Một số vấn đề về dòng chảy lớp biên dạng falkner –skan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRẦN THỊ HUYỀN GIANG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÒNG CHẢY LỚP BIÊN
DẠNG FALKNER – SKAN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------------------

TRẦN THỊ HUYỀN GIANG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ DÒNG CHẢY LỚP BIÊN
DẠNG FALKNER – SKAN
Chuyên ngành: Cơ học chất lỏng
Mã số:

60440108

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. Trần Văn Trản

Hà Nội – Năm 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS – TS Trần Văn Trản, người thầy
đã tận tình hướng dẫn, vạch ra cho em hướng đi, đưa ra những nhận xét và sửa
chữa, bổ sung cho em được rất nhiều kiến thức quý báu để em từng bước hoàn
thành luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong khoa Toán – Cơ –
Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị cho
em kiến thức giúp em hoàn thành luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên, tạo điều
kiện tốt nhất cho em trong suốt thời gian thực hiện luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 22 tháng 07 năm 2015
Học viên
Trần Thị Huyền Giang


MỤC LỤC
Mở đầu ………………………………………………………………………….3
Chương 1. Dòng chảy lớp biên ………………………………………………..5
1.1 Ngắn gọn về dòng chảy lớp biên ……………………………………………5
1.2 Nghiệm đồng dạng của hệ phương trình lớp biên ………………………….14
1.3 Thu nhận bài toán mô tả dòng chảy Falkner – Skan………………………..16
Chương 2. Một số tính chất chung của nghiệm bài toán về dòng chảy
Falkner – Skan ………………………………………………………………...21
2.1 Về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán …………………………… 21

2.2 Về ổn định tuyến tính của nghiệm …………………………………………22
2.3 Nghiệm phân nhánh của bài toán …………………………………………..26
Chương 3. Giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan………….. 28
3.1 Phương pháp giải với một biên chưa xác định bằng cách đưa về bài toán hai
biên xác định …………………………………………………………………...28
3.2 Phương pháp sai phân hữu hạn giải hệ phương trình Prandtl . …………….32
Kết luận………………………………………………………………………...39
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………….40
Phụ lục………………………………………………………………………….41

2


MỞ ĐẦU
Vật thể có cấu trúc hình nón hoặc tròn xoay thường gặp trong các thiết bị
bay như máy bay, tên lửa do có ưu điểm về khí động lực học ở tốc độ trên âm.
Vì vậy những ứng dụng quan trọng nhất của lý thuyết lớp biên cho các vật thể
như vậy là trong lĩnh vực chế tạo vũ khí đạn dược.
Lý thuyết lớp biên trong cơ học chất lỏng có một vị trí đặc biệt cả trong
nghiên cứu lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn. Một trong những kết quả nổi bật
nhất của lý thuyết lớp biên là sự tồn tại của nghiệm đồng dạng trong nhiều
trường hợp mà trường hợp vật thể hình nón là một điển hình. Đối với nghiệm
đồng dạng hệ phương trình lớp biên cho trường hợp hai chiều dẫn đến một
phương trình vi phân thường. Từ đó có thể nghiên cứu các tính chất chung của
nghiệm hoặc tính toán nó một cách khá dễ dàng.
Dòng chảy lớp biên trên bề mặt hình nón với tên dòng chảy Falkner –
Skan được nghiên cứu từ khá lâu. Do những ứng dụng quan trọng của các nghiên
cứu về dòng chảy này trong lĩnh vực quân sự nên nó được quan tâm rất nhiều từ
những năm sau chiến tranh thế giới thứ hai. Hiện những nghiên cứu sâu về bài
toán dòng chảy Falkner – Skan với những yếu tố mới như nhiệt độ dòng khí cao,

tốc độ bay siêu âm, … vẫn đang nhận được sự chú ý đặc biệt của các chuyên gia.
Luận văn tập trung vào nội dung mô tả bài toán trên từ khía cạnh cơ học,
toán học và ứng dụng hai phương pháp tính khác nhau hoàn toàn về bản chất để
thu nhận lời giải của nó trong trường hợp cổ điển, nghĩa là chưa tính đến yếu tố
nhiệt.

3


Luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Dòng chảy Falkner – Skan. Trong chương này trình bày nội
dung về lý thuyết lớp biên, nghiệm đồng dạng và cách thu nhận bài toán.
Chương 2: Một số tính chất chung của nghiệm bài toán về dòng chảy
Falkner – Skan. Đưa ra một số tính chất chung của nghiệm bài toán dòng chảy
lớp biên: sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán, sự ổn định tuyến tính của
nghiệm và nghiệm phân nhánh của bài toán.
Chương 3: Giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan. Thực hiện
giải số bài toán dòng chảy lớp biên Falkner – Skan bằng hai phương pháp tính
khác nhau hoàn toàn về bản chất, nêu các kết quả nhận được và so sánh với
nhau.

4


Chương 1. DÒNG CHẢY FALKNER – SKAN
1.1 Ngắn gọn về lý thuyết lớp biên
Chúng ta quan tâm, khảo sát dòng chảy với độ nhớt nhỏ hoặc số Reynolds
lớn. Một sự đóng góp quan trọng cho nghiên cứu chuyển động của chất lỏng
được đưa ra bởi L.Prand vào năm 1904 trong đó ông giải thích ảnh hưởng cơ bản
của độ nhớt trong dòng chảy với số Reynolds lớn và chỉ ra cách đơn giản phương

trình Navier – Stokes để xấp xỉ nghiệm cho trường hợp này.

Hình 1. Dòng chảy lớp biên dọc theo bức tường.
Để đơn giản được phương trình, chúng ta sẽ coi dòng chảy hai chiều của
một chất lỏng với độ nhớt nhỏ bao quanh vật trụ với hai biên mỏng giống như
hình 1.

5


Với sự bỏ qua của vùng lân cận trực tiếp của bề mặt vật rắn, vận tốc là bậc
của vận tốc dòng tự do, v , kiểu của đường dòng và phân bố vận tốc chỉ sai lệch
nhỏ khi dòng chảy không có ma sát.
Tuy nhiên, những nghiên cứu chi tiết chỉ ra rằng, không giống như dòng
chảy có thế, dòng chảy không chỉ trượt qua tường mà bám vào nó. Sự chuyển từ
vận tốc 0 tại mặt tường tới khi đạt giá trị đủ lớn tại một khoảng cách nào đó tính
từ bề mặt vật rắn tạo nên một lớp khá mỏng và được gọi là lớp biên.
Với dòng chảy này có hai vùng cần xem xét, thậm chí sự phân chia ranh
giới giữa chúng là không thật rõ ràng.
1. Lớp rất mỏng trong vùng lân cận trực tiếp của vật thể mà ở đó gradient
vận tốc theo chiều vuông góc với bức tường,

u
là rất lớn. Trong miền
y

này độ nhớt rất nhỏ  của dòng chảy ảnh hưởng cơ bản vào việc tạo
nên ứng suất trượt   

u

.
y

2. Trong miền còn lại gradient vận tốc không lớn xuất hiện và ảnh hưởng
của vận tốc là không quan trọng. Trong miền này dòng chảy là không
ma sát và có thế.
Tổng quan có thể nói rằng độ dày lớp biên biến thiên cùng vận tốc, hoặc
chính xác hơn, nó giảm khi số Reynolds tăng. Có thể thấy được từ một vài
nghiệm chính xác của phương trình Navier – Stokes rằng độ dày của lớp biên là
tỷ lệ với căn bậc hai của độ nhớt động học 

.

Khi đơn giản hóa phương trình Navier – Stokes, ta giả sử độ dày lớp biên
là nhỏ so với chiều dài đặc trưng, L của vật thể:   L . Trong miền này nghiệm
6


thu được từ phương trình lớp biên là gần đúng và áp dụng cho số Reynolds đủ
lớn.
Bây giờ, chúng ta sẽ nghiên cứu cách đơn giản phương trình Navier –
Stokes, và để hoàn thành chúng, chúng ta sẽ ước lượng độ lớn của mỗi đại
lượng. Trong bài toán hai chiều chỉ ra trong hình 1, ta giả thiết bức tường là
phẳng và trùng với trục x, trục y sẽ vuông góc với nó. Ta viết lại phương trình
Navier – Stokes ở dạng không thứ nguyên bằng cách lấy vận tốc dòng tự do V,
độ dài nào đó của vật L làm các đại lượng đặc trưng. Khi đó thời gian đặc trưng
sẽ là đại lượng

L
và áp suất cũng trở thành không thứ nguyên khi chia cho

V

 V 2 . Khi đó đại lượng R 

VL





VL



sẽ là số Reynolds.

Phương trình liên tục và phương trình Navier – Stokes cho dòng chảy
phẳng có dạng sau:

u v

0
x y

(1.1)

u
u
u
p 1   2u  2u 

u v    2  2 
t
x
y
x R  x
y 

(1.2)

v
v
v
p 1   2 v  2 v 
u v    2  2 
t
x
y
y R  x
y 

(1.3)

Điều kiện biên là không có sự trượt giữa chất lỏng và bức tường: u  v  0
với y  0 và u  U khi y   .

7


Với giả thiết độ dày lớp biên là không thứ nguyên


, là rất nhỏ so với 1
L

(   1), ta sẽ giữ lại các đại lượng có cùng bậc với  .
Chúng ta sẽ ước lượng độ lớn của mỗi đại lượng để có thể bỏ qua những
đại lượng nhỏ và đơn giản phương trình. Vì
trình liên tục thì

u
là bậc một nên theo phương
x

v
cũng là bậc một, do đó tại mặt tường v  0 và trong lớp biên
y

v là bậc của  . Vì

v
 2u
 2u
và 2 là cùng bậc  , nên 2 là bậc một.
x
x
x

Chúng ta sẽ giả thiết rằng gia tốc

u

u
là cùng bậc với đại lượng u ,
x
t

nghĩa là gia tốc tức thời xuất hiện trong sóng áp suất lớn bị loại trừ. Để phù hợp
với những đối số trước, một số đại lượng nhớt phải cùng bậc độ lớn với các đại
lượng quán tính, ít nhất là trong vùng lân cận trực tiếp với mặt tường mặc dù nó
nhỏ so với đại lượng

1
. Vì thế đạo hàm cấp hai của vận tốc phải lớn khi gần
R

mặt tường. Để phù hợp với những giả thiết trước ở đây ta chỉ áp dụng đối với
 2u
2v
và
. Vì thế vectơ vận tốc song song với bức tường tăng từ 0 tại mặt
y 2
y 2

tường và có giá trị 1 trong dòng tự do qua lớp có độ dày  . Ta có
 2u
y 2

v
. Khi đó
2


y

1




2v
1 và
y 2

1



u
y

1



và

. Nếu những giá trị này được đưa vào

phương trình (1.2), (1.3), thì từ phương trình thứ nhất của chuyển động suy ra

8

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Trần Văn Cúc (2004), Cơ học chất lỏng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
2. Trần Văn Trản (2007), Phương pháp số thực hành, tập 1, 2, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội.
Tiếng Anh
3. B. Oskam and A. E. P. Veldman, (1982), “Branching of the Falkner –
Skan solutions for   0 ”, National Aerospace Laboratory NLR, P.O Box
90502, Amsterdam, The Netherlands.
4. Colin Sparrow, (1996), “Bifurcation in the Falkner – Skan equation”,
Basic Research Institute in the Mathematical Sciences, HP Laboratories
Bristol, HPL-BRIMS-96-09.
5. Dr. Hermann Schlichting, (1979), Boundary-Layer Theory, Mc Graw –
Hill Book Company.
6. R. S. Heeg, D. Dijkstra and P. J. Zandbergen, (1999), “The stability of
Falkner – Skan flows with several inflection points”, Zeitschrift fur
angewandte Mathematik und Physik ZAMP.

40