Một số phương pháp dạy học nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh

Một số phương pháp dạy học nội dung bất
đẳng thức trong chương trình trung học phổ
thông theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận
thức của học sinh

Ngô Minh Tuấn

Trường Đại học Giáo dục
Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học; Mã số: 60 14 10
Người hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Vũ Lương
Năm bảo vệ: 2011

Abstract: Trình bày cơ sở lý luận về các phương pháp dạy học nội dung bất đẳng thức
trong chương trình trung học phổ thông. Nghiên cứu và xây dựng kế hoạch bài dạy nội
dung bất đẳng thức theo hướng tích cực hóa cho học sinh trung học phổ thông. Tiến
hành thực nghiệm sư phạm và làm rõ tính khả thi của các phương pháp dạy học đã đề
xuất.

Keywords: Phương pháp giảng dạy; Toán học; Bất đẳng thức; Giáo dục trung học

Content
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV của Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt
Nam ( Khóa VII, 1993) đã chỉ rõ: “ Mục tiêu giáo dục – đào tạo phải hướng vào đào tạo
những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp,
qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã
hội công bằng, dân chủ, văn minh.”
Những sáng tạo trong nghiên cứu toán học phổ thông hiện nay hoặc những kết quả
nghiên cứu mới trong phạm vi kiến thức cơ bản của toán học phổ thông là vô cùng khó khăn.
Chính vì vậy nếu thiếu sáng tạo trong hoạt động giảng dạy thì chắc chắn hiệu quả dạy học sẽ

là rất hạn chế.
Bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng trong toán học, bất đẳng thức không chỉ là đối
tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trong các mô hình toán học liên tục cũng như rời
rạc, trong lí thuyết phương trình, xấp xỉ . .

2
Nghiên cứu bất đẳng thức dưới nhiều hình thức và phương pháp khác nhau có thể đem
tới cho giáo viên cũng như học sinh nhiều cách tiếp cận, phát huy tối đa tính sáng tạo và tư
duy nghiên cứu khoa học thực sự cho học sinh.
Tuy vậy bất đẳng thức là một nội dung khó, chính vì thế nếu không có sự lựa chọn kĩ
càng và phương pháp phù hợp có thể sẽ dẫn đến việc truyền thụ một chiều.
Với những lí do trên, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp dạy học nội dung bất
đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông theo hướng tích cực hóa hoạt động
nhận thức của học sinh”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Các sách viết về bất đẳng thức ở cấp trung học phổ thông đã có rất nhiều, sự phong
phú về nội dung của chúng đã được khẳng định qua các ấn phẩm của các tác giả nổi tiếng
trong nước như: Phan Huy Khải, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Hùng Thắng,
Trần Phương, Đặng Kim Hùng 3. Mục tiêu nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận, hình thức và vận dụng được các phương pháp dạy học theo mục
tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức trong
chương trình trung học phổ thông.
4. Khách thể nghiên cứu và đối tƣợng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông và ôn thi đại học.
4.2. Đối tượng nghiên cứu
Phương pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự
nghiên cứu nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.
5. Phạm vi nghiên cứu
Hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy học tự nghiên

cứu nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông.
6. Giả thuyết khoa học
Áp dụng các hình thức dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự án và dạy
học tự nghiên cứu cho nội dung bất đẳng thức trong chương trình trung học phổ thông có thể
giúp cho học sinh nâng cao tư duy, hoàn chỉnh các kĩ năng chứng minh bất đẳng thức, hình
thành khả năng tự học, tự nghiên cứu, tập luyện cho học sinh phương pháp làm việc nghiên
cứu và sáng tạo.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu

3
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu, phân tích các tài liệu về phương pháp
dạy học, dạy học tích cực, lí luận chung về dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo dự
án và dạy học tự nghiên cứu.
- Phương pháp chuyên gia: Tham khảo ý kiến của các chuyên gia, các thầy cô giáo bộ
môn Toán về bất đẳng thức và phương pháp dạy bất đẳng thức trong chương trình trung học
phổ thông.
8. Cấu trúc của luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài này gồm có 3 chương.
Chương 1: Cơ sở lí luận của đề tài
Chương 2: Xây dựng kế hoạch bài dạy nội dung bất đẳng thức theo hướng tích cực.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm và những đề xuất.

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. Dạy học tích cực
1.1.1. Khái niệm dạy học tích cực
Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ để chỉ những phương
pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học
1.1.2. Đặc trưng của các phương pháp dạy học tích cực
1.1.2.1. Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động học tập của học sinh

Người học - đối tượng của hoạt động "dạy", đồng thời là chủ thể của hoạt động "học".
1.1.2.2. Thông qua dạy và học rèn luyện phương pháp tự học, tự nghiên cứu
PPDH tích cực xem việc rèn luyện phương pháp học tập cho học sinh không chỉ là một
biện pháp nâng cao hiệu quả dạy học mà còn là một mục tiêu dạy học. Trong các phương
pháp học thì cốt lõi là phương pháp tự học.
1.1.2.3. Học tập cá thể phối hợp với học hợp tác, nhóm nghiên cứu
Trong một lớp học mà trình độ kiến thức, tư duy của học sinh không thể đồng đều tuyệt
đối thì khi áp dụng phương pháp tích cực buộc phải chấp nhận sự phân hóa về cường độ, tiến
độ hoàn thành nhiệm vụ học tập, nhất là khi bài học được thiết kế thành một chuỗi công tác
độc lập.
1.1.2.4. Phối hợp đánh giá của thầy với tự đánh giá của trò
Giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kĩ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách
học, cần tạo điều kiện thuận lợi để học sinh được tham gia đánh giá lẫn nhau.
1.1.3. Các phương pháp và hình thức dạy học tích cực

4
Trong khuôn khổ luận văn này, tác giả chỉ xin phép trình bày ba phương pháp dạy học
tích cực đó là dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học tự nghiên cứu và dạy học theo dự án
chủ đề bất đẳng thức.
1.1.4. Vai trò của giáo viên và học sinh trong dạy học tích cực
1.1.4.1. Vai trò và điều kiện đối với giáo viên trong dạy học tích cực.
Giáo viên không phải là nhân vật trung tâm nhưng là người tạo điều kiện về phương
tiện, là người hướng dẫn, điều khiển, là trọng tài, cố vấn của học sinh và luôn là người bạn
đồng hành nhắc nhở, động viên học sinh tiến bộ.
1.1.4.2. Vai trò của học sinh trong dạy học tích cực
Học sinh đóng vai trò trung tâm, chủ động trong mọi hoạt động học. Đối với phương
pháp dạy học tích cực học sinh không những được tiếp thu kiến thức mà còn chính là đối
tượng tham gia vào quá trình chuyển giao kiến thức, học sinh tự tìm ra con đường tiếp thu
kiến thức dưới sự hướng dẫn, cố vấn của giáo viên.
1.2. Dạy học theo mục tiêu nhận thức

1.2.1. Khái niệm “Dạy học theo mục tiêu nhận thức”
Dạy học theo mục tiêu nhận thức là một thuật ngữ dùng để chỉ những phương pháp
dạy học, giáo dục sử dụng các thang bậc đánh giá mức độ tư duy của của Bloom, trong đó đặc
biệt chú ý đến việc hình thành, phát triển các mức độ tư duy bậc cao cho học sinh.
1.2.2. Những đặc điểm của bài học thiết kế theo mục tiêu nhận thức
- Ngoài các kiến thức bắt buộc, giáo viên cần thiết kế các hoạt động học tập mang tính
chất nâng cao, buộc học sinh vận dụng những kiến thức đã học ở nhiều điều kiện khác nhau.
- Mỗi bài soạn thiết kế theo mục tiêu nhận thức phải phù hợp với từng loại đối tượng
học sinh.
- Có nhiều hình thức tổ chức lớp học theo mục tiêu nhận thức, tuy nhiên trong tất cả
các hình thức đó thì giáo viên phải giữ đúng vai trò là người hướng dẫn, người tổ chức và cố
vấn các hoạt động học tập.
- Việc tổ chức thiết kế các chuẩn học tập và kiểm tra, đánh giá trong bài dạy theo mục
tiêu nhận thức cũng cần hướng tới chuẩn chung của lớp, cấp học và tạo điều kiện để đánh giá
được mức tiến bộ, thành quả nghiên cứu và quá trình học tập của từng (nhóm) học sinh ở một
mức nhận thức cao hơn.
- Công nghệ có vai trò lớn trong hình thức dạy học này.
1.3. Dạy học theo dự án
1.3.1. Khái niệm “Dạy học theo dự án”

5
Dạy học theo dự án là một mô hình dạy học lấy học sinh làm trung tâm, giúp phát
triển kiến thức và các kỹ năng liên quan thông qua nhiệm vụ mang tính mở, dạy học theo dự
án chứa đựng nhiều kỹ thuật dạy học khác nhau.
1.3.2. Những đặc điểm của bài học được thiết kế theo dự án
Học sinh là trung tâm của quá trình dạy học.
Các nhiệm vụ của dự án kích thích khả năng ra quyết định, niềm cảm hứng, say mê của
học sinh trong quá trình thực hiện và tạo ra sản phẩm cuối cùng
Dự án tập trung vào những mục tiêu học tập quan trọng gắn với các chuẩn.
Dự án được phát triển dựa trên những nội dung cốt lõi của chương trình đáp ứng các

chuẩn quốc gia và địa phương. Dự án có các mục tiêu rõ ràng gắn với các chuẩn và tập trung
vào những hiểu biết của học sinh sau quá trình học. Dự án được định hướng theo Bộ câu hỏi
khung chương trình.
Câu hỏi khung chương trình sẽ giúp các dự án tập trung vào những hoạt động dạy học
trọng tâm. Có ba dạng câu hỏi khung chương trình: Câu hỏi khái quát, Câu hỏi bài học và Câu
hỏi nội dung.
Dự án đòi hỏi các hình thức đánh giá đa dạng và thường xuyên.
Học sinh sẽ được xem mẫu và hướng dẫn trước để thực hiện công việc có chất lượng
nhất. Cần phải rà soát, điều chỉnh việc đánh giá trong suốt quá trình thực hiện dự án.
Dự án có liên hệ với thực tế.
Dự án phải gắn với đời sống thực tế của học sinh.
Học sinh thể hiện sự hiểu biết của mình thông qua sản phẩm hoặc quá trình thực hiện.
Những sản phẩm cuối cùng này giúp học sinh thể hiện khả năng diễn đạt và làm chủ
quá trình học tập.
Công nghệ hiện đại hỗ trợ và thúc đẩy việc học của học sinh.
Học sinh được tiếp cận với nhiều công nghệ khác nhau giúp hỗ trợ phát triển kỹ năng
tư duy. Với sự trợ giúp của công nghệ, học sinh tự chủ hơn với kết quả cuối cùng, có cơ hội
“cá nhân hoá sản phẩm”.
Kỹ năng tư duy là không thể thiếu trong làm việc theo dự án.
Làm việc theo dự án sẽ hỗ trợ phát triển cả kỹ năng tư duy siêu nhận thức lẫn tư duy
nhận thức như hợp tác, tự giám sát, phân tích dữ liệu, và đánh giá thông tin.
1.3.3. Lập dự án và những quan điểm sai lệch về cách tiếp cận dự án
1.3.3.1.Lập dự án và các bước lập dự án
Xác định mục tiêu học tập cụ thể bằng cách sử dụng các chuẩn nội dung và những kỹ
năng tư duy bậc cao mong muốn đạt được.

6
Thiết lập Bộ câu hỏi khung.
Lập kế hoạch đánh giá.
Thiết kế các hoạt động.

1.3.3.2.Những quan niệm sai lệch về cách tiếp cận dự án
- Dạy học theo dự án dài và khó giữ được trọng tâm.
- Dạy học theo dự án có nghĩa là thay đổi hoàn toàn phương pháp giảng dạy.
- Dạy học theo dự án có nghĩa là có thêm nhiều việc phải làm.
1.3.4. Bộ câu hỏi khung chương trình
1.3.4.1. Đặt những câu hỏi thích hợp
Đặt được những câu hỏi mở, hấp dẫn là một cách hiệu quả để khuyến khích học sinh suy nghĩ
sâu hơn, tạo nên một ngữ cảnh hiệu quả đối với việc học.
1.3.4.2. Sử dụng Bộ câu hỏi khung chương trình
Bộ câu hỏi khung chương trình được thiết kế lồng ghép vào nhau. Câu hỏi nội dung hỗ
trợ cho Câu hỏi bài học và cho cả Câu hỏi khái quát.
1.3.5. Vai trò của giáo viên, học sinh và công nghệ trong dạy học dự án
1.3.5.1. Vai trò của giáo viên
Nếu lập kế hoạch dự án đòi hỏi giáo viên phải dành nhiều thời gian chuẩn bị trước đó,
thì khi thực hiện dự án, giáo viên sẽ đỡ mất công để chuẩn bị những kiến thức cơ bản hàng
ngày, thực hiện vai trò người hướng dẫn, người trợ giúp trong suốt các hoạt động dự án.
1.3.5.2. Vai trò của học sinh
Học sinh được đưa ra nhiều quyết định, được cộng tác làm việc, được đưa ra sáng
kiến, được trình bày trước đám đông, và trong nhiều trường hợp, học sinh được thiết lập kiến
thức riêng cho bản thân.
1.3.5.3. Vai trò của công nghệ
Cùng học các kỹ năng mang tính kỹ thuật với học sinh hoặc nhờ học sinh giúp đỡ như
một người cố vấn kỹ thuật là một vài cách để vượt qua chướng ngại về mặt công nghệ khi
giáo viên không thành thạo.

1.3.6. Một số chú ý khi thực hiện dạy học dự án
Về hoạt động nhóm.
Làm việc theo nhóm là một kỹ năng sống và là một phần thiết yếu của môi trường dạy
học theo dự án.
Về các chuẩn học tập và Bài kiểm tra.

7
Các chuẩn được sử dụng nhằm giúp cho việc thiết kế dự án, việc đánh giá được lên kế
hoạch trước và xuyên suốt trong bài học, các bài kiểm tra chỉ là mộ
.
Về tổ chức lớp học.
Lớp học theo dự án là lớp học lấy học sinh làm trung tâm, nơi mà sự hợp tác, trao đổi và
di chuyển là cần thiết. Môi trường lớp học khiến học sinh cảm thấy thoải mái để chia sẻ ý tưởng,
quan điểm, kích thích tư duy bậc cao. Về thời gian
Dạy học theo dự án mất nhiều thời gian. Việc đầu tiên cần phải xác định rõ ràng là:
Dành nhiều thời gian cho phần kiến thức nào? Đáp án cho câu trả lời này là chìa khóa cho
việc quản lý thời gian hiệu quả.
1.4. Dạy học tự nghiên cứu
1.4.1. Khái niệm “Dạy học tự nghiên cứu”
Dạy học tự nghiên cứu có nghĩa là dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học,
khi đó logic dạy học tuân thủ logic của phương pháp nghiên cứu khoa học.
1.4.2. Những đặc điểm của dạy học tự nghiên cứu
Đảm bảo và phát huy tối đa tính tích cực, chủ động của người học. Hình thành phương
pháp làm việc khoa học và phát triển hứng thú nhận thức, thỏa mãn nhu cầu tìm tòi, khám phá
của người học. Bảo đảm tốt nhất yêu cầu cá biệt hóa dạy học, gắn đào tạo với việc giải quyết
các nhiệm vụ thực tiễn. Phù hợp với điều kiện không gian và thời gian của việc đào tạo trong
xã hội hiện đại.
1.4.3. Vai trò của giáo viên, học sinh và công nghệ trong dạy học tự nghiên cứu
1.4.3.1. Vai trò của giáo viên
Đối với dạy học tự nghiên cứu, giáo viên giữ vai trò tổ chức, hướng dẫn và cố vấn, các
bước mà họ cần phải làm bao gồm:
- Tổng kết các kiến thức cơ bản cần thiết một cách chi tiết.
- Từ những nội dung đó, biên soạn các nội dung cần tự học và các bài toán có tính
thách thức.
- Hướng dẫn học sinh các kĩ năng chính để giải các bài toán được đặt ra mà không đưa

ra lời giải chi tiết.
- Hướng dẫn học sinh tìm tài liệu tham khảo.
1.4.3.1. Vai trò của học sinh.
Học sinh vừa đóng vai trò người được giảng dạy và được truyền thụ kiến thức vừa đóng vai
trò chủ thể đi tìm hướng giải quyết vấn đề tự nghiên cứu.
1.4.3.1. Vai trò của công nghệ

8
Giáo viên hướng dẫn học sinh cách tiếp cận với những kiến thức, phương pháp, kĩ
thuật mới bằng cách sử dụng các công nghệ họ có thể có.
1.4.4. Kiểm tra và đánh giá
Trong dạy học tự nghiên cứu, việc kiểm tra, đánh giá diễn ra thường xuyên và có hệ
thống. Liên tục kiểm tra, nhắc nhở và động viên học sinh là điều rất quan trọng để tạo sức ép
cũng như khuyến khích họ tiếp tục công việc tự học của mình.
1.4.5. Một số chú ý khi thực hiện dạy học tự nghiên cứu
- Giáo viên thực sự phải là người hướng dẫn, tố chức và cố vấn trong tất cả các khâu
của quá trình dạy học.
- Học sinh phải là đối tượng chủ động, tích cực tự học và có khả năng cũng như mong
muốn nghiên cứu vấn đề được giáo viên đưa ra.
- Quá trình dạy học cần rất nhiều tài liệu cũng như thời gian để học sinh có thể hoàn
thành các yêu cầu của bài học.
CHƢƠNG 2
XÂY DỰNG KẾ HOẠCH BÀI DẠY NỘI DUNG BẤT ĐẲNG THỨC THEO HƢỚNG
TÍCH CỰC
2.1. Kế hoạch bài dạy nội dung bất đẳng thức theo mục tiêu nhận thức
2.1.1. Kế hoạch dạy học, kiểm tra và đánh giá
KẾ HOẠCH DẠY HỌC
a. Môn học: Đại số
b. Chương trình: Nâng cao
c. Bài học: Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức (4 tiết)

d. Họ và tên giáo viên: ……………………., điện thoại: ………………
e. Địa điểm văn phòng bộ môn: ………………………….
f. Các chuẩn của bài học: ( Theo tiêu chuẩn do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành)
g. Yêu cầu về thái độ
Giúp học sinh thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức trong giải phương trình và
bất phương trình cũng như trong các lĩnh vực khác của Toán học. Giáo dục học sinh đức tính
cần cù, cẩn thận, không ngại khó, phương pháp làm việc khoa học, khả năng tư duy nhạy bén
và sáng tạo. Hình thành và phát triển năng lực tự học, tự nghiên cứu.
h. Mục tiêu chi tiết


9
1. Ôn tập và bổ xung
tính chất của bất đẳng
thức
2. Bất đẳng thức về giá
trị tuyệt đối
3. Bất đẳng thức Cô –
si
4. Bài tập
i. Khung phân phối chương trình:

10
Dựa theo khung PPCT của Bộ Giáo dục và đào tạo.
Nội dung bắt buộc/ số tiết
Tổng số
tiết
Ghi
chú
Lý

thuyết
Bài tập
Thực
hành
Ôn tập
Kiểm tra
2
2
0
0
0
4

k. Lịch trình chi tiết của bài học:
Dựa theo phân phối chương trình lớp 10 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội.
l. Kế hoạch kiểm tra, đánh giá:
- Kiểm tra thường xuyên: (Có /Không cho điểm) Vấn đáp trên lớp, phiếu học tập, sử dụng các
kĩ thuật kiểm tra, đánh giá nhanh.
- Kiểm tra định kì: Không.
2.1.2. Các phiếu điều tra
Quan điểm của học sinh về nội dung bất đẳng thức.
2.1.3. Bài soạn chi tiết
Tiết 45 - 46. §1 BẤT ĐẲNG THỨC
a. Mục tiêu
a.1. Kiến thức
Hiểu được các khái niệm, tính chất của bất đẳng thức.
Nắm vững các bất đẳng thức cơ bản và tính chất của chúng.
a.2. Kĩ năng
Chứng minh được các bất đẳng thức cơ bản
Vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi, từ đó giải được

các bài toán về chứng minh bất đẳng thức.
Vận dụng các bất đẳng thức Cô – si , Bđt chứa GTTĐ để giải các bài toán liên quan
a.3.Thái độ: Tự giác, tích cực trong học tập
b. Phương pháp: Đàm thoại, gợi mở vấn đáp và thảo luận nhóm
c. Phương tiện: Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách tham khảo.
d. Tiến trình dạy học:
d.1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số
d.2. Bài mới
Hoạt động của GV
Hoạt động của HS
Nội dung
Hoạt động 1: Ôn tập và khái niệm bất đẳng thức

11
Hoạt động 2: Ôn tập bất đẳng thức hệ quả, tương đương
Hoạt động 3: Ôn tập các tính chất của BĐT
Hoạt động 4: Tìm hiểu các bất đẳng thức Cô – si
Hoạt động 5: Tìm hiểu các ứng dụng của BĐT Cô – si
Hoạt động 6: Tìm hiểu bất đẳng thức chứa dấu GTTĐ
e. Củng cố và hướng dẫn về nhà:
Tóm tắt nội dung bài.
Tiết 47 - 48. §1 BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC
a. Mục tiêu
a.1. Kiến thức
a.2. Kĩ năng
Chứng minh được các bất đẳng thức cơ bản, đon giản
Vận dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi, từ đó giải được
các bài toán về chứng minh bất đẳng thức.
Hiểu và áp dụng các kĩ thuật biến đổi và áp dụng bất đẳng thức Cô – si trong các bài
tập.

a.3. Thái độ:
b. Phương pháp: Luyện tập, thảo luận nhóm, làm phiếu học tập.
c. Phương tiện: Sách giáo khoa, sách giáo viên và sách tham khảo.
d. Tiến trình dạy học:
d.1. Ổn định tổ chức:
d.2. Bài mới
BĐT Cô-si: Với n số không âm bất kì:
12
; ; ( 2)
n
a a a n
ta luôn có:
12
12


n
n
n
a a a
a a a
n
(I)
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
12

n
a a a
.
e. Các bài tập

Dạng 1: Sử dụng kĩ thuật thêm bớt trong bất đẳng thức Cô – si.
Bài 1: Cho a > b > 0 chứng minh rằng

12
2
2
1
1.1) 3
()
4
1.2) 3
( )( 1)
1
1.3) 2 2.
()
a
b a b
a
a b b
a
b a b

Giải:
1.1) Theo BĐT (I) ta có:
3
11
( ) 3 .( ). 3
( ) ( )
b a b b a b
b a b b a b

(đpcm).Dấu
bằng xảy ra khi
1; 2.ba

1.2) Theo BĐT (I) ta có:
2
4
22
1 1 4 1 4
( ) 4 ( )
2 2 2
( )( 1) ( )( 1)
4
b b b
VT a b a b
a b b a b b

Dấu bằng xảy ra khi
1; 2.ba

1.3) Theo BĐT (I) ta có:
2
4
22
1 1 4
4 2 2
2 2 2
( ) ( )
2
a b a b a b

VT b b
b a b b a b
(đpcm). Dấu
bằng xảy ra khi
3 2 2
;.
22
ab

Bài 2: Cho
0xy
. Chứng minh:
2
32
25
( )(2 3)
x
x y y
.

Giải: Ta có:
4
2
64.4
(4 4 ) (2 3) (2 3) 6 4 64.4 6
(4 4 )(2 3)
= 16 6 10
x y y y
x y y

Từ đó suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi:
31
4 4 2 3 4 ;
22
x y y x y
.

Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức nhờ BĐT Cô – si và kĩ thuật thêm bớt.

13
Bài 1: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn hệ thức:
2 2 2
1.a b c

Chứng minh:

3
ab bc ca
S
c a b
.
Giải:
Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 ( ) ( ) ( ) 3( )
2 6( ) 6 3 3
a b b c c a a b a c b c

S b a c a b c
c a b c b a
S a b c S S

(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi
3
3
a b c
.
…………………………………….
Bài 7: Cho x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
0 3;0 4xy
. Tìm GTLN của
biểu thức:
(3 )(4 )(2 3 )A x y x y
.
Giải:
Theo BĐT (I) ta có:
3
(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )
2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6
3
x y x y
x y x y

3
6 6 36AA
.
Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.

2.1.4. Kiểm tra, đánh giá
Giáo viên tổ chức việc kiểm tra học sinh trong giờ học không cho điểm thông qua các
bài tập trên. Sau khi kết thúc 2 giờ bài tập, giáo viên phát phiếu học tập ở nhà cho các nhóm
học sinh. Sau khi các nhóm hoàn thành bài tập, giáo viên kiểm tra, chỉnh sửa và yêu cầu các
nhóm trao đổi phiếu học tập và lưu lại thành tài liệu tham khảo.
Hệ thống bài tập trong các phiếu học tập và đáp án của chúng
Hoàn thành các bài tập dưới đây bằng cách sử dụng các công cụ đã được học trong bài
vừa qua và viết thành một bài báo cáo chi tiết. Hạn nộp báo cáo sau 01 tuần.
Bài 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện:
6xy
.
Tìm GTNN của biểu thức:

14
68
32P x y
xy
.
Giải bài 1: Theo BĐT (I) ta có:
3 6 8 3 3 3 6 8 3
2. . 2. . .6
2 2 2 2 2 2 2
x y x y x y
P
x y x y

6 4 9 19
. Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.

Bài 11: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:

*
( , )
m n m n m n
n n n
m m m
a b c
a b c m n N
b c a

Giải bài 11: Theo BĐT (I) ta có:
( ) ( ) ( )
n
m n m n
n n m n
mn
mm
aa
n mb m n b m n a
bb
.
Tương tự ta cũng có:
( ) ; ( )
m n m n
n n n n
mm
bc
n mc m n b n ma m n c
ca
. Cộng các
BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu
1mn
thì ta có BĐT :
2 2 2
.
a b c
a b c
b c a

………………………………………
Bài 20: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT:
3
2
xy yz zx
xy z yz x zx y
.
Giải bài 20:
Do
( ) ( )( )xy z xy z x y z x z y z
nên theo BĐT (I) ta có:
1
.
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
.
Tương tự ta cũng có:
1
2

yz y z
yz x x y x z
;
1
2
xz x z
xz y x y y z

Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh.

15
Dấu bằng xảy ra khi
1/ 3x y z
.
Đề kiểm tra (Dùng để thực nghiệm)
Bài 1: Cho ba số không âm a, b, c.
Chứng minh:
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ca c ab
.
Bài 2: Ba số thực a, b, c thỏa mãn hệ thức:
6 6 6
3a b c
.
Hãy tìm GTLN của biểu thức
2 2 2
S a b c

Bài 3: Cho x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện:
0 3;0 4xy

.
Tìm GTLN của biểu thức:
(3 )(4 )(2 3 )A x y x y
.
Đáp án
Đáp án bài 1: Theo BĐT Cô – si ta có:

4
3 3 3 3 3 3 2
6
4 6 6a b c a b c a bc
;
Tương tự ta cũng có:
3 3 3 2 3 3 3 2
4 6 ;4 6b c a b ca c a b c ab

Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy
ra khi a = b = c.
Đáp án bài 2: Theo BĐT (I) ta có:
6 2 6 2 6 2
1 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3a a b b c c S S

Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.
Đáp án bài 3: Theo BĐT (I) ta có:
3
(6 2 ) (12 3 ) (2 3 )
2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6
3
x y x y
x y x y

3
6 6 36AA
.
Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.
2.2. Kế hoạch bài dạy nội dung bất đẳng thức theo dự án
2.2.1. Kế hoạch bài dạy
KẾ HOẠCH BÀI DẠY THEO DỰ ÁN
Ngƣời soạn
Họ và tên

Huyện

Thành Phố

Trường


16
Tổng quan về bài dạy
Tiêu đề bài dạy
Các kỹ năng chứng minh bất đẳng thức
Tóm tắt bài dạy
Bài dạy nhằm giúp học sinh hệ thống và thực hành các kỹ năng giải quyết một số dạng bài toán
thuộc dạng bất đẳng thức thường gặp trong các kì thi đại học, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố
hoặc quốc gia.
Lĩnh vực bài dạy
- Toán học
Cấp/ Lớp: Lớp 12 nâng cao, trường THPT.
Thời gian dự kiến: 1 tháng

Chuẩn kiến thức cơ bản
Chuẩn nội dung và quy chuẩn
Hệ thống được một số kỹ năng giải quyết các bài toán bất đẳng thức thường gặp trong các kì thi
đại học hay thi học sinh giỏi các cấp trong nước và phương pháp giải cụ thể được nêu kèm ví dụ
minh họa.
Mục tiêu đối với học sinh/ kết quả học tập
- Tổng kết và phân loại được các kỹ năng cơ bản, các phương pháp giải tổng quát hay một lớp các
dạng bài tập bất đẳng thức đại số hoặc lượng giác.
Bộ câu hỏi định hƣớng:
Câu hỏi khái quát: Làm thế nào để chinh phục được các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi
học sinh giỏi ?
Câu hỏi bài học: Những kỹ năng nào thường được sử dụng khi giải các bài toán bất đẳng thức
trong các bài thi đại học hoặc học sinh giỏi?
Câu hỏi nội dung:
1. Có phương pháp chung để giải các bài toán bất đẳng thức đại số không? Có thể có những dạng
bài toán bất đẳng thức đại số nào có chung một kỹ năng giải giống nhau ? Phương pháp giải của
chúng?
2. Các bài toán bất đẳng đại số có thể quy về các bất đẳng thức lượng giác được hay không? Có
mối liên hệ nào để nhận ra điều đó?
3. Có phân loại được các dạng bài tập bất đẳng thức không và chia chúng theo nhóm phương pháp
hay kỹ năng nào?
Kế hoạch đánh giá

17
Lịch trình đánh giá
Trước khi bắt đầu
dự án
Học sinh thực hiện dự án và hoàn tất
công việc
Sau khi hoàn tất

dự án

Tổng hợp đánh giá
Công cụ đánh giá:
- Xây dựng các rubric đánh giá bài viết.
- Xây dựng các rubric đánh giá tinh thần làm việc
( hợp tác theo nhóm, Nếu làm việc theo nhóm)
- Xây dựng rubric đánh giá việc trình bày kết quả.
Người đánh giá:
- Giáo viên và học sinh.
Thời điểm đánh giá:
- Kết thúc bài dạy (Sau 1 tháng).
Minh chứng đánh giá:
- Bài viết của học sinh.
- Biên bản làm việc nhóm.
Chi tiết bài dạy
Các kĩ năng thiết yếu
- Các kĩ năng cần thiết để giải toán
- Kĩ năng nghiên cứu và tổng hợp tài liệu
- Kĩ năng trình bày khoa học và logic.
Các bước tiến hành bài dạy
Bước 1: Giáo viên nêu tên dự án , thống nhất tiêu chí đánh giá sản phẩm.
Bước 2: ( Thời gian 2 tuần - ở nhà)
- Mỗi nhóm học sinh đọc tài liệu tham khảo, giải, hệ thống các dạng toán,.
- Giáo viên đôn đốc, tư vấn, hỗ trợ.
Bước 3: ( Thời gian 90’)
- Học sinh trình bày dự án đã hoàn thành. Các nhóm thảo luận góp ý kiến.
Bước 4: (Thời gian 90 phút)
- Đánh giá hiệu quả làm việc của từng nhóm bằng một bài kiểm tra.
Bước 5: ( Thời gian 90 phút)

Giáo viên tổng kết thành cách giải quyết hiệu quả nhất cho dự án.
Nhiệm vụ của học sinh.

18
- Làm bài tập và các nhiệm vụ giáo viên giao.
Điều chỉnh phù hợp đối tƣợng
Học sinh tiếp thu chậm
Không dành cho học sinh tiếp thu chậm
Học sinh học kém tiếng Anh
Giáo viên hỗ trợ trong quá trình đọc hiểu
Học sinh có năng khiếu Toán
Chủ động tìm thêm tài liệu, phát triển hướng nghiên
cứu tiếp theo.
Công nghệ - Phần cứng ( Đánh dấu vào các thiết bị cần thiết )
Công nghệ - phầm mềm ( Đánh dấu vào những phần mềm cần thiết)
Yêu cầu khác
Nếu có
2.2.2. Tài liệu hỗ trợ học sinh (Bài giảng hỗ trợ kĩ năng)
*Kĩ thuật đồng bậc hóa bất đẳng thức
- Khái niệm bất đẳng thức đồng bậc.
- Phương pháp đồng bậc và các ví dụ.
* Kĩ thuật chuẩn hóa bất đẳng thức
Xét bất đẳng thức dạng
1 2 1 2
, , , , , ,
nn
f x x x g x x x
trong đó f và g là hai đa
thức thuần nhất đồng bậc. Khi đó ta có thể chuyển bất đẳng thức đã cho trở thành dạng:
12

, , ,
n
f x x x
với điều kiện:
12
, , ,
n
g x x x

Việc làm như vậy được gọi là chuẩn hóa bất đẳng thức. Sau đó xét một số ví dụ chuẩn
hóa bất đẳng thức.
* Kĩ thuật sử dụng bộ 3 biến đối xứng pqr
Tất cả các BĐT đối xứng ba biến số đều có thể quy về hàm đối xứng
,,p x y z q xy yz xz r xyz= + + = + + =

Sau đó xét một số ví dụ chứng minh bất đẳng thức bắng cách đưa về bộ ba biến đối xứng và
sử dụng bất đẳng thức Schur.
* Kĩ thuật lượng giác hóa
Sử dụng kĩ thuật này nhằm biến một bất đẳng thức đại số thành một bất đẳng thức
lượng giác và lợi dụng các tính chất đặc biệt của các hàm số lượng giác để làm cho chúng “dễ
chứng minh hơn”.Cụ thể bằng việc xét các ví dụ minh họa.
2.2.3. Kiểm tra, đánh giá sau dự án
2.2.3.1. Đề thi đánh giá hiệu quả làm việc của học sinh sau dự án.

19
2.2.3.2. Biên bản làm việc nhóm
Đây là căn cứ để giáo viên đánh giá nhiệm vụ và mức hoàn thành nhiệm vụ của từng
thành viên trong các nhóm.
2.2.3.3. Rubric đánh giá sự hợp tác
- Phiếu tự đánh giá làm việc nhóm

2.2.3.4. Phiếu đánh giá bài báo cáo
2.2.3.5. Phiếu đánh giá bài trình bày báo cáo bằng lời
2.2.3.6. Phiếu hỏi ý kiến học sinh sau dự án.
2.3. Kế hoạch bài dạy tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức
2.3.1. Kế hoạch bài dạy
- Giáo viên tổng kết các nội dung cơ bản cần nắm được về tính chất của tiếp tuyến và hàm lồi,
lõm trên một khoảng.
- Giáo viên gợi ý các tài liệu tham khảo.
- Giáo viên phát phiếu học tập trong đó bao gồm các bài toán cần giải.
- Giáo viên hướng dẫn các kĩ năng giải bài toán.
2.3.2. Hợp đồng học tập, kiểm tra và đánh giá
- Hợp đồng học tập
- Kiểm tra, đánh giá.
- Các bài tập bổ xung



CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM VÀ NHỮNG ĐỀ XUẤT
3.1. Thực nghiệm sƣ phạm và các kết quả so sánh đối chứng
3.1.1. Mục đích, nhiệm vụ, phương pháp và hình thức thực nghiệm
3.1.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi, hiệu quả của đề tài
trên thực tế áp dụng đồng thời bổ xung trở lại nội dung của đề tài cũng như đề xuất các cải
tiến trên các phương diện liên quan đến quá trình dạy học và giáo dục trong nhà trường.
3.1.1.2. Nhiệm vụ thực nghiệm
- Thực hiện giảng dạy theo các phương pháp bao gồm dạy học theo mục tiêu nhận
thức, dạy học tự nghiên cứu, dạy học theo dự án nội dung bất đẳng thức ở 3 lớp bao gồm 1
lớp 10 và 2 lớp 12 với những đối tượng có trình độ khác nhau để đánh giá tính khả thi của đề
tài trong thực tế.

20
3.1.1.3. Phương pháp và hình thức thực nghiệm
Giảng dạy trực tiếp trên các lớp với các thiết kế bài giảng đã trình bày ở chương 2 của
luận văn này.
3.1.2. Quy trình thực nghiệm và các kết quả
Các bước tiến hành thực nghiệm đối với lớp 10A1 bám sát kế hoạch bài giảng. Bài
kiểm tra đánh giá thực nghiệm tiến hành với lớp đối chứng là 10A2
- Biểu đồ so sánh kết quả đối chứng. 10A2 ;
10A1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Yếu
kém
Trung
Bình
Khá Giỏi

Một số kết luận:
- Lựa chọn phương pháp dạy học có vai trò quan trọng có liên quan chặt chẽ với nội
dung dạy học.

- Vệc dạy thực nghiệm đã đạt kết quả tốt và thiết kế bài giảng có tính khả thi.
3.1.2.1. Một số kết quả báo cáo của học sinh sau dự án
* Sử dụng các kĩ thuật đồng bậc, chuẩn hóa, pqr, lượng giác hóa …. để chứng minh một số
bất đẳng thức đại số:
3.1.2.2. Một số kết quả tự nghiên cứu của học sinh
* Sử dụng bất đẳng thức Jensen và các hệ quả để chứng minh một số bất đẳng thức đại số và
lượng giác.
3.2. Các đề xuất
3.2.1. Về phương diện phương pháp, hình thức và quản lí
3.2.1.1. Về phương diện phương pháp

21
Nói chung trong tình hình dạy học hiện nay, các phương pháp dạy học tiên tiến, hiện
đại cũng đã được giáo viên cố gắng khai thác, áp dụng và chỉnh sửa để phù hợp đối tượng học
sinh Việt Nam cũng như cơ sở vật chất, trang thiết bị chúng ta có.
3.2.1.2. Về phương diện hình thức và quản lý
Mỗi hình thức, phương pháp dạy học đều cần một cách quản lí tương thích.
3.2.2. Về phương diện nội dung
Không phải nội dung nào trong chương trình cũng có thể áp dụng một hay tất các các
phương pháp dạy học kể trên, tùy vào tình hình học sinh cụ thể, mức độ đáp ứng của cơ sở vật
chất và khả năng của giáo viên mà ta có thể linh hoạt áp dụng một phương pháp dạy học tích
cực với một nội dung dạy học nào đó.

22
KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN
Trong xu thế hội nhập và phát triển mạnh mẽ như hiện nay, phương pháp dạy học
cũng đang tiếp cận chuẩn quốc tế.
2. Luận văn đã trình bày được những khái niệm, tính chất và các đặc điểm của phương
pháp dạy học tích cực cụ thể là phương pháp dạy học theo mục tiêu nhận thức, dạy học theo
dự án và dạy học tự nghiên cứu.

3. Luận văn đã xây dựng được các thiết kế bài dạy theo mục tiêu nhận thức, kế hoạch
bài dạy theo dự án và kế hoạch bài dạy tự nghiên cứu nội dung bất đẳng thức, đồng thời thiết
kế các công cụ khảo sát, kiểm tra, đánh giá thích hợp với từng nội dung của bài dạy.
4. Luận văn cũng đã trình bày một số kết quả tự nghiên cứu và trích một số kết quả trong các
bài báo cáo cuối dự án của học sinh. Điều này bước đầu thể hiện khả năng tự học, tự nghiên
cứu của học sinh. Đồng thời cũng là thước đo cho sự thích hợp của phương pháp và tính khả
thi của đề tài.

References
1. Nguyễn Hữu Châu. Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy học. Nxb Giáo
dục. 2004.
2. Vũ Cao Đàm. Phương pháp luận nghiên cứu khoa học. Nhà xuất bản Giáo dục, 2008.
3. Nguyễn Văn Hiến. Bất đẳng thức trong tam giác. Nhà xuất bản Hải Phòng, 2000.
4. Đặng Thành Hƣng. Tạp chí Phát triển giáo dục, Số 10/2004.
5. Bùi Thị Hƣờng. Phương pháp dạy học môn Toán ở trung học phổ thông theo định hướng
tích cực. Nxb Giáo dục Việt Nam. 2010.
6. Phan Huy Khải. 10.000 bài toán sơ cấp – Bất đẳng thức. Nhà xuất bản Hà Nội, 1998.
7. Nguyễn Vũ Lƣơng (Chủ biên), Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng. Các bài giảng
về bất đẳng thức Cô – si. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005.
8. Nguyễn Vũ Lƣơng (Chủ biên), Nguyễn Ngọc Thắng. Các bài giảng về bất đẳng thức
Bunhiacopski. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007.
9. Nguyễn Vũ Lƣơng. Phương pháp dạy học môn Toán trong nhà trường THPT. Khoa Sư
phạm, Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005.
10. Nguyễn Vũ Lƣơng. Một số kinh nghiệm giảng dạy cho Học sinh năng khiếu Toán – Tin
theo các mục tiêu nhận thức ở Khối Chuyên Toán – Tin, trường ĐHKHTN-ĐHQG-HN.
, 9/2010.
11. Thiết kế dự án hiệu quả.
12. Vũ Hồng Tiến. Một số phương pháp dạy học tích cực. Khoa Giáo dục Chính trị, Đại học
Sư Phạm Hà Nội. . 16/03/2007.

23
13. Lê Quang Sơn. Dạy học theo phương pháp nghiên cứu khoa học. Đại học Đà Nẵng,
www.ud.edu.vn/bankhcnmt/zipfiles/So9/7_son_lequang_9.doc.