Một số kinh nghiệm và bài tập bồi dưỡng HSG Toán lớp 8+ 9

MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC DẠY CHUYÊN ĐỀ NÂNG
CAO TRONG CÔNG TÁC BDHSG
Chúng ta đã biết phương pháp giảng dạy của mỗi giáo viên có khác
nhau. Tuy nhiên cái đích cuối vẫn là kết quả nhận thức của học sinh sau mỗi
buổi dạy đó dạy học.
Với ý nghĩa đó, tôi xin mạnh dạn đưa ra một kinh nghiệm trong công
tác bồi dưỡng học sinh tại trường THCS Trần Phú.
Nội dung chủ đề: “Chuyên đề sử dụng hằng đẳng thức và các bất đẳng
thức quen thuộc để tìm GTNN và GTLN của một số biểu thức đơn giản của
chương trình lớp 9”. Trình tự như sau:
I. Yêu cầu học sinh ghi lại 7 hằng đẳng thức đã học

(Học sinh ghi lại 7 HĐT đó và GV chốt vấn đề)
* GV nên lưu ý HS trong việc ghi các hằng đẳng thức dưới nhiều kiểu ghi
khác nhau. Chẳng hạn
(A ± B)2 = A2 + B2 ± 2AB = ± 2AB + A2 + B2 = …
II. Yêu cầu học sinh ghi các biểu thức sau dưới dạng bình phương của
tổng hay hiệu
Nội dung
a) x + 2x +1
b) x2 + 4 - 4x
c) x2 + y2 - 2xy
d) (x + y –z)2 + z2 +z(x + y – z).2
2

Trả lời của học sinh


• Lưu ý: GV có thể lấy thêm nhiều VD tương tự hay các VD liên quan
đến các HĐT khác để học sinh nắm chắc vấn đề mới thôi.
III. Yêu cầu học sinh viết các biểu thức sau dưới dạng (ax ± b)2 ± c hay

c - (ax ± b)2
Nội dung
Trả lời của học sinh
2
a) x + 2x +4
b) x2 + 4 – 5x
c) -3x2 + 2 - 5x
d) 5 - 3x - 0,5x2
IV. Chứng minh
a) x2 – 5x + 7 > 0 với mọi x
b) 3x2 -7xy + 5y2 ≥ 0 với mọi x, y.
c) GV nên tìm thêm các ví dụ nữa để học sinh nắm chắc vấn đề.
V. Một số bài tập cơ bản và nâng cao
1. a) Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
b) Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh :

a
b
c
d
+
+
+
≥2
b+c c+d d+a a+b

2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki :
(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
Giải a) Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) ⇒

b) vì (ad - bc)2 ≥ 0.
3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.
Giải Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 - x.
Do đó : S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 ⇔ x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y,
d= 1, Ta có :(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) ⇔ 4≤2(x2 + y2) = 2S ⇔ S≥2
⇒mim S=2 khi x = y = 1


4. a) Cho a>0, b >0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :

a+b
≥ ab .
2

bc ca ab
+ +
≥a+b+c
a
b
c
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Giải
a) HS tự giải
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng :

bc

ca bc
ab ca
ab
và
;
và
;
và
, ta lần lợt có:
a
b a
c b
c

bc ca
bc ca
bc ab
bc ab
+ ≥2
. = 2c;
+ ≥2
. = 2b ;
a
b
a b
a
c
a c
ca ab
ca ab

+
≥2
. = 2a cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng
b
c
b c

minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
3a + 5b
≥ 3a.5b ⇔ (3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) ⇔ 122 ≥ 60P
2
⇔P

≤

12
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 ⇔ a = 2 ; b = 6/5.
5
Vậy Max P =

12
. tại a = 2, b = 1,2.
5

5. Cho các số a, b không âm mãn thoả a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: M = a3 + b3.
Giải
Ta có b = 1 - a, do đó M = a3 + (1 - a)3 = a3 + 1 -3a +3a2 - a3 = 1 – 3a(1- a) .
Dấu = xảy ra khi a =... hay a=....

Vậy max M =... ⇔ a = ...; b =... .
6. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
Giải


Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a - b)2(a + b).
7. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
Giải a) Xét hiệu : (a + 1)2 - 4a = a2 + 2a + 1 - 4a = a2 2a + 1 = (a - 1)2 ≥ 0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥4c và các bất đẳng
thức này có hai vế đều dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc=64.1 =
82.
Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
8. Chứng minh các bất đẳng thức :
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Giải . a) Ta có : (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2). Do (a - b)2 ≥ 0,
nên (a + b) 2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a - b)2 + (a - c)2 + (b -c)2. Khai triển và rút
gọn, ta đươc : 3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).

9. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
Giải Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 - ab - ac - ad = 0
(1). Nhân hai vế của (1) với 4 rồi đưa về dạng :
a2 + (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = 0, 2b = a , 2c = a , 2d = a . Suy ra : a = b = c = d = 0.

10. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 - 3a - 3b + 2001. Với giá trị nào của a và
b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải 2M = (a + b - 2)2 + (a - 1)2 + (b - 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 ⇒ M ≥

1998.


Dấu = xảy ra khi có đồng thời :

a + b − 2 = 0

a − 1 = 0
b − 1 = 0


Vậy min M =1998⇔a = b= 1.

11. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 - 3(x + y)+ 3. CMR GTNN của P bằng 0.
Giải ta có 2P = 2x2 + 2xy + 2y2 - 6(x + y)+ 6
= (x2 + y2 +4 + 2xy - 4x - 4y) + (x2 -2x +1)+ (y2 -2y +1)
= (x +y -2)2 + (x - 1)2 +(y - 1)2 ≥ 0
Dấu = xảy ra khi x = y = 1.
Vậy MinP = 0 tại x = y = 1.
12. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức
sau :
x2 + 4y2 + z2 - 2x + 8y - 6z + 15 = 0
Giải Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x - 1)2 + 4(y + 1)2 + (z - 3)2 + 1 = 0.

13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A =
Giải

A=

1

1
1
1
=
≤
.
max
A=
⇔ x = 2.
2
2
x − 4x + 9 ( x − 2 ) + 5 5
5

14. Giải phương trình :
Giải

1
x 2 − 4x + 9

3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 − 2x − x 2 .

3(x + 1) 2 + 4 + 5(x + 1) 2 + 16 = 6 − (x + 1) 2 .


Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn
6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.

15. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x2y với các điều kiện x,y >0 và
2x+xy = 4.

2
a+b
a+b
Giải Bất đẳng thức Cauchy ab ≤
viết lại dưới dạng ab ≤ 
÷
2
 2 
(*)
(a, b ≥ 0).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng (*) với hai số dương 2x và
xy
Ta được :
2

 2x + xy 
2x.xy ≤ 
÷ =4
 2 

Suy ra x2y ≤ 2
Dấu = xảy ra khi 2x = xy = 4:2 tức là khi x = 1, y = 2. ⇒ max A = 2
⇔ x = 2, y = 2.

16. Cho S =

1
1
1
1

+
+ .... +
+ ... +
.
1.1998
2.1997
k(1998 − k + 1)
1998 − 1

Hãy so sánh S và 2.

1998
.
1999

Giải Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng :

1
2
>
.
a
+
b
ab


Áp dụng ta có S > 2.

1998

.
1999

17. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng :
 x 2 y2   x y 
x y
+ ≥2
a)
b)  2 + 2 ÷−  + ÷ ≥ 0
x  y x
y x
y
 x 4 y4   x 2 y2   x y 
c)  4 + 4 ÷−  2 + 2 ÷+  + ÷ ≥ 2 .
x  y
x  y x
y
x y
x y
x 2 + y 2 − 2xy (x − y) 2
+ ≥2
+ −2=
=
≥ 0 . Vậy
Giải a)
y x
y x
xy
xy
 x 2 y2   x y   x 2 y2   x y   x y 

b) Ta có : A =  2 + 2 ÷−  + ÷ =  2 + 2 ÷− 2  + ÷+  + ÷.
x  y x y
x  y x y x
y
2

2

 x 2 y2   x y 
x  y 
Theo câu a : A ≥  2 + 2 ÷− 2  + ÷+ 2 =  − 1÷ +  − 1 ÷ ≥ 0
x  y x
y  x 
y
 x 4 y4   x 2 y2 
x y
+ ≥ 2 (câu
c) Từ câu b suy ra :  4 + 4 ÷−  2 + 2 ÷ ≥ 0 . Vì
y
x
y
x
y x

 

a).
 x 4 y4   x 2 y2   x y 
Do đó :  4 + 4 ÷−  2 + 2 ÷+  + ÷ ≥ 2 .
x  y

x  y x
y

18. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng :

x y
x 2 y2
+
+
4
≥
3
 + ÷.
2
2
y
x
y x
x y
x 2 y2
+ = a ⇒ 2 + 2 + 2 = a2 .
Giải Đặt
y x
y
x


x 2 y2
Dễ dàng chứng minh 2 + 2 ≥ 2
y

x

Nên a2 ≥ 4, do đó | a | ≥ 2 (1).

Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với : a2 - 2 + 4 ≥ 3a
⇔ a2 - 3a + 2 ≥ 0 ⇔ (a - 1)(a -2) ≥0 (2)
Từ (1) suy ra a = 2 hoặc a = -2. Nếu a = 2 thì (2) đúng. Nếu a = -2 thì
(2) cũng đúng. Bài toán được chứng minh.

x 2 y2 z2 x y z
19. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : 2 + 2 + 2 ≥ + + .
y
z
x
y z x
Giải Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với :
2

2

2

x  y  z  x y z
 − 1÷ +  − 1÷ +  − 1 ÷ +  + + ÷ ≥ 3 .
y  z  x  y z x

20. Cho hai số dương a,b thoả mãn a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.
Giải Giả sử a + b > 2 ⇒ (a + b)3 > 8 ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8
⇔ 2 + 3ab(a + b) > 8
⇒ ab(a + b) > 2 ⇒ ab(a + b) > a3 + b3.

Chia hai vế cho số dương (a + b) ta được: ab > a2 - ab + b2
⇒ (a - b)2 < 0, vô lí. Vậy a + b > 2.
x

y

z

21. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = y + z + x với x, y, z > 0.
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương x, y, z :
x y z
x y z
A = + + ≥ 33 . . = 3
y z x
y z x


x

y

z

x

y

z

Do đó min  + + ÷ = 3 ⇔ = = ⇔ x = y = z

y z x
y z x
22. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x2 + y2 biết x + y = 4.
Giải Ta có x + y = 4 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 16. Ta lại có (x - y)2 ≥ 0
⇒ x2 - 2xy + y2 ≥ 0. Từ đó suy ra 2(x2 + y2) ≥ 16 ⇒ x2 + y2 ≥ 8. min A = 8
khi chỉ khi x = y = 2.

23. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x)
với x, y, z 0 ; x + y + z = 1.
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz
(1)
2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x + y)(y + z)(z + x) (2)
Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. 3 A
3
3
1
2
2 ⇔
⇒ A ≤  ÷ max A =  ÷ khi và chỉ khi x = y = z = 3 .
9
9

VI. Kết luận:


Kiến thức học sinh đã học và GV đã nghiên cứu là hữu hạn nhưng kiến
thức toán học là vô tận. Rất mong niềm đam mê nghiên cứu toán học của
mỗi chúng ta ngày càng chuyên sâu đáp ứng niềm mong chờ của quý phụ
huynh và học sinh.

Người soạn
Trịnh Thanh Việt