Tài liệu chương 3 Trạng thái ứng suất và thuyết bền docx

ch-ơng 3


Trạng thái ứng suất và thuyết bền

1 Khái niệm
1- Trạng thái ứng suất tại 1 điểm
Trong ch-ơng kéo nén ta đã biết, tại một điểm,nếu ta cho 1 mặt cắt ngang đi
qua thì ứng suất trên đó là ứng suất pháp có giá trị là

z
z
N
F

. Cũng tại điểm đó ,
nếu ta cho một mặt cắt song song với trục của thanh đi qua thì ứng suất lại bằng 0.
Điều đó chứng tỏ, tại 1 điểm, nếu cho các mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó, thì
cũng thu đ-ợc các giá trị -s khác nhau.
Trong tr-ờng hợp tổng quát, xét 1 vật thể bất kỳ chịu 1 hệ lực tác dụng. Qua
điểm C bất kỳ, nếu ta dùng các mặt cắt khác nhau đi qua đó thì ta cũng thu đ-ợc
các giá trị -s pháp, tiếp khác nhau (hình vẽ)
P
1
P
n
C P
2
Điều đó chứng tỏ -s không những phụ thuộc vào vị trí của một điểm mà còn phụ
thuộc vào vị trí của mặt cắt ngang đi qua điẻm đó.
Vậy: Trạng thái -s tại một điểm là tập hợp tất cả các giá trị -s pháp và tiếp trên

các mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó.
Để khảo sát trạng thái -s tại 1 điểm, ng-ời ta th-ờng tách ra 1 phân tố vô cùng bé
để khảo sát. y
2-
Trạng thái -s của 1 phân tố
y

yx

yz

z



xy

xz

x


x
x


z

zx

zy
z
y
T-ởng t-ợng xung quanh điểm K cần khảo sát, ta tách ra 1 phân tố hình hộp vô
cùng bé có các kích th-ớc là dx.dy.dz. Trên các mặt của phân tố, ta đặt các thành
phần -s pháp và tiếp vào, ta có 9 thành phần -s nh- trên hình vẽ
Đó là:


x y z xy yx xz zx yz zy
, , , , , , , ,
Trong đó, theo lý thuyết đàn hồi ta có: -s tiếp có giá trị bằng nhau từng đôi một:


xy yx xz zx yz zy
; ;
Nh- vậy ta có 6 thành phần -s độc lập trên 1 phân tố
* Quy -ớc tên gọi và dấu của các thành phần -s
- ứng suất pháp:
. Tên gọi: chỉ số của -s pháp chỉ ph-ơng song song với nó
. Dấu:Mang dấu d-ơng khi h-ớng ra ngoài mặt cắt, mang dấu âm ng-ợc lại.
- ứng suất tiếp:
. Tên gọi: chỉ số thứ nhất chỉ ph-ơng pháp tuyến của mặt cắt chứa nó, chỉ số thứ 2
chỉ ph-ơng song song với nó
. Dấu:Nhìn theo chiều trục không chứa trong tên gọi, thấy pháp tuyến ngoài của
mặt cắt quay 90
0
theo chiều kim đồng hồ đến trùng chiều với nó thì mang dấu

d-ơng. Âm thì ng-ợc lại.

2

1

3
3 Phân tố chính
Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: Tại 1 điểm luôn tồn tại 1 phân tố mà
trên các mặt của nó chỉ có -s pháp mà không có -s tiếp. Phân tố đó gọi là phân tố
chính.
Các mặt chỉ có -s pháp gọi là mặt chính, ph-ơng pháp tuyến của mặt chính gọi
là ph-ơng chính.

ứng suất pháp trên mặt chính gọi là -s chính và đ-ợc quy -ớc tên gọi theo quy
luật nh- sau:

1 2 3

về mặt trị đại số
4- Phân loại trạng thái -s
Tuỳ theo sự tồn tại của số -s chính trên phân tố, mà ng-ời ta phân trạng thái -s
thành các loại nh- sau:
- Trạng thái -s khối: tồn tại cả 3 -s chính
- Trạng thái -s phẳng: chỉ tồn tại 2 -s chính
- Trạng thái -s đơn: chỉ tồn tại 1 -s chính
Trạng thái -s khối và phẳng còn đ-ợc gọi là trạng thái -s phức tạp
(Khối) (Phẳng) (Đơn)

2 Nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng

1 ứng suất trên mặt cắt xiên
Xét 1 phân tố ở trạng thái -s phẳng ở vị trí bất kỳ,tồn tại các -s pháp và tiếp là

x y xy yx
, , ,
. Để đơn giản ng-ời ta biểu diễn trạng thái -s phẳng bằng hình
chiếu của nó(trên hình vẽ)
T-ởng t-ợng dùng 1 mặt cắt xiên có ph-ơng pháp tuyến ngoài của mặt cắt so với
chiều d-ơng của trục x một góc là

cắt phân tố. Xét 1 phần,ta có trên mặt cắt
xiên xuất hiện -s pháp, và -s tiếp là


,
nh- trên hình vẽ.
yx

y

xy

xy



x

x

yx

y
Để tìm -s pháp trên mặt cắt xiên, ta chiếu lên ph-ơng của


. Ta có:


dF dF dF dF dF
x y xy yx
. cos cos . sin .sin . cos ..sin . .sin ..cos 0
=0
Rút gọn biểu thức với chú ý

xy yx

. Ta có:

x y x y
xy
2 2
2 2.cos sin
(3.1)
T-ơng tự, chiếu theo ph-ơng của


ta tìm đ-ợc:








x y
xy
2
2 2sin cos
(3.2)
Công thức 3.1 và 3.2 là công thức xác định -s trên mặt cắt xiên.Ta hãy khảo sat 2
công thức này:
*ứng suất trên mặt cắt vuông goc với mặt cắt xiên
: Khi dó góc xiên sẽ là

+90
0

.
Ta có:











90
0
2 2
2 2
x y x y
xy
cos sin
Ta thấy:




90
0
x y
const
Từ đó ta có luật bât biến của -s pháp: Tổng -s pháp trên 2 mặt vuông góc với

nhau luôn là hằng số.
Ta lại xét:









90
0
2
2 2
x y
xy
sin cos
Từ đó ta có luật đối ứng của -s tiếp:-s tiếp trên 2 mặt vuông góc với nhau thì có
giá trị bằng nhau,và có chiều cùng h-ớng vào cạnh chung hoặc cùng h-ớng ra xa
cạnh chung.
*Đối với trạng thái -s đơn :Ta có trạng thái -s đơn có

y xy
0
.Theo 3.1, 3.2 ta
có:

x
.cos
2
và





x
2
2.sin

Trong ch-ơng kéo nén thì

z
đóng vai trò của

x
.
2- ứng suất chính và ph-ơng chính
Ta đã biết, trên mặt chính không có -s tiếp. Nghĩa là:

x y
xy
2
2 2 0sin .cos

Từ đó ta có:
tg2







2
2
0
xy
x y
tg
(3.3)
Đây là công thức xác định ph-ơng chính của mặt chính.Trong đó

0
là góc của
pháp tuyến ngoài của mặt chính so với trục x. Dễ dàng ta có:


0

2
k.

Ta cũng có thể dễ dàng nhận thấy là -s chính cũng chính là -s cực trị. Thực vậy,
ta đạo hàm


trong công thức 3.1 theo

và cho bằng 0, ta sẽ tìm đ-ợc góc của
mặt có -s cực trị cũng chính là góc ph-ơng chính.
Thay 3.3 vào 3.1 và bằng biến đổi l-ợng giác ta tìm đ-ợc -s pháp cực trị nh-
sau:




max
min

x y x y
xy
2 2
2
2
(3.4)
3- ứng suất tiếp cực trị và ph-ơng của mặt chứa nó
Đạo hàm công thức 3.2, rồi cho bằng 0, ta tìm đ-ợc ph-ơng của mặt chứa -s
tiếp cực trị là tg2




1 0
2
2



x y
xy
gcot
Ta có

0 1
4 k /
Nh- vậy thì ph-ơng chính luôn nghiêng 45
0
so với ph-ơng của mặt có -s tiếp cực
trị.

T-ơng tự nh- trên ta cũng có thể dễ dàng tìm đ-ợc -s tiếp cực trị nh- sau:

2
2
min
max
2
xy
yx














(3.5)
Trong đó dấu + t-ơng ứng với

max
. Dấu (-) t-ơng ứng với

min

Trên đây là ph-ơng pháp giải tích xác định -s trên mặt cắt xiên, -s chính và
ph-ơng chính, -s tiếp cực trị.
3 nghiên cứu trạng thái ứng suất phẳng bằng
ph-ơng pháp đồ thị - vòng tròn mor
1-Thành lập ph-ơng trình vòng tròn mor
Theo công thức 3.1, 3.2 ta có:





















x y x y
xy
2 2

2 2
2 2
cos sin





2
2
2
2 2









x y
xy
sin cos
Bình ph-ơng 2 vế rồi cộng lại với nhau,ta đ-ợc:

x y x y
xy
2 2
2
2
2
2
Ta đã biết ph-ơng trình chính tắc của vòng tròn là:


x a y b R

2 2
2
Thì ph-ơng trình trên chính là ph-ơng trình của 1 vòng tròn có tâm vòng tròn là:
C(

x y

2
0, )
và có bán kính là R=


x y
xy








2
2
2
2-Cách dựng vòng tròn mor
+ Lập hệ trục toạ độ


trong đó trục tung là

trục hoành là

+ Trên trục hoành lấy điểm E(

y
,0
) và điểm F(

x
,0
)
+ Chia đôi khoảng cách FE ta đ-ợc tâm C của vòng tròn
+ Lấy điểm cực P(

y xy
,
). Nối CP
+ Lấy CP làm bán kính, quay 1 vòng tròn có tâm là C, ta đ-ợc vòng tròn đã dựng
gọi là vòng tròn Mor
Ta có thể dễ dàng chứng minh đ-ợc đây chính là vòng tròn dựng đ-ợc theo
ph-ơng trình trên
3-Công dụng của vòng tròn mor
a) Xác định đ-ợc ứng suất trên mặt cắt xiên: Từ điểm cực P kẻ 1 tia song với
ph-ơng pháp tuyến của mặt cắt xiên cắt vòng tròn tại 1 điểm K. K có toạ độ là


,
b) Xác định -s chính và ph-ơng chính: vòng tròn cắt trục hoành tại 2 điểm A và
B t-ơng ứng với giá trị -s chính và cũng chính là -s cực trị. Nối PA và PB ta đ-ợc

2 ph-ơng chính.
c
) Xác định -s tiếp cực trị và ph-ơng của mặt chứa nó: Qua tâm C của vòng tròn,
kẻ 1 tia song song với trục tung cắt vòng tròn tại 2 điểm I, J có giá trị -s tiếp cực
trị. Nối PI, PJ ta đ-ợc ph-ơng của mặt có -s tiếp cực trị.