CHINH PHỤC bài tập tổ hợp – xác SUẤT và số PHỨC lovebook

Chinh phục
bài tập Tổ hợp
xác suất
và số phức

Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
Sách gốc phải có chữ ký của
tác giả hoặc của thành viên Lovebook. Bất kể cuốn
...........................................
sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành.

Lời chúc
& kí tặng

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
...............

LOVEBOOK.VN


Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi
đầu trước giông tố!
Đặng Thùy Trâm
Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà
bằng cả con tim của mình nữa!
Lương Văn Thùy
LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ
đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất!

Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp
Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương
tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty.


GIA ĐÌNH LOVEBOOK

CHINH PHỤC
BÀI TẬP TỔ HỢP – XÁC SUẤT
VÀ SỐ PHỨC
Sách dành cho:









Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)
Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA
Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán
Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016)
Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông
Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán
Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng
tạo và độc đáo.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


NHÀ XUẤN BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
16 Hàng Chuối – Hai Bà Trưng – Hà Nội
Điện thoại: Biên tập – Chế bản: (04) 39714896;
Quản lý xuất bản: (043) 9728806; Tổng biên tập: (04) 397 15011
Fax: (04) 39729436

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giám đốc – Tổng biên tập: TS. PHẠM THỊ TRÂM
Biên tập:
Chế bản: CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP

Trình bày bìa: NGUYỄN SƠN TÙNG
Sửa bản in: LƯƠNG VĂN THÙY – NGUYỄN THỊ CHIÊN – TĂNG HẢI TUÂN
Đối tác liên kết xuất bản:
CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC TRỰC TUYẾN VIỆT NAM – VEDU CORP
Địa chỉ: 101 Nguyễn Ngọc Nại, Thanh Xuân, Hà Nội

SÁCH LIÊN KẾT
CHINH PHỤC BÀI TẬP TỔ HỢP XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC
Mã số: 1L – 160 ĐH2015
In 1000 cuốn, khổ 29,7 x 21cm tại Nhà máy In Bộ Tổng Tham Mưu – Bộ Quốc Phòng
Địa chỉ: Km13 Ngọc Hồi, Thanh Trì, Hà Nội
Số xuất bản: 2592 – 2014/CXB 34/ĐHQGHN, ngày 15/09/2015
Quyết định xuất bản số: 5783/CXBIPH-QLXB, ngày 15/09/2015
In xong và nộp lưu chuyển quý III năm 2015.


Tác giả Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Lovebook.vn

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH

I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

𝐅𝟏
(T1/2015)

TRẦN TRÍ KIÊN – PHAN NGỌC ĐỨC
NGUYỄN VĂN SƠN

II- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN
1. TRẦN TRÍ KIÊN (Chủ biên)
 Sinh nhật: 23/09/1995
 Facebook: /> Thành tích đã đạt được: (từ cao đến thấp)
- Giải Nhì thi chọn Học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm
2013;
- Huy chương đồng kỳ thi học sinh giỏi duyên hải và đồng
bằng Bắc Bộ.
 Cựu học sinh chuyên Toán trường THPT Chuyên Biên
Hoà, Hà Nam.

Trần Trí Kiên

 Sinh viên trường đại học Ngoại Thương, chuyên ngành
Kinh Tế Đối Ngoại.
2. PHAN NGỌC ĐỨC
 Sinh nhật: 11/09/1996
 Facebook:
 Thành tích:
- Giải Đồng kì thi giải toán trên mạng Violympic cấp quốc
gia; Giải KK casio cấp tỉnh (lớp 12).
 Cựu học sinh trường THPT chuyên Hùng Vương, thành
phố Pleiku,tỉnh Gia Lai.
 Trường đại học đang học: Đại học cảnh sát nhân dân.
Phan Ngọc Đức


Tác giả Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Lovebook.vn

3. NGUYỄN VĂN SƠN
 Thành tích: Giải Nhì kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia
môn Toán năm 2014.
 Cựu học sinh chuyên toán trường THPT chuyên Phan
Bội Châu - Nghệ An.
 Hiện là sinh viên lớp Kĩ sư tài năng Công nghệ thông
tin Đại học Bách Khoa Hà Nội.
Nguyễn Văn Sơn


MỤC LỤC
PHẦN I: PHÉP ĐẾM
A. LÝ THUYẾT
I. Lý thuyết cơ bản
1. Quy tắc đếm
2. Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp
II. Lý thuyết mở rộng
1. Nhắc lại một số kiến thức về tập hợp
2. Quy tắc cộng tổng quát
3. Hoán vị có lặp
4. Hoán vị vòng quanh
B. PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI
I. Quy trình 4T
II. Các phương pháp tư duy lập sơ đồ công việc
1. Phương pháp đếm trực tiếp
2. Phương pháp đếm phần bù
3. Phương pháp láy trước rồi sắp xếp sau
4. Phương pháp vách ngăn
III. Các phương pháp đặc biệt nâng cao

1. Sử dụng các lý thuyết mở rộng
2. Mô hình hóa bài toán
C. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
I. Dạng toán liên quan đến số học
1. Lập số với điều kiện về các chữ số
2. Lập số với điều kiện lớn hơn hay nhỏ hơn số cho trước
3. Tính tổng các số thỏa mãn điều kiện cho trước
II. Dạng toán liên quan đến hình học
III. Dạng toán chọn, chia từ tập hợp cho trước
1. Dạng toán chọn
2. Dạng toán chặn
IV. Dạng toán xếp vị trí
V. Một số bài toán phát biểu dưới ngôn ngữ tập hợp
D. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
E. GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI TỔ HỢP TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015
PHẦN II. XÁC SUẤT
A. LÝ THUYẾT
I. Lý thuyết cơ bản
1. Biến cố
2. Xác suất của biến cố
3. Các quy tắc tính xác suất
II. Lý thuyết mỏ rộng
1. Quy tắc cộng xác suất tổng quát
2. Quy tắc tính xác suất có điều kiện (Nhân xác suất mở rộng)
B. PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI
I. Sử dụng định nghĩa cổ điển về xác suất – quy về bài toán đếm
II. Sử dụng các quy tắc xác suất
C. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
I. Quy về bài toán đếm
1. Dạng toán với đồng xu, xúc xắc

13
13
13
13
15
16
16
17
19
20
22
22
24
24
28
32
33
35
35
37
41
41
41
49
56
57
61
61
65

68
70
71
90
96
96
96
96
97
98
98
99
99
101
101
105
108
108
108


2. Dạng toán liên quan đến số học
110
3. Dạng toán lấy (chọn) ngẫu nhiên
111
4. Dạng toán xếp vị trí
118
5. Một số bài toán xác suất khác
120
II. Sử dụng quy tắc tính xác suất

122
D. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
127
E. GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI XÁC SUẤT TRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015 141
PHẦN III. NHỊ THỨC NEWTON VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
146
A. LÝ THUYẾT
146
I. Hệ số nhị thức
146
1. Định nghĩa
146
2. Một số tính chất cơ bản
146
II. Công thức triển khai nhị thức Newton
147
1. Định nghĩa
147
2. Một số tính chất cơ bản
147
B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
148
I. Các bài toán liên quan đến hệ số trong khai triển của nhị thức Newton
148
m
1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong một khai triển nhị thức Newton
148
2. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của nhị thức
154
3. Tìm hệ số và các số hạng trong khai triển một nhị thức thỏa mãn điều kiện cho trước 161

II. Các dạng bài toán tính tổng, chứng minh đẳng thức tổ hợp có sử dụng nhị thức Newton 164
1. Phương pháp biến đổi đại số
164
2. Phương pháp thuần nhị thức Newton và xét giá trị riêng
173
3.2. Khai triển phức
184
4. Phương pháp đếm bằng hai cách
187
5. Phương pháp sử dụng đạo hàm và tích phân
192
III. Các bài toán về giải phương trình, Hệ phương trình, bất phương trình chứa hệ số nhị thức và
các biểu thức tổ hợp khác
212
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
218
D. GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NHỊ THỨC NEWTON TRONG CÁC ĐỀ
THI NĂM 2015
237
PHỤC LỤC, CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY
HỒI SAI PHÂN
240
I. Mở đầu
240
II. Cơ sở của phương pháp truy hồi sai phân
240
1. Một số ví dụ mở đầu
240
2, Phương pháp truy hồi sai phân
241

III. Bài tập ứng dụng
242
PHẦN IV. SỐ PHỨC
253
A. LÝ THUYẾT
253
I. Tổng quan
253
II. Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức
253
1. Dạng đại số của số phức
253
2. Măt phẳng phức
253
3. Số thực và số thuần ảo
253
4. Số phức liên hợp
254
5. Mođun và argumen
254
B. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
255
Dạng 1. Thực hiện các phép toán trên tập phức C
255
Dạng 2. Tìm số phức thỏa mãn điều kiện- Phương trình hệ phương trình đơn giản
256


Dạng 3. Chuyển một số phức sang dạng lượng giác
Dạng 4. Sử dụng công thức Moivre để tính toán

Dạng 5. Biểu diễn hình học
Dạng 6. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Dạng 7. Tìm căn bậc hai của số phức – giải phương trình bậc 2 hệ số phức
Dạng 8. Phương trình quy về phương trình bậc 2
Dạng 9. Giải hệ phương trình, hệ bất phương trình trong tập phức
Dạng 10. Bài toán liên quan đến cực trị
Dạng 11. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
Dạng 12. Căn bậc n và ứng dụng
Dạng 13. Ứng dụng của số phức trong bài toán hình học phẳng
Dạng 14. Ứng dụng của số phức trong lượng giác
Dạng 15. Ứng dụng của số phức trong tổ hợp
Dạng 16. Ứng dụng số phức, công thức Moiver giải các bài toán khác
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP
I. Đề bài
II. Lời giải
D. GIẢI VÀ BÌNH LUẬN MỘT SỐ BÀI SỐ PHUWCSTRONG CÁC ĐỀ THI NĂM 2015
1. Về dạng lượng giác của số phức
2. Về số lượng các căn bậc n
PHỤ LỤC: SỬ DỤNG MODE 2 GIẢI BÀI TOÁN SỐ PHỨC
PHẦN I. KĨ NĂNG TÍNH TOÁN
1. Tính giá trị biểu thức
2. Thử đáp số
3. Dạng lượng giác của số phức
4. Tính nhanh căn bậc 2 của số phức bằng máy tính
PHẦN II. TỔNG KẾT – BÀI TẬP ỨNG DỤNG

257
260
261
263

265
267
271
273
276
279
283
285
291
297
301
301
311
358
361
361
363
363
363
363
363
364
365



Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Your dreams – Our mission

LỊCH SỬ HÌNH THÀNH CUỐN SÁCH
I- SƠ ĐỒ PHÁT TRIỂN CUỐN SÁCH

F1
(T1/2015)

TRẦN TRÍ KIÊN – PHAN NGỌC ĐỨC
NGUYỄN VĂN SƠN

II- GIỚI THIỆU CHI TIẾT THÀNH VIÊN
1. TRẦN TRÍ KIÊN (Chủ biên)
 Sinh nhật: 23/09/1995
 Facebook: /> Thành tích đã đạt được: (từ cao đến thấp)
- Giải Nhì thi chọn Học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm
2013;
- Huy chương đồng kỳ thi học sinh giỏi duyên hải và đồng
bằng Bắc Bộ.
 Cựu học sinh chuyên Toán trường THPT Chuyên Biên
Hoà, Hà Nam.
 Sinh viên trường đại học Ngoại Thương, chuyên ngành
Kinh Tế Đối Ngoại.

Trần Trí Kiên

2. PHAN NGỌC ĐỨC
 Sinh nhật: 11/09/1996
 Facebook:
 Thành tích:
- Giải Đồng kì thi giải toán trên mạng Violympic cấp quốc
gia; Giải KK casio cấp tỉnh (lớp 12).

 Cựu học sinh trường THPT chuyên Hùng Vương, thành
phố Pleiku,tỉnh Gia Lai.
 Trường đại học đang học: Đại học cảnh sát nhân dân.

Phan Ngọc Đức
3. NGUYỄN VĂN SƠN
 Thành tích: Giải Nhì kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia
môn Toán năm 2014.
 Cựu học sinh chuyên toán trường THPT chuyên Phan
Bội Châu - Nghệ An.
 Hiện là sinh viên lớp Kĩ sư tài năng Công nghệ thông
tin Đại học Bách Khoa Hà Nội.

Nguyễn Văn Sơn
LOVEBOOK | I


Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Your dreams – Our mission

LỜI MỞ ĐẦU

Các bạn cảm thấy:
Những chuyên đề Tổ hợp – Xác suất, Số phức quá lạ lẫm, sách giáo khoa chỉ cung cấp kiến thức ở mức
cơ bản trong khi đó lại có quá ít sách tham khảo để tìm hiểu và luyện tập thêm?
 Lý thuyết tổ hợp, xác suất thật trừu tượng và khó hình dung, dù đã đọc kỹ sách giáo khoa và
nghe cô giảng rồi mà bạn vẫn không thể nắm chắc được chúng. Làm sao có thể học tốt được nếu
như nền móng còn chưa vững?
 Lý thuyết số phức thì không quá nhiều nhưng cách ứng dụng lại quá đa dạng phong phú, tìm

nhiều sách, học nhiều nơi mà vẫn không thể tổng hợp được đầy đủ những phân dạng của nó.
 Các thầy cô dạy ở trường cũng như ở các lớp ôn thi đều chỉ giảng qua hai chuyên đề này vì cho
rằng chúng không quan trọng. Do vậy bạn chẳng có một định hướng nào một cách hệ thống khi
gặp các bài toán ấy mà chỉ làm theo cảm tính!
Trước tình hình các kì thi quốc gia có nhiều biến động, việc nắm chắc kiến thức ở tất cả các chuyên đề
trong bộ môn Toán là rất quan trọng ⇒ bạn cần một tài liệu đầy đủ về Tổ hợp – xác suất, Số phức để
tháo gỡ những vấn đề trên. Vì lẽ đó đó, chúng tôi dành tặng bạn cuốn "Chinh phục Tổ hợp – xác suất và
số phức trong đề thi quốc gia"!

Trong cuốn sách này bạn sẽ:
1. Hiểu sâu sắc và cặn kẽ về lý thuyết chuyên đề tổ hợp – xác suất.
Qua quá trình quan sát các bài kiểm tra, bài thi của học sinh trung học phổ thông, chúng tôi nhận
thấy rằng phần lớn các bạn còn khá mơ hồ về chuyên đề này, thậm chí là từ những kiến thức hết sức cơ
bản. Do vậy những phần lý thuyết trình bày về tổ hợp – xác suất sẽ được viết theo không chỉ một mà
nhiều cách khác nhau, với những ví dụ trực quan. Để từ đó những người thiên về não phải hay tưởng
tượng mộng mơ đến những người thiên về não trái đề cao tính logic đều tìm cho mình một cách tiếp cận
phù hợp đến những khái niệm, định lý, công thức. Không dừng ở mức giải thích cắt nghĩa, cuốn sách
còn trình bày những đối tượng ấy trong một mối liên hệ tương quan chặt chẽ với nhau.
2. Tiếp cận một phương pháp giải toán tổ hợp – xác suất hoàn toàn mới – SƠ ĐỒ CÔNG VIỆC –
một phương pháp được phát triển dựa trên việc kết hợp tư duy sáng tạo và tư duy logic, giúp thay việc
diễn giải bằng lời truyền thống trong các bài giải, hướng dẫn, đôi khi quá rối rắm khó hiểu, bởi một cách
diễn với những sơ đồ thể hiện mối liên hệ của các đối tượng trong bài toán. Có thể nói, sơ đồ công việc
đã giúp chuyển đổi ngôn ngữ viết trở thành ngôn ngữ của tư duy. Những bạn học sinh khá và giỏi nhiều
năm liền có thể sẽ gặp phải một chút khó khăn khi tiếp cận với phương pháp này nhưng chúng tôi tin là
các bạn sẽ nhanh chóng làm quen và sử dụng được nó một cách hiệu quả. Với sơ đồ công việc, bạn sẽ
có thể giải quyết phần lớn các bài toán đếm và xác suất trong đề thi quốc gia năm học tới. Vậy cụ thể
phương pháp này là gì, hãy cùng tìm hiểu trong cuốn sách nhé.

LOVEBOOK | II

Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Your dreams – Our mission

3. Được tổng hợp một cách đầy đủ các phân dạng của một bài toán số phức.
Với cuốn sách này, việc tìm hiểu cặn kẽ một cách tổng thể về chuyên đề số phức không còn khó
khăn nữa. Bởi chúng tôi không chỉ dừng lại ở mức liệt kê các dạng bài, mà còn phân tích kĩ từng dạng
bài đó và cả những ứng dụng của số phức trong việc giải toán thuộc các chuyên đề khác cũng được trình
bày một cách cẩn thận, với mục đích gợi mở tư duy của người đọc.
4. Được nâng cao và mở rộng.
Những bạn đọc có hứng thú với các chuyên đề này cũng sẽ có cơ hội được tìm hiểu sâu thêm thông
qua những bài toán nâng cao, những tư duy khác biệt được lồng ghép một cách tỉ mỉ vào trong cuốn
sách, có thể chúng được trình bày riêng rẽ thành đề mục, cũng có thể được trình bày trong một bài toán,
một lời nhận xét. Có thể những nâng cao và mở rộng đó chưa đủ để các bạn dự các kì thi học sinh giỏi
nhưng chắc chắn sẽ giúp hiểu sâu hơn, chắc chắn hơn hai chuyên đề này.
5. Tiếp cận với một phương pháp giải toán số phức bằng máy tính bỏ túi thông qua phụ lục của
chuyên đề số phức. Dù đây chỉ là một kĩ thuật nhỏ nhưng sử dụng máy tính bỏ túi hứa hẹn sẽ giúp các
bạn rất nhiều trong qua trình giải toán và làm toán số phức.
Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn sách chắc
chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế. Chúng tôi rất mong nhận được
các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh viên, các thầy cô giáo để những
lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ
o Thư điện tử:
o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/
Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!!

LOVEBOOK | III

Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Your dreams – Our mission

LỜI CẢM ƠN
Chúng tôi xin được gửi những lời cảm ơn sâu sắc nhất đến cha mẹ - những người có ơn sinh thành
và nuôi dưỡng chúng tôi, dạy bảo chúng tôi nên người. Gia đình luôn là điểm tựa vững chắc giúp chúng
tôi vươn đến những thành công như ngày hôm nay.
Chúng tôi cũng xin gửi những lời tri ân sâu sắc đến những người thầy, người cô đã dạy dỗ chúng
tôi suốt những năm học vừa qua, những người truyền đạt cho chúng tôi không chỉ về những kiến thức
mà còn về những hiểu biết, kĩ năng về cuộc sống.
- Thầy Đào Quốc Huy – giáo viên bộ môn toán trường THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam. Bằng vốn
kiến thức sâu rộng của mình, kết hợp với phong cách giảng hóm hỉnh nhưng không kém phần sâu sắc,
thầy đã truyền cảm hứng chi nhiều thế hệ học sinh.
- Cô Nguyễn Thị Hiền – giáo viên bộ môn toán trường THPT Chuyên Biên Hòa, Hà Nam. Những
giờ lên lớp của cô luôn là những giờ được học sinh mong chờ nhiều nhất bởi những bài giảng lôi cuốn,
bổ ích ấy luôn luôn mang lại cho học sinh hiệu quả cao nhất trong học tập.
Tiếp đến chúng tôi xin được cảm ơn các anh em bạn bè cũng như các anh em trong mái nhà chung
LOVEBOOK, các anh em đã luôn giúp đỡ, ủng hộ chúng tôi mọi lúc mọi nơi, giúp chúng tôi có động
lực để hoàn tất ước mơ có một sản phẩm “tinh thần” của cuộc đời.
Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn đến toàn thể các em học sinh đã tin tưởng và sử dụng sách của Gia
đình Lovebook. Sự tin tưởng của các em học sinh là nguồn động lực lớn lao nhất để chúng tôi hoàn thiện
cuốn sách này.
Cảm ơn hai bạn cộng tác viên: bạn Nguyễn Bá Khánh Trình và bạn Bùi Nhật Quang vì những
đóng góp của các bạn cho sự ra đời của cuốn sách này.
Cuối cùng, chúng tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến anh Lương Văn Thùy – Giám
đốc VEDU – và NHÀ SÁCH LOVEBOOK đã luôn ủng hộ, động viên và hướng dẫn chúng tôi trong
quá trình hoàn thành cuốn sách.
Một lần nữa, chúng tôi xin chân thành cảm ơn!!!

LOVEBOOK | IV


Chinh phục bài tập tổ hợp xác suất và số phức

Your dreams – Our mission

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH
Cuốn sách được viết chia làm hai phần lớn ứng với hai chuyên đề Tổ hợp – xác suất và Số phức.
Trong phần một, chúng tôi trình bày về Tổ hợp – xác suất với 3 chuyên đề nhỏ: phép đếm, xác suất và
nhị thức Newton. Phần hai trình bày về số phức như là một chuyên đề riêng biệt. Mỗi chuyên đề được
viết theo cấu trúc: Lý thuyết cơ bản; Phương pháp – dạng bài; và bài tập tự luyện. Riêng với phép đếm
và xác suất, phần phương pháp – dạng bài được tách riêng làm hai phần.
Sau đây là một số hướng dẫn mà các bạn nên làm theo trong quá trình sử dụng cuốn sách:
1. Về thứ tự đọc: Việc đọc cuốn sách này không có một thứ tự bắt buộc nào phải tuân theo cả. Tuy
vậy, do những gì đã được trình bày ở trước sẽ không được trình bày lại trong các phần sau, đặc biệt là
lý thuyết về tổ hợp cũng như phương pháp sơ đồ công việc nên tốt nhất các bạn nên đọc chuyên đề phép
đếm đầu tiên trước khi đọc các chuyên đề xác suất và nhị thức Newton.
Một cách đọc khác chúng tôi muốn gợi ý tới các bạn là bắt tay vào đọc phần mà mình thấy thú vị nhất
đầu tiên, sau đó ghi lại những điều không hiểu và quay trở lại tìm hiểu ngay lập tức. Bằng cách đó, các
bạn sẽ tìm thấy cảm hứng trong học tập được dễ dàng hơn.
2. Học một cách chủ động: Quá trình viết sách chúng tôi có đưa ra rất nhiều những ví dụ và bài tập
(không phải bài tự luyện) kèm theo phân tích và nhận xét, để đạt được hiệu quả tối đa, mỗi khi đọc một
ví dụ, các bạn nên đọc đề bài và chủ động làm ra nháp, sau đó so sánh với lời giải, đọc nhận xét và rút
ra kinh nghiệm. Trong trường hợp chưa nghĩ ra ngay, các bạn có thể đọc phần phân tích phía trước lời
giải (có ở đa số những bài tập hay và khó), qua đó định hướng để đưa ra lời giải của mình. NHỚ, đọc đề
bài rồi xem ngay lời giải là hạ sách cuối cùng, cách làm đó sẽ khiến kiến thức trôi đi như nước đổ lá
khoai.
3. Có một cuốn vở riêng: Dùng để ghi chú những kiến thức cần nhớ, và làm những bài tập tự luyện.

Với việc ghi chú, tuyệt đối đừng chỉ dùng bút nhớ hay gạch chân trong sách, đó là kiểu ghi chú lười
biếng. Kiến thức cần phải được diễn đạt lại bằng ngôn ngữ của bản thân người học thì mới có khả năng
ghi sâu vào trong trí nhớ được. Bạn cũng nên sáng tạo cách ghi chú của riêng bản thân mình, đừng để bị
gò ép vào một hình thức có sẵn nào cả.
Về bài tập tự luyện: Nên trình bày logic khi làm bài, tính toán cẩn thận, đặc biệt là những bài tập hay
hoặc những phần mà bạn cảm thấy dễ quên. Bằng cách cẩn thận ghi lại, bạn sẽ nhớ hơn rất nhiều những
bài tập đó so với việc chỉ nháp ra ý tưởng.
4. Lập nhóm học tập: hay ít nhất là thường xuyên trao đổi về bài tập trong cuốn sách với bạn bè.
Ý tưởng đơn giản nhất là hẹn bạn cùng đọc, ghi chú, làm bài tập trong một phần hay một đoạn của cuốn
sách trong một khoảng thời gian nhất định, sau đó đổi vở ghi chép và cùng bàn luận về những phần mình
chưa hiểu, những cái hay, những điều mà mình rút ra được. Việc này hoàn toàn có thể tận dụng khoảng
thời gian ra chơi ở trường. Có bạn bè cùng học thì động lực và hiệu quả sẽ tăng lên rất nhiều.
5. Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì?
Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!!
- Hỏi bạn bè cùng lớp. Học thầy không tày học bạn.
- Hỏi thầy cô giáo trên lớp.
- Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng.
- Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách
của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/
Trên đây là một số hướng dẫn cho việc sử dụng cuốn sách để học tập và ôn luyện. Mong rằng các bạn
sẽ đạt được những kết quả tốt với cuốn sách này!

LOVEBOOK | V



Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Phần I: Phép đếm
A. LÝ THUYẾT
I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng.
- Phát biểu theo cách nhìn “công việc”: Một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương án: Có
n1 cách thực hiện. A1 ., n2 cách thực hiện..,…, nk cách thực hiện A k . Khi đó công việc có thể thực hiện bởi
tổng cộng n1 + n2 + n3 +. . . +nk cách.
Ví dụ 1: Nam muốn đi từ Hà Nội vào Đà Nẵng bằng một trong hai phương án: đi tàu hoặc đi ô-tô. Biết
trong ngày có 3 chuyến tàu và 5 chuyến ô-tô. Tìm số cách để Nam thực hiện chuyến đi của mình.

Lời giải:
Số cách để Nam đi bằng một trong hai phương án tàu hoặc ô-tô là: 3 + 5 = 8 (cách).
- Phát biểu theo cách nhìn tập hợp: Cho k tập hợp: A1 ; A2 ; A3 ; … ; Ak là các tập đôi một rời nhau.
Biết |A1 | = n1 ; |A2 | = n2 ; … ; |Ak | = nk, khi đó |A1 ∪ A2 ∪ … ∪ Ak | = n1 + n2 + ⋯ + nk .
Để cho dễ hiểu hơn cách em có thể nhìn đơn giản như sau:
Hình A1 có diện tích là n1
A1

Hình A2 có diện tích là n2
A2

Khi đó diện tích phần tô đậm là: n1 + n2

.
A1

A2

Ví dụ 2: Nam có 2 chiếc hộp đựng kẹo. Hộp thứ nhất có 3 chiếc kẹo, hộp thứ hai có 5 chiếc kẹo. Hỏi Nam
có tất cả bao nhiêu chiếc kẹo?

Lời giải:
Số kẹo mà Nam có là: 3 + 5 = 8 chiếc.

Nhận xét: Đưa ra một bài toán “lớp 1” như vậy có vẻ thật ngớ ngẩn, tuy nhiên khi so sánh ví dụ 1 với ví dụ
2, các em sẽ thấy một sự tương đồng hoàn toàn giữa một bài “Đếm số cách làm” và một bài “Đếm số kẹo”.
NX1: Các bài toán đếm là có cùng bản chất và cách hiểu như nhau ⇒ Chúng dễ tương tự như nhau
⇒ Chỉ cần nắm vững được những phương pháp tư duy hệ thống (sẽ được trình bày ở phần sau) thì các em
hoàn toàn có thể làm được chúng một cách “dễ như ăn kẹo”.
NX2: Hiểu được bản chất thông quan những ví dụ đơn giản nhất giúp ta làm được bài toán trong những
trường hợp khó và phức tạp hơn.
b) Quy tắc nhân.
- Phát biểu theo cách nhìn “công việc”: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A1 ; A2 ;...; Ak . Công
đoạn có thể thực hiên theo. n1 .cách, công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách,… công đoạn có thể thực
hiện theo n k cách. Khi đó, số cách để thực hiện công việc này là n1 n2 … nk cách.
LOVEBOOK.VN | 13


Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Ví dụ 3: An muốn từ nhà mình qua đón Bình rồi cả 2 cùng sang nhà Cường chơi. Hỏi A có bao nhiêu cách
đi biết từ nhà An sang nhà Bình có 2 đường, từ nhà Bình sang nhà Cường có 3 đường.

Lời giải:
Số cách chọn đường từ nhà A sang nhà Bình là: 2 cách.
Số cách chọn đường từ nhà Bình sang nhà Cường là: 3 cách.

Vậy áp dụng quy tắc nhân, số cách đi của A là: 2.3 = 6 (cách)
- Phát biểu theo cách nhìn tập hợp: Giả sử có n tập hợp Ak (1 ≤ k ≤ n) với |Ak | = mk . Khi đó s A1 ố cách
chọn (S) bộ gồm n phần tử (a1 ; a2 ; … ; an ) với ai ∈ Ai (1 ≤ A k i ≤ n) sẽ là:
n

S = |A1 . A2 . … . An | = m1 . m2 . … mn = ∏ mk
k=1

- Để cho dễ hiểu, ta có thể hình dung qua trường hợp có 2 công đoạn như sau:

1
2
3
⋮

1

2

3

⋮

⋮

⋮

…
…
…

…

m1

A1

⋱

m2
A2

m1 . m2

Với chiều dài đại diện cho công đoạn A1 ; chiều rộng đại diện cho công đoạn A2 thì có tất cả m1 . m2 ô trong
bảng.
Ví dụ 4: Nam có 2 hộp đựng kẹo, mỗi hộp có 3 chiếc. Hỏi Nam có tất cả bao nhiêu chiếc kẹo?

Lời giải:
Nam có tất cả 2.3 = 6 chiếc kẹo.
Nhận xét: Lại một bài toán lớp 1 nữa được đưa ra làm ví dụ, tuy nhiên, ta có một cách giải khác như sau:
Số kẹo Nam có là: 3 + 3 = 6 (chiếc).
So sánh với ví dụ 2, ta có thể thấy rằng quy tắc nhân có “bản chất cộng”. Điểm khác biệt duy nhất trong
trường hợp này là số kẹo trong mỗi hộp bằng nhau (và bằng 3) nên thay vì 3 + 3 = 6 ta còn có thêm cách
tính nữa là
2.3 = 6.
Bất kì bài toán nào sử dụng quy tắc nhân đều có thể quy về làm bằng quy tắc cộng, chẳng hạn xét ví dụ sau:
Ví dụ 5: Một tour du lịch lần lượt đưa khách xuất phát từ thành phố A đi qua các thành phố B, C và kết
thúc ở thành phố D. Biết có 2 con đường nối từ A đến B, 4 con đường nối từ B đến C và 3 con đường nối
từ C đến D. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách hoàn thành tour?

Lời giải (dùng quy tắc nhân):
Có tất cả 2.4.3 = 24 cách hoàn thành tour.

Lời giải (dùng quy tắc cộng):
Số cách hoàn thành tour là:
3 cách từ C đến D
(3+3+3+3)+(3+3+3+3)=24 cách
4 cách từ B đến C
2 cách từ A đến B

LOVEBOOK.VN | 14


Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Tuy vậy ta cũng thấy giải chỉ bằng quy tắc cộng quá dài dòng và phức tạp một cách không cần thiết, sử dụng
quy tắc nhân là một sự rút ngắn khôn ngoan. Do vậy trong hầu hết các bài toán ta cần sử dụng kết hợp cả 2
phương pháp để giải.
Ví dụ 6: Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:
Xét 2 trường hợp:
- TH1: chữ số tận cùng là số 0.
Ta tiến hành lập các số thỏa mãn ycbt theo các bước:
B1: Chọn chữ số hàng nghìn: có 9 cách chọn.
B2: Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
B3: Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này ta có 7.8.9 = 504 số thỏa mãn ycbt.

- TH2: chữ số tận cùng khác 0. Vì đây là số chẵn nên chữ số tận cùng chỉ có thể thuộc tập {2;4;6;8}. Ta thực
hiện lần lượt các bước:
B1: Chọn chữ số hàng đơn vị: có 4 cách chọn.
B2: Chọn chữ số hàng nghìn: có 8 cách chọn (ngoại trừ số 0 và chữ số hàng đơn vị)
B3: Chọn chữ số hàng trăm: có 8 cách chọn.
B4: Chọn chữ số hàng chục: có 7 cách chọn.
Áp dụng quy tắc nhân, trường hợp này ta có 4.8.8.7 = 1792 số thỏa mãn ycbt.
Vậy có tất cả 504 + 1792 = 2296 cố thỏa mãn ycbt.
2. Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

Hoán vị.
- Cho tập hợp A có n phần tử (n > 0). Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các
phần tử của các phần tử của tập A (một hoán vị của A).
Số các hoán vị của tập có n phần tử là:
𝑃𝑛 = 𝑛!
- Với những ai chưa hình dung rõ về ngôn ngữ tập hợp thì có cách diễn đạt dễ hiểu hơn như sau:
Có n đồ vật và n vị trí (có tính thứ tự) cho trước, số cách sắp xếp n đồ vật đó vào n vị trí đã cho là Pn  n!
Ví dụ 7: Cho các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau được lấy
từ các số đã cho?

Lời giải:
̅̅̅̅̅̅̅̅̅, trong đó a,b,c,d,e,f ∈ {1,2,3,4,5,6}.
Gọi số cần lập là abcdef
Số cách chọn chữ số a là: 6 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} )
Số cách chọn chữ số b là: 5 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} trừ đi số a đã được chọn)
Số cách chọn chữ số c là: 4 cách (thuộc tập {1,2,3,4,5,6} trừ đi số a và b đã được chọn)
Số cách chọn chữ số d là: 3 cách (…)
Số cách chọn chữ số e là: 2 cách
Số cách chọn chữ số f là: 1 cách.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ là: 6.5.4.3.2.1 = 6! = 720

⇒ Số cách lập số abcdef

Nhận xét: Đây cũng chính là cách chứng minh công thức của hoán vị
Chỉnh hợp.
Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n . Khi lấy ra k phần tử của A rồi sắp xếp chúng theo một
thứ tự ta được một chỉnh hợp chập k của A.
Số các chỉnh hợp chập k của một tập có n phần tử là:
(với

)

Ta có cách diễn đạt dễ hiểu hơn:
LOVEBOOK.VN | 15


Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Có n đồ vật và k vị trí (có tính thứ tự) cho trước (k≤n), số cách lấy ra k trong n đồ vật rồi sắp xếp k đồ vật
n!
đó vào k vị trí đã cho là A kn 
(n  k )!
Ví dụ 8: Cho các số: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số từ 4 số khác nhau được lấy từ các số đã
cho?

Lời giải:

̅̅̅̅̅̅, trong đó a,b,c,d, ∈ {1,2,3,4,5,6}
Gọi số cần lập là abcd

Số cách chọn chữ số a là: 6 cách
Số cách chọn chữ số b là: 5 cách
Số cách chọn chữ số c là: 4 cách
Số cách chọn chữ số d là: 3 cách
⇒ Số cách lập số ̅̅̅̅̅̅
abcd là:

Nhận xét: Đây cũng là cách chứng minh công thức chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Tổ hợp.
Cho tập hợp A có n phần tử. Mỗi tập con có k phần tử của A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A.
Số các tổ hợp chập k của một tập có n phần tử là:
(với

)

Ta có cách diễn đạt dễ hiểu hơn:
Có n đồ vật và k vị trí (có tính thứ tự) cho trước (k≤n), số cách lấy ra k trong n đồ vật không kể thứ tự là
n!
Ckn 
k !(n  k )!
Ví dụ 9: Một lớp có 30 em học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 em bất kì?

Lời giải:
Số cách chọn ra 5 em là

5
C30

= 142506 (cách)

Nhận xét: Cách chứng minh công thức tổ hợp sẽ được đề cập ở phần sau:
(*) Chú ý quan trọng: Như đã so sánh ở phần trên giữa bài toán “đếm kẹo” với bài toán “đếm số cách làm”,
các bài toán đếm có bản chất giống nhau.
Trong một số trường hợp, người ta thường đếm số cách làm ra sản phẩm thay cho số sản phẩm. Muốn đếm
như vậy thì ta phải hiểu rằng hai cách làm khác nhau sẽ tạo ra hai sản phẩm khác nhau. Chẳng hạn như ví
dụ sau:
Ví dụ 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?

Lời giải:

Gọi số thỏa mãn là ̅̅̅
ab với a, b là số chẵn (hay a, b ∈ {0; 2; 4; 6; 8})
Số cách chọn chữ số hàng chục a là: 4 cách (trừ số 0 ra)
Số cách chọn chữ số hàng đơn vị b là: 5 cách.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 5.4 = 20 (số).

Nhận xét: trong bài toán trên, thực chất ta đã đếm số cách lập số thỏa mãn. Tuy nhiên ta có thể đồng nhất số cách
lập số thoản mãn với số các số thỏa mãn vì mỗi cách lập cho ra một số khác nhau.
II. LÝ THUYẾT MỞ RỘNG.
1. Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập hợp
Trước khi tìm hiểu các lý thuyết mở rộng về phép đếm, ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản cũng như kí hiệu
trong toán tập hợp.
 là biểu thị của tập hợp rỗng (không chứa phần tử nào). Do đó  là tập hợp con của mọi tập hợp.
Tập A B gọi là “A hợp B”: là tập chứa tất cả các phần tử của A và của B
LOVEBOOK.VN | 16


Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Tập A B gọi là “A giao B”: là tập chứa tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B.

| A | là số phần tử của tập A.
Tập S\A (đọc là “S trừ A”) là tập hợp các phần tử thuộc S nhưng không thuộc A. Hay nói cách khác S\A là
tập thỏa mãn: (S \ A) A  S và (S \ A) A   .
Để rõ hơn về các khái niệm này, ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 11:
a) Cho tập A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 10} và B = {2; 3; 6; 8; 10; 13}. Xác định các tập A ∩ B và A ∪ B và số phần tử
của chúng.
b) Cho tập S = {x| x ∈ N; x < 50} và A = {x| x ∈ N; 5 < x < 45}. Xác định tập S\A và số phần tử của nó.
c) Cho hai tập A = {x|x ∈ N; x ⋮ 3} và B = {x|x ∈ N; x ⋮ 5}. Xác định tập hợp A ∩ B.
d) Cho tập A = {1; 3; 5} xác định tập SA bao gồm tất cả các tập con của A và số phần tử của nó.

Lời giải:
a) A  B  {3;10} với | A  B| 2

A  B  {1;2;3;5;6;7;8;10;13} với | A  B| 9
b) S = {x| x ∈ N; x < 50} là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 50.
Tương tự A = {x| x ∈ N; 5 < x < 45} là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 5 và nhỏ hơn 45.
Do đó: S\A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 45; 46; 47; 48; 49} với |S\A| = 11.
c) A = {x|x ∈ N; x ⋮ 3} là tập các số tự nhiên chia hết cho 3.
B = {x|x ∈ N; x ⋮ 5} là tập các số tự nhiên chia hết cho 5.
Do đó A ∩ B là tập các số tự nhiên chia hết cho cả 3 lẫn 5. Mà 3 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó:
x⋮3
⇔ x ⋮ (3.5) ⇔ x ⋮ 15
{
x⋮5
Vậy A ∩ B = {x|x ∈ N; x ⋮ 15} = {0; 15; 30; … }
d) SA = {∅; {1}; {3}; {5}; {1; 3}; {1; 5}; {3; 5}; {1; 3; 5}} với |SA | = 8.

Nhận xét: Đây là những lý thuyết cơ bản nhất về toán tập hợp, học sinh cần nắm vững để hiểu những khái
niệm được trình bày dưới đây.
2. Quy tắc cộng tổng quát

a) Ví dụ mở đầu.
Ví dụ 12: Một lớp học có 24 học sinh giỏi toán, 12 học sinh giỏi văn, 7 học sinh giỏi cả toán lẫn văn và 10
học sinh không giỏi toán cũng như không giỏi văn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh.

Phân tích:
Trước hết ta đếm một cách thủ công, theo quy tắc cộng thông thường thì số học sinh hoặc giỏi toán, hoặc
giỏi văn sẽ là tổng của số học sinh giỏi toán và số học sinh giỏi văn: 24 + 12 = 36.
Tuy nhiên khi đó ta lại nhận thấy những học sinh giỏi cả toán lẫn văn đã bị đếm 2 lần, do đó ta phải bỏ đi 1
lần đếm những học sinh đó.
Phần còn lại là các học sinh không giỏi toán cũng như văn.

Lời giải:
Gọi A là tập hợp các học sinh giỏi toán trong lớp
B là tập hợp các học sinh giỏi văn trong lớp.
S là tập hợp các học sinh trong lớp.
⇒ A ∪ B là tập hợp các học sinh giỏi cả toán lẫn văn; S\(A ∪ B) là tập hợp các học sinh không giỏi toán cũng như
văn.
Khi đó ta có
|S| = |(A ∪ B) ∪ (S\(A ∪ B))| = |A ∪ B| + |S\(A ∪ B)|
|S| = |A| + |B| − |A ∩ B| + |S\(A ∪ B)| = 24 + 12 − 7 + 10 = 39
Kết luận: Số học sinh của lớp là 39 em.

LOVEBOOK.VN | 17

Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Nhận xét: Bài toán này khá đơn giản, nhưng vẫn không thể dùng được quy tắc cộng thông thường được bởi vì

các tập hợp những học sinh học giỏi toán và giỏi văn là không tách biệt hẳn với nhau, do đó ta cần phải trừ đi
những phần đã đếm trùng như đã làm trong ví dụ trên.
Với phương pháp cộng tổng quát, ta sẽ giải quyết những dạng toán trên một cách tương đối dễ dàng – điều mà
không thể làm được với quy tắc cộng thông thường.
b) Quy tắc cộng tổng quát.
Bản chất toán học của quy tắc cộng (được nêu ở phần đầu của chuyên đề này) là công thức tính số phần tử
của hợp n tập hữu hạn đôi một không giao nhau. Cụ thể ta có cách phát biểu lại như sau:
Cho n tập hợp A1;A2;…;An đôi một không giao nhau. Khi đó
Tuy nhiên trong quá trình làm toán, điều kiện “đôi một không giao nhau” không phải lúc nào cũng được
thỏa mãn. Khi đó ta có quy tắc cộng cho số phần tử của n tập bất kì như sau:
n

| A1  A2  ...  An | | Ai | 
1



1ik n

| Ai  Ak | 



1i jk n

| A i  A j  A k | ...  ( 1)n1 | A1  A2  ...  A n |

Công thức trên có vẻ khá phức tạp và rắc rối. Tuy nhiên trong hầu hết các trường hợp ta chỉ cần sử dụng
với n = 2 và n = 3 như sau:
Với n=2: | A  B|| A |  | B|  | A  B|
Như vậy ta có thể thấy quy | A  B  C || A |  | B|  | C|  | A  B|  | B  C|  | C  A |  | A  B  C | tắc cộng thông
thường | A  B|| A |  | B| là một trường hợp đặc biệt của công thức cộng tổng quát, khi các
| A1  A2  ...  An || A1 |  | A2 | ...| An | tập hợp con đôi một phân biệt: A ∩ B = ∅ hay |A ∩ B| = 0.

Với n = 3:
Tương tự với công thức cộng thông thường, công thức cộng tổng quát cũng có dạng biểu diễn hình học như
sau:
Để cho dễ hiểu hơn cách em có thể nhìn đơn giản như sau:
Hình A1 có diện tích là n1
A1

Hình A2 có diện tích là n2
A2

Phần giao của A1 và A2 có diện tích là n12
𝐴1

A2

A1 ∩ A2
Khi đó diện tích phần tô đậm là: n1 + n2 − n12.
Ví dụ 12 là một điển hình cho việc sử dụng công thức cộng tổng quát với 2 tập hợp, sau đây ta sẽ xét một
bài toán sử dụng công thức trên với 3 tập hợp.
Ví dụ 13: Lớp 12A phải làm một bài kiểm tra Toán gồm có ba bài toán. Biết rằng mỗi em trong lớp đều

giải được ít nhất một bài, trong lớp có 20 em giải được bài toán thứ nhất, 14 em giải được bài toán thứ
hai, 10 e giải được bài toán thứ ba, 6 em giải được bài toán thứ nhất và thứ ba, 5 em giải được cả hai bài
thứ hai và thứ ba, 2 em giải được cả hai bài thứ nhất và thứ hai, và có 1 em được 10 điểm vì đã giả được
cả 3 bài toán. Hỏi rằng lớp học có tất cả bao nhiêu học sinh.

Lời giải:
LOVEBOOK.VN | 18


Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Gọi A là tập hợp các em học sinh giỏi được bài toán thứ nhất, B là tập hợp các em giải được bài toán thứ hai
và C là tập hợp các em giải được bài toán thứ ba.
Vì “mỗi em trong lớp đều giải được ít nhất một bài” nên A ∪ B ∪ C chính là tập hợp các học sinh của lớp 12A
⇒ Tìm số học sinh của lớp chính là tìm |A ∪ B ∪ C|.
Ta lại có:
A ∩ B là tập hợp các em giả được bài thứ nhất và thứ hai ⇒ |A ∩ B| = 2.
A ∩ C là tập hợp các em giả được bài thứ nhất và thứ ba ⇒ |A ∩ C| = 6.
B ∩ C là tập hợp các em giải được bài thứ hai và thứ ba ⇒ |B ∩ C| = 5
A ∩ B ∩ C là tập hợp các em giải được cả 3 bài.

| A  B  C|| A |  | B|  | C|  | A  B|  | B  C|  | C  A |  | A  B  C|
Áp dụng công thức cộng tổng quát với n = 3 ta có

| A  B  C | 20  14  10  6  5  2  1  32
3. Hoán vị có lặp.

3.1. Ví dụ mở đầu.

Ví dụ 14: Có thể tạo được bao nhiêu hoán vị khác nhau từ chữ “GSTTGROUP”? (Hai hoán vị được coi là
khác nhau nếu tồn tại một vị trí ở hoán vị này đặt một chữ cái khác với chữ cái cùng vị trí đó ở hoán vị
kia).

Phân tích:
Theo lý thuyết về hoán vị thông thường thì dãy kí tự “GSTTGROUP” gồm 9 chữ cái nên số hoán vị của nó
hẳn phải là P9 = 9!
Tuy nhiên ta nhanh chóng phát hiện ra vấn đề là hoán vị thông thường chỉ áp dụng cho những dãy mà các
kí tự trong đó đôi một khác nhau, không thể áp dụng trong trường hợp này khi đổi chỗ 2 chỗ T cho nhau sẽ
không tạo được dãy mới trong khi vẫn bị đếm trong biểu thức P9 = 9!
Vậy, ta phải giải quyết vấn đề đó như thế nào?

Lời giải:
Dãy kí tự trên bao gồm 2 chữ G, 2 chữ T, 1 chữ S, 1 chữ R, 1 chữ O, 1 chữ U, 1 chữ P. Giả sử 2 chữ G là G1 và
G2 (khác nhau), tương tự 2 chữ T cũng là T1 và T2 .
Khi đó số hoán vị của dãy là P9 = 9!
Tuy vậy G1 và G2 là giống nhau, T1 và T2 cũng giống nhau nên ta đã bị đếm trùng, hơn nữa công thức tính
hoán vị được xây dựng dựa trên công thức nhân, do đó ta phải loại bỏ những phần trùng bằng cách chia bớt
số chữ cái bị trùng (2 chữ G và 2 chữ T).
⇒ Số dãy hoán vị khác nhau lập được là:
Nhận xét: Bài toán này cũng có thể giải bằng phương pháp đếm như sau:
B1: Chọn 2 vị trí để đặt các chữ G: có C92 cách.
B2: Chọn 2 vị trí để đặt các chữ T: có C72 cách.
B3: Hoán vị các chữ cái kia vào 5 vị trí còn lại: có P5 = 5! Cách.
⇒ Số cách xếp là: C92 . C72 . P5 = 90720.
Tuy nhiên ta đang xây dựng công thức hoán vị lặp nên phải trình bày cách gần với nó nhất!

3.2. Hoán vị có lặp.
Hoán vị mà trong đó mỗi phần tử xuất hiện ít nhất một lần được gọi là hoán vị lặp.
Số dãy hoán vị gồm các phần tử thuộc k loại, mà các phần tử loại i 1  i  k  xuất hiện đúng n i lần là:

P  n1 ; n2 ;...; nk  

 n1  n2  ...nk !
n1 ! n2 !...nk !

Trong ví dụ 13 ta có n1 = n2 = 2; n3 = n4 = n5 = n6 = n7 = 1.
Khi đó:
(2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)!
9!
P(2; 2; 1; 1; 1; 1; 1) =
=
= 90720.
2! 2! 1! 1! 1! 1! 1!
2! 2!

LOVEBOOK.VN | 19


Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Ví dụ 15: Với các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số gồm chín chữ số, trong đó
P9
9!

 90720 mỗi chữ số 1;4;5;6 xuất hiện đúng 1 lần, chữ số 2 xuất hiện đúng hai lần và chữ số 3
P2 .P2 2!2!
xuất hiện đúng ba lần?

Lời giải:
Xét một số tùy ý x=126343523 và kí hiệu các vị trí của x một cách hình thức, ta có:
x = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 Khi đó, mỗi số x tương ứng với một hoán vị của chín phần tử
a1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; a 5 ; a 6 ; a 7 ; a 8 ; a 9 .
Số các hoán vị khác nhau của chín phần tử ai (1 ≤ i ≤ 9) là 9! Song do a2 = a8 = 2, nên khi đổi chỗ a2 và a8
cho nhau, thì hoán vị a̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
1 a 2 a 3 a 4 a 5 a6 a7 a8 a9 vẫn chỉ cho ta số x. Tương tự đổi chỗ hai trong ba phần tử
a4 ; a6 ; a9 cho nhau vẫn chỉ cho số x.
Như vậy, khi thực hiện 2! Hoán vị a2 và a8 và 3! hoán vị a4 ; a6 ; a9 ta chỉ được một số cần tìm x.
9!
Vậy theo công thức ta có số các số có thể lập được là S 
 30240 .
2!3!
Ví dụ 16: Một chiếc tàu đồ chơi được lắp ráp từ các bộ phận: 1 đầu tàu màu đen, 5 toa tầu màu xanh, 3
toa tầu màu đỏ và 2 toa tàu màu vàng. Tính số cách lắp ráp đoàn tàu biết đầu tàu luôn ở vị trí đầu tiên và
các toa tàu cùng màu thì giống hệt nhau.

Phân tích:
Ta có tất cả là 11 đoạn của đoàn tàu để sắp xếp, điều đó dễ dẫn đến sự nhầm lẫn tính hoán vị của 11. Tuy
nhiên đề bài lại cho đầu tàu tách biệt hẳn với các toa còn lại, hơn nữa lại “luôn ở vị trí đầu tiên” nên thực
chất đầu tàu là cố định, ta chỉ cần xét hoán vị lặp của 10 toa còn lại.

Lời giải:
Coi mỗi cách lắp tàu tương ứng với một hoán vị lặp. Trong đó toa xanh lặp 5 lần, toa đỏ lặp 3 lần, toa vàng
lặp 2 lần. Khi đó số cách lắp tàu là:
(2  3  5)!
(2  3  5)!
P 2;3;5 
 2520 P 2;3;5 

 2520
2!3!5!
2!3!5!
Vậy số cách lắp tàu là 2520 cách.
Nhận xét: Tuy không hề sử dụng đến trong quá trình tính toán nhưng vai trò của đầu tàu trong bài toán này

lại hết sức quan trọng. Không chỉ là một yếu tố “đánh lừa” như ta phát hiện ra trong phần phân tích, đầu tàu
còn có vai trò định hướng cho việc sắp xếp các toa tàu còn lại.
Hãy tưởng tượng một dãy 10 toa tàu sau: X-X-X-X-X-Đ-Đ-Đ-V-V thật ra thì giống hệt dãy V-V-Đ-Đ-Đ-X-X-XX-X, chỉ là 2 cách biểu diễn vị trí các toa khi nhìn từ 2 phía khác nhau. Nhưng giờ ta hãy tưởng tượng, có đầu
tàu làm định hướng, khi đó 2 dãy Đen-X-X-X-X-X-Đ-Đ-Đ-V-V và Đen-V-V-Đ-Đ-Đ-X-X-X-X-X là hoàn toàn khác
nhau.
Việc xác định thế nào là 2 đối tượng khác nhau trong bài toán đếm là vô cùng quan trọng, do đó việc định
hướng được đối với dãy đối tượng là cần thiết.
Nhưng nếu thứ ta cần đếm không phải là dãy mà là những vòng khép kín không có điểm đầu và kết thúc thì
sao? Ta hãy cùng tìm hiểu trong phần tiếp theo.
4. Hoán vị vòng quanh.

4.1. Ví dụ mở đầu.
Ví dụ 17: Trong một hội nghị của các nước G7, có 7 vị nguyên thủ tham gia một hội nghị bàn tròn. Hỏi có
bao nhiêu cách xếp chỗ cho 7 vị này?

Phân tích:
Điểm khác biệt của các bài toán bàn tròn so với các bài toán khác, là khi xếp tất cả mọi người vào bàn rồi thì
không có ai là người ngồi trước hay ngồi sau, đầu bàn hay cuối bàn. Nói cách khác ta không có vị trí cố định
của các ghế xung quanh bàn tròn (đương nhiên là ta giả định là không có đánh số sẵn ở trên các ghế). Vậy
ta phải giải quyết vấn đề này như thế nào?

Lời giải:
LOVEBOOK.VN | 20

Chinh phục tổ hợp xác suất và số phức phiên bản 1.0

Your dreams – Our mission

Nếu ta mời một vị nguyên thủ ngồi vào vị trí bất kì, và coi người đó làm mốc thì những vị trí còn lại sẽ là
hoàn toàn xác định. Số cách sắp xếp 6 người còn lại vào 6 vị trí giành cho họ sẽ là 6!=720.
Vậy có tất cả 720 cách sắp xếp 7 người ngồi xung quanh một bàn tròn.

4.2. Hoán vị vòng quanh.
Khi gặp bài toán yêu cầu sắp xếp các đối tượng trên một bàn tròn (tất cả các vị trí đều có vai trò như nhau)
thì ta thường phải chọn một đối tượng (hay một nhóm đối tượng) làm mốc cố định để xác định vai trò của
các vị trí còn lại.
Số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau (Q n ) được tính bằng công thức Qn  (n  1)!
5. Mối liên hệ giữa các biểu thức tổ hợp.
Phần này sẽ giúp bạn đọc hệ thống lại tất cả các quy tắc đếm, các biểu thức tổ hợp và mối liên hệ giữa chúng.
Ta cùng bắt đầu với quy tắc cộng thông thường:
+ Với các tập A1 ; A2 ; … ; An đôi một phân biệt, ta có:
|A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An | = |A1 | + |A2 | + ⋯ + |An |
+ Trong trường hợp đặc biệt hơn, khi |A1 | = |A2 | = ⋯ = |An | = m, và A1 ; A2 ; … ; An thật ra là n lựa chọn
trong một công đoạn khác khi thực hiện công việc. Số cách thực hiện công việc khi đó là: m.n
Tăng số các công đoạn lên, ta có quy tắc nhân:
n

. S |B1  B2  B3  ...  Bn | m1  m2  m3  ...  mn   mk .
k 1

+ Ở một mặt khác, khi các tập A1 ; A2 ; … ; An không đôi một phân biệt thì ta phải sử dụng đến công thức cộng
tổng quát để loại đi các phần tử đã bị đếm trùng khi chỉ sử dụng công thức cộng:
n

| A1  A2  ...  An | | Ai | 
1



1ik n

| Ai  Ak | 



1i jk n

| A i  A j  A k | ...  ( 1)n1 | A1  A2  ...  A n |

+ Với quy tắc nhân, ta chứng minh được công thức của hoán vị:
P  n1 ; n2 ;...; nk  

 n1  n2  ...nk !
n1 ! n2 !...nk !

.
+ Tuy nhiên, khi đếm những hoán vị có các phần tử giống hệt nhau, ta phải dùng hoán vị có lặp để loại đi
những phần bị đếm trùng.
Pn  n!
.
Có thể thấy hoán vị có lặp gần giống với một “công thức
nhân tổng quát”.

+ Khi nhìn nhận việc hoán vị có lặp của một tập hợp n phần tử, phân chia các phần tử ra làm hai loại: k phần tử
được chọn và (n-k) phần tử không được chọn. Ta có được công thức tính số cách chọn ra k phần tử từ tập hợp
chứa n phần tử, chính là công thức tổ hợp:
. Cnk 

n!
.
k !(n  k )!

+ Sắp xếp k phần tử vừa chọn được theo một thứ tự nhất định, ta được công thức tính số chỉnh hợp chập k của
n phần tử:
Akn  Cnk .k ! 

n !k!
n!

k !(n  k )! (n  k )!

+ Khi xét đến hoán vị trong một vòng tròn, ta phải dùng một phần tử để làm mốc, chỉ có thể hoán vị các vị trí còn
lại. Do đó ta có công thức tính số hoán vị vòng quanh:

LOVEBOOK.VN | 21