Rèn luyện kỹ năng bài tập khoảng cách trong hình học không gian

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Bài 5. Khoảng cách
I. Kiến thức cần nhớ.
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng.
a. Định nghĩa 1:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng a) là khoảng cách giữa hai điểm M và H,
trong đó H là hình chiếu của M trên (P) (hoặc trên đường thẳng a).
M
M

a

H
P

H

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) ký hiệu là d(M; (P)).
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a ký hiệu là d(M; a).
b. Chú ý:
* Trong các khoảng cách từ điểm M đến một điểm A bất kỳ thuộc (P) thì MH là khoảng cách ngắn nhất.
* Trong các khoảng cách từ điểm M đến điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng a thì khoảng cách MH ngắn nhất.
Tức là ta có MA  MH , A   P  hoặc MA  MH , A  a.
* Để tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng a ta chỉ cần dựng MH vuông góc với a, H thuộc a và
điều tiếp theo là tính MH.
* Để tìm khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) ta cần xác định hình chiếu vuông góc H lên (P).
Bạn đọc thử suy nghĩ xem chúng ta có thể tìm hình chiếu H của điểm M lên (P) như thế nào?
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song.
a. Định nghĩa 2:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng

cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).
Ký hiệu khoảng cách từ a đến mặt phẳng (P) song song với a là d(a; (P)).
M

P

A

a

H

* Chú ý: Trong các khoảng cách từ một điểm bất kỳ của a đến một điểm bất kỳ của (P), khoảng cách MH =
d(a; (P)) là nhỏ nhất.
Ta có MA  MH , M  a, A   P  , H là hình chiếu vuông góc của M lên (P).

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 1


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
b. Định nghĩa 3:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt
phẳng kia.
Ký hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là d((P),
(Q)).

Q
Q

Khi đó ta có d((P); (Q))=d(P; (P))=d(Q; (P)), với P thuộc (P) và Q
thuộc (Q).
* Chú ý:

P
P

- Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc hai mặt
phẳng (P) và (Q) song song thì khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là nhỏ nhất.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
a. Đường vuông góc chung, đoạn vuông góc chung.
* Thuật ngữ: - Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, một đường thẳng c cắt và vuông
góc với cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

B
b

- Nếu đường vuông góc chung c cắt a và b lần lượt tại A và B thì độ dài đoạn thẳng AB
được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
a

b. Định nghĩa 4:

A

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
c. Chú ý:
- Trong các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ lần lượt nằm trên hai đường thẳng chéo nhau a và b thì khoảng

cách giữa hai điểm sao cho đoạn nối hai điểm này là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b là
ngắn nhât.
- Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau theo định nghĩa ta phải dựng và tính độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d. Nhận xét:
1) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó, chứa
đường thẳng còn lại.

Q

2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
* Dựa vào hai nhận xét trên ta có thể chuyển việc tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau về:

b

B

A

a

P

- tính khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó (theo nhận xét (1))
- tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song theo nhận xét (2).
Các bạn thấy rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, khoảng cách từ một đường thẳng đến một
mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đều thể chuyển về tính khoảng

cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Cho nên có thể nói bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là bài toán quan trọng nhất của bài
này.
II. Các dạng toán thường gặp.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 2


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Phương pháp: Để tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ta hạ AH vuông góc với d tại H thì
d(A; d)=AH.

d

* Chú ý: Nếu có (P) qua A và vuông góc với a, (P) cắt d tại H thì AH
=d(A; d).
- Để dựng điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên d, ta cần xác định điểm
A và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng nào để dựng cho chính xác.
Ví dụ 137. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA =

A

H

P

AB = 2a, ·

ABC  60 ; SA   ABCD  .
0

a. Tính khoảng cách từ O đến SC.
b. Tính d(O; SB) và d(D; SB).
Hướng dẫn:
a. bạn đọc thây ngay O và SC cùng nằm trong mặt phẳng (SAC) vì thế để tính khoảng cách từ O đến SC ta chỉ
cần dựng hình chiếu vuông góc của O lên SC trong mặt phẳng này.
b. Tương tự bạn đọc hãy tính khoảng cách từ O và D đến SB.
Giải.
a. Trong (SAC) dựng OI vuông góc với SC tại I.

·  450 , suy ra tam giác OIC vuông cân tại I.
Ta có tam giác SAC vuông cân tại A nên SCA
Do đáy ABCD là hình thoi có ·
ABC  600 nên tam giác ABC đều suy ra
AB=AC=BC=2a.

1
1
OC 2 AC 2 2a
a
Suy ra OI=IC 



.
2
2
2

2
b. Trong (SOB) dựng OH vuông góc với SB, H thuộc SB. Khi đó ta có
OH=d(O; SB).
Dễ dàng chứng minh được BD vuông góc với (SAC). Vì SO   SAC  nên ta có BD  SO  SOB vuông
tại O.
Tam giác ABC đều cạnh 2a nên OB 
Tam giác SAO vuông tại A nên SO 

2a 3
 a 3.
2
SA2  OA2  4a 2  a 2  a 5 .

Tam giác SOB vuông tại O có OH là đường cao nên ta có

1
1
1
1
1
8
15a 2
a 30
2







OH

 OH 
2
2
2
2
2
2
OH
SO OB
5a 3a
15a
8
4
Vậy d  O; SB  

a 30
.
4

* Trong (SBD) dựng BK vuông góc với SB tại K. Ta có DK  d  D; SB  .

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 3


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Ta có OH  SB, DK  SB  OH / / DK . Vì O là trung điểm của BD cho nên OH là đường trung bình của

tam giác BDK suy ra DK  2OH  2.

a 30 a 30
a 30

 d  D, SB  
.
4
2
2

2. Dạng toán 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Phương pháp: Để tính khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P) ta làm như sau:
* Nếu đã có đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): Chúng ta chỉ cần dựng một đường thẳng a đi
qua M và song song với d, a cắt (P) tại H thế thì MH = d(M; (P)).
M

Q

d

M

H
H

P

P

* Nếu chưa có đường thẳng d vuông góc với (P) ta làm như sau:
Bước 1: dựng mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này gọi là
d.
Bước 2: Dựng MH vuông góc với d tại H, khi đó MH=d(M; (P)).

 Chú ý: Khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bạn đọc cần lưu ý một vài điều sau:
1. Đối với tứ diện vuông hình chiếu của đỉnh góc tam diện vuông xuống mặt phẳng đối diện là trực tâm
tâm của mặt đối diện đó. Cho nên khoảng cách từ đỉnh góc tam diện vuông đến mặt đáy chính là độ dài
đoạn thẳng nối hai
điểm này.

O

Như hình vẽ d(O; (ABC))=OH. Và dễ dàng tính được OH dựa vào
đẳng thức:

1
1 1 1
 2  2  2 với a, b, c là độ dài các cạnh góc
2
OH
a b c

A

2. Sử dụng công thức tỉ số khoảng cách:

B

M

Nếu đường thẳng d cắt (P) tại I, M và N thuộc d khi đó

d  M ;  P 
d  N ;  P 



MI
(1).
NI

* Nếu I là trung điểm của MN thì ta có

C

H

vuông của tam diện vuông đó.

K
H

I

P

d(M; (P))=d(N; (P)) (2).
N
3. Chuyển tính khoảng cách từ điểm M khó tính khoảng cách sang một

điểm khác dễ tính khoảng cách dựa vào kiến thức: Dựng đường thẳng d
qua M, d //(P). Lấy các điểm trên d, chọn điểm nào mà việc tính khoảng cách dễ dàng hơn các trường hợp
khác.

* Chú ý: Công thức (1) và (2) cho ta chuyển việc tính khoảng cách từ điểm một điểm khó tính khoảng cách
đến điểm dễ tính khoảng cách hơn. Thông thường trong nhiều bài toán ta thường chuyển khoảng cách từ
điểm cần tìm về chân đường cao của các hình thường gặp. Bởi vì khi đó việc dựng đường vuông góc từ
chân đường cao đến các mặt phẳng dễ dàng hơn dựng từ các điểm khác.
Ví dụ 138. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy cạnh là 2a, tâm O, SA=4a.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 4


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
M là trọng tâm của tam giác SAB.
a. Tính d(M; (ABCD))

b. Tính d(O; (SAB))

c. d(A; (SCD)).

Hướng dẫn:
a. Bạn đọc thấy ngay rằng SO vuông góc với đáy (ABCD). Để tính khoảng cách
Từ M đến (ABCD) bạn đọc chỉ cần dựng đường thẳng qua M và song song với SO cắt mặt đáy tại một điểm H.
Tính MH và suy ra khoảng cách cần tìm.
b. Để tính khoảng cách từ O đến (SAB) chúng ta chưa thấy có đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng
(SAB), do đó chúng ta phải thực hiện theo TH2, chúng ta cần dựng một mặt phẳng đi qua O và vuông góc với
(SAB). Cách dựng các mặt phẳng này chúng ta đã thực hiện rất nhiều lần ở bài toán tìm góc giữa hai mặt

phẳng. Chúng tôi đề nghị bạn đọc tiếp tục thực hiện và tìm ra khoảng cách này.
c. Bạn đọc thấy rằng AO cắt (SCD) tại C cho nên chúng ta sử dụng công thức tỉ số khoảng cách để suy ra
khoảng cách cần tìm dựa vào khoảng cách từ O đến (SCD).
Giải.

S

a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Do M là trọng tâm của
tam giác cân SAB cân tại S nên M nằm trên SI.
Trong mặt phẳng (SOI) dựng MH song song với SO, do SO vuông góc
với (ABCD) nên MH   ABCD  , suy ra MH  d  M ,  ABCD   .

C

MH IM 1
1
Xét tam giác SOI có MH//SO nên

  MH  SO .
SO
SI 3
3

2

2



SO  SA  OA  16a  a 2





Vậy d M ;  ABCD  

B

J
O

Do tam giác SOA vuông tại O, nên
2

K
M

E



D

2

H

I

A

 a 14 .

a 14
.
3

b. Dễ thấy  SOI    SAB  ; SI   SOI    SAB  . Dựng OK vuông góc với SI suy ra

OK   SAB   OK  d  O;  SAB   .
Trong tam giác SOI vuông tại O có OH là đường cao nên

1
1
1
1
1
15
14a 2
14
2






OK


 OK  a
.
2
2
2
2
2
2
OK
SO OI
14a a 14a
15
15





Vậy d O;  SAB   a

14
.
15

c. Vì AO cắt (SCD) tại C nên ta có

d  A;  SCD  
d  O;  SCD  



AC
 2  d  A;  SCD    2d  O;  SCD   .
OC

Trong mặt phẳng (SOJ) dựng OL vuông góc với OJ thế thì OL vuông góc với mặt phẳng (SCD) suy ra OL =
d(O; (SCD)).
Dễ dàng chứng minh được rằng OL=OK , suy ra OL  a

14
.
15

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 5


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian









Vậy d A;  SCD   2d O;  SCD   2a

14
.
15

 Lời bình: Một bài toán không khó nhưng chứa đựng tất cả nội dung phương pháp của dạng toán tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng đề nghị bạn đọc suy ngẫm thêm.
* Chú ý: Chúng ta có thể tính khoảng cách từ A đến (SCD) theo cách sau:
Do AB//CD nên AB//(SCD) suy ra d(A; (SCD))=d(AB; (SCD))=d(I; (SCD)).
Ta có (SCD) và (SIJ) vuông góc với nhau, giao tuyến của hai mặt phẳng này là SJ. Trong (SIJ) dựng IE vuông
góc với SJ thì IE=d(I; (SCD)).
Công việc tiếp theo tính IE xin dành cho bạn đọc thực hiện.
- Từ bài toán này chúng ta thấy rằng: Chân đường cao của hình chóp đều cách đều các mặt bên của hình
chóp đó.
Ví dụ 139. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA  a 6 , đáy ABCD là nửa lục
giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD=2a.
a. Tính các khoảng cách từ A và B đến (SCD).
b. Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến (SBC).
c. Tính diện tích của thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) song song với (SAD) và cách (SAD) một
khoảng bằng

a 3
.
4

Hướng dẫn.
a. Trong ý (a), chúng ta thấy chưa có đường thẳng nào vuông góc với (SCD) nên chúng ta cần thực hiện theo
trường hợp 2. Bạn đọc hãy dựng mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (SCD) để tính khoảng cách từ A đến
(SCD). Tương tự cho việc tính khoảng cách từ B đến (SCD).
b. Chú ý rằng AD//BC nên d(AD; (SBC))=d(A; (SBC)). Ta đã có A là chân đường vuông góc kẻ từ S của hình
chóp. Bạn đọc hãy suy nghĩ cách tính khoảng cách từ A đến (SBC).

c. Các bạn cần dựa vào điều kiện của bài toán ra là (P) cách (SAD)
một khoảng bằng

S

a 3
để tìm ra điểm mà (P) đi qua. Từ đó dựng
4

được thiết diện cần tìm.
Giải.

Q

a. Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AD=2a, nên ta có AD//BC, AB=BC=CD=a; AC  CD và

AC  a 3 .

F

H
P
I

D

A

CD  AC



CD  SA (doSA   ABCD  ; CD   ABCD ) 

N

M
E B

C

 CD   SAC  .
Dựng AH vuông góc với SC tại H, khi đó ta cũng có AH vuông góc với CD.
Vậy AH=d(A; (SCD)).
Tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, do đó:

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 6


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
1
1
1
1
 2

2

2
AH
SA
AC
a 6



2



1

 a 3 

2



1
.
2a 2

Suy ra AH 2  2a 2  AH  a 2.





Vậy d A,  SCD   a 2.
Gọi I là trung điểm của AD thì ta có BI//CD nên BI//(SCD). Từ đó suy ra

d  B;  SCD    d  I ;  SCD   .
Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên:





Suy ra d I ;  SCD  





Vậy d B;  SCD  

d  I ;  SCD  
d  A;  SCD  



ID 1
 .
DA 2

1
a 2
d  A;  SCD   

.
2
2

a 2
.
2

b. Ta có AD//BC suy ra AD//(SBC)  d  AD;  SBC    d  A;  SBC   .
Dựng AE  BC tại E, ta có:

BC  AE 
  BC   SAE  .
BC  SA 
Dựng AF  SE tại F, khi đó:

AF  SE


  AF   SBC  .
AF  BC  Do BC   SAE   
Vậy AF  d  A;  SBC    d  AD;  SBC   .
Xét hai tam giác vuông AEB và SAE ta có

a 3
AE  AB.sin ·ABE  a.sin 600 
2
1
1
1

1
1
9
 2


 2.
2
2
2
2
AF
SA
AE
6a
a 3
a 6


 2 





6a 2
a 6
Suy ra AF 
 AF 
.

9
3
2





Vậy d AD;  SBC  

a 6
.
3

c. Ta có

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 7


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
AE  BC 
  AE  AD ;
AD / / BC 
Mà AE cũng vuông góc với SA nên AE   SAD  .
Và vì AE 

a 3
a 3

, (P)//(SAD), d  (P);  SAD   
, (P) cắt hình chóp S.ABCD. Do đó (P) qua trung
2
4

điểm K của AE.
Dễ dàng xác định được thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) là tứ giác MNPQ, trong đó MN//AD
(M, N là trung điểm của AB, CD); NP//SD (P là trung điểm của SC); MQ//SA (Q là trung điểm của SB). Ta có
PQ là đường trung bình của tam giác SBC nên PQ//BC//AD.
Vậy ta có



MQ / / SA
  MQ   ABCD   MQ  MN .
SA   ABCD  
MN / / PQ

Vậy thiết diện cần tìm MNPQ là hình thang vuông tại M và Q.

S MNPQ 

1
 MN  PQ  .MQ .
2

MN 

AD  BC 2a  a 3a


 .
2
2
2

MQ 

1
a 6
1
a
SA 
; PQ  BC  .
2
2
2
2

Vậy S MNPQ 

1  3a a  a 6 a 2 6

.
  
2 2 2 2
2

 Lời bình: Lại một lần nữa chúng ta gặp bài toán về nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn. Bạn đọc cần lưu
ý một số tính chất của nửa lục giác đều này để sử dụng sau này.
Việc tính khoảng cách dựa vào tỉ số khoảng cách thật sự cho chúng ta thêm một sự lựa chọn hoàn hảo

trong các bài toán tính khoảng cách mà bạn đọc gặp phải mà vẫn làm nên sự khó chịu cho nhiều bạn học sinh.
Các bạn đã thấy bớt khó khăn ở các bài toán tính khoảng cách chưa?
Một lần nữa chúng ta cần nhớ nếu muốn sử dụng tỉ số khoảng cách hãy chuyển việc tính khoảng cách này
về các khoảng cách đã biết hoặc chuyển về khoảng cách có liên quan đến chân đường cao của hình đó. Đó là
lý do trong bài này chúng tôi chuyển việc tính khoảng cách của điểm B đến (SCD) qua tính khoảng cách từ
điểm I đến (SCD) và từ đó chuyển qua tính khoảng cách từ chân đường vuông góc A.
Ví dụ 140. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. GỌi M, N, P lần lượt là trung điểm của
AA’, AD, CC’. Gọi O là tâm của mặt ABCD. Tính d(B; (MNP)) và d(O; (MNP)).
Hướng dẫn.
Đây là bài toán tính khoảng cách liên quan đến hình lập phương. Các bạn lưu ý rằng việc tính khoảng cách khi
liên quan đến hình lập phương có một sự thuận lợi rất lớn ở việc chúng ta có thể ghép được bài toán này vào
sử dụng công thức tính khoảng cách của góc tam diện vuông.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 8


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Chúng tôi đề nghị bạn đọc vẽ hình
quyết

và suy nghĩ hướng giải
G

Giải.
Ký hiệu (P) là mặt phẳng (MNP).
Trước hết ta xác định các giao điểm
các đường thẳng BC, BA, BB’. MN
CD tại Q. Khi đó E, F lần lượt là các

BC, BA. G là giao điểm của EP với

A'

Ta có

M

BE 

C'

E, F, G của (P) với
cắt DD’ tại R. PR cắt
giao điểm của NQ với
BB’.

U
P
D'
B

3a
3a
3a
, BF  ; BG 
.
2
2
2

Ta thấy tứ diện BEFG là tứ diện
có

T

B'

C
O
A

E

Q
K

N

D

vuông đỉnh B nên ta

F
R

3a 2
a 3
1
1

1
1
3
4
2






d
B
;
P

 d  B;  P   
.
 

2
2
2
2
2
2
d  B;(P)  BE
BF
BG
BE

3a
4
2
* Gọi K là giao điểm của BO và NQ. Khi đó ta có BO cắt (P) tại K. Suy ra

d  O;  P  
d  B;  P  





OK 1
1
a 3
  d  O;  P    d  B;  P   
.
BK 3
3
6



Vậy d O;  P  

a 3
.
6

 Lời bình: Bạn đọc thấy rằng chúng tôi đã sử dụng kết quả của bài toán ở ví dụ 100 về tính chất quan trọng

của tam diện vuông và công thức tỉ số khoảng cách để giải bài toán này. Chúng ta sử dụng thường xuyên kết
quả này trong bài toán tính khoảng cách. Chúng tôi đề nghị bạn đọc ghi nhớ kết quả này để áp dụng cho các
bài toán tiếp theo.
* Bạn đọc lưu ý khi sử dụng công thức tỉ số khoảng cách trong bài toán này, tại sao chúng ta không chuyển về
tính tỉ số khoảng cách từ điểm A hoặc C đến mặt phẳng (P) mà lại tính từ điểm C. Để giải thích điều này, bạn
đọc hãy xét xem điểm B là điểm có tính chất gì khi gắn với (P).
* Chú ý: bạn đọc cũng có thể tính khoảng cách từ B đến (P) như sau:
Ta thấy (BDG) và (P) vuông góc với nhau, giao tuyến của hai mặt phẳng này là OG.
Trong mặt phẳng (P) dựng BH vuông góc với OG tại H. Ta có

d  B;  P    BH . Bạn đọc tính BH và suy ra kết quả như trên.
Ví dụ 141*. Cho tứ diện ABCD có AD=BC=a, AC=BD=b, AB=CD=c. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt
phẳng (BCD). Từ đó suy ra tứ diện ABCD có bốn chiều cao bằng nhau.
(Trích bài tập nâng cao và một số chuyên đề hình học lớp 11-Trần Văn Tấn)
Hướng dẫn
Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau nên là tứ diện gần đều. Chúng ta đã biết tứ diện gần đều là tứ
diện trực tâm.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 9


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Bạn đọc lưu ý mọi tứ diện gần đều, đều “lồng” được vào một tứ diện vuông. Chúng ta có thể “lồng” tứ diện
gần đều này vào tứ diện vuông như sau:
Xét đáy BCD, ta dựng tam giác chứa tam giác này sao cho các đỉnh của tam giác BCD là các trung điểm của
ba cạnh của tam giác mới này. Bạn đọc hãy chứng minh tứ diện gồm đỉnh A và ba đỉnh còn lại mới được dựng
lên là một tứ diện vuông đỉnh A. Từ đó suy ra khoảng cách từ A đến
A

(BCD).
Giải.
Xét tam giác B’C’ D’ nhận các điểm B, C, D lần lượt là trung điểm của
các cạnh C’D’, B’D’, C’B’. Khi đó AD=BC=

1
B ' C ' , do đó tam giác
2

AB’C’ vuông tại A.
D'

Tương tự các tam giác AB’D’, AC’D’ cũng vuông tại A. Do đó tứ diện
AB’C’D’ vuông tại A.

C

Đặt AB’=x, AC’=y, AD’=z.

C'

B
D
B'

Ta có:

 x 2  y 2  B ' C '2  4a 2
 2
2

2
2
 y  z  C ' D '  4c
 2
2
2
2
 z  x  B ' D '  4b
Do đó

 x 2  2  a 2  b2  c 2 

 2
2
2
2
 y  2 a  c  b 
 2
2
2
2
 z  2  b  c  a 
Mặt khác vì tứ diện AB’C’D’ vuông tại A nên

1
1
1
1 1
 2
 2  2  2.

y
z
d  A;  BCD   d  A;  B ' C ' D '  x
2



xyz



Do đó d A;  BCD  





2

2

x y  y 2 z 2  z 2 x2

8 a2 b2 c2  a2 c2 b2  b2 c2 a2 
4 a2 b2 c2  a2 c2 b2  4 b2 c2 a2  c2 a2 b2  4 c2 a2 b2  a2 b2 c2 
2 a2 b2 c2  a2 c2 b2  b2  c2 a2 

 a b c  a  c b   a c b b c a  b c a a b c 
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Ở công thức trên, các số a, b, c

2

xuất hiện bình đẳng, do đó kéo theo
d(A; (BCD))=d(B; (ACD))=d(C; (ABD))=d(D; (ABC)).

 Lời bình: Từ bài toán này, bạn đọc cần chú ý cách để “lồng” một tứ diện gần đều vào trong một tứ diện
vuông. Khi thực hiện được điều này sẽ giúp việc tính toán của chúng ta trở nên đơn giản hơn.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 10


D

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Ví dụ 142. Cho tứ diện ABCD, ABC là tam giác vuông tại A, SB=a, AC=2a.
Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với đáy góc x, mặt bên (DBC) vuông góc
với (ABC).

J
B

a. Tính khoảng cách d từ D đến (ABC) theo a và x.

2a

b. Tìm số đo x khi biết d 
, khi đó hãy tính d(C; (BCD)).
3

C

H x

x
K

I
A

Hướng dẫn:
a. Bạn đọc cần khai thác giả thiết để xác định được chân đường vuông góc kẻ từ D xuống (ABC) sau đó xác
định được góc x là góc nào. Dựa vào đó để tính được khoảng cách từ D đến (ABC).

2a
chúng ta suy ra được số đo góc x. Từ đó suy ra khoảng cách cần tìm.
3

b. dựa vào gỉa thiết d 
Giải.

a. Trong tam giác DBC dựng DH vuông góc với BC tại H, vì (DBC) vuông góc với (ABC) nên

DH   ABC  . Do đó DH  d  D;  ABC   .
Từ H dựng HK và HI lần lượt vuông góc với AC, AB. Theo định lý ba đường vuông góc ta có
AC  DI ; AB  DK .

·
·
Do đó ta có x  DIH
. Vì thế
 DKH
DH  HI .tan x  HK . tan x  HI  HK .
Suy ra tứ giác AIHK là hình vuông.
Đặt HK=KA=2m, ta có DH=2m.tanx.
Do tam giác BKH đồng dạng với tam giác BCA nên

HK AC
HK

 2  BK 
 m.
BK AB
2

Ngoài ra BK=BA-AK=a-2m. Nên ta có m=a-2m suy ra m 



a
3



Vậy d D;  ABC   DH  2. .tan x 
b. Khi d 

a
.
3

2a tan x
.
3

2a
2a tan x 2a

 tan x  3  x  600 .
thì
3
3
3





Vậy x  600 thì d  d D;  ABC  

Ta có HK//AC suy ra

d  C ;  DAB  
d  H ;  DAB  



2a
.
3

CB AB

 3 mà B là giao điểm của CH với (DBA) nên
HB KB

CB
 3  d  C ;  DAB    3d  H ;  DAB   .
HB

Dựng đường cao HJ của tam giác DKH ta có HJ  AB; HJ   DAB  nên

d  H ;  DAB    HJ .

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 11


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
0

Trong tam giác HJK vuông tại J ta tính được HJ  HK .sin 60 

2a 3 a 3
.


.
3 2
3

Do đó d  C ;  DAB    3d  H ;  DAB   = 3.HJ  a 3 .

 Lời bình: Một lần nữa bạn đọc lại thấy được thế mạnh của công thức tỉ số khoảng cách. Trong bài toán
này chúng tôi lại chuyển việc tính khoảng cách của điểm C đến (DAB) thành việc tính khoảng cách từ điểm H
(chân đường cao kẻ từ D của tứ diện) đến (DAB).
Ví dụ 143.
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tam giác ABC đều, cạnh bên AA’=a, các mặt bên (A’AB) và (A’AC) cùng
hợp với mặt đáy (ABC) góc  (00    900 ) .
Tính khoảng cách từ A’ đến (ABC).
Hướng dẫn:
Chú ý đầu tiên với bạn đọc đó là việc vẽ hình, lăng trụ này chỉ là lăng trụ có đáy là tam giác đều nên nó không
phải lăng trụ đều và vì thế nó không phải lăng trụ đứng.
Kế tiếp để xác định khoảng cách từ A’ đến (ABC) chúng ta cần xác định được đường cao của lăng trụ này.
Hai mặt phẳng (A’AB) và (A’AC) có chung đỉnh A’, chúng ta chiếu A’ lên (ABC) được điểm O, hãy xác định vị
trí điểm O trên (ABC). Sau khi xác định được điểm O, chúng ta xác định góc giữa các mặt phẳng (A’AB) và
(A’AC) với mặt đáy (ABC). Chú ý mặt phẳng (A’AB) chính là (ABB’A’) và (A’AC) chính là mặt phẳng
(ACC’A’) hai mặt phẳng này hợp với đáy góc  (00    900 ) . Từ đây bạn đọc xác định chiều cao A’O của
hình lăng trụ. Độ dài A’O chính là khoảng cách từ A’ đến (ABC).
Giải.
Hạ A’O vuông góc với (ABC), O thuộc (ABC). Trong mặt phẳng (ABC), dựng AK vuông góc với AB tại K,
dựng AH vuông góc với AC tại H. Theo định lý ba đường vuông góc ta có AB  A ' K ; AC  A ' H .
Do đó theo giả thiết ta có OKA '  OHA '   , suy ra hai tam giác

C'

vuông sau đây bằng nhau : A ' HO  A ' KO suy ra OH=OK. Do đó
O nằm trên đường phân giác góc A của tam giác ABC suy ra

B'

·
OAK
 300 .

A'

Đặt AH=AK=x, ta tính A’O bằng hai cách như sau:


A ' O  OH .tan   AH .tan 300.tan  

x
.tan  .
3

α

4 x2
 2x 
 AK 
2
2
A ' O  A ' A  OA  a  
 a 
 a  3

0 
 cos30 
 3
2

Vậy ta có

x

2

2

O

H
2

2



C

B

α
K

A

2

x2
4x2
x2
3a 2
tan 2   a 2 
  tan 2   4   a 2  x 2 
3
3
3
4  tan 2 
a 3
4  tan 2 

 d  A ';  ABC    A ' O 

x tan 
3



a tan 
4  tan 2 

.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 12


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
 Lời bình: Trong nhiều bài toán đề bài chưa cho chúng ta ngay chân đường cao của hình khối, để giải quyết
các bài toán dạng này thường là chúng ta cứ dựng chân đường cao của các hình và sau đó dựa vào giả thiết
của bài toán để xác định vị trí của chân đường cao đó.
Chú ý một số trường hợp sau:
1. Chân đường cao của hình chóp đều trung với tâm mặt đáy.
2. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau, đáy là tam giác vuông thì chân đường cao là trung điểm cạnh
huyền.
3. Hình chóp có các cạnh bên nghiêng đều trên đáy thì chân đường cao là tâm của mặt đáy.
4. Hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
(bạn đọc phải chứng minh điều này khi làm các bài tập có liên quan đến điều này). Với lưu ý đa giác này phải
có đường tròn nội tiếp.
5. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy, thì đường cao nằm trong mặt đó và chân đường cao nằm trên
giao tuyến của mặt phẳng này với mặt đáy.
6. Hình chóp có hai mặt phẳng bên nào đó vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt phẳng
đó. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với mặt đáy không phải là hai mặt bên thì đường cao là đường thẳng qua
đỉnh hình chóp và song song với giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc này.
7. Tứ diện vuông có chân đường cao hạ từ đỉnh góc tam diện vuông là trực tâm của mặt đối diện.
8. Khi gặp các loại hình khác: hình hộp xiên, hình lăng trụ xiên chúng ta cũng sử lý dựa vào các dạng như với
hình chóp. Bạn đọc cần linh hoạt để có thể áp dụng được nó vào các bài toán chứa hình hộp, hình lăng trụ....
Ví dụ 144*. (trích đề thi đề nghị kỳ thi Olympic 30-4 lần thứ XIV, năm 2008-Trường THPT chuyên Lê Quý
Đôn-Nha Trang-Tỉnh Khánh Hòa).
Cho ba điểm A, B, C là ba điểm phân biệt trong không gian. (P) là mặt phẳng cố định. Tìm M thuộc (P) sao
cho S  MA2  4MB 2  9 MC 2 đạt giá trị lớn nhất.
Giải.

uuur

uuur

uuur

r

Gọi G là điểm thỏa mãn hệ thức GA  4GB  9GC  0 suy ra I cố định và thuộc (ABC).



uuuur uuur

 4 MG 2



2

uuuur uuur 2
uuuur uuur
 4 MG  GB  9 MG  GC

2


 

uuuur uuur
uuur uuur

 2 MG.  GA  4GB  9GC   GA  4GB

Ta có S  MG  GA

2

2

 9GC 2

 4 MG 2  GA2  4GB 2  9GC 2 .
Vì GA2  4GB 2  9GC 2 không đổi nên S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất  M là hình
chiếu vuông góc của G xuống (P).

 Lời bình:
-Bài toán tổng quát của bài toán trên như sau: Cho A, B, C phân biệt trong không gian. (P) là mặt phẳng cố
định. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho

S  xMA2  yMB 2  zMC 2 đạt giá trị lớn nhất, với x+y+z<0.
Để giải bài toán này ta làm như sau:

uur

uur

uur

r

Gọi I là điểm thỏa mãn đẳng thức véctơ xIA  yIB  zIC  0 .

Sử dụng công thức bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài, ta có:

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 13


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian



uuur uur

S  x MI  IA



2

uuur uur 2
uuur uur
 y MI  IB  z MI  IC









2

uuur uur
uur
uur
  x  y  z  MI 2  2MI xIA  yIB  zIC  xIA2  yIB 2  zIC 2





= xIA2  yIB 2  zIC 2   x  y  z  MI 2 . Do x+y+z<0 nên S lớn nhất bằng

xIA2  yIB 2  zIC 2 khi MI nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).
* Bạn đọc tự giải bài toán sau: Cho A, B, C phân biệt trong không gian. (P) là mặt phẳng cố định. Tìm điểm M
thuộc (P) sao cho

S  xMA2  yMB 2  zMC 2 đạt giá trị lớn nhất, với x+y+z>0.
3. Dạng 3. Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau a và b như sau:

b

Cách 1: Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau:
Bước 1: Dựng mặt phẳng (P) chứa a vuông góc với b tại B.
Bước 2: Dựng BA vuông góc với b tại A.

B

A

a

Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.
Cách 2:
Bước 1: Dựng (P) chứa a và song song với b.

B

M

b

Bước 2: Chọn điểm M trên b dựng MM’ vuông góc với (P) tại M’.
Bước 3: Từ M’ dựng b’//b cắt a tại A.
b'

Bước 4: Từ A dựng AB//MM’ cắt b tại B.

A

M'

a

Đoạn AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.
Cách 3:
Bước 1: Dựng (P) vuông góc với a tại O, (P) cắt b tại I.
Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc b’ của b trên (P).

b

a

Bước 3: Dựng trong (P) đường thẳng OH vuông góc với b’ tại H
Bước 4: Từ H, dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B.
Bước 5: Từ B dựng đường thẳng với OH, cắt a tại A.

A
O

Đoạn thẳng AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.

B
b'
I

H

Cách 4:
Bước 1: Xác định một đường thẳng MN vuông góc với cả hai đường thẳng
a và b.

A a
M

Bước 2: Xác định giao tuyến m của hai mặt phẳng (M, a) và (N, b).
Bước 3: Lấy điểm I thuộc giao tuyến m, gọi A là giao điểm của IM và a, B là
giao điểm của NI và b.

Bước 4: Tìm vị trí của I thuộc m sao cho AB//MN.

b
B

N

m

I

Khi đó ta có AB chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 14


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
và b.
Ví dụ 145.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh SA=h và vuông góc với mặt phẳng
(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của
a. SB và CD;

b. SC và BD;

c. SC và AB.

Hướng dẫn:

Với ý (a), bạn đọc thấy ngay rằng BC vuông góc với CD, trong các bài tập trước chúng ta đã chứng minh được

BC   SAB   BC  SB . Vậy SB
chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SB và CD.
Với ý (b), Dễ thấy BD  SC , bạn đọc hãy vận dụng cách 1 để giải tiếp ý này.
Với ý (c), ta thấy hai đường thẳng này không vuông góc với nhau, chúng ta có ngay AB vuông góc với (SAD),
từ đây gợi ý cho bạn đọc điều gì? Mời bạn đọc tiếp tục suy nghĩ và thực hiện.
Giải.
a. Ta có:

BC  AB 
  BC   SAB   BC  SB .
BC  SA 
Mặt khác BC vuông góc với CD. Vậy BC là đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng SB và CD và BC=a.

S

b. Ta có:

K

BD  SA 
  BD   SAC  tại O.
BD  AC 

E

F

Trong (SAC) từ O hạ OH vuông góc với SC tại H khi đó ta có:

D

H

A
O

OH  SC

OH  BD (do BD   SAC )

B

C

Vậy OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC.
Ta có:

OH SA
OC.SA a 2
h

 sin ·ACS  OH 
.

.
2
OC SC

SC
2
h  2a 2

c. Ta có:

AB  SA 
  AB   SAD  .
AB  AD 
Vì CD vuông góc với (SAD) nên SD là hình chiếu vuông góc của SC trên (SAD).
Trong mặt phẳng (SAD) hạ AK vuông góc với SD tại K. Trong (SCD) dựng KE//CD//AB với E thuộc SC.
Trong mặt phẳng (KE, AB) vẽ EF//AK (F trên AB). Ta có AB và CD cùng vuông góc với (SAD) nên
AB  AK ; CD  AK . Vì EF//AK nên

EF  AB; FE  SC
Suy ra EF là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và SC.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 15


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Ta có AK .SD  SA. AD  AK 

Vậy FE  AK 

ah
2

a  h2

SA. AD
h.a

.
SD
a 2  h2

.

 Lời bình: Bài toán này cho các bạn thấy rõ 3 cách tìm và dựng đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau. Chúng ta cùng nhìn lại cách giải trong ví dụ trên để rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
* Ý (a): Nhận thấy ngay đoạn vuông góc chung cho trong bài mà không phải dựng thêm đường.
* Ý (b): hai đường thẳng SC và BD vuông góc với nhau cho nên ta thực hiện theo cách 1.
* Ý (c): Đòi hỏi bạn đọc phải tinh ý hơn. Ta đã có ngay một mặt phẳng vuông góc với AB do đó chúng ta thực
hiện theo cách thứ 3.
Bài toán dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là một bài toán không dễ đề nghị
bạn đọc tập chung hơn. Sau khi xong ví dụ này, bạn đọc cần học lại 4 cách dựng đường vuông góc chung đã
trình bày ở trên.
Ví dụ 146. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a. Gọi I là trung điểm của
BC. Hãy dựng và tính độ dài các đoạn vuông góc chung của
a. OA và BC.

b. AI và OC.

Hướng dẫn:
a. Với ý đầu tiên bạn đọc có thể thấy ngay hai đường thẳng OA và BC vuông góc với nhau. Hãy áp dụng cách
1 và giải tiếp ý này.
b. Ta thấy (SAB) vuông góc với OC, đường thẳng AI cắt (SAB) tại A. Bạn đọc thực hiện theo cách 3 bằng cách:

Hãy xác định hình chiếu vuông góc của AI xuống (SAB) và sau đó tiếp tục thực hiện theo các bước đã nêu.
Giải.
a. Ta có

OI  OA 
  OI là đoạn vuông góc chung của OA và BC.
OI  BC 

Do tam giác OBC vuông tại O và OI là đường trung tuyến của tam giác
này cho nên OI 

b. Do

A

BC a 2

.
2
2

OC  OA 
  OC   OAB  tại O.
OC  OB 

Từ I vẽ IK//OC thì IK vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại trung điểm
K của đoạn OB. Ta có AK là hình chiếu vuông góc của AI lên (OAB).
Trong (OAB) vẽ OH vuông góc với AK tại H. Dựng HE//OC với E thuộc
AI và dựng EF//OH với F thuộc OC. Khi đó EF là đoạn vuông góc chung
của AI và OC. Ta có EF=OH.

Trong tam giác OAK có

E

H
F

C

O
K

I
B

1
1
1
1
1
5


 2
 2.
2
2
2
2
OH

OA OK
a a
a
2
 

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 16


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
2

Vậy OH 

a2
a 5
a 5
 OH 
 FE 
.
5
5
5

 Lời bình: Bạn đọc có thể dựng đường vuông góc chung ở ý (b) cách khác (cách 2) như sau:
Gọi (P) là mặt phẳng chứa AI và (P)//OC, (P) cắt (OBC) theo giao tuyến KI//OC với K là trung điểm của
OB. Ta có (P) chính là (AKI) và AK là giao tuyến của hai mặt phẳng (OAB) và (P). Chiếu vuông góc đường
thẳng OC xuống (P) bằng cách vẽ OH vuông góc với AK và vẽ đường thẳng HE//OC với E trên AI. Từ E ta vẽ

FE//OH với F thuộc OC. Ta có FE là đường vuông góc chung của AI và OC.
Bài 147. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định đường vuông góc chung của BD và CB’.
Hướng dẫn.
Ta thấy AC’ vuông góc với BD và CB’. Do đó lấy điểm I thuộc BC, ta cần tìm vị trí của I để MN // AC’. Với M
là giao điểm của AI với BD, N là giao điểm của IC’ với CB’.
Giải.
Ta có BD   ACC 'A'   BD  AC ' .
Mặt khác B ' C   ABC '  B ' C  AC ' .
A

Vậy ta có đường thẳng AC ' vuông góc với cả hai đường thẳng B’C
và BD.
Lấy điểm I thuộc BC. Gọi M là giao điểm của AI và BD, N là giao
điểm của IC’ và CB’. Ta cần tìm vị trí của I để MN//AC’.

B
M

I

C

N

D

Ta có MN//AC’ khi và chỉ khi

B'

A'

IM
IN
IB
IC



 IB  IC .
MA NC '
AD B ' C '
D'

Vậy khi I là trung điểm của BC thì MN là đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng BD và AC’ với M là giao điểm của AI và BD, N là giao điểm của C’I và CB’.

C'

 Lời bình: Bài toán này chúng ta giải theo cách thứ 4 đã trình bày ở trên.
Bạn đọc cũng có thế trình bày theo chiều thuận như sau:
Chứng minh được AC’ vuông góc với BD và CB’. Gọi I là trung điểm của BC. M là giao điểm của AI và
BD, N là giao điểm của C’I với B’C. Hãy chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung cần dựng.
Ví dụ 148*. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng nhau. Xác định đoạn vuông góc chung của
hai đường thẳng A’B và B’C.
Hướng dẫn: Bạn đọc có thể thấy chúng ta gặp khó khăn trong cả ba cách giải trên. Chúng ta hãy suy nghĩ và
giải theo cách thứ 4. Trước tiên chúng ta cần tìm một đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng A’B và
B’C. Sau đó tiếp tục thực hiện các bước tiếp theo để giải bài toán này.
Giải.
Gọi M, N, N’ lần lượt là trung điểm của AA’, AC, A’C’.

Ta có:

BN  AC 
  BN   ACC ' A '
BN  A ' A

Suy ra BN  C ' M mà C ' M  A ' N nên C ' M   A ' BN  . Do đó C ' M  A ' B .
Tương tự C’M vuông góc với (B’N’C) suy ra C’M vuông góc với CB’.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 17


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Vậy C’M vuông góc với A’B và B’C.
Lấy I thuộc BB’, gọi E là giao điểm của MI và A’B, F là giao điểm của IC’ với B’C. Ta cần xác định vị trí của
điểm I để EF//MC’.
Ta có EF//MC’ khi và chỉ khi

IE
FI
BI
IB '



. Do CC '  2 MA ' nên
ME FC '
MA ' CC '

BI
IB '

 IB '  2 BI .
MA ' CC '
Vậy I là điểm thuộc đoạn BB’ sao cho IB’=2BI. Gọi E là giao điểm của IM với A’B, F là giao điểm của IC’ với
B’C . Khi đó EF là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng A’B và B’C.

 Lời bình: Nếu bạn đọc không biết cách thứ 4 này để dựng đoạn vuông chung thì những bài toán như ví dụ
148 là khá khó khăn. Bạn đọc lưu ý, không có cách nào là giải được cho tất cả các bài toán, cho nên chúng ta
cần nắm được nhiều phương pháp hơn, nhiều cách giải sẽ cho các bạn cách nhìn nhận bài toán tốt hơn. Có
một tư duy tốt sẽ giúp chúng ta thành công trong học tập và trong cuộc sống.
4. Dạng 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm theo các cách sau:
Cách 1: Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a và b.
Cách 2: Dựng mặt phẳng (Q) chứa b và song song với a. Lấy điểm M tùy ý nằm trên a thì d(a, b)=d(M,
(Q)).
Chú ý điểm M này thường lấy là các đầu mút đoạn thẳng nằm trên a hoặc trung điểm đoạn thẳng nằm
trên a khi gắn vào với các hình khối để tiện cho việc tính toán.
Cách 3: Dựng các mặt phẳng (P) và (Q) song song lần lượt chứa a và b. Khi đó d(a, b)=d((P), (Q)).
Tóm lại để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chúng ta có thể chuyển việc tính khoảng
cách đó về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ở hai cách 2 và 3.
Ví dụ 149.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy
một góc 600. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a. SA và BC.

b.SB và AC.

Hướng dẫn:
Trước tiên cần khai thác giả thiết để tính được chiều cao của hình chóp.
Với ý (a), bạn đọc thấy ngay hai đường thẳng SA và BC vuông góc với nhau.
Bạn đọc hoàn toàn có thể dựng được đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng này, để từ đó tính được
khoảng cách giữa chúng.
S

Với ý (b), chúng ta thấy hai đường thẳng AC và SB không vuông góc
với nhau trước tiên suy nghĩ để dựng đoạn vuông góc chung. Hoặc
bạn đọc có thể chuyển về khoảng cách giữa đường thẳng song song
với mặt phẳng, bằng cách dựng mặt phẳng chứa đường thẳng này và
song song với đường thẳng kia.
G

Giải.

A

a. Gọi E là trung điểm của BC. Do tam giác ABC đều nên
AE  BC . Lại do SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) nên
SA  AE .

C
E

D

F

B

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 18


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Vậy AE vuông góc với cả SA và BC nên AE là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SA và BC. Suy ra
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là AE.
* Tính AE: Do tam giác ABC đều cạnh a, AE là đường trung tuyến nên AE 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC là AE 

a 3
.
2

a 3
.
2

b.Ta có BC là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Do AE vuông góc với BC, BC vuông góc với SA
nên suy ra BC vuông góc với SE. Từ đây suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc SEA hay

·  600.
SEA
Xét tam giác SAE vuông tại A ta có

SA
a 3

3a
 tan 600  SA  AE.tan 600 
. 3
.
AE
2
2

Trong mặt phẳng (ABC) dựng BD//AC, BD=AC=a, khi đó ta có ACBD là hình thoi cạnh a.
Ta có AC//(SBD) vì thế d  AC , SB   d  AC ;  SBD    d  A;  SBD   .
Gọi F là trung điểm của BD khi đó ta có AF vuông góc với BD, lại do BD vuông góc với SA cho nên BD
vuông góc với (SAF). Suy ra hai mặt phẳng (SAF) và (SBD) vuông góc với nhau. Giao tuyến của hai mặt
phẳng này là SF. Trong (SAF), dựng AG vuông góc với SF thế thì AG   SBD   AG  d  A;  SBD   .
Do AF là đường trung tuyến của tam giác đều ABD cạnh a nên AF 

a 3
.
2

Do tam giác SAF vuông tại A có AG là đường cao nên

1
1
1
1
1
4
4
16
 2



 2 2  2
2
2
2
2
AG
SA
AF
9a 3a
9a
 3a   a 3 
 2  
   2 

9a 2
3a
3a
 AG 
 AG 
 d  AC , SB   .
16
4
4
2

 Lời bình: Chúng ta cũng có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng cách dựng và tính
độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng này như sau:
S

Dựng mặt phẳng (SAF) như cách trên, ta có  SFA   AC . Dễ
thấy hình chiếu vuông góc của SB lên (SAF) là SM.
Từ A dựng AG vuông góc vuông góc với AF tại G. Trong (SBF), dựng
GM//BF//AC. Dựng MN//AG, N thuộc AC. Thế thì MN là đoạn vuông
góc chung của hai đường thẳng SB và AC. Ta có MN=AG, chúng ta
chỉ việc tính AG và suy ra MN hay suy ra độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng AC, SB để từ đó tìm được khoảng cách
của hai đường thẳng này.

M

G
A

N

D
E

D

F

B

Thấy rằng việc dựng độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau để tính khoảng cách giữa chúng có phần phức tạp và dài dòng hơn, thậm chí khó hơn. Chính
vì vậy mà người ta sử dụng hai cách giải 2 và 3 để giảm bớt khó khăn cho việc tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 19


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Vậy bạn đọc cần nhớ: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau không nhất thiết phải dựa vào
việc dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của chúng nếu việc dựng đoạn vuông góc chung phức tạp.
Ví dụ 150. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’
và CD’.
(Trích bài tập toán 11 hk2-Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến - TP HCM )
Hướng dẫn: Chú ý hai đường thẳng BC’ và CD’ lần lượt nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau là
(ACD’) và (BA’C’). Do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’ chính là khoảng cách giữa hai mặt
phẳng (ACD’) và (A’BC’). Bạn đọc hãy suy nghĩ để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này.
Giải.
A

Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

B
O

D

Dễ dàng chứng minh được rằng (ACD’)//(BA’C’). Do đó ta có

C

d  BC '; CD '   d   ACD '  ;  A ' C ' B    d  O;  A ' C ' B   .

H

A'

B'

Ta có A ' C '   OBB ' O '   OBB ' O '   BA ' C '  ;
O'

O ' B   OBB ' O '    BA ' C ' .

D'

C'

Trong (OBB’O’), dựng OH vuông góc với O’B tại H thế thì

OH   BA ' C ' .
 d  O;  BA ' C '   OH .
Xét tam giác OBO’ có OH là đường cao nên

1
1
1
1
1
2 1
3




 2 2 2  2.
2
2
2
2
OH
OB OO '
a
a
a
a 2 a


 2 

a2
a 3
a 3
 OH 
 OH 
 d  CD '; BC ' 
.
3
3
3
2

 Lời bình: việc chuyển tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau CD’ và BC’ thành tính khoảng

cách giũa hai mặt phẳng song song (ACD’) và (A’C’B) là cần thiết trong bài toán này.
* Chú ý: Chúng ta có thể dựng được đường thẳng vuông góc với cả hai mặt phẳng (ACD’) và (A’C’B). Đường
thẳng này chính là đường thẳng B’D (bạn đọc suy nghĩ cách chứng minh). Gọi giao điểm của B’D với hai mặt

1
3

phẳng (ACD’) và (A’C’B) lần lượt là G và G’ thì ta có GD=GG’=G’B’= B ' D. Tính B’D và suy ra khoảng
cách cần tìm.
Ví dụ 151. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và SA=a.
Tính:
S

a. Khoảng cách từ điểm S đến (A1BD) với A1 là trung điểm của SA;
b. Khoảng cách giữa AC và SD.
H

(Trích bài tập toán 11-HK2- Trường THPT Nguyễn Hiền-TP HCM)

A1

Hướng dẫn.

M
B

A

[ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4I 7 8 7 6 6 8 9 ]
D

O

Page 20
C


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
a. Bạn đọc thấy điểm A chính là chân đường cao của hình chóp này. Do SA cắt (A1BD) tại A1 là trung
điểm của SA nên ta có d  S ;  A1 BD    d  A;  A1 BD   . Bạn đọc hãy tính khoảng cách từ A đến
(A1BD) và suy ra khoảng cách cần tìm.
b. Dựng một mặt phẳng (P) chứa SD và song song với AC, (P) dựng nhủ thế nào? Khi đó ta có

d  SD; AC   d  AC ;  P    d  A;  P   . Hãy tính khoảng cách này và suy ra khoảng cách cần tìm.
Giải.
a. Ta thấy SA cắt mặt phẳng (A1BD) tại A1, A1 là trung điểm của SA do đó d  S ;  A1 BD    d  A;  A1 BD   .
Ta có

BD   SAC    SAC    A1BD  , giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (A1BD) là A1O.
Trong mặt phẳng (SAC), dựng AM vuông góc với A1O tại M. Khi đó

AM   A1 BD   AM  d  A;  A1BD   .
Ta có AM là đường cao của tam giác vuông tại A là A1AO, nên

1
1
1
1
1
4 2

6
a2
2








AM

AM 2 AA12 OA2  a  2  a 2  2 a 2 a 2 a 2
6
  
 2   2 
Suy ra AM 

a 6
a 6
 d  S ;  A1 BD    d  A;  A1BD   
.
6
6

b. Kẻ qua D đường thẳng song song với AC, lấy I trên đường thẳng này sao
cho AODI là hình vuông.
Ta có AC//(SID) nên AC//(SID) suy ra d  AC ; SD   d  AC ;  SID    d  A;  SID   .
Ta có ID   SAI    SAI    SDI  và SI   SAI    SDI  .

Trong (SAI) dựng AH vuông góc với SI tại H thì AH   SAI   AH  d  A;  SID   .
Xét tam giác SAI vuông tại A có AH là đường cao nên

1
1
1
1
1
1 2
3
a2
2








AH

.
AH 2 SA2 AI 2 a 2  a 2  2 a 2 a 2 a 2
3


 2 
Suy ra AH 

a 3
a 3
a 3
 d  A;  SID   
 d  SD; AC  
.
3
3
3

 Lời bình: Bạn đọc chú ý, chúng ta có thể tính trực tiếp khoảng cách từ S đến (A1BD) bằng cách từ S dựng
SK vuông góc với OA1 mà không cần chuyển về tính khoảng cách thông qua điểm A.
- Với ý (b), chúng ta cùng nhìn lại cách dựng thêm đường thẳng ID.
Ở đây việc dựng đường vuông góc chung để xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SD và
AC gặp khó khăn, cho nên chúng ta nghĩ đến sử dụng khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song
với nó. Điều này là dễ hiểu cho việc dựng một đường thẳng song song với AC trong mặt đáy, mục đích là tạo
ra mặt phẳng (SID)//AC .

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 21


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Câu hỏi tiếp tục được đặt ra là vì sao lại dựng điểm I như vậy? Không phải điểm I ở vị trí khác? Mục đích
của chúng ta là gì? Mục đích là tạo một mặt phẳng qua điểm A là vuông góc với (SID). Ở đây chúng ta có
ngay mặt phẳng này là mặt phẳng chứa SA và chứa đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng qua D,
song song với AC. Vì vậy mới cho chúng ta hướng đi là lấy điểm I để tứ giác OAID là hình vuông.
Ví dụ 152. Cho hình chóp A.BCD có đáy BCD là tam giác đều. Đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh A đi qua
trung điểm H của cạnh CD. Cắt hình chóp đó bởi mặt phẳng (P) song song với AB và CD và cách đỉnh B một

khoảng bằng d. Tính diện tích thiết diện thu được biết cạnh của tam giác đều BCD là a và AB  a 2.
Hướng dẫn. Trước tiên bạn đọc cần dựng được thiết diện cắt bởi mặt phẳng đi qua điểm A và song song với
AB và CD. Nhận dạng xem thiết diện là hình gì. Khai thác giả thiết để có d(B; (P)) là đoạn thẳng nào? Có tính
chất gì? Để từ đó tính toán và tìm được diện tích của thiết diện cần tìm.
Giải.
Vì (P) song song với AB và CD nên thiết diện cần tìm là hình bình hành PQRS. Mặt khác theo giả thiết

CD   AHB  nên CD  AB. Vậy PQRS là hình chữ nhật.
Kẻ HE vuông góc với AB tại E thì HE   PQRS  . Kẻ IK//HE thì IK   PQRS  . Do AB//(PQRS) và d(B;
(P)) = d(B; (PQRS)) = d nên IK = d.

AH .HB
Ta có HE. AB  AH .HB  HE 

AB
Ta có

AB 2  BH 2 .HB a 15

.
AB
4 2

IK
BI
RS
IK .CD
da
4d 2



 RS 

.4 2 
.
HE BH CD
HE
a 15
15
a 3
IK .BH d . 2
2 2d
BI 


.
HE
a 15
5
4 2

Mặt khác



2 a 15  4 2d
AB.  HB  IB 
JI
HI HB  IB



 JI 

AB HB
HB
HB
15

Vậy S PQRS  RS .JI 



8
d a 15  4 2d .
15





 Lời bình: Ở đây chúng ta sử dụng kết quả sau: Nếu AB//(P) thì

d  A;  P    d  I ;  P   , với I bất kỳ trên AB. Để từ đó tìm được khoảng cách từ điểm B đến (P).
Ví dụ 153. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và AB=2a, BC=a. Các cạnh bên của hình chóp
bằng nhau và bằng a 2 .
a. Tính khoảng cách từ điểm S đến (ABCD).

S

b. Gọi E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD; K là điểm bất

kỳ
thuộc đường thẳng AD. Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường
thẳng EF và SK không phụ thuộc vào K, hãy tính khoảng cách đó theo
a.
A

E
B

I
L

[ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4K7 8 7 6 6 8O9 ]
D

F

Page 22
C


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
(Trích bài tập hình học 11-nâng cao – Nxb Giáo dục Việt Nam)
Hướng dẫn:
a. Bạn đọc hãy dựng đường cao của hình chóp để suy ra khoảng cách từ S đến (ABCD). Chú ý hình chóp
này có các cạnh bên bằng nhau nên hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy.
b. Ta thấy FE//AD nên EF//(SAD) vì thế khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SK và EF chính là
khoảng cách từ đường thẳng EF đến (SAD). Do đó khoảng cách này khồng đổi và không phụ thuộc
vào vị trí của điểm K. Bạn đọc hãy suy nghĩ cách tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp

đến (SAD).
Giải.
a. Gọi O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD), do các cạnh bên bằng nhau nên dễ dàng chỉ ra được rằng
OA=OB=OC=OD. Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD hay O là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD.
Vậy SO là khoảng cách từ S đến (ABCD).
Xét tam giác SOA vuông tại O ta có

SO  SA2  OA2  2a 2 
(ABCD)) =

AC 2
AB 2  BC 2
4a 2  a 2
 2a 2 
 2a 2 
4
4
4



3a 2 a 3

. Vậy d(S;
4
2

a 3
.

2

b. Do E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên EF//AD//BC.Suy ra EF//(SAD). Vậy

d  SK ; FE   d  FE ;  SAD    d  O;  SAD   . Vì thế khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau EF và
SK không phụ thuộc vào vị trí điểm K.
Gọi L là trung điểm của AD ta có hai mặt phẳng (SOL) và (SAD) vuông góc
với nhau. SL là giao tuyến của hai mặt phẳng này. Trong (SOL), dựng OI vuông góc với SL tại I thế thì

OI   SAD   d  O;  SAD    OI .
Xét tam giác vuông SOL có OI là đường cao ta có

1
1
1
1
1
4
1
7
3a 2
2









OI

OI 2 SO 2 OL2  a 3 2 a 2 3a 2 a 2 3a 2
7


 2 
Suy ra OI 

a 21
a 21
 d  SK ; FE  
.
7
7

 Lời bình: Hi vọng qua các ví dụ trên bạn đọc đã thấy được việc tính khoảng cách không quá khó khăn. Chỉ
cần chúng ta nắm vững phương pháp, áp dụng thật sáng tạo các phương pháp đã học, cùng với ciệc chăm chỉ
luyện tập sẽ nhanh chóng cho bạn thấy yêu thích làm hình học không gian.
Bạn đọc lưu ý rằng chúng ta còn một vài cách khác để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
được trình bày ở các bài sau. Hãy nắm chắc các kiến thức đã học để chuẩn bị cho các bài học sau, khi đó sẽ
cho bạn đọc thêm các cách nhìn nhận cách giải một bài toán khoảng cách.
III. Bài tập tự luyện.
Bài 121. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Góc giữa
đường thẳng SC và (ABCD) là 450. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]

Page 23

Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
(Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2015)
Bài 122. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy,

·
biết BC=2a, SBC
 300 , SC=a.
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC).
b. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SH và AC với H là chân đường cao của
hình chóp S.ABC.
(Trích bài tập chuyên đề hình học không gian- Trung tâm luyện thi Đại học Nam Thái – Thái Nguyên).
Bài 123. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a. Gọi N và M lần lượt là trung điểm của C’B’ và
AB. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AN và MD.
(Trích bài tập rèn luyện giải toán hình học 11-Đặng Phúc Thanh, Nguyễn
Trọng Tuấn)
Bài 124. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh là a. Dựng đoạn vuông góc chung của BD và CB’.
(Trích bài tập Toán 11-HK2-Trường THPT Gia Định – TP HCM)
Bài 125. Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác có tâm O, AB=a, SA=2a. Tính các khoảng cách:
a. Từ O đến (SAB);

b. Từ C đến (SOB).
(Trích bài tập toán 11-HK2- Trường THPT Nguyễn Hiền-TP HCM)

Bài 126. Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân tại B, AC=2a, DAC là tam giác đều và (DAC)
vuông góc với (ABC). Gọi O là trung điểm của cạnh AC. Tính các khoảng cách:
a. d(D; (ABC));

b. d(O; (DBC)).

(Trích bài tập Toán 11-HK2-Trường THCS-THPT Nguyễn Khuyến- TP HCM).
Bài 127. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung
điểm của SA; M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD;
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
(Trích bài tập Toán 11-HK2-Trường THPT Gia Định-TP-HCM)
Bài 128. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’, có AB=4. Biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính khoảng
cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ.
Bài 129. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SAB cân tại S nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và
SC bằng a.
Bài 130. Cho lẳng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng

2a 3
và hợp với đáy một
3

góc 600. Biết hình chiếu của A lên (A’B’C’) là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Tính d(A; (A’B’C’)) và khoảng
cách giữa hai đường thẳng AB’ và A’C’.
(Trích bài tập toán 11-HK2-Trường TH thực hành ĐHSP- TP HCM)
S

Bài 131. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B.
AB = BC = 2a, (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). M là trung
điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N; Góc
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính chiều cao của hình
chóp S.BCNM và d(SN, AB) (ĐHCĐ-A-2011)

H

Bài 132. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và B, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD); AB = BC= 2a; AD = 4a.

A
D
E

[GV.Ths: Nguyễn Mạnh Hùng-0947876689]
B

O

Page 24
C


Rèn luyện kỹ năng tính khoảng cách trong hình học không gian
Mặt phẳng (SCD) tạo với mặt phẳng đáy góc 45o. Tính chiều cao của hình chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai đường thẳng SB và CD.
IV. Hướng dẫn giải và đáp án
Bài 121. Đây là bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau tương tự như ví dụ 151, đề nghị
bạn đọc tự tính toán.
Đáp số: d  AC ; SB  

a 10
.
5

Bài 122. Xét tam giác SBC có SC 

1

·
SB; SBC
 300 nên tam giác SBC
2

vuông tại S.

S

a. Gọi H là chân đường cao kẻ từ S của hình chóp S.ABC. Vì (SBC) vuông
góc với (ABC) và BC là giao tuyến của hai mặt phẳng này mà

SH   ABC  nên H thuộc BC. Hay SH cũng chính là đường cao của tam
giác SBC.
A

Xét tam giác SBC vuông tại S ta có

C

K
H

a 3
a 3
·
SH  SC .sin SCH
 a.sin 600 
. Vậy d(S;(ABC)) =
.

2
2

B

2

a 3
a2 a
b. Ta có HC  SC  SH  a  


 2 
4
2


2

2

2

Vì tam giác ABC vuông cân có BC=2a nên AB  AC 

BC 2a

a 2.
2
2

Do SH   ABC   SH  AC . Trong (ABC) dựng HK vuông góc với AC tại K. Khi đó ta có

HK  SH ; HK  AC suy ra HK chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và SH, vì thế
HK  d  SH ; AC 

a
HK CH
1
AC a 2
Vì HK//AB nên

 2   HK 

. Vậy khoảng
AC CB 2a 4
4
4
cách giữa hai đường thẳng SH và AC là

a 2
.
4

 Lời bình: Chú ý một tam giác có một góc bằng 300, cạnh đối diện với nó bằng một nửa một cạnh thì tam
giác đó vuông. Bạn đọc có thể chứng minh tính chất này không khó khăn.
Bài 123.

B'

A'

Gọi I là trung điểm của BC khi đó ta có IN vuông góc với (ABCD).

· ·
Ta có ABI  DAM  BAI
ADM .
·  DAK
·
·
·  900 .
Suy ra BAI
 DAK
 BAI

N
D'

C'

E
M

A

Vậy AI  MD .

B
K
I

[ G V . T h s : N g u y ễ n M ạ n h H ù n g - 0 9 4 7D8 7 6 6 8 9 ]

Page C25