Phương pháp cực trị và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO THỊ NGÂN

PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ
ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO THỊ NGÂN

PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ VÀ
ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN

Chuyên ngành PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60460113

Giảng viên hướng dẫn
PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH SANG

HÀ NỘI - NĂM 2015


Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU

1

DANH MỤC HÌNH VẼ

3

BẢNG KÝ HIỆU

4

1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)
1.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số . . .
1.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp . . .
1.2 Các điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
5
5
5
6
7

2 PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
2.1 Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm số
2.1.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Nhận xét về phương pháp . . . .
2.1.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp miền giá trị . . . . . . . .
2.2.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
2.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Nhận xét về phương pháp . . . .
2.2.4 Bài tập áp dụng . . . . . . . . .
2.3 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . .
2.3.1 Phương pháp . . . . . . . . . . .
2.3.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Nhận xét về phương pháp . . . .

i

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

9
9
9
10
12
13
14
14
14
18
18
19

19
21
27


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

28
29
29
29
31

31
32
32
32
35
35
36
36
37
40
40
41
41
51

3 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP CỰC TRỊ
3.1 Ứng dụng cực trị để giải phương trình và bất phương trình . .
3.1.1 Phương pháp ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ứng dụng cực trị để giải và biện luận phương trình và bất phương
trình có chứa tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Phương pháp ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Phương pháp ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53
53
53

57

KẾT LUẬN

71

TÀI LIỆU THAM KHẢO

72

2.4

2.5

2.6

2.7

2.3.4 Bài tập áp dụng . . . . .
Phương pháp lượng giác hóa . . .
2.4.1 Phương pháp . . . . . . .
2.4.2 Ví dụ . . . . . . . . . . .
2.4.3 Nhận xét về phương pháp
2.4.4 Bài tập áp dụng . . . . .
Phương pháp hình học . . . . . .
2.5.1 Phương pháp . . . . . . .
2.5.2 Ví dụ . . . . . . . . . . .
2.5.3 Nhận xét về phương pháp
2.5.4 Bài tập áp dụng . . . . .
Phương pháp vectơ . . . . . . . .

2.6.1 Phương pháp . . . . . . .
2.6.2 Ví dụ . . . . . . . . . . .
2.6.3 Nhận xét về phương pháp
2.6.4 Bài tập áp dụng . . . . .
Ví dụ tổng quát . . . . . . . . .
2.7.1 Ví dụ . . . . . . . . . . .
2.7.2 Bài tập áp dụng . . . . .

ii

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

58
58
64
65
65
69


LỜI MỞ ĐẦU

Các vấn đề liên quan đến cực trị và ứng dụng của cực trị là những
bài toán rất quan trọng và có nhiều dạng toán gần với ứng dụng thực
tế nhất trong toán học phổ thông. Ví dụ bài toán tìm đường đi ngắn
nhất, diện tích lớn nhất, tổng chi phí ít nhất, lợi nhuận cao nhất... Đặc
biệt, các bài về cực trị thường là bài toán khó, tổng hợp trong mỗi kì
thi tốt nghiệp, cao đẳng - đại học.
Cực trị bao gồm cực trị tuyệt đối và cực trị tương đối. Trong luận
văn này khái niệm cực trị được đề cập đến là cực trị tuyệt đối (gồm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất). Trong chương trình phổ thông khái
niệm hàm nhiều biến chưa được đề cập đến, do đó trong luận văn này

dù có những bài toán nhiều biến nhưng sẽ được đưa về để giải theo bài
toán cực trị một biến hoặc của một tập hợp.
Luận văn "Phương pháp cực trị và ứng dụng" sẽ trình bày
các phương pháp cực trị để tìm các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số, biểu thức, tập hợp... và ứng dụng của các phương pháp
này. Tuy nhiên việc chia các phương pháp chỉ là tương đối, cùng với
đó các phương pháp có rất nhiều ứng dụng khác nhau, trong phạm
vi phương pháp toán sơ cấp và giới hạn của một bài luận văn thạc sĩ
không thể trình bày hết tất cả các phương pháp và ứng dụng được. Do
đó, luận văn sẽ đề cập và đi sâu vào 6 phương pháp cơ bản và 3 ứng
dụng thường gặp trong các bài toán toán phổ thông nhất.
Trên cơ sở đó, nội dung luận văn được chia làm ba chương:

1


Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Gồm các kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Chương 2: Phương pháp tìm cực trị.
Trình bày 6 phương pháp: Phương pháp đạo hàm - khảo sát hàm
số; phương pháp miền giá trị; phương pháp bất đẳng thức; phương
pháp lượng giác hóa; phương pháp hình học; phương pháp vectơ. Cuối
chương là các ví dụ tổng quát vận dụng nhiều phương pháp khác nhau.
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp cực trị.
Trình bày 3 ứng dụng thường gặp trong toán học sơ cấp: Ứng dụng
cực trị để giải phương trình và bất phương trình; ứng dụng cực trị để
giải và biện luận phương trình, bất phương trình có chứa tham số; ứng
dụng cực trị để chứng minh bất đẳng thức. Mỗi ứng dụng có các ví dụ
chi tiết và bài tập áp dụng.
Để hoàn thành luận văn, trước hết em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc

tới người thầy kính mến PGS. TS. Nguyễn Đình Sang. Người đã trực
tiếp hướng dẫn, truyền thụ kiến thức, hướng nghiên cứu giúp em hoàn
thành luân văn này.
Em cũng chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin
học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội,
những người đã giảng dạy, hướng dẫn em trong quá trình học, cùng
các bạn bè đã giúp đỡ, đóng góp ý kiến, động viên em trong học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã nỗ lực, cố gắng nhưng hiểu biết có hạn và thời gian hạn
chế mà vấn đề tương đối rộng nên em không tránh khỏi thiếu sót. Kính
mong các thầy cô, bạn bè góp ý để em hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 9 tháng 10 năm 2015
Học viên
Đào Thị Ngân
2


DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1: Bảng biến thiên hàm số y = |x3 + 3x2 − 72x + 90|.
Hình 2: Tam giác ABC đều cạnh đơn vị 2.
Hình 3: Đồ thị x + y = 1 và x2 + y 2 = 1.
Hình 4: Đường tròn tâm O, đường kính AB, chứa
Hình 5: Đồ thị elip.
Hình 6: Bảng biến thiên hàm số f (x) =

3

√

4

2x +

√

CAB .
√
2x + 2 4 6 − x.


BẢNG KÝ HIỆU

N Tập các số tự nhiên
N∗ Tập các số đếm
Z Tập các số nguyên
R Tập các số thực
C Tập các số phức
GTLN Giá trị lớn nhất
GTNN Giá trị nhỏ nhất

[a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
(a; b) = {x ∈ R|a < x < b}
[a; b) = {x ∈ R|a ≤ x < b}
(a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}

4


Chương 1

KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1
1.1.1

Định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ
nhất (GTNN)
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R. Số M được gọi là GTLN
của hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:

f (x) ≤ M, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : f (x0 ) = M
Ký hiệu: M = max f (x).
x∈D

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D ⊂ R. Số M được gọi là GTNN
của hàm số y = f (x) trên D nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện:

f (x) ≥ m, ∀x ∈ D
∃x0 ∈ D : f (x0 ) = m
Ký hiệu: m = min f (x).
x∈D

Chú ý: Ta có thể thay D ⊂ R là tập xác định của hàm f (x) bằng tập [a, b]
và dẫn đến khái niệm max f (x) , min f (x).
[a,b]

1.1.2

[a,b]

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp

• Cho U là một tập con của tập số thực R. Số α được gọi là cận trên đúng
của U , ký hiệu α = sup U , nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:

α ≤ x, ∀x ∈ U
∀ε > 0, ∃xε ∈ U sao cho: α − ε < xε ≤ α
5


Nếu α ∈ U thì α là số lớn nhất của U , ký hiệu α = max U . Vậy:

α = max U ⇔

α ≥ x, ∀x ∈ U
α∈U

• Cho U là một tập con của tập số thực R. Số β được gọi là cận dưới đúng
của U , ký hiệu β = inf U , nếu đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:

β ≤ x, ∀x ∈ U
∀ε > 0, ∃xε ∈ U sao cho: β + ε > xε ≥ β
Nếu β ∈ U thì β là số nhỏ nhất của U , ký hiệu β = min U . Vậy:

β = min U ⇔

β ≤ x, ∀x ∈ U

β∈U

Sup và inf của một tập bao giờ cũng tồn tại nhưng có thể là ±∞.
Chú ý: Cho hàm f (x) xác định trên [a, b] (hay tổng quát hơn là f xác định
trên tập D). Gọi U = {y ∈ R|∃x ∈ [a, b] (x ∈ D) , f (x) = y}. Khi đó:

max U = max f (x) max f (x) ,
D

[a,b]

min U = min f (x) min f (x) .
D

[a,b]

1.2

Các điều kiện đủ

• Hàm số f liên tục trên [a, b] ⊂ R thì đạt GTLN, GTNN trên đoạn đó.
Ký hiệu: max f, min f .
[a,b]

[a,b]

• Hàm số f liên tục và đơn điệu trên [a, b] ⊂ R thì:
max f = max {f (a) , f (b)},
[a,b]

min f = min {f (a) , f (b)}.
[a,b]

• Điểm dừng: Các điểm thuộc tập xác định của hàm f (x) mà tại đó đạo
hàm của nó bằng 0 hoặc không tồn tại thì được gọi là điểm dừng (điểm tới hạn)
của hàm đã cho.
Giả sử f (x) là hàm số liên tục trên [a, b] ⊂ R và chỉ có một số hữu hạn điểm
tới hạn x1 , x2 , ..., xn thì:

6


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức và áp dụng, Nhà xuất bản Giáo
Dục.
[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến, 2009, Một số chuyên đề Đại số bồi
dưỡng học sinh giỏi THPT, Nhà xuất bản Giáo Dục Việt Nam.
[3] TS.Lê Xuân Sơn - ThS. Lê Khánh Hưng, 2014,Phương pháp hàm số trong
giải toán - Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình, Chứng minh
bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất,Nhà xuất bản Đại Học
Quốc Gia.

72