Luận văn dàn thời gian tần số gabor và đồng nhất thức wexler raz

BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘ I 2

PH Ạ M Đ ÌN H H Ù N G

D À N TH Ờ I G IA N - T A N s ố G A R B O R
VÀ Đ Ồ N G N H Ấ T TH Ứ C W E X L E R - RAZ

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C s ĩ T O Á N HỌC

H À N Ộ I, 2016


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

P H Ạ M Đ ÌN H H Ù N G

D À N TH Ờ I G IA N - T A N s ố G A B O R
VÀ Đ Ồ N G N H Ấ T TH Ứ C W E X L E R - RAZ

C h u yên ngành: T oán giải tích
M ã số: 6 0 .4 6 .0 1 .0 2
L U Ậ N VĂ N TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC

N gư ờ i hư ớng dẫn k h oa học:
TS. N G U Y Ễ N Q U Ỳ N H N G A

H à N ộ i, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới cô giáo TS. Nguyễn
Quỳnh Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn th àn h
luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

P h ạ m Đ ìn h H ù n g


Lời cam đ o a n
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn th àn h luận văn, tôi đã kế thừ a
những kết quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

P h ạ m Đ ìn h H ù n g


M u c luc

M ở đầu

1

1

K iến th ứ c chuẩn bị

4

1.1

Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian H ilb e rt..............

4

1.2

Một số không gian

........................................................................

6

1.3

Phép biến đổi Fourier và chuỗi F o u r ie r ......................................

7

1.4

Khung tổng quát trong không gian Hilbert

9

1.5

Khung G a b o r ...................................................................................

2

.............................

192

D à n th ờ i gian —tầ n số G ab or và đ ồn g n h ất th ứ c W exler —
R az

27

2.1

Hàm đối ngẫu k h u n g .....................................................................

27

2.2

Đồng nh ất thức Wexler-Raz

31

2.3

Hàm đối ngẫu Wexler - Raz đồng nhất với hàm đối ngẫu

.......................................................

khung......................................................................................................... 45
2.4

Một chứng minh độc lập

K ế t lu ận
Tài liệu th a m khảo

..............................................................

51
54
55


1

M ở đ ầu
1. L í d o c h ọ n đ ề tà i
Khung được R .J. Duffin và A .c . Schaeffer [5] đưa ra chính thức vào năm
1952. Tuy nhiên, phải đến năm 1986, sau bài báo của I. Daubechies,
A. Grossm ann và Y .Meyer [3] thì khung mới được các nhà khoa học quan

tâm rộng rãi. Khung được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu,
xử lý hình ảnh, nén dữ liệu, lý thuyết m ẫu, lí thuyết m ật mã, lí thuyết
lượng tử,. .. M ột khung có thể xem như m ột cơ sở trực chuẩn suy rộng. Nó
cho phép biểu diễn mỗi vectơ trong không gian th àn h m ột tổ hợp tuyến
tín h vô hạn của các vectơ trong khung, tu y nhiên các hệ số biểu diễn là
không duy nhất. Chính nhờ tính chất đó m à khung có nhiều ứng dụng
quan trọng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì nó cho chúng ta tính
bền vững: chất lượng của tín hiệu có thể bị ảnh hưởng ít hơn khi có nhiễu
tiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từ các m ẫu có độ chính xác thấp
(xem [1]). D. Gabor, m ột nhà vật lí và kĩ sư điện người Hungary, cũng là
người đã nhận giải Nobel về vật lý, năm 1946 trong [6] đã đưa ra ý tưởng
khai triển m ột hàm / th àn h m ột chuỗi của các hàm cơ bản, đươc xây dựng
từ m ột hàm duy nhất trong L 2(R) bằng các phép tịnh tiến và biến điệu.
Cụ thể hơn, ông đề xuất khai triển hàm / th àn h chuỗi
Cm,n9ma,nỊ3
m ,n £

z

(1)


2

trong đó các hàm cơ bản gma np được định nghĩa bởi
9ma,nạ (í) = 9 {t - np ) e~2lĩima\

m,n£Z

(2)

với m ột hàm cố định g và các tham số dịch chuyển thời gian, tần số
a, ậ > 0. Các hàm gma np trong (2) nhận được nhờ dịch chuyển g dọc theo
m ột dàn A = /?z X a X trong m ặt phẳng thời gian - tần số. Các dàn thời
gian - tần số Gabor{<7mQ: np}

eZ được xác định bởi (2) là công cụ tiềm

năng để phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc. Với
mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và dàn thời
gian - tần số G abor nói riêng, được sự đồng ý hướng dẫn của TS. Nguyễn
Quỳnh Nga, tôi quyết định chọn: “Dàn thời gian - tần số G abor và Đồng
nhất thức Wexler - Raz” làm đề tài luận văn cao học của mình.
2. M ụ c đ íc h n g h iê n cứ u
Nghiên cứu tổng quan về cơ sở của lý thuyết khung và dàn thời gian tần số G abor và đồng nhất thức Wexler - Raz.
3. N h iệ m v ụ n g h iê n cứ u
Nắm vững các kiến thức cơ sở bao gồm các tính chất của các toán tử
tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert, lý thuyết khung tổng quát
trong không gian Hilbert. Nghiên cứu dàn thời gian - tần số G abor và
đồng nhất thức Wexler - Raz.
4. Đ ố i tư ợ n g v à p h ạ m v i n g h iê n cứ u
Đối tượng nghiên cứu: dàn thời gian - tần số G abor và đồng n h ất thức
Wexler - Raz. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài


3

nước liên quan đến dàn thời gian - tần số G abor và đồng nhất thức
Wexler - Raz.
5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận
vấn đề. Thu th ập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các
bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề m à luận văn đề cập tới.
6. Đ ó n g g ó p m ớ i c ủ a lu ậ n v ă n
Luận văn hy vọng sẽ là m ột tài liệu tổng quan về dàn thời gian - tần số
G abor và đồng nhất thức Wexler - Raz.


4

Chương 1

K iế n th ứ c ch u ẩn bị
Trong chương này, chúng tôi nhắc lại m ột vài khái niệm, kết quả cơ bản
sẽ dùng trong chương sau. Các kết quả này được tham khảo từ các tài liệu
[1], [3], [5], [8], [10],
1.1

T o á n t ử tu y ế n t ín h liê n tụ c tr ê n k h ô n g g ia n H ilb e r t

Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert
K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là tồn tại hằng số c > 0 sao
cho
||T z || < c||æ || , với mọi

X

£ H.

(1.1)

Ký hiệu B ( H : K ) là tập tấ t cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào
K . Khi H = K thì B ( H , K ) được ký hiệu đơn giản là B ( H ) .
Chuẩn của T £ B ( H , K ) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa
m ãn (1.1). Nói m ột cách tương đương,
||T || = su p { ||T x || : X £ H, ||a;|| < 1}
= sup { ||T x || : X £ H,\\x\\ = 1} .
M ện h đề 1.1.1. Giả sử H, L , K là các không gian Hilbert.
Nếu T £ B (H , K ) thì tồn tại duy nhất một phần tử T* £ B (K , H ) sao
cho
(T*x, y ) = (x, T y ) , ( x £ K , y £ H )


5

Hơn nữa,
i) (a S + b T Ỵ = ã S * + bT*.
ii) (R S Ỵ = S*R*.
iii) (T * y = T.
iv) r = I.
v) Nếu T khả nghịch thì T* cũng khả nghịch và (T -1 )* = (T*) 1, trong
đó S , T ¡E B ( H , K ), R e B ( K , L ) và a,b

Gc.

Toán tử T* ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T.
M ện h đề 1.1.2. Giả s ử T

GB ( H , K ) và s & B ( K , L).

M < imi M .vzeií.
IISTII < IISII mi.
■ »; Ill’ll = IIHI.

Khi

đó

iv) ||TT*|| = ||T ||2.
Cho T ẽ B ( H ) . T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T* = T , là
u n ita nếu T * T — TT* — I. T được gọi là dương (ký hiệu T > 0) nếu
( T x , x ) > 0 với mọi

X

E H.

Chú ý rằng với mỗi T E B ( H ) th ì ( T * T x , x ) = (T x , T x } > 0 với mọi
X

E H. Do đó T * T là dương.

M ện h đề 1.1 .3 . Giả sử T E B ( H ) . Khi đó
i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu ( T x , x ) là thực với mọi

X

E H . Đặc

biệt, toán tử dương là tự liên hợp.

ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương
đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H .
M ện h đề 1.1.4. Nếu u E B (H ) là toán tử tự liên hợp thì

II^II = 11/11=
sup1 IW,/)|-


6

M ện h đề 1.1.5. Cho X là không gian Banach. Nếu u : X

—> X

bị

chặn và II7"— u II < 1 thì u khả nghịch và u ~ l = Ỵh {I — u ) k . Ngoài ra,
k=1

Cho T : X ^ Y .
Trong luận văn chúng tôi cũng sử dụng các ký hiệu sau:
N (T) = { x

M ện h đề 1.1.6. Cho T e B (H ). Khi đó R (T*) = N ự r ) 1 .
1.2

M ộ t số k h ô n g g ia n

Ta ký hiệu L p (1R) = I / : 1R —»■c I / đ o được và /

Ị / (x)\pdx < + oo

với 1 < p < oo.
Lp (K), 1 < p < 00, là các không gian Banach với chuẩn

/

00

\

1 /p

ll/ll = ( / \ f { x ) \ pd x j
'—OQ
'

.

Đặc biệt, L 2 (M) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được
xác định bởi
00

—

1 ,

____

/ oc
\ /2
f ( x ) g ( x ) d x , ll/ll = Ự
\ f { x ) \ 2J
.

00

Tương tự ta ký hiệu

b

r

^

L 2 [ữ, 6] = ^ / : [ữ, 6] —»
■c Ị / đo được và / Ị / (x) 12dx < + oo ^ .
I

a

)

L 2 [ữ, 6] là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định
bởi


7

Đ ịn h lý 1.2 .1 . (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tích phân). Với mọi
f , g ẽ L 2 (E) ta có
00
J

/ oc
\f{x)g(x)\dx < í Ị

-00

\

I

I/ (x)\2dx

V- oc

/ 2 / 00
í J

/

\g {x )í

\-00

VA
ì '

Một phiên bản rời rạc của L 2 (E) là l2 (I) với I là m ột tập chỉ số đếm
được.
ỉ2 (I) = ị {Xfc}fcel c c I

^
l 2 (I)

\xk \2 < + oo >
ke

I

'

là không gian H ilbert với tích vô hướng

({£*;} , { y k } ) = E

Xk V k -

kel

Đ ịn h lý 1.2.2. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho tổng). Với mọi
{ x k}keii { y k ì k e i

^ ^ (-0

c°
2

Ezü/fc < E
kel

1 .3

\xk\2

kel

E

\vk\2-

kel

P h é p b iế n đ ổ i F ou rier v à c h u ỗ i F ou rier

Cho / € L 1 (E), biến đổi F o u rie r/ được định nghĩa bởi
00

/ ( í ) := J f ( x ) e - 2’ ^ d x , £ 6 R
—

00

Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của / là T f . Nếu L 1 (E )n L 2 (E)
được trang bị chuẩn L 2 (E ), biến đổi Fourier là m ột phép đẳng cự từ
L 1 (E) n L 2 (E) đến L 2 (E). Nếu / € L 2 (E) và {/ fc}feE1 là m ột dãy của
các hàm trong L 1 (E) n L 2 (E) và hội tụ đến / trong không gian L 2 (E),
th ì dãy { /fc } 0^ cũng hội tụ trong L 2 (E), tới m ột giới hạn độc lập với lựa

chọn của {fkYkLi- Bằng cách định nghĩa
/ := lim fk
k —ị

oo


8

ta có thể mở rộng biến đổi Fourier th àn h m ột ánh xạ u nita từ L 2 (M) lên
L 2 (K). Ta sẽ dùng cùng ký hiệu để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt, ta có
đẳng thức Plancherel
( f ì 9 ) = { f ì 9 ) ì V/ , g e ứ ( R ) , và /

=11/11

( 1 .2 )

Đ ịn h lý 1.3.1. Nếu f , g € L l (R) VÀ a / G c ,w ,a ,6 G M thì
Ỉ ) T (a f + ạ g ) = a T ( / ) + ạ r (g)
ii) T (Taf ) (u) = e~2”ia“f (uj)
Ui) T (E bf ) (co) = / (co - b)
trong đó Taf (X) := f (x - a) và E bf (X) : = e2" òa7 (z).
Chuỗi Fourier có liên quan đến các hàm trong bất cứ không gian L 2 (I ),
trong đó I là m ột khoảng bị chặn trong R. Nhưng vì mục đích thuận tiện
về sau, chúng tôi xét các hàm trong L 2 (o, ị) ở đó b > 0. Do các hàm
ek (x) = \fb e2lĩikh\ k £ Z

Ị

tạo th àn h m ột cơ sở trực chuẩn của L 2 (o, ), mọi hàm / G L 2 (o,

(1.3)

ỉ) có

khai triển
/ =

ckek

(L 4)

k€ z
trong đó
1

b

Ck = ( f , e k) = V b Ị ỉ ( x ) ẽ

27rikbx dx

(1.5)

0
Chuỗi (1.4) được gọi là chuỗi Fourier của / và {cjfc}feeZ được gọi là các
hệ số Fourier.

9

BỔ đề 1.3 .2 . Cho f , g G L 2 (o, Ị) với b > 0 và xét các chuỗi Fourier
f

^

;

CỵẼỵ^g

fcez

^

;

dkGỵ

fcez

íron<7 đó Gk cho bởi (1-3). Khi đó
( f , g) =

c*dkfceZ

1 .4

K h u n g tổ n g q u á t tr o n g k h ô n g g ia n H ilb e r t

Trong nghiên cứu không gian vectơ, m ột trong những khái niệm quan
trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như
m ột tổ hợp tuyến tính của các th àn h phần trong cơ sở. Tuy nhiên điều
kiện là cơ sở rấ t hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa
các th àn h phần và đôi khi chúng ta lại yêu cầu các th àn h phần trực giao
tương ứng với m ột tích vô hướng. Điều này làm cho việc tìm khó khăn
hoặc không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đó là lí do
người ta muốn tìm m ột công cụ linh hoạt hơn.
Khung là m ột công cụ như vậy. Một khung cho m ột không gian vectơ được
tran g bị m ột tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian
được viết như là m ột tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung,
nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần
thiết.
Cho H là m ột không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng tuyến tính theo
th àn h phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo th àn h phần thứ hai.
Đ ịn h n gh ĩa 1 .4 .1 . Dẫy {/¿1°^! trong H được gọi là dãy Bessel nếu
00

3 B > 0 , ỵ t \{fJi)\2 < B \ ị f f , V f e H
i=1


10

B được gọi là cận Besseỉ của { /ị} ^ !Một dãy Bessel

được gọi là một khung nếu
00

3A>ũ: A ||/f< £ K /,/i>|J, v /e iỉ

i=1
Vậy ta có định nghĩa khung như sau.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4 .2 . Một dãy

trong H là một khung nếu tồn tại hai

hằng S0 O < A < B < 0 0 sao cho
00

A \\f\ị2 < £ ! ( /,/> ) I2 < B ll/ll2, V / 6 H
i=l

(1.6)

Các số A, B được gọi là các cận khung. Chúng không là duy nhất. Cận
khung dưới tối ưu là suprem um trên tấ t cả các cận khung dưới và cận
khung trên tối ưu là iníimum trên tấ t cả các cận khung trên. Chú ý rằng
các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự.
Khung {/¿1 °^ được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval
nếu A — B — l.
M ện h đề 1.4 .3 . Cho một dãy
chiều V. Khi đó

trong không gian Hilbert hữu hạn

là một khung cho span { f j } m=1 ( span { f j } m=1 là

ký hiệu của bao tuyến tính của tập { f j } m=1)C h ứ n g m inh.
Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các f j đều bằng không. Như vậy
ra

ta thấy, điều kiện khung trên thỏa m ãn với B =

\\fj\\ • Bây giờ lấy
3=1

w := span

và xem xét ánh xạ liên tục
m
$ :W ^ E ,$ ( /)

£

K /. / j ) |2.

3= 1

Do m ặt cầu đơn vị trong w là com pact, ta có thể tìm g € w với II<7II = 1


11

sao cho

Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy / G w, / ^ 0, ta có
m

m

Ị f

\ 2
2

Eiơ,/i)i2=E (|jỹjf./j) II/II2>¿11/11

□

Mệnh đề được chứng minh.
H ệ qu ả 1.4 .4 . Một họ các phần tử

trong V là một khung của V

khi và chỉ khi s p a n { f j } m=1 = V.
Hệ quả trên chỉ ra m ột khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần
tử cần thiết để là cơ sở.
V í dụ 1.4.5.
2)

Lấy H = R 2,e i = (0, l ) T,e 2 =

’ e3 = ( Ỷ ’ l I ) , {ei, e2, e3} là

m ột khung chặt H với cận khung là |.
T h ậ t vậy, với

X —

(xi,

X 2) T E

H bất kì ta có
>/3

= ị «

+ 4)

V í dụ 1.4.6.
Giả sử

là m ột cơ sở trực chuẩn của H .

i){efc}fc°=i là m ột khung Parseval.

1

2


12

ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {efc}^°=1 hai lần ta thu được
{fk}™= 1 = { e i , e 1, e 2, e 2, K h i

đó {fk}™=i là khung chặt với cận khung

A = 2.

T h ật vậy, ta có
00

00

£ K/,A>|2= 2 £ K/,et)|2= 2||/||2,v/ 6 H.
k=1

fc=1

Nếu chỉ 6ị được lặp lại th ì ta thu được {fk}kLi = {eI , e 2, e 2,
{fk}kL 1 là khung với cận

Khi đó

= 1, 5 = 2. T h ật vậy, ta có

00

00

1 2 \ Ư J k ) I2 = l ( / , e i ) |2 + 1 2 \ ( ỉ , ek}\2
k=1
/c=l
00

00

/c=l

k=1

00

= 2 £ K / ,e „ ) |2
fe=l

= 2II/II2
M ặt khác,
00

00

lơ.eOI2+ E K/.^>|2> E K/.OI2= ll/ll2k=1

fc=l

Do đó
00

ll/f<£K/.A>l2< 2||/f,v/eff.
fc=l
Vì vậy {fk}kLị là m ột khung với m ột cận khung dưới là 1 và m ột cận
khung trên là 2.
iii) Giả sử {fk}kLi := { ei> ^ e 2 > ^ e 2 ^
là dãy m à mỗi vectơ

e 3, ^ e 3, ^ e 3,...} , nghĩa là {fk}™=1

được lặp lại k lần.

Khi đó với mỗi f E H có
00

00

12 K/’/*>i2= 12k
k=1

fc=l

/,

ek


13

Vì thế { f k } là m ột khung chặt của H với cận khung là A = 1.
Đ ịn h n gh ĩa 1.4.7. Dãy {fk}kLi được gọi là đầy đủ trong H nếu
W ã n { f k } k =1 = H B ổ đ ề 1.4 .8 . Nếu {/fc }^ ! là một khung của H thì

là một dẫy đầy

đủ trong H.
C h ứ n g m inh.
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g ^

0 thuộc H sao cho

g-Lspan {fkYkLi-

mọi

Khi

đó

(g , f k )

=

0,với

k.

Khi

đó

00

Ỵ2 |(<7, /fc)|
k=1

=

0. M ặt khác, do { f k } là m ột khung nên tồn tại

0 < A < + oo sao cho ^4Ị|/ỊỊ2 <

|( / , /fc) 12, với mọi / k=1

ta được A\\g\\2 < ^2 |(<7,/jfc)|2 = 0. Do g ^ 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên
fc=i
chứng tỏ span{fk}™=l = H.
□
Định lý sau cho ta m ột đặc trưng của dãy Bessel thông qua toán tử tổng
hợp T.
Đ ịn h lý 1.4.9. Giả sử {fk}kLi là một dãy trong H . Khi đó {/jfc}^! là
một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi
00

T '■ { ck}™=1

(!-7)
k=1

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và

imi < VẼ .

C h ứ n g m inh.
Trước hết, giả thiết {fk}2Li là dãy Bessel với cận Bessel B. Giả sử
{ck} ĩ =1 E l2 (N). Ta phải chỉ ra T {C fc}^ là hoàn toàn xác định, tức là


14

00

X) Ckfk

là hội tụ. Xét m , n € N, n > m. Khi đó

k=1

n

^ y Ckfk
k=1

m

^ y Ckfk
k=1

n

^ y Ckfk
=m+1
= sup ( ^ ) Cfe/fe) ỹ ỵ
llsll-1 'fc=m+ l
•
n

X

< sup
|cfc
ll^ll- fc=m+ l
(
n
\ 2

/

n

\ 2

k l 2 ) sup ( X I l(/fc^)|2 )
fc=m+l
' llsll- ■
*■ 'fc=m+l
'
< v ^ ( Ề
I c i 2) “
'fc=m+ l
'
r n
ì 00
Do {°k}kL 1 £ l2 (N), ta biết rằng s XI |cfc|2 >
là dãy Cauchy trong
U=1
J n=i

r

n

ì

c.

00

T ính toán tương tự như trên chỉ ra rằng s X] Cfc/jfc f
là uiột dãy Cauchy
U=1
J n=i
trong H và do đó hội tụ. Vậy T { C jt }^°=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T
là tuyến tính. Từ

linur=ill= llsllsup= l \(T {ck}™=1,g)\,
tín h toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và ||T || < y/B . Để chứng
minh điều ngược lại, giả sử T là hoàn toàn xác định và IIX1II < \ [ Ẽ .
Gọi T* : H —> l2 (N) là toán tử liên hợp của T. Gọi {ej}°°=l là cơ sở trực
chuẩn chính tắc của l2 (N), tức là hệ gồm các vectơ ej bằng 1 ở vị trí thứ
j , bằng 0 ở các vị trí còn lại. Từ (1.7) ta suy ra T (e¡fc) = fk với mọi k £ N.
Khi đó
( T * f , e k} = ( f , T e k) = ( f J k } , V fc e N .


15

Từ đó

( 1 .8)
và
00

E \ ( f , f k ) \ 2 = \\T*f\\2 < ||T *||2| | / | | 2 = ||T ||2| | / | | 2 < B \ \ f \ \ 2, V / e H.
k=0
Từ đó {f k}^=i là dãy Bessel với cận Bessel B.

□

00

Đ ịn h n g h ĩa 1 .4 .1 0 . Chuỗi E 9k trong không gian Banach X được gọi là
k=l
00

hội tụ không điều kiện nếu E 9ơ{k) hội tụ tới cùng một phần tử với mọi
k=1
hoán vị ơ.
00

H ệ qu ả 1 .4 .1 1 . Nếu

là một dãy Bessel trong H, thì E ckfk hội
k=1
tụ không điều kiện với mọi {Ck}™=1 E ỉ2 (N).
Do m ột khung {f k}^Li là m ột dãy Bessel nên toán tử
00

T : í 2 ( N ) - i . / í )T { c t } “ 1 = ^ c t / t
k=1
bị chặn theo Định lý 1.4.9. T được gọi là toán tử tổng hợp.
Gọi T* : H —>■l2 (N) là toán tử liên hợp của T. Theo (1.8) ta có
T * f = { ( /,

T* được gọi là toán tử phân tích. Hợp th àn h của T

và T* được gọi là toán tử khung
00

s : H —ì H, S f = T T * f = ¿ 2 ( / . h ) h k=1

(1-9)

BỔ đ ề 1 .4 .1 2 . Giả sứ { f k} kl i là một khung với toán tử khung s với các
cận khung A,B. Khi đó ta có các khẳng định sau
i) s bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương.
ii) { S - l f k ) Z , là khung với các cận B l , A 1. Nếu A , B là các cận tối ưu
của {fk}*k=i thì các cận B ~ l , A ~ l là các cận tối ưu của { s -1 f k } ^ =1- Toán
tử khung của { s -1 fk}™=l là 51-1.


16

C h ứ n g m inh.
(i) s bị chặn do là hợp th àn h của hai toán tử bị chặn. Ta có
||S || = ||XT*|| < ||T || ||T*|| = ||T ||2 < B . Do s* = (T T * y = T T * = s ,
toán tử s là tự liên hợp. B ất đẳng thức

a ||/II2<£K/,A>|2< b ||/II2
có thể viết thông qua toán tử s là

¿II/II2<Từ đó A I < s < B I , do đó s dương.
Ngoài ra, 0 < I — B~l s < ^ B ^ I và do đó

||/ - ß-'sll = sup |<(/ - B-‘S) /,/> I <
11/11=1

< 1.
0

Do đó, theo Mệnh đề 1.1.5 ta có s ~ x là khả nghịch hay s khả nghịch.
(ii) Chú ý rằng với / G H ,
00

00

Ẻ K /,s - 7 * > r = Ẻ i< s - 7 ,/* > r
k=

1

k

=1

< 5 ||S - 7 ||2

< •b || s _1I|2II/II2Nghĩa là, {/S,-1/ f c } ^ 1 là m ột dãy Bessel. Từ đó kéo theo toán tử khung của
{ s ~ 1f k }™__1 hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên / G H
bởi

Ễ Ơ.S-7»>S'7* = S_1Ễ <S"7.A>A = s-'ss-'f = s-'f.
k

=1

k

=1

( 1. 10)

Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của { s ~ xfk}™=l bằng (S'-1 . Toán tử (S'-1
giao hoán với cả s và I. Vì thế ta có thể nhân b ất đẳng thức A I < s < B I


17

với

s

1, điều này cho ta
B ~ XI <

s~x <

A ~ XI,

tức là
< ( S - 1/ , / ) <

V / 6 H.

Do (1.10) ta có
00

B _1||/ l |2 <

E I Ơ .S ~ 1A } |2 < A - ' W f f ,

V / € H.

k=1
Vì vậy, { s - xf k }™=l là m ột khung với các cận khung B ~ x, A ~ x.
Để chứng minh tính tối ưu của các cận ( trong trường hợp A, B là các cận
tối ưu của {f k}^Li ), giả sử A là cận dưới tối ưu của {f k}kLi và giả thiết
rằng cận trên tối ưu của

là

c

<

Bằng cách áp dụng điều vừa chứng minh cho khung { s ~ xfk}™=1 có toán
tử khung s ~ x, ta thu được{f k}kLi — í(<5,_1) 1,5,_1/fc}

fe—1

có cận dưới là

^ > A, nhưng điều này là m âu thuẫn.
Vì vậy, { s ~ xfk}™==1 có cận trên tối ưu là A. Lập luận tương tự cho cận
dưới tối ưu.

□

Khung {»S'-1 /*;} được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {/fc}.
Khai triển khung dưới đây là m ột trong những kết quả về khung quan
trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {/fc} là m ột khung của H th ì mọi phần tử
trong H có thể biểu diễn như m ột tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần
tử khung. Do đó ta có thể xem khung như m ột dạng cơ sở suy rộng.
Đ ịn h lý 1 .4 .1 3 . Giả sử {f k}kLị là một khung với các toán tử khung là
Khi đó

s.

00

/ = E < / > S_1/*> A , V / E H,
k=l
chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f G H .

( 1. 11)

18

C h ứ n g m inh.
Giả sử / G H. Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Bổ đề 1.4.12
ta có
00

/

=

00

s s - 7 = E <s-v,/i>/i =
i=l

E </.s_7¡>/¡, V / e H.

i=l

Do {f k}^Li là m ột dãy Bessel và { ( / ,

G l2 (N), theo Hệ quả

1.4.11, chuỗi hội tụ không điều kiện.
Các hệ số khung

□

fe)}¡°==1 có chuẩn l2 nhỏ nhất trong số tấ t cả các

dãy biểu diễn / .
M ện h đề 1 .4 .1 4 . Giả sử {fk}kLi là một khung của H và / G H . Nếu f
00

có biểu diễn f =

ckfk với các. hệ số {cfc}fc=1 nào đó thì
k=1

00

00

00

E M 2 = E l < / , s - 'A > f + E lc‘ - ( / 7 - 7 * > | 2.
fc=i
fc=i
fc=i

(1.12)

C h ứ n g m inh.
Ta có thể viết

00

Do

k=1

00

Ckfk = E ( / , s _1/fc} fk nên
fc=l
00

E (c* fc=l

Ơ . S ' 1/» ) ) /» = 0.

(1.13)

Gọi T là toán tử tổng hợp tương ứng với dãy {fkYkLi- Khi đó (1.13) tương
đương với
T ({ c t - < / ,s - > / i ) } r j = o
hay {ck — ( / , <5,_1/fc)} ^ l1 G N (T) trong đó N (T) ký hiệu là h ạt nhân

_ /TI

của i .


19

M ặt khác
{ Ơ , S - 'A > } “ , = { ( s - ' L h ) } ^ = r

( s - ' f ) € R ( T ‘) ,

trong đó -R (T*) ký hiệu là miền giá trị của T*.
Do f i( r * ) = IVp y nên { c* — ( / , s ,- 1/ i ) } “_1 vuông góc vđi { ( / ,
Từ đỏ N 2 = | ( / , s - 1A } P + h - < / , s - 1A > |2.
Từ đó ta suy ra (1.12).
1.5

□

K hung G abor

Lý thuyết toán học của giải tích G abor trong L 2 (R) được dựa trên hai
lớp toán tử trên L 2 (R), đó là
Phép tịnh tiến
a ẽ I , T a : L 2 (R) —> L 2 (M ), (Taf ) (X) = / (x — a ) .
Phép biến điệu
6e

R,

E b : L2 ( R ) -> L 2 (R ), (E„f) (x) = e2 A f ( ì ) .

BỔ đề sau cho ta mối liên hệ hoán tử giữa hai toán tử Ta và E ị,.
B ổ đ ề 1.5.1.
T„E„f (x) = e~27ribaE bTaf (x) =

) / (x - a ) .

C h ứ n g m inh.
Ta có

TaE J (x) = T„ ( e2 Â / (x)) =

(x - a)

và
E bT J (x) = E b ( / (x - o)) = e2’ “ 1/ (x - a) .

(1.14)


20

Từ đó ta có (1.14).
G abor

là

người

□
đầu

{e~ 27rimaxg (x — n ß ) }
g (X ) = e

2

tiên

xét

dãy

z , trong đó a ß

các
=

hàm

có

dạng

1 và g là hàm Gauss,

. Khá lâu sau này, David và Heller quan sát rằng hệ G a­

bor đặc biệt này dẫn đến khai triển không ổn định và không phù hợp cho
hầu hết các ứng dụng về sau. David và Heller đề nghị khắc phục khó khăn
này bằng cách lựa chọn a , ß sao cho a ß < 1.
Giải tích G abor đi theo hướng mới hoàn toàn với bài báo cơ sở [3] của
Daubechies, Grossm ann và Meyer từ năm 1986. Đây là lần đầu tiên xuất
hiện ý tưởng kết hợp giải tích G abor với lý thuyết khung.
Đ ịn h n gh ĩa 1.5.2. Khung Gabor là một khung trong L 2 (R) có dạng
{9ma,nß}mneZ, trong đó gma,nß{x) := e~2nimaxg (x - n ß ) với a , ß > 0
và g e L 2 (R) là hàm cố định.
Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl - Heisenberg. Hàm g
được gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh. Chú ý khi nói về khung Gabor,
ta hàm ý là khung cho toàn bộ L 2 (IR), nghĩa là, ta sẽ không làm việc với

các khung cho các không gian con.
Hệ G abor {gma nß}

eZ chỉ bao gồm các tịnh tiến với tham số n ß , n G

và biến điệu với tham số m a ,m G

z.

Điểm { (m a , n ß ) } m neZ tạo thành

m ột dàn trong R 2 và vì lý do này {gma nß}
gian

z

eZ cũng được gọi là dàn thời

tần số G abor hay dàn Gabor. Dàn G abor là công cụ tiềm năng để

phân tích và xử lý các tín hiệu như giọng nói và âm nhạc.
Định lý sau cho ta điều kiện cần để hệ G abor {gma nß}

eZ là m ột khung

trong L 2 (M).
Đ ịn h lý 1.5 .3 . Giả sử g £ L 2 (M) và cho a, ß > 0. Khi đó, nếu {gma nß}
là một khung thì a ß < 1.
Ta lưu ý là có thể chứng minh kết quả m ạnh hơn. Khi a ß > 1, họ

eZ