Các dạng bài tập về phương pháp toạ độ trong chương trình trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐINH THỊ XUÂN

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

ĐINH THỊ XUÂN

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
TRONG CHƯƠNG TRÌNH THPT

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS. Hoàng Ngọc Anh

SƠN LA, NĂM 2016


LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngọc
Anh, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn trân thành, sâu sắc tới thầy đã tận
tình chỉ bảo và giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khoá luận.
Qua đây, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu Trường Đại Học
Tây Bắc, các thầy cô trong khoa Toán - Lý - Tin, các bạn sinh viên K53-ĐHSP
Toán cũng như gia đình và bạn bè đã tạo những điều kiện thuận lợi nhất để tôi
hoàn thành khoá luận này.
Trong quá trình thực hiện, khóa luận này khó tránh khỏi những thiếu xót,
rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để khoá
luận được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 5 năm 2016
Sinh viên thực hiện

Đinh Thị Xuân


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn khoá luận ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................ 2
4. Đối tượng nghiên cứu........................................................................................ 2
5. Phạm vi nghiên cứu ........................................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................... 2
7. Đóng góp của khoá luận .................................................................................... 2
8. Cấu trúc của khoá luận ...................................................................................... 2
Chương 1: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG ...................................................................................... 3
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ......................................................................... 3

1.1.1. Toạ độ của vectơ và các phép toán trên vectơ ............................................ 3
1.1.2. Toạ độ của điểm .......................................................................................... 3
1.1.3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương ............................. 4
1.2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ........................................................... 4
1.2.1. Kiến thức cơ bản ......................................................................................... 4
1.2.2. Các dạng bài toán và bài tập áp dụng.......................................................... 5
1.3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC ........................................................................ 18
1.3.1. Các kiến thức cơ bản ................................................................................. 18
1.3.2. Các dạng bài tập ........................................................................................ 19
1.4. ĐƯỜNG TRÒN ........................................................................................... 22
1.4.1. Các kiến thức cơ bản ................................................................................. 22
1.4.2. Các dạng bài tập cơ bản ............................................................................ 23
1.5. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP............................................................... 29
1.5.1. Các kiến thức cần nhớ ............................................................................... 29
1.5.2. Các dạng toán cơ bản ................................................................................ 30


Chương 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN .................................................................................. 35
2.1. VECTƠ VÀ HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN .................................. 35
2.1.1. Vectơ trong không gian ............................................................................. 35
2.1.2. Hệ toạ độ trong không gian ....................................................................... 36
2.1.3. Phương trình mặt cầu và các dạng bài tập ................................................ 39
2.2. BÀI TẬP VỀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN .............................. 43
2.2.1. Các kiến thức liên quan ............................................................................. 43
2.2.2. Các dạng bài tập thường gặp ..................................................................... 44
2.3. BÀI TẬP VỀ ĐƯỜNG THẢNG ................................................................. 58
2.3.1. Các kiến thức cơ bản ................................................................................. 58
2.3.2. Các dạng bài toán và bài tập áp dụng........................................................ 61
KẾT LUẬN ........................................................................................................ 77

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 78


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn khoá luận
Môn Toán là một trong những môn học quan trọng hàng đầu trong
chương trình giáo dục phổ thông, nó không chỉ là cơ sở, là tiền đề để học tốt các
môn học khác, mà còn có nhiều ứng dụng rất quan trọng trong thực tế.
Trong chương trình Toán lớp 10, học sinh đã đựơc tìm hiểu về phương
pháp tọa độ (PPTĐ) trong mặt phẳng và lên lớp 12, các em được nghiên cứu mở
rộng lên PPTĐ trong không gian. Đây là một nội dung quan trọng trong chương
trình Toán THPT. Nội dung này thường xuất hiện trong các kỳ thi tốt nghiệp
THPT, cũng như trong các kỳ thi Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp.
Và nay là kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.
Đó thường là những dạng toán khó đối với học sinh, có bài không thể giải
được hoặc giải được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp, kiến thức vận dụng
thì mở rộng, xuyên suốt. Hơn nữa, do số tiết dạy về nội dung này trong chương
trình THPT không đủ để giáo viên có thể đưa ra đầy đủ các dạng toán mà chỉ có
thể dừng lại ở một số dạng toán cơ bản.
Với mong muốn giúp học sinh bớt lúng túng hơn trong cả về phương pháp
cũng như tính toán, đồng thời giúp các em nhớ lại, hiểu sâu hơn một số dạng
toán cơ bản, vừa nâng cao kỹ năng giải bài tập khi gặp các bài toán quen thuộc.
Trên cơ sở nghiên cứu phát triển thêm đề tài về các dạng bài tập hình học ở
trường phổ thông đã làm từ trước, vì thế nên tôi lựa chọn đề tài: “Các dạng bài
tập về phương pháp toạ độ trong chương trình Trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khoá luận này là đưa ra cho học sinh một số dạng toán về
phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và trong không gian. Qua đó giúp học sinh
nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo, nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và

khả năng giải các dạng bài toán khác nhau trong kỳ thi THPT Quốc gia.

1


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức liên quan cũng như các dạng bài tập về PPTĐ
trong chương trình phổ thông.
- Tổng hợp các dạng bài tập cơ bản về PPTĐ trong chương trình THPT và
đưa ra phương pháp giải cho một số dạng bài tập cơ bản.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu một số dạng bài tập và cách giải bài tập về PPTĐ trong
chương trình Toán THPT.
5. Phạm vi nghiên cứu
Vì lí do thời gian, cũng như do điều kiện có hạn của bản thân nên trong
phạm vi của khoá luận chỉ tập trung nghiên cứu một số dạng bài tập về PPTĐ
trong mặt phẳng và trong không gian theo nội dung chương trình môn Toán ở
trường phổ thông.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu.
- Phân tích tổng hợp kiến thức.
- Nghiên cứu tích luỹ kinh nghiệm của bản thân, trao đổi với giáo viên
hướng dẫn.
7. Đóng góp của khoá luận
Khoá luận sẽ là cuốn tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Sư
phạm Toán Trường Đại học Tây Bắc. Đồng thời là cuốn tài liệu trợ giúp hữu ích
cho học sinh THPT trong việc rèn luyện giải các bài tập toán liên quan đến
phương pháp toạ độ, phục vụ cho các em trong việc học tập cũng như ôn thi vào
các trường Đại học, Cao đẳng, Trung cấp chuyên nghiệp,…
8. Cấu trúc của khoá luận

Ngoài các phần mở đầu, mục lục danh mục tài liệu tham khảo và kết luận.
Khoá luận gồm hai chương với những nội dung sau:
Chương 1: Một số dạng bài tập về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng
Chương 2: Một số dạng bài tập về phương pháp toạ độ trong không gian

2


Chương 1: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
TRONG MẶT PHẲNG
1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1. Toạ độ của vectơ và các phép toán trên vectơ
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi i , j lần lượt là vectơ đơn vị của
Ox, Oy. Ta có:
1) a  (a1; a2 )  a  a1 i  a2 j
2) Cho a  (a1; a2 ), b  (b1; b2 ) ta có:
a  b  (a1  b1; a2  b2 ) , ka  (ka1; ka2 ), k 

3) Cho a  (a1; a2 ), b  (b1; b2 ) ta có:

a  b  a1b1  a2b2
a  a12  a22
cos (a, b) 

a b
a b

1.1.2. Toạ độ của điểm
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, ta có:
1) M ( xM ; yM )  OM  ( xM ; yM )

2) Cho A( xA ; y A ), B( xB ; yB ) ta có:

AB  ( xB  xA ; yB  y A )
AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2
3) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số

k ,(k  1)  MA  k MB
xA  kxB

x

M

1 k

 y  y A  kyB
 M
1 k

3


x A  xB

x

M

2
Đặc biệt, khi M là trung điểm của AB thì: 

 y  y A  yB
 M
2

x A  xB  xC

x

G

3
Nếu G là trọng tâm ABC thì: 
 y  y A  yB  yC
 G
3
1.1.3. Liên hệ giữa toạ độ hai vectơ vuông góc, cùng phương
Cho a  (a1; a2 ), b  (b1; b2 ) ta có:
1) a  b  a  b  0  a1b1  a2b2  0

a a

2) a cùng phương b  a1b2  a2b1  0   1  2 , b1  0, b2  0 
 b1 b2

3) Ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB và AC cùng phương
1.2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1.2.1. Kiến thức cơ bản
- Vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng là vectơ khác vectơ 0 và có
giá vuông góc với đường thẳng đó.
- Vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng là vectơ khác vectơ 0 và có

giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
- Phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng: đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và
có VTPT n(a, b) có dạng:
a( x  x0 )  b( y  y0 )  0

(1)

hay ax  by  c  0, a 2  b2  0

 Phương trình tham số (PTTS) của đường thẳng: đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và
VTCP u (a, b) là:

 x  x0  at
, t

 y  y0  bt

và a2  b2  0

4

(2)


 Phương trình chính tắc của đường thẳng: đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và VTCP

x  x0 y  y0

a
b

u (a, b) là:

 Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: đi qua hai điểm

A(a;0), B(0; b),( a, b 0) là:
x y
 1
a b
 Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có
hệ số góc k  tan(Ox; Ot ) là:
y  y0  k ( x  x0 ) hay y  kx  m

 Vị trí tương đối (VTTĐ) của hai đường thẳng: cho hai đường thẳng

1 : a1x  b1 y  c1  0
2 : a2 x  b2 y  c2  0
 1 cắt  2 
 1 / /  2 
 1   2 

nếu a2 , b2 , c2  0 thì:

a1 b1

a2 b2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

1.2.2. Các dạng bài toán và bài tập áp dụng
Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng
a) Lập phương trình tổng quát:
Cách giải:
 Cách 1:
 Tìm một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng
 Tìm một VTPT n(a, b) của đường thẳng
 Khi đó PTTQ của đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTPT
n(a, b) có dạng (1).

5


 Cách 2:
 Tìm một VTPT n(a, b) của đường thẳng
 Giả sử đường thẳng đã cho có phương trình dạng ax  by  c  0, a 2  b2  0
 Do đường thẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) nên thay toạ độ của M 0 ( x0 ; y0 ) vào
phương trình trên ta tìm được c.
Đặc biệt: giả sử đường thẳng d có phương trình d: ax  by  c  0, a 2  b2  0
Khi đó:
 Nếu d '/ / d thì d ': ax  by  c '  0
 Nếu d "  d thì d ": bx  ay  c "  0
Ví dụ 1: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết:
a) d đi qua điểm M (3;4) và có vtpt n  (1;2) ;
b) d đi qua điểm M (3; 2) và có vtcp u  (4;3) ;

Giải:
a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng:

1.( x  3)  2.( y  4)  0  x  2 y  11  0
b) Đường thẳng d có vtcp u  (4;3) nên có vtpt là: n  (3; 4)
Vậy phương trình tổng quát của d có dạng:

3.( x  3)  (4).( y  2)  0  3x  4 y  17  0 .
Ví dụ 2: Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2)
và vuông góc với đường thẳng có phương trình: d ': 2 x  3 y  5  0 .
Giải:
Vì d  d ' nên phương trình tổng quát của đường thẳng d có dạng:

d :3x  2 y  c  0 (1)
Do d đi qua điểm M (1; 2) nên ta có:
(1)  d :3.1  (2).(2)  c  0  c  8
Vậy phương trình của d là: 3x  2 y  8  0 .

6


Ví dụ 3: Một đường thẳng d đi qua M (5; 3) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao
cho M là trung điểm của AB. Viết PTTQ của đường thẳng d.
Hướng dẫn :
Vì d cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B nên A( x;0), B(0; y) .
Do M là trung điểm của AB . Suy ra: A(10;0), B(0; 6) .
1
Ta có: AB  (10; 6) . Suy ra một vtcp của d là u   AB   5;3
2

Suy ra một vtpt của d là n   3; 5 .
Vậy PTTQ của đường thẳng d là :

3 x  5  5  y  3  0 hay 3x  5 y  30  0 .
b) Lập PTTS, phương trình chình tắc
Cách giải:
 Tìm một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng
 Tìm một VTCP u (a, b) của đường thẳng
 Khi đó, PTTS của đường thẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP
u (a, b) có dạng (2).

 Nếu a, b  0 thì phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
M 0 ( x0 ; y0 ) và có VTCP u (a, b) là

x  x0 y  y0

a
b

Đặc biệt:
- Đường thẳng d đi qua hai điểm A( x A ; y A ), B( x B; y B ) thì có VTCP
u  AB  ( xB  x A ; yB  y A )

- Gỉa sử đường thẳng d có phương trình ax  by  c  0 . Khi đó:
Nếu d '/ / d thì d ' có VTCP u '(a, b)
Nếu d "  d thì d " có VTCP u "(b, a ) hoặc u "(b,  a )
Nếu d có hệ số góc k thì d có VTCP u (1, k )

7

Chú ý:
- Đường thẳng cắt hai trục toạ độ thì chọn dạng phương trình theo đoạn chắn
- Nếu đường thẳng d có VTPT n(a, b) thì đường thẳng d có VTCP là
u (b, a ) hoặc u (b,  a )

Ngược lại, nếu d có VTCP u (a, b) thì đường thẳng d có VTPt là n(b, a )
hoặc n  (b;  a ) .
Ví dụ 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường
hợp sau:
a) d đi qua điểm M (2;1) và có vtcp u  (3;4) ;
b) d đi qua điểm M (5; 2) và có vtpt n  (4; 3) ;
Giải:

 x  2  3t
a) Phương trình tham số của đường thẳng d là: 
 y  1  4t
b) d có vtpt n  (4; 3) nên có vtcp là u  (3;4) .

 x  5  3t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: 
.
y


2

4
t


Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường
hợp sau:
a) d đi qua điểm M (5;1) và có hệ số góc k  3 ;
b) d đi qua hai điểm A(3;1) và B(4;2) ;
Giải:
a) d có hệ số góc k  3 nên có vtcp u  (1;3) .

x  5  t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: 
.
y

1

3
t

b) d đi qua hai điểm A(3;1) và B(4;2) nên có vtcp là: u  AB  (1;1) .

x  3  t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là: 
.
y 1 t
8


BÀI TẬP VẬN DỤNG:
1. Viết PTTQ của đường thẳng d biết:
a. Đi qua M (1;2) và có VTPT n(2;1)
b. Đi qua M (2;3) và có VTcp u (4;6)

c. Đi qua A(2;0) và B(0; 3)
d. Đi qua M (5; 8) và có hệ số góc k  3
2. Viết PTTQ của đường thẳng d biết:
a. Đi qua M (1; 4) và song song với đường thẳng d ': 3x  5 y  2  0
b. Đi qua N (1;1) và vuông góc với đường thẳng d ": 2 x  3 y  7  0
3. Lập PTTS, phương trình chính tăc nếu có của đường thẳng d biết:
a. Đi qua M (2;1) và có VTCP u (3; 2)
b. Đi qua M (1; 2) và có VTPT n(5;3)
c. Đi qua M (3;2) và có hệ số góc k  2
d. Đi qua điểm A(3;4) và B(4;2)
4. Cho hai điểm P(4;0), Q(0; 2) . Viết PTTQ của đường thẳng biết:
a. Đi qua R(3;2) và song song với đường thẳng PQ.
b. Là trung trực của PQ.
5. Cho điểm A(5;2) và đường thẳng d :

x2 y3

. Viết phương trình
1
2

đường thẳng d ':
a. Qua A và song song với d .
b. Qua A và vuông góc với d .
6. Viết

phương

trình

các

đường

trung

trực

của

ABC

biết

M (1;1), N (1;9), P (9;1)lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC , BC.
7. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (2;5) và cách đều hai điểm

P(1;2), Q(5;4).
HD: Xét hai trường hợp d / / PQ và d không song song với PQ.

9


8. Cho đường thẳng d1 : 2 x  y  2  0, d 2 : x  y  2  0 và điểm M (3;0) .
Viết phương trình đường thẳng  đi qua M , cắt d1 , d 2 lần lượt tại hai
điểm A và B , sao cho M là trung điểm của AB.
9. Lập phương trình đường thẳng  đi qua Q(2;3) và cắt tia Ox, Oy tại hai
điểm M , N  O sao cho OM  ON nhỏ nhất.
Dạng 2: Vị trí tương đối, tương giao của hai đường thẳng
Huớng dẫn:

 Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng có phương trình:
1 : a1 x  b1 y  c1  0 và  2 : a2 x  b2 y  c2  0

a1 x  b1 y  c1  0
Ta xét hệ phương trình: 
a2 x  b2 y  c2  0

(1)

Nếu hệ (1) có một nghiệm thì 1 cắt  2
Nếu hệ (1) vô nghiệm thì 1 song song  2
Nếu hệ (1) vô số nghiệm thì 1 trùng  2
Đặc biệt, nếu a2b2c2  0 thì:
 1 cắt  2 
  

a1 b1

a2 b2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

 1   2 

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

 Để tìm giao điểm của hai đường thẳng 1 và  2 ta đi giải hệ phương
trình (1)

n  n  0
 Hai đường thẳng 1   2   1 2
u1  u2  0
 Ba đường thẳng 1 ,  2 , 3 đồng quy  giao điểm A của 1 ,  2 thuộc 3.
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau:
a) d: x  y  2 và d’: 2 x  y  3  0
10


 x  1  4t
b) d: 
và d’: 2 x  4 y  10  0
 y  2  2t

 x  6  5t
 x  1  5t
c) d: 
và d’: 
 y  2  4t
 y  2  4t
Hướng dẫn:
a) Ta có:

1
 1 . Vậy d cắt d '
2

b) Phương trình tổng quát của d là: x  2 y  5  0 . Ta có:

1 2 5
.
 
2 4 10

Vậy d  d '
c) Phương trình tổng quát của d là: 4 x  5 y  6  0 . Phương trình tổng
quát của d’ là: 4 x  5 y  14  0 . Ta có:

4 5 6
. Vậy d//d’.
 
4 5 14

Ví dụ 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng cho bởi:
d1 : x  2 y  5  0 và d 2 : 3x  y  0 .

Hướng dẫn:
Toạ độ giao điểm của d1 , d 2 là nghiệm của hệ phương trình:

x  2 y  5  0
x  1



3x  y  0
y  3
Vậy d1 cắt d 2 tại điểm M có toạ độ M (1;3) .

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
10. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của hai đường thẳng:
a) d : 2 x  5 y  3  0 và d ':5x  2 y  3  0
1
3
b) d : x  3 y  4  0 và d ': x  y  4  0
2
2

c) d :10 x  2 y  3  0 và d ' : 5 x  y 

3
0
2

11. Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của hai đường thẳng:

 x  1  5t
a) d : 
và
y

2

4
t


 x  6  5t
d ': 

 y  2  4t
11


 x  1  4t
b) d : 
 y  2  2t

và

 x  2  t
c) d : 
và
 y  2  2t

d ': 2 x  4 y  10  0

d ':

x y 3

1
2

12. Biện luận theo tham số m vị trí tương đối của hai đường thẳng:

d : mx  y  2  0 và

d ': 2 x  my  m  1  0

13.Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc:
1 : mx  y  8  0 và

 2 : mx  y  8  0

14. Tìm m để ba đường thẳng sau đây đồng quy:
d1 : 2 x  y  4  0 , d 2 : 5 x  2 y  3  0 và

 x  3  2t
15. Cho hai đường thẳng: d1 : 
 y  4  t

d3 : mx  3 y  2  0

và

x  t '
d2 : 
 y  10  t '

a) Viết phương trình tổng quát của hai đường thẳng
b) Tìm giao điểm của hai đường thẳng.

 x  2  2t
16. Cho đường thẳng d : 
y  3 t
a) Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
b) Tìm toạ độ giao điểm của d với đường thẳng x  y  1  0
17. Cho hai đường thẳng:

1 : (m  1) x  2 y  m  1  0

và

 2 : x  (m  1) y  m2  0
a) Tìm giao điểm I của 1 và  2
b) Tìm điều kiện để I nằm trên trục Oy.
Dạng 3: Tìm hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng d .
Hướng dẫn:
 Cách 1:
 Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A và vuông góc với d .
 Hình chiếu H là giao điểm của d và d '

12


 Cách 2:
 H d  toạ độ của H theo phương trình của d .
 H là hình chiếu của A trên d  AH  ud  AH  ud  0.
Ví dụ: Tìm hình chiếu H của điểm A(1;2) trên đường thẳng d : 2 x  3 y  5  0
Giải:
C1: đường thẳng d ' đi qua A(1;2) và vuông góc với đường thẳng

d : 2 x  3 y  5  0 có phương trình: d ':3x  2 y  1  0 .
2 x  3 y  5  0
Toạ độ của điểm H khi đó là nghiệm hệ phương trình: 

3
x


2
y

1

0

 x  1

 y  1
Suy ra: H (1; 1)
2x  5 

C2: Do H  d : 2 x  3 y  5  0 nên giả sử H có toạ độ: H  x; 

3 

H là hình chiếu của A trên d  AH  ud  AH .ud  0

2 x  11 
2 x  11 


Ta có: AH  1  x;
 . Suy ra AH .ud  0  1  x;
. 3; 2   0
3 
3 



 2 x  11 
 31  x   (2) 
  0  x  1.
 3 

Thay vào phương trình đường thẳng d , suy ra y  1. Vậy H (1; 1) .
Dạng 4: Tìm điểm đối xứng A ' của A qua đường thẳng d
Hướng dẫn:
 Tìm điểm H là hình chiếu của A trên d (xem dạng 3).


A ' đối xứng với A qua đường thẳng d  H là trung điểm của AA '

Ví dụ: Cho đường thẳng  : x  y  2  0 và điểm A(2;0) . Tìm điểm đối xứng
của O qua đường thẳng  .
Giải:
 Tìm điểm H là hình chiếu của A trên  :
13


Đường thẳng  ' đi qua A và vuông góc với  có phương trình:

x  y  2  0.
x  y  2  0
x  0
Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình: 
 
x  y  2  0
y  2

 H (0;2) .


A ' đối xứng với A qua   H là trung điểm của AA ' .

 x A '  2 xH  x A  2.0  2  2
Toạ độ của A ' là: 
 A '(2;4) .
 y A '  2 yH  y A  2.2  0  4
Dạng 5: Tìm đường thẳng d ' đối xứng d qua điểm I cho trước.
Hướng dẫn:
 Cách 1:
 Lấy điểm cho trước A  d .
 Tìm điểm B đối xứng A qua I thì B  d '
 Viết phương trình đường thẳng d ' qua B và nhận VTPT của d là VTPT.
 Cách 2:
 Lấy điểm M ( x; y) bất kỳ thuộc d .
 Gọi M '( x '; y ') là điểm đối xứng của điểm M qua I.

x  x'

x

I

2   x  2 xI  x '


y


y
'
 y  2 yI  y '
y 
I

2
 Thế x, y vào phương trình đường thẳng d ta được phương trình đường
thẳng d '.

x  4  t
Ví dụ: Cho đường thẳng d : 
và điểm I (2;1) . Tìm đường thẳng d '
y

3

2
t

đối xứng d qua I .
Giải:
C1: Lấy điểm A(4;3)  d .
Gọi B là điểm đối xứng với A qua I . Khi đó B  d ' . Ta có: B(0; 1)
14


Do d ' đối xứng d nên ud '  ud  (1;2)

 x  t

Vậy phương trình đường thẳng d ' cần tìm là: 
.
y


1

2
t

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với d qua đường
thẳng .
Hướng dẫn:
 Cách 1:
Nếu d cắt .
 Tìm giao điểm I của d và .
 Lấy một điểm cụ thể A  d rồi tìm điểm A ' đối xứng A qua I
 Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua hai điểm I và A '
Nếu d song song với .
 Lấy một điểm cụ thể A  d rồi tìm điểm A ' đối xứng A qua  (xem
dạng 4).
 Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A ' và nhận VTCP của d làm
VTCP (hoặc nhận VTPT của d làm VTPT)
 Cách 2:
 Lấy hai điểm cụ thể A, B  d
 Tìm điểm A ', B ' đối xứng với A, B qua  (xem dạng 4).
 Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua hai điểm A ' và B '
Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1 : x  y  1  0 và d 2 : x  3 y  3  0 . Viết phương
trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d 2 .
Giải:

Lấy hai điểm A(1; 2) và B(1;0) đều thuộc d1 .
Tìm tọa độ điểm A ', B ' đối xứng với A, B qua d 2 . Khi đó phương trình đường
thẳng d đi qua hai điểm A ', B '
Hình chiếu H của A trên d 2 có toạ độ: H (0;1) . Suy ra toạ độ điểm A ' là:

A '(1;6)
15


 6 3 
 7 6
Hình chiếu K của B trên d 2 có toạ độ: K  ;  . Suy ra: B '   ; 
 5 5
 5 5
 24 2 
 2 24 
Đuờng thẳng d có một vtcp là: A ' B '    ;    n   ;  
 5 5
 5 5 

Vậy phương trình tổng quát của d là:

24
2
 x  1   y  6  0  12 x  y  18  0 .
5
5
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
18. Cho đường thẳng d : x  2 y  4  0

và điểm A(0;4)

a) Tìm toạ độ hình chiếu H của A lên d .
b) Tìm toạ độ điểm A ' đối xứng A qua d .

 x  2  2t
19. Tìm hình chiếu của điểm M (3;1) lên đường thẳng d : 
 y  1  2t
20. Tìm hình chiếu của điểm P(3; 2) lên mỗi đường thẳng sau:

x  t
a) d : 
y 1

b) d :

x 1 y

3
4

c) d :5x  12 y  10  0

21. Với điều kiện nào thì các điểm M ( x1; y1 ) và N ( x2 ; y2 ) đối xứng nhau qua
đường thẳng  : ax  by  c  0
22. Tìm toạ độ điểm I ' đối xứng với điểm I (1;2) qua đường thẳng

d : x  5y  2  0
23. Cho đường thẳng  : 2 x  y  1  0 và điểm I (1;2) . Viết phương trình
đường thẳng d đối xứng với  qua I .

24. Cho đường thẳng  : ax  by  c  0 . Viết phương trình đường thẳng  '
đối xứng với  qua các trục toạ độ.
Dạng 7: Các yếu tố của tam giác, tứ giác.
Cho ABC biết toạ độ ba đỉnh. Khi đó:
 Phương trình cạnh BC : đi qua B và C .
 Phương trình đường cao AH : đi qua A và vuông góc với BC
 Phương trình trung tuyến AM : đi qua A và trung điểm M của BC
16


 Phương trình trung trực của BC : đi qua trung điểm M của BC và vuông
góc với BC
 Phương trình đường phân giác AD : đi qua hai điểm A và D . Với D là
điểm chia đoạn BC theo tỷ số k 

 AB
. Và toạ độ của D là:
AC

 x  kxC yB  yC 
D B
;

1 k 
 1 k

Ví dụ: Cho ABC , có A(1;4) , B(3; 1) , C (6;2) .
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng BC .
b) Lập phương trình tổng quát của đường cao AH và trung tuyến AM .
Hướng dẫn:



a) Đường thẳng BC có vtcp là BC  (3;3)  vtpt: n  (3; 3) .
Khi đó, đường thẳng BC có phương trình tổng quát là:

3( x  3)  3( y  1)  0  x  y  4  0
b) Vì AH  BC nên một vtpt của AH là BC  (3;3) .
Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là:

3( x  1)  3( y  4)  0 hay 3x  3 y  15  0 .
7 
Do M là trung điểm của AC nên ta có: M  ;3  .
2 
 5
5

Đường trung tuyến AM có một vtcp là AM   ; 1  vtpt n  1; 
 2
2


Vậy phương trình đường trung tuyến AM là:
5
( x  1)  ( y  4)  0 hay 2 x  5 y  22  0 .
2

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
25. Cho ABC biết A(1;4), B(3; 1),C (6;2)
a) Viết phương trình các đường thẳng AB, BC , CA.
b) Viết Phương trình đường phân giác trong của góc A .

17


26. Cho ABC có phương trình ba cạnh lần lượt là:

BC : x  3 y  7  0 CA :5x  2 y  1  0

AB : 2 x  3 y  1  0

Viết phương trình đường cao BH .

x  2  t
27. Cho ABC có AB : 2 x  6 y  3  0 , AC : 
và điểm
y  t

M (1;1) là trung điểm của cạnh BC . Viết phương trình cạnh BC .
28. Viết phương trình ba cạnh của

ABC biết điểm C (4;3) và trung tuyến

AM : 4 x  13 y  10  0 , phân giác AD : x  2 y  5  0 .
1.3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1.3.1. Các kiến thức cơ bản
 Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : ax  by  c  0
được cho bởi công thức:

d ( M 0 ; ) 

ax0  by0  c
a 2  b2

 Vị trí của hai điểm M ( xM ; yM ), N ( x N ; y N )

đối với đường thẳng

 : ax  by  c  0 , (M , N )
 M , N nằm cùng phía đối với   (axM  byM  c)( axN  byN  c)  0
 M , N nằm khác phía đối với   (axM  byM  c)(axN  byN  c)  0
 Phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt
nhau: 1 : a1 x  b1 y  c1  0 và  2 : a2 x  b2 y  c2  0 là:

a1 x  b1 y  c1
a b
2
1

2
1



a2 x  b2 y  c2
a b
2
2

2
2

0

 Góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và  2 có VTPT lần lượt là n1 , n2 được
tính bởi công thức:

cos(1 ,  2 )  cos(n1 , n2 ) 

18

a1a2  b1b2
a12  b12 a22  b22


1.3.2. Các dạng bài tập
Dạng 1: Tính góc và khoảng cách
 Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0 .
 Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong bốn góc tạo
thành.
Gọi u1 , u2 lần lượt là các VTCP của hai đường thẳng và n1 , n2 lần lượt là các
VTPT thì:
cos(1 ,  2 )  cos(u1 , u2 )  cos (n1 , n2 )

 Góc A của ABC là góc giữa hai vectơ AB, AC
 Khoảng cách giữa hai điểm A( x A ; y A ), B( x B; y B ) là:
AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2

 Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : ax  by  c  0
được cho bởi công thức: d (M 0 ; ) 

ax0  by0  c
a 2  b2

Chú ý: Để tính khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  thì
phương trình của đường thẳng  phải đựơc viết ở dạng tổng quát.
Ví dụ 1: Tính góc giữa hai đường thẳng:
d1 : x  2 y  4  0 và

d2 : 2 x  y  6  0 .

Hướng dẫn:
Cặp vtpt của hai đường thẳng lần lượt là: n1  (1;2), n2  (2; 1)
Ta có: cos(d1 , d 2 )  cos(n1, n2 ) 

1.2  2.(1)
1  4. 4  1

 0 . Suy ra:  d1, d2   90 .

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để đường thẳng d: mx  y  1  0 hợp với đường
thẳng d’: 2 x  y  7  0 góc 300
Hướng dẫn:
cos(d ; d ')  300 

m.2  1(1)
m 2  1 22  1



3

(2m  1)2 3

  m2  16m  11  0
2
2
5(m  1) 4

19


m  8  5 3

 m  8  5 3

Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng tương ứng sau:
a) A(3;5)

và

 : 4x  3 y  1  0 ;

b) B(1;2)

và

 ':3x  4 y  1  0 .

Hướng dẫn:
a) Ta có: d  A,   

4.3  3.5  1

b) Ta có: d  B,  ' 

3.1  4.2  1

16  9



9  16

28
5

4
 .
5

BÀI TẬP VẬN DỤNG:
29.Tính góc giữa hai đường thẳng sau:
a) d : 4 x  2 y  5  0

và

d ': x  3 y  1  0

b) d :3x  2 y  1  0

và

d ': 2 x  3 y  8  0

 x  4  2t
c) d : 
y  t

và

d ': 2 x  y  6  0

30. Cho hai đường thẳng d : x  2 y  5  0 và d ':3x  y  0 . Tìm giao điểm
và tính góc giữa hai đường thẳng đã cho.
31. Cho ABC có A(4; 1), B(3;2), C(1;6) . Tính góc giữa AB và AC.
32. Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : mx  y  1  0 hợp với đường
thẳng d ': 2 x  y  9  0 một góc bằng 30 .
33. Xác định các giá trị của a để góc tạo bởi hai đường thẳng sau bằng 45 :

 x  2  at
d :
 y  1  2t

và

d ':3x  4 y  12  0

34. Tính khoảng cách từ các điểm tương ứng đến các đường thẳng sau:
a) A(3;5),  : 4 x  3 y  1  0
b) B(1; 2),  :3x  4 y  26  0
c) C (3; 2),  :3x  4 y  11  0

20