Chương 6: Trạng thái chuyển động và tổn thất năng lượng của dòng chảy

Cơ học chất lỏng
130
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chương 6

TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG VÀ TỔN THẤT
NĂNG LƯỢNG DÒNG CHẢY

A. TRẠNG THÁI CHUYỂN ĐỘNG
I. Thí nghiệm của Reynolds
Thiết bị thí nghiệm gồm có thùng A có hai ngăn được dùng để chứa
nước và duy trì độ sâu của nước luôn không đổi trong suốt quá trình thí
nghiệm. Ống thủy tinh T có đường kính không đổi gắn vào thùng A. T có
miệng loe ra để cho nước chảy vào thuận dòng. Cuối ống T có gắn khoá K 1
để điều chỉnh lưu lượng trong ống. Thùng B được dùng để đo lưu lượng
nước. Phía trên bình A là bình C chứa nước màu có γnướcmàu = γnước . C nối
với A bởi một đường ống có gắn khoá K2.

Hình 6.1 Thí nghiệm Reynolds

Mở khóa K1 bé để dòng chảy trong ống có vận tốc nhỏ. Khi dòng chảy
ổn định ta mở khóa K2 cho nước màu chảy vào ống. Quan sát ống thủy tinh
T ta thấy một vệt màu căng thẳng như sợi chỉ dọc theo ống. Điều này
chứng tỏ nước và nước màu không hòa trộn với nhau, nếu tiếp tục mở khóa
K1 thì hiện tượng trên vẫn tồn tại trong một khoảng thời gian nữa. Khi mở
khóa K1 đến một giới hạn nhất định thì vệt màu bắt đầu dao động dạng hình
sóng. Tiếp tục mở khóa K1 thì vệt màu đứt đoạn và cuối cùng trộn đều vào
dòng nước không màu.
Dựa vào các hiện tượng trên, Reynolds đã đưa ra các kết luận sau:

130


Cơ học chất lỏng
131
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Trạng thái chảy mà trong đó các phần tử chất lỏng chuyển động thành
từng lớp riêng lẻ không xáo trộn vào nhau gọi là trạng thái chảy tầng.
- Trạng thái chảy mà trong đó các phần tử chất lỏng chuyển động hỗn
loạn, trộn lẫn vào nhau gọi là trạng thái chảy rối.
- Nếu làm thí nghiệm theo chiều ngược lại thì dòng chảy sẽ chuyển từ
chảy rối qua chảy tầng.
- Trạng thái chảy quá độ từ tầng sang rối hoặc rối sang tầng gọi là trạng
thái chảy phân giới.
t

Ở trạng thái chảy tầng, nếu tăng dần tốc độ dòng chảy thì ở vận tốc V fg
sẽ hình thành quá trình chuyển trạng thái chảy từ chảy tầng sang chảy rối.
t
Vận tốc V fg được gọi là vận tốc phân giới trên.
Thực hiện ngược lại, ở trạng thái chảy rối, nếu giảm dần tốc độ dòng
d
giá trị vận tốc V fg sẽ hình thành quá trình chuyển trạng thái chảy từ chảy
d

rối sang chảy tầng. Vận tốc V fg được gọi là vận tốc phân giới dưới.

Hình 6.2 Các trạng thái chảy của chất lỏng

Thực nghiệm cho thấy các giá trị phân giới phụ thuộc vào lọai chất lỏng
t
d
cũng như phụ thuộc vào đường kíng ống dẫn, tuy nhiên V fg > V fg cho mọi
chất lỏng và mọi loại ống.
II. Tiêu chuẩn phân biệt trạng thái chảy
Để phân biệt trạng thái chảy của dòng lưu chất Reynolds đã đưa ra đại
lượng không thứ nguyên Re , được gọi là hệ số Reynolds:
Re =

Vd
ν

trong đó:
V là vận tốc trung bình của lưu chất (m/s);
D là đường kính ống dẫn lưu chất (m);
ν là hệ số nhớt động học của lưu chất (m2/s).

131


Cơ học chất lỏng
132
--------------------------------------------------------------------------------------------------------d
t
Nếu ta gọi V fg và V fg là vận tốc phân giới trên và vận tốc phân giới
dưới thì các giá trị Re ứng với các vận tốc này cũng được gọi là trị số
Reynolds phân giới trên và phân giới dưới, được xác định như sau:
V fgt .d
t

Re fg =
ν
V fgd .d
d
Re fg =
ν
Thí nghiệm cho thấy rằng:
d
- Khi Re < Re fg chất lỏng chuyển động ở trạng thái chảy tầng;
t
- Khi Re > Re fg chất lỏng chuyển động ở trạng thái chảy rối;
d
t
- Khi Re fg < Re < Re fg chất lỏng chảy ở trạng thái chảy quá độ (có thể
là chảy tầng hoặc chảy rối);
t
- Giá trị Re fg thường dao động trong khoảng 12.000-50.000. Ngược lại,

Redfg luôn ổn định: Redfg = 2320 cho mọi loại chất lỏng và không phụ
thuộc vào đường kính ống dẫn.
d
Vì Re fg luôn ổn định, do đó người ta dùng hệ số Reynolds phân giới
d
dưới Re fg làm tiêu chuẩn để phân biệt trạng thái chảy:

Khi Re<2320 dòng chất lỏng chuyển động ở trạng thái chảy tầng;
Khi Re>2320 dòng chất lỏng chuyển động ở trạng thái chảy rối.
Khi dòng chất lỏng chuyển động trong kênh thì trị số Reynolds được
xác định như sau:
VR

Re =
ν
trong đó R là bán kính thủy lực.
B. TỔN THẤT NĂNG LƯỢNG DÒNG CHẢY
I. Phân loại tổn thất năng lượng
Dòng chất lỏng thực chuyển động bao giờ cũng sinh ra tổn thất năng
lượng. Trong phương trình Bernoulli, đại lượng hw phản ánh tổn thất năng
lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng thực khi chuyển động từ mặt
cắt này tới mặt cắt khác. Có rất nhiều yếu tố ảnh hưởng tới hw :

132


Cơ học chất lỏng
133
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Lực ma sát nhớt gây ra trong nội bộ dòng chảy hoặc giữa dòng lưu
chất và thành rắn của ống hoặc kênh.
- Sự thay đổi tiết diện dòng chảy hoặc thay đổi hướng chuyển động của
dòng chảy một cách đột ngột.
- Sự thay đổi trạng thái của dòng chảy.
Nếu dựa vào nguyên nhân phát sinh tổn thất, có thể chia tổn thất năng
lượng thành hai loại: tổn thất năng lượng dọc đường (hd) và tổn thất năng
lượng cục bộ (hc).
n

m

i =1

j =1

hw = ∑ hdi + ∑ hcj
n

∑h
i =1

di

(6.1)

: tổng các tổn thất năng lượng dọc đường trên cả chiều dài đang

xét.
m

∑h
j =1

cj

: tổng tổn thất năng lượng cục bộ trên đoạn dòng chảy đang xét.

1. Tổn thất dọc đường hd
Tổn thất dọc đường sinh ra do sự xuất hiện lực nội ma sát (ứng suất
tiếp) khi có sự chuyển động tương đối giữa các lớp chất lỏng với nhau hoặc
giữa dòng lưu chất và thành rắn trên toàn bộ chiều dài dòng chảy.
Thực nghiệm cho thấy hd phụ thuộc vào trạng thái chảy.

Thí nghiệm trên một ống tròn có đường kính d không đổi được đặt
nằm ngang. Lấy một đoạn ống dài l giới hạn bởi hai mặt cắt (1-1) và ( 2-2).
Lấy mặt chuẩn trùng với trục ống. Viết phương trình Bernoulli cho đoạn
dòng chảy giữa hai mặt cắt (1-1) và (2-2):
p1 α1V12
p2 α 2V22
z1 + +
= z2 +
+
+ hw
γ
2g
γ
2g
ở đây, z1 = z2 = 0; v1= v2; α1 = α2, hw = hd, do đó :
hd =

p1 − p2
,
γ

tức là cột nước tổn thất hd được đo bằng độ lệch của hai ống đo áp, thí
nghiệm với nhiều cấp lưu lượng Qi khác nhau ta được nhiều cặp Vi và hdi
tương ứng được biểu diễn trên hình 6.3.
Đường OABCD biểu diễn quan hệ hd – V trong quá trình chuyển từ
chảy tầng sang chảy rối. Đường DCAO biểu diễn quan hệ ngược lại: từ rối
sang tầng.

133

Cơ học chất lỏng
134
--------------------------------------------------------------------------------------------------------d
- Khi V < V fg dòng chảy ở trạng thái chảy tầng. Đoạn tuyến tính OA
biểu diễn hai quá trình chuyển đổi ngược nhau: quá trình chuyển từ chảy
tầng sang chảy rối và ngược lại, quá trình chuyển từ chảy rối sang chảy
tầng.

Hình 6.3 Thí nghiệm xây dựng đặc tính hd – V

Ở trạng thái chảy tầng ứng với đoạn OA, hd tỷ lệ bậc nhất với vận tốc:
hd = K1V
K1 là hệ số tỷ lệ.
t
- Khi V > V fg dòng chảy ở trạng thái chảy rối. Đoạn cong bậc m,

1 < m < 2 , CD, biểu diễn hai quá trình trùng nhau: chuyển từ chảy tầng sang
chảy rối và ngược lại, chuyển từ chảy rối sang chảy tầng. Trên đoạn này:
hd = K 2 .V m
K2 là hệ số tỷ lệ.
d
t
- Khi V fg ≤ V ≤ V fg đường biểu diễn hai quá trình không trùng nhau.
Với quá trình chuyển từ chảy tầng sang chảy rối, trong giới hạn này vẫn là
chảy tầng, được biểu diễn bởi đoạn thẳng AB có hd tỷ lệ bậc nhất với vận
t
tốc V và có cùng độ dốc với độ dốc của đoạn OA. Khi V > V fg , quan hệ trên
đột ngột chuyển sang quan hệ bậc m, 1 < m < 2 . Trong quá trình ngược lại,
dòng chảy chuyển từ trạng thái chảy rối sang chảy tầng, cũng trong giới

hạn trên nhưng dòng chảy lại ở trạng thái chảy rối. Đường cong CA biểu
diễn quá trình này có phương trình dạng:

hd = K 2 .V n

trong đó 1 < n < 2 nhưng n
134


Cơ học chất lỏng
135
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Quá trình AB không bền vững nên trong thực tế ở khu vực này cả hai
qua trình hd tỷ lệ bậc n<2 với vận tốc V.
2. Tổn thất cục bộ hc
Tổn thất cục bộ sinh ra ở những nơi cá biệt, ở đó dòng chảy bị thay đổi
đột ngột, chẳng hạn dòng chảy bị biến dạng đột ngột như ống mở rộng hoặc
thu hẹp đột ngột, ống dẫn bị uốn cong, chuyển hướng đột ngột, ống phân
nhánh, nơi có các vật cản như van, khóa...
II. Tổn thất dọc đường
1. Dòng chất lỏng chảy đều
a. Xây dựng phương trình
Đối với dòng chảy đều, tổn thất năng lượng chỉ là tổn thất dọc đường.
Trong phần này chúng ta đi tìm mối quan hệ giữa tổn thất dọc đường hd
với lực ma sát trong dòng chảy đều.
Xét một đoạn ống dẫn chất lỏng chảy đều dài l giới hạn bởi hai mặt
cắt 1-1 và 2-2 như hình 6.4.
Gọi ω là diện tích mặt cắt ướt trong dòng chảy đều, ω = const dọc

theo dòng chảy. Áp dụng phương trình Bernoulli cho đoạn dòng chảy (1-1)
và (2-2), lấy mặt chuẩn 0-0. Ở đây tổn thất hw chỉ có hd, như vậy ta có:
p1 α1V12
p2 α 2V22
z1 + +
= z2 +
+
+ hd
γ
2g
γ
2g
Dòng chảy đều nên V1 = V2 ;α1 = α 2 , phương trình trên trở thành:

p1  
p2 
 z1 + γ ÷−  z2 + γ ÷ = hd

 


(6.2)

p1 , p2 : áp suất của dòng chất lỏng tại mặt cắt 1-1 và 2-2;
z1, z2: cao độ từ mặt chuẩn chọn trước đến mặt cắt 1-1 va 2-2.
Ngoại lực tác dụng lên khốir chất rlỏng của đoạn dòng chảy gồm: trọng
r
r
lực G , lực ma sát F , áp lực P1 và P2 tại các mặt cắt ướt 1-1 và 2-2, và
r

phản lực N của thành ống vào khối lưu chất giữa hai mặt cắt này.
Xem khối chất lỏng chảy đều trong ống được giới hạn bởi các mặt cắt
1-1 và 2-2 như là một tập hợp các chất điểm chuyển động đều. Áp dụng
nguyên lý D’Alamber cho cơ hệ này ta có:

135


Cơ học chất lỏng
136
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hình 6.4 Khảo sát dòng chất lỏng thực chảy đều trong ống tròn.

ur ur ur uur uur r
G + F + P1 + P2 + N = 0 ,

(6.3)

Trong (6.3) có thể phân ra thànhr hai nhóm lực:
- Lực khối: chỉ là trọng lực G của khối chất lỏng chuyển động đều
trong ống, không có quán tính. Độ lớn:
G = ωγl
Thành phần hình chiếu của

r
G

lên phương của trục dòng chảy có độ

lớn:
G’ = ωγlcosθ
- Lực mặt gồm:
r
r
o Áp lực của chất lỏng P1 và P2 tại các mặt cắt 1-1 và 2-2 tác dụng
vào khối chất lỏng nằm giữa hai mặt cắt này. Độ lớn:
P1 = p1ω
P2 = p2ω
trong
đó
r
r p1, p2 là áp suất thủy động trung bình tại hai mặt cắt ướt đang xét.
P1 và P2 song song với trục dòng chảy và hướng vào đoạn dòng chảy giữa
1-1 và 2-2.
r
o Tổng áp lực thủy động N tác dụng lên mặt xung quanh của khối
r
chất lỏng đang xét. N vuông góc với trục dòng chảy nên thành phần hình
chiếu lên phương chuyển động bằng không.

136


Cơ học chất lỏng
137
--------------------------------------------------------------------------------------------------------r
o Lực ma sát F : Ứng suất tiếp đơn vị τ0 biểu thị lực ma sát trên

một đơn vị diện tích của mặt thành ống hoặc kênh, τ0 có chiều ngược với

chiều dòng chảy.
Gọi χ là chu vi ướt, độ lớn của lực ma sát được xác
định như sau:
F = τ 0χl
Chiếu (6.3) lên phương chuyển động, ta có:

ωlγ cosθ − τ 0 χ l + p1ω − p2ω = 0
z1 − z2
nên suy ra:
l
z −z
p1ω − p2ω − τ 0 χ l + γωl. 1 2 = 0
l

Mặt khác, vì cosθ =

Hay


p1  
p2 
z
+
−
z
+
1
2



γ ÷
γ ÷

 
 = τ0 1
l
γ R

trong đó, R =

(6.4)

ω
là bán kính thuỷ lực.
χ

Từ (6.2) và (6.4) suy ra:

τ0 =

Rγ hd
l

Trong dòng chảy đều tổn thất cột nước chỉ là tổn thất dọc đường hd, do
đó nếu gọi J là tổn thất dọc đường tính cho một đơn vị chiều dài ống dẫn:
J=

hd hw
= ,
l

l

thì ta có:

τ 0 = Rγ J
b. Trạng thái chảy tầng trong ống tròn
b1. Sự phân bố ứng suất tiếp τ:
Xét dòng chảy tầng trong ống tròn thẳng bán kính r0 .

137

(6.5)


Cơ học chất lỏng
138
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hình 6.5 Biểu đồ ứng suất tiếp

ω π r02 r0
= vào (6.5), ta được:
Thay bán kính thuỷ lực R = =
χ π 2r0 2
τ0 = γ J

r0
2

Ứng suất tiếp tại lớp r < r0 sẽ là:

τ =γJ

r
2

(6.6)

Do đó:

τ =τ0

r
r0

(6.7)

Phương trình (6.7) cho ta quy luật phân bố ứng suất tiếp trong dòng
chảy tầng. Nếu r = 0 (tức ở tâm ống) thì τ = 0, nếu r = r0 thì τ=τ0.
Với kênh hở thì τ=τ0 ở đáy và τ = 0 ở mặt thoáng.
b2. Sự phân bố lưu tốc dòng chảy tầng trong ống:
Áp dụng công thức tính ứng suất tiếp τ của Newton cho dòng chảy
tầng trong ống ta được:
du
dr
τ = − µ ⇒ du = −τ
dr
µ
Dấu (-) do sự biến thiên ngược chiều nhau giữa u và r. Mặt khác, theo (6.6)
r

ta có τ = γ J , do đó:
2

138


Cơ học chất lỏng
139
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

du = −

γJ
rdr
2µ

⇒u =−

γJ
rdr
2µ ∫

⇔u=−

γJ 2
r +C
4µ

Khi r = r0 → u = 0 , suy ra C =
u=

γJ 2 2
( r0 − r )
4µ

γJ 2
r0 . Do đó:
4µ

Ở đây, r là khoảng cách từ tâm ống đến lớp chất lỏng đang xét;
u là lưu tốc lớp chất lỏng cách đường tâm một khỏang r.
Biểu đồ phân bố vận tốc u = f (r ) được thể hiện trên hình 6.6.

Hình 6.6 Biểu đồ vận tốc của chất lỏng chảy tầng trong ống tròn.

Tại lớp biên: r= r0 thì u = 0; tại tâm ống: r = 0 thì u = umax
umax =

γJ 2
r0
4µ

(6.8)

Như vậy ta có phương trình biểu diễn sự thay đổi lưu tốc trong ống:
  r 2 
u = umax  1 −  ÷ ÷
  r0  ÷



(6.9)

Ta có thể đi tìm mối quan hệ giữa lưu tốc umax và vận tốc trung bình mặt
cắt như sau:
r0

udω ∫ u 2π rdr 2∫ urdr
Q ω∫
V= =
=ω
= 0 2
2
2
ω
π r0
π r0
r0

139


Cơ học chất lỏng
140
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kết hợp với (7.9):
  r 2 
2∫ umax 1 −  ÷ ÷rdr
  r0  ÷

0


V=
2
r0
Do đó:
r0

1
γJ 2
V = umax =
r0
2
8µ
πγ Jr04
Q = Vω =
8µ

(6.10)
(6.11)

b3. Tổn thất dọc đường dòng chảy tầng trong ống tròn:
Từ (6.10) suy ra:
J=

32µ
V
γd2

Mặt khác hd = Jl , do đó:
32µ
γd2
32ν
hd = lV
gd 2
hd = lV

trong đó ν =

(6.12)

µ µg
=
là hệ số nhớt động học của chất lỏng trong ống.
ρ γ

Như vậy với đoạn ống cho trước có đường kính không thay đổi, chất
lỏng ở nhiệt độ không thay đổi (ν = const ) thì tổn thất dọc đường tỷ lệ bậc
nhất với vận tốc trung bình.
Từ (6.12) ta có:
32ν 64 l V 2
hd = lV
=
. .
gd 2 Vd d 2 g
ν
2
64 l V
hd =

. .
Re d 2 g
Đặt

140


Cơ học chất lỏng
141
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

64
Re

(6.13)

l V2
hd = λ
d 2g

(6.14)

λ=
ta sẽ có:

Nếu viết theo bán kính thuỷ lực R = d / 4 thì:
l V2
hd = λ
4R 2g

(6.15)

λ là hệ số không thứ nguyên phụ thuộc vào trạng thái chảy của chất lỏng,

được gọi là hệ số ma sát.
Công thức (6.14) được gọi là công thức Darcy (do Darcy tìm ra vào
năm 1856), được sử dụng để tính tổn thất dọc đường của dòng chảy tầng
trong ống tròn.
b4. Hệ số điều chỉnh động năng và động lượng:
Trong phương trình Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực
chuyển động ổn định ta, hệ số điều chỉnh động năng được tính:

∫ u dω
3

α=ω

(6.16)

V ω
3

Thay u và V từ các biểu thức trên ta được α =2.
Tương tự ta tính được hệ số điều chỉnh động lượng:
u dω 4
β=∫
=
2

V ω

2

3

(6.17)

3. Chảy rối trong ống tròn
a. Sự quá độ từ chảy tầng sang chảy rối
d
Khi trị số Re > Re fg = 2320 thì dòng chảy bắt đầu chuyền từ chảy
tầng sang chảy rối. Quá trình chuyển từ chảy tầng sang chảy rối là quá trình
hình thành, phát triển và di chuyển các xoáy từ tầng này sang tầng khác.

Những yếu tố sau đây ảnh hưởng đến sự hình thành các xoáy:

141


Cơ học chất lỏng
142
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Gradient lưu tốc

du
dy

du
= 0, nghĩa là lưu tốc ở các lớp bằng nhau nên không tạo ra các
dy

tâm xoáy.
du
Khi
tăng lên thì sự chênh lệch lưu tốc giữa các lớp cũng tăng theo
dy
và do đó dẫn đến sự hình thành các tâm xoáy là cơ sở tạo ra các xoáy.
- Khối lượng đơn vị của chất lỏng và độ nhớt của chất lỏng: Khi
chất lỏng bắt đầu xáo trộn, nếu khối lượng riêng càng lớn thì càng dễ hình
thành xoáy do chúng dễ di chuyển từ lớp này qua lớp khác. Còn đối với
tính nhớt thì vừa là nguyên nhân tạo ra xoáy vừa làm cản trở phát triển của
xoáy.
- Sự kích động từ bên ngoài: Sự kích động này làm cho các đường
dòng bị lay động, tạo ra các lớp chất lỏng lượn sóng (hình 6.7), là nguyên
nhân tạo ra các tâm xoáy: Tại vị trí 1 và 3 đường dòng gần nhau nên lưu
tốc tăng lên và áp suất
Khi

Hình 6.17 Sự tạo thành và phát triển các điểm xoáy

giảm xuống. Tại vị trí 2 và 4 các đường dòng xa nhau hơn do đó lưu tốc
giảm, áp suất tăng lên làm xuất hiện ngẫu lực thúc đẩy sự tạo thành và phát
triển các điểm xoáy (1) và (2). Điều này giải thích rõ vì sao bước quá độ từ
chảy tầng sang chảy rối lại thay đổi tuỳ thuộc vào mức độ yên tĩnh của
dòng chảy.
b. Phân bố vận tốc trong dòng chảy rối
b1. Lớp mỏng chảy tầng:
Khi số Reynolds càng lớn thì sự xáo trộn trong dòng chảy càng lớn.
Tuy nhiên mức độ xáo trộn này phân bố không đồng đều trên toàn dòng
chảy. Trong dòng chảy rối vẫn tồn tại một lớp biên mỏng δ t chảy tầng ở sát
thành ống, ở đó các phần tử chất lỏng chuyển động theo từng lớp trong

vùng lớp biên. Tiếp giáp với lớp biên chảy tầng này là lõi chảy rối.

142


Cơ học chất lỏng
143
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Độ dày lớp biên chảy tầng δ t rất nhỏ và phụ thuộc vào Re cũng như
phụ thuộc vào độ nhám tương đối của bề mặt bên trong của đường dẫn. Trị
Re của dòng chảy càng lớn thì δ t càng nhỏ. Giá trị của lớp biên này có thể
tính theo công thức thực nghiệm sau:

δt =

32,8d
Re λ

(6.18)

trong đó:
λ là hệ số cản thủy lực. Cách tính λ được trình bày trong mục 3.3;
d là đường kính trong của ống.
b2. Thành trơn và thành nhám thủy lực:
Đường dẫn chất lỏng cho dù gia công chính xác thì mặt trong vẫn tồn
tại những mố mấp mô, gồ ghề. Lớp nhám này ảnh hưởng rất phức tạp tới
dòng chảy. Gọi ∆ là độ cao trung bình của lớp mấp mô, hay còn gọi là độ
∆
nhám tuyệt đối. Tỷ số ∆ =

được gọi là độ nhám tương đối, trong đó r0
r0
là bán kính trong của ống.
Hình dáng, kích thước và sự phân bố các mố nhám ảnh hưởng tới trạng
thái chảy và tổn thất năng lượng dọc đường hd của dòng chảy:
- Nếu lớp mỏng chảy tầng hòan tòan che kín lớp nhám, tức là δ t > ∆ ,
thì dòng rối không tác động qua lại trực tiếp với mặt nhám mà tựa trên lớp
chảy tầng. Trường hợp này thành ống được gọi là thành trơn thủy lực.
- Nếu ngược lại, δ t ≤ ∆ , thì các mố nhám ảnh hưởng trực tiếp tới các
lõi rối. Trường hợp này thành ống được gọi là thành nhám thủy lực.
b3. Phân bố vận tốc của dòng rối trong ống trụ tròn:
Việc nghiên cứu dòng chảy rối rất phức tạp. Thông thường để nghiên
cứu các đại lượng đặc trưng cho dòng chảy rối người ta sử dụng vận tốc
trung bình thời gian u và vận tốc trung bình mặt cắt V (hay còn được gọi
là vận tốc trung bình).
Mẫu dòng chảy Buxinescơ về dòng chảy trung bình thời gian:
r
Xét dòng chảy rối có vận tốc thực là u . Thành phần vận tốc tức thời
dọc theo trục ống của tại điểm M cho trước là u x luôn luôn thay đổi theo
thời gian với quy luật phức tạp. Xét vận tốc trung bình u x của

143

ux

sau một


Cơ học chất lỏng
144

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

khoảng thời gian T. Nếu u x là một giá trị xác định thì u x được gọi là vận
tốc trung bình thời gian của vận tốc dòng chảy:
T

1
u x = ∫ u x dt
T0

(6.19)

Khi đó, vận tốc tức thời u x sẽ giao động quanh giá trị trung bình u x . Hiện
tượng vận tốc tức thời thay đổi liên tục quanh một giá trị trung bình thời
gian được gọi là hiện tượng mạch động vận tốc.
Nếu ký hiệu vận tốc mạch động là u x' thì ta có:
u x' = u x − u x

(6.20)

Vận tốc mạch động có thể dương hoặc âm; trị số trung bình theo thời
gian của vận tốc mạch động bằng không.
Sau nhiều lần làm thí nghiệm, Nikuradse đã rút ra công thức tính vận
tốc trung bình thời gian tại lớp chất lỏng cách tâm ống một khoảng r cho
khu vực thành trơn và thành nhám như sau:
o Khu vực thành trơn:

ux
( r − r )u *
= 5,5 + 5,75lg 0

u*
ν

(6.21)

o Khu vực thành nhám thủy lực:

ux
r −r
= An + 5,75lg 0
u*
∆

(6.22)

trong đó,
An là hệ số phụ thuộc vào lọai độ nhám;
r0 là bán kính trong của ống;
u* là vận tốc động lực:
u* =

τ0
ρ

τ 0 là ứng suất tiếp tại thành ống.
Như vậy, vận tốc trung bình thời gian của dòng chảy trong ống tròn
phân bố theo quy luật logarit.

144

Cơ học chất lỏng
145
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

c. Tổn thất dọc đường trong dòng chảy rối
Để tính tổn thất năng lượng dọc đường của dòng chảy rối, chúng ta vẫn
sử dụng công thức Darcy:
l V2
hd = λ .
d 2g

(6.23)

trong đó,
V là vận tốc trung bình trên đoạn ống đường kính d , chiều dài l đang
khảo sát;

g là gia tốc trọng trường;
λ là hệ số cản thủy lực, phụ thuộc vào Re và hệ số nhám tương đối
∆
λ = f (Re, )
r0

∆
:
r0

(6.24)

Trong các mục tiếp theo sẽ trình bày cách tính λ .
c1. Đồ thị Nikuradse (phụ lục 6.5):
Để xác định quy luật biến thiên (6.24), Nikuradse [10] đã tiến hành thí
nghiệm với các loại ống có đường kính và độ nhám khác nhau. Kết quả thí
nghiệm được biểu diễn trên đồ thị Nikuradse với trục hoành là Re, trục
∆
tung là λ , và
đóng vai trò là tham số.
r0
Trên đồ thị có thể chia làm năm khu vực sau:
- Khu vực 1 (Laminar flow): Khu vực 1 nằm trên đường H-B, đó là đồ
thị của phương trình Hagen-Poiseuille. Khu vực này kết thúc ở Re=2320,
nghĩa là khu vực 1 là khu vực chảy tầng, tất cả các điểm thí nghiệm cho tất
cả các đường ống khác nhau đều nằm trên cùng một đường H-B chung.
Điều đó cho thấy trong khoảng này các đường ống đều có thể được xem
như ống thành trơn.
Hệ số λ được tính chính xác bằng công thức Hagen-Poiseuille:

λ=

145

64
Re

(6.25)


Cơ học chất lỏng
146

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Khu vực 2 (Critical zone): Ứng với 2320 < Re < 4000 , là khu tới hạn.
Đây là khu vực chuyển tiếp từ chảy tầng qua chảy rối. Chưa tìm thấy quy
luật chung cho khu vực này.
- Khu vực 3 (Smooth): Là khu chảy rối thành trơn thuỷ lực, được thể
hiện bởi đường thẳng B là đồ thị biểu diễn phương trình H. Blasius:

λ ≈ 0,3164Re −0,25

(6.26)

Khi Re = 4.103 ÷ 105 , λ tính theo H. Blasius (6.26) đảm bảo độ chính xác
cần thiết.
Trong khu vực 3, λ chỉ phụ thuộc vào Re, không phụ
∆
thuộc vào
.
r0
Cũng có thể tính theo L. Prandtl (1935):
1
= 2log(Re λ ) − 0,8
λ

(6.27)

Tăng Reynolds, độ nhám thuỷ lực của ống sẽ tăng theo và đồ thị của λ
sẽ tách ra khỏi đường cong chung tại những vị trí khác nhau. Ống càng
nhám thì giá trị Reynolds ứng với vị trí tách nhóm càng nhỏ.
- Khu vực 4 (Transition zone): Là khu vực quá độ từ chảy rối thành

trơn sang chảy rối thành nhám. Trong khu vực này những điểm thí nghiệm
của các loại ống khác nhau nằm trên những đường cong khác nhau. Điều
∆
này chứng tỏ λ vừa phụ thuộc vào Re vừa phụ thuộc vào :
r0
∆
λ = f (Re, )
r0
Năm 1939, C. F. Colebrook [11] đã đưa ra các công thức tính λ trong
khu vực này như sau:
1
2,51 
 ∆
= −2log 
+
÷
λ
 3,7d Re λ 

λ=

(6.28)

0,25
  ∆
2,51  
+
log 

  3,7d Re λ  

2

(6.29)

- Khu vực 5 (Complete turbulence rough pipes): Là khu vực chảy rối
hoàn toàn nhám, còn được gọi là khu vực thành nhám thủy lực, hay khu
vực bình phương sức cản. Những điểm thí nghiệm của các loại ống khác

146


Cơ học chất lỏng
147
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

nhau nằm trên những đường thẳng khác nhau và song song với trục hoành.
Điều này chứng tỏ rằng λ không còn phụ thuộc vào Re nữa mà chỉ phụ
∆
thuộc vào .
r0
Năm 1935, T. von Karman đưa ra công thức tính λ trong khu vực này:
1
 λ 
= −2log 
÷
λ
 3,7d 

(6.30)

Lưu ý rằng thí nghiệm của Nikuradse đã tiến hành trong hệ thống ống
có độ nhám nhân tạo. Trong thực tế độ nhám có nhiều khác biệt so với thí
nghiệm Nikuradse. Hiện nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về vấn đề
này. Kết quả có sự khác biệt nhất định về định lượng, tuy nhiên về mặt
định tính thì giống nhau. Vì vậy, đồ thị Nikuradse chỉ giúp chúng ta hiểu rõ
∆
hơn quan hệ λ = f (Re, ) . Khi giải quyết các vấn đề thực tế chúng ta cần
r0
phải tính toán λ phù hợp với trạng thái chảy của chất lỏng.
c2. Đồ thị Moody (phụ lục 6.6):
Khó khăn cơ bản khi sử dụng các công thức (6.29) và (6.30) của C. F.
Colebrook và T. von Karman là λ là hàm ẩn. Để khắc phục, năm 1944 L.
F. Moody đã giới thiệu đồ thị Moody [12] được xây dựng trên cơ sở các
công trình khoa học đã công bố trước đây của Colebrook. Đồ thị Moody
∆
vừa mang tính định tính phản ánh quan hệ λ = f (Re, ) như đồ thị
r0
Nikuradse đã trình bày ở trên, vừa đảm bảo độ chính xác nhất định về định
lượng, đồng thời dễ sử dụng nên thường được sử dụng trong tính toán.
III. Tổn thất cục bộ
Tổn thất cục bộ sinh ra ở những nơi cá biệt, ở đó dòng chảy bị thay đổi
đột ngột về diện tích mặt cắt ướt hoặc thay đổi về phương, chiều của vận
tốc. Chẳng hạn dòng chảy bị biến dạng đột ngột tại khu vực ống dẫn mở
rộng hoặc thu hẹp đột ngột, ống dẫn bị uốn cong, chuyển hướng đột ngột,
ống dẫn bị phân nhánh, hội nhánh, hoặc dòng chảy bị biến dạng đột ngột do
có các vật cản như van, khóa...bố trí trong lòng đường dẫn. Tại những nơi
này, dòng chảy bị xáo trộn, có nơi dòng chảy bị tách khỏi thành rắn tạo
thành các trung tâm xoáy làm gia tăng hiện tượng mạch động về lưu tốc và
áp lực, vì vậy ứng suất tiếp cũng đột ngột gia tăng, gây nên tổn thất cục bộ.

147


Cơ học chất lỏng
148
---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trong cơ học chất lỏng, tổn thất cục bộ thường được tính theo cột lưu
tốc V 2 / 2 g :
V2
hc = ξc
2g

(6.31)

trong đó ξ c là hệ số không thứ nguyên được gọi là hệ số tổn thất cục bộ,
phụ thuộc vào mức độ xáo trộn hoặc biến dạng của dòng chảy, phụ thuộc
vào độ nhám của thành ống và trạng thái chảy của chất lỏng.
Hệ số ξ c thường được xác định bằng thực nghiệm, được cho trong phụ
lục 6.1.

148