NỘI DUNG 3 bất PHƯƠNG TRÌNH

FB: />
PT – BPT – HPT

III. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Chuyên đề: PT – BPT - HPT

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA MỘT CĂN BẬC HAI
Ví dụ 1. (Đề thi đại học  Khối D năm 2002): Giải bất phương trình:

x

2

 3x  2x 2  3x  2  0, x  R.

Chúng ta cần sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
f (x). g(x)  0 ,

với f(x) và g(x) có nghĩa

g(x)  0

  g(x)  0 . .
 f (x)  0

 Giải
Bất phương trình tương đương với:
1

x  2  x   2


 2x 2  3x  2  0
x  3
 x  2


2
  x  2
.
 2x  3x  2  0     x  1/ 2
 
  x 2  3x  0
 x  1/ 2

 x  3
 

   x  0
1
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là  ;    2  3;    .
2


Ví dụ 2. Giải bất phương trình:
(x  1) 2x  1  3(x  1), x  R.

 Giải
Điều kiện:
2x1  0  x 
Đặt t =

2x  1 ,

1
.
2

t0x=

(*)
1 2
(t
2

+ 1).

Khi đó, bất phương trình có dạng:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

[ 1 (t2 + 1)1]t  3[ 1 (t2 + 1)1]  t33t2t + 3  0
2

2

 (t + 1)(t1)(t3)  0  1  t  3  1  2x  1  3  1  x  5.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 5].
 Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì chưa khẳng
định được dấu của hai vế.
Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiện thí dụ trên,
cụ thể:
(x1)( 2x  1 3)  0
  x  1  0
  x  1


 2x  1  3
  2x  1  3  0

  
  x  1  0
  x  1

  2x  1  3  0
  2x  1  3





x  1

 0  2x  1  9
x  1

  2x  1  9

 1  x  5.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 5].
Ví dụ 3. Giải bất phương trình:
(x 2  1)  (x  1)  3x x  1  0, x  R.

Hướng dẫn: Điều kiện x  1.
Biến đổi tương đương bất phương trình:
x2(x + 1) + 3x x  1 + 2 > 0.
Đặt t = x x  1 .
Từ đó, ta nhận được nghiệm x  1.
DẠNG CƠ BẢN 1
Với bất phương trình f(x)  g(x) ta có phép biến đổi tương đương:
f(x)  0

g(x)  0
f(x)  g 2 (x)


.
(*)

Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*).

Ví dụ 1. Giải bất phương trình:
x  1  2(x 2  1), x  R.

Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất
phương trình bậc hai  Giải được.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PT – BPT – HPT

FB: />
 Giải
Bất phương trình tương đương với:
 x 1
 x 1
2(x 2  1)  0



  x  1
  x  1

x  1  0
2(x 2  1)  (x  1) 2
 x 2  2x  3  0
1  x  3




 x  1
1  x  3.


Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3]  {1}.
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình:
x 2  3x  10  x  2, x  R.

Bất phương trình tương đương với hệ:
 x 2  3x  10  0
(x  2)(x  5)  0
x  5



 x  2  0
 x  2
x  2  0
 x 2  3x  10  (x  2) 2
 x  14  0
 x  14




 5  x < 14.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [5; 14).
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình:
x 2  2x  15  x  3, x  R.

 Giải
Bất phương trình tương đương với hệ:
 x 2  2x  15  0
 x 2  2x  15  0

 x  5 hoac x  3



 x  3  0
 x  3
x  3  0
 x 2  2x  15  (x  3) 2
4x  24  0
x  6




 5  x  6.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [5; 6].
Ví dụ 4. Giải bất phương trình:
x2  3  3x2  1, x  R.

Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất
phương trình trùng phương  Giải được.
Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo các cách khác:
 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằng
phép nhân liên hợp. Cụ thể:
o Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của bất phương trình.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

FB: />
PT – BPT – HPT

o Biến đổi bất phương trình về dạng:
x2  3  4

x 2  3  2  3x 2  3 

x 3 2


1
 (x2  1) 
 3   0.
2
 x 3 2

2



 3 x2  1



 Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t  x2  3, t  3.
 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Với điều kiện 3x2  1  0 tức



x 2  3  3x 2  1



2

x 

1
,
3



ta biến đổi phương trình về dạng:





 9x4  7x2  2  0  x2  1 9x2  2  0

 x  1  0  x  1.
2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +).
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:
x 2  3  2  3x 2  3 

x2  3  4

x 3 2


1
 (x2  1) 
 3   0.
2
 x 3 2

2



 3 x2  1


(*)

Nhận xét rằng:
1
x 3 2
2



1


2

1
x 3 2
2

3 0

nên (*) được biến đổi về dạng:
x 2  1  0  x  1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +).
Cách 3: Đặt t  x2  3, t  3. Suy ra x2 = t2  3.
Bất phương trình có dạng:
t  3(t2  3)  1  3t2  t  10  0  (3t + 5)(t  2)  0
t 3

 t  2  0  x2  3  2  x2 + 3  4  x2  1  x  1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +).
Ví dụ 5. Giải bất phương trình:
x2  8  4x2  1, x  R.

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Với điều kiện 4x2  1  0 tức



x 2  8  4x 2  1



2

x 

1
, ta biến đổi bất phương trình về dạng:
2







 16x4  9x2  7  0  x2  1 16x2  7  0

 x  1  0  x  1.
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +).
Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:
x2  8  9

x 2  8  3  4x 2  4 

x 8 3


1
 (x2  1) 
 4   0.
2
 x 8 3

2



 4 x2  1


(*)

Nhận xét rằng:
1
x 8 3
2



1

3

1
x 8 3
2

40

nên (*) được biến đổi về dạng:
x 2  1  0  x  1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +).
Cách 3: Đặt t  x2  8, t  2 2. Suy ra x2 = t2  8.
Bất phương trình có dạng:
t  4(t2  8)  1  4t2  t  33  0  (4t + 11)(t  3)  0
t 2 2

 t  3  0  x2  8  3  x2 + 8  9  x2  1  x  1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 1]  [1; +).
Ví dụ 6. Giải bất phương trình:
x  1  5  x, x  R.

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:
x  1  0

x  1
 1  x  5



 x  3

 x  5
5  x  0

x  8
x 2  11x  24  0
2


 x  1   5  x 

1  x < 3.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3).
Cách 2: Với điều kiện x + 1  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:
x 1  2  3  x 

x 1 4

 3x 

x 1  2
1



  x  3 
 1  0 
 x 1  2 

x 3

x 1  2

 x3 0

x  3 < 0  x < 3.

1

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3).
Cách 3: Điều kiện x + 1  0 tức x  1.
Đặt t  x  1, (t  0) . Suy ra x = t2  1.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Bất phương trình có dạng:
t < 5  (t2  1)  t2 + t  6 < 0  3 < t < 2  x  1  2
 x + 1 < 4  x < 3.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3).

Cách 4: Điều kiện x + 1  0 tức x  1.
Nhận xét rằng:
 VT là hàm đồng biến.
 VP là hàm nghịch biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3).
Ví dụ 7. Giải bất phương trình:
1  x3  x  5, x  R.

Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất
phương trình bậc ba  Giải được.
Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách:
 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằng
phép nhân liên hợp. Cụ thể:
o Nhận xét rằng x0 = 2 thoả mãn VT = VP.
o Biến đổi bất phương trình về dạng:
1  x3  3  x  2 

 x2

1  x3  9
1  x3  3

x2


x2  x  1 
 0  (x  2)  1 
0
1  x3  3

1  x3  3 

x3  8

 Sử dụng phương pháp hàm số, với điều kiện x  1 nhận xét:
o VP là hàm đồng biến.
o VT là hàm nghịch biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1].
 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Bất bất phương trình tương đương với:
1  x3  0
x3  1
x  1



 x  5  0
 x  5
x  5  0
1  x3  (x  5)2
x3  x 2  10x  24  0
(x  2)(x 2  x  12)  0




NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

x  1
x  1


  x   5   x  5
x  2
x  2  0



 2  x  1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1].
Cách 2: Với điều kiện 1  x3  0 tức x  1, ta biến đổi bất phương trình về dạng:
1  x3  3  x  2 

1  x3  9

x2  x2

1  x3  3

x2  x  1 
 (x  2)  1 

 0
1  x3  3 


x3  8
1  x3  3

0

x + 2  0  x  2.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1].
Cách 3: Với điều kiện x  1 nhận xét:
 VP là hàm đồng biến.
 VT là hàm nghịch biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1].
 Nhận xét: Như vậy, để giải một bất phương trình chứa căn ta có thể lựa chọn một
trong các cách:
Cách 1: Biến đổi tương đương. Lưu ý cách nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển
bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp,
bởi trong nhiều trường hợp sẽ nhận được cách giải hay.
Cách 2: Đặt ẩn phụ. Một hoặc nhiều ẩn phụ.
Cách 3: Sử dụng phương pháp hàm số. Sử dụng đạo hàm.
Cách 4: Đánhgiá.
Ví dụ 8. Giải các bất phương trình:
x3  3  3x  1, x  R.

 Giải
Bất bất phương trình tương đương với:

x3  3  0
x3  3  0
x3  3  0



 3x  1  0
 3x  1  0
3x  1  0
x 3  3  (3x  1)2
x3  9x 2  6x  2  0
(x  1)(x 2  8x  2)  0



3
x   3

1

 x 
 1  x  4  3 2.
3

x  4  3 2 hoac 1  x  4  3 2


Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

1; 4  3 2  .



SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Ví dụ 9. Giải các bất phương trình:
x  2  3x  4, x  R.

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:
4

x

x  2  0
x  2
3



 3x  4
 x  2
3x  4  0
x  2  (3x  4)2

9x 2  25x  14  0

7


x 
9


 x > 2.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).
Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x  2 , ta biến đổi bất phương trình về dạng:
x  2  2  3x  6 

x24

x2 2
1


 (x  2) 
 3   0.
 x2 2


 3x  6

(*)

Nhận xét rằng:
1
x2 2



1
1

3 0
2
x2 2

nên (*) được biến đổi về dạng:
x  2 > 0  x > 2.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).
Cách 3: Điều kiện x + 2  0 tức x  2.
Đặt t  x  2, (t  0) . Suy ra x = t2  2.
Phương trình có dạng:
t < 3(t2  2)  4  3t2  t  10 > 0
t  2


 t   5 (loai)

3

x  2  2  x > 2.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).

Ví dụ 10. Với a > 0, giải bất phương trình:
x  a 2  x2  a, x  R.

Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 1” bới trong trường hợp này (*) là một bất
phương trình bậc hai  Giải được.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Ngoài ra, bất phương trình còn được giải theo cách lượng giác hoá với:
x = a.cost, t  [0; ].
 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:
a x
2

2

 ax 

a  x  0
 2
2
a  x  0
 2

a  x 2  (a  x)2



 a  x  a
xa

 
x  a
 a  x  0
x  0


Vậy, nghiệm của bất phương trình là a  x  0 hoặc x = a
Cách 2: Điều kiện a  x  a.
Đặt x = a.cost, với t  [0, ]  a2  x2 = a.sint.
Khi đó, bất phương trình có dạng:
a.cost + a.sint  a  cost + sint  1  cos(t  )  1
4




2  t  

t  0



 1  cos t  0


cos t  1



 a  a. cos t  0

a. cos t  a



2

 a  x  0
.

x  a

Vậy, nghiệm của bất phương trình là a  x  0 hoặc x = a.
Ví dụ 11. Giải bất phương trình:
x2  a2  x 

2a 2
x2  a2

, x  R.

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Đặt x = atgt, với t  (  ,  ) suy ra:

2

x2  a 2

=

|a|
cos t

2

.

Khi đó, bất phương trình có dạng:
|a|
cos t

 atgt +

2a 2 . cos t
|a|

 1  sint + 2cos2t  2sin2tsint1  0

  1  sint  1  tgt 
2

1
3

 x  | a | .

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x 

3

|a|
3

.

Cách 2: Biến đổi bất phương trình về dạng:
x2 + a2  x x2  a2 + 2a2  x2a2  x x2  a2 .
Xét hai trường hợp:
 Nếu x  0, thì (2) được viết lại dưới dạng:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(2)

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

x2a2 

x 2  a 2  0

x 2  a 2  0


( x 2  a 2 )2  x 2 ( x 2  a 2 )

x 2 (x 2  a 2 ) 



| x || a |

| x || a |

|a|
| x |
3


x 0

x  0.
 Nếu x < 0, thì (2) được viết lại dưới dạng:


x 2  a 2  0

 2
(x  a 2 )2  x 2 (x 2  a 2 )

 | a | x | a |
x0


|a| 
 |a|
 3  x  3


 | a |  x < 0
3

Vậy, nghiệm của bất phương trình là x  | a | .
3

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

DẠNG CƠ BẢN 2
Với bất phương trình f(x)  g(x) ta có phép biến đổi tương đương:
f(x)  0
hoặc
(I) : 
g(x)  0

g(x)  0
(II) : 
2
f(x)  g (x). (*)

Các em học sinh cần biết đánh giá tính giải được của bất phương trình (*).

Ví dụ 1. Giải bất phương trình:
2x  1  1  x, x  R.

Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất
phương trình bậc hai  Giải được.
Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:
 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển bất phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằng
phép nhân liên hợp. Cụ thể:
o Nhận xét rằng x0 = 0 thoả mãn VT = VP.
o Biến đổi bất phương trình về dạng:





2x  1  1  x  0 

2


 1  0
 x  0  x
2x  1  1
 2x  1  1 

2x  1  1

 Sử dụng phương pháp hàm số, với nhận xét:
o VT là hàm đồng biến.
o VP là hàm nghịch biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).
 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Bất phương trình tương đương với:
1  x  0
2x  1  0
hoặc (II) : 
(I) : 
2.
1  x  0
2x  1  1  x 

Ta lần lượt:
 Giải (I) ta được:
1

x  
2

 x  1

 x > 1.

(1)

 Giải (II) ta được:

x  1
x  1
 0  x  1.

 2
0

x

4
x

4x

0



(2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

1
, ta biến đổi bất phương trình về dạng:
2
2


2x  1  1
 1  0
 x  0  x
2x  1  1  x  0 
2x  1  1
 2x  1  1 
 x  0.

Cách 2: Với điều kiện 2x + 1  0 tức



x



Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).
1
x .
2
2
t 1
x
.

2

Cách 3: Điều kiện 2x + 1  0 tức
Đặt t  2x  1, (t  0) . Suy ra
Bất phương trình có dạng:
t  1

t2 1
2

 t2 + 2t  3 > 0

t  1

 t  3 (loai)

 2x  1  1  2x + 1 > 1  x > 0.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).
Cách 4: Nhận xét rằng:
 VT là hàm đồng biến.
 VP là hàm nghịch biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).
Ví dụ 2. Giải bất phương trình:
x  2  4  x, x  R.

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:

4  x  0
x  2  0
hoặc (II) : 
(I) : 
2.
4

x

0
x

2

4

x





Ta lần lượt:
 Giải (I) ta được:
 x  2
 x > 4.

x  4

(1)

 Giải (I) ta được:

x  4
x  4

 2
2  x  7
x  9x  14  0

 2 < x  4.

(2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Cách 2: Với điều kiện x + 2  0 tức x  2 , ta biến đổi bất phương trình về dạng:
x2 2 2x 

x24

2x
x2 2

1


 (x  2) 
 1  0  x  2
 x2 2


> 0  x > 2.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).
Cách 3: Điều kiện x + 2  0 tức x  2.
Đặt t  x  2, (t  0) . Suy ra x = t2  2.
Bất phương trình có dạng:
t > 4  (t2  2)  t2 + t  6 > 0

t  2


 t  3 (loai)

x2  2

 x > 2.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).
Cách 4: Nhận xét rằng:
 VT là hàm đồng biến.
 VP là hàm nghịch biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (2; +).

Ví dụ 3. Giải bất phương trình:
1
1
 x  x  , x  R.
4
2

Sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” bới trong trường hợp này (*) là một bất
phương trình bậc hai có chứa dấu giá trị tuyệt đối  Giải được bằng phương pháp chia
khoảng.
 Giải
Bất phương trình tương đương với:
(I) : x 

1
0
2

hoặc

1

x  2  0

(II) : 
.
2
1
1



 x  x

 (*)
 4
2


1
2

Giải (I) ta được x   .

(1)

Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):
 Với

1
x 0
4

tức x 
2

1
4

thì:

1
1

 x   x    x2 + 2x
4
2

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 0  2  x  0, thoả mãn.
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

 Với

1
x 0
4

tức x 

1
4

thì:

2

1 
1
1
x    x    x2   0 ,
2
4 
2

vô nghiệm

Suy ra, nghiệm của (*) là 2  x  0.
Và hệ (II) có dạng:
1

1
x  
   x  0.
2

2
 2  x  0

(2)

Từ (1) và (2) suy ra tập nghiệm của bất phương trình là (; 0].
Ví dụ 4. Giải bất phương trình:
1
x  1  x  , x  R.
4

 Giải
Bất phương trình tương đương với:
(I) : x 

1
0
4

1

x  4  0

(II) : 
.
2
 x  1   x  1  (*)



4


hoặc
1
4

Giải (I) ta được x  .

(1)

Giải (II): Ta có biến đổi cho (*):
 Với x  1  0 tức x  1 thì:
1

x 1   x  
4


2

3
17
 x2  x   0 ,
2
16

vô nghiệm.

 Với x  1 < 0 tức x < 1 thì:
1

1 x   x  
4


Vậy,

2

1
15
3
1
x   0    x  , thoả mãn.
2
16
4
4
3
1
Suy ra, nghiệm của (*) là   x  . Và dễ thấy hệ (II) vô nghiệm.
4
4
1
tập nghiệm của bất phương trình là  ;  .
4

 x2 

Ví dụ 5. Giải bất phương trình:
x 2  3x  6  3x 2  9x  8, x  R.

Nếu sử dụng lược đồ trong “DẠNG CƠ BẢN 2” thì (*) là một bất phương trình bậc bốn
 Để giải được bất phương trình này cần có kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử.
Ngoài ra, phương trình còn được giải theo các cách khác:
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

FB: />
PT – BPT – HPT

 Sử dụng phương pháp đạt ẩn phụ, với t  x2  3x  6, t  0.
 Nhẩm nghiệm x0 rồi chuyển phương trình về dạng tích (x  x0)h(x) bằng
phép nhân liên hợp. Cụ thể:
o Nhận xét rằng x0 = 1 là nghiệm của phương trình.
o Biến đổi phương trình về dạng:
x 2  3x  6  4

x 2  3x  6  2  3x 2  9x  6 

x  3x  6  2


1
 (x 2  3x  2) 
 3  0
2
 x  3x  6  2

2

 3(x 2  3x  2)

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi phương trình về dạng:





x2  3x  6  3 x2  3x  6  10.

Đặt

t  x 2  3x  6, (t  0)

ta được:

t  3t 2  10  3t 2  t  10  0  

5
t 2  t2
3

 1  x  2.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2].
 x 2  3x  6  2  x2  3x  2  0

Cách 2: Ta có biến đổi:
x 2  3x  6  2  3x 2  9x  6 

x 2  3x  6  4

x  3x  6  2



1
 (x2  3x  2) 
 3   0.
2
 x  3x  6  2

2

 3(x 2  3x  2)

(*)

Nhận xét rằng:
1
x  3x  6  2
2



1

2

1
x  3x  6  2
2

3 0

nên (*) được biến đổi về dạng:

 x2  3x  2  0  1  x  2.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 2].
Ví dụ 6. Giải bất phương trình:
x 2  3x  5  2x 2  6x  5, x  R.

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:





x2  3x  5  2 x2  3x  5  15.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Đặt

ta được:

t  x 2  3x  5, (t  0)

t  2t 2  15  2t 2  t  15  0  

5
t3
2

 x 2  3x  5  3  x2  3x  4  0   4  x  1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (4; 1).
Cách 2: Ta có biến đổi:
x 2  3x  5  3  2x 2  6x  8 

x 2  3x  5  9

x  3x  5  3


1
 (x2  3x  4) 
 2   0.
2
 x  3x  5  3

2

 2(x 2  3x  4)

(*)

Nhận xét rằng:
1

x  3x  5  3
2



1

3

1
x  3x  5  3
2

2 0

nên (*) được biến đổi về dạng:
x 2  3x  4  0   4  x  1.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (4; 1).
Ví dụ 7. Giải bất phương trình:
2x
 2x  2, x  R.
2x  1  1

Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình, rồi sử dụng phép nhân liên hợp để biến
đổi bất phương trình về dạng cơ bản.
 Giải
Điều kiện:
2x  1  0



 2x  1  1  0

1
2

0  2x + 1  1    x  0.

(*)

Trục căn thức, ta biến đổi bất phương trình về dạng:
2x







2x  1  1



2x  1  1



2x  1  1

 2x  2  2x  1  1  2x  2

(*)

 2x  1  2x  1  2x  1  (2x  1) 2
1
 4x2 + 2x < 0    x  0.
2

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là T =

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

 1 
 2 ; 0 .



SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Ví dụ 8. Giải bất phương trình:
1  1  4x 2
 3, x  R.
x

 Giải
Điều kiện:

 1

 2  x  0
1  4x 2  0
 
.

0  x  1
x  0



2

Cách 1: Thực hiện phép nhân liên hợp:
(1) 

(1  1  4x2 )(1  1  4x2 )
x

 4x < 3 + 3



1  4x2

3

4 x  3  0


1  4 x 2  0


4 x  3  0

2
2
9(1  4 x )  (4 x  3)

< 3(1 +
1  4x2

1  4x2

)

> 4x3


3
x 
4

1

| x | 2
x 0


3


 x  4

9(1  4 x 2 )  (4 x  3)2

 1
 2  x  0

.
0  x  1

2

Cách 2: Xét hai trường hợp dựa trên điều kiện.
 Với  1  x < 0 thì:
2

(1) 


1  4x2

1

x 
3

13x2  6x  0


< 13x 

1  3x  0

1  4x2  (1  3x)2

 x < 0.

Kết hợp với điều kiện đang xét được nghiệm là  1  x < 0.
2

 Với 0 < x 
(1) 

1  4x2

1
2

thì:

> 13x


1
x 
3
1  3x  0

1

1

1
 1
3  x  2
1  4 x 2  0
 2  x  2



0  x  1
1  3x  0
1



x


3
2
2

3

1  4 x  (1  3x)

13x 2  6x  0

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

0
1
2

.

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Kết hợp với điều kiện đang xét được nghiệm là 0 < x 
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là [ 1 ; 0)  (0 ;
2

1
2

1
2

.

].

Ví dụ 9. Giải bất phương trình:
4x 2

 2x  2, x  R.
(1  1  2x )2

Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình, rồi sử dụng phép nhận liên hợp để biến
đổi bất phương trình về dạng cơ bản.
 Giải
Điều kiện:

1
2x  1  0
 0  2x + 1  1    x  0.

2

1  2x  1  0

(*)

Trục căn thức, ta biến đổi bất phương trình về dạng:





2



2x 2x  1  1


  2x  9 
 2x  1  1 2x  1  1 


 2x  1  1  2 2x  1  2x  9











2

2x  1  1  2x  9

(*)

 2x  1  2x  1  2x  1  (2x  1) 2
x  0
2
 4x + 2x > 0  
.
x   1

2

Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (0; +).
Ví dụ 10. Giải bất phương trình:
2x 2
 x  21, x  R.
(3  9  2x ) 2

 Giải
Điều kiện:
9  2x  0


3  9  2x  0

0  9 + 2x  9   9  x  0.
2

(*)

Cách 1: Biến đổi bất phương trình về dạng:
2x2
9  9  2x  6 9  2x
2

< x + 21 

 x < (9 + x3

9  2x

x2
9  x  3 9  2x

< x + 21

)(x + 21)  (x + 21)

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

9  2x

< 10x + 63
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT
(*)

(x + 21)2(9 + 2x) < (10x + 63)2  2x37x2 < 0

(*)

2x7 < 0  x <





7

2

.

Kết hợp với điều kiện (*), nghiệm của bất phương trình là x  [ 9 ,
2

7
2

) \ {0}

7
2

) \ {0}

7
2

) \ {0}

Cách 2: Trục căn thức, ta biến đổi bất phương trình về dạng:
(3 + 9  2x )2 < 2(x + 21)  9  2x < 4  x < 7 .
2

Kết hợp với điều kiện (*), nghiệm của bất phương trình là x  [ 9 ,
2

Cách 3: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt t = 9  2x , 0  t  3 suy ra
2x = t29  x = 1 (t29)
2

Khi đó bất phương trình có dạng:
4x2
(3  9  2x )

2

< 2x + 42  (t29)2 < (3t)2(t29 + 42)

 (t + 3)2 < t2 + 33  t < 4 

<4x<

9  2x

7
2

.

Kết hợp với điều kiện (*), nghiệm của bất phương trình là x  [ 9 ,
2

Ví dụ 11. Giải bất phương trình:
2x

x+

>3

x2  4

5.

(1)

Thiết lập điều kiện có nghĩa cho bất phương trình.
Dựa vào tập xác định để thực hiện phương pháp chia khoảng.
Ẩn phụ xuất hiện khi bình phương hai vế của bất phương trình.
 Giải
Điều kiện:
x24 > 0  x > 2.
(*)
Trường hợp 1: Với x < 2 thì bất phương trình vô nghiệm (do vế trái âm).
Trường hợp 2: Với x > 2 thì bình phương 2 vế phương trình (1) ta được:
x2 +
Đặt t =

4x 2
x2  4

x2
x2  4

+

4x 2

x2  4

> 45 

x4
x2  4

x2

+ 4.

x2  4

> 45 .

(2)

, t > 0.

Khi đó, bất phương trình (2) có dạng:
t2 + 4t45 > 0

t  5

 t  9

t>5

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

x2
x 4
2

> 5  x425x2 + 100 > 0
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT



 x 2  20

 2
 x  5

| x | 20
.

| x | 5

Kết hợp với trường hợp đang xét, ta được tập nghiệm của bất phương trình là:
(;  20 )  ( 5 ; 5 )  ( 20 ; +).
Ví dụ 12. Giải bất phương trình:
x21  2x x 2  2x .
Bất phương trình được mở rộng từ dạng cơ bản f(x)  g(x) thành h(x) f(x)  g(x) nên
chưa thể sử dụng phép khai phương.
Trước tiên, hãy đi đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình.

Nhận xét rằng với ẩn phụ t  x 2  2x, (t  0) , ta được:
x2  2tx  1  0.
suy ra, bất phương trình bậc hai ẩn x và tham số t.
 Giải
Đặt t = x 2  2x , điều kiện t  0.
Bất phương trình có dạng:
f(x) = x22tx1  0.
(1)
Coi vế trái là một tam thức bậc 2 theo x, ta có:
’ = t2 + 1 = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
khi đó f(x) = 0 có các nghiệm:
x  t  x  1
x  t  x  1


tức là (1) được biến đổi về dạng:
(xtx1)(xt + x + 1)  0  ( x 2  2x + 1)(
 x 2  2x 2x1  0  x 2  2x  2x + 1


2x  1  0


2
2
0  x  2x  (2x  1)

 2x  1  0
 2


 x  2x  0
 2
3x  2x  1  0

1

x   2

 x0

  x  2

x 2  2x 2x1) 

0

 x  0.

Vậy, bất phương trình có nghiệm x  0.
Ví dụ 13. Giải bất phương trình:
x2 + 4x  (x + 4) x 2  2x  4 .
 Giải
Đặt t = x 2  2x  4 , điều kiện t  0.
Bất phương trình có dạng:
f(x) = x2(t4)x4t  0.
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

(1)
SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

FB: />
PT – BPT – HPT

Coi vế trái là một tam thức bậc 2 theo x, ta có:
 = (t4)2 + 16t = (t + 4)2
khi đó f(x) = 0 có các nghiệm:
 x  4
x  t


tức là (1) được biến đổi về dạng:
(x + 4)(xt)  0  (x + 4)(x




x 2  2x  4 )

0

  x  4  0
  x  4

 2
2
 x  x  2x  4  0
 x  2x  4  x
 


 x  4  0
 x  4



2
2
  x  x  2x  4  0
  x  x  2x  4  0
  x  4

x  2
x  0

 x  4 .

2
2
 0  x  2x  4  x



 x  4

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (; 4]  [2; +).

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

PT – BPT – HPT

FB: />
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA HAI CĂN BẬC HAI
Ví dụ 1. Giải bất phương trình:
x  9  5  2x  4, x  R.

Dễ thấy chưa thể sử dụng ngay phép khai phương cho bất phương trình này, suy ra cần
biến đổi:
x  9  2x  4  5.

Tới đây, ta sẽ nhận được bất phương trình dạng cơ bản.
Ngoài ra, cũng có thể sử dụng phương pháp hàm số.
 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Điều kiện:
x  9  0
 x 2.

2x  4  0

(*)

Biến đổi bất phương trình về dạng:
x  9  2x  4  5  x  9  2x  4  2 (x  9)(2x  4)  25
12  3x  0

 2 (x  9)(2x  4)  12  3x   12  3x  0
 4(x  9)(2x  4)  (12  3x) 2



 x > 0.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).
Cách 2: Điều kiện:
x  9  0
 x 2.

2x  4  0

(*)

Biến đổi bất phương trình về dạng:
x  9  2x  4  5.

Nhận xét rằng:
 VT là hàm đồng biến.
 VP là hàm hằng.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (0; +).
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình:
x  1  5  2x  3, x  R.

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


PT – BPT – HPT

FB: />
 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Điều kiện:
x  1  0
 x 1.

2x  3  0

(*)

Biến đổi bất phương trình về dạng:
x  1  2x  3  5  x  1  2x  3  2 (x  1)(2x  3)  25
 21  3x  0

 2 (x  1)(2x  3)  21  3x   21  3x  0
 4(x  1)(2x  3)  (21  3x) 2


 x > 3.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (3; +).
Cách 2: Điều kiện:
x  1  0
 x 1.

2x  3  0

(*)

Biến đổi bất phương trình về dạng:

x  1  2x  3  5

Nhận xét rằng:
 VT là hàm đồng biến.
 VP là hàm hằng.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (3; +).
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình:
3  x  x  2  1, x  R.

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Điều kiện:
3  x  0
 2 ≤ x ≤ 3.

x  2  0

Biến đổi bất phương trình:
3  x  1  x  2  3  x  1  (x  2)  2 x  2  x  2  x
x  0
 x  0
x  0

   x  1  x < 1.
 2

2
x  x  2  0
 x  2  ( x)

 x  2


Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [2; 1).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ


FB: />
PT – BPT – HPT

Cách 2: Điều kiện:
3  x  0
 2 ≤ x ≤ 3.

x  2  0

Biến đổi bất phương trình về dạng:
3  x  1  x  2.

Nhận xét rằng:
o VT là hàm nghịch biến.
o VP là hàm đồng biến.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [1; 3).
Ví dụ 4. Giải bất phương trình:
x  2  x2  5  3, x  R.

Bất phương trình chứa hai căn bậc hai với lõi là các hàm số bậc hai. Nên không thể sử

dụng phương pháp bình phương.
Bất phương trình được giải theo cách "Nhẩm nghiệm x0" rồi chuyển về dạng tích (x 
x0)h(x) bằng phép nhân liên hợp. Cụ thể:
o Nhận xét rằng x0 = 3 thoả mãn VT = VP..
o Biến đổi bất phương trình về dạng:



 

x  2 1 

x 3





x2  5  2  0 



x  2 1
x  2 1



x2  5  4
x2  5  2

0

x2  9

0
x  2 1
x2  5  2

1
x3 
 (x  3) 

  0.
x2  5  2 
 x  2 1

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Điều kiện:
x  2  0

 2
x

5

0




x  2
 x  5.

x

5



(*)

Biến đổi phương trình về dạng:



 

x  2 1 



x 3





x2  5  2  0 

x  2 1

x  2 1



x2  5  4
x2  5  2

0

x2  9

0
x  2 1
x2  5  2

1
x3 
 (x  3) 

  0.
x2  5  2 
 x  2 1

 x  3 > 0.  x > 3.
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (3; +).
NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ

FB: />
PT – BPT – HPT

Cách 2: Điều kiện:
x  2  0

 2
x

5

0



x  2
 x  5.

x

5



(*)

Xét hàm số f(x)  x  2  x2  5 trên D   5;    :
f '(x) 

1

2 x2



x
x 5
2

> 0, xD  Hàm số đồng biến trên D.

Nhận xét rằng phương trình có:
o VT là hàm đồng biến.
o VP là hàm hằng.
Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 3.
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (3; +).
Ví dụ 5. Giải bất phương trình:
x2  3x  3  x2  3x  6  3, x  R.

 Giải
Ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách 1: Đặt t = x23x + 3, ta có:
2

3 3 3

t  x    
2 4 4


do đó, điều kiện cho ẩn phụ t là

t

3
.
4

Khi đó, bất phương trình có dạng:
t + t3 < 3  t + t + 3 + 2


3  t  0

2
t(t  3)  (3  t)



t  3

t  1

t(t  3)

<9

t(t  3)

< 3t

 t < 1  x23x + 3 < 1

 x23x + 2 < 0  1 < x < 2.
Vậy, bất phương trình có tập nghiệm là (1; 2).
Cách 2: Biến đổi phương trình về dạng:



 

x 2  3x  3  1 




x 2  3x  3  1
x 2  3x  3  1
x 2  3x  2





x 2  3x  6  2  0

x 2  3x  6  4
x 2  3x  6  2
x 2  3x  2

0


0
x 2  3x  3  1
x 2  3x  6  2


1
1
 (x2  3x  2) 

0
2
x 2  3x  6  2 
 x  3x  3  1

NGUYỄN VĂN LỰC  0933.168.309

SP Toán K35 - ĐH Cần Thơ