CHƯƠNG 6 XOẮN THANH TRÒN

XOẮN THANH TRÒN










Định nghĩa
Biểu đồ mômen xoắn
Ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh tròn
chịu xoắn thuần túy
Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Tính toán độ bền của thanh chịu xoắn
Tính toán độ cứng của thanh chịu xoắn
Tính lò xo hình trụ có bước ngắn chịu kéo – nén
Bài toán siêu tĩnh
1


Định nghĩa
Thanh được gọi là chịu xoắn thuần túy khi
trên mọi mặt cắt ngang chỉ có một thành
phần nội lực là mômen xoắn Mz
Mz
z
x
y

2


A

B

C

D

E

A

B C

D E

A

B C

D E

3


Biểu đồ mômen xoắn
Mômen xoắn nội lực


Quy tắc tính nội lực

Mz =

∑ m z ( Pi ) + ∫ m z dz
1bên
1bên



Quy ước dấu: Mz dương khi nhìn từ ngoài vào mặt cắt
thấy chiều quay của nó thuận chiều kim đồng hồ, và
có dấu âm khi có chiều quay ngược lại
Mz

Mz
z

z

x

x
y

y
4

Ví dụ 6.1
Vẽ biểu đồ nội lực của thanh chịu xoắn dưới
tác dụng của các ngoại lực

5


Ví dụ 6.1

6


Quan hệ giữa m ngoại lực với N và n
A
2πn
N = = m.ω = m
t
60




Nếu công suất được tính bằng mã lực
(1CV=750Nm)
60 x 750 N
N(CV )
( Nm )
m=
x = 7126
2π

n
n
Nếu công suất được tính bằng kW
(1CV=0,736Kw)
7162 N
N( kW )
( Nm )
m=
x = 9740
0,736 n
n
7


Ứng suất trên mặt cắt ngang của
thanh tròn chịu xoắn thuần túy
z
mz
z

8


Các giả thuyết






Giả thuyết về mặt cắt ngang: mặt cắt ngang
trước và sau biến dạng vẫn phẳng, thẳng góc
với trục thanh và khoảng cách giữa chúng
không đổi.
Giả thuyết về các bán kính: các bán kính
trước và sau biến dạng vẫn thẳng và có chiều
dài không đổi
Giả thuyết về các thớ dọc : trong quá trình
biến dạng các thớ dọc không ép hoặc đẩy lên
nhau.
9


Biểu thức tính ứng suất trong thanh
tròn chịu xoắn thuần túy
Mz

Mz
τρ =
ρ
Jρ

O

τmax
τmax

τmax

Mz

Mz
=
R=
Jρ
Wρ
10


Mômen chống xoắn


Với thanh có mặt cắt ngang tròn đường kính D
πR 4 πD3
Wρ =
=
≈ 0,2D3
2R
16



Với thanh có mặt cắt ngang hình vành khăn
 πR 4 πr 4  1 πR 3
 =
Wρ = 
−
1 − η4
2 R
2
 2

(

(

)

(

πD3
=
1 − η4 ≈ 0,2D3 1 − η4
16

)
11

)


Biến dạng của thanh tròn chịu xoắn
Góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách
ϕ
l
nhau một khoảng cách L là
Mz
ϕ
=
d
ϕ

=
dz
∫
∫
M
Nếu
z
GJ
GJ ρ



Là hằng số đối với z

0

0

ρ

M z .l
ϕ=
GJ ρ
n

l

Mz
ϕ = ∑∫
dz

i =1 0 GJ ρ



Thay đổi trên từng đoạn



Là hằng số trên từng đoạn thanh ϕ = M z li
∑ GJ
i =1
ρ

n

12


Ví dụ 6.2
Một trục bậc chịu tác dụng của mômen phân
bố có cường độ m=2kNm/m và mômen tập
trung M=2,2kNm

13


Ví dụ 6.2

ϕA = ϕAE
= ϕAB + ϕBC + ϕCD + ϕDE

m.z
M (z2 ) l 2 M (z3 ) l3 M (z4 ) l 4
= ∫ ( 1) dz +
( 2) +
( 3) +
( 4)
GJ
GJ
GJ
GJ
ρ
ρ
ρ
ρ
0
0,2

= 0,057 rad

ϕ BD = ϕ BC + ϕ CD

M (z2 ) l 2 M (z3 ) l 3
=
( 2) +
GJ ρ
GJ ρ( 3 )

= 0,137 rad
14

Tính toán độ bền của thanh chịu xoắn
Điều kiện bền

τmax

τ0
[ τ] =
n

Mz
= max
≤ [ τ]
Wρ

Với lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn
nhất thì điều kiện bền của phân tố
ở trạng thái trượt thuần túy là
Với thuyết bền thế năng biến đổi
hình dạng lớn nhất

[
σ]
[ τ] =
2

[
σ]
[ τ] =

3

15


Các dạng bài toán cơ bản





Bài toán kiểm tra độ bền
Bài toán thiết kế
D≥3

Mz
0,2[ τ] 1 − η4

(

Nếu thanh tròn đặc lấy η = 0
Bài toán xác định tải trọng cho phép

(

M z ≤ [ τ]0,2D 1 − η
3

4

)
16

)


Tính toán độ cứng của thanh chịu xoắn
θmax





Mz
=
GJ ρ

≤ [ θ]
max

 
π
 rad 
[ θ]  = [ θ] 
 m  180  m 
0

Bài toán kiểm tra độ cứng
Bài toán thiết kế
Bài toán tính toán tải trọng cho phép

17


Ví dụ 6.3





Xác định đường kính d1 của 1 trục truyền chịu
xoắn, cho biết [τ]=4500N/cm2, góc xoắn tỷ đối
cho phép [θ]=0,250/m, G=8.106N/cm2.
Với giả thuyết trục truyền có mặt cắt ngang hình
vành khăn, hãy xác định D và d. Cho η=0,7. So
sánh sự tiết kiệm vật liệu trong hai trường hợp
trên. Xác định góc xoắn tương đối giữa hai mặt
cắt ngang A, B
18


Ví dụ 6.3

19


Ví dụ 6.3


Trường hợp mặt cắt ngang hình tròn đặc

d1 ≥ 3
d1 ≥

4

Mz

Mz

max

0,2[ τ]

max

0,1G[ θ]

=4

=3

43200
= 3,65cm
0,2 x 4500

43200
180
= 5,93cm
6

−2
0,1x8.10 π.0,25.10

Để thỏa mãn hai điều kiện bền và cứng ta
chọn d1=6cm
20


Ví dụ 6.3


Trường hợp mặt cắt ngang hình vành khăn
D≥

D≥

4

3

Mz

(

Mz

(

max

0,2[ τ] 1 − η

max

0,1G[ θ] 1 − η

4

)

=

4

4

)

=3

43200
= 3,98cm
4
0,2x 4500 1 − 0,7

(

)

43200

180
= 6,38cm
6
4
−2
0,1x8.10 1 − 0,7 π.0,25.10

(

)

Vậy chọn D=6,4cm, d≈4,5cm
21


Ví dụ 6.3





Tính diện tích mặt cắt của thanh trong hai trường
hợp để đánh giá mức độ tiết kiện vật liệu
Thanh tròn đặc:
2
2
πd1 π.6
2
F1 =
=

= 28,27cm
4
4
Thanh tròn rỗng:

(

)

(

)

πD
πx 6,4
4
4
2
F2 =
1− η =
1 − 0,7 = 16,4cm
4
4
2

2

22

Ví dụ 6.3


Góc xoắn tương đối
giữa hai mặt cắt ngang
A, B trong trường hợp
thanh tròn đặc

ϕAB

M1l1 M 2l 2
=
−
=
GJ p
GJ p
21600 x100
−
= −0,0105rad
6
4
8x10 x 0,1x 4
23


Ví dụ 6.4

24

Ví dụ 6.4


Động cơ điện truyền sang puli của trục I công
suất N1=20kW, các puli 2, 3, 4 nhận được
công suất N2=15kW, N3=2kW, N4=3kW và các
puli của trục II nhận được các công suất
N5=7kW, N6=4kW, N7=4kW.



Xác định đường kính của 2 trục, biết
[τ]=3000N/cm2, [θ]=0,250/m, D=200mm,
D1=400mm, D2=200mm, D3=600mm.

25