Sự tồn tại nghiệm của mô hình động lực rừng điều chỉnh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

HOÀNG HẢI MINH

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH
ĐỘNG HỌC RỪNG ĐIỀU CHỈNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60460102

Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2015


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành
luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội
đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn.
Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015
Học viên

Hoảng Hải Minh


Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Một số không gian và các kết quả liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Xấp xỉ Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
9

1.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach . .
10
1.4. Phương trình tiến hóa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5. Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng điều chỉnh . .

33

2.1. Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.1.1. Sự tồn tại nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Nghiệm địa phương không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35
36

2.2. Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.1. Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38
43

2


LỜI MỞ ĐẦU

Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng là một trong những chủ đề về môi trường được
quan tâm nhất hiện nay. Những vấn đề cơ bản trong nghiên cứu bảo tồn nguồn tài
nguyên rừng được biết tới như: quy luật phát triển của mỗi cá thể cây, cây trong
một khu vực rừng, cây trong rừng và cả những hệ thống phức tạp bao gồm hệ thống
rừng và những hệ thống khác như đất, nước, thời tiết cùng với những tương tác giữa
các hệ thống nêu trên,...
Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về các vấn đề trên và đạt được
những kết quả quan trọng. Vào năm 1972, D. B. Botkin trong [2] đã đưa ra mô hình
toán học cơ sở đầu tiên về sự phát triển của rừng. Trong đó, Botkin đã nghiên cứu
một khu vực khoảng (100m3 tới 300m3 ) rừng và đưa ra phương trình phát triển cho
mỗi cây cùng với sự tương tác giữa các cây trong khu vực. Tiếp theo vào năm 1983,
hai tác giả M.Ya. Antonovsky và M. D. Korzukhin trong [1] đã đưa ra mô hình toán
học về rừng trong đó quan tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi. Mô hình
đó sau này vào năm 1994 đã được các tác giả Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky,
V. N. Biktashev và A. Aponina trong [4] phát triển thành mô hình mô tả sự phát
triển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quá trình tái
sinh.
Cụ thể là, trong một miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét một hệ rừng đơn loài và
giả sử rằng các cây được chia thành hai lớp tuổi cây non và cây trưởng thành. Có ba
yếu tố cấu thành của hệ rừng: cây non, cây trưởng thành và hạt giống trong không
khí. Chúng tạo thành một mô hình động học thể hiện quá trình phát triển của hệ
rừng như sau:

∂u


= β δ w − γ(v)u − f u
trong Ω × (0, ∞),



∂t



 ∂v
= f u − hv
trong Ω × (0, ∞),
∂t

∂w


= d∆w − β w + αv
trong Ω × (0, ∞),



∂t

 u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x)
trong Ω,
0

0

0

(0.1)
trong đó Ω là khu vực rừng có thể phát triển (Ω ⊂ R2 là một miền hai chiều bị chặn).
Các hàm u(x,t) và v(x,t) lần lượt là mật độ cây non và mật độ cây trưởng thành, tại

một vị trí x ∈ Ω và tại thời điểm t ∈ [0, ∞). Hàm w(x,t) là mật độ hạt trong không
khí tại x ∈ Ω và tại t ∈ [0, ∞). Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự phát triển
3


của các cây non và các cây trưởng thành. Phương trình thứ ba thể hiện động lực của
các hạt trong không khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt, và α > 0 và β > 0
lần lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất. Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là
tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng
thành v, f > 0 là tỉ lệ cây non phát triển thành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệ
chết của cây trưởng thành. Hàm γ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0,
b > 0 và c > 0. Với w, một số điều kiện biên được đặt trên biên ∂ Ω. Các hàm giá
trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0 được lấy trong Ω.
Mô hình (0.1) đã được một số tác giả nghiên cứu. Với điều kiện biên Neuman
hoặc Dirichlet đặt lên w, các tác giả L. H. Chuan, A. Yagi và T. Shirai trong [3] và
[5] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực và chỉ ra sự
tồn tại hàm Lyapunove cho hệ (0.1).
Tuy nhiên, mô hình trên có vẻ chưa đầy đủ. Các nghiệm dừng u, v của bài toán
(0.1) có giá hoàn toàn trong Ω. Tuy nhiên đối với rừng tự nhiên do sự khuếch tán,
mật độ hạt bên ngoài biên tự nhiên vẫn dương. Một số kết quả tính toán cũng chỉ
ra một số nghiệm dừng của hệ (0.1) có mật độ cây ở miền bên ngoài biên của rừng
dương.
Hai tác giả A. Yagi và M. Primicerio vào năm 2014 trong [7] đã đưa ra hình
động học rừng điều chỉnh sau:

∂u


= β δ (w − w∗ )+ − γ(v)u − f u
trong Ω × (0, ∞),



∂t



 ∂v
= f u − hv
trong Ω × (0, ∞),
∂t

∂w


= d∆w − β w + α v˜
trong R2 × (0, ∞),



∂t

 u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x)
trong Ω và R2 .
0

0

0

(0.2)

Ở đây, w∗ > 0 là một số cho trước và ký hiệu (w − w∗ )+ là phần dương của w − w∗ ,
với w ≥ w∗ , (w − w∗ )+ = w − w∗ và với w < w∗ , (w − w∗ )+ = 0. Vì thế, w∗ là mật
độ tối thiểu của hạt trên mặt đất, mật độ tối thiểu này là cần thiết để cây mọc lên.
Giờ đây hàm w là mật độ hạt trong không khí, được xác định trên toàn R2 . Và v˜ ký
hiệu hàm mở rộng của v từ L∞ (Ω) tới L∞ (R2 ), v(x)
˜ = v(x) với x ∈ Ω và v(x)
˜ =0
2
với x ∈ R \Ω.
Mô hình động học rừng điều chỉnh (0.2) đã cải thiện hai khía cạnh. Khía cạnh
đầu tiên, mở rộng miền xác định w thành toàn không gian R2 vì w biểu thị mật độ
hạt trong không khí và hạt có thể phân tán xa hơn so với biên của Ω. Một cách tự
nhiên, ta không còn cần phải quan tâm tới các điều kiện biên trên w. Khía cạnh
4


thứ hai, ta có ngưỡng w∗ . Nếu w ≤ w∗ thì không có cây non mọc, tất nhiên khi đó
sẽ không có cây trưởng thành. Điều đó khiến cho giá của các nghiệm dừng u, v là
compact.
Nội dung của luận văn là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu mô hình động
học rừng điều chỉnh (0.2). Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:
• Chương 1 của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết về các không
gian hàm, toán tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong không
gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa
tuyến tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan tới luận văn. Chương này
được trình bày dựa trên tài liệu [6].
• Chương 2 của luận văn trước tiên trình bày về sự tồn tại duy nhất nghiệm
địa phương của (0.2), sau đó chỉ ra sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục của
(0.2). Cuối chương là phần trình bày về hàm Lyapunov của hệ động lực sinh
bởi (0.2). Chương này được trình bày dựa trên tài liệu [7].

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm
luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn!
Hà Nội, ngày 07 tháng 11 năm 2015
Học viên

Hoàng Hải Minh

5


Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta đi xây dựng cơ sở lý thuyết nhằm tiếp cận bài toán mô
hình động học rừng điều chỉnh (0.2). Cụ thể, ta hệ thống lại các kiến thức về một
số không gian hàm, toán tử quạt, đồng thời nhắc lại các kết quả của phương trình vi
phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính.
Phần cuối chương ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục
và đánh giá nghiệm của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính.

1.1.

Một số không gian và các kết quả liên quan

Cho X là không gian Banach với chuẩn . , [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ <
β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng
Fβ ,σ ((a, b]; X),

0 < σ < β ≤ 1,

như sau:
Định nghĩa 1.1. Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) bao gồm các hàm liên tục trên (a, b]
(hay [a, b] ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với β < 1, (t − a)1−β F(t) có giới hạn khi t → a.

6


(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β +σ , cụ thể là
(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
sup
(t − s)σ
a≤s(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
= sup sup
< ∞.
(t − s)σ
a≤t≤b a≤s
(1.1)

(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
ωF (t) = sup
→ 0.
(t − s)σ
a≤s
(1.2)

(3) Khi t → a,

Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) được trang bị với chuẩn
F

F β ,σ

1−β

= sup (t − a)
a≤t≤b

(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
F(t) + sup
. (1.3)
(t − s)σ
a≤s
Với chuẩn trên, không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) trở thành một không gian Banach.
Phần dưới đây, ta nhắc lại một số kết quả đã biết trong không gian Sobolev. Cho
Ω là một miền lồi, bị chặn có biên C2 trong R2 . Khi đó H s (Ω) biểu thị không gian
Sobolev, chuẩn của nó được kí hiệu bởi . H s .
Khi 0 ≤ s < 1, H s (Ω) ⊂ L p (Ω), trong đó 1p = 1−s
2 , với phép nhúng liên tục
.

Lp

≤C .

Hs .

(1.4)

Khi s = 1, H s1 (Ω) ⊂ Lq (Ω) với mọi 2 ≤ q < ∞ và ước lượng
.

Lp

≤C .

1− qp
H1

.

p
q
Lp

,

(1.5)

trong đó 1 ≤ p < q < ∞.
Khi s > 1, H s (Ω) ⊂ C(Ω) với phép nhúng liên tục
.

1.2.

Toán tử quạt

1.2.1.

Toán tử quạt

C

≤C .

Hs .

(1.6)

Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian Banach với chuẩn . . Giả sử A là một
toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X và phổ của A chứa trong một miền
quạt mở, cụ thể là
σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} ,
7

0 < ω ≤ π,

(1.7)


Tài liệu tham khảo
[1] M. Ya. Antonovsky, M. D. Korzukhin, Mathematical modeling of economic
and process ecological-economic, Proc. International Symp. "Intergrated
Global Monitoring of Environmental Pollution", Tbilisi 1981, Leningrad: Hydromet, 1983, 353-358.

[2] D. B. Botkin, J. F. Janak, Some ecological consequences of a computer model
of forest growth, J. Ecol. 60 (1972), 849-872.
[3] L. H. Chuan, A. Yagi, Dynamical system for forest kinetic model, Adv. Math.
Sci. Appl. 16 (2006), 393-409.
[4] Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N. Biktashev and A. Aponina, A
cross-diffusion model of forest boundary dynamics, J.Math. Biol. 32 (1994),
219-232.
[5] T. Shirai, L. H. Chuan, A. Yagi, Dynamical system for forest kinematic model
under Dirichlet conditions, Sci. Math. Jpn, 66 (2007), 289-301.
[6] A. Yagi, Abtract Parabolic Evolution Equations and their Applications,
Springer, (2010).
[7] A. Yagi, M. Primicerio, A modified forest kinematic model, Vietnam journal
of Math. Appl. 12 (2014), 107-118.

47