Các hàm điều hoà, dưới điều hoà và trên điều hoà

1


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO THI HƯƠNG

CÁC HÀM ĐIỀU HÒA, DƯỚI ĐIỀU HÒA
VÀ TRÊN ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐÀO THI HƯƠNG

CÁC HÀM ĐIỀU HÒA, DƯỚI ĐIỀU HÒA
VÀ TRÊN ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn

HÀ NỘI, 2016


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, người
thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đào Thị Hương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến
Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:"Các hàm điều
hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa" được hoàn thành bởi sự nhận
thức và tìm hiểu của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đào Thị Hương

i

Mục lục

Mở đầu

1

1 Các tính chất của hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều
hòa

4

1.1

Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Các nguyên lý cực đại yếu và mạnh . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Bài toán Dirichlet. Tính duy nhất của nghiệm . . . . . . . . 10

1.4

Biểu diễn Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5

Nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình cầu . . . . . . . . 16

1.6

Bất đẳng thức Harnack đối với hàm điều hòa . . . . . . . . 19

1.7

Các đánh giá bên trong miền đối với hàm điều hòa . . . . . 20

1.8

Mở rộng lớp hàm dưới điều hòa và trên điều hòa . . . . . . 21

2 Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với hàm điều hòa 23
2.1

Các hàm dưới đối với một hàm xác định trên biên. Phương
pháp Perron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Hàm rào cản tại một điểm trên biên . . . . . . . . . . . . . 24

2.3

Điểm biên chính quy. Điều kiện cần và đủ cho tính giải được
của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4

Điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán Dirichlet. Điều
kiện hình cầu ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5

Điều kiện cần và đủ để một điểm trên biên là chính quy . . 28


Kết luận

29

Tài liệu tham khảo

30

ii


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết hàm điều hòa là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết
phương trình đạo hàm riêng. Song, các giáo trình hoặc sách chuyên khảo
về phương trình đạo hàm riêng thường chỉ tập trung vào nghiên cứu các
hàm điều hòa mà không hề xét tới các hàm số liên quan mật thiết với
chúng như hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa. Việc mở rộng đối
tượng nghiên cứu là rất quan trọng, bởi vì hàm điều hòa sẽ có tất cả các
tính chất của hai loại hàm này.
Luận văn trình bày các Nguyên lý cực đại mạnh và Nguyên lý cực đại
yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa.
Từ các nguyên lý này dễ dàng suy ra được tính duy nhất nghiệm của bài
toán Dirichlet đối với hàm điều hòa, đồng thời cho phép chứng minh các
đánh giá độ lớn đối với hàm điều hòa và các đạo hàm của nó.
Luận văn cũng trình bày áp dụng các hàm dưới điều hòa vào việc nghiên
cứu tính giải được của bài toán Drrichlet đối với hàm điều hòa trong một
miền giới nội. Cụ thể, luận văn sẽ đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các
điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải
được.


2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nhằm mục đích trình bày một cách hệ thống các tính chất
định tính như Nguyên lý cực đại mạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với
các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa, đồng thời
trình bày việc áp dụng các hàm điều hòa dưới nhằm đưa ra điều kiện cần
và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm
điều hòa là giải được.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ chính của nghiên cứu là trình bày một cách hệ thống các tính
chất định tính như Nguyên lý cực đại mạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối

với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa, đồng thời
đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài toán
Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là Nguyên lý cực đại mạnh và Nguyên
lý cực đại yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên
điều hòa, đồng thời đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các điểm trên biên
của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn dùng các công cụ của Giải tích toán học đối với hàm của một
hoặc nhiều biến số và của Giải tích hàm tuyến tính.

2


6. Dự kiến đóng góp mới
Luận văn là một tài liệu tham khảo và bổ sung của lý thuyết định tính
đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa như
các Nguyên lý cực đại mạnh và yếu, các điều kiện cần và đủ đối với các
điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải
được.

3


4

Chương 1

Các tính chất của hàm điều hòa,
dưới điều hòa và trên điều hòa
Cho Ω là một miền trong Rn và u là một hàm trong C 2 (Ω). Laplacian
của u, kí hiệu là ∆u được định nghĩa bởi:
n

∆u=
j=1

∂ 2u
.
∂x2j

(1.1)

Hàm u được gọi là hàm điều hòa (dưới điều hòa, trên điều hòa) trong Ω
nếu nó thỏa mãn:

∆u(x) = 0 (∆u(x) ≥ 0, ∆u(x) ≤ 0), ∀x ∈ Ω

(1.2)

Nhận xét 1.1
1. Hàm u(x) là hàm dưới điều hòa khi và chi khi −u(x) là hàm trên điều
hòa.
2. Hàm u(x) là hàm điều hòa khi và chỉ khi u(x) vừa là hàm dưới điều hòa
vừa là hàm trên điều hòa
Ví dụ 1.1. Trong R2 với x, y ∈ R ta có
a. Hàm u = x2 − y 2 là một hàm điều hòa vì:

∂ 2u
∂u
∂ 2u
∂u
= 2x;
= 2 và
= −2y;
= −2
∂x
∂x2
∂y
∂y 2
Suy ra ∆u = 2 − 2 = 0


b. Hàm u = x2 + 2y 2 là một hàm dưới điều hòa vì:

∂u
∂ 2u
∂u
∂ 2u
= 2x;
= 2 và
= 4y;
=4
∂x
∂x2
∂y
∂y 2
Suy ra ∆u = 2 + 4 = 6 ≥ 0

c. Hàm u = x2 − 8y 2 là một hàm trên điều hòa vì:

∂u
∂ 2u
∂u
∂ 2u
= 2x;
= 2; và
= −16y;
= −16
∂x
∂x2
∂y
∂y 2
Suy ra ∆u = 2 − 16 = −14 ≤ 0
Trong chương này chúng ta phát triển một số tính chất cơ bản của hàm
điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa, mà chúng ta sử dụng để nghiên
cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cổ điển cho phương trình Laplace

∆u = 0. Phương trình Laplace và dạng không thuần nhất của nó, phương
trình Poisson, là mô hình cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính.
Điểm xuất phát của chúng ta là Định lý phân kỳ nổi tiếng trong Rn .
Cho Ω là một miền với C 1 biên ∂Ω và cho ν = (ν1 , ν2 , ..., νn ) là một vectơ
pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài ∂Ω. w = (w1 , w2 , ..., wn ) là trường vectơ
bất kỳ trong C 1 Ω , chúng ta có:

div w dx =
Ω

w.ν dS,

(1.3)

∂Ω

n

n
∂wj
, w.ν =
wj .νj , dS là phần tử diện tích
∂x
j
j=1
j=1
trên mặt cong (n − 1) chiều trong ∂Ω. Đặc biệt nếu u là một hàm trong

trong đó:

div w =

C 2 (Ω) chúng ta có, nếu lấy w = Du trong (1.3),
∆u dx =
Ω

trong đó Du =

∂u
dS,
∂ν

Du. ν dS =
∂Ω

∂u ∂u
∂u
,
, ...,
∂x1 ∂x2
∂xn

∂Ω

.
5

(1.4)


Ví dụ 1.2. Giả sử Ω = BR (0) ⊂ Rn

BR (0) = {x ∈ Rn : |x| < R}
∂Ω = SR (0) = {x ∈ Rn : |x| = R}
Lấy x ∈ ∂Ω. Khi đó:

νx =

1
1
x = (x1 , x2 , ..., xn )

R
R

Ta có:

n

1
div w(x) dx =
R
BR (0)

xj .wj (x) dS
SR (0)

j=1

và

n

1
∆u(x) dx =
R
SR (0)

BR (0)

1.1

xj .
j=1

∂u
dS.
∂xj

Các định lý về giá trị trung bình

Định lý đầu tiên là hệ quả của công thức (1.4) chứa tính chất nổi tiếng
của hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa.
Định lý 1.1. ([1]) Cho u ∈ C 2 (Ω) thỏa mãn ∆u = 0 (≥ 0, ≤ 0) trong Ω.
Khi đó với bất kỳ hình cầu B = BR (y) ⊂⊂ Ω, chúng ta có

u(y) = (≤, ≥)

1
nωn Rn−1

u dS,

(1.5)

∂B

u(y) = (≤, ≥)

1
ωn R n

u dx
B

trong đó ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn .
Nhận xét 1.2

4
ω1 = 2, ω2 = π, ω3 = π
3
6

(1.6)


Với hàm điều hòa, Định lý 1.1 khẳng định rằng giá trị của hàm tại tâm
của mọi hình cầu B luôn bằng giá trị trung bình trên cả mặt cầu ∂B và
hình cầu B . Kết quả này gọi là Định lý giá trị trung bình, thực ra đó là
tính chất đặc trưng của hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa.
Chứng minh. Lấy ρ ∈ (0; R) và áp dụng công thức (1.4) với hình cầu

Bρ = Bρ (y). Chúng ta nhận được
∂u
dS =
∂ν

∆u dx = (≥, ≤) 0.
Bρ

∂Bρ

Ta đưa vào hệ tọa độ cầu r = |x − y| , ω =

x−y
và viết u(x) = u(y +rω),
r

chúng ta có

∂u
dS =
∂ν
∂Bρ

∂u
(y + ρω) dω
∂r
|ω|=1


∂
u (y + ρω) dω = ρn−1 ρ1−n udS 
∂ρ

∂u
(y + ρω) dS =ρn−1
∂r
∂Bρ

= ρn−1

∂
∂ρ
|ω|=1

∂B

= (≥, ≤) 0.
Do đó với bất kỳ ρ ∈ (0; R) ta có,

ρ1−n

udS = (≤, ≥) R1−n

∂Bρ

udS

∂BR

Mặt khác

lim ρ1−n

ρ→0

udS = nωn u (y)

∂Bρ

từ đó suy ra hệ thức (1.5). Chúng ta viết (1.5) ở dạng

nωn ρ1−n u (y) = (≤, ≥)
∂Bρ

7

udS, ρ ≤ R


và lấy tích phân hai vế theo ρ với ρ đi từ 0 đến R ta có hệ thức (1.6) được
chứng minh.

1.2

Các nguyên lý cực đại yếu và mạnh

Từ Định lý 1.1 nguyên lý cực đại mạnh cho hàm dưới điều hòa, hàm
trên điều hòa và nguyên lý cực đại yếu cho hàm điều hòa có thể suy ra.
Định lý 1.2. ([1]) (Nguyên lý cực đại mạnh)
Giả sử ∆u ≥ 0 (≤ 0) trong Ω và giả sử tồn tại một điểm y ∈ Ω sao cho

u(y) = sup u
Ω

inf u . Khi đó u là hằng số.
Ω

Chứng minh. Giả sử ∆u ≥ 0 trong Ω, M = sup u và ta đặt ΩM =
Ω

{x ∈ Ω |u(x) = M }. Từ giả thiết suy ra ΩM khác rỗng. Hơn nữa do u
là liên tục, ΩM là tập đóng trong Ω. Lấy z là một điểm bất kỳ trong ΩM
và ứng dụng công thức về giá trị trung bình (1.6) với hàm dưới điều hòa

u − M trong một hình cầu B = BR (z) ⊂⊂ Ω. Do đó chúng ta đạt được
0 = u (z) − M ≤

1
ωn R n

(u − M ) dx ≤ 0.
B

Từ đó suy ra u = M trong BR (z). Do đó ΩM cũng là mở tương đối trong

Ω. Vì vậy ΩM = Ω.
Kết quả của hàm trên điều hòa có được bằng cách thay u bởi −u.
Giả sử ∆u ≤ 0 trong Ω và ∃y ∈ Ω sao cho

u(y) = inf u
Ω

Đặt

v = −u
Khi đó

∆v = −∆u ≥ 0,
8

v (y) = −u (y) = − inf u = sup(−u) = sup v.
Ω

Ω

Ω

Theo chứng minh trên ta có v(x) = const, do đó u(x) = const.
Nguyên lý cực đại mạnh ngay lập tức kéo theo nguyên lý cực đại yếu
sau đây.
Định lý 1.3. ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu đối với hàm dưới điều hòa)
Giả sử u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) và ∆u ≥ 0 trong Ω. Khi đó

sup u = sup u.
Ω

(1.7)

∂Ω

Chứng minh. Nếu u(x) = const thì u(x) thỏa mãn (1.7).
Giả sử u(x) không là hằng số. Ta chứng minh nó thỏa mãn (1.7).
Thật vậy, giả sử u(x) không thỏa mãn (1.7), tức là:

sup u > sup u
Ω

∂Ω

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của u(x) trên Ω phải đạt được tại y ∈ Ω.
Khi đó theo Định lý 1.2 thì hàm u(x) phải là hằng số. Điều này trái với
giả thiết, tức là (1.7) phải được thỏa mãn.
Định lý 1.4. ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu đối với hàm trên điều hòa)
Giả sử u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) và ∆u ≤ 0 trong Ω. Khi đó

inf u = inf u.
Ω

(1.8)

∂Ω

Chứng minh. Đặt v(x) = −u(x), ∆u ≤ 0 nên ∆v ≥ 0. Do đó:

sup v = sup v
Ω

∂Ω

mà:

− inf u = sup (−u) = sup (−u) = − inf u
Ω

Ω

∂Ω

nên suy ra điều phải chứng minh.

9

∂Ω


Định lý 1.5. ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu)
Giả sử u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) và ∆u = 0 trong Ω. Khi đó

sup u = sup u
Ω

∂Ω

và

(1.9)

inf u = inf u.
Ω

∂Ω

Do đó, đối với hàm điều hòa u(x) ta luôn có

inf u ≤ u(x) ≤ sup u, x ∈ Ω.
∂Ω

1.3

∂Ω

Bài toán Dirichlet. Tính duy nhất của nghiệm

Bài toán Dirichlet: Tìm hàm u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) sao cho

∆u = f (x) trong Ω

(1.10)

u(x) = ϕ(x), x ∈ ∂Ω

(1.11)

trong đó f (x) là hàm số được cho trước trong Ω và ϕ(x) là hàm số cho
trước trên ∂Ω.
Định lý 1.6. ([1]) Giả u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) và thỏa mãn các điều
kiện sau

∆u(x) ≥ ∆v(x), ∀x ∈ Ω

(1.12)

u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ ∂Ω

(1.13)

u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ Ω

(1.14)

Khi đó

Chứng minh. Đặt

w(x) = u(x) − v(x)
10


Khi đó

∆w(x) = ∆u(x) − ∆v(x) ≥ 0, ∀x ∈ Ω
w(x) = u(x) − v(x) ≤ 0, ∀x ∈ ∂Ω
Do đó

sup w(x) = sup w(x) ≤ 0
Ω

∂Ω

Từ đó suy ra

w(x) ≤ 0, ∀x ∈ Ω
hay

u(x) ≤ v(x), ∀x ∈ Ω

Định lý 1.7. ([1]) Giả u(x), v(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) và thỏa mãn các điều
kiện sau

∆u(x) ≤ ∆v(x), ∀x ∈ Ω

(1.15)

u(x) ≥ v(x), ∀x ∈ ∂Ω

(1.16)

u(x) ≥ v(x), ∀x ∈ Ω

(1.17)

Khi đó

Chứng minh. Đặt

−w(x) = u(x) − v(x)
Theo Định lý 1.6 ta có

sup (−w(x)) = sup (−w(x)) ≤ 0
Ω

∂Ω

mà

− inf w(x) = sup (−w(x)) = sup (−w(x)) = − inf w(x) ≤ 0
Ω

Ω

∂Ω

11

∂Ω


Từ đó suy ra

inf w(x) = inf w(x)
Ω

∂Ω

Một định lý duy nhất cho bài toán Dirichlet cổ điển cho phương trình
Laplace và phương trình Poisson trong miền bị chặn là các Định lý 1.3, 1.4
và 1.5
Định lý 1.8. ([1]) (Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet)
Giả u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) thỏa mãn ∆u = ∆v trong Ω, u = v trên ∂Ω.
Khi đó u = v trong Ω.
Chứng minh. Lấy w = u − v . Khi đó ∆w = 0 trong Ω và w = 0 trên ∂Ω.
Theo Định lý 1.5 ta có w = 0 trên Ω.
Từ các Định lý 1.3 và 1.5, chúng ta có nếu u và v lần lượt là hàm điều
hòa và dưới điều hòa với v ≤ u trên biên ∂Ω thì v ≤ u trong Ω.

1.4

Biểu diễn Green

Trước hết chúng ta suy ra các hệ quả của Định lý phân kỳ, cụ thể đó là

công thức Green. Lấy Ω là miền theo đó Định lý phân kỳ được thỏa mãn,

u và v là các C 2 (Ω) hàm. Chúng ta chọn w = vDu trong công thức (1.3)
và nhận được công thức Green thứ nhất:

v∆udx +
Ω

Du.Dvdx =
Ω

v

∂u
dS.
∂ν

(1.18)

∂Ω

Đổi chỗ v và u trong (1.18) và trừ đi cho nhau, chúng ta thu được công
thức Green thứ hai:

(v∆u − u∆v) dx =
Ω

v
∂Ω

12

∂u
∂v
−u
∂ν
∂ν

dS.

(1.19)


Phương trình Laplace có nghiệm đối xứng xuyên tâm r2−n với n > 2 và

log r với n = 2, r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm cố định. Để
tiến triển xa hơn từ (1.19) chúng ta cố định một điểm y trong Ω và đưa
vào nghiệm cơ bản của phương trình Laplace.

1


|x − y|2−n , n > 2
Γ (x − y) = Γ (|x − y|) = n (2 − n) ωn

 1 log |x − y| ,
n=2
2π

(1.20)

trong đó ωn là thể tích hình cầu đơn vị trong Rn .
Ta có x = (x1 , x2 , ..., xn ) , y = (y1 , y2 , ..., yn ) thì

|x − y| =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + ... + (xn − yn )2

Khi đó các đạo hàm (theo biến x) có biểu thức sau

1
(xi − yi ) |x − y|−n ;
nωn
1
|x − y|2 δij − n (xi − yi ) (xj − yj ) |x − y|−n−2 .
Dij Γ (x − y) =
nωn
(1.21)
Di Γ (x − y) =

trong đó

δij =

1
0

khi i = j
khi i = j

Ta có:

Dii Γ (x − y) =

1
|x − y|2 − n (xi − yi )2 |x − y|−n−2
nωn

nên

1
n |x − y|2 − n (x1 − y1 )2 + ... + (xn − yn )2
nωn
=0

∆Γ =

13

|x − y|−n−2


Rõ ràng Γ là hàm điều hòa khi x = y . Vì mục đích sau này chúng ta có
các đánh giá đạo hàm:

1
|x − y|1−n ;
nωn
1
|x − y|−n .

|Dij Γ(x − y)| ≤
ωn
Dβ Γ(x − y) ≤ C|x − y|2−n−|β| , C = C (n, |β|) .

|Di Γ(x − y)| ≤

(1.22)

Tính kỳ dị tại x = y ngăn cản chúng ta sử dụng Γ ở vị trí của v trong
công thức Green thứ hai. Một cách để vượt qua khó khăn này là thay Ω
bởi Ω − B ρ ở đây Bρ = Bρ (y) với ρ đủ nhỏ. Chúng ta có thể kết luận từ
(1.19) rằng

Γ∆udx =
Ω−Bρ

Γ

∂Γ
∂u
−u
dS+
∂ν
∂ν

Γ

∂u
∂Γ
−u

dS.
∂ν
∂ν

∂Bρ

∂Ω

Ở đây

Γ

∂u
dS= Γ (ρ)
∂ν

∂Bρ

∂u
dS
∂ν

∂Bρ
n−1

≤ nωn ρ

Γ (ρ) sup |Du| → 0 khi ρ → 0
Bρ

và ν = −

x−y
, ( ν là vec tơ pháp tuyến hướng ra ngoài Ω − Bρ )
ρ

nên

∂Γ
=
∂ν

n

∂Γ
=
νj .
∂x
j
j=1

=−
=−

1
nωn ρ1+n

n

−

j=1

xj − yj 1
.
(xj − yj ) |x − y|−n
ρ
nωn

n

(xj − yj )2
j=1

1
nωn ρn−1

14

(1.23)


Do đó

u

∂Γ
dS= −Γ (ρ)
∂ν

∂Bρ

udS

∂Bρ

=

−1
nωn ρn−1

udS → −u(y) khi ρ → 0.
∂Bρ

Hơn nữa để cho ρ dần đến 0 trong (1.23) chúng ta nhận được công thức
biểu diễn Green:

u(y) =

u

∂u
∂Γ
(x − y) − Γ (x − y)
dS+
∂ν
∂ν

Γ(x − y)∆udx, (y ∈ Ω).
Ω

∂Ω

(1.24)
Cho u là hàm điều hòa chúng ta cũng thu được biểu diễn

u(y) =

u

∂Γ
∂u
(x − y) − Γ (x − y)
dS, (y ∈ Ω) .
∂ν
∂ν

(1.25)

∂Ω

Bây giờ giả sử rằng h(x) ∈ C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω) thỏa mãn ∆h(x) = 0 trong Ω.
Một lần nữa nhờ công thức Green thứ hai (1.19) chúng ta đạt được

−

u

∂h
∂u
−h

dS =
∂ν
∂ν

h∆udx = 0.

(1.26)

Ω

∂Ω

Đặt G(x, y) = Γ(x − y) + h(x, y) và thêm vào (1.24) và (1.26) chúng ta
được một dạng tổng quát hơn của công thức biểu diễn Green

u(y) =

u(x)

∂u(x)
∂G(x, y)
− G(x, y)
dSx +
∂νx
∂νx
Ω

∂Ω

=

G(x, y)∆u(x)dx

u(x)

∂u(x)
∂G(x, y)
− G(x, y)
dSx
∂νx
∂νx

∂Ω

(1.27)
Nếu ta thêm điều kiện

G(x − y) = 0, ∀x ∈ ∂Ω
15


tức là

h(x, y) = −Γ(x − y), ∀x ∈ ∂Ω
thì chúng ta sẽ có

u(y) =

ϕ(x)

∂G(x, y)
dSx
∂νx

(1.28)

∂Ω

và hàm G = G(x, y) được gọi là hàm Green của bài toán Dirichlet cho
miền Ω, thỉnh thoảng cũng gọi là hàm Green dạng thứ nhất cho Ω. Từ
Định lý 1.8, hàm Green là duy nhất. Sự tồn tại của hàm Green cho phép
biểu diễn của một C 1 (Ω) ∩ C 2 (Ω) hàm điều hòa qua giá trị trên biên ∂Ω
của nó.

1.5

Nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình cầu

Khi miền Ω là một hình cầu thì hàm Green nói ở mục 1.4 có thể được
xác định rõ ràng bằng phương pháp ảnh và dẫn đến tích phân Poisson nổi
tiếng biểu diễn cho hàm điều hòa trong một hình cầu. Cụ thể là, giả sử

BR = BR (0) và cho x ∈ BR , x = 0 lấy
R2
x = 2x
|x|

(1.29)

Kí hiệu điểm nghịch đảo của nó đối với BR ; nếu x = 0, lấy x = ∞. Dễ

dàng kiểm nghiệm rằng hàm Green cho BR là xác định bởi

|y|

Γ (|x − y|) − Γ
|x − y¯|
khi y = 0
G (x, y) =
R

Γ (|x|) − Γ (R)
khi y = 0


2
|x| . |y|
=Γ
|x|2 + |y|2 − 2xy − Γ 
+ R2 − 2xy 
R
(1.30)
16


cho tất cả x, y ∈ BR , x = y. Hàm G xác định bởi (1.30) có tính chất

G (x, y) = G (y, x) ,

G(x, y) ≤ 0 ∀x, y ∈ B R

(1.31)

và lại tính toán trực tiếp cho thấy tại x ∈ ∂BR đạo hàm theo hướng pháp
tuyến của G là xác định bởi

∂G
R2 − |y|2
∂G
=
=
|x − y|−n ≥ 0
∂ν
∂ |x|
nωn R

(1.32)

Hơn nữa nếu u ∈ C 2 (BR ) ∩ C 1 (B R ) là điều hòa, chúng ta có công thức
tích phân Poisson

R2 − |y|2
u(y) =
nωn R

udSx
.
|x − y|n

(1.33)

∂BR

Vế phải của đẳng thức (1.33) được gọi là tích phân Poisson của u. Phép
tính xấp xỉ đơn giản cho thấy rằng công thức tích phân Poisson vẫn đúng
cho u ∈ C 2 (BR ) ∩ C 0 (B R ). Chú ý rằng bằng cách lấy y = 0 chúng ta thu
được ý nghĩa giá trị định lý cho hàm điều hòa. Thực ra tất cả các định
lý trước đây của chương này hẳn đã suy ra như một hệ quả của biểu diễn
(1.28) với Ω = BR (0).
Để thành lập sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển cho hình
cầu chúng ta cần kết quả nghịch đảo với biểu diễn (1.33) và chúng ta chứng
minh nó ngay bây giờ.
Định lý 1.9. ([2]) Lấy B = BR (0) và ϕ là hàm liên tục trên ∂B thì hàm

u xác định bởi
 2
2
ϕ(y)dSy
 R − |x|
n
n−1
u(x) =
∂BR |x − y|
 nωn R
ϕ(x)

khi x ∈ B
khi x ∈ ∂B

thuộc C 2 (B) ∩ C 0 (B) và thỏa mãn ∆u = 0 trong B .
17

(1.34)


∂G
là điều hòa theo x, nên hàm
∂ν
u(x) được xác định bởi đẳng thức (1.34) là điều hòa trong B . Để chứng

Chứng minh. Bởi vì hàm G và do đó hàm

minh tính liên tục của u trên ∂B chúng ta sử dụng công thức Poisson
(1.33) cho hàm u = 1. Ta nhận được đồng nhất thức

K(x, y)dSy = 1, ∀x ∈ B

(1.35)

∂B

đối với mọi x ∈ B , ở đây K là nhân Poisson:

R2 − |x|2
; x ∈ B, y ∈ ∂B.
K(x, y) =
nωn R|x − y|n

(1.36)

Tất nhiên tích phân trong (1.35) phải được tính trực tiếp nhưng nó là tính

toán phức tạp. Bây giờ lấy x0 ∈ ∂B và ε là dương tùy ý. Chọn δ > 0 sao
cho |ϕ(x) − ϕ(x0 )| < ε nếu |x − x0 | < δ và lấy |ϕ| ≤ M trên ∂B thì nếu
δ
|x − x0 | < chúng ta có (1.34) và (1.35)
2

|u(x) − u(x0 )| =

K(x, y)(ϕ(y) − ϕ(x0 ))dSy
∂B

≤

K(x, y) |ϕ(y) − ϕ(x0 )| dSy +
|y−x0 |≤δ

K(x, y) |ϕ(y) − ϕ(x0 )| dSy

|y−x0 |>δ

2M R2 − |x|2 Rn−2
≤ ε+

(δ/2)n

.

Nếu bây giờ |x − x0 | là đủ nhỏ, rõ ràng rằng |u(x) − u(x0 )| < 2ε và hơn
nữa u là liên tục tại x0 . Do đó u ∈ C 0 (B) và định lý đã được chứng
minh.

Chúng ta chú ý rằng đối số có trước là địa phương. Nghĩa là nếu ϕ là bị
chặn và khả tích trên ∂B và liên tục tại x0 , thì u(x) → ϕ(x0 ) khi x → x0 .
Nhận xét 1.3
Giả sử Ω = BR (y) với y ∈ Rn . Khi đó bằng phép tịnh tiến ta đưa về hình
cầu BR (0).
18