SKKN tiếp cận bài toán tích phân bằng pp đổi biến số

SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

hoctoancapba.com
MỤC LỤC

Trang

1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh và lý do chọn đề tài )

2

2.Giải quyết vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm )

3

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

3

2.2 Thực trạng của vấn đề

3

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

4

2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm

4

2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản

7

x2

a) TÍCH PHÂN DẠNG

∫ ( ax + b)

n

dx

7

x1
b

(

)

n

b) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ xk−1 axk + b dx
a

b

(

)

n

2k −1
axk + b dx
hoặc ∫ mx
a

b

c) TÍCH PHÂN DẠNG

11

( ) dx

15

) dx

17

ku' x

∫ u ( x)

a

b

d) TÍCH PHÂN DẠNG

∫
a

(

f ln x
x

b

u( x )
e) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ e .u' ( x ) dx

19

a

b

n
m
f) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ sin xcos xdx

21

a

2.4 Hiệu quả của SKKN

23

3. Kết luận

24

Tài liệu tham khảo

25

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 1


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

.

CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
hoctoancapba.com

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốt
môn toán luôn là một trong những mục tiêu đặt ra của học sinh. Nhất là trong các kỳ
thi thì kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm luôn là mục tiêu của nhiều
học sinh và cả phụ huynh. Vì vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn
đề quan trọng. Trong đề thi tốt nghiệp hằng năm luôn có bài toán tính tích phân.
Đây là bài toán được coi là khó đối với học sinh nhất là học sinh trung bình – yếu.
Để làm được bài toán này, học sinh cần nắm định nghĩa và các tính chất
nguyên hàm, thuộc các công thức nguyên hàm các hàm số sơ cấp và các phương
pháp tính nguyên hàm.
Để tính được bài toán tích phân học sinh không những phải học thuộc các
kiến thức trên mà còn phải rèn luyện kỷ năng giải toán thường xuyên nữa.
Nhằm giảm bớt sự khó khăn trong quá trình tính toán, và sự khó khăn khi gặp
bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp hằng năm, tôi đưa ra cách tiếp cận bài
toán tích phân một cách phù hợp với trình độ của học sinh trung bình yếu đó là
“CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐỔI BIẾN SỐ”

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 2


SKKN: Tớch phõn i bin s

hoctoancapba.com

Mc ớch rừ rng ca ti ny l nhm giỳp hc sinh gii tt bi toỏn tớch
phõn núi riờng v lm tt bi thi tt nghip THPT núi chung, xa hn na l lm tng
t l b mụn toỏn ca trng trong k thi tt nghip hng nm.

2. NI DUNG TI
2.1. C s lý lun ca ti
Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con ngời cha biết. Nhiệm vụ của cuộc
sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con ngời phải hiểu biết cái cha biết đó ngày
một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những
quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là t duy.
Nhng t duy c thỡ cn phi nm c nhng kin thc c bn, nhng
kin thc nn tng ca vn thỡ khi ú mi núi n tuy duy hay sỏng to.
C s lý lun ca ti CCH TIP CN BI TON TNH TCH
PHN BNG PHNG PHP I BIN S l t nhng kin thc c bn
nht ca vn nhm giỳp hc sinh dn dn tip cn vi cỏc vn cao hn trong
mt mch kin thc.
C th húa ca vn v mt lý lun l giỳp hoc sinh c lp trong khi gii
quyt vn m c th vn õy l bi toỏn tớch phõn trong cỏc k thi m c bit
l cỏc dng m ti ny ó nghiờn cu v a ra trong sỏng kin kinh nghim dy
hc ti trng ph thụng.
2.2. Thc trng ca ti
2.2.1 . Tỡnh hỡnh thc t ca hc sinh trng:
- Phn ln hc sinh ca trng i bn cỏc xó lõn cn, i li khú
khn. im tuyn sinh vo lp 10 khụng cao, nng lc hc tp ch yu l loi trung
bỡnh, thm chớ mt s hc sinh kh nng tớnh toỏn rt hn ch
- Hc sinh thng ớt chu tỡm tũi, khỏm phỏ v khụng thuc bi (li
hc)
2.2.2. Thc trng ca ti CCH TIP CN BI TON TNH
TCH PHN BNG PHNG PHP I BIN S

Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy

Trang 3

SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

- Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong
bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến
- Đề tài này hoàn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáo
viên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi.
- Do đây là chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều,
thuôc bài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ
thể kết quả kiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như
sau:
Điểm
Số lượng

0 đến 3
3.5 đến 4.5
5 đến 6.5
7 đến 8
Trên 8
15
8
5
7
3
- Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , số

học sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá

ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức.
2.2.3. Khó khăn của đề tài:
- Về tâm lý: khi gặp bài toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ
và cho rằng đây là bài toán khó nên thường bỏ luôn không làm
- Về kiến thức:
+ Học sinh không thuộc bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp,
công thức tính tích phân, các tính chất của nguyên hàm và tích phân
+ Khả năng nhận dạng dạng nguyên hàm hay tích phân còn thấp
+ Khả năng tính toán còn yếu hoctoancapba.com
- Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu
nên về mặt lý luận cũng gặp khó khăn.
- Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn kém nên việc triển khai
đề tài có phần chậm.

2.2.4. Thuận lợi:

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 4


SKKN: Tớch phõn i bin s

hoctoancapba.com

- Trong khi thc hin ti c s h tr ca bn ng nghip trong
trng, trong t chuyờn mụn.
- a s hc sinh cú phn hng thỳ vi cỏch tip cn mch kin thc
mi.
- Hc sinh chm ch tớch cc luyn tp k nng gii toỏn tớch phõn

2.3 . Cỏc bin phỏp tin hnh gii quyt vn
2.3.1. Kin thc c bn hc sinh cn nm
* Nguyờn hm
Kớ hiu K l khong, on hoc na khong ca Ă
nh ngha : Cho hàm số f(x) xác định trên K .
Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F '(x) = f(x)
với mọi x K .
nh lý 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .

nh lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

f ( x) dx = F ( x) + C , C Ă
L h tt c cỏc nguyờn hm ca f(x) trờn K
* Tớnh cht ca nguyờn hm
Tớnh cht 1:




Vớ d :



f ( x)dx ữ ' = f ( x)

v

f '( x)dx = f ( x) + C.

( cos xdx ) ' = (sin x + C)' = cos x
hay (cos x ) ' dx = ( sin x )dx = cos x + C.

Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy

Trang 5


SKKN: Tớch phõn i bin s

hoctoancapba.com

Tớnh cht2:

kf ( x )dx = k f ( x )dx

k: hng s khỏc 0

Tớnh cht 3:

[ f ( x) g( x)] dx = f ( x)dx g( x)dx.
Bng nguyờn hm cỏc hm s s cp





0dx = C

dx =

1
x +1 + C ( 1)
+1

x

x

sin xdx = cos x + C
1

1
dx = ln x + C
x

e dx = e

ax
+ C (a > 0, a 1)
ln a

cos xdx = sin x + C

dx = x + C

x

a x dx =

cos2 x dx = tanx + C
1

sin2 x dx = cot x + C

+C

TCH PHN
nh ngha tớch phõn
Cho f(x) l hm s liờn tc trờn [a; b]. Gi s F(x) l mt nguyờn hm ca f(x) trờn
[a; b]
Hiu s F(b) F(a) c gi l tớch phõn t a n b ca f(x).
b

f ( x)dx = F ( x)

b
a

= F (b) F ( a)

a

TNH CHT CA TCH PHN
I)

Tớnh chaỏt : Giaỷ sửỷ f(x), g(x) lieõn tuùc treõn K; a,b K

Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy

Trang 6


SKKN: Tớch phõn i bin s

hoctoancapba.com

a

1)

f ( x ) dx = 0
a

2)
3)
4)

b

a

a

b

f ( x ) dx = f ( x ) dx
b

b

a

a

kf ( x ) dx = k f ( x )dx
b

b

b

a

a

a

f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx
b

c

b

a

a

c

5) f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx c ( a; b )
b

6) f ( x ) 0, x [ a; b ] f ( x ) dx 0
a

b

b

a

a

7) f ( x ) g ( x ) , x [ a; b] f ( x ) dx g ( x ) dx
b

8) m f ( x ) M, x [ a; b ] m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a )
a

9)
t

t bieỏn thieõn treõn ủoaùn [ a; b ] G ( t ) = f ( x )dx laứ 1 nguyeõn haứm cuỷa f ( t ) vaứ G ( a ) = 0
a

Phng phỏp i bin s
nh lớ 1: Cho hm s f(x) liờn tc trờn [a; b]. Gi s hm s x = (t) cú o hm
liờn tc trờn on [; ] sao cho () = a, () = b v a (t) b vi t [; ].
b

Khi ú:


a



f ( x )dx = f [ (t )] (t )dt


nh lớ 2: Cho hm s f(x) liờn tc trờn [a; b]. Nu hm s u = u(x) cú o hm liờn
tc trờn [a; b] v u(x) vi mi x [a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u(x), g(u)
liờn tc trờn [; ] thỡ:

Ngi vit: Chõu Th Phng Thựy

Trang 7


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com
b

∫

f ( x )dx =

u( b )

∫

g(u)du

u( a )

a

2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản
x2

a) TÍCH PHÂN DẠNG

∫ ( ax + b)

n

dx

x1

* Nhận xét
Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân là y = ( ax + b) , đối với hàm số này
n

không có nguyên hàm trực tiếp, do đó muốn giải được thì ta phải đưa về đa thức
mới lấy nguyên hàm được. Nhưng đưa về đa thức cũng là vấn đề, nếu n là 2 hoặc 3
thì ta áp dụng hằng đẳng thức hoctoancapba.com

( a ± b)

2

= a2 ± 2ab + b2

Hay ( a ± b) = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3
3

1

Ví dụ: Tính tích phân

∫ ( 2x + 1)

2

dx

0

1

Giải:

∫ ( 2x + 1)

2

1

dx =

0

∫(
0

1

Hoặc tính tích phân

1

 4x3

13
4x2 + 4x + 1 dx = 
+ 2x2 + x ÷
=
÷
3
 3
0

∫ ( 2x − 1)

)

3

dx

0

Giải:
2

∫(
0

)

3

2x − 1 dx =

2

∫(

)

(

8x3 − 12x2 + 6x − 1 dx = 2x4 − 4x3 + 3x2 − x

0

)

2
0

= 10

Nhưng xem ra cách này cũng không khả quan lắm vì đa số học sinh không
nhớ được hằng đẳng thức ( a ± b) = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 . Hơn nữa nếu n là số
3

nguyên âm hay hữu tỷ thì cách này không giải được. Để giải quyết dạng bài tập này
tôi đưa ra cách giải khả thi như sau:

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 8


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

x2

∫ ( ax + b)

* Phương pháp giải

n

dx

x1

+ Bước 1: Đặt t = ax + b⇒ dt = adx ⇔

dt
= dx
a

+ Bước 2: Đổi cận: x = x1 ⇒ t = ax1 + b; x = x2 ⇒ t = ax2 + b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
*Nhận xét:
Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức. Chỉ cần
thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ
dàng). Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của
hàm số bậc nhất mà thôi.
* Các ví dụ minh họa:
Tính các tích phân sau:
1

1)

∫(

)

2

4

2x + 1 dx

0

2)

∫(

)

4

3x − 2 3 dx

1

Giải:
1

1)

∫ ( 2x + 1)

4

dx

0

. Đặt t = 2x + 1⇒ dt = 2dx ⇔ dt2 = dx
. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 3
1

. Do đó ta có: ∫ (
0

3

3

dt
t5
242 121
2x + 1 dx = ∫ t
=
=
=
2
10 1
10
5
1

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

)

4

4

Trang 9


SKKN: Tích phân đổi biến số
2

2)

∫(

)

hoctoancapba.com

4

3x − 2 3 dx

1

. Đặt t = 3x − 2 ⇒ dt = dx ⇔ dt3 = dx
. Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 1; x = 12 ⇒ t = 4

2

. Do đó ta có: ∫ (
1

4

4
3

7
3

4
3

4

dt
t
3x − 2 dx = ∫ t
=
3
7
1

)

23 2 − 1
=

7
1

* Phân tích ví dụ
Thật vậy đây là cách giải có nhiều ưu điểm hơn các cách giải khác( đã trình
1
a

bày ở trên). Nhận xét rằng d ( ax + b) = dx nên ta đưa ra các công thức dạng tổng
quát để học sinh có thể áp dụng trực tiếp. Ta có bảng sau

∫ ( ax + b )

α

dx =

1

1
( ax + b) α +1 + C (α ≠ 1)
α +1

1

∫ ( ax + b) dx = a ln ( ax + b)

+C

1 ax + b

e
+C
a

∫

eax + bdx =

∫

amx + ndx =

amx + n
+ C (a > 0, a ≠ 1)
m ln a

1

∫ cos ( ax + b) dx = a sin ( ax + b) + C
1

∫ sin ( ax + b) dx = − a cos ( ax + b) + C
1

1

∫ cos2 ( ax + b) dx = a tanx ( ax + b) + C
1

1

∫ sin2 ( ax + b) dx = − a cot ( ax + b) + C

* Bài toán áp dụng
1

1)

∫ ( 2x + 1)

−2

1

dx

0

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

2)

dx

∫ 3x + 1
0

Trang 10

SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

ln 2

3)

1

2x
∫ e dx

2x
4) ∫ 3 dx

0

0

π
4

π
4

5) cos  2x + π ÷dx
∫
2



0

6) sin  2x − π ÷dx
∫
0

2



Hướng dẫn giải
1

1)

∫ ( 2x + 1)

−2

0

1
dx = − 2x + 1
2

(

)

−1

1

0

1

1

dx
1
= ln 3x + 1
2) ∫
3x + 1 3
0
0
ln 2

ln 2

1
3) ∫ e dx = e2x
2
0
0
2x

1

1

32x
4) ∫ 3 dx =
2 ln 3 0
0
2x

π
4


5) cos  2x + π ÷dx = 1 sin  2x + π ÷
∫
2



0

2

π
4

2 0



π
4

π

4
6) sin  2x − π ÷dx = 1 cos  2x − π ÷
∫0 
2
2
2 0

b

(

)

n

b

(

)

n

k −1
k

2k −1
axk + b dx
b) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ x ax + b dx hoặc ∫ mx
a

a

* Nhận xét
Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể
là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau:
1

(

)

2

Tính tích phân: ∫ x 2x2 + b dx ta giải như sau:
0

1

∫ x ( 2x
0

2

)

2

+ b dx =

1

∫(
0

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

1

 2x6
x2 
4x + 4x + x dx = 
+ x4 +
÷
2 ÷
 3
0
5

3

)

Trang 11

SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

Tuy nhiên nếu k và n lớn hơn thì ta cũng hoctoancapba.com khó thực hiện
được cách giải như trên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này
như sau:
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t = axk + b⇒ dt = kaxk−1dx ⇔

dt
= xk−1dx
ka

k
k
+ Bước 2: Đổi cận: x = x1 ⇒ t = ax 1 + b; x = x2 ⇒ t = ax 2 + b

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
b

(

)

n

2k −1
axk + b dx cách giải cũng tương tự nhưng

**** Chú ý đối với dạng: ∫ mx
a

khi đổi biến nhớ suy ra xk theo t
* Ví dụ minh họa
1

(

)

4

1) Tính tích phân: ∫ x 2x2 − 1 dx
0

Giải:
+ Bước 1: Đặt t = 2x2 − 1 ⇒ dt = 4xdx ⇔

dt
= xdx
4

+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = −1; x = 1 ⇒ t = 1
1

(

)

4

1

2
4
+ Bước 3: ∫ x 2x − 1 dx = ∫ t
0

0

dt
4

1

1

dt t 5
1
=
=
+ Bước 4: ∫ t
4
20 0 20
0
4

1

(

)

3

2) Tính tích phân: ∫ x5 x3 + 2 dx
0

Giải:

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 12


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com
dt

3
2
2
+ Bước 1: Đặt t = x + 2 ⇒ dt = 3x dx ⇔ 3 = x dx

x3 = t − 2

+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x = 1 ⇒ t = 3
3

(

)

3

3
3
2
+ Bước 3: ∫ x x + 2 x dx =
2
3

+ Bước 4:

∫(
2

3

∫ ( t − 2) t
2

3

dt
3
3

3
1
1  t5 t 4 
3 dt
t−2 t
= ∫ t 4 − 2t 3 dt =  − ÷
= .....
3 32
3 5 2 ÷
2

)

(

)

* Phân tích ví dụ
Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài toán dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích
phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ của x lớn hơn số mũ của x bên
ngoài 1 đơn vị) Thì ta nên dùng phương pháp đổi biến số.
* Bài tập áp dụng:
1

(

)

3

2
3
1) ∫ x x + 2 dx
0

1

3)

∫
0

(x

2x2

3

+2

1

(

0

1

)

dx
3

)

3

5
3
2) ∫ x x − 2 dx

4)

∫
0

2x5

( 2x

3

)

+1

4

dx

Hướng dẫn giải:
1

(

)

3

dt
= x2dx
3

(

)

3

dt
= x2dx; x3 = t + 2
3

2
3
1) ∫ x x + 2 dx Đặt t = x3 + 2 ⇒ dt = 3x2dx ⇔
0

1

2) ∫ x5 x3 − 2 dx Đặt t = x3 − 2 ⇒ dt = 3x2dx ⇔
0

1

3)

∫
0

(x

2x2

3

+2

)

3

dx ( gặp bài dạng này không có gì phải băn khoăn mà nên chú ý

rằng ở đây n = - 3 thôi.
HD: Đặt t = x3 + 2 ⇒ dt = 3x2dx ⇔

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

dt

= x2dx ,
3
Trang 13


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com
3

Tích phân trở thành:

2dt

∫ 3t

3

2

1

4)

∫
0

(

2x5

)

2x3 + 1

4

dx Tương tự câu 3)

Đặt t = 2x3 + 1 ⇒ dt = 6x2dx ⇔

dt
= x2dx; x3 = t + 2
6

***** Mở rộng dạng này, nếu lũy thừa của hàm số dưới dấu tích phân thay bằng
căn thì ta cũng giải tương tự cụ thể ta xét các ví dụ sau:
1

∫x

Ví dụ 1: Tính tích phân:

x 2 + 1dx

0

Rõ ràng dấu căn đóng vai trò như lũy thừa (thực ra thì căn là lũy thừa với số
mũ hữu tỷ mà thôi) ta giải ví dụ này như sau:
+ Bước 1: Đặt t = x2 + 1 ⇔ t 2 = x2 + 1 ⇒ 2tdt = 2xdx ⇔ tdt = xdx

+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2
1

2

2

+ Bước 3: ∫ x x + 1dx = ∫ t.tdt = ∫ t 2 dt
2

0

1

1

2

2

t3
8 −1
=
+ Bước 4: ∫ t dt =
31
3
1
2

1

Ví dụ 2: Tính tích phân:

∫x

3

x 2 + 1dx

0

+ Bước 1: Đặt t = x2 + 1 ⇔ t 2 = x2 + 1 ⇒ 2tdt = 2xdx ⇔ tdt = xdx
t 2 = x2 + 1 ⇔ x2 = t 2 − 1

+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = 1 ⇒ t = 2
1

2
2
+ Bước 3: ∫ x x + 1.xdx =
0

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

2

∫ (t
1

2

− 1) t.tdt =

2

∫ (t
1

4

− t 2 ) dt

Trang 14


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com
2

 t5 t3 
+ Bước 4: ∫ ( t − t ) dt =  − ÷ = .......
 5 3 1
1
2

4

2

***** Như vậy khi day học sinh ta cần chú ý cho học sinh rằng dấu hiệu
nhận biết của dạng này là số mũ của x trong dấu căn hay lũy thừa hơn số mũ
của x bên ngoài 1 đơn vị hay kém hơn k – 1 đơn vị.
* Bài tập áp dụng:
1

1

2
2) ∫ x x + 3dx

1) ∫ x 1 − x dx
3

2

0

0

1

1

3) ∫ x 1 − x dx

4) ∫ x

2

0

1

5)

x2

∫

x +1
3

0

2

7) ∫
1

9)

0

1

3
2
6) ∫ x 1 − x dx

dx

1
x x3 + 1

1

0

1

0

∫

x3 + 1

0

dx

1

10) ∫ x x + 1dx
0

3

3

11)

x2

8) ∫

dx

x
dx
2x +1

∫

x 2 + 1dx

3

x x 2 + 1dx

12)

∫x

5

1 + x 2 dx

0

0

Hướng dẫn giải: Đặt t = ....

( ) dx
∫ u ( x)
b

c) TÍCH PHÂN DẠNG

ku' x

a

* Nhận xét
Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu
hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu.
* Phương pháp giải

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 15


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

+ Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx
+ Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b)

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
1

1

2x − 2
dx
1) ∫ 2
0 x − 2x + 3

2)

∫x
0

2

4x − 8
dx
− 4x + 5

Giải:
1

1)

∫x

2

0

2x + 2
dx
+ 2x + 3

2
+ Bước 1: Đặt t = x + 2x + 3 ⇒ dt = ( 2x + 2 ) dx

+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 3; x = 1 ⇒ t = 6
1

6

2x + 2
dt
dx = ∫
+ Bước 3: ∫ 2
t
0 x + 2x + 3
3
6

+ Bước 4:

dt

∫t

3

1

2)

∫x
0

2

6

= lnt = ln 2
3

4x + 8
dx
+ 4x + 5

2
+ Bước 1: Đặt t = x + 4x + 5 ⇒ dt = ( 2x + 4 ) dx

+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 5; x = 1 ⇒ t = 5
1

4x + 8
dx =
+ Bước 3: ∫ 2
x

+
4
x
+
5
0
10

+ Bước 4:

∫
5

10

∫
5

2dt
t

10
2dt
= 2 lnt = 2 ln 2
5
t

**** Đối với dạng bài tập này khi dạy cần chú ý cho học sinh là ta thử
tính đạo hàm của hàm số dưới mẫu rồi so sánh với hàm số trên tử.
Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 16


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

* Bài tập áp dụng:
1

1)

∫x

x +1
dx
+ 2x + 3

2
HD: Đặt t = x + 2x + 3 ⇒ dt = ( 2x + 2 ) dx

2x + 3
dx
2
+ 3x + 5

2
HD: Đặt t = x + 3x + 5 ⇒ dt = ( 2x + 3) dx

2

0

2

2)

∫x
1

0

3)

0

2x − 2

∫

( x + 2)

−1

2

+1

dx HD:

0

2x + 4

∫

( x + 2)

−1

2

+1

dx =

∫x

−1

2

2x + 4
dx
+ 4x + 5

2
Đặt t = x + 4x + 5 ⇒ dt = ( 2x + 4 ) dx
4

4)

4x − 6

∫ ( x − 1) ( x − 2 )

4

4x − 6

∫ ( x − 1) ( x − 2 )

dx HD:

3

4

dx =

3

∫x
3

2

4x − 6
dx

− 3x + 2

2
Đặt t = x − 3x + 2 ⇒ dt = ( 2x − 3) dx

(

2

)

3x2 + 4x
dx HD: Đặt t = x3 + 2x2 − 1 ⇒ dt = 3x2 + 4x dx
5) ∫ 3
2
1 x + 2x − 1

6)

∫
0

(

4x x2 − 2

1

(x

2

−2

)

2

)

+1

1

dx HD:

∫
0

(

4x x2 − 2

(x

2

−2

)

2

)

+1

dx =

1

4x3 − 8x
∫0 x4 − 4x2 + 5 dx

(

)

4
2
3
Đặt t = x − 4x + 5 ⇒ dt = 4x − 8x dx
1

7)

∫x
0

2x − 1

dx
−x+3

2

π
4

10) ∫ cot gxdx
π
6

2
HD: Đặt t = x − x + 3 ⇒ dt = ( 2x − 1) dx

π
4

π
4

π
6

π
6

HD: ∫ cot xdx = ∫

cos x

dx
sin x

Đặt t = sin x ⇒ dt = cosxdx
π
2

11) ∫ sin x dx
1 + 3cosx
0

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

HD: Đặt t = 1 + 3cosx ⇒ dt = −3 sin xdx

Trang 17


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

π
4

π
4

12) 1 + sin2 2xdx

∫
0

HD: 1 + sin 2xdx =

∫

cos x

0

cos x
2

π
4

1

∫ cos
0

π
4

2

x

sin 2x

dx = I1 + I 2
2
0 cos x

dx + ∫

I1 : tính trực tiếp
I2 : Đặt t = cos2 x ⇒ dt = − sin 2xdx

b

d) TÍCH PHÂN DẠNG

∫

(

f ln x
x

a

) dx

* Nhận xét
Dấu hiệu nhận biết của dạng này là hàm số dưới dấu tích phân có
chứa ln x và

1
. Ta có phương pháp giải như sau:

x

* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t = ln x ⇒ dt =

dx
x

+ Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = lna; x = b ⇒ t = lnb
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
e

Tính tích phân:

1 + 2 ln x
dx
x
1

∫

Giải
+ Bước 1: Đặt t = ln x ⇒ dt =

dx
x

+ Bước 2: Đổi cận: x = 1 ⇒ t = 0; x = e ⇒ t = 1

e

1

1 + 2 ln x
dx = ∫ ( 1 + 2t ) dt
+ Bước 3: ∫
x
1
0
1

+ Bước 4:

2
∫ ( 1 + 2t ) dt = ( t + t ) 0 = 2
1

0

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 18


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

* Bài tập áp dụng:

e

1)

∫
1

e

2) ∫
1

1 + 3 ln x ln x
dx HD: Đặt t = ln x
x
1 + ln x
dx
x

HD: Đặt t = 1 + ln x

e

sin(ln x)
dx
x
1

3) ∫

HD: Đặt t = ln x

e 2ln x +1
dx
4) ∫
x
1

HD: Đặt t = 2 ln x + 1

e

e2

1 + ln 2 x
dx
5) ∫
x ln x
e

HD: Đặt t = 1 + ln 2 x

e

1 + ln 2 x
dx
6) ∫
x
1

HD: Đặt t = 1 + ln 2 x

b

u( x )
e) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ e .u' ( x ) dx
a

* Phương pháp giải
u( x )
u( x )
+ Bước 1: Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u' ( x ) dx hay t = e ⇒ dt = u' ( x ) .e dx

+ Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = u ( a ) ; x = b ⇒ t = u ( b) hay
( )

ua

x =a⇒t =e

( )

ub

; x = b⇒ t =e

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 19


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

* Ví dụ minh họa
Tính các tích phân:
1

1

x
1) ∫ e xdx

x +1
2) ∫ e xdx

2

0

2

0

Giải
1

1) ∫ ex xdx
2

0

+ Bước 1: Đặt t = x2 ⇒ dt = 2xdx ⇔

dt
= xdx
2

+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = 1 hay
1

1

x
t
∫ e xdx = ∫ e

+ Bước 3:

2

0

0

1

dt 1 t
= e
+ Bước 4: ∫ e
2
2
0

dt
2

1

=

t

0

e−1
2

* Bài tập áp dụng:

2

2x +1
1) ∫ e xdx
2

HD: Đặt t = 2 x 2 + 1

1

2

2) ∫ ex − 2x+1 ( x − 1) dx
2

HD: Đặt t = x 2 − 2 x + 1

1

4

3)

∫
1

ex
x

dx

HD: Đặt t = x

π
2

HD: Đặt t = sin x

4) esinx cosxdx
∫
0

π
4

(

)

5) etanx 1 + tan2 x dx
∫
0

π
2

6) esin x sin 2xdx
∫
2

HD: Đặt t = tan x

HD: Đặt t = sin 2 x

0

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 20


SKKN: Tích phân đổi biến số
π
2

hoctoancapba.com

7) ecos xsin2xdx
∫
2

HD: Đặt t = cos 2 x

0

π
2

sin x
8) ∫ e cosxdx

HD: Đặt t = sin x

π
4
π

2

cosx
9) ∫ e sin xdx

HD: Đặt t = cos x

π
4

1

x +2
10) ∫ e xdx
2

HD: Đặt t = x 2 + 2

0

b

f) TÍCH PHÂN DẠNG ∫ sinn xcosm xdx
a

* Nhận xét
* Nếu n, m ∈ N và cùng lẻ thì đặt t = sinx hoặc t = cosx
* Nếu n, m ∈ N và có số chẵn, lẻ thì đặt t = HSLG có số mũ chẵn (không
có xem như mũ chẵn)
* Nếu n, m ∈ N và cùng chẵn thì áp dụng công thức hạ bậc

* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx hay t = cosx ⇒ dt = − sinxdx
+ Bước 2: Đổi cận: x = a ⇒ t = sina; x = b ⇒ t = sinb hay
x = a ⇒ t = cosa; x = b ⇒ t = cosb

+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t hoctoancapba.com
* Ví dụ minh họa
Tính các tích phân sau:

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 21


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

π
2

π
2

2) ∫ sin 3 xcos 2 xdx

1) ∫ sin 3 xcos3 xdx
0

0

Giải:
π
2

1) ∫ sin 3 xcos3 xdx
0

+ Bước 1: Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
π
⇒t =1
2

+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x =
+ Bước 3:

π
2

∫ sin

1

xcos xdx = ∫ t 3 ( 1 − t 2 ) dt

3

3

0

0

1

 t 4 t6 
1
+ Bước 4: ∫ t ( 1 − t ) dt = ∫ ( t − t ) dt =  − ÷ =
 4 6  0 12
0
0
1

1

3

2

3

5

π
2

2) ∫ sin 3 xcos 2 xdx
0

+ Bước 1: Đặt t = cosx ⇒ dt = − sinxdx
+ Bước 2: Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x =
+ Bước 3:

π
⇒t =0
2

π
2

0

1

0

1

0

3
2
2
2
2
2
∫ sin xcos xdx = ∫ ( 1 − t ) t ( −dt ) = ∫ ( 1 − t ) t dt
1

 t3 t5 
1
−
t
t
dt
=
t
−
t
dt
=
+ Bước 4: ∫ (
)
(
)  3 − 5 ÷ = 152
∫

0
0
0
1

1

2

2

2

4

* Bài tập áp dụng:
π
2

2
3
1) ∫ sin xcos xdx

π
3

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

HD: Đặt t = sinx

Trang 22


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

π
4

2) ∫ tan xdx

HD: Đặt t = cosx

0

π
2

3) ∫ cos3 x sin2 xdx

HD: Đặt t = sinx

0

π
2

4) ∫ cos5 xdx

HD: Đặt t = sinx

0

π
2

5) ∫ sin 2x(1 + sin2 x)3dx

HD: Đặt t = 1 + sin 2 x

0

π
2

6)

∫ ( sin

4

)

HD: Đặt t = sinx

x + 1 cos xdx

0

β

g) TÍCH PHÂN DẠNG

∫
α

a − x2 dx

Đây là loại tích phân có phương pháp đổi biến giải ngược so với các
cách đổi biến đã trình bày ở trên. Cụ thể ta xét ví dụ:
1

Tính tích phân :

∫

1 − x2 dx

0

Giải: + Đặt : x = sint ⇒ dx = costdt
+ Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =

+

1

∫

1 − x2 dx =

0

π
2

+

∫

π

2

∫

π
2

1 − sin2 t costdt

0

1 − sin 2 t costdt =

0

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

π
2

∫ cost costdt
0

Trang 23


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com
π

2

π

2 π
1
1
= ∫ cos2 tdt =  x + sin 2x ÷ =
2
2
4
0
0

Như vậy ngoài cách đổi biến số thông thường ta còn có một cách khác để
giải quyết bài tóan tích phân bằng phương pháp đổi biến số như trên.
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt x = f ( t ) ⇒ dx = f ' ( t ) dt
+ Bước 2: Đổi cận: x = α ⇒ α = f ( t ) ; x = β ⇒ β = f ( t ) hay
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
Những dạng thường gặp:
+ Gặp biểu thức a2 − x2

Đặt : x = a sint

hay x = a cost

+ Gặp biểu thức a2 + x2

Đặt : x = a tant

hay x = a cot t

+ Gặp biểu thức x2 − a2

Đặt : x =

a

hay x =

cost

a
sint

Ví dụ:
1

Tính tích phân

dx

∫1+ x

2

0

Giải:
+ Bước 1: Đặt : x = tant ⇒ dx =

(

)

dt
= 1 + tan2 t dt
2
cos t

+ Bước 2: Đổi cận :
x = 0 ⇒ 0 = tant ⇔ t = 0
π
x = 1 ⇒ 1 = tant ⇔ t =
4

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

Trang 24


SKKN: Tích phân đổi biến số

hoctoancapba.com

1

dx

+ Bước 3:
∫0 1 + x2 =

+ Bước 4:

π
4

∫

π
4

∫

( 1 + tan t ) dx

0

2

1 + tan 2 t

( 1 + tan t ) dx =

0

2

1 + tan t

2

π
4

π

∫ dx = 4
0

Bài tập tương tự:
3

1)

dx

∫ 1+ x

HD: đặt x = tant

2

1

3
3

2)

dx

1
3

∫1 1 + 9x2

HD: đặt x = tant

3
3 3
2

3)

∫3

dx
9 + 4x2

HD: đặt x =

3
tant
2

2

4)

3 −3
2

∫
−1

dx
4x 2 + 12x + 10

HD: đặt 2x + 3 = tant

2.4 Hiệu quả của SKKN
Với tinh thần thực hiện theo sáng kiến kinh nghiệm trên trong năm qua đạt
được những kết quả như sau: hoctoancapba.com
Với học sinh, cụ thể là lớp phụ trách 12A4 năm học 2010 - 2011
Tỷ lệ chung cuối năm
Tổng số
Giỏi
Tỷ lệ
Khá
Tỷ lệ
Trung Bình Tỷ lệ
38
7
24,5%
21
50,1%
10
24,5%
Năm học 2011 – 2012: kết quả kiểm tra chương tích phân ( chỉ kiểm tra bài 1

và 2) như sau:
Điểm
12A4
12A8

0 đến 3
2
2

3.5 đến 4.5
5
2

Người viết: Châu Thị Phương Thùy

5 đến 6.5
23
9

7 đến 8
7
20

Trên 8
3
9

Trang 25