Tính chính quy của tập hút toàn cục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG ĐĂNG HƯNG

TÍNH CHÍNH QUY
CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HOÀNG ĐĂNG HƯNG

TÍNH CHÍNH QUY
CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. Cung Thế Anh

HÀ NỘI, 2016

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cung Thế Anh, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau
đại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải
tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Hoàng Đăng Hưng


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Cung Thế Anh, luận
văn thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Tính chính quy
của tập hút toàn cục” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Hoàng Đăng Hưng

Mục lục

Mở đầu

1

1 Tính chính quy của tập hút toàn cục

4

1.1

1.2

Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Tính chất của tập hút toàn cục . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Sự tồn tại của tập hút toàn cục . . . . . . . . . .

9

Tính chính quy của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . .

13

1.2.1

Bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.2

Tính chính quy của tập hút toàn cục . . . . . . .

15

2 Áp dụng cho tập hút toàn cục của phương trình truyền
sóng tắt dần mạnh

20

2.1

Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Sự tồn tại tập hút toàn cục trong H . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Tính chính quy của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . .

29

Kết luận

32

i


Tài liệu tham khảo

33

ii


Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian ra vô cùng của
các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng
phi tuyến là một bài toán quan trọng và có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Một
trong những cách tiếp cận bài toán này đối với các hệ động lực tiêu hao
vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút toàn
cục. Đó là một tập compact, bất biến, hút các tập bị chặn và chứa đựng
nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ đang xét.
Trong những năm qua, sự tồn tại tập hút toàn cục đã được nghiên cứu
cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến dựa trên những kết
quả tổng quát của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều, xem các
cuốn chuyên khảo [4, 8]. Tuy nhiên, các kết quả về tính chính quy (còn
gọi là tính trơn) của tập hút toàn cục, tức là tính bị chặn của tập hút
trong các không gian “trơn” hơn không gian pha của bài toán, vẫn còn
ít [5]. Vì vậy, chúng tôi chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận
văn.

1


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính chính quy của tập hút toàn cục, tức là thiết lập tính bị
chặn của tập hút trong các không gian trơn hơn không gian pha của hệ
động lực đang xét.
Áp dụng kết quả tổng quát này để xét tính chính quy của tập hút toàn
cục của nửa nhóm sinh bởi phương trình truyền sóng tắt dần mạnh.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu sự tồn tại và tính chính quy của tập hút toàn cục.
Áp dụng xét tính chính quy của tập hút toàn cục của phương trình

truyền sóng tắt dần mạnh.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều.
Phạm vi nghiên cứu: Tính chính quy của tập hút toàn cục. Áp dụng cho
tập hút của phương trình truyền sóng tắt dần mạnh.

2


5. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu sự tồn tại và tính chính quy của tập hút toàn cục, chúng
tôi sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều.

6. Đóng góp của đề tài
Trình bày được kết quả về tính chính quy của tập hút toàn cục. Áp dụng
được kết quả tổng quát này để xét tính chính quy của tập hút toàn cục
của phương trình truyền sóng tắt dần mạnh.

3


Chương 1
Tính chính quy của tập hút toàn
cục
1.1

Sự tồn tại của tập hút toàn cục

Mục này trình bày một số khái niệm cơ bản của lí thuyết hệ động lực
tiêu hao vô hạn chiều và định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục.
Nội dung của mục này được viết dựa trên các tài liệu [1, 4, 8].

1.1.1

Một số khái niệm

Định nghĩa 1.1. Hệ động lực là một cặp (X, S (t)) gồm một không
gian Banach X và một họ các ánh xạ S (t) : X → X, t ≥ 0 thỏa mãn:
a) S (0) = I, I là phép đồng nhất;
b) S (t) S (s) = S (s) S (t), với mọi t, s ≥ 0;
c) với mọi t ≥ 0, S (t) ∈ C 0 (X, X) ;
d) với mọi u ∈ X, t → S (t) u ∈ C 0 ((0; +∞) , X) .
4


Họ các ánh xạ S (t) , t ≥ 0, gọi là một nửa nhóm liên tục trên X. Khi
đó X gọi là không gian pha (hay không gian trạng thái) và dim X gọi là
số chiều của hệ động lực.
Trong suốt mục này, ta luôn luôn giả thiết S(t) là một nửa nhóm liên
tục trên không gian Banach X.
Ta giới thiệu về tính tiêu hao của nửa nhóm.
Định nghĩa 1.2. Nửa nhóm S (t) gọi là tiêu hao điểm (tương ứng tiêu
hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hấp thụ các điểm
(tương ứng, hấp thụ các tập bị chặn) của X.
Nếu S (t) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X
sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho
S (t) B ⊂ B0 , ∀t ≥ T . Tập B0 như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với

nửa nhóm S (t).
Một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại nói
chung không đúng, nhưng nó đúng với các nửa nhóm trong không gian
hữu hạn chiều.
Tiếp theo ta định nghĩa tính compact tiệm cận.
Định nghĩa 1.3. Giả sử X là không gian Banach. Nửa nhóm S (t) là
compact tiệm cận nếu ∀t > 0, S (t) có thể biểu diễn dưới dạng
S (t) = S (1) (t) + S (2) (t) ,
ở đó S (1) (t) , S (2) (t) thỏa mãn các tính chất sau:
a) Với tập bị chặn bất kì B ⊂ X
rB (t) = sup S (1) (t) y
y∈B

5

→ 0 khi t → +∞;
X

(1.1)


b) Với bất kỳ tập bị chặn B trong X, tồn tại t0 sao cho tập hợp
γ (2) (t0 ) B =

S (2) (t) B

(1.2)

t≥t0

là compact trong X, ở đây [γ] là bao đóng của tập γ.
Định nghĩa 1.4. Một nửa nhóm S(t) gọi là compact nếu nó compact
tiệm cận và ta có thể lấy S (1) (t) ≡ 0 trong biểu diễn (1.1). Rõ ràng hệ
động lực tiêu hao hữu hạn chiều nào cũng là hệ compact.
Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.2) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập
compact K trong X sao cho bất kì tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại t0 (B)
sao cho S (2) (t) B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B). Nói riêng, một hệ động lực tiêu hao
là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact.
Bổ đề 1.1. Nửa nhóm S (t) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập
compact K sao cho
lim dist (S (t) B, K) = 0,

t→∞

với mọi tập bị chặn trong X.
Nhận xét 1.1. [8] Nếu X là không gian Banach lồi đều và nửa nhóm
S (t) có một tập hấp thụ bị chặn B, thì ba điều kiện sau đây là tương
đương:
a) Nửa nhóm S (t) là compact tiệm cận,
b) Nửa nhóm S (t) thuộc lớp AK, tức là với mọi dãy bị chặn {xk } trong
X và mọi dãy tk → ∞, {S (t) xk }∞
k=1 là compact tương đối trong X,

6


c) Tồn tại một tập compact K ⊂ X sao cho
lim dist (S (t) B, K) → 0 khi t → ∞.

t→∞

Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lí thuyết các hệ động
lực học tiêu hao vô hạn chiều. Sau đây ta định nghĩa tập hút toàn cục.
Định nghĩa 1.5. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút
toàn cục đối với nửa nhóm S (t) nếu
a) A là tập đóng và bị chặn;
b) A là bất biến, tức là S (t) A = A , t > 0;
c) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là
lim dist (S (t) B, A ) = 0,

t→∞

ở đó dist (E, F ) = sup inf d (a, b) là nửa khoảng cách Hausdoff giữa
a∈E, b∈F

hai tập con E và F của X.

1.1.2

Tính chất của tập hút toàn cục

Mệnh đề sau đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa tập hút toàn cục.
Mệnh đề 1.1. Giả sử nửa nhóm S (t) trên X có tập hút toàn cục A .
Khi đó
a) Nếu B là tập con bị chặn, bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại);
b) Nếu B là tập con đóng, hút các tập bị chặn của X thì A ⊂ B (tính
cực tiểu);
7

c) A là duy nhất.
Định lí sau đây mô tả cấu trúc của tập hút toàn cục.
Định lý 1.1. Giả sử nửa nhóm S (t) có tập hút toàn cục A . Khi đó
mọi quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và quỹ đạo tuần
hoàn, nếu có) đều nằm trên A . Hơn nữa nếu S (t) là đơn ánh trên A
thì A là hợp của tất cả các quỹ đạo đầy đủ bị chặn.
Chứng minh. Giả sử tồn tại quỹ đạo đầy đủ bị chặn O mà không nằm
trên A . Khi đó với ε > 0 tồn tại x ∈ O sao cho x ∈ N (A , ε), ở đó
N (A , ε) kí hiệu ε-lân cận của A . Vì A hút mọi tập bị chặn nên với t
đủ lớn ta có
dist (S (t) z, A ) < ε, ∀z ∈ O.

(1.3)

Do O là một quỹ đạo đầy đủ, nên x = S (t) x với x ∈ O nào đó. Điều
này mâu thuẫn với (1.3).
Nếu x ∈ A và S (t) đơn ánh thì quỹ đạo xuyên qua x sẽ xác định với
mọi t ∈ R và nằm trên A vì A bất biến. Bởi vậy A chỉ gồm các quỹ
đạo đầy đủ bị chặn.
Định lý 1.2. Giả sử nửa nhóm S (t) có tập hút toàn cục A . Cho trước
một quỹ đạo u (t) = S (t) u0 , một sai số ε > 0 và một khoảng thời gian
T > 0. Khi đó tồn tại τ = τ (ε, T ) và một phần tử v0 ∈ A sao cho
u (τ + t) − S (t) v0 ≤ ε, với mọi 0 ≤ t ≤ T.
Chứng minh. Do quỹ đạo phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu với
ε, T > 0 cho trước, tồn tại δ (ε, T ) sao cho
u0 ∈ A và

u0 − v0 ≤ δ (ε, T ) ⇒ u (t) − v (t) ≤ ε, t ∈ [0, T ] .
8

Ta xét quỹ đạo v (t) trên A với v (0) = v0 . Khi đó u (t) (coi như quỹ
đạo xuất phát từ u (τ ) và v (t) = S (t) v0 thỏa mãn)
u (τ + t) − S (t) v0 ≤ ε.

Để xấp xỉ quỹ đạo đã chọn u (t) trong một khoảng thời gian dài hơn,
ta phải dùng nhiều quỹ đạo trên tập hút toàn cục A . Mệnh đề sau đây
là hệ quả trực tiếp của Định lý 1.2.
Hệ quả 1.1. Cho trước một quỹ đạo u (t), tồn tại một dãy các sai số
{εn }∞
n=1 với
εn → 0,
một dãy tăng các thời điểm {tn }∞
n=1 với
tn+1 − tn → ∞ khi n → ∞,
và một dãy các phần tử {vn }∞
n=1 với vn ∈ A sao cho
u (t) − S (t − tn ) vn ≤ εn với mọi tn ≤ t ≤ tn+1 .
Hơn nữa, bước nhảy vn+1 − S (tn+1 − tn ) vn dần tới 0 khi n → ∞.
1.1.3

Sự tồn tại của tập hút toàn cục

Định lý 1.3. Giả sử nửa nhóm S (t) là tiêu hao và compact tiệm cận.
Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của nửa nhóm S (t) thì A = ω (B) là
một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục với nửa nhóm S (t).
Hơn nữa tập hút toàn cục A là liên thông trong X.
9

Chú ý rằng Định lý 1.3 và Bổ đề 1.1 cho ta tiêu chuẩn sau đây: Một
nửa nhóm tiêu hao có một tập hút toàn cục nếu nó compact tiệm cận.
Để chứng minh Định lý 1.3 ta dựa vào bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.2. Giả sử nửa nhóm S (t) là compact tiệm cận. Khi đó với mọi
tập bị chặn B của X, tập ω-giới hạn ω (B) là một tập compact, bất biến,
khác rỗng.
Chứng minh.

i) Trước hết ta chứng minh ω (B) = ∅.

Lấy yn ∈ B. Khi đó tồn tại một dãy tn → +∞ sao cho tập hợp
S (2) (tn ) yn

∞
n=1

là compact tương đối, tức là tồn tại một dãy nk và

một phần tử y ∈ X sao cho S (2) (tnk ) ynk → y khi k → ∞. Từ đây,
do tính compact tiệm cận ta suy ra
y − S (tnk ) ynk ≤ S (1) (tnk ) ynk + y − S (2) (tnk ) ynk → 0.
Bởi vậy y = lim S (tnk ) ynk . Do đó y ∈ ω (B) hay ω (B) = ∅.
k→∞

ii) Tiếp theo ta chứng minh ω (B) bất biến.
Lấy y ∈ ω (B), khi đó tồn tại dãy tn → +∞ và {zn } ⊂ B sao cho
S (tn ) zn → y. Do S (t) liên tục, ta có
S (t + tn ) zn = S (t) (S (tn ) zn ) → S (t) y khi → ∞,
và do đó ta có S (t) ∈ ω (B), suy ra S (t) ω (B) ⊂ ω (B) , t > 0.
Bây giờ ta chứng minh bao hàm thức ngược lại. Lấy y ∈ ω (B). Khi

đó tồn tại các dãy {vn } ⊂ B và tn → +∞ sao cho S (tn ) vn → y.
Xét dãy yn = S (tn − t) vn , tn ≥ t. Từ tính compact tiệm cận của
S (t) suy ra tồn tại một dãy con tnk và một phần tử z ∈ X sao cho
z = lim S (2) (tnk − t) ynk .
k→∞

10


Lập luận như phần i, ta có
z = lim S (tnk − t) ynk .
k→∞

Từ đó z ∈ ω (B). Hơn nữa
S (t) z = lim S (t) .S (tnk − t) vnk = lim S (tnk ) vnk = y.
k→∞

k→∞

Suy ra y ∈ S (t) ω (B) .
iii) Cuối cùng ta chứng minh ω (B) là tập compact. Giả sử {zn } là một
dãy nằm trong ω (B) . Khi đó với mọi n ≥ 1 ta có thể tìm được
tn ≥ n và yn ∈ B sao cho zn − S (tn ) yn ≤ n1 . Từ tính compact
tiệm cận và lập luận như phần trên, tồn tại một phần tử z và một
dãy {nk } sao cho
S (tnk ) ynk − z → 0 khi k → ∞.
Điều này kéo theo z ∈ ω (B) và znk → z. Vậy ω (B) là tập compact
trong X.

Chứng minh Định lý 1.3.

Giả sử B là một tập hấp thụ bị chặn của nửa nhóm S (t). Ta sẽ chứng
minh A = ω (B) là một tập hút toàn cục. Bởi Bổ đề 1.2 và định nghĩa
của tập hấp thụ, ta chỉ cần chứng minh ω (B) hút tập hấp thụ B.
Giả thiết phản chứng rằng ω (B) không hút tập hấp thụ B. Điều này có
nghĩa là tồn tại δ > 0 và một dãy tn → +∞ sao cho
dist (S (tn ) B, ω (B)) ≥ 2δ.
11


Do đó tồn tại yn ∈ B sao cho
dist (S (tn ) yn B, ω (B)) ≥ δ, n = 1, 2, ...

(1.4)

Lí luận như trong chứng minh Bổ đề 1.2, ta có thể trích ra một dãy con
hội tụ {S (tnk ) ynk } từ dãy {S (tn ) yn }. Khi đó ta có
z ≡ lim S (tnk ) ynk ∈ ω (B) .
k→∞

Điều này mâu thuẫn với (1.4). Vậy ω (B) là một tập hút toàn cục.
Bây giờ ta chứng minh tính liên thông của tập hút toàn cục A bằng
phản chứng. Giả sử A không liên thông. Khi đó tồn tại hai tập mở U1
và U2 sao cho
Ui ∩ A = ∅, i = 1, 2, A ⊂ U1 ∪ U2 , U1 ∩ U2 = ∅.
Giả sử rằng A C = conv (A ) là bao lồi của A , tức là
n

A

C

n

λi vi : vi ∈ A , λi ≥ 0,

=
i=1

λi = 1, N = 1, 2, ...

.

i=1

Rõ ràng rằng A C cũng là một tập liên thông bị chặn và A ⊂ A C .
Tính liên tục của S (t) kéo theo S (t) A C cũng là tập liên thông, và vì
A = S (t) A ⊂ S (t) A C nên Ui ∩ S (t) AC = ∅, i = 1, 2.. Từ đó với
mọi t > 0, U1 ∪ U2 không thể phủ S (t) A C . Do đó tồn tại dãy các điểm
xn = S (n) yn ∈ S (n) A C sao cho xn ∈
/ U1 ∪ U2 . Tính compact tiệm cận
của hệ động lực cho phép chúng ta trích ra một dãy con {nk } sao cho
xnk = S (nk ) ynk → y ∈ X khi k → ∞. Rõ ràng y ∈
/ U1 ∪ U2 và y ∈
ω A C . Điều này không thể xảy ra vì ω A C ⊂ ω (B) = A ⊂ U1 ∪ U2 .
Vậy ω (B) là tập liên thông.
12


1.2

Tính chính quy của tập hút toàn cục

Nội dung của mục này là trình bày kết quả gần đây của Conti và Pata
(2009) về tính chính quy của tập hút toàn cục, tức là tính bị chặn của
tập hút toàn cục trong không gian "trơn hơn" không gian pha. Đây là
nội dung chính của luận văn. Mục này được viết dựa trên tài liệu [5].

1.2.1

Bất đẳng thức cơ bản

Trước hết ta bắt đầu bằng một vài khái niệm. Cho không gian Banach
X và R ≥ 0, đặt
BX (R) = {z ∈ X : z
Ký hiệu

X

≤ R}.

là không gian các hàm tăng liên tục J : R+ → R+ , và ký

hiệu D là không gian các hàm giảm liên tục β : R+ → R+ thỏa mãn
β (∞) < 1.
Định nghĩa 1.6. Một toán tử nghiệm trên X là một họ các ánh xạ
U (t) : X → X, phụ thuộc vào t ≥ 0, thỏa mãn điều kiện ban đầu
U (0) z = z, với mọi z ∈ X. Họ U (t) gọi là nửa nhóm nếu nó có thêm
tính chất
U (t + τ ) = U (t) U (τ ) , ∀t, τ ≥ 0.
Nhận xét 1.2. Các ánh xạ trên liên hệ chặt chẽ với việc nghiên cứu

phương trình vi phân trong không gian Banach. Giả sử rằng với mọi
dữ kiện ban đầu z ∈ X, tồn tại nghiệm duy nhất (theo nghĩa yếu)

13


ζ : R+ → X của bài toán Cauchy

 d ζ = Aζ + F (ξ) ,
dt

ζ (0) = 0,
trong đó A (·, t) là một họ các toán tử trên X. Khi đó ta có thể viết
ζ (t) = U (t) z. Khi hệ là ôtônôm, tức là khi A không phụ thuộc tường
minh vào thời gian, U (t) là một nửa nhóm.
Bổ đề 1.3. Cho U (t) là một toán tử nghiệm trong không gian Banach
X. Giả sử rằng
U (t) z
với β ∈ D, J ∈

X

≤ β (t) z

X

+ J (t) , ∀z ∈ X,

. Khi đó, với bất kỳ t0 > 0 đủ lớn sao cho β0 := β (t0 ) <

1,
U (t0 ) z ≤ β0 z
với R0 =

X

+ (1 − β0 ) R0 ,

(1.5)

1
J (t0 ) .
1 − β0

Hệ quả 1.2. Nếu U (t) cũng là một nửa nhóm thì nó có tập hấp thụ.
Chứng minh. Đặt z

X

= R. Cho trước bất kỳ n ∈ N, từ (1.5) và tính

chất của nửa nhóm ta có
n

U (nt0 ) z

X

≤

β0n R

β0j

+

(1 − β0 ) R0 ≤ β0n R + R0 .

j=0

Với bất kỳ t ≥ 0, ta viết t = nt0 + τ , với n ∈ N và τ ∈ [0; t0 ). Từ đây
suy ra
U (t) z

X

= U (τ ) U (nt0 ) z

X

≤ β (0) U (nt0 ) z
14

X

+ (1 − β0 ) R0 .


Cho nên, nếu ta chọn các hằng số dương thực sự
= (1 + β (0) − β0 ) R0 , C = β (0) β0−1 , k = −t−1

0 ln β0
ta có
U (t) z

X

≤ Ce−kt R + .

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.

1.2.2

Tính chính quy của tập hút toàn cục

Trong toàn bộ mục này, giả sử S (t) là nửa nhóm liên tục trong không
gian Banach X. Giả sử nửa nhóm S (t) có tập hấp thụ B0 ⊂ X. Giả sử
V là một không gian Banach nhúng compact trong X, sao cho các hình
cầu đóng trong V cũng đóng trong X.
Định lý 1.4. Ký hiệu T0 = B0

Với mọi x ∈ B0 , giả sử tồn tại hai

X.

toán tử nghiệm Vx (t) trên X và Ux (t) trên V có các tính chất sau:
a) Cho trước bất kì y ∈ BX (T0 ) , z ∈ V thỏa mãn hệ thức y + z = x.
S (t) x = Vx (t) y + Ux (t) z.
b) Tồn tại α ∈ D sao cho với mọi y ∈ BX (T0 ),
sup Vx (t) y
x∈B0

c) Tồn tại β ∈ D và J ∈

≤ α (t) y

X.

sao cho với mọi z ∈ V,

sup Ux (t) y
x∈B0

X

V

≤ β (t) z

15

V

+ J (t) .


Khi đó, B0 bị hút mũ bởi một hình cầu đóng của V có tâm tại gốc, cụ
thể tồn tại các hằng số dương thực sự , K, ω sao cho
distX (S (t) B0 , BV ( )) ≤ Ke−ωt .

(1.6)

Chứng minh. Lấy x ∈ B0 tùy ý cố định, và chọn t0 > 0 đủ lớn sao cho
S (t0 ) B0 ⊂ B0 và
α0 = α (t0 ) < 1, β0 = β (t0 ) < 1.
Với mọi n ∈ N, ta khẳng định vectơ
xn := S (nt0 ) x ∈ B0
có phép phân tích xn = yn + zn , với yn , zn thỏa mãn
yn

X

≤ α0n T0 ,

z

V

≤ R0 :=

1
J (t0 ) .
1 − β0

Chúng ta chứng minh khẳng định trên bằng phương pháp quy nạp theo
n ∈ N.
Trường hợp n = 0 đúng do y0 = x, z0 = 0.
Giả sử khẳng định trên đúng với n ≤ m ∈ N. Chọn
ym+1 = Vxm (t0 ) ym, zm+1 = Uxm (t0 ) zm,
từ a) ta suy ra
xm+1 = S ((m + 1) t0 ) x = S (t0 ) xm = ym+1 + zm+1 .

Do ym ∈ BX (T0 ) và zm ∈ BV (R0 ), sử dụng b)-c) và (1.5), ta suy ra ước
lượng
ym+1

X

= Vxm (t0 ) ym

X

≤ α0 y m

zm+1

V

= Uxm (t0 ) zm

V

≤ R0 .

16

X

≤ α0m+1 T0 ,


Do đó khẳng định được chứng minh.

Khi đó cho t ≥ 0, ta viết t = nt0 + τ , với n ∈ N và τ ∈ [0; t0 ), ta có đẳng
thức
S (t) x = S (τ ) xn = Vxn (τ ) yn + Uxn (τ ) zn ,
cùng với các điều kiện
Vxn (τ ) yn

X

Uxn (τ ) yn
với

≤ α (0) yn
V

t/t

X

≤ β (0) zn

≤ α (0) α0−1 α0 0 T0 ,
V

+ J (t0 ) ≤ ,

> 0 như trong chứng minh của Hệ quả 1.2. Đặt
K = α (0) α0−1 T0 , ω = −t−1
0 ln α0 ,

ta suy ra tính chất hút mũ của (1.6).

Hệ quả 1.3. Nửa nhóm S (t) có tập hút toàn cục A bị chặn trong V.
Nhận xét 1.3. Để đưa ra kết luận (1.6), phép nhúng liên tục V ⊂ X
không cần phải compact. Ngoài ra, không nhất thiết B0 phải là một tập
hấp thụ trên toàn không gian X. Kết quả rõ ràng vẫn đúng nếu B0 (bị
chặn trong X) hấp thụ bởi chính nó.
Hệ quả 1.3 vẫn đúng dưới giả thiết yếu hơn.
Mệnh đề 1.2. Ký hiệu T0 = B0

X.

Cho trước t0 > 0 sao cho S (t0 ) B0 ⊂

B0 và giả sử rằng với mọi x ∈ B0 tồn tại hai toán tử nghiệm Vx (t) trên
X và Ux (t) trên V có các tính chất sau: với bất kì y ∈ BX (T0 ) , z ∈ V
thỏa mãn các điều kiện y + z = x,
S (t0 ) x = Vx y+Ux z, sup Vx y
x∈B0

X

≤ α0 y
17

X,

sup Ux z
x∈B0

V

≤ β0 z

V +J0 ,


với α0 , β0 < 1 và J0 ≥ 0 thì S (t) có tập hút toàn cục A bị chặn trong
không gian V.
Chứng minh. Lập luận như trong chứng minh định lí trên, với mọi x ∈ B0
cố định, và mọi n ∈ N,
S (nt0 ) x = yn + zn , yn

X

≤ α0n T0 ,

zn

V

≤ R0 :=

1
J0 .
1 − β0

Do đó,
distX (S (nt0 ) B0 , BV (R0 )) ≤ α0n T0 → 0,
là đủ để thiết lập sự tồn tại của tập hút toàn cục A ⊂ BV (R0 ).
Trong các trường hợp cụ thể, một phương pháp thường dùng để thiết
lập sự tồn tại của toàn cục A là tìm phép phân tích

S (t) x = η (t; x) + ζ (t; x) , ∀x ∈ B0 ,

(1.7)

sao cho với hàm j bị triệt tiêu tại vô cùng và J ∈ ,
sup η (t; x)
x∈B0

X

≤ j (t) , sup ζ (t; x)
x∈B0

V

≤ J (t) .

(1.8)

Tuy nhiên, để suy ra tính V-bị chặn của A , ước lượng thứ hai phải đều
theo thời gian: tương tự như yêu cầu
lim J (t) =

t→∞

< ∞.

(1.9)

Ta xét một tình huống đơn giản sau, mà kết quả sẽ được sử dụng trong

Chương 2.
Ví dụ 1.1. Với hai toán tử (tương ứng, tuyến tính và phi tuyến) A, F ,
giả sử rằng phương trình vi phân
d
ξ = Aξ + F (ξ)
dt
18


sinh ra nửa nhóm S (t) trên X. Bên cạnh đó, giả sử nửa nhóm tuyến tính
L (t), sinh bởi phương trình với F ≡ 0, ổn định mũ trên cả hai không
gian X và V, tức là
L (t) x

X; V

≤ M e−δt x

X; V ,

x ∈ X, V,

với M ≥ 0, δ > 0. Cuối cùng, giả sử (1.7)-(1.8) đúng, với η (t; x) = L (t) x
và ζ (t; x) là nghiệm của

 d ζ = Aζ + F (ξ) ,
dt

ζ (0) = 0,
trong đó ξ (t) = S (t) x (bất đẳng thức đầu tiên trong (1.8) được suy ra

từ tính ổn định mũ). Kiểu phân tích này thường đúng với các bài toán
dưới tới hạn. Khi đó, đặt
Vx (t) y = L (t) y, Ux (t) z = L (t) z + ζ (t; x) ,
các giả thiết của Định lý 1.4 được thỏa mãn. Ngược lại với quy trình
chuẩn, phương pháp này cho ta ngay tính V-bị chặn của A , mà không
cần (1.9).
Trong trường hợp tổng quát, một phép phân tích nửa nhóm dạng
(1.7), tuân theo (1.8) có thể phức tạp hơn nhiều. Tuy nhiên, miễn là
(1.7)-(1.8) xảy ra, ta có thể khẳng định được kết luận của Định lý 1.4
đúng như trong trường hợp của phương trình truyền sóng tắt dần mạnh
với số hạng phi tuyến tới hạn được nghiên cứu ở Chương 2.

19