Hướng dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TẠ THỊ XINH

HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

TẠ THỊ XINH

HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học Toán
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn: ThS. Nguyễn Hải Lý

SƠN LA, NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GVC - ThS: Nguyễn Hải Lý đã tận
tình chỉ dẫn và giúp đỡ trong quá trình hoàn thành khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán - Lý - Tin, phòng
Đào tạo ĐH, phòng Quản lý Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Trung tâm thông tin
Thư viện, cùng các phòng ban khoa trực thuộc trường Đại học Tây Bắc, trường
Trung học phổ thông Chiềng Sinh đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình hoàn
thành khóa luận này.
Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K53 - Đại
học sư phạm Toán và các em học sinh đã đóng góp ý kiến và chia sẻ kinh
nghiệm cho em.
Với khóa luận này, chúng em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các
thầy cô giáo, các bạn sinh viên để khóa luận này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Sơn la, 05/2016
Người thực hiện khóa luận
Tạ Thị Xinh


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
THPT đọc là Trung học phổ thông
HHKG đọc là Hình học không gian
PP đọc là Phương pháp
Vtpt đọc là Vectơ pháp tuyến
Vtcp đọc là vectơ chỉ phương
TB đọc là trung bình


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................... 1

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................... 1
3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................ 2
5. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 2
6. Giả thiết khoa học ............................................................................................. 2
7. Đóng góp của đề tài........................................................................................... 3
8. Cấu trúc của đề tài ............................................................................................. 3
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 4
1.1. Một số khái niệm ............................................................................................ 4
1.1.1. Quan niệm về bài toán................................................................................. 4
1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học ........................................ 4
1.1.3. Vị trí của bài tập toán học ........................................................................... 6
1.1.4. Các chức năng của bài tập toán học: ........................................................... 7
1.1.5. Hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng cách phân loại bài toán. ........ 7
1.1.6. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán ......................................................... 8
1.2. Phương pháp chung tìm lời giải một bài toán ................................................ 9
1.2.1. Một số cách thức khai thác bài toán .......................................................... 14
1.2.2. Các năng lực tư duy cần có khi giải toán. ................................................. 14
1.3. Một số bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian. ......................... 18
1.3.1. Nội dung phương pháp tọa độ trong không gian_ Hình học 12 THPT. ... 18
1.3.2. Một số kiến thức cơ bản về PP tọa độ trong không gian. ......................... 19
1.3.3. Thực trạng việc dạy học giải các bài toán về phương pháp tọa độ trong
không gian ở một số trường THPT ..................................................................... 22
CHƯƠNG 2: HƯỚNG DẪN HỌC SINH THPT GIẢI VÀ KHAI THÁC
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. .............. 24
2.1. Dạng1: Viết phương trình mặt phẳng. ......................................................... 24


2.2. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng. ..................................................... 32
2.3.Dạng 3: Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng. ................................ 39

2.4. Dạng 4: Tìm một điểm thỏa mãn điều kiện cho trước. ................................ 43
2.5. Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu.............................................................. 47
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................ 51
3.1. Mục đích thực nghiệm.................................................................................. 51
3.2. Phương pháp thực nghiệm ........................................................................... 51
3.3. Nội dung thực nghiệm .................................................................................. 51
3.4. Tổ chức thực nghiệm.................................................................................... 51
3.5. Kết quả thực nghiệm .................................................................................... 52
3.6. Kết luận rút ra từ thực nghiệm ..................................................................... 53
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 56


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đất nước ta đã và đang bước vào giai đoạn công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất
nước với mục tiêu đến năm 2020 Việt Nam sẽ trở thành nước công nghiệp, hội
nhập kinh tế quốc tế. Trước tình hình này đòi hỏi nền giáo dục Việt Nam phải
đào tạo được những con người có trí tuệ phát triển, thông minh, sáng tạo. Đó
cũng chính là mục tiêu của nền giáo dục ở nước ta là phát huy tối đa khả năng
của con người để phục vụ cho đất nước.
Học tập nâng cao tri thức là nhu cầu thiết yếu của học sinh, sinh viên nói
riêng và của con người nói chung. Điều này đòi hỏi các nhà quản lý giáo dục,
các nhà sư phạm tâm huyết phải có sự đầu tư nghiên cứu, đề ra những hướng
tiếp cận tri thức mới, những phương pháp dạy học mới sao cho phù hợp với
trình độ và khả năng nhận thức của học sinh để việc giáo dục đạt hiệu quả tốt
nhất. Tri thức cần vững từ những kiến thức cơ bản nhất.
Toán học là một trong những ngành khoa học cổ nhất của loài người. Đây
cũng là ngành khoa học có nhiều liên quan đến các ngành khoa học khác cũng
như có rất nhiều ứng dụng to lớn trong thực tiễn. Song trong quá trình giảng dạy

môn toán tại các trường THPT người giáo viên chỉ bước đầu hướng dẫn học sinh
giải bài tập toán mà thường bỏ qua công đoạn cuối cùng của giải một bài toán đó
là khai thác bài toán. Bởi vậy mà việc giải toán chưa thực sự phát huy hết tính tự
giác, tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Chưa đáp ứng được yêu cầu về
mục tiêu giáo dục đặt ra hiện hành.
Với các lí do trên em đã chọn để thực hiện nghiên cứu khóa luận: “Hướng
dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa
độ trong không gian” .
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc hướng dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng
toán về phương pháp tọa độ trong không gian.
1


2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số vấn đề lý luận liên quan đến việc hướng dẫn học sinh
giải và khai thác một số dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian.
- Điều tra khảo sát việc dạy học giải và khai thác một số dạng toán về
phương pháp tọa độ trong không gian ở một số trường THPT.
- Đề xuất một số giải pháp dạy học giải và khai thác một số dạng toán về
phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh THPT.
- Tiến hành thử nghiệm sư phạm để bước đầu có kết luận cần thiết cho việc
nghiên cứu.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số vấn đề lý luận có liên
quan đến việc hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về phương
pháp tọa độ trong không gian.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra – quan sát.
- Thử nghiệm sư phạm: Bước đầu có được kết luận cần thiết cho việc nghiên

cứu.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu việc giải và khai thác các dạng toán về phương pháp tọa độ
trong không gian.
- Học sinh lớp 12 ở trường THPT.
5. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là việc giải và khai thác một số dạng toán về
phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh lớp 12 ở trường THPT.
6. Giả thiết khoa học
Việc hướng dẫn học sinh THPT giải và khai thác một số dạng toán về
phương pháp tọa độ trong không gian nếu được thực hiện theo đúng các cấp độ
đã trình bày sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học giải và khai thác một số
dạng toán về phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh THPT. Góp
phần nâng cao chất lượng việc DH toán ở phổ thông.

2


7. Đóng góp của đề tài
Đề tài có thể là tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên ngành sư phạm
Toán, cho học sinh và giáo viên THPT
8. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, phụ lục, danh mục, tài liệu tham khảo đề tài gồm 3
chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về PP tọa
độ trong không gian.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
- Kết luận

3


CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số khái niệm
1.1.1. Quan niệm về bài toán
Bài toán là một tình huống kích thích, đòi hỏi một lời giải đáp không có sẵn ở
người giải tại thời điểm bài toán được đưa ra.
Định nghĩa này gồm 3 ý chính:
- Chỉ có bài toán đối với người nào đó hay chính xác hơn là trạng thái phát
triển nào đó của người giải.
- Lời giải đáp phải tương thích với tình huống của bài toán.
- Lời giải đáp gắn liền với tình huống như một đặc trưng của tình huống mà
người giải đã quen thuộc.
1.1.2. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học
Trong quá trình dạy học môn toán, giải một bài tập toán học chiếm một vai
trò vô cùng quan trọng. Đây là hoạt động quan trọng được thực hiện thường
xuyên liên tục trong quá trình dạy học lên lớp của giáo viên, mặt khác có thể
thấy trong giải toán, hoạt động giải bài tập là hoạt động có nhiều tác dụng trong
rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực và phát triển trí tuệ cho học sinh. Bài tập
toán và hoạt động giải bài tập toán thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa hoạt động
học của học sinh và hoạt động dạy của giáo viên với mục tiêu, nội dung và phương
pháp dạy học. Tức là thông qua bài tập toán và hoạt động giải bài tập toán người
học sinh thể hiện được mức độ thông hiểu, lĩnh hội tri thức thông qua quá trình dạy
học của người giáo viên. Để giải tốt được một bài tập toán tức là người học sinh
phải thực hiện những hoạt động nhất định của việc học bao gồm hoạt động nhận
dạng và thể hiện khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những
hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học,
những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Chính vì vậy mà theo
quan điểm của Nguyễn Bá Kim thì bài tập có vai trò “giá mang hoạt động” của học

sinh. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học được thể hiện trên cả ba bình
diện: mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học.
4


+ Trên bình diện mục tiêu: Bài tập là giá mang những hoạt động mà việc
thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu. Mặt khác những bài
tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục
tiêu dạy học môn Toán, cụ thể là:
- Bài tập hình thành củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khác
nhau của quá trình dạy học kể cả kỹ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn. - Bài
tập phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy hình thành
những phẩm chất trí tuệ.
- Bài tập bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những
phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Trên bình diện nội dung dạy học: Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với
những nội dung nhất định, là một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh
hay bổ sung cho những tri thức nào đó được trình bày trong phần lý thuyết.
+ Trên bình diện phương pháp dạy học: Bài tập là giá mang hoạt động để
người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở đó thực hiện những
mục tiêu dạy học khác nhau. Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ
chức cho học sinh học tập trong hoạt động. Bằng hoạt động tự giác, tích cực,
chủ động, sáng tạo học sinh được thực hiện độc lập học tập trong giao lưu.
[Phương pháp dạy học môn Toán, Nguyễn Bá Kim, NXB Đại học sư phạm,
tr.412-413]
Ngoài dụng ý trên thì bài tập toán còn là tiêu chuẩn để kiểm tra, đánh giá
mức độ, kết quả dạy của người giáo viên và kết quả học của người học sinh cũng
như đánh giá khả năng làm việc một cách độc lập và trình độ phát triển tư duy
của học sinh theo hướng tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo.
Việc rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh chính là rèn luyện

cho học sinh khả năng thực hiện,vận dụng bốn bước theo phương pháp tìm lời
giải bài toán của Polya. Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy học phát
hiện và giải quyết vấn đề theo xu hướng đổi mới phương pháp dạy học của nền
giáo dục ở nước ta hiện nay.

5


Muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh, người giáo viên cần hình
thành cho học sinh kỹ năng giải toán. Tức là người giáo viên cần phải :
+ Giúp cho học sinh hình thành một đường lối chung (khái quát) để giải
quyết các đối tượng, các bài tập cùng loại.
+ Xác lập được mối liên hệ giữa những bài tập khái quát và các kiến thức
tương ứng.
Bên cạnh đó, một điểm đáng chú ý nữa là: “Trong quá trình giải một bài tập
toán, cần khuyến khích cho học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán.
Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm
được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề
theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực
tư duy. Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ tìm được cách giải hay nhất,
đẹp nhất…” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992), Phương pháp dạy
học môn Toán (phần I), NXB Giáo dục).
1.1.3. Vị trí của bài tập toán học
“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh
có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài tập
toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay
thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy , hình
thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập
toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông.
Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định

đối với chất lượng dạy học toán” (Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy
(1992), Phương pháp dạy học môn toán (phần I), NXB Giáo Dục. ).
Giải bài tập toán không chỉ giúp cho học sinh củng cố một cách bền vững các
kiến thức mới được tiếp cận cho học sinh mà còn nhằm phát triển tư duy cho
học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ. Vì vậy, trong quá trình dạy
học người thầy giáo phải chú trọng bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh.
Như chúng ta đã biết thì năng lực giải bài toán chính là khả năng vận dụng các
quy tắc, thuật giải đối với những bài toán ở dạng tường minh cũng như khả năng
6


xác định và ứng dụng bốn bước trong phương pháp tìm lời giải bài toán của
Polya đối với những bài toán đưa ra ở dạng ẩn tàng, không có thuật giải.
1.1.4. Các chức năng của bài tập toán học:
Mỗi bài tập toán học đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều
chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Các
chức năng đó là:
+ Chức năng dạy học.
+ Chức năng giáo dục.
+ Chức năng phát triển.
+ Chức năng kiểm tra.
Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:
+ Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh
những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+ Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới
quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập , sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất
đạo đức của người lao động mới.
+ Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học
sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất tư
duy khoa học.

+ Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức
và trình độ phát triển của học sinh.
Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc
khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết
sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình. Người giáo viên phải có nhiệm
vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình.
1.1.5. Hướng dẫn học sinh giải một bài toán bằng cách phân loại bài toán.
a) Phân loại bài toán theo hình thức bài toán:
- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một
cách rõ ràng trong đề bài toán.
7


- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa được đưa ra rõ
ràng trong đề bài toán.
b) Phân loại bài toán theo phương pháp giải toán:
- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một
angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó
không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó.
c) Phân loại bài toán theo nội dung bài toán:
- Bài toán số học
- Bài toán hình học
- Bài toán đại số
d) Phân loại bài toán theo ý nghĩa giải toán:
- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi
học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó.
- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến
thức cũng như các kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy

phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
Như vậy tùy thuộc vào từng loại bài toán khác nhau mà người giáo viên có
thể hướng dẫn học sinh cách giải bài toán một cách hiệu quả nhất.
1.1.6. Yêu cầu đối với lời giải một bài toán
Để phát huy tác dụng của bài tập toán cần nắm vững các yêu cầu của lời giải.
Theo Nguyễn Bá Kim có đưa ra bảy yêu cầu đối với lời giải một bài toán:
Một là: Kết quả đúng kể cả các bước trung gian
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng thỏa mãn các yêu cầu đề ra không
thể chứa những sai lầm tính toán, vẽ hình, biến đổi biểu thức …
Hai là: lập luận phải chặt chẽ.
Đặc biệt là lời giải phải tuân thủ các yêu cầu sau:
Luận đề phải nhất quán (Tức là phải thống nhất trong kết luận của định lý,
hay là phải thống nhất trong việc xác định điều ta phải chứng minh. Không được
đánh tráo luận đề.)
8


Luận cứ phải đúng (Xác định một cách chính xác những kiến thức được vận
dụng vào chứng minh, ví dụ như: tiên đề, định lý, định nghĩa… Luận cứ phải
chân thực.)
Luận chứng phải hợp logic (Các bước suy luận phải hợp lôgic).
Ba là: Lời giải đầy đủ
Lời giải không được bỏ xót một trường hợp, một chi tiết cần thiết nào.
Bốn là: ngôn ngữ chính xác
Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn.
Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này.
Năm là : Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.
Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu
tố…
Sáu là: Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất.

Cần khuyến khích học sinh tìm tòi giải một bài toán bằng nhiều cách, cho
học sinh phân tích, so sánh các cách giải khác nhau để lựa chọn được cách giải
ngắn gọn và hợp lý nhất nhằm củng cố và rèn luyện tư duy độc lập suy nghĩ, tự
giác, phát triển khả năng tổng hợp hóa,khái quát hóa và so sánh cho học sinh.
Bảy là: Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Cho học sinh làm quen với việc nghiên cứu giải những bài toán tương tự
bằng cách mở rộng hay lật ngược vấn đề sẽ giúp cho học sinh có một cách nhìn
tổng quát đối với một vấn đề. Giúp củng cố, khắc sâu thêm kiến thức cho học sinh.
Sau khi cho học sinh giải xong những dạng bài tập ở cấp độ tri thức phương
pháp đưa ra ở dạng ẩn tàng thì người giáo viên cần phải cho học sinh khái quát
lại tri thức phương pháp để học sinh có khả năng tự giải quyết những dạng bài
tập tương tự, còn nếu người giáo viên không cho học sinh khái quát lại tri thức
phương pháp sau khi đã giải xong bài tập thì việc giải bài tập này là vô nghĩa vì
học sinh không thể giải được những bài toán tương tự.
1.2. Phương pháp chung tìm lời giải một bài toán
Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc không có
thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài
9


toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà
dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm
tòi lời giải cho mỗi bài toán cụ thể.
Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh
lời giải của một bài toán. Biết lời giải của một bài toán không quan trọng bằng
việc làm thế nào để có thể giải được bài toán đó. Để làm tăng hứng thú học tập
của học sinh, phát triển tư duy, người giáo viên phải hình thành cho học sinh
một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán.
Đối với những dạng bài tập toán đã có thuật giải và những bài toán có quy
tắc tựa thuật giải thì người giáo viên cần dạy cho học sinh nắm bắt và biết cách

vận dụng thuật giải và những quy tắc tựa thuật giải của bài toán đó. Còn đối với
những bài toán đưa ra ở cấp độ tri thức ẩn tàng tức là những bài toán không có
thuật giải cụ thể để áp dụng giải thì người giáo viên phải dạy học theo cách
hướng dẫn học sinh kỹ năng tìm định hướng giải bài toán dựa trên những tư
tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya về cách thức giải một
bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, Nguyễn Bá Kim đã nêu
lên phương pháp chung để giải một bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài (Phân tích bài toán)
- Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài
toán.
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh.
- Có thể sử dụng công thức, kí hiệu hình vẽ để minh họa hỗ trợ cho việc diễn
tả đề bài.
Kỹ năng tìm định hướng lời giải thể hiện rõ nét nhất trong bước này. Theo
Polya, người giải toán phải tìm hiểu kỹ nội dung đề bài để tìm hiểu: Đâu là cái
phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay
không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn? Phải hiểu rõ nội dung bài
toán người học mới có khả năng vận dụng các tri thức toán học vào việc định
hướng lời giải của bài toán. Cụ thể là khả năng nắm bắt và vận dụng những tri

10


thức lí thuyết như các khái niệm, định nghĩa, tính chất, mệnh đề, định lí và hệ
quả đã tích lũy được vào việc định hướng lời giải bài toán.
Như vậy khi phân tích bài toán và các dữ kiện trong bài toán, người học
có thể xác định được các kiến thức sinh ra bài toán. Từ đó xác định các kiến
thức liên quan để có thể vận dụng giải bài toán cũng như xác định được các thao
tác kỹ năng cần sử dụng khi định hướng giải bài toán để có được hướng đi tốt
nhất cho lời giải.

Bước 2: Tìm cách giải
Trong cuốn Đại số sơ cấp và thực hành giải toán của tác giả Hoàng Kỳ đã
viết về phần tìm tòi lời giải của một bài toán như sau: “Đây là bước quan trọng nếu không nói là quan trọng nhất - trong việc giải bài toán. Không có một thuật
toán tổng quát nào có thể giải được mọi bài toán, mà chỉ có thể đưa ra những lời
khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lời giải được đúng
hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tới thành công
hơn.”
- Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán:
Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh. Liên hệ cái đã
cho hay cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một
bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán nào đó có liên quan. Sử
dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng bài toán như chứng minh, phản
chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích…
- Tìm tòi những cách giải khác. So sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí
nhất.
Trong bước tìm cách giải, việc định hướng tìm lời giải thể hiện ở khả năng
nắm bắt và vận dụng các thao tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được
tích lũy để tìm ra cách giải bài toán. Tìm cách giải là bước có tác dụng trực tiếp
đến kết quả việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Việc định hướng tìm
lời giải bài toán được thấy rõ khi học sinh đã định hướng được các kiến thức liên
quan đến bài toán. Tiếp theo đó, học sinh sẽ định hướng xây dựng các chi tiết
của các bước giải bài toán. Việc xác định hướng đi cụ thể của bài toán giúp cho
11


lời giải được thể hiện rõ ràng hơn. Đây là một kỹ năng không thể thiếu vì nếu
không định hướng xây dựng các chi tiết của các bước giải thì học sinh sẽ không
thể đi đến lời giải bài toán dù rằng học sinh đã định hướng được chính xác. Nhờ
việc xem xét hướng đi trước mà có thể giải toán bằng nhiều cách khác nhau, các
cách giải đặc trưng, các khả năng về kết quả. Mặt khác, đối với những bài toán

mà việc tìm đường lối giải không khó, đôi khi đã khá rõ ràng, thì cái khó lại chủ
yếu thuộc về kỹ năng thuật giải. Do vậy việc nắm bắt và vận dụng những thao
tác kỹ thuật và các phương pháp giải toán đã được tích lũy vào việc định hướng
lời giải đòi hỏi người giải toán không ít sự sáng tạo trong quá trình hoạt động
của mình. Sự sáng tạo nói trên còn thể hiện ở việc học sinh biết chọn thao tác kỹ
thuật nhanh nhất, hiệu quả nhất để xây dựng chi tiết việc tiến hành giải và thể
hiện lời giải tối ưu.
Một bài toán thông thường không chỉ có duy nhất một cách giải. Vì thế, sau
khi đã tìm được lời giải ta có thể định hướng để tìm tòi các cách giải khác. Từ
đó, so sánh các cách giải để tìm được cách giải tối ưu. Điều này sẽ giúp học sinh
nâng cao khả năng hiểu và vận dụng các kiến thức, kỹ năng khác nhau trong giải
một bài toán, giúp học sinh mở rộng tầm nhìn về toàn bộ hệ thống kiến thức của
bài toán, củng cố khả năng nắm vững các quan hệ ẩn tàng bên trong các kiến
thức kỹ năng khác nhau kiên quan đến bài toán.
Bước 3: Trình bày lời giải
- Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước
đó. Khả năng trình bày và hoàn thiện lời giải bài toán thể hiện ở khả năng sử
dụng ngôn ngữ, kí hiệu và các lập luận toán học nhằm đưa ra một lời giải chính
xác của bài toán. Thông thường quá trình suy nghĩ tìm tòi lời giải của bài toán là
quá trình “phân tích đi lên”, trong khi đó việc trình bày lời giải của bài toán lại
là quá trình “phân tích đi xuống”. Thực tế cho thấy có nhiều học sinh mặc dù đã
hiểu và nghĩ ra lời giải của bài tập nhưng không thể trình bày và hoàn thiện
chính xác lời giải đó. Điều đó ảnh hưởng lớn tới kỹ năng giải toán của học sinh.
Như vậy việc rèn luyện kỹ năng trình bày lời giải, nghiên cứu cách trình bày lời
12


giải những bài toán tương tự không những giúp học sinh định hướng được cách
trình bày lời giải mà còn giúp học sinh biết biết chọn ra cách giải nhanh nhất, lời

giải hay nhất và cách giải sáng tạo nhất. Mặt khác khi xem xét tổng thể tất cả
các lời giải khác nhau của bài toán học sinh có cách nhìn sâu sắc hơn về bài
toán. Đồng thời học sinh tự nâng cao khả năng giải toán của bản thân bổ sung
những kinh nghiệm hữu ích trong học và giải bài tập. Khả năng trình bày lời giải
thể hiện việc đảm bảo yêu cầu chung của một lời giải: ngôn ngữ kí hiệu rõ ràng,
chính xác, quy tắc suy luận đúng, các bước suy luận hợp lôgic, cách trình bày
ngắn gọn, đầy đủ không thừa mà cũng không thiếu. Kết quả đúng kể cả các bước
trung gian, lập luận chặt chẽ, luận đề phải nhất quán, luận cứ phải đúng, luận
chứng phải hợp lôgic, lời giải đầy đủ, ngôn ngữ chính xác, trình bày rõ ràng đảm
bảo mỹ thuật, trình bày nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất,
nghiên cứu trình bày lời giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược
vấn đề.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu sâu lời giải của một bài toán chính là ta đi kiểm tra, đánh giá và
khai thác lời giải của một bài toán. Trong đó, kiểm tra, đánh giá lời giải của bài
toán chính là ta đi thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải
đã tìm được của bài toán. Còn việc khai thác lời giải của một bài toán chính là ta
đi tìm các cách giải khác (nếu có) của bài toán và nghiên cứu các bài toán có
liên quan.
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải.
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề.
Các kiến thức kỹ năng liên quan tới các bài tập đã cho luôn có quan hệ với
nhau và chúng tạo nên cơ sở tìm ra bài tập mới. Việc tìm bài toán liên quan cần
vận dụng thường xuyên khi giải bài tập. Vì khi giải một bài toán nào đó thì một
câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: bài toán này có quan hệ gián tiếp với kiến thức
nào hay loại bài nào đó hay không? Trên cơ sở đó hoặc là quy bài toán đã cho về
bài toán quen thuộc đã biết cách giải, hoặc có thể sử dụng những kiến thức liên
quan để giải bài toán đã cho. Từ đó cũng góp phần rèn luyện kỹ năng định
13

hướng tìm lời giải bài toán cho các bài toán tiếp theo. Việc rèn luyện khả năng
sáng tạo các bài toán mới là một yêu cầu cần thiết (tuy không dễ) nhưng rất bổ ích.
1.2.1. Một số cách thức khai thác bài toán
Việc khai thác bài toán chính là công đoạn cuối cùng của giải một bài toán.
Đây cũng là một công đoạn vô cùng cần thiết và bổ ích nhưng cũng lại là công
đoạn thường hay bị bỏ qua trong việc giải bài toán ở trường THPT. Việc chúng
ta giải một bài toán theo như bản gợi ý về bốn bước giải một bài toán của Polya
thì ở bước thứ 3 trình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn. Vì vậy việc
ta thực hiện bước cuối cùng của giải một bài toán là vô cùng cần thiết. Việc
kiểm tra lại sẽ giúp ta tránh được những sai sót và còn giúp ta tích lũy thêm kinh
nghiệm khi giải những bài toán khác. Hơn nữa, việc nhìn nhận lại toàn bộ cách
giải có thể giúp ta phát hiện được cách giải tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc
sâu sắc hơn. Ngoài ra, nhìn lại toàn bộ lời giải nhiều khi gợi ý cho ta tìm được
những bài toán mới, mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt của bài toán
đã giải. Ta có thể khai thác một bài toán theo bốn hướng như sau:
- Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự.
- Hướng 2: Khái quát hóa bài toán ban đầu để phát biểu bài toán tổng quát
- Hướng 3: Thay đổi giả thiết thành kết luận, kết luận thành giả thiết để
thiết lập bài toán ngược
- Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã giải dẫn đến phương pháp để giải một
bài toán khác.
Trong quá trình giải một bài toán, tùy thuộc vào từng bài toán khác nhau mà
ta có thể vận dụng một trong các hướng khai thác bài toán ở trên để có được
những bài toán mới.
1.2.2. Các năng lực tư duy cần có khi giải toán.
Để phát triển trí tuệ cho học sinh, cần coi trọng việc rèn luyện cho học sinh
các năng lực tư duy cần có khi giải toán như: năng lực phân tích và tổng hợp,

14

tổng quát hóa (khái quát hóa), đặc biệt hóa, tương tự hóa, trừu tượng hóa và cụ
thể hóa.
a) Năng lực phân tích và tổng hợp.
Để rèn luyện cho học sinh năng lực tư duy phân tích và tổng hợp thì trước
tiên ta phải hiểu năng lực tư duy phân tích và tổng hợp là gì?
Phân tích là dùng trí óc để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt
của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần. Ngược lại với phân
tích là tổng hợp. Tổng hợp là dùng trí óc để kết hợp lại các thuộc tính hay khía
cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể.
Phân tích và tổng hợp là hai mặt đối lập của một quá trình thống nhất trong tư
duy, tuy đó là những thao tác trái ngược nhau.
Phương pháp tổng hợp còn được gọi là phương pháp suy xuôi còn phương
pháp phân tích còn được gọi là phương pháp suy ngược lùi. Phân tích có 2 loại
gồm: phân tích đi lên và phân tích đi xuống hay còn gọi là suy ngược tiến. Trong
đó, phân tích đi xuống (suy ngược tiến) chỉ là khâu suy đoán không là phép
chứng minh còn phân tích đi lên thì ngược lại.
Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận bài toán một cách tổng
hợp để xem bài toán thuộc loại gì, hay cần huy động những kiến thức nào, sử
dụng phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc
phân tích bài toán ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích mối liên hệ giữa các yếu
tố của bài toán để tìm ra lời giải. Sau khi tìm được lời giải của các bài toán bộ
phận, phati tổng hợp lại để được lời giải của bài toán đang xét. Thông thường,
khi tìm tòi lời giải (bước 2 theo bản gợi ý bốn bước để giải bài toán của polya),
ta thường sử dụng phương pháp phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời
giải (bước 3 theo bản gợi ý bốn bước để giải bài toán của polya), ta lại sử dụng
phương pháp tổng hợp cho ngắn gọn. Như vậy trong quá trình thực hiện giải bài
toán chúng ta phải biết cách vận dụng hai năng lực tư duy phân tích và tổng hợp
một cách phù hợp để góp phần phát triển trí tuệ cho người học.

15


b) Tổng quát hóa, đặc biệt hóa.
Tổng quát hóa có ý nghĩa to lớn trong toán học cũng như trong mọi lĩnh vực
khoa học. Tổng quát hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối
tượng đến việc khảo sát một tập hợp đối tượng lớn hơn, chứa tập hợp ban đầu
làm tập hợp con. Nhờ tổng quát hóa, có thể đề xuất được những giả thuyết,
những dự đoán. Tổng quát hóa một bài toán có thể đưa tới một bài toán rộng hơn
(có thể đúng hoặc không đúng (hoặc không giải được)). Có khi tổng quát hóa
một bài toán lại giúp ta tìm tòi lời giải thuận lợi hơn, dễ dàng hơn đối với bài
toán đã cho. Tổng quát hóa còn được gọi là khái quát hóa.
Trong giải toán từ các bài toán riêng lẻ có thể khái quát thành bài toán tổng
quát hoặc từ các bài toán tổng quát khái quát thành bài toán tổng quát hơn để đi
đến cái tổng quát đã biết hoặc chưa biết.
Ngược lại với tổng quát hóa là đặc biệt hóa. Đó là suy luận chuyển từ việc
khảo sát một tập hợp sang việc khảo sát tập hợp con của tập hợp ban đầu. Đặc
biệt hóa có tác dụng kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường hợp riêng hoặc
để tìm ra những kết quả khác (thường sâu sắc hơn). Trong việc giải toán, việc
xét trường hợp đặc biệt có khi gợi ý cho ta tìm được lời giải của bài toán đang
xét hoặc thấy được phương pháp giải.
Tổng quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình tư
duy thống nhất.
c) Tương tự hóa.
Nếu từ hai đối tượng giống nhau ở một số dấu hiệu ta dự đoán rằng hai dấu
hiệu đó cũng giống nhau ở dấu hiệu khác thì suy luận ấy được gọi là phép tương
tự hóa. Khi đó kết luận rút ra từ suy luận tương tự chỉ là một giả thuyết, một dự
đoán, có thể đúng, có thể sai nhưng nó góp phần tìm tòi cái mới. Trong hoạt
động giải toán sử dụng suy luận tương tự để liên hệ bài toán cần giải với bài toán
đã giải có thể giúp ta nhanh chóng tìm ra lời giải. Trong việc trình bày lời giải,

để tránh việc lặp đi lặp lại dài dòng không cần thiết, khi gặp trường hợp trình tự
lôgic tương tự và không có gì mới khác thì ta viết gọn là “tương tự như trên ta
có...”, hoặc “chứng minh tương tự ta được...”.
16


Để nâng cao trình độ tin cậy của các kết luận bằng phương pháp tương tự,
cần lưu ý những điểm sau đây:
+ Cần cố gắng xác lập càng nhiều càng tốt các dấu hiệu chung cho các đối
tượng được so sánh.
+ Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng được so sánh là
điển hình nhất đối với các đối tượng đó. Nói khác đi các dấu hiệu chung của các
đối tượng so sánh cần được liên hệ càng mật thiết càng tốt đối với các thuộc tính
khác của các đối tượng đang xét.
+ Cần chọn sao cho các dấu hiệu chung xác lập giữa các đối tượng so sánh là
càng cùng kiểu càng tốt với dấu hiệu được chuyển từ đối tượng này sang đối
tượng kia, tức là với dấu hiệu mà kết luận bằng tương tự đã xác nhận là vốn có
của đối tượng này hay đối tượng khác.
+ Cần cố gắng sao cho các dấu hiệu chung của các đối tượng so sánh là đặc
trưng, riêng biệt đối với chúng (trong mọi trường hợp là những dấu hiệu thuộc
về một nhóm đối tượng càng hẹp càng hay).
d) Trừu tượng hóa, cụ thể hóa
Cùng với tính chính xác, tính lôgic, người ta xem khả năng trừu tượng hóa là
một trong những mặt mạnh nhất của Toán học. Quá trình trừu tượng hóa được
nâng dần lên, tùy thuộc vào trình độ của từng người. Toán học giúp ta làm việc
trên những ký hiệu từ các “hình dạng không gian” và các “quan hệ số lượng”
người ta tiến hành trừu tượng hóa từng cấp độ, không những chỉ dùng những
con số, các chữ, các ký hiệu lôgic mà còn dùng các phương trình, bất phương
trình, các hàm số để càng ngày càng biểu thị được trung thực hơn các mối quan
hệ số lượng và không gian của thực tiễn. Việc dạy toán cho học sinh (trong đó

có việc giải toán) cũng nhằm mục đích rèn luyện khả năng trừu tượng hóa trong
quá trình tư duy của học sinh.
Ngược lại với trừu tượng hóa là cụ thể hóa. Đó cũng là hai mặt đối lập của
quá trình thống nhất trong tư duy. Trong Toán học (đặc biệt là khi giải toán), ta
làm việc với những kí hiệu, những biểu thức, những phương trình, bất phương
trình,... tuân theo những quy luật lôgic mà thực tế không cần để ý đến ý nghĩa
17


thực tiễn của các ẩn, các kí hiệu đang dùng. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thì
xuất phát điểm của bài toán thực tiễn, là một trường hợp cụ thể được trừu tượng
hóa và kết luận của bài toán lại trở về với thực tiễn của trường hợp cụ thể đang
xét.
Vì thế ngoài việc giải những bài toán cho sẵn, cần tập dượt cho học sinh làm
quen với việc giải những bài toán khai thác từ bài toán đang xét để góp phần
phát triển tư duy cho học sinh.
1.3. Một số bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian.
1.3.1. Nội dung phương pháp tọa độ trong không gian_ Hình học 12 THPT.
Nội dung PP tọa độ trong không gian được trình bày trong chương III:
Phương pháp tọa độ trong không gian – Hình học 12 trung học phổ thông theo
phân phối chương trình của BGD & ĐT năm 2010 – 2011 hiện hành nội dung
này bao gồm 20 tiết học. Trong đó:
- $1 Hệ tọa độ trong không gian (5 tiết)
- $2 Phương trình mặt phẳng (5 tiết)
- $3 Phương trình đường thẳng trong không gian (7 tiết)
- Ôn tập - kiểm tra (3 tiết)
Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi nhận thấy rằng khi tiếp cận nội dung
PP tọa độ trong không gian học sinh THPT bước đầu dừng ở việc biết và hiểu
kiến thức tức là biết cách làm những bài tập tương tự, đơn giản trong sách giáo
khoa nhưng lại không biết cách khai thác những bài toán đã làm để có thể vận

dụng vào làm những bài tập nâng cao hơn. Vì vậy trong quá trình dạy học
Chương III: PP tọa độ trong không gian – Hình học lớp 12 cho học sinh THPT,
người giáo viên không những phải làm cho học sinh hiểu và nắm được cách giải
những dạng toán về PP tọa độ trong không gian mà còn phải cho học sinh làm
quen với việc khai thác những dạng toán về PP tọa độ trong không gian để góp
phần vào việc phát triển tư duy cũng như làm tăng tính tích cực, tự giác cho
người học.

18


1.3.2. Một số kiến thức cơ bản về PP tọa độ trong không gian.
a) Hệ tọa độ trong không gian.
Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz , ta có:
 Tọa độ của điểm và của vectơ
Ta có: u   x; y; z   u  x.i  y. j  z.k

M   x; y; z   OM  x.i  y. j  z.k
Nếu A a; b;c  và B  a '; b '; c ' thì AB   a  a '; b  b ';c c'
 Tích vô hướng của hai vectơ: u =  a; b;c  và v   a '; b '; c '

 

u.v  u . v .cos u.v  a.a ' b.b ' c.c '
2

u  u  a 2  b2  c 2

 

cos u.v 

a.a ' b.b ' c.c '
a 2  b2  c 2 . a'2  b '2  c '2

, với u  0,v  0

u  v  a.a ' b.b ' c.c '  0

 Cho hai vectơ: u =  a; b;c  và v   a '; b '; c '
Tích có hướng của hai vectơ u =  a; b;c  và v   a '; b '; c ' kí hiệu là: u  v
hoặc u , v  , được xác định bởi công thức:

 bc ca ab 
uv
;
;

b
'
c
'
c
'a'
a
'
b
'



Một số tính chất của tích có hướng:
+ uv  u, uv  v

 

+ u  v  u . v .sin u, v

+ u , v cùng phương  u  v  0
+ u , v , w cùng phương  u  v . w = 0
 Phương trình mặt cầu
Mặt cầu tâm I  a; b;c  , bán kính R có phương trình:
19