Hình giải tích không gian trong đề thi đại học

om
oc
.c

gb
oc
u

Hình giải tích không gian
trong đề thi Tuyển sinh Đại học
Châu Ngọc Hùng
THPT Ninh Hải

kh

on

27 - 06 - 2014

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

1 / 16


Đề thi Tuyển sinh Đại học 2009 - 2013
Đề thi Tuyển sinh Đại học khối A
Đề thi Tuyển sinh Đại học khối B

Đề thi Tuyển sinh Đại học khối D

2

Đề toán ôn tập Tuyển sinh Đại học 2013
Đề toán ôn tập 1
Đề toán ôn tập 2
Đề toán ôn tập 3
Đề toán ôn tập 4
Đề toán ôn tập 5
Đề toán ôn tập 6
Đề toán ôn tập 7
Đề toán ôn tập 8

kh

on

gb
oc
u

oc
.c

1

om

Nội dung

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

2 / 16


om

Đề thi Tuyển sinh Đại học khối A

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − 2y − z − 4 = 0
và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x − 4y − 6z − 11 = 0. Chứng minh rằng
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tọa độ
tâm và tính bán kính đường tròn đó.
2009

gb
oc
u

x −1
y
z +2

= =
2
1
−1
và mặt phẳng (P) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ √
với (P), M
là điểm thuộc ∆ Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6. 2010
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :

kh

on

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; −2; 3) và mặt
phẳng (P) : 2x − y − z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho
MA = MB = 3.
2011

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

3 / 16


om

y

z −2
x +1
= =
1
2
1
và điểm I (0; 0; 3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai
điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I .
2012

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

gb
oc
u

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 7; 3) và đường thẳng
x −6
y +1
z +2
∆:
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A
−3
−2
1

√
và vuông góc với ∆. Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho AM = 2 30.
2013

kh

on

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 3y + z − 11 = 0
và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 2z − 8 = 0. Chứng minh (P)
tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S)
2013

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

4 / 16


om

Đề thi Tuyển sinh Đại học khối B

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3),

C (2; −1; 1), D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao
cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)
2009

gb
oc
u

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0),
C (0; 0; c), trong đó b, c dương và mặt phẳng (P) : y − z + 1 = 0. Xác
định b và c, biết mặt phẳng (ABC ) vuông góc mặt phẳng (P) và khoảng
1
2010
cách từ điểm O đến nặt phẳng (ABC ) bằng .
3

kh

on

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y + z − 3 = 0 và
x −2
y +1
z
đường thẳng ∆ :
=
=
. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P).
1
−2

−1
√
Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MI vuông góc ∆ và MI = 4 14.
2011
Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

5 / 16


om

x −1
y
z
= =
và
2
1
−2
hai điểm A(2; 1; 0), B(−2; 3; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và
có tâm thuộc đường thẳng d .
2012

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :

gb
oc
u

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) và mặt phẳng
(P) : 2x + 3y − z − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và
vuông góc với (P). Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua (P).
2013

kh

on

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3) và
x +1
y −2
z −3
đường thẳng ∆ :
=
=
. Viết phương trình đường thẳng
−2
1
3
đi qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆
2013

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

6 / 16


om

Đề thi Tuyển sinh Đại học khối D

gb
oc
u

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2),
C (1; 1; 0) và mặt phẳng (P) : x + y + z − 20 = 0. Xác định tọa độ điểm D
thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng
(P).
2009
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + y + z − 3 = 0
và (Q) : x − y + z − 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc
với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O đến (R) bầng 2.
2010

kh

on

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng
x +1
y
z −3
d:
= =
. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A,
2
1
−2
vuông góc đường thẳng d và cắt trục Ox.
2011

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

7 / 16


om

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y − 2z + 10 = 0
và điểm I (2; 1; 3). Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một
đường tròn có bán kính bằng 4.
2012

gb
oc
u

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; −1; −2), B(0; 1; 1) và
mặt phẳng (P) : x + y + z − 1 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của
A trên (P). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B và vuông góc với
(P).
2013

kh

on

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 3; −2) và mặt phẳng
(P) : x − 2y − 2z + 5 = 0. Tính khoảng cách tù A đến (P). Viết phương
trình mặt phẳng đi qua A và song song với (P).
2013

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

8 / 16


om

Đề toán ôn tập 1

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(−1; 0; 1), B(−1; 3; 2),
C (1; 3; 1). Tìm điểm D thuộc giao tuyến hai mặt phẳng
(P) : x + y + z = 0 và (Q) : y − z − 1 = 0 sao cho thể tích khối tứ diện
ABCD bằng 3.

on

gb
oc
u

D ∈ (P) ∩ (Q) nên tọa độ D thỏa
x +y +z =0
x = −2y + 1
⇐⇒
=⇒ D(−2d + 1; d ; d − 1)
y −z −1=0
z =y −1
1 −→ −→ −→
VABCD = 3 ⇐⇒

AB, AC .AD = 3 (∗)
6
−→
−→
−→ −→
AB = (0; 3; 1), AC = (2; 3; 0) =⇒ AB, AC = (−3; 2; −6)
−→
−→ −→ −→
AD = (−2d + 2; d ; d − 2) nên AB, AC .AD = 6d − 6 + 2d − 6d + 12

kh

Do đó (∗) ⇐⇒ |d + 3| = 9 ⇐⇒ d = 6 hay d = −12
Vậy có hai điểm là D(−11; 6; 5), D(25; −12; −13)
Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học

27 - 06 - 2014

9 / 16


om

Đề toán ôn tập 2

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 2y − z − 5 = 0
và hai điểm A(3; −1; −3), B(5; 1; 1). Tìm điểm C thuộc (P) sao cho
√ mặt
phẳng (ABC ) vuông góc với (P) và diện tích tam giác ABC bằng 3.

gb
oc
u

AB ⊂ (Q) và (Q) ⊥ (P), vecto pháp tuyến của (P) là −
n→
P = (1; −2; −1)
−→ −
→
nên AB, nP = (1; 1; −1) là vecto pháp tuyến của (Q).

kh

on

Do đó (Q) : x + y − z − 5 = 0. C ∈ (P) ∩ (Q) nên tọa độ C thỏa
x − 2y − z − 5 = 0
y =0
⇐⇒
=⇒ C (c; 0; c − 5)
x +y −z −5=0
z =x −5
√
√
1 −→ −→

SABC = 3 ⇐⇒
AB, AC = 3 (∗)
−→
−→ 2
AB = (2; 2; 4), AC = (c − 3; 1; c − 2)
−→ −→
=⇒ AB, AC = (2c − 8; 2c − 8; −2c + 8). Do đó
√
(∗) ⇐⇒
3(2c − 8)2 = 2 3 ⇐⇒ |c − 4| = 1 ⇐⇒ c = 5 hay c = 3
Vậy có hai điểm là C (5; 0; 0), C (3; 0; −2)
Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học 27 - 06 - 2014

10 / 16


om

Đề toán ôn tập 3

gb
oc
u

oc
.c

x

y
z +1
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : = =
1
2
1
y −1
z +1
x −2
=
=
. Tìm tọa độ điểm M ∈ d1 , điểm N thuộc
và d2 :
1
2
−2
trục Ox √
sao cho đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng d2 và
MN = 2 5.

kh

on

M ∈ d1 =⇒ M(m; 2m; −1 + m), N ∈ Ox =⇒ N(n; 0; 0) nên
−−→
−
MN = (n − m; −2m; 1 − m). d2 có vecto chỉ phương →
v2 = (1; 2; −2).
MN ⊥ d2

n − 3m − 2 = 0
√
⇐⇒
MN = 2 5
(n − m)2 + (−2m)2 + (1 − m)2 = 20

m = − 5
n = 3m + 2
m=1
⇐⇒
⇐⇒
hay
3
n = −3
9m2 + 6m − 15 = 0
n=5
8
Vậy M(1; 2; 0), N(5; 0; 0) hay M − 53 ; − 10
3 ; − 3 , N(−3; 0; 0)
Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học 27 - 06 - 2014

11 / 16


om

Đề toán ôn tập 4

gb
oc
u

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − y + 2z − 1 = 0
y −1
z −2
x −1
=
=
. Gọi A là giao điểm của d và
và đường thẳng d :
1
2
−1
(P). Tìm tọa độ điểm M ∈ d sao cho mặt cầu tâm M, bán
kính MA cắt
√
mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 2 2 .

kh

on

A = d ∩ (P) =⇒ A(2; 3; 1). M ∈ d =⇒ M(1 + m; 1 + 2m; 2 − m).
Gọi N là hình chiếu vuông góc của M lên (P), ta được N là tâm đường
√

tròn khi cắt mặt cầu tâm M bán kính MA bởi (P), suy ra NA = 3 2 2 .
|1 + m − 1 − 2m + 4 − 2m − 1|
3|1 − m|
√
√
MN = d (M, (P)) =
=
1+1+4
6
9
9
2
2
2
2
2
Mà MA = MN + NA ⇐⇒ 6(m − 1) = (1 − m) +
6
2
⇐⇒ (m − 1)2 = 1 ⇐⇒ m = 0 hay m = 2
Vậy M(1; 1; 2) hay M(3; 5; 0)
Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học 27 - 06 - 2014

12 / 16


om

Đề toán ôn tập 5

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 0; 4), B(2; 0; 7). Tìm
điểm C thuộc mặt phẳng (P) : x + y − z + 3 = 0 sao cho tam giác ABC
cân và có ACB = 120o

Trong

gb
oc
u

ACB = 120o nên ABC cân tại C . C ∈ (P) =⇒ C (m; n − m − 3; n).
Gọi I là trung điểm AB ta có
−
→
−→
I 12 ; 0; 11
=⇒ IC = m − 21 ; n − m − 3; n − 11
2
2 , AB = (3; 0; 3)
ABC có C = 120o =⇒ A = 30o =⇒ IC = 12 AB tan 30o =
2

3
2.

2

kh

on

Do đó m − 12 + (n − m − 3)2 + n − 11
= 32 (1)
2
1
11
CI ⊥ AB ⇐⇒ 3 m − 2 + 3 n − 2 = 0 ⇐⇒ m + n − 6 = 0 (2).
Giải (1), (2) ta được m = 1, n = 5 hay m = 43 , n = 14
3
Vậy C (1; 1; 5) hay C 43 ; 13 ; 14
3

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học 27 - 06 - 2014

13 / 16


om

Đề toán ôn tập 6

x −3
y −2

z −1
=
=
2
1
−2
và mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 4z − 19 = 0. Tìm tọa độ điểm
M ∈ d sao cho mặt phẳng qua M vuông góc với d cắt mặt cầu (S) theo
một đường tròn có chu vi 8π.

gb
oc
u

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đ.thẳng d :

kh

on

Mặt cầu (S) có tâm I (1; −1; 2), bán kính R = 5. Đường thẳng d có vecto
−
chỉ phương →
v = (2; 1; −2). M ∈ d =⇒ M(3 + 2m; 2 + m; 1 − 2m).
Gọi (P) là mặt phẳng qua M vuông góc với d , phương trình (P) là
2(x −3−2m)+(y −2−m)−2(z −1+2m) = 0 ⇐⇒ 2x +y −2z −9m−6 = 0.
(P) cắt (S) theo đường tròn có chu vi 8π nên bán kính nó là r = 4

√
|2 − 1 − 4 − 9m − 6| √
√
Ta có d (I , (P)) = R 2 − r 2 ⇐⇒
= 25 − 16
4+1+4
⇐⇒ |m + 1| = 1 ⇐⇒ m = 0 hay m = −2
Vậy M(3; 2; 1) hay M(−1; 0; 5)
Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học 27 - 06 - 2014

14 / 16


om

Đề toán ôn tập 7

gb
oc
u

oc
.c

y −1
z −1
x
=

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đ.thẳng d1 : =
2
1
1
x −1
y −1
z −2
và d2 :
=
=
và điểm A(1; −1; 2). Tìm tọa độ điểm
1
−1
1
B ∈ d1 , C ∈ d2 sao cho đường thẳng BC nằm trên mặt phẳng qua A và d1
đồng thời đường thẳng BC vuông góc với d2 .
−
Ta có d1 đi qua D(0; 1; 1), có vecto chỉ phương →
u = (2; 1; 1).
−→
−
→
→
−
AD = (−1; 2; −1) =⇒ u , AD = (−3; 1; 5) là vecto pháp tuyến của

kh

on

mặt phẳng (P) qua A và d1 Nên (P) : −3x + y + 5z − 6 = 0.
d2 cắt (P) tại C =⇒ C (−1; 3; 0). B ∈ d1 =⇒ B(2b; 1 + b; 1 + b).
−→
−
d2 có vecto chỉ phương →
v = (1; −1; 1). BC = (−1 − 2b; 2 − b; −1 − b).
−→
−
BC ⊥ d2 ⇐⇒ →
v .BC = 0 ⇐⇒ −1−2b −2+b −1−b = 0 ⇐⇒ b = −2
Vậy B(−4; −1; −1) và C (−1; 3; 0)

Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học 27 - 06 - 2014

15 / 16


om

Đề toán ôn tập 8

d và khoảng cách từ A đến d bằng

oc
.c

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; −1; 0), đường thẳng
y +1

z −1
x −2
=
=
và mặt phẳng (P) : x + y + z − 2 = 0. Tìm
d:
2
−1
1
tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng (P) biết đường thẳng AM vuông góc với
33
2 .

on

gb
oc
u

−
d có vecto chỉ phương →
u = (2; −1; 1). Gọi (Q) là mặt phẳng qua M
→
−
vuông góc với d nên u cũng là vecto pháp tuyến của (Q) do đó
−
(Q) : 2x − y + z − 3 = 0. (P) có vecto pháp tuyến →
n = (1; 1; 1) nên
→
−

→
−
n , u = (2; 1; −3) là vecto chỉ phương của giao tuyến ∆ của (P), (Q).
x −1
y
z −1
Do N(1; 0; 1) ∈ (P) và N(1; 0; 1) ∈ (Q) nên ∆ :
= =
2
1
−3
A ∈ ∆ =⇒ A(1 + 2a; a; 1 − 3a).
Gọi H là giao điểm của d và (Q) suy ra H 1; − 12 ; 21 .

kh

d (A, d ) = AH =

33
2

⇐⇒ 14a2 − 2a − 16 = 0 ⇐⇒ a = −1 hay a =

Vậy A(−1; −1; 4) hay A
Châu Ngọc Hùng (THPT Ninh Hải)

8
7

23 8

17
7 ; 7; − 7
Hình giải tích không gian trong đề thi Tuyển sinh Đại học 27 - 06 - 2014

16 / 16