Luận văn dàn thời gian tần số gabor và đồng nhất thức wexler raz

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ĐÌNH HÙNG

DÀN THỜI GIAN - TAN số GARBOR
VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC WEXLER - RAZ

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC


HÀ NỘI, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

PHẠM ĐÌNH HÙNG


DÀN THỜI GIAN - TAN số GABOR
VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC WEXLER - RAZ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN QUỲNH NGA


Hà Nội, 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS. Nguyễn Quỳnh Nga đã
tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô
giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Hà Nội, tháng 6 năm
2016 Tác giả

Phạm Đình Hùng


Lời cam đoan


Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự chỉ bảo
và hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm
2016 Tác giả

Phạm Đình Hùng

55

Muc luc


8

Mở đầu
Lí do chọn đề tài

Khung được R.J. Duffin và A.c. Schaeffer [5] đưa ra chính thức vào năm 1952. Tuy
nhiên, phải đến năm 1986, sau bài báo của I. Daubechies,

A. Grossmann và Y.Meyer [3] thì khung mới được các nhà khoa học quan tâm rộng
rãi. Khung được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, nén
dữ liệu, lý thuyết mẫu, lí thuyết mật mã, lí thuyết lượng tử,. .. Một khung có thể xem
như một cơ sở trực chuẩn suy rộng. Nó cho phép biểu diễn mỗi vectơ trong không
gian thành một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các vectơ trong khung, tuy nhiên các hệ
số biểu diễn là không duy nhất. Chính nhờ tính chất đó mà khung có nhiều ứng dụng
quan trọng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì nó cho chúng ta tính bền vững: chấ t
lượng của tín hiệu có thể bị ảnh hưởng ít hơn khi có nhiễu tiếng ồn và tín hiệu có thể
khôi phục lại từ các mẫu có độ chính xác thấp (xem [1]). D. Gabor, một nhà vật lí và
kĩ sư điện người Hungary, cũng là người đã nhận giải Nobel về vật lý, năm 1946 trong
[6] đã đưa ra ý tưởng khai triển một hàm / thành một chuỗi của các hàm cơ bản, đươc
xây dựng từ một hàm duy nhất trong L(R) bằng các phép tịnh tiến và biến điệu. Cụ thể
hơn, ông đề xuất khai triển hàm / thành chuỗi
z
Cm,n9ma,nỊ3
m,n£

(1)


9

trong đó các hàm cơ bản g m a n p được định nghĩa bởi
9ma,nạ

(í)

=

9

{t

-

np)

e~ 2 2 l ĩ i m a \

m,n£Z

(2)

với một hàm cố định g và các tham số dịch chuyển thời gian, tần số a, ậ > 0. Các
hàm g m a n p trong (2) nhận được nhờ dịch chuyển g dọc theo một dàn A = /?z X aX
trong mặt phẳng thời gian - tần số. Các dàn thời gian - tần số Gabor{< 7mQ: n p}

eZ

được

xác định bởi (2) là công cụ tiềm năng để phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói
và âm nhạc. Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và dàn
thời gian - tần số Gabor nói riêng, được sự đồng ý hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh
Nga, tôi quyết định chọn: “Dàn thời gian - tần số Gabor và Đồng nhất thức Wexler Raz” làm đề tài luận văn cao học của mình.

Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan về cơ sở của lý thuyết khung và dàn thời gian - tần số Gabor
và đồng nhất thức Wexler - Raz.


10

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nắm vững các kiến thức cơ sở bao gồm các tính chất của các toán tử tuyến tính
liên tục trên không gian Hilbert, lý thuyết khung tổng quát trong không gian Hilbert.
Nghiên cứu dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler - Raz.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler Raz. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài

nước liên quan đến dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler - Raz.

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu
thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới trong và ngoài
nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.


11

Đóng góp mới của luận văn


12

Luận văn hy vọng sẽ là một tài liệu tổng quan về dàn thời gian - tần số Gabor và đồng nhất thức Wexler - Raz.


13

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một vài khái niệm, kết quả cơ bản sẽ dùng trong
chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [5], [8], [10],

Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K là liên tục khi
và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số c > 0 sao cho

||Tz|| < c||æ|| , với mọi X £ H.

(1.1)

Ký hiệu B(H : K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K. Khi H = K
thì B(H, K) được ký hiệu đơn giản là B(H).

Chuẩn của T £ B(H,K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn (1.1). Nói
một cách tương đương,

||T|| = sup{||Tx|| : X £ H, ||a;|| < 1}


14

= sup {||Tx|| :

X£

H,\\x\\ = 1} .

Mệnh đề 1.1.1. Giả sử H, L ,K là các không gian Hilbert.

Nếu T £ B (H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T* £ B (K, H) sao cho

(T*x, y) = (x, Ty) ,(x £ K, y £ H)

Hơn nữa,

i) (aS + bTỴ =ãS* + bT*.

ii) (RSỴ = S*R*.

iii) (T*y = T.

iv) r = I.

v)

Nếu T khả nghịch thì T* cũng khả nghịch và (T-1)* = (T*) 1 , trong đó

S,T ¡E B(H, K), R e B(K, L) và a,b

G c.

Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T.


15

Mệnh đề 1.1.2. Giả sửT

G B(H, K ) và s & B(K, L). Khi đó

M < imi M.vzeií.
IISTII < IISII mi.
■»; Ill’ll = IIHI.
iv) ||TT*|| = ||T||2.

Cho T ẽ B(H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T, là unita nếu T*T —

TT* — I. T được gọi là dương (ký hiệu T > 0) nếu (Tx,x) > 0 với mọi X E H.

Chú ý rằng với mỗi T E B(H) thì (T*Tx,x) = (Tx,Tx} > 0 với mọi X E H. Do đó T*T
là dương.

Mệnh đề 1.1.3. Giả sử T E B(H). Khi đó

i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu (Tx,x) là thực với mọi

X

E H. Đặc

biệt, toán tử dương là tự liên hợp.

ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩ n (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hư ớng) từ H lên H .

Mệnh đề 1.1.4. Nếu u E B (H) là toán tử tự liên hợp thì


16

II^II = sup IW,/)|11/11=1

Mệnh đề 1.1.5. Cho X là không gian Banach. Nếu u : X —> X bị chặn và II7"
— uII < 1 thì u khả nghịch và u~ l = Ỵh {I — u) k . Ngoài ra,

k=1

Cho T :X ^Y.

Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng các ký hiệu sau:

N (T) = {x Mệnh đề 1.1.6. Cho T e B (H). Khi đó R (T*) = Nựr) 1 .
Một số không gian

Ta ký hiệu L p (1R) = I / : 1R —»■ c I /đo được và / Ị/ (x)\ p dx < +oo với 1 < p < oo.

L p (K), 1 < p < 00, là các không gian Banach với chuẩn


17

L 2 [ữ, 6] là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định bởi


18

Định lý 1.2.1. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân). Với mọi f,g ẽ
L 2 (E) ta có
A

V

ì'
00

\ /2 / 00

/ oc

J \f{x)g(x)\dx < í Ị I/ (x)\ 2 dx

-00

V- oc

IíJ

\g {x)í

/

\-00

Một phiên bản rời rạc của L 2 (E) là l 2 (I) với I là một tập chỉ số đếm được.

ỉ 2 (I) = ị {Xfc}fcel c c I \x k \ 2 < +oo >

^

ke

I

'

19

l

2

(I) là không gian Hilbert với tích vô hướng ({£*;}

, {yk}) = E XkVkkel

Định lý 1.2.2. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tổng). Với mọi
{ykìkei

^ ^ (-0

c

{xk}keii

°
2

Ezü/fc < E \ x k \ E \ v k \
2

kel

2

-

kel kel

Phép biến đổi Fourier và chuỗi Fourier

Cho / € L 1 (E), biến đổi Fourier/ được định nghĩa bởi
00

/(í) := J f(x)e- 2 ’^dx, £ 6 R
— 00

Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của / là Tf. Nếu L 1 (E)nL2 (E) được trang bị
chuẩn L 2 (E), biến đổi Fourier là một phép đẳng cự từ L 1 (E) n L 2 (E) đến L 2 (E). Nếu / €
L 2 (E) và {/ fc}feE 1 là một dãy của các hàm trong L 1 (E) n L 2 (E) và hội tụ đến / trong
không gian L 2 (E), thì dãy {/fc}0^ cũng hội tụ trong L 2 (E), tới một giới hạn độc lập với
lựa chọn của {fkYkLi- Bằng cách định nghĩa

/ := lim fk


20

k—ị

oo

ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L 2 (M) lên L 2 (K). Ta sẽ
dùng cùng ký hiệu để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt, ta có đẳng thức Plancherel

(1.2)

(f ì 9) = {f ì 9) ì V/,g e ứ (R), và / =11/11

Định lý 1.3.1. Nếu f,g € L l (R) VÀ a/ G c,w,a,6 G M thì Ỉ)T (af + ạ g ) =
aT (/) + ạr (g) ii) T (T a f) (u) = e~ 2 ” i a “ f ( UJ )

Ui) T ( E b f) (co) = / (co - b) trong đó T a f (X) := f (x - a) và E b f (X) : = e2"òa7
(z).

Chuỗi Fourier có liên quan đến các hàm trong bất cứ không gian L 2 (I), trong đó I là một
khoảng bị chặn trong R. Nhưng vì mục đích thuận tiện về sau, chúng tôi xét các hàm
trong L 2

(o, ị) ở đó b > 0. Do các hàm
e k (x) = \fbe 2 l ĩ i k h \ k£Z

tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L 2

(o, Ị

/ = ckek

), mọi hàm / G L 2

(1.3)

(o, ỉ)

có

khai triển

(L4)


21

trong đó
1

b

Ck = (f,e k ) = Vb Ị ỉ (x)ẽ

27rikbx

dx

(1.5)

k€ z

0


22

Chuỗi (1.4) được gọi là chuỗi Fourier của / và {cjfc}feeZ được gọi là các hệ số Fourier.
BỔ đề 1.3.2. Cho f,g G L 2 (o, Ị) với b > 0 và xét các chuỗi Fourier
f CỵẼỵ^g dkGỵ
^;

^;

fcez

fcez

íron<7 đó Gk cho bở i (1-3). Khi đó
c d

(f,g) =

* k-

fceZ

Khung tổng quát trong không gian Hilbert

Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ
sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các
thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ
thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta lại yêu cầu các thành phần trực
giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho việc tìm khó khăn hoặc không
thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đó là lí do người ta muốn tìm một công
cụ linh hoạt hơn.

Khung là một công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một
tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp
tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử
của khung là không cần thiết.

23

Cho H là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng tuyến tính theo thành phần thứ
nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai.
Định nghĩa 1.4.1. Dẫy {/¿1°^! trong H được gọi là dãy Bessel nếu
00

3B>0,ỵt\{fJi)\2
i= 1

B được gọi là cận Besseỉ của {/ị}^!-

Một dãy Bessel

được gọi là một khung nếu

00

3A>ũ: A||/f<£K/,/i>|J, v/eiỉ
i= 1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau.

Định nghĩa 1.4.2. Một dãy

hằng S 0 O < A < B <00 sao cho

trong H là một khung nếu tồn tại hai


24

00

A\\f\ị 2 < £ !(/,/>)I2 < Bll/ll2, V/ 6 H

(1.6)

i=l

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất. Cận khung dưới tối
ưu là supremum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là iníimum trên
tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.

Khung {/¿1°^ được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu A — B —
l.

Mệnh đề 1.4.3. Cho một dãy

chiều V. Khi đó

trong không gian Hilbert hữu hạn

là một khung cho span {fj} m = 1 ( span {fj} m = 1 là

ký hiệu của bao tuyến tính của tập {fj} m = 1 )-

Chứng minh.


25

Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng không. Như vậy
ra

ta thấy, điều kiện khung trên thỏa mãn với B =

\\fj\\ • Bây giờ lấy

3=1

w := span

và xem xét ánh xạ liên tục

m
$:W^E ,$(/)

£ K/. /j)|2.
3= 1