

Hà Nội – Năm 2015


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Phạm Thúc
Tuyền, là ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn tôi rất chu đáo và tận tình giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn của mình.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô, tập thể cán bộ Bộ
môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán, trƣờng Đại học Khoa học Tự Nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội vì đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý, phòng Sau đại
học, trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn.
Qua đây, tôi cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới toàn thể ngƣời thân, bạn bè đã
giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học
quý báu để em có thể hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn có nhiều thiếu
sót, tôi rất mong nhận đƣợc sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn.
Một lần nữa, tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 12 năm 2015
Học viên
Trần Tiến Mạnh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY .................................................................... 3

1.1.

Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson .......................................................... 3

1.1.1.
buộc

Hàm tác dụng, nghiệm của phƣơng trình chuyển động và điều kiện ràng
............................................................................................................. 4

1.1.2.

Bất biến Poincaré.................................................................................. 8

1.1.3.

Lƣợng tử hóa dây boson ..................................................................... 10

1.2.

Lý thuyết siêu dây cổ điển ................................................................... 15

1.2.1.

Siêu đối xứng trên trang đời ............................................................... 15

1.2.2.

Siêu dây cổ điển ................................................................................. 17

1.2.3.

Điều kiện ràng buộc của siêu dây-Các toán tử siêu Virasoro ............... 20

1.2.4.

Lƣợng tử hóa siêu dây ........................................................................ 23

1.2.5.

Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond ........................................... 25

CHƢƠNG 2: TRƢỜNG DÂY .................................................................................... 33
2.1.

Phiếm hàm trƣờng siêu dây đóng .......................................................... 34

2.1.1.

Phiếm hàm trƣờng cho các khu vực của siêu dây đóng ....................... 34

2.1.2.

Biến đổi gauge phiếm hàm trƣờng dây ............................................... 38

2.2.

Hình thức luận BRST(Becchi-Rouet-Stora-Tyutin) ................................ 38

2.2.1.

Tích BRST trong đối xứng gauge ....................................................... 39

2.2.2.

Trƣờng ma .......................................................................................... 39

2.2.3.

Trƣờng siêu ma .................................................................................. 41

2.2.4.

“Tích BRST” cho siêu dây đóng ......................................................... 46

2.2.5.

Phiếm hàm trƣờng dây mở rộng.......................................................... 47

CHƢƠNG 3: LÝ THUYẾT DÂY LOẠI II................................................................. 49
3.1. Tổng quan về các lý thuyết siêu dây ........................................................... 49
3.2. Spinơ trong Không thời gian D  10 (hoặc 11) chiều .................................. 51
3.3 Lý thuyết dây loại II .................................................................................. 55
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................................... 61


DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH ẢNH
Hình 1.1 (a) Tham số hóa đƣờng đời của một hạt.(b) Tham số hóa trang đời của một
dây mở ............................................................................................................................ 4

Hình 3.1 Quan hệ giữa các lý thuyết dây khác nhau ......................................................... 51
Bảng tóm tắt các lý thuyết dây ......................................................................................... 49
CÁC KÝ CHỮ VIẾT TẮT
BRST: Becchi-Rouet-Tyutin
GSO: Gliozzi-Scherk-Olive
NS: Neveu-Schwarz
QCD: Quantum ChromoDynamics
QED: Quantum ElectroDynamics
R: Ramond
SUSY: Supersymmetry


MỞ ĐẦU

Mục đích chọn đề tài
Lý thuyết dây là một ứng cử viên cho lý thuyết thống nhất tất cả bốn loại tƣơng
tác: mạnh, yếu, điện từ và hấp dẫn. Ban đầu nó vốn đƣợc đề xuất để mô tả tƣơng tác
mạnh giữa các hadron, trƣớc khi Sắc động lực học lƣợng tử (QCD) ra đời. Sau khi đã
có QCD, lý thuyết dây đƣợc rất ít ngƣời quan tâm trong một thời gian khá dài. Tuy
nhiên khi các nhà vật lý gặp khó khăn trong việc lƣợng tử hóa trƣờng hấp dẫn và nhất
là khi thấy trong phổ trạng thái của dây, có trạng thái tƣơng ứng với những đặc trƣng
của lƣợng tử trƣờng hấp dẫn: không khối lƣợng, spin bằng 2, lý thuyết dây mới lại
đƣợc chú ý trở lại. Hiện nay nó trở thành mối quan tâm hàng đầu của lý thuyết trƣờng
và hạt cơ bản.
Ban đầu, bằng cách tƣơng đối tính hóa dây cổ điển trong không gian D chiều,
ngƣời ta thu đƣợc một lý thuyết, gọi là lý thuyết dây boson. Để các trạng thái kích thích
của nó tuân theo các quy luật của bất biến Lorentz, số chiều tới hạn của không – thời
gian phải bằng 26. Để giải thích việc chúng ta không quan sát đƣợc các chiều phụ
ngoài bốn chiều thực của không - thời gian Minkowski, ngƣời ta giả sử các chiều ngoại
phụ ở kích thƣớc nhỏ chúng bị xoắn, cuộn lại với nhau (compact hóa) tạo thành không

gian Calabi – Yau và ở kích thƣớc lớn sẽ không quan sát đƣợc. Số chiều D  26 là một
con số quá lớn so với số chiều là bốn của không – thời gian Minkiwski, do đó việc
compact hóa không gian với số chiều ngoại phụ D  4 theo cách thức của lý thuyết
Kaluza – Klein, sẽ gặp khó khăn khó lòng có thể vƣợt qua đƣợc. Hơn nữa, lý thuyết
dây boson không mô tả đƣợc trạng thái tƣơng ứng với hạt fermion (hạt mô tả trƣờng
vật chất). Nhƣ vậy lý thuyết dây boson chỉ thích hợp khi mô tả trƣờng tƣơng tác
(boson), không thích hợp khi mô tả trƣờng vật chất (fermion).
Để khắc phục nhƣợc điểm của lý thuyết dây boson ngƣời ta siêu đối xứng hóa
nó bằng cách đƣa thêm vào các tọa độ spinơ phản đối xứng, còn gọi là tọa độ lẻ trên
trang đời hoặc trong không thời gian và xét các phép biến đổi qua lại giữa các tọa độ
không – thời gian, tọa độ boson, với các tọa độ siêu đồng hành spinơ của chúng. Lý
thuyết dây chứa siêu đối xứng đƣợc gọi là lý thuyết siêu dây. Lý thuyết siêu dây có rất
nhiều ƣu điểm. Số chiều tới hạn của không – thời gian chỉ còn là D  10 . Trong lý
thuyết siêu dây có cả trƣờng tƣơng tác boson và trƣờng vật chất fermion, các phân kỳ
xuất hiện trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử thông thƣờng đều đƣợc tự loại bỏ, bởi vì, bậc
tự do boson và fermion là bằng nhau và sự đóng góp vào phân kỳ của hai loại trƣờng
boson và fermion có giá trị bằng nhau và trái dấu.
Khi ta lƣợng tử hóa lý thuyết siêu dây chúng ta có năm phƣơng án để mô tả lý
thuyết trƣờng siêu dây. Đó là: lý thuyết dây loại I, lý thuyết dây IIA, lý thuyết dây IIB,

1


lý thuyết dây lai (heterotic): HO với nhóm chuẩn là E8  E8 và HE với nhóm chuẩn là
SO(32) . Năm phƣơng án này, thông qua khái niệm đối ngẫu, chúng đƣợc coi là những
thể hiện các mặt khác nhau của một lý thuyết dây thống nhất gọi là M – theory. Trong
lý thuyết siêu dây loại I dây cơ bản là siêu dây mở, trong những lý thuyết siêu dây còn
lại, trong đó có siêu dây loại II, siêu dây cơ bản là đóng. Tuy nhiên, trong siêu dây loại
II vẫn tồn tại những dây mở tƣơng tác với dây cơ bản, gọi là các p-brane.
Do đó trong luận văn này, tôi chọn đề tài nghiên cứu: Lý thuyết dây loại II, bởi

vì nó chứa đựng những nét tinh túy nhất của lý thuyết dây và hiện đang là những đối
tƣợng đƣợc quan tâm nhiều nhất.
Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn
gồm có 3 chƣơng, cụ thể:
Chƣơng 1: Cơ sở lý thuyết dây
Chƣơng 2: Trƣờng dây
Chƣơng 3: Lý thuyết dây loại II

2


CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT DÂY
1.1.

Cơ sở lý thuyết cổ điển dây boson

Trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử, hạt cơ bản đƣợc coi là hạt điểm không kích thƣớc,
trong khi với lý thuyết dây, đối tƣợng cơ bản là một dây (sợi dây – string). Chúng có
kích thƣớc vô cùng nhỏ (cỡ kích thƣớc Plank ~
). Dây có hai đầu trùng nhau
nhau gọi là dây đóng. Dây có hai đầu rời nhau đƣợc gọi là dây mở.
Tƣơng tự nhƣ hạt điểm, khi vận động trong không thời gian hạt điểm vẽ nên một
đƣờng cong một chiều gọi là “đƣờng đời” (world-line), một dây chuyển động sẽ quét
một mặt cong hai chiều, gọi là “trang đời’’ (world-sheet). Tổng quát hơn, một đối
tƣợng p chiều (p-brane) sẽ quét nên một đa tạp với số chiều p  1 gọi là “quyển đời”
(world-volum)1.
Trong mọi lý thuyết dây hiện nay, chiều của không thời gian đều lớn hơn 4, cho
nên trong luận văn này, chiều của không thời gian nói chung sẽ đƣợc ký hiệu là D .
Metric tổng quát sẽ đƣợc ký hiệu là g AB hoặc  ab , trong khi metric Minkowski (metric

phẳng) sẽ đƣợc ký hiệu bằng  . Cho không thời gian Minkowski D chiều là
 AB  diag 1, 1, 1,..., 1 , cho trang đời là   diag 1, 1 . Nói chung khi nào có thể,
ta sẽ dành chỉ số  , để chỉ không thời gian 4 chiều.
Hệ đơn vị là c   1 cho nên, mọi đại lƣợng đều hoặc không thứ nguyên, hoặc có
thứ nguyên là lũy thừa âm hoặc dƣơng của năng lƣợng.

Hình 1.1 (a) Tham số hóa đƣờng đời của một hạt.
(b) Tham số hóa trang đời của một dây mở
Trang đời đƣợc tham số hóa bằng hai đại lƣợng không thứ nguyên,  (tựa thời
gian) và  (tựa không gian), mỗi điểm của trang đời sẽ đƣợc nhúng vào không thời
gian bằng D hàm số vô hƣớng:
1

Trong một số tài liệu tiếng Việt, world-line, world-sheet đƣợc dịch thành đƣờng thế, lá thế, …, chúng tôi tránh
chữ “thế”, vốn đƣợc dùng để dịch từ potential.

3


KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của lý thuyết
dây boson, lý thuyết siêu dây và vận dụng những kiến thức đó để nghiên cứu lý thuyết
dây loại II – hai trong lăm phƣơng án để mô tả lý thuyết dây. Cụ thể, chúng tôi đã làm
đƣợc những công việc nhƣ sau:
1. Trình bày tổng quan một cách hệ thống và chặt chẽ những khái niệm cơ bản của
lý thuyết dây boson, áp dụng lý thuyết siêu đối xứng để xây dựng lý thuyết siêu
dây, thu đƣợc phổ khối lƣợng của siêu dây và chứng minh đƣợc rằng trong phổ
khối của siêu dây chứa hạt không khối lƣợng và spin bằng 2 tƣơng ứng với hạt
graviton trong tƣơng tác hấp dẫn.
2. Áp dụng hình thức luận BRST để lƣợng tử hóa dây thành trƣờng dây.

3. Mở rộng khái niệm ma trận   - ma trận Dirac trong không – thời gian 4 chiều –
để xây dựng các ma trận Dirac tổng quát cho chiều D  10 (hoặc 11) chiều. Các
ma trận này đƣợc dùng để tạo nên những thành phần thuận phải hoặc thuận trái
của spinơ.
4. Dựa vào tính chất chirality và đƣa vào khái niệm phép chiếu GSO, chúng tôi
phân biệt đƣợc lý thuyết dây loại IIA và IIB.
5. Bằng ngôn ngữ dạng vi phân, chúng tôi đã mô tả đƣợc trƣờng vật lý của các lý
thuyết dây loại II.
Bƣớc tiếp theo của luận văn là thông qua các quan hệ S-đối ngẫu, thậm chí kết hợp
giữa chúng, U-đối ngẫu, để xây dựng đƣợc các lý thuyết dây khác nhau [F-theory] là
tiền đề để xây dựng một lý thuyết thống nhất [M-theory], thống nhất các trƣờng tƣơng
tác: điện từ, yếu, mạnh và hấp dẫn.

60


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Đào Vọng Đức (2007), Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết siêu dây lượng tử,
Hà Nội.
2. Nguyễn Xuân Hãn (2011), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, NXB ĐHQGHN,
Hà Nội.
3. Phạm Thúc Tuyền (2005-2008), Những bài giảng về siêu đối xứng và lý thuyết
dây, chƣa xuất bản.
4. Phạm Thúc Tuyền (2007), Lý thuyết hạt cơ bản, NXB ĐHQGHN, Hà Nội
Tiếng Anh
5. B.Zwiebach (2004), A First Course in String Theory, Cambridge University
Press, Cambridge.
6. C.Bachas (1995), “D-brane dynamics”, hep-th/9511043.
7. D.Bailin and A.Love (1994), Supersymmetric gauge field theory and string

theory, Institute of Physics Publishing, Bristol.
8. Dr David Tong (2009), String Theory, Cambridge University Press, Cambridge.
9. E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Effective field theory from quantized
strings, Phys.Lett.B158, 316.
10. E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Effective action approach to superstring
theory, Phys.Lett.B160B, 69.
11. E.S.Fradkin and A.A.Tseytlin (1985), Non – linear electrodynamics from
quantized string, Phys.Lett.163B,123.
12. E.Witten (1995), “Bound states of string and p – branes”, hep-th/9510135.
13. F.Gliozzi, J.Scherk, and D.Olive (1977), Supersymmetry, Supergravity Theories
and The Dual Spinor, Nucl.Phys.B122, 253.
14. J. Polchinski (1998), String Theory, Cambridge University Press, Cambridge.
15. J.Wess and B.Zumino (1974), Supergauge transformations in four dimensions,
Nucl.Phys.B70.
16. J.Wess and J.Bagger (1992), Supersymmetry and Supergravity, Princeton
University Press, Princeton, New Jersey.
17. Katrin Becker, Melanic Becker, and John Schwarz (2007), String Theory And M
– Theory, Cambridge University Press, Cambridge.
18. L.Ryder (1996), Quantum Field Theory, Cambridge University Press.
19. M.Kaku (1989), Introduction to superstring theory, World Scientific.

61


20. M.Kaku (1993), Quantum field theory – A modern introduction, Oxford
University Press.
21. Michael Dine (2007), Supersymmetry And String Theory Beyond the Standard
Model, Cambridge University Press, Cambridge.
22. M. Green, J. Schawarz and E. Witten (1987), Superstring Theory,Cambridge
University Press, Cambridge.

23. P. Di Francesco, P. Mathieu and D. Sénéchal (1997), Conformal Field
Theory,Springer.
24. Robert M.Wald (1984), General Relativity,The University of Chicago Press,
Chicago and London.
25. R.H.Dijkgraaf, E.P.Verlinde, and H.L.Verlinde (1997), “Matrix string
theory”,hep-th/9703030.
26. Wigner, E.P. (1939), Annals of Mathematics, 40,149.
27. ’t Hooft, G (1974), A planar diagram theory for strong interactions. Nucl. Phys,
B72, 461.
28. ’t Hooft, G. (1993), Dimensional reduction in quantum gravity, In Salamfest pp.
284-296. Singapore: World Scientific. E-print gr –qc/9310026.

62