phân tích kết cấu tường cứng bằng phương pháp phần tử hữu hạn (fem)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƯỜNG CỨNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)
S

K

C

0

0

3

9

5

9

MÃ SỐ: T2011 - 74

S KC 0 0 3 6 5 9

Tp. Hồ Chí Minh, 2011


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA XÂY DỰNG VÀ CƠ HỌC ỨNG DỤNG

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KH&CN CẤP TRƯỜNG

PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƯỜNG CỨNG BẰNG PHƯƠNG
PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN (FEM)
Mã số: T2011-74

Chủ nhiệm đề tài: Ths. TRANG TẤN TRIỂN

TP. HCM, 01/2012



TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

KHOA XD&CHƯD
Tp. HCM, ngày 15 tháng 02 năm 2012

THƠNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thơng tin chung:
- Tên đề tài: PHÂN TÍCH KẾT CẤU TƢỜNG CỨNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU
HẠN (FEM)
- Mã số: T2011-74
- Chủ nhiệm: ThS. TRANG TẤN TRIỂN
- Cơ quan chủ trì: Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh
- Thời gian thực hiện:
2. Mục tiêu:






Tìm hiểu các kết cấu tường cứng và các phương pháp tính toán cũng như khả năng ứng dụng
tường cứng trong các kết cấu nhà cao tầng và công trình chống động đất.
Xây dựng mô hình toán học để phân tích tường cứng bằng phương pháp số.
Xây dựng thuật toán, viết chương trình phân tích và mô phỏng trường ứng suất, biến dạng và
mode dao động của tường cứng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab.
Viết chƣơng trình tính tốn trường ứng suất, biến dạng và mode dao động tƣờng cứng bằng
ngôn ngữ lập trình Matlab.
Đánh giá kết quả so với các lời giải khác và đề xuất các biện pháp để nâng cao độ chính xác
và tốc độ hội tụ của lời giải.

1. Tính mới và sáng tạo:
Trong nghiên cứu này phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với các giải thuật chỉnh lý lưới
được sử dụng để phân tích kết cấu tường chòu cắt để nâng cao độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời
giải.
2. Kết quả nghiên cứu:

Trong đề tài này, tác giả sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab để xây dự ng chương trình phân tích
tónh học và động học bài toán tường cứng, chương trình này cho kết quả tin cậy so với lời giải bằng
Ansys. Các giải thuật chia lưới nền tự động cho các kết cấu cũng được tác giả thực hiện để có được
các lời giải với mật độ lưới khác nhau.
3. Sản phẩm:
Một giao diện được lập trình cho phép thay đổi các thông số để có thể khảo sát bài toán với các
thông số khác nhau.
6. Hiệu quả, phương thức chuyển giao kết quả nghiên cứu và khả năng áp dụng:
Chƣơng trình tính tốn bằng ngơn ngữ Matlab sử dụng cho giảng dạy mơn phƣơng pháp FEM
Trưởng Đơn vị
Chủ nhiệm đề tài
(ký, họ và tên, đóng dấu)
(ký, họ và tên)


iv

MỤC LỤC
Tóm tắt ................................................................................................................... i
Mục lục ................................................................................................................... ii
1. Giới thiệu
1.1 Tổng quan ............................................................................................... 1
1.2 Mục tiêu của đề tài ................................................................................. 2
1.3 Tính cấp thiết của đề tài ......................................................................... 2
2. Lý thuyết đàn hồi
2.1 Ứng suất ............................................................................................. 4
2.1.1 Các thành phần ứng suất ........................................................... 4
2.1.2 Các phương trình vi phân cân bằng ........................................... 5
2.1.3 Điều kiện biên........................................................................... 7
2.2 Biến dạng ............................................................................................... 8

2.2.1 Các thành phần biến dạng. Tensor biến dạng ........................... 8
2.2.2 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vò....................................... 9
2.3 Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng .................................................... 11
2.4 Bài toán phẳng trong hệ trục tọa độ vuông góc .................................... 13
2.4.1 Khái niệm bài toán phẳng ....................................................... 13
2.4.2 Thiết lập các phương trình chủ đạo ......................................... 14
2.5 Lý thuyết tấm ....................................................................................... 15
3
Phương pháp phần tử hữu hạn
3.1 Phương trình phần tử............................................................................. 22
3.2 Phần tử chữ nhật .................................................................................. 25
3.3 Tính ứng suất và biến dạng trong FEM ................................................ 34
3.4 Phương pháp tích phân số ..................................................................... 35
4
Ví dụ số
4.1 Giới thiệu .............................................................................................. 37
4.2 Bài toán phân tích tónh học và động học .............................................. 37
4.2.1 Mô hình và thông số phân tích ................................................ 37
4.2.2 Kết quả phân tích tónh học ...................................................... 39
4.2.3 Kết quả phân tích dao động tự do ........................................... 42
4.3 Phân tích độ cứng của vách cứng kết hợp với khung ............................ 43
4.4 Kết luận ................................................................................................ 46
5
Kết luận và hướng phát triển
5.1 Kết luận ................................................................................................ 48
5.2 Hướng phát triển ................................................................................... 48
Tài liệu tham khảo .............................................................................................. 50


Chương 1: Giới Thiệu

1

Chương 1

MỞ ĐẦU
1.1

TỔNG QUAN

Ngày nay nhiều phương pháp tính số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở
thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu được khi giải quyết các bài toán
Khoa học – Kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu
hạn, phương pháp phần tử biên, các phương pháp không lưới). Trong đó phương
pháp phần tử hữu hạn (PTHH) đã trở thành công nghệ phần mềm phổ biến và
hiệu quả.
Một bằng chứng cụ thể, nhiều phần mềm ứng dụng ra đời dựa trên cơ sở
phương pháp phần tử hữu hạn như Sap, Nastran, Abaqus, Samcef, Ansys,…
Với phương pháp PTHH các bước tiến hành để phân tích:
 Rời rạc hóa miền bài toán thành một số hữu hạn các miền con liên kết
với nhau bởi các điểm nút.
 Xây dựng lưới phần tử hữu hạn.
 Xây dựng hệ toạ độ đòa phương và toàn cục.
 Đònh nghóa tính chất hình học và đặc tính vật liệu cho mô hình (tọa
độ nút, tiết diện mặt cắt ngang, ứng xử vật liệu,…).
 Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử
 Xây dựng công thức biến phân từ các phương trình vi phân chính
tắc.
 Chọn hàm xấp xỉ nghiệm trên phần tử.
 Xác đònh hàm dạng cho nút của phần tử.

 Thiết lập ma trận độ cứng cho phần tử.
 Lắp ghép các phương trình phần tử để thu được phương trình toàn cục
 Xây dựng điều kiện liên tục giữa các biến phần tử với các biến cơ
sở bằng quan hệ giữa nút đòa phương với nút toàn cục.
 Xây dựng điều kiện cân bằng giữa các biến thứ cấp.
 Lắp ghép các phương trình phần tử dựa vào các bước trên.
 Đưa vào bài toán các điều kiện biên
 Xác đònh bậc tự do toàn cục cho biến sơ cấp.
 Xác đònh bậc tự do toàn cục cho biến thứ cấp.
 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính.
 Phân tích và đánh giá kết quả


Chương 1: Giới Thiệu

2

 Tính các đại lượng dẫn xuất
 Tính sai số và tốc độ hội tụ của lời giải.
 So sánh với lời giải giải tích nếu có.
Tường cứng là một bộ phận quan trọng trong các kết cấu chống động đất và
nhà cao tầng. Tường cứng được đặt trong các công trình để giảm chuyển vò ngang
dưới tải trọng do động đất gây ra và chống lại các tải ngang. Từ những năm 1960
các phương pháp tính cho tường cứng đã được các tác giả trên thế giới đưa ra.
Tuy nhiên, các phương pháp này sử dụng các giả thuyết trong quá trình mô hình
hóa kết cấu nên các lời giải vẫn còn những hạn chế. Ngày nay với sự phát triển
của máy tính, các phương pháp số đã được ứng dụng rộng rãi để phân tích kết cấu
tường cứng bởi hiệu quả của nó thông qua độ chính xác của lời giải và dễ dàng áp
dụng cho các mô hình 2D và 3D.
Trong nghiên cứu này phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với các giải

thuật chỉnh lý lưới được sử dụng để phân tích kết cấu tường chòu cắt để nâng cao
độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời giải.
1.2

MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
 Tìm hiểu các kết cấu tường cứng và các phương pháp tính toán cũng như
khả năng ứng dụng tường cứng trong các kết cấu nhà cao tầng và công
trình chống động đất.
 Xây dựng mô hình toán học để phân tích tường cứng bằng phương pháp số.
 Xây dựng thuật toán, viết chương trình phân tích và mô phỏng trường ứng
suất, biến dạng và mode dao động của tường cứng bằng ngôn ngữ lập trình
Matlab.
 Viết chương trình tính tốn trường ứng suất, biến dạng và mode dao động
tường cứng bằng ngôn ngữ lập trình Matlab.
 Đánh giá kết quả so với các lời giải khác và đề xuất các biện pháp để nâng
cao độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời giải.

1.3

TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Tường cứng là một bộ phận quan trọng trong các kết cấu chống động đất và
nhà cao tầng. Tường cứng được đặt trong các công trình để giảm chuyển vò ngang
dưới tải trọng do động đất gây ra và chống lại các tải ngang. Từ những năm 1960
các phương pháp tính cho tường cứng đã được các tác giả trên thế giới đưa ra.
Tuy nhiên, các phương pháp này sử dụng các giả thuyết trong quá trình mô hình
hóa kết cấu nên các lời giải vẫn còn những hạn chế. Ngày nay với sự phát triển
của máy tính, các phương pháp số đã được ứng dụng rộng rãi để phân tích kết cấu

Chương 1: Giới Thiệu

3

tường cứng bởi hiệu quả của nó thông qua độ chính xác của lời giải và dễ dàng áp
dụng cho các mô hình 2D và 3D.
Trong nghiên cứu này phương pháp phần tử hữu hạn kết hợp với các giải
thuật chỉnh lý lưới được sử dụng để phân tích kết cấu tường chòu cắt để nâng cao
độ chính xác và tốc độ hội tụ của lời giải.


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

4

Chương 2

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI
2.1

ỨNG SUẤT

2.1.1 Các thành phần ứng suất
Khi một vật thể chòu sự tác động từ bên ngoài như tải trọng hoặc sự thay đổi
của nhiệt độ, trong vật thể sẽ phát sinh ứng suất. Với giả thiết vật liệu là liên tục
ứng suất toàn phần tại một điểm trong vật thể trên một mặt nào đó (H.2.1) được
đònh nghóa bởi phương trình:
p  lim
A0

F
A

trong đó F là vi phân hợp lực tác động trên một vi phân diện tích A bao quanh
một điểm của phần vật thể được xét.
F
A

Hình 2.1. Đònh nghóa ứng suất tại một điểm

Về mặt toán học, ứng suất tại một điểm được mô tả bằng một tensor hạng hai
gọi là tensor ứng suất và được kí hiệu là T .
Nếu tách từ vật thể một phân tố hình hộp vô cùng bé có các mặt song song với
các mặt tọa độ và phân tích ứng suất toàn phần trên mỗi mặt ra ba thành phần
y
theo phương ba trục tọa độ thì các thành
y
phần ứng suất tác động trên các mặt của
phân tố được thể hiện như hình 2.2.
 yx

yz
 xy
Có tất cả chín thành phần ứng suất:
x
 Ba ứng suất pháp:  x ,  y và  z .
 zy
 xz
 Sáu ứng suất tiếp:
 zx

x
 xy ,  yx ,  yz ,  zy ,  zx và  xz .
z
z
Mỗi thành phần ứng suất có hai chỉ số:
 Chỉ số thứ nhất thể hiện pháp tuyến
của bề mặt mà ứng suất đó tác dụng. Hình 2.2. Các thành phần ứng suất


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

5

 Chỉ số thứ hai thể hiện phương tác dụng của nó.
Trong kỹ thuật thường dùng kí hiệu  để chỉ ứng suất pháp và  để chỉ ứng
suất tiếp.
Theo đònh luật đối ứng của ứng suất tiếp :  xy  yx ;  yz  zy ;  zx   xz
Vì vậy, chỉ có sáu thành phần ứng suất độc lập và được viết dưới dạng ma trận
như sau:
 x  xy  xz   11  12  13 


T   yx  y  yz    21  22  23 
 zx  zy  z   31  32  33 


2.1.2 Các phương trình vi phân cân bằng
Trước hết xét bài toán phẳng trong hệ trục tọa độ xOy . Trong hệ tọa độ này
các thành phần ứng suất gồm:  x ,  y ,  xy và  yx chúng là những hàm số chỉ phụ
thuộc hai tọa độ x, y chứ không phụ thuộc tọa độ z . Điều kiện cân bằng trong

mặt phẳng xOy không phụ thuộc vào bề dày t của vật thể, vì vậy có thể chọn
t  1 để đơn giản hóa việc thiết lập các phương trình cân bằng.
Xét một phân tố vô cùng bé ABCD có kích thước dx.dy.1 , với các thành phần
ứng suất và các thành phần của lực thể tích là X và Y theo phương các trục tọa
độ như hình 2.3.

 y  y dy

y
 yx  yx dy
y
D

A

x

Y

dy

 xy
B

 xy 

X

dx

 yx

 xy

dx
x

 x  x dx
x

C

y

Hình 2.3. Phân tố ứng suất phẳng

Vì phân tố là vô cùng bé nên mỗi mặt có thể lấy trò số ứng suất trung bình. Sự
thay đổi ứng suất theo tọa độ chỉ xét tới các số hạng vô cùng bé bậc một, tức là
ngắt bỏ các số hạng vô cùng bé bậc cao trong phân tích chuỗi Taylor. Xét một
hàm f  x, y  bất kì, giá trò của hàm tại điểm lân cận x  dx, y  dy được khai triển
theo chuỗi Taylor tại điểm x, y như sau:
f  x  dx, y  dy   f 

f
f
dx  dy  Vô cùng bé bậc cao
x
y

Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

6

Áp dụng kết quả này để tính ứng suất trên mặt CD thu được giá trò

 x  x dx , vì dy  0 đối với trọng tâm các mặt CD và AB . Các thành phần ứng
x

suất khác cũng được tính tương tự.
Đối với phân tố ứng suất phẳng trên hình 2.3, có ba phương trình cân bằng độc
lập sau đây:
 yx 




 Fx  0    x  x dx  dy   x dy   yx 
dy  dx   yx dx  Xdxdy  0
x







y



Rút gọn phương trình này thu được:
 x  yx
x



X 0

y

Tương tự khi viết phương trình cân bằng theo phương Oy thu được:
 y  xy
y



Y  0

x

(2.1a)

(2.1b)

Phương trình còn lại là điều kiện cân bằng mômen đối với trọng tâm của phân
tố.
 M  0   xy dy

 xy  dx

 yx  dy
dx 
dy 
  xy 
dx  dy   yx dx   yx 
dy  dx
0
2 
x
2
2 
y
2



Đơn giản hóa và bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc cao, thu được đònh luật
đối ứng của ứng suất tiếp cho phân tố phẳng
 xy   yx
(2.2)
Trong trường hợp phân tố ở trạng thái ứng suất khối, có tất cả sáu phương
trình cân bằng độc lập. Các phương trình cũng được thiết lập tương tự như đối với
phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng.
Lấy phương trình cân bằng hình chiếu theo ba trục tọa độ dẫn tới hệ phương
trình sau đây:
 x  yx  zx
x
 xy
x





y
 y
y
 yz





z
 zy
z

X 0
Y  0

(2.3)

 xz


 z Z 0
x
y
z

Phương trình cân bằng mômen đối với ba trục đi qua trọng tâm phân tố và
song song với các trục tọa độ dẫn tới các phương trình đối ứng của các thành phần
ứng suất tiếp:
 xy   yx ;  yz   zy ;  zx   xz
(2.4)


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

7

Nếu thế phương trình (2.4) vào phương trình (2.3), thu được ba phương trình
chứa sáu thành phần ứng suất độc lập. Như vậy, bài toán tổng quát của lý thuyết
đàn hồi là siêu tónh. Để có thể giải được cần phải bổ sung thêm các phương trình
biến dạng và ứng xử của vật liệu , sẽ được xét đến trong phần tiếp theo.
2.1.3 Điều kiện biên
Bề mặt của vật thể đàn hồi được gọi là biên, được chia ra biên chính ( Su ) và
biên tự nhiên ( St ).
Biên chính, là nơi có liên kết ràng buộc. Ở đó điều kiện chuyển vò được xác
đònh.
Biên tự nhiên, là nơi cho trước ngoại lực là lực phân bố bề mặt.
Y
St

x

Phân tố

 xy

Su

dy

b)

O

X

ds



dx

y

a)

n



x

 yx

y

Hình 2.4. Bài toán phẳng và phân tố trên biên tự nhiên

Trước hết xét bài toán phẳng có bề dày đơn vò như trên hình 2.4.a. Tách một
phân tố vô cùng bé trên biên tự nhiên (H.2.4b), có các cạnh là dx, dy và ds . Lực
bề mặt được phân tích theo phương các trục tọa độ là X và Y . Côsin chỉ phương
của pháp tuyến n được kí hiệu lần lượt là l và m như sau:
dy
ds
dx
m  sin  n, y   cos  
ds

l  cos  n, x   cos  

Vì phân tố ở trạng thái cân bằng nên thiết lập được các phương trình sau đây:
 X  0   x dy   yx dx  Xds  0
Chia hai vế cho ds và chú ý đến các quan hệ (a), thu được phương trình:
 xl   yx m  X
(2.5a)
Tương tự  Y  0
 xy l   y m  Y

(2.5b)

Khi thiết lập phương trình (2.5) đã bỏ qua lực thể tích là vô cùng bé bậc cao
hơn so với các số hạng chứa ứng suất và lực bề mặt.


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

8

Trong trường hợp bài toán không gian, phân tố được tách ra là một tứ diện, có
ba mặt song song với các trục tọa độ , các côsin chỉ hướng lần lượt là l , m và n .
Các thành phần lực bề mặt theo phương các trục tọa độ là X , Y và Z .
Thiết lập các phương trình cân bằng hình chiếu của các lực tác động trên phân
tố theo ba phương:  X  0;  Y  0;  Z  0 thu được các phương trình điều kiện
biên tự nhiên:
 xl   yx m   zx n  X
(2.6)

 xy l   y m   zy n  Y
 xz l   yz m   z n  Z

Hệ phương trình này có thể viết dưới dạng kí hiệu ma trận như sau:
(2.7)
Các phương trình (2.6) hoặc (2.7) thể hiện sự liên hệ giữa các thành phần ứng
suất tại biên tự nhiên của vật thể và lực phân bố trên bề mặt .
t  Sn

y

x

z
x

O

y

z

Hình 2.5. Ứng suất trên mặt nghiêng

2.2

BIẾN DẠNG

2.2.1 Các thành phần biến dạng. Tensor biến dạng
Một vật thể khi chòu tác động của
các nguyên nhân bên ngoài sẽ có sự
thay đổi hình dạng. Nếu tách ra một
phân tố hình hộp vô cùng bé trong hệ
trục tọa độ Oxyz thì biến dạng của nó
có thể phân tích ra sáu thành phần độc
lập, gồm ba biến dạng dài  x ,  y và  z
của các cạnh và ba biến dạng góc
 xy ,  yz và  zx của các mặt phân tố.
Khái niệm biến dạng dài và biến
dạng góc (biến dạng trượt) có thể minh

y

dy





dx

x
Hình 2.6. Biến dạng của phân tố phẳng


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

9

họa bởi phân tố phẳng như trên hình 2.6.
Các cạnh của phân tố dx và dy có độ dãn dài lần lượt là  dx và  dy . Biến dạng
dài theo các phương x, y được đònh nghóa bởi các hệ thức:
 dx
 dy
x 
; y 
dx

dy

Biến dạng dài  được xem là dương khi phân tố thẳng dãn dài và âm khi co
ngắn lại.
Biến dạng góc được đònh nghóa là sự thay đổi góc vuông của phân tố. Trên
hình 2.6, biến dạng góc trong mặt phẳng xOy xác đònh bởi hệ thức:
 xy    
Biến dạng góc  được qui ước là dương khi làm giảm góc vuông ban đầu.
Tương tự như ứng suất, biến dạng tại một điểm cũng là một tensor bậc hai đối
xứng gồm sáu thành phần độc lập:


 x

1
T    ỹ
2
1
  zx
 2

1
 xy
2

y
1
 zy
2

1 
 xz
2  
12 13 

11
1  
 yz   21  22  23 
2 
  31  32  33 
z 


2.2.2 Quan hệ giữa biến dạng và chuyển vò
Để đơn giản hóa trước hết xét phân tố biến dạng phẳng như trên
Trong quá trình thiết lập
u
công thức, ta chấp nhận
dy

y
giả thuyết chuyển vò và
v
biến dạng bé.
dy
D'

y
Kí hiệu chuyển vò
của một điểm theo ba
trục tọa độ x, y, z lần

y
B'
lượt là u, v, w . Trong

u
A'
trường hợp biến dạng
u
dx
C

D
phẳng w  0 còn u và v
x
là hàm của tọa độ x và
v
dy
y:
u  u  x, y  ; v  v  x, y  .
dx
p dụng công thức vi
phân toàn phần của hàm

A  x, y 

B

hình 2.6.

C'

v
dx
x

x

Hình 2.7. Chuyển vò và biến dạng của phân tố phẳng


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

hai biến f  x, y  : df  x, y  

10

f
f
dx  dy để tính chuyển vò u và v tại các điểm B
x
y

và D so với A . Chẳng hạn, sự thay đổi của chuyển vò tại B so với A là:
u
u
u
dx  dy 
dx vì dy  0
x
y
x

du 

Các chuyển vò khác cũng được tính tương tự và kết quả được thể hiện trên
hình 2.7.
Do chuyển vò khác nhau của các điểm A, B, C, D mà phân tố bò biến dạng. Ta
thiết lập mối quan hệ giữa các thành phần biến dạng  x ,  y ,  xy và các thành phần
chuyển vò u, v .
Biến dạng dài  x của phân tố thẳng AB được xác đònh theo đònh nghóa sau:
A' B '  AB

hay A' B'  1   x  AB  1   x  dx
x 
AB

Bình phương hai vế:  A' B'   1   x  dx 2
2

(a)

2

Mặt khác từ hình 2.7 ta có:

AB 
'

'

2

2
2
2
2
u   v   u   v   2

  dx  dx    dx   1       dx
x   x   x   x  


(b)

Từ (a) và (b) suy ra:
2

u
v
2
1   x   1     
 x   x 

2

2

u  u   v 
1  2 x    1  2      
x  x   x 

2

2
x

Bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao ở hai vế thu được:
x 

u
x

(2.8a)

Tương tự cho phân tố thẳng AD dẫn tới:
y 

v
y

(2.8b)

Như hình 2.5 ta xác đònh được các yếu tố góc như sau:
v
v
dx
v
  tg  x
 x 
u
u x
dx  dx 1 
x
x

Một cách tương tự đối với góc  :  

u
y

Từ đònh nghóa của biến dạng góc dẫn đến:

Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

 xy     

11

u v

y x

(2.9)

Trong trường hợp bài toán tổng quát, chuyển vò tại một điểm của vật thể gồm
ba thành phần u, v, w theo ba trục tọa độ x, y, z . Cũng tiến hành tương tự như đối
với bài toán phẳng, các phương trình liên hệ giữa biến dạng và chuyển vò thu
được như sau:
u
u v
;  xy 

x
y x
v
v w
 y  ;  yz  
y
z y
w
w u

z 
;  zx 

z
x z

x 

(2.10)

Tương tự như ứng suất, ta cũng có các thành phần biến dạng trượt đối xứng:
 xy   yx ;  yz   zy ;  zx   xz
2.3

QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
y

Đònh luật Hooke tổng quát: xét
một phân tố vật liệu đồng nhất, đẳng
hướng có trạng thái ứng suất không
gian trong hệ trục tọa độ xyz như hình
2.8, gồm sáu thành phần ứng suất
 x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx và sáu thành
phần biến dạng  x ,  y ,  z ,  xy ,  yz ,  zx .

y

 yx

 yz

 zy

z

 zx

 xz

 xy

x
x

z

Đònh luật Hooke tổng quát thể hiện
quan hệ giữa các thành phần ứng suất Hình 2.8. Phân tố ứng suất không gian
và các thành phần biến dạng.
Trước hết, ta thiết lập quan hệ giữa một thành phần biến dạng dài (ví dụ  x )
với các thành phần ứng suất pháp. Theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có thể phân
tích  x ra ba thành phần  xx ,  xy ,  xz do lần lượt các thành phần ứng suất
 x ,  y ,  z tác động độc lập gây ra:
 x   xx   xy   xz

p dụng đònh luật Hooke trong trường hợp ứng suất đơn:



x  x   y   z

E

E

E

trong đó E - mô đun đàn hồi;  - hệ số Poisson của vật liệu.

(a)


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

12

Viết lại phương trình (a) và làm tương tự đối với các biến dạng dài  y và  z ta có
các phương trình sau:
1
 x    y   z  

E
1
 y   y    x   z  
E
1
 z   z    x   y  
E

x 

(2.11)

Ứng suất tiếp chỉ gây ra biến dạng góc trong mặt phẳng mà nó tác dụng. Vì
vậy, quan hệ giữa biến dạng góc và ứng suất tiếp trong trạng thái ứng suất không
gian cũng giống như trường hợp trạng thái ứng suất phẳng:



 xy  xy ;  yz  yz ;  zx  zx
(2.12)
G

G

G

trong đó G là mô đun đàn hồi trượt.
Từ phương trình (2.12) ta thấy rằng, với vật liệu đồng nhất và đẳng hướng,
nếu các ứng suất tiếp bằng không thì các biến dạng góc cũng bằng không.
Đối với vật liệu đàn hồi đẳng hướng, chỉ có hai hằng số vật liệu độc lập . Vì
vậy giữa ba hằng số E,  và G có một quan hệ phụ thuộc:
G

E
2 1   

(2.13)

Phương trình (2.13) có thể tìm bằng thực nghiệm hoặc bằng sự suy diễn lý
thuyết.

Từ phương trình (2.11) và (2.12) có thể tìm quan hệ ngược giữa ứng suất và
biến dạng như sau:


3
 x  2G   x 
 tb 
1  2 



 y  2G   y 


3
 tb 
1  2 




3
 z  2G   z 
 tb 
1  2 

 xy  G xy ;  yz  G yz ;  zx  G zx

Đặt   3 tb  I1 là biến dạng thể tích và  
viết lại các phương trình (2.14) như sau:

 x  2G x  
 y  2G y  
 z  2G z  

(2.14)

(2.15)
2G
là hằng số Lamé, ta có thể
1  2

(2.16)


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

2.4

13

BÀI TOÁN PHẲNG TRONG HỆ TRỤC TỌA ĐỘ VUÔNG GÓC

2.4.1 Khái niệm bài toán phẳng
Đối với bài toán không gian, việc giải các phương trình đạo hàm riêng kết hợp
với các điều kiện biên là rất phức tạp, và dường như không thực hiện được trong
trường hợp tổng quát do các khó khăn về mặt toán học. Tuy nhiên, trong thực tế
có nhiều bài toán quan trọng có thể giải được nếu bổ sung một số giả thiết nhằm
đơn giản hóa mà trong một chừng mực nào đó vẫn đảm bảo tính chặt chẽ của nó.
Trong số đó có thể kể đến các bài toán phẳng với trường ứng suất, trường biến
dạng và trường chuyển vò trong vật thể không phụ thuộc vào tọa độ z .

Có hai loại bài toán phẳng: ứng suất phẳng và biến dạng phẳng.
1- Bài toán ứng suất phẳng
Khi vật thể có dạng tấm mỏng,
tải trọng nằm trong mặt phẳng giữa
z
x
tấm, phân bố đều theo bề dày tấm
(H.2.9) thì ta có thể xem rằng:
 Các ứng suất
 z   zx   zy  0
 Các ứng suất trong mặt
phẳng không đổi theo chiều
dày tấm (không phụ thuộc
vào tọa độ z ).
2- Bài toán biến dạng phẳng
Khi bài toán có dạng lăng trụ dài
và có mặt cắt ngang không đổi, chòu
tải trọng vuông góc với trục z và phân
bố đều dọc theo chiều dài (H.2.8) thì
ta có thể xem rằng w  0 và do đó suy
ra:
z 

y

y
Hình 2.9. Bài toán ứng suất phẳng

x

w
0
z

Ngoài ra ta cũng có:  zx   zy  0

y
Hình 2.10. Bài toán biến dạng phẳng

Với bài toán biến dạng phẳng,
người ta thường đưa về khảo sát một
phần vật thể giữa hai mặt cắt có bề dày bằng đơn vò.
Khi giải các bài toán phẳng chỉ cần quan tâm đến các phương trình cân bằng
và biến dạng trong mặt phẳng xy . Các phương trình này là giống nhau cho cả bài
toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng.


Chương 2: Lý Thuyết Đàn Hồi

14

2.4.2 Thiết lập các phương trình chủ đạo
Bài toán phẳng có các phương trình cơ bản sau:
1- Phương trình cân bằng
 x  xy
x
 xy
x





y
 y
y

X 0

(2.17)
Y  0

2- Phương trình biến dạng
x 

u
v
u v
;  y  ;  xy 

x
y
y x

(2.18)

Phương trình tương thích trong mặt phẳng như sau:
2
2
 2 x   y   xy

y 2



x 2



xy

(2.19)

3- Phương trình vật liệu
a- Bài toán biến dạng phẳng
Dùng điều kiện  z  0 ta rút ra được:
1
 z    x   y   0 hay  z    x   y 

E

Thế vào các phương trình đònh luật Hooke tổng quát ta được:
1 
1     x   y 
x 
E
1 
1     y   x 
y 
E 
2 1   

 xy 
 xy
E
Hay:   C

 1

E 1     
Với C 

1   1  2   1   

 0


b- Bài toán ứng suất phẳng
Dùng điều kiện  z  0 ta có:

(2.20)



1   
1
0






0 

1  2 
2 1    
0


Chửụng 2: Lyự Thuyeỏt ẹaứn Hoi

1
x y ;
E
Hay: C

1
E
Vụựi C

1 2
0


x

2.5

y


1

0

15

2 1
1
y x ; xy
xy

E
E

(2.21)


0

0
1
2

Lí THUYT TM

Xột mt tm mng chu un di tỏc dng ca cỏc lc vuụng gúc vi mt phng
tm, h ta Oxyz c chn sao cho mt phng Oxy trựng vi mt gia ca tm,
trc z vuụng gúc vi mt phng tm. Momen un, lc ct v s phõn ng sut c
mụ t trờn, Hỡnh 2.11 [1,9,39]

a)

b)

Hỡnh 2.11: a) Cỏc thnh phn lc v Momen trờn tm; b) S phõn b ng sut

2.5.1 Quan h lc - ng sut
Vi gi thuyt tm mng chu un, cỏc thnh phn ng sut x , y , xy quan
h vi cỏc thnh phn momen un M x , M y , M xy nh sau:[1,9,38]:
h/2

M x x zdz ;
h / 2

h/2

M y y zdz ;
h / 2

h/2

M xy xy zdz

(2.22)

h / 2

Tng t, cỏc thnh phn lc ct Qx , Q y c xỏc nh:
h/2

Qx xz dz ;
h / 2

h/2

Qy yz dz
h / 2

2.5.2 Lý thuyt tm mng ca Kirchhoff

(2.23)


Chửụng 2: Lyự Thuyeỏt ẹaứn Hoi

16

Cỏc gi thit ca Kirchhoff[1,9,13]: Cỏc on thng vuụng gúc vi mt
phng trung bỡnh ca tm vn cũn thng v vuụng gúc vi mt phng trung bỡnh khi
chu un v di chỳng khụng i. Ngha l, chỳng khụng b bin dng trt
ngang,
xz yx 0

(2.24)

Cỏc thnh phn chuyn v (u,v) theo phng (x,y) tng ng ti mt im bt
k trờn tm c biu din theo vừng w v cỏc gúc xoay x , y ca mt trung gian
ca tm nh sau, Hỡnh 2.12:
u z y z

w
w

; v z x z.
x
y

(2.25)

trong ú w w(u, v) l hm vừng (hm chuyn v) theo phng z ca mt phng
trung bỡnh ca tm.

Hỡnh 2.12: Quan h gia cỏc gúc xoay ca mt phng trung bỡnh v o hm vừng

Bin dng ca mt im bt k thuc tm:
u
2w


z
;
x
x
x 2
u
2w
y
z 2 ;
y
y
u u
2w
xy

2 z
y x
xy



(2.26)

Vi gi thuyt ca Kirchhoff, trong trng hp tm n hi ng hng, bi
toỏn chuyn v bi toỏn ng sut phng:


Chửụng 2: Lyự Thuyeỏt ẹaứn Hoi

x

E
y
2
1
xy

17

0
1
x
1

0

y
0 0 (1 ) / 2 xy


(2.27)

Hay,
x

E
y z
1 2

xy

0
1
k x
1
k
0

y
0 0 (1 ) / 2 k xy


(2.28)

Trong ú,

k k , k , k

T

x

y

xy

2w 2w 2w
2 , 2 ,2

xy
x y

T

(2.29)

Hay,
y
y x
x
,
,

y
x
y
x

k

(2.30)

l vector cong ca tm chu un. E l module n hi, l h s possion,
w w(u, v) l hm vừng.

i vi bi toỏn tm chu un, ngi ta xem cỏc thnh phn ni lc

M M x , M y , M xy T thay th cho x , y , xy T , ta cú:
M x
0
1
k x
E

h3
k
1
0
M y
2

y
M 12 (1 ) 0 0 (1 ) / 2 k

xy
xy

(2.31)

M E f k

(2.32)

Hay,

i vi tm chu un n hi ng hng, ma trn h s n hi do un ca
tm l:
0
1 v

Eh 3

E f 12(1 v 2 ) v 1
0

0 0 (1 v ) / 2

Nh vy, trong trng hp tm ng hng, ta cú mi quan h sau:

(2.33)


Chửụng 2: Lyự Thuyeỏt ẹaứn Hoi

18

2w
2w
M x D 2 v 2
y
x

2w
2w
M x D 2 v 2
x
y

M xy D(1 v )

Qx

Trong ú, D

(2.34)

2w
yx

M x M xy

;
x

y

Qy

M xy M y

x
y

(2.35)

Eh 3
l cng chng un ca tm.
12(1 v 2 )

Chỳng ta thy rng, nghim ca bi toỏn tm n hi ng hng ph thuc
vo hm vừng w. Hm vừng ny c xỏc nh t phng trỡnh vi phõn bc 4
ch o[39]

Trong ú,

D4 w q( x, y ) ,

(2.36)

4
4
4
4 4 2 2 2 4
x y y

x

(2.37)

v, q(x,y) l ngoi lc tỏc dng
Nh vy, gii phng trỡnh o hm riờng bc 4 ta cn phi cú cỏc iu
kin biờn ca tm. iu kin biờn ca tm c chia lm ba dng
Ngm:

w 0,

w
0
n

(2.38)

Ta n:

w 0,

M 0

(2.39)

T do:

Q 0,

M 0

(2.40)

Trong ú, n l vector phỏp tuyn ca biờn, Hỡnh 2.13


Chửụng 2: Lyự Thuyeỏt ẹaứn Hoi

19

Hỡnh 2.13: ng biờn v phỏp vector n

2.5.3 Bin dng trt ca tm, lý thuyt tm ca Reissner Mindlin:
Nu chiu dy tm khụng mng, khi ú lý thuyt tm ca Reissner Mindlin[1,9,13,39] c ỏp dng. Lý thuyt ny tớnh toỏn s thay i gúc ca tit
din ngang, hay
xz 0,

yz 0

(2.41)

iu ny cú ngha l cỏc on thng vuụng gúc vi mt trung gian vn thng
trong quỏ trỡnh bin dng nhng khụng cũn vuụng gúc vi mt phng trung gian
na. Khi ú, gúc xoay tng cng ca mt ct gm 2 phn: phn th nht, do
vừng ca tm khi cỏc phỏp tuyn vn cũn vuụng gúc vi mt phng trung gian; phn
th hai, do bin dng trt trung bỡnh gõy ra, Hỡnh 2.12

Hỡnh 2.14: Gúc xoay ca cỏc phỏp tuyn v bin dng trt ca mt ct ngang

Khi ú, cỏc bin dng trt trung bỡnh xz , yz i vi mt ct x, y tng ng

c xỏc nh


Chửụng 2: Lyự Thuyeỏt ẹaứn Hoi


xz

w
y
x

;

20


yz

w
x
y

(2.42)

Trong bi toỏn tm mng, cỏc bin dng trt cú khuynh hng tin v 0 v
khi ú: x w / y v w / x .
y

Quan h gia ng sut tip xz , yz v bin dng trt theo nh lut

Hooke[40] nh sau:
xz
E 1 0 xz



yz 2(1 v ) 0 1 yz

(2.43)

Bin dng trt trung bỡnh xz , yz c xem l khụng i trờn sut b dy
ca tm nờn hp lc ca cỏc ng sut tip ny trờn mt cong ca tit din l cỏc lc
ct Qx , Q y quan h vi bin dng trt nh sau:
Qx
Eh 1 0 xz



Qy 2(1 v ) 0 1 yz

(2.44)

Q Es

(2.45)

Hay,

Trong ú,

E
s

Eh
2(1 v )

(2.46)

l ma trn h s n hi do ct, E/(2+2v)=G l module n hi trt, l h s
hiu chnh trt (shear correction factor)
Cỏc thnh phn ni lc (gm moment un M v lc ct Q trong trng
hp tm chu un n hi ng hng cú th biu din theo vector cong k v
bin dng trt nh sau:

0 k
M E f




Q 0T
Es y



(2.47)