16 bộ đề luyện thi vào lớp 10

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

20 bộ đề
Đề 1
Bài 1

 2  x 2  x 4 x2  x  3

 2
A= 
:
2
 2  x 2  x x  4  2x  x

Cho

a/ Rút gọn A.
b/ Tính giá trị của A khi |x | = 1
Bài 2
Một chiếc xe tải đi từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h.. Sau đó 1giờ 30 phút, một chiếc
xe con cũng khởi hành từ tỉnh A để đi đến tỉnh B với vận tốc 60km/h. Hai xe gặp nhau khi
chúng đã đi được một nửa quãng đường AB.
Tính quãng đường AB.
Bài 3
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn và P là trung điểm của cung AB
không chứa C và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt AB tại E và F. Các dây AD và PC kéo dài
cắt nhau tại I: các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. Chứng minh rằng:
a/ Góc CID bằng góc CKD.
b/ Tứ giác CDFE nội tiếp được.

c/ IK // AB.
d/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA tại A.
Bài 4:
Tìm giá trị của x để biểu thức :
M = ( 2x - 1)2 – 3 |2x-1| + 2
Đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN đó.
GỢI Ý GIẢI đề thi vào THPT 1988-1989
Bài I:
1/ Đk: x  0 ; x   2 & x  3

 2  x 2  x 4 x2  x  3
 2 x 2 x
 x 3
4x2

 2
:


A= 
=


:
2
 2  x 2  x x  4  2x  x
 2  x 2  x (2  x)(2  x)  x(2  x)
`

=

(2  x) 2  (2  x) 2  4 x 2 x(2  x)
x 2  4 x  4  x 2  4 x  4  4 x 2 x(2  x)
.
.
=
(2  x)(2  x)
x 3
(2  x)(2  x)
x 3

1


Gia sư Thành Được
=

www.daythem.edu.vn

4 x2  8x
x(2  x )
4x2
4 x( x  2) x(2  x)
.
.
=
=
(2  x)(2  x) x  3
x3
(2  x)(2  x) x  3

4

 A  1  3  2
2/ |x| = 1=> 
 A  4  1
1  3


Bài II:
Gọi độ dài quãng đường AB là x (km ; x >

C
B

0)

K

Ta có phương trình:

E
P

x
x
3
: 40  : 60 
2
2

2

O
F

Bài III:
A

a/

CID = CKD vì là các góc chắn các

D

cung bàng nhau.(=> CDIK nội tiếp)
b/ Tứ giác CDEF nội tiếp được vì góc ngoài bằng góc trong không kề với nó.
c/ IK//AB vì tứ giác CDIK nội tiếp =>  IKD =  ICD &  ICD =  PFB ( tứ giác
CDEF nội tiếp) => K luận .
d/ AF là tt đt(AFD) vì  EAF =  ADF (nt chắn các cung bằng nhau).
Bài IV:
M = ( 2x - 1)2 – 3 |2x-1| + 2 = (| 2x – 1|)2 – 3 |2x-1| +
= ( |2x – 1| –

9 1
4 4

3 2 1
1
) 2
4

4

Dấu “ = ” xảy ra khi ( |2x – 1| –

3 2
3
) = 0  | 2x - 1| =
2
2

3
5


2x 1 
x1 


3
2 
4
 2x – 1 =   

2
x   1
2 x  1   3
 2

4
2

2


Gia sư Thành Được
Đề 2

www.daythem.edu.vn
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1989-1990

Bài 1
Cho biểu thức
A = 1- (

2
5x
1
x 1
):
 2

2
1  2x 4x 1 1  2x
4x  4x 1

a/ Rút gọn A và nêu các điều kiện phải có của x.
b/ Tìm giá trị của x để A = 

1

2

Bài 2
Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h. Sau khi đi được 2/3 quãng
đường với vận tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10km trên
quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B chậm hơn 30 phút so với dự định. Tính quãng
đường AB.
Bài 3
Cho hình vuông ABCD và một điểm E bất kỳ trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AE
cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF và kéo dài cắt cạnh CD tại
K.Đường thẳng qua E và song song với AB cắt AI tại G.
a/ Chứng minh AE = AF.
b/Chứng minh tứ giác EGFK là hình thoi.
c/ Chứng minh tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF
d/Giả sử E chuyển động trên cạnh BC, chứng minh rằng FK = BE + DK và chu vi tam
giác ECK không đổi.
Bài 4
Tìm giá trị của x để biểu thức y=

x 2  2 x  1989
x2

(Đk x ≠ 0) đạt giá trị nhỏ nhất và

tìm GTNN đó.
GỢI Ý GIẢI đề 1989-1990
Bài I:
A = 1- (

2

5x
1
x 1
 2

):
2
1  2x 4x 1 1  2x
4x  4x 1

1/Đk x   ½ & x  1
3


Gia sư Thành Được
A = 1- (

= 1-

www.daythem.edu.vn

2
5x
1
x 1


):
1  2 x (2 x  1)(2 x  1) 2 x  1
(2 x  1) 2

2(2 x  1)  5 x  2 x  1 (2 x  1) 2
4 x  2  5 x  2 x  1 (2 x  1) 2
.
= 1.
x 1
x 1
(2 x  1)(2 x  1)
(2 x  1)(2 x  1)

(2 x  1) 2
x 1
2x 1
2
= 1.
= 1=
x 1
(2 x  1)(2 x  1)
2x 1
2x 1

2/ A = -

1
1
2

=  2x - 1 = 4  x = 2,5
2
2

2x 1

Bài II:
Gọi quãng đường AB là x (km & x >0 )
Ta có phương trình
2
1
x 1
2x
x
x 1
x : 50  x : 40 
 



3
3
50 2
150 120 50 2

Bài III:
a/ AE = AF. Vì  FAD =  EAB (cùng phụ với  DAE)
=>  ADB =  ABE (cạnh gv- gn ) => k luận.

B

A

b/ Các tam giác vuông IGE & IKF bằng nhau (GE // KT

IE = IF) => GF = GE =KF = KE (vì AK là trung trực).
c/ tam giác AKF và CAF đồng dạng và AF2 = KF.CF

G

Vì ABCD là hình vuông => goc ACF = 450
Vì tam giác AEF vuông cân &AI là trung trực

E
I

F

D

K

C

 goc FAK = 450 => 2 tam giác đồng dạng (gg).
 Tỉ số => k luận
d/ FD = BE (Vì 2 tam giác bằng nhau) => FK = BE+DK
 CECK = FK + KC + EC & CD – DK = CK = BE ;
 CE = DK
 CECK = 2BC (không đổi).
Bài IV: y =


x 2  2 x  1989
1

(Đk x ≠ 0 => y  0 ) đạt giá trị nhỏ nhất 
đạt giá trị lớn nhất
2
x
y

x2
max
x 2  2 x  1989

1


1

2 1989
 2
x
x

max  1 

2 1989
 2 min
x
x

4

Gia sư Thành Được
Mà 1 

www.daythem.edu.vn

2 1989
1989 2 1989.(1988  1)
1
1 1
1
1988
= 1989 ( 2  2. .
)+
 2 =
 

2
2
2
x
x
x
x
1989
x
x 1989 1989
1989

= 1989. (

1
1
1988
1988
)2 +


x 1989
1989
1989

=> Min y =

1989
khi x = 1989.
1988

Đề 3
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1990-1991
Bài 1:
Xét biểu thức
P=(

x 1
1
5 x
3 x 2
) : (1)



3 x 1 3 x 1 9x 1
3 x 1

a/ Rút gọn P.
b/ Tìm các giá trị của x để P =

6
5

Bài 2
Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe đi với vận tốc
30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được ¾ quãng đường AB, xe con tăng vận
tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB, biết rằng xe con đến tỉnh B
sớm hơn xe tải 2 giờ 20 phút.
Bài 3:
Cho đường tròn (O), một dây AB và một điểm C ở ngoài tròn nằm trên tia AB. Từ điểm
chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn , cắt dây AB tại D.Tia CP cắt
đường tròn tại điểm thứ hai I.Các dây AB và QI cắt nhau tại K.
a/ Cm tứ giác PDKI nội tiếp được.
b/ Cm CI.CP = CK.CD
c/ Cm IC là tia phân giác của góc ở ngoài đỉnh I của tam giác AIB
d/ Giả sử A,B,C cố định. Cmr khi đường tròn (O)thay đổi nhưng vẫn đi qua B thì
đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4
Tìm giá trị của x để biểu thức
y=x-

x  1991 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm GTNN đó.

5


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
GỢI Ý GIẢI đề 1990-1991

Bài I:
1/ Đk: x  1/9 =>

P=(

x 1
1
5 x
3 x 2
) : ( 1)


3 x 1 3 x 1 9x 1
3 x 1

=

3 x 1 3 x  2
( x  1)(3 x  1)  (3 x  1)  5 x
:
3 x 1
(3 x  1)(3 x  1)

=

x
3 x 1
3x
3x  x  3 x  1  3 x  1  5 x 3 x  1
.
=
.
=
3
3
3 x 1
(3 x  1)(3 x  1)
(3 x  1)(3 x  1)

2/ P =

x
6
6

=
=> 5x – 6 ( 3 x  1 ) = 0  5x - 18 x +6 = 0
5
5
3 x 1

 =

=>

x =

Bài II:
Gọi quãng đường AB là x(km, x > 0)
Ta có phương trình:

x 3 x 1 x
1
 .  . 2
30 4 45 4 50
3

Bài III
a/ tứ giác PDKI nội tiếp được vì  PDK =  PIK = 900
b/ CI.CP = CK.CD vì  ICK ~  DCP

P

c/ IC là tia pg vì IQ là pg  AIB và IC  IQ
I

d/ K là điểm cố định vì IC, IK là các phân giác trong và ngoài
O

tại I của tam giác AIB ( chia điều hòa)
KB IB CB
mà A,B,C cố định.



KA IA CA

A

D

K

C

B

Bài IV:
Tìm giá trị của x để biểu thức

Q

y=x-

x  1991 đạt giá trị nhỏ nhất

y=x-

x  1991 = [( x – 1991)-

= ( x  1991 -

x  1991 +

1
1
]+ 1991
4
4

1 2
3
1
3
) + 1990
+ 1990 = 1991 => Min y = 1991 khi x = 1991

2
4
4
4

6


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

...............................................................................................................................

Đề 4

®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :1992-1993
Bài 1:
Cho biểu thức
B=(

2 xx
1
x 2
) : (1)

x x 1
x 1
x  x 1

a/ Rút gọn B.
b/ Tìm

B khi x = 5+ 2 3

Bài 2:
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ
nhất làm trong 5 giờ, người thứ 2 làm trong 6 giờ thì cả hai người làm được ¾ công việc. Hỏi
mỗi người làm một mình công việc đó thì mấy giờ xong.
Bài 3:
Cho nửa đường tròn đường kính AB. K là điểm chính giữa của cung AB. Trên cung KB
lấy M (M ≠ K,B ). Trên tia AM lấy N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP//KM. Gọi Q là giao điểm
của các đường thẳng AP, BM.
a/ So sánh các tam giác AKN và BKM.
b/ Cm tam giác KMN vuông cân.

c/ Tứ giác ANKP là hình gì? Tại sao?
d/ Gọi R,S lần lượt là giao điểm thứ 2 của QA và QB với đường tròn ngoại tiếp tam
giác OMP, chứng minh khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên
đường tròn cố định.
Bài 4
Giải phương trình
1
2
2 x


1 x 1 x
2x

7


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

GỢI Ý GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1992-1993
Bài I:
Đk: x  0 & x  1 => B = (

2 xx
1
x 2
) : (1)


x x 1
x 1
x  x 1

=

2 x  x  x  x 1 x  x  1  x  2
:
x  x 1
( x  1)( x  x  1)

=

1
x  x 1
x 1
.
=
x 1
x 1
( x  1)( x  x  1)

B khi x = 5+ 2 3

b/ Tìm
B=

1
5  2 3 1

=

2 3
1
=
=>
2
2(2  3)

B =

2 3
=
2

3 1
2

Bài II:
1
Gọi thời gian làm một mình xong công việc của thứ nhất là x(giờ, x > 7 )
5
1
Thời gain người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ, y > 7 )
5

Thì trong 1 giờ, người thứ nhất làm được
được

1
1
(cv); người thứ hai làm được (cv) & cả hai làm
y
x

5
(cv). => ta có hệ phương trình:
36

Q

1 1 5
 x  y  36


5  6  3
 x y 4
I

R

Bài III:

S

K
P

a/tam giác AKN = BKM. (cgc)

b/ tam giác KMN vuông cân vì KN = KM (2 tgbn)
&  AKN +  NKB =  NKB +  MKB

M
N
A

E

O

F

8

B


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

c/ Tứ giác ANKP là hình bh vì  PAN =  KMN
=  KNM = 450
&  RPK =  APK (tgnt) =  PAN = 450
d/  ABM =  RPM (ABMP nt)

 RPM =  QSR (RPMS nt) => RS//AB
BP//KM => cung KP = cung MB =>  POM = 900
=>  OMP nội tiếp đường tròn đường kính PM (k đổi)

=>  Q = 450 (k đổi)
Kẻ IE // AQ , IF // BQ =>  EIF = 450 không đổi, RS = OM = OB = OA k đổi =>E, F là
trung điểm của OA và OB => E, F cố định
=> E(~ cung 450 vẽ trên đoạn EF
Bài IV:
Giải phương trình
1
2
2 x


1 x 1 x
2x

Đề 5
®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1993-1994
Bài 1:
Cho biểu thức
M= (

x 1
2x  x
x 1
2x  x

 1) : (1 

)
2x 1

2x 1
2x 1
2x 1

a/ Rút gọn M
b/ Tính M khi x =

1
(3+2 2 )
2

Bài 2:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 4 giờ 48 phút.
Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 1 giờ.Hỏi nếu chảy
riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Bài 3:

9


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Cho 2 đường tròn (O 1 ) và ( O 2 ) tiếp xúc ngoài nhau tại A và tiếp tuyến chung Ax. Một
đường thẳng d tiếp xúc với (O 1 ) , ( O 2 ) lần lượt tại các điểm B,C và cắt Ax tại M.Kẻ các
đường kính B O 1 D, C O 2 E.
a/ Cmr M là trung điểm của BC.
b/ Cmr tam giác O1MO2 vuông.
c/ Cmr B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng.

d/ Gọi I là trung điểm của DE. Cmr đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với đường
thẳng BC.
Bài 4:Tìm m để hệ phương trình sau đây có nghiệm
x2- (2m-3)x + 6 = 0
2 x2 +x + (m-5) =0
HƯỚNG DẪN GIẢI ®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1993-1994
Bài 1:
a/ Rút gọn; Đk x  0 & x  ½
M= (

x 1
2x  x
x 1
2x  x

 1) : (1 

)
2x 1
2x 1
2x 1
2x 1

=
( x  1)( 2 x 1)  ( 2 x  x )( 2 x 1)  (2 x 1) 2 x 1  ( x 1)( 2 x 1)  ( 2 x  x)( 2 x 1)
:
( 2 x  1)( 2 x 1)
( 2 x 1)( 2 x 1)

=
x 2  x  2x 1  2 x  2 x  x  x 2  2 x  1 2 x 1  x 2  x  2 x 1  2 x  2 x  x 2  x
:
( 2 x  1)( 2 x  1)
( 2 x  1)( 2 x  1)

=

2x 2  2 2x
2 x  2
2 2 x ( x  1) ( 2 x  1)( 2 x 1)
=
=:
.
( 2 x  1)( 2 x 1) ( 2 x 1)( 2 x 1)
( 2 x  1)( 2 x 1)
2( x 1)

b/ Tính M khi x =

2x

1
1
(3+2 2 ) = ( 2 + 1)2
2
2

10

Gia sư Thành Được
 M=-

www.daythem.edu.vn

( 2  1) 2 = - ( 2 + 1)

Bài 2:
Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x (h, x > 4
Thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y (h, y > 4
Thì trong 1h vòi I chảy được
4

4
)
5

4
)
5

1
1
(bể), vòi II chảy được (bể) & cả hai vòi chảy được 1 :
y
x

4
(bể)

5

Ta có hệ phương trình

D

1 1 5
 x  y  24 1

 x  y – 1  2


I

E

A

Bài 3:

O

O

1

2

a/ Cm M là trung điểm của BC.

M

C

B

MA  MB
 => MB = MC (t/c 2 tt cắt nhau) => Kl
MB  MC 

b/ Cm  O1MO2 vuông.
Vì MA = MB = MC (cmt) =>  ABC vuông tại A
Mà ABM  AO1M (gnt, góc ở tâm)

Và ACM  AO2 M = > AO1M  AO2 M = 900 => KL
c/ Cm B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng.
0

Vì  ABC vuông tại A(cmt) => BAC = 900 & EAC = 90 (gnt chắn nửa đường tròn)

=> KL
Tương tự với C , A, D.
d/ Cm BC là tt đt(IO1O2)
 ADE vuông tại A(do đđ) = >ID = IA = IE (t/c) => O1I là trung trực của AD => O1I // O2M,

tương tự ta có O2I // O1M mà O1MO2 = 900 => tứ giác O1MO2I là hình chữ nhật => tâm Đt

11

Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

ngoi tip IO1O2 l giao im 2 chộo IM v O1O2. T giỏc BCED l hỡnh thang vuụng
( B = 900) => IM l ng trung bỡnh => IM BC => BC l tt t(IO1O2).
(Cú th dựng t/c ng trung bỡnh ca tam giỏc cm t giỏc O1MO2I l hỡnh bỡnh hnh
& O1MO2 =900 => t giỏc O1MO2I l hỡnh ch nht ).

5
đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội*
Năm học :1994-1995

2a 1
1 a3
a

.

a
Bài 1: Cho biểu thức P =



1 a
3

a

a

1
a

1




a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P. 1 a
Bài 2:

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngợc
từ B về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian ngợc 1h20 phút. Tính
khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là
5km/h và vận tốc riêng của ca nô khi xuôi và ngợc là bằng nhau.
Bài 3:
Cho tam gíac ABC cân tại A,

A < 900, một cung tròn BC nằm

trong tam giác ABC và tiếp xúc với AB,AC tại B và C. Trên cung
BC lấy một điểm M rồi hạ đờng vuông góc MI,MH,MK xuống các cạnh
tơng ứng BC ,CA, BA. Gọi P là giao điểm của MB,IK và Q là giao
điểm của MC,IH.
a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp đợc
b) Chứng minh tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK

c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp đợc. Suy ra PQ//BC
d) Gọi (O1) là đờng tròn đi qua M,P,K,(O2) là đờng tròn đi qua
M,Q,H; N là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là
trung điểm của BC. Chứng minh M,N,D thẳng hàng.
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn phơng trình sau:

12


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn
5x- 2 x (2 y) y 2 1 0

HDG đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội*
Năm học :1994-1995
Bài 1: a/Rg biểu thức (k : x 0 & x 1 )

2a 1
1 a3
a
2a 1 a ( a 1)

.

a
P =
=

a a 1 a


3

(
a

1)(
a

a

1)
a 1 a a 1 1 a




2a 1 a a
( a 1)(a a 1)

=





2

a 1 =

a a 1
( a 1)(a a 1)





a 1

2

=



a 1

c) Xét dấu của biểu thức P. 1 a
P. 1 a = ( a 1). 1 a Vi a 0 v a < 1 thỡ

a 1 <0 =>

a < 1 =>

P. 1 a < 0.
Bài 2:

Giải bài toán bằng cách lập phơng trình

Gi khong cỏch gia 2 bn l x (km; x > 0)
Thỡ thi gian xuụi l
Ta cú phng trỡnh

x
x
(h). Thi gian ngc l
(h)
20
30

A

x
4
x
=
20
3
30

x

K

H

M
Q

P

Bài 3:
B

a/Chứng minh các tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp đợc

I

C

MK AB (gt) => MKB = 900 & MI BC (gt)
=> MIB = 900 BIMK ni tip c
Tng t vi t giỏc CIMH
b/ C/m tia đối của tia MI là phân giác của HMK
Gi tia i ca MI l Mx, ta cú:
Vỡ t giỏc BIMK ni tip (cmt) => xMK = IBK (cựng bự KMI )

Vỡ t giỏc CIMH ni tip (cmt) => xMH = ICH
M IBK = ICH (cựng chn cung BC) => xMK

= xMH => KL

13


Gia s Thnh c
www.daythem.edu.vn
c/Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp đợc. Suy ra PQ//BC

PMQ = ẵ s cung ln BC
PIM = KBM (nt chn cung KM) = ẵ s cung BM

QIM = HCM (nt chn cung HM) = ẵ s cung MC
0

PMQ + PIM + QIM = 180 => t giỏc MPIQ ni tip c

=> PQM = PIM , PIM = KBM & KBM = ICM PQM = ICM =>
PQ//BC
6 a
đề thi tốt nghiệp thcs thành phố hà nội*
Năm học :1995-1996
A/ lý thuyt : Hc sinh chn 1 trong 2
1: Phỏt biu nh ngha v nờu cỏc tớnh cht ca hm s bc nht.
Trong 2 hm s sau õy, hm s no l hm s b nht ? Vỡ sao?
y = 1 2x ; y = x +

1
x

2 : Phỏt biu du hiu nhn bit hỡnh bỡnh hnh.
B/ Bi tp
1/ Xột biu thc

B =(

a 1
a 1

1
a 1 8 a
a a 3
):(
)
a 1
a 1
a 1 a 1

a) Rỳt gn B.
b) So sỏnh B vi 1.
2/ Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh
Nu hai vũi nc cựng chy vo mt b , thỡ sau 6 gi y. Nu vũi 1 chy 20 phỳt v vũi 2
chy

30 phỳt thỡ c

1
b.
6

Hi nu mi vũi chy mt mỡnh thỡ phi bao lõu mi y b ?
Bi 3
14


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

Cho nửa đường tròn đường kính AB và 2 điểm C,D thuộc nửa dường tròn sao cho cung AC <
900 và góc COD = 900. Gọi M là một điểm trên nửa đường tròn, sao cho C là điểm chính giữa
cung AM. Các dây AM và BM cắt OC, OD lần lượt tại E, F.
a/ Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b/ Chứng minh D là điểm chính giữa cung MB.
c/ Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I và K.
Chứng minh rằng tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp được.
GỢI Ý GIẢI Đề tn 1995-1996
Bài I:
a/ B =

4 a
a4

b/ Xét bt B -1 =

4 a
( a  2) 2
- 1=
 0 => B = 1 khi a = 4.
a4
a4

Bài II:
1 1 1
x  y  6
 x  10

Hệ pt: 

<=> 
 y  15
1  1  1
 3x 2 y 15

Tg vòi 1 chảy = 10h, tg vòi 2 chảy = 15h.
Bài III:
a/ MEOF là hcn vì có 3 góc vuông.
b/ OD  MB =>
c/ KM & KB là tiếp tuyến nên góc OMK = góc OBK = 900
Đề 6 b

®Ò thi vµo líp 10 cña thµnh phè hµ néi
N¨m häc :1995-1996
 1
1   a 1
a  2

Bµi1: Cho biÓu thøc A = 

 : 


a

1
a
a

2

a

1

 


a) Rót gän A

15


Gia s Thnh c
www.daythem.edu.vn
b) Tìm GT của a để A>1/6
Bài2: Cho phơng trình x2-2(m+2)x+m+1=0 (ẩn x)
a) Giải phơng trình khi m = -

3
2

b) Tìm các GT của m để phơng trình có hai nghiệm tráI dấu
c) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phơng trình .Tìm GT của m để
x1(1-2x2)+ x2(1-2x1) =m2
Bài 3: Cho tam giác ABC(AB>AC ; BAC >900). I,K thứ tự là các
trung điểm của AB,AC. Các đờng tròn đờng kính AB,AC cắt nhau
tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai
E, tia CA cắt đờng tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng
b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.

c) Chứng minh ba đờng thẳng AD,BF,CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại
tiếp tam giác AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng
DH,DE.
Bài4: Xét hai phơng trình bậc hai : ax2+bx+c = 0; cx2 +bx+a = 0.
Tìm hệ thức giữa a,b,c là điều kiện cần và đủ để hai phơng
trinh trên có một nghiệm chung duy nhất.
Gợi ý giải đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội
Năm học :1995-1996
Bài1: a/ Rg biểu thức

(Đk a > 0 & a 1)

1
1 a 1
a 2

A=

:

a a 2
a 1
a 1

=

a a 1 ( a 1)( a 1) ( a 2)( a 2)
=
:

a ( a 1)
( a 2)( a 1)

=

1
( a 2)( a 1)
=
.
3
a ( a 1)

1
a 1 a 4
:
a ( a 1) ( a 2)( a 1)

a 2
3 a

b/Tìm GT của a để A>1/6

16


Gia s Thnh c
A

1

6

www.daythem.edu.vn

a 2
a 2
2( a 2) a
1
1
>

> 0
> 0
6
6
3 a
3 a
6 a



2 a 4 a
> 0
6 a



a 4 > 0 (vì 6 a > 0 )

a > 4 a > 16 (tmđk)

Bài2: Cho phơng trình x2-2(m+2)x+m+1=0 (ẩn x)
a/Giải phơng trình khi m = Ta có x2 - 2(-

3
2

3
3
+2)x +1= 0
2
2

x2 -

1
= 0
2

x -

2x2

2x 1 = 0

= 1 + 2 = 3


1 3
x1

2
=>
x 1 3
2
2

b/Tìm các GT của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

(m 2) 2 (m 1) 0
m 2 4m 4 m 1 0
' 0




m

1

0
m


1
x1.x2 0


m2 3m 3 0

m 1
3
9 3
3 2 3
2

m2 3m 3 0
m 2 m 0
( m ) 0



m < - 1
2
4 4
2
4

m


1


m 1
m 1
3
3
( (m ) 2 0m )
2

4

F

Bài 3:
a/Chứng minh bai điểm B,C,D thẳng hàng

E
A

ADB ADC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng
tròn)
I

K

b/Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
Vì BFC = BEC = 900 => nt (đl) B

C
D

c/Chứng minh ba đờng thẳng AD,BF,CE đồng quy
Vì AD , BF, CE là các đờng cao của ABC => đồng quy

17


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

7

đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội*
Năm học :1996-1997( thi 21/7/1996 tg 150)
Bài 1: Cho biểu thức
1
1
2 x 2
2
:
A =




x 1 x x x x 1 x 1 x 1

1) Rút gọn A
2) Với GT nào của x thì A đạt GTNN và tìm GTNN đó
Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một ngời đi xe máy t A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự
định trớc .Sau khi đi đợc 1/3 quáng đờng AB ngời đó tăng vận
tốc lên 10km/h trên quãng đờng còn lại. Tìm vận tốc dự định
và thời gian lăn bánh trên đờng,biết rằng ngời đó đến B sớm
hơn dự định 24phút.
Bài3:
Cho đờng tròn (O) bán kính R và một dây BC cố định. Gọi A là
điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Lấy điểm M trên cung nhỏ

AC,kẻ tia Bx vuông góc với tia MA ở I và cắt tia CM tại D.
1) Chứng minh gúc AMD= gúc ABC và MA là tia phân giac của góc
BMD.
2) Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và
góc BDC có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm M.
3) Tia DA cắt tia BC tại E và cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ
hai F, chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoai
tiếp tam giác BEF.
4) Chứng minh tích P=AE.AF không đổi khi M di động. Tính P
theo bán kính R và ABC =
Bài4:
Cho hai bất phơng trình :

3mx -2m>x+1

(1)

18


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn
m-2x<0

(2)
Tìm m để hai bất phơng trình trên có cùng tập hợp nghiệm
8

đề thi vào lớp 10 của thành phố hà nội*

Năm học :1997-1998
(26/7/1997- tg= 150)
Bi 1
Cho biu thc

A=

x :(

x 1
1
x2


)
x x 1 1 x x x 1

a/Rỳt gn A.
b/ Tỡm x A = 7
Bi 2:
Mt cụng nhõn d tớnh lm 72 sn phm trong mt thi gian ó nh.Nhng trong thc
t xớ nghip li giao lm 80 sn phm. Vỡ vy, mc dự ngi ú ó lm mi gi thờm 1 sn
phm song thi gian hon thnh cụng vic vn tng so vi d nh 12 phỳt.
Tớnh nng sut d kin, bit rng mi gi ngi ú lm khụng quỏ 20 sn phm.
Bi 3:
Cho ng trũn O bỏn kớnh R, mt dõy AB c nh (AB< 2R) v mt im M tựy ý
trờn cung ln AB (M khỏc A,B). Gi I l trung im ca dõy AB v (O) l ng trũn qua M
v tip xỳc vi AB ti A. ng thng MI ct (O), (O)ln lt ti cỏc giao im th hai l
N,P.
1/ Cm IA2 = IP.IM

2/ Cm t giỏc ANBP l hỡnh bỡnh hnh.
2/ Cm IB l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc MBP.
4/ Cm khi M di chuyn thỡ trng tõm G ca tam giỏc PAB chy trờn 1 cung trũn c
nh.

19


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Bi 4:
Trong h ta vuụng gúc xOy, cho Parabol y = x2

(P) v ng thng y = x + m

(d)
Tỡm m (d) ct hai nhỏnh ca (P) ti A v B sao cho tam giỏc AOB vuụng ti O?

9

đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội*
Năm học :2006- 2007
(thi ngay 16/6/2006 120)

Bài 1 (2,5 điểm)

a 3 a 2
a a 1
1


:

a 1 a 1
a 1
( a 2)( a 1)

Cho biểu thức P =

1/ Rút gọn biểu thức P
2/ Tìm a để

1
a 1

1
P
8

Bài 2 (2,5 điểm)
Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ bến A đến bến B
dài 80 km, sau đó lại ngợc dòng đến địa điểm C cách bến B 72
km. Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngợc dòng là 15
phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc của dòng nớc là
4km/h.
Bài 3 ( 1 điểm )

Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x +
3 và y = x2.
Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và B trên
trục hoành. Tính SABCD.
Bài 4 (3 điểm)
Cho (O) đờng kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN
vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H
là giao điểm của AK và MN.
a) CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp.

20


Gia s Thnh c
www.daythem.edu.vn
b) Tính AH . AK theo R.
c) Xác định vị trí của điểm K để (KM + KN + KB) đạt giá trị lớn
nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 5 (1 điểm)
Cho hai số dơng x, y thoả mãn điều kiện: x + y = 2. Chứng
minh: x2y2(x2+y2) 2.
GI í GII
Bi I:
1/k a 1 & a 0.



a 3 a 2
a a 1
1

:

a 1 a 1
a 1
( a 2)( a 1)

=> P =
=

( a 2)( a 1)

a ( a 1)
a 1
a 1

:




( a 2)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1) ( a 1)( a 1)
( a 1)
a
2 a

:
( a 1) ( a 1) ( a 1)( a 1)

=

=

2/

1
( a 1)( a 1)
a 1
.

a 1
2 a
2 a
1
a 1

1
P
8



2 a
a 1

1
8
a 1

Bi II:
Gi vn tục riờng ca ca nụ l x (km/h, x >4)
Ta cú phng trỡnh
80
72 1


x4 x4 4

Bi III:
Gii pt: x2 = 2x + 3 x2 2x 3 = 0 x1 = -1 & x2 = 3 (theo Vi et) => y1 = 1& y2
=9
=> A (-1 ; 1) & B (3 : 9)

21


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

SABCD = (AD + BC ) (|OD| + |OC| ) : 2 (vì tứ giác ABCD là hình thang vuông)
Bài IV:
1/ Tứ giác BCHK có  C =  K = 900 => nt
2/  ACH ~  AKB (gg) =>

AC AH
=> AH.AK = AB.AC = R2

AK AB

3/ Cm  BMN đều => KM + KN + KB = 2KN
=> max khi KN max = 2R
=> K,O,N thẳng hàng (K là điểm chính giữa cung BM)
=> Max(KM + KN + KB) = 4R

M

(Bài tập 20 /trang 76 /sách BTT9 tập II)

K

H
A

C

B

O

N

Bài V:
2

 x 2  2 xy  y 2 
1
1
1

x y (x +y ) =
xy. [2xy.(x2 + y2)]  xy. 
 =
2
2
2
2


2 2

2

2

2

 ( x  y)2 
xy. 
 = 2xy
 2 

 x y
 2

 2 

2

= 2

(Áp dung Cô si cho 2 số dương

và x + y = 2 ).

Đề 10
®Ò thi vµo líp 10 thµnh phè hµ néi*
N¨m häc :2007-2008 (20/6/2007 – 120’)
Bµi 1 ( 2,5 ®iÓm )

22


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

Cho biểu thức : P =

x
3
6 x 4


x 1
x 1
x 1

Vi x 0 & x 1

1/ Rút gọn biểu thức P.
2/ Tìm x để P <

1
.
2

Bài 2 ( 2,5 điểm )
Giải bài toán sau bằng cách lập phơng trình:
Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km. Khi từ B trở
về A ngời đó tăng vận tốc lên 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời
gian về ít hơn thời gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp
khi đi từ A đến B.
Bài 3 ( 1 điểm )
Cho phơng trình x2 + bx + c = 0
1/ Giải phơng trình khi b = - 3 và c = 2.
2/ Tìm b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và
tích của chúng bằng 1.
Bài 4 ( 3,5 điểm )
Cho đờng tròn (O; R) tiếp xúc với đờng thẳng d tại A. Trên
d lấy điểm H không trùng với điểm A và AH < R. Qua H kẻ đờng
thẳng vuông góc với d, đờng thẳng này cắt đờng tròn tại hai
điểm E và B ( E nằm giữa B và H ).
1/ Chứng minh ABE EAH và ABH

EAH.

2/ Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC,
đờng thẳng CE cắt AB tại K. Chứng minh AHEK là tứ giác nội
tiếp.

3/ Xác định vị trí điểm H để AB = R 3 .
Bài 5 ( 0,5 điểm )
Cho đờng thẳng y = ( m - 1 ) x + 2
Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng đó là lớn
nhất.

23


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
GỢI Ý GIẢI Đề 2007-2008

Bài I:
1/ P =

x 1
x 1

2/ P <

1

2

x 1
1
<


2
x 1

x 1
x 1

-

1
<0 
2

x 3 0  0  x < 9

&x  1

Bài II:
Gọi vận tốc lúc đi là x ( km/h & x > 0)
Ta có phương trình
24
24
1

 
x x4 2

x = 12

Bài III:
2/ Đ k:

giải hpt:

   0  b 2  4c  0

 x1.x2  1  c  1

Bài IV:
1/ Hai tam giác đồng dạng theo trường hợp gg
2/  HAE =  HCE (cgc) =>  C =  HAF , mà  HAF =  B (do 2 tam giác đ
dạng)
Mặt khác,  B +  HAB = 900 =>  C +  HAB = 900 =>  AKE = 900 =>  AKE +

 AHE = 1800 => nt
3/ Hạ OI  AB => AI = ½ AB =

 BAH=600 => AH =

R 3
3
=> cos (  OAI) =
=>  OAI = 300 =>
2
2

R 3
.
2

Bài V:

Đồ thị luôn đi qua A (0;2) cố định khi a = m – 1 =0  m =1
Gọi B là điểm cắt truc hoành. Kẻ OH  AB. Trong tam giác vuông OAB ta có:
OH  OA. Dấu “=” xảy ra khi H  A  m – 1 = 0  m = 1

24


Gia s Thnh c

www.daythem.edu.vn

11
đề thi vào lớp 10 thành phố hà nội*
Năm học :2008-2009 (18/6/2008 120)
Bài 1 ( 2,5 điểm )

1
x
x

:
x 1 x x
x

Cho biểu thức: P =
1/ Rút gọn P.

2/ Tìm giá trị của P khi x = 4.
3/ Tìm x để P =

13
.
3

Bài 2 ( 2,5 điểm )
Giải bài toán sau bằng cách lập phờng trình.
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 900 chi tiết máy. Tháng
thứ hai tổ I vợt mức 15% và tổ II vợt mức 10% so với tháng thứ
nhất, vì vậy hai tổ đã sản xuất đợc 1010 chi tiết máy. Hỏi
tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy.
Bài 3 ( 3,5 điểm )
Cho parabol (P): y =

1 2
x và đờng thẳng (d): y = mx + 1
4

1/ Chứng minh với mọi giá trị của m đờng thẳng (d) luôn cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
2/ Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam
giác OAB theo m ( O là gốc toạ độ ).
Bài 4 ( 3,5 điêm )
Cho đờng tròn (O) có đờng kính AB = 2R và E là điểm bất kì
trên đờng tròn đó ( E khác A và B ). Đờng phân giác góc AEB cắt
đoạn thẳng AB tại F và cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ hai là K.
1/ Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA.
2/ Gọi I là giao điểm của đờng trung trực đoạn EF với OE, chứng
minh đờng tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đờng tròn (O) tại E
và tiếp xúc với đờng thẳng AB tại F.

25