Bồi dưỡng HSG cấp tỉnh chuyên đề dãy số

HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

CHUYấN DY S
Phn 1 TUYN TP THI DY S - LP 12
Phn 2 TUYN TP THI DY S - LP 11
Phn 3 TUYN TP THI DY S - OLIMPIC
Ghi nh
(*)
Bi tp dnh cho lp chuyờn
(DT) Mó a v phng trỡnh c trng
(DH) Mó s dng o hm
(CS)
Dóy a v cp s
(LG) Liờn quan n m, lụgarrits
Mt s lu ý v dóy s

2u n
t un = tan . ( phi chn phự hp vi u1)
1 u 2n
2. Cú dng cn liờn tip t un = cos .
c
c
c
c
3. Cú dng u n
dựng cụ si. dng u 2n
dựng cụ si u 2n

un
un
2u n 2u n

4. Dng u n 1 f (n).u n vit t u2 n u n 1 , nhõn v vi v v gin c.
5. Dng u n 1 u n f (n) vit t u2 n u n 1 , cng v vi v v gin c.
n(n 1)
(Note 1 2 3 ... n
2
n(n 1)(2n 1)
12 2 2 ... n 2
6
n(n 1) 2
13 23 ... n 3 [
] )
2
b
6. Dng u n 1 a.u n b a v cp s nhõn bng cỏch t v n u n
a 1
2
7. Dng u n 1 a.u n b.u n 1 gii ptr c trng k a.k b 0 .
1. Nu cú dng u n 1

Phn 1 TUYN TP THI DY S - LP 12
an
1
2.
. Chng minh lim
n
an
n
n
n 1
n 1

n 1
1
1
1
a 2k 1 a k2 2 2 a i2 a 2j 2 2(n 1). a 2n 2n 1 2 . Vy an > 2n 1 , n 2.
ak
i 2
j 1
j1 a j
j1 a j

Bi 1 Cho dóy s (an) , a1 = 1 v a n 1 a n

a 2k 2k 1 k 2

1
1
1
1
1 1
1




.
4
2
2
a k (2k-1)

(2k-1) 1 4k(k+1) 4 k 1 k

n 1

n 1
1 1
1
1
1
1 5
Suy ra 4 (1
) 4 1 .Suy ra
4
n 1 4
4 4
k 2 a k
j1 a j

Vy a 2n 2n 1

n 1

n 1
1
1
5
(n 1) 4 (n 1)
(n 2).

2

4
j1 a j
j1 a j

5(n 1)
(n 2) .
2

Tên tác giả : Vũ trung thành

1 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
5(n-1)
5(n-1)
1 a
an
2.
2- < n 2n-1+
.Do ú lim
n
2
n
2
n
n
u 0 1 ; u1 2

Bi 2(CS)(Vinh_Long_08_09) Cho dóy s u n xỏc nh bi

u n 1 u n 2
; n 2,3,.....
u n
2

suy ra n 2; 2n-1
T u n 1
ta cú

u n u n 1
; n 1, 2,3,....
2

2u n 1 u n u n 1 2 u n 1 u n u n u n 1 u n 1 u n

Xột dóy s v n xỏc nh bi v n u n u n 1 , n 1, 2,3,...... ta cú

1
u n u n 1
2
1
v n 1 v n
2

1
2

Do ú v n l mt cp s nhõn vi v1 1 , q u n u n u n 1 u n 1 u n 2 ...... u1 u 0 u 0
1 n

v1 1
n
2
2 1
5


v n v n 1 ..... v1 u 0
u 0 1 1
lim u n
n
3 2
3
1
1
2
2
Bi 3. Cho dóy s (un) xỏc nh bi un 2
v dóy s (Sn) xỏc nh
n 4n 3
S u
bi 1 1
. Hóy xỏc nh cụng thc tớnh (Sn) theo n.
Sn 1 Sn un 1
2
1
1
HD Ta cú un 2

n 4n 3 n 1 n 3
u1 2
Bi 4(CS) Cho dóy s u1 , u2 , xỏc nh nh sau
, n 1, 2,
un
un 1 1 2u

n
Hóy xỏc nh s hng tng quỏt un .
u
HD Do u1 2, un1 n ; n 1, 2, nờn suy ra un 0, n
1 2un
2u 1 1
1
1
Vỡ th t gi thit ta cú
n
2 - t vn , ta c vn 1 vn 2, n 1, 2,
un 1
un
un
un

1
1

v1
u1
c CSC vi
2

d 2


- Nh vy

vn v1 (n 1)d

1 2 2(n 1)
2

un

1
2

vn 1 2 2( n 1)

Bi 5 Cho cp s cng gm 2008 s hng vi s hng u u1 =



v cụng sai d =
.
2008
4016

Tớnh giỏ tr ca tng S = cos( u1 u2 ....... u2008 ) ú tng cha tt c cỏc s hng ng
vi tt c cỏc s hng khỏc nhau cú th c ly du (+) hay (-) trc cỏc s u1, u2, . ,
u2008.
HD

n

n

gii bi toỏn ta cn chng minh (bng pp qui np) u j 1 , cos( u1 ... un ) 2n. cos u j
j1

Tên tác giả : Vũ trung thành

2 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

ê Vi n = 1 cos u1 + cos (-u1) = 2 cos u1
n = 2 cos(u1+u2) + cos(u1- u2) + cos(-u1+u2) + cos(-u1- u2)= 2 cos u1 cosu2 + 2 cos(- u1)
cosu2 = 4 cos u1 cosu2
n 1

n

j1

j1

ê G/s bi toỏn ỳng vi n, khớ ú 2n1. cos u j = 2( 2n. cos u j ) cos un+1 = 2
cos( u1 ... un ) cos un+1=

cos( u

1

... u n u n 1 )

2008

S 22008. cos u j .

Tr li bi, ta cú

Vỡ u j l cp s cng nờn

j1



+ 2006 = Do ú cos u2007 = 0 .
2008 2.2008 2
Bi 5 Cho dóy s U n c xỏc nh bi
u1 5

u2007 = u1 + 2006 d =

u n 1

Vy S = 0

n
1 2
1

u n u n 9 ; n N ; n 1 . t v n
;n N ; n 1

5
k 1 u k 2

Tớnh lim v n
n

1 2
5
1
1
2
u n u n 9 u n u 2n 6u n 9 u n 3 0 ; n 1

5
5
5
5
l dóy tng Mt khỏc nu dóy u n b chn trờn thỡ nú s cú gii hn

Li gii u n 1 u n
Vy u n

1 2
1
un un 9 a a2 a 9 a 3

5

5
1
iu ny khụng th xy ra vỡ a 5 Vy lim u n Ta cú u k 1 u k2 u k 9
n
5
2
5 u k 1 3 u k u k 6 5 u k 1 3 u k 3 u k 2

Gi s nlim
u n a a 5 lim u n 1 lim

n
n



1
u k 1 3



5

u k 3 u k 2

do

u k 5 ; k 1

1

1
1


u k 2 u k 3 u k 1 3

n

1
1
1
1
1
1



.Vy nlim
vn

2
u1 3 u n 1 3 2 u n 1 3
k 1 u k 2
3 7 11
4n 1
Bi 8(CS) Cho dóy s un 2 3 n vi mi s nguyờn dng n .
2 2 2
2
a) Chng t rng cỏc t s ca cỏc s hng liờn tip ca un lp thnh mt cp s cng.

Do ú v n

b) Hóy bin i mi s hng ca un (n 1) thnh mt hiu liờn quan n 2 s hng k tip
ca nú, t ú rỳt gn un v tớnh lim un
HD
Ta cú 4(k 1) 1 4k 1 4 4(k 2) 1 4(k 1) 1 . Do ú3, 7, 11, ... , (4k-1) lp thnh mt
cp s cng cú cụng sai d = 4. Suy ra
2 (4 k 1 1) (4k 1) (4 k 2 1) 2 4k 3 (4k 1) (4k 7)


4k 3 4k 1 4k 7
4k 1 4 k 3 4 k 7
k

k 1
k 1
k
2
2
2
2k
2
2k

Suy ra
un

3 7 11
4(n 1) 1 4n 1
11 11 15 15 19

4 n 1 4n 3 4 n 3 4 n 7
2 3 ...
n 7 2 2 3 3 4 ... n 2 n 1 n 1
n 1
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2
2
2
2n


un 7

4n 7
lim un 7
2n

Tên tác giả : Vũ trung thành

3 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
1
( k 1, 2,.......) Tỡm phn nguyờn ca s hng u 2009 ?
uk
1

+ T gi thit 0 < u1 < u2 < ..< uk <.(1) k 1 u k + 1 - uk = > 0 (u k + 1 + uk
uk
1
) (u k + 1 - uk ) > 2uk . = 2
uk

Bi 9* Cho dóy s u0 = 2009 , uk 1 uk

n 1

uk21 uk2 2

u

2
k 1



uk2 2(n 1) un2 u12 2(n 1) un u12 2(n 1)

k 1

u2009 20092 2(2009 1) > 2009 (2)

+ T (1) ta cng cú k 1 u k + 1 - uk =

1
1
1

1
u k + 1 + uk - 2uk m 2 = 2uk . nờn ta
uk
u1
u1
uk

cú
2 (u k + 1 + uk -

1
1
)( u k + 1 - uk ) hay 2 ( uk21 uk2 ) - . (u k + 1 - uk )
u1
u1

n 1

2(n 1) u u
2
k 1

2
k



k 1

un

1 n1
1
1
. uk 1 uk = ( u n2 u12 ) . (u n - u1 ) un2 .un (u12 2n 3) 0
u1 k 1
u1
u1





1
1 1 1
1
20092 2.2009 3 < 2010 (3)
. 2 4(u12 2n 3)
u12 2n 3 u2009
2u1 2 u1
2u1
2.2009

T (2) v (3) [ u 2009 ] = 2009
Bi 10 Cho c l s nguyờn dng. Ta xỏc nh dóy a n nh sau
a1 c
a n 1 ca n (c 2 1)(a n2 1), n = 1,2,

Chng minh rng tt c cỏc s hng a n u l s nguyờn

dng
HD Xột cỏc trng hp sau
i) Nu c = 1 Khi ú a n 1, n * . Bi toỏn c chng minh
ii) Nu c 2 t a n1 ca n (c 2 1)(a n2 1) a n a n l dóy tng
ta li cú
a n 2 ca n 1 (c 2 1)(a n2 1 1) (a n 2 a n 1 ) 2 (c 2 1)(a 2n 1 1)
a 2n 2 2ca n 1a n 2 a n2 1 1 c2 , n *

(1) a n2 3 2ca n 2a n 3 a n2 2 1 c2

Ly (1) (2) ta c

a 2n 1 a n2 3 2ca n 2 a n 3 a n 2 0 (a n 1 a n 3 )(a n 3 2ca n 2 a n 1 ) 0

Do a n l dóy tng a n1 a n3 a n 3 2ca n2 a n1 0 a n3 2ca n2 a n 1
a1 c
a n * , n *
V a 2 2c 2 1

T i) v ii) ta cú pcm
1
2
3
n
)(1 2 )(1 2 )......(1 2 ). Tính limu n .
2
n
n
n
n

1 2 3
n
T (*) thay x bi 2 ; 2 ; 2 ;.....; 2 ,
n n n
n

Bi 12 n N; n 1, đặt u n ln(1

Tên tác giả : Vũ trung thành

4 THPT Bình Giang

(2)


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
1
1
1
4 ln(1 2 )
2
n
ta cú n 2n
n
n
n
4 ln(1 2 )
2
n 2n
n

1
lim un = .
2

1 2
2
2
2
; 2 4 ln(1 2 ) 2
2
n(n 1) n(n 1)
n(n 1)
n n 2n
n
n


un
Nờn
2
4
n
2n
2n
2n 2
n2

Bi 13* Cho dóy s ( xn ) xỏc nh nh sau x0 1, x1 5 , xn 2

xn 1 xn2 6

(n = 0,1, 2,)
3

Chng minh rng dóy s ( xn ) cú gii hn hu hn khi x v tỡm gii hn ca nú.
Gii
Xột phng trỡnh x

x x2 6
3

x 0
x2 6 2 x 2
x 2
x 2

un un2 6
Xột dóy s (un ) c xỏc nh nh sau u0 1, un 1
(n 0,1, 2,...)
3
Chng minh 0 un 2 , n N Vi n = 0 ta cú 0 u0 2 Gi s 0 un 2 thỡ
un un2 6
0
2 0 un 1 2 Suy ra 0 un 2 , n N
3
un un2 6
Chng minh un un 1 , n N un
0 un 2
3
Vy un un 1 , n N

0 l 2

Dóy (un ) tng v b chn trờn nờn cú gii hn hu hn. Gi l lim un thỡ l l 2 6 l 2
l
3

Chng minh un min( x2 n , x2 n1 ) n N
Vi n=0 thỡ u0 min( x0 , x1 )

Gi s mnh ỳng vi n = k, tc l uk x2 k v uk x2 k 1 . Khi ú
x2 k 2
x2 k 3

x2 k 1 x22k 6
3



x2 k 2 x22k 1 6

uk uk2 6
3

uk 1

uk 1 uk2 6

uk uk2 6

uk 1

3
3
3
Vy uk 1 min( x2 k 2 , x2k 3 ) Suy ra un min( x2 n , x2 n1 ) n N




vn vn2 6
Xột dóy s (vn ) c xỏc nh nh sau v0 5, vn1
(n 0,1, 2,...)
3
Chng minh tng t ta c dóy (vn ) gim v b chn di bi 2 nờn cú gii hn v
lim vn 2 .

Bng phng phỏp tng t ta cú vn max( x2n , x2 n1 )

(0,5 im)

un x2 n vn
un x2 n 1 vn

T cỏc kt qu trờn, ta cú

Vỡ lim un lim vn 2 nờn lim x2 n lim x2 n1 2 lim xn 2 (0,5 im)
Bi 14* Cho hai s a1, b1 vi 0 < b1 = a1 < 1. Lp hai dóy s (an), (bn) vi n = 1, 2, ..
1
2

theo quy tc sau a n 1 (a n b n ) , b n 1 a n 1.b n Tớnh lim

a n v lim b n .
n
n
Tên tác giả : Vũ trung thành

5 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

HD + Tớnh a2, b2 vi 0 < b1 = a1 < 1 ta cú th chn 0 < a <
cos2a.


sao cho b1 = cosa,
2

suy ra a1 =

a
a
b 2 cos acos 2 cosa cos acos
2
2
a
a
a
+ Bng quy np, chng minh c a n cos aco s ...cos n 1 cos n 1 (1)
2
2

2
a
a
b n cos acos ...cos n 1 (2)
2
2
a
+ Nhõn hai v ca (1) v (2) cho sin n 1 v ỏp dng cụng thc sin2a c
2
a
sin 2a.cos n 1
sin 2a
2
.
an
, bn
a
a
2n.sin n 1
2 n.sin n 1
2
2
sin 2a
sin 2a
+ Tớnh gii hn lim a n
, lim b n
n
n
2a
2a

Bi 16 Cho dóy s un ; n = 1,2, c xỏc nh nh sau
1
1
a
a 2 (cos 2a cos a) cos a(cosa 1) cosa.cos 2
2
2
2

n
u1 1
1
S

t n

i 1 ui 2
un 1 un (un 1)(un 2)(un 3) 1; n 1, 2,...

Sn
(n =1,2,). Tớnh lim
n

HD
Ta cú un 1 un (un 1)(un 2)(un 3) 1
(un2 3un )(un2 3un 2) 1 (un2 3un 1) 2 un2 3un 1 ( vỡ un 0n )


un1 1 (un 1)(un 2)
n

Sn
i 1

1
un1 1



1
1
1
1
1
1





(un 1)(un 2) un 1 un 2
un 2 un 1 un1 1

n
1
1
1
1
1
1

1
(

)


ui 2 i 1 ui 1 ui 1 1 u1 1 un 1 1 2 un 1 1

2
Vỡ un 1 un 3un 1 un 1 3un

Ta cú

u1 1
u 2 3u1 3
u3 3u 2 3 2 lim 1 0 lim S lim( 1 1 ) 1
n
n
n 2
n u
un 1 1 2
n 1 1
...
u n 1 3 n

x0 m m 0

Bi 18 Cho dóy s xn :
. Tỡm nlim
xn

xn 12 20062

2
x

,n N,n 1
n
xn1

1
20062
Cỏch 1 +T gi thit ta cú xn xn1

2
xn 1

Tên tác giả : Vũ trung thành

6 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
1

+Ta cú

20062

x
2006

x0
x1 2006 2 0
=

x1 2006 1
20062
x
2006
2 0
x0

x 2006 m 2006
+D oỏn n
=

xn 2006 m 2006

2
21
x0 2006
x02 2.2006. x0 20062
m 2006


2 m 2006
x02 2.2006.x0 20062
x0 2006

2n

+Chng minh quy np
n=1 , mnh ỳng
x 2006 m 2006
Gi s mnh ỳng vi n=k . Ta cú k
=

xk 2006 m 2006

2k

Cn chng minh mnh ỳng vi n=k+1.
1
20062
2
2
xk
2006
xk
xk 2006
xk 1 2006 2
xk2 2.2006.xk 20062 xk 2006
Tht vy,
=
= 2

xk 1 2006 1
xk 2.2006.xk 2006 2 xk 2006 2 xk 2006
20062
xk
2006
2
xk


2k
m

2006


=

m 2006


2


2k 1
2n
x

2006
m

2006
m

2006




=
+ Vy ta cú n
=
m




m

2006
xn 2006 m 2006




2n

m 2006

lim
=0 ( do m>0)
n
m 2006
2006 1 yn
x 2006
x 2006
Nờn lim n
=0 t yn n
m lim yn=0 => lim xn=2006
xn
n x 2006
n
n
xn 2006
1 yn
n

Cỏch 2
x 2 n 1 20062
Nhn xột vỡ x0 > 0 v xn
(*) nờn xn> 0 n . Vy (xn) l dóy b chn di.(1)
2 xn 1

Xột xn 2006 . Ta cú xn

x 2006
2006 n 1

2

2 xn1

Xột xn xn 1 . Ta cú xn xn 1

20062 x 2 n1
0
2 xn 1

0 n , n 1 xn 2006 (n , n 1) .
n , n 2 vỡ xn 2006 (n , n 1) .

Vy xn xn1 (n , n 2) . Ta cú n , n 1 (xn) l dóy gim.(2)
T (1) v (2) dóy s cú gii hn. Gi n
lim xn =y , y 0 vỡ xn luụn dng , ly gii hn hai v ca
(*)ta cú y

y 2 20062
y 2006
2y

x1 2

Bi 19(DT) Cho dóy s thc ( x n ) , n=1,2,3,...xỏc nh bi

3
2
x n1 x n 3x n 3

Tỡm s hng tng quỏt ca xn

Hng dn gii t y n x n 1, n 1
y1 3

T dóy ( x n ) ta cú dóy ( y n ) c xỏc nh nh sau

3
y n1 y n 3 y n n 1

Xột phng trỡnh x 2 3x 1 0

(1) .

Tên tác giả : Vũ trung thành

7 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
x1 x 2 3
x1 .x 2 1

D thy (1) cú hai nghim phõn bit x1, x2 v

n 1

Ta s chng minh bng quy np theo n rng y n x13 x 23
Vi n=1 hin nhiờn cú (2)
k 1
k 1
Gi s ó cú (2) vi n=k ( k 1 ). Tc l y k x13 x 23

Ta chng minh (2) cng ỳng khi n=k+1. Tht vy
Ta cú
k 1

k 1

k 1

k 1

k

k

n 1

k 1

(2)

k 1

n 1

k 1

k 1

k 1

yk 1 yk3 3 yk ( x13 x23 )3 3( x13 x23 ) x13 x23 3( x1 x2 )3 .( x13 x23 ) 3( x13 x23 )
k

k

x13 x23

vỡ x1.x2 1

Nờn (2) ỳng n 1 . T ú ta cú x n x13
d thy (1) cú hai nghim x1,2

n 1

x23

n 1

1,

3 5
2
3n 1

3n 1

3 5
3 5

Vy s hng tng quỏt ca dóy s thc ( x n ) l x n

1 .

2
2






u0 1
Bi 20 Cho s a > 2 v dóy s (un) xỏc nh bi u1 a

2
u un 2 u (n 1)

n
n 1 un21

1 1 1
1
1
Chng minh rng vi mi k N


2 a a2 4
u0 u1 u2

uk
2





ỏp ỏn
u0 1

1
a > 2 b R ,b 0 : a b
b

u1 a b

1
b

2


u12

1
1
1
1
u2 2 2 u1 b 2 b b 2 2 b

b
b
b
b
u0



2 1 2

u22

1
1
1

u3 2 2 u2 b 2 2 u2 b 4 4 b 2 2 b


b
b
b
b

u1



uk21

1 k 2
1
1
1
k 1
Tng t uk 2 2 uk 1 b 2 2k 1 b 2 2k 2 b 2 2
b
b
b
b
b

uk 2

1 1 1
1
1
Do ú
k
2 a a2 4
(1)
u0 u1 u2
u
2

k
2
b
b3
b 2 1
1
1
1

1 2

2

2 b b 4
k
2
b
b
b 1 (b 2 1)(b 4 1)

(b 1) (b 2 1)

k
b
b3
b 2 1
1
1 2
2
2

1

k
4
b
b 1 (b 1)(b 1)
(b 1) (b 2 1)
k

b2
b4
b2
2

2
1
k
b 1 (b 2 1)(b 4 1)
(b 1) (b 2 1)

Tên tác giả : Vũ trung thành

8 THPT Bình Giang

HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh



1 1
1
1
1

1 2
2

< 1
k 1
k
2
2
4
2
2
2
b 1 b 1 (b 1)(b 1)
(
b

1)

(
b

1)
(
b

1)

(
b

1)


1
1 2
1
(2) ỳng vi mi k N v mi b > 0 . Vy (1) ỳng vi
k
(b 1) (b 2 1)
mi k N v a > 2
Bi 21 Cho a1 0 . Xột dóy s (an ) cho bi an 1 ln(1 an ), n .
n(nan 2) 2
Chng minh rng lim
.
n
ln n
3
2
n
n(nan 2)

an
HD + lim
lim nan
n
n
ln n
ln n
+ Chng minh lim nan 2 (vỡ lim an 0 do an 0 v an 1 an )
n

n

2
an
+ Chng minh lim
tn ti.
n ln n
x 2 x3 x 4
x 2 x3
+ Chng minh BT x ln(1 x ) x , x 0
2 3 4
2 3
2a a a a
n(nan 2) 2
1
1
1
1
1
1

an3 an4 an5 2an 1 2an an 1an an3 an4 lim n 1 n3 n n 1
lim

n

n

6
6
4
6
3
ln n
3
an
6
2
n
an
n(2an 1 an an an 1 )
na (2a a a a )
1 1
(vỡ lim
= lim
lim n n 1 3 n n n 1 2. ).
2
n ln n
n
n
an

an
6 3
n

Bi 22 Tỡm gii hn ca dóy (un ) vi un
31 21 30 2 0

32
94

Bi gii Ta cú Sn 6

6
36
6n

... n 1 n 1 n
(9 4)(3 2) (27 8)(9 4)
(3 2 )(3 2 n )

32 2 2 3 2
3n 2 n
3n 1 2 n1
3n 2 n

6


...

6


6


n 1 n 1

3n 2 n
3n1 2 n1
27 8 9 4
3 2

n

2
1
3 2.
Vy lim Sn lim 6
n
n
n
2
3 2.
3

u1 1
Bi 23 Cho dóy s (un ) c xỏc nh nh sau
1 2
un1 un 2009 un

u
u u u
1, Chng minh lim
un 2, Tỡm lim( 1 2 3 ... n )
n
n u
u3 u4
un 1
2

(n = 1,2,3,4,)

HD
Ta cú 1 u1 u2 u3 .... un ... vy (un) l dóy tng , gi s b chn trờn
lim un a 1
n

Suy ra lim
un 1 lim(
n
n

un2
a2
un ) a
a a 0 (khụng ỳng)
2009
2009

Vy lim

un
n

Tên tác giả : Vũ trung thành

9 THPT Bình Giang

thỡ ta cú


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
un2
u
1
1
n 2009(
)
2009
un1
un un 1
u
u1 u2 u3
1
1
1
... n 2009(
) 2009(1
)
u2 u3 u4
un1

u1 un 1
un1

Ta cú un1 un
Vy ta cú

u1 1
u1 u2
un
Bi 24 Cho dóy s {un}, n = 1, 2, 3,..
...
=2008
un2 Chng minh lim
n u
un 1
2 u3
un 1 un
2008


a 1 0

an
Bi 25 Dóy s (an) c xỏc nh bi

1
*
a n 1 4 , n

Chng minh dóy (an) hi t v tỡm lim a n .
n

ỏp ỏn
1
+ Nhn thy x l mt nghim ca phng trỡnh
2

x

1
1
x 0 . Ta c/m dóy (an) hi t v 2
4

Tht vy
1
a n 1 n , n 2 (1)
4
x
1
1
+ Xột hm s f (x) vi x ,1 ta cú
4
4

+ T cỏch cho dóy ta cú

x

1
2ln 2
2ln 2 2ln 2
1
1
f '(x) .ln x f '(x) x 1 2.ln 2 x ,1 (2)
4
4
4
4
4
44
x

1
1
1
+ Mt khỏc vi i 2, n hm s f (x) liờn tc trờn cỏc on a i , hay ,a i v cú o
4
2
2
1
1
1
1
hm trong cỏc khong a i , hay ,a i , nờn tn ti ci a i , hay ci ,a i sao cho
2
2
2
2

1
f (a i ) f
2 f (a ) f 1 f '(c ) . a 1
f '(ci )
i

i
i
1
2
2
ai
2

1


1

Do (1) v (2) nờn t (3) ta suy ra f (a i ) f 2 ln 2. a i
2
2
+ Vi cỏch cho dóy ta li cú a i 1

1
1
f (a i ) f (i 2,n)
2
2

(3)

(i 2, n) (4)

(5)

1
1 1
( 2.ln 2) n 1. a 2 ( 2.ln 2) n 1
2
2 2
1
1
+ Vỡ 0 2.ln 2 1 nờn lim ( 2.ln 2) n 1 0 lim a n 1 0 hay lim a n
n
n
n
2
2

1
Vy dóy (an) hi t v cú gii hn bng
2

+ T (4) v (5) suy ra a n 1

Tên tác giả : Vũ trung thành

10 THPT Bình Giang

(1)


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
1

u1 2
Bi 28(DH)(Dong_Thap_09_10) Cho dóy s (un) xỏc nh bi
u 1 u 3 3 u 2 n 1
n
n
n 1
2
2

Chng minh rng dóy s (un) cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ca dóy s.
3
f '(x) 3x x 2 0 x 0;1
2

3
1
2
2
f(x) tng trờn 0;1 v 0 f(x) 1 x 0;1

HD Xột hm s f ( x ) x 2 x 3 vi x 0;1 , ta cú

Chng minh un 0;1 , n 1 .

1
2

Tht vy u1 0;1 .

3
1

u k 1 u2k u3k 0 u 1 u 0;1


k 1
k 1
2
2
0

u

1

k
Do f tng nờn f un f un1 cựng du vi un un1

Gi s u k 0;1 , k 1 thỡ
u n 0;1 , n 1 .

Vy

Suy ra un 1 un cựng du vi un un1 .

Lp lun tip tc ta i n un 1 un cựng du vi u2 u1
5 1
3
0 u n 1 u n 0 u n 1 u n n 1
16 2
16
1
1
Suy ra un l dóy gim Li do u1 nờn suy ra c un 0;
2
2
Dóy un gim v b chn nờn hi t n L l nghim ca phng trỡnh

Vỡ u2 u1

f(x) x

x 0
3 2 1 3
x x x x x 2 3x 2 0 x 1
2
2
x 2

Do 0 L

1
nờn L 0 . Vy nlim
un 0

2

Chỳ ý Hc sinh cú th lp lun nh sau Dóy un gim v b chn nờn tn ti gii hn hu hn
lim un L

n

3
2

1
2

T un1 un2 un3 v ly gii hn hai v khi n , ta cú

Do 0 L

L 0
3 2 1 3
L L L L 1
2
2
L 2

1
nờn L 0 . Vy nlim
un 0

2

u1 = 2008

Bi 29 Cho dóy s (u n ) xỏc nh bi cụng thc u = 1 2007u + 2008 ; n 1, n N.

n
n+1 2008
u2007

n


Tỡm limu n ?
x1 2007

Bi 30 Cho dóy s thc (xn) xỏc nh bi x 3
n1


xn
x n2 1

n 1

1/ Chng minh dóy s (xn) b chn.
2/ Chng minh dóy s (xn) cú gii hn v tỡm gii hn ú.

Tên tác giả : Vũ trung thành

11 THPT Bình Giang

HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

Bi 31 Cho dóy {un} , n l s nguyờn dng , xỏc nh nh sau

u1 1

1 un2 1

un 1
un

un 0


. Tớnh un v chng minh rng u1+u2++ un 1 [1 ( 1 )n1 ]
4


2 1
8
u1 2

Cho dóy s (un) xỏc nh bi
un 2 1
u n1
1 (1 2 )u n


2

Bi 32 Chng minh rng tg

(n 1,2,3,...)

Tớnh u 2006 .

HD
2

2 ( 2 1) 2 , vỡ tg 0 nờn ta cú tg 2 1
a) tg 2
8
8
8
2
1
2
u 2 1
b)Ta cú u n1 n
. t u1 = tga .
1 ( 2 1)u n



u1 tg
tg (a ) tg
u

2

1

8 tg (a )
8
8
Ta cú u 2
, u3 2



8
1 ( 2 1)u 2 1 tg (a ).tg
1 u1 .tg
8
8
8

= tg (a 2. )
8
1

(0,5)

(0,5)

* Bng qui np , ta chng minh c
u n tg[a (n 1)

] , vi mi n nguyờn dng
8

(0.5)

8

5
5

1
) tg
cot g
8
8
8 1 2
1 1
1
Bi 33* Cho dóy s u n n* c xỏc nh bi u n ...
n 1
1! 2!
n!
1) Chng minh tn ti gii hn hu hn lim u n

* Vi n = 2006, ta cú u 2006 tg (a 2005. ) tg (25

n

2) t nlim
u n . Chng minh l s vụ t.

HD
Rừ rng u n 1 u n , n * , nờn {un} l dóy n iu tng.Hn na,
k 3, k! 1.2.3...k 1.2.2...2 2k 1 .
1
1 n
1 1
1
1
1
1
Do ú, n 3 , ta cú u n ... 1 ... n 1 2 2 n 1 2 .
1
1! 2!
n!
2
2
2
1
2

Nh vy {un} l dóy n iu tng v b chn trờn bi 2 nờn tn ti gii hn hu hn nlim
un .

Tên tác giả : Vũ trung thành

12 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

p
vi p,q * ( vỡ 0 ) vi (p,q) = 1
q
n
q 1 1
n (q 1)!
1 q 1 (q 1)!
n 1
Khi ú, (q 1)! (q 1)! lim (q 1)! lim
lim

n
n
n
k 1 k!
k 1 k! k q 2 k! k 1 k!
k q 2 k!

Gi s l s hu t,

q 1

Vỡ (q 1)! v

q 1
n (q 1)!
(q 1)!
(q 1)!
l 2 s nguyờn dng nờn lim
l mt

(q 1)!

n
k!
k!
k 1
k 1
k q 2 k!



s nguyờn (*) .
n

1
1
1
(q 1)! (q 1)! (q 1)!
(q 1)!


...


...
q 2 (q 2)(q 3)
(q 2)(q 3)...n
k!
(q 2)! (q 3)!
n!

k q 2
1


1
n

1
1
1
1
1
1
(q 2)

...
<

.
=
, n q 2
1

2
n
n
1
q 2 (q 2)
(q 2)
q 2 1

q 1 (q 2)

q 2

n (q 1)!
1
1

0
1.
Do q + 2 > 1 nờn nlim
.Do
ú,
0
<
lim


(q 2) n
n
k!
q

1
k

q

2

M 0



iu ny mõu thun vi (*). Do ú iu gi s l sai hay l s vụ t
U 1 1
Bi 34* Cho dóy s ( U n ) xỏc nh bi
4
3
3
U n 1 log 3 U n 1 3 , n 1

Tỡm lim U n
n

ỏp ỏn
Chng minh bng quy np ta c
Xột hm s f ( x ) log 3

3

4
Un 2
3

(0,5 )

, n 2

x2
f ( x) 3
( x 1) ln 3

4
x 1 Vi x>0, ta cú
3

'

3

x3 x3
3x 2
Theo bt ng thc Cụsi 1 3
(do x>0)

0 f ' ( x) k
2
2
4
Xột hm s g ( x) f ( x) x vi x>0 g ' ( x) f ' ( x ) 1 0 g ( x) nghch bin trờn (0;) v
g(2)=0.Do ú phng trỡnh g(x)=0 cú nghim duy nht x=2 trờn (0;)
(0,5)
hay phng trỡnh f ( x) x cú nghim duy nht x=2 trờn (0;)

Theo gi thit
U n 1 2 f (U n ) f (2)
(1)

Theo nh lớ Lagrang hm s f (x) liờn tc trờn U n ;2 v cú o hm trong (U n ;2)
Nờn c (U n ;2) sao cho f (U n ) f ( 2 ) f ' ( c )( U n 2 )
(0,5)
(2)
T (1), (2) U n 1 2 f (U n ) f (2) f ' (c) | U n 2) |
k | U n 2 ... k n | U1 2 |;

n 1 | U n 2 | k n 1 | U n 2 |; n 2 lim U n 2
n

Bi 35(Binh_Dinh_08_09) Xột dóy s nguyờn dng (an ) , (n=0, 1, 2.) tha món cỏc iu
a 1
kin 02

an an 1an 1

vi mi n= 1, 2, ..

a) Chng minh rng an n vi mi n 1 .
b)

Tỡm nlim


1 1 2 3
n
( ........ ) .
2
n a1 a2 a3
an

Tên tác giả : Vũ trung thành

.

13 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

Bi 35.1(Binh_Phuoc_08_09) Cho dóy s a1 ; a2 ; a3 ;......; an xỏc nh bi
a1 2008
Tỡm a2008

2
a1 a2 .... an1 an n an

HD

u 2013
Bi 35.2(DT)(Binh_Phuoc_12_13) Cho dóy s un xỏc nh bi 12

un 2011un 2013un1 1 0



1

1

1



Tỡm gii hn lim

....

x u 2012
u

2012
un 2012
2
1
2

u1
2013
Bi 35.3(DH)(Binh_Phuoc_13_14) Cho dóy s (un ) :
.
u 2 (2 9u ) 2u (2 5u ), n 1
n
n 1
n 1
n

Xột dóy s vn

u1

u
u
2 n . Tỡm lim vn .
1 u1 1 u2
1 un

HD Ta cú un 0n 1 .
2 9un1 2
2
4 10
2 2 5un
9 2
un1
un
un1
un un
x1 2013
2
t xn
n 1 . Khi ú ta cú dóy mi xn c xỏc nh bi:
2
un
xn1 xn 5 xn 9 n 1
Chng minh xn l dóy tng:

Khi ú: un2 2 9un1 2un1 2 5un

2

Xột hiu: xn1 xn xn2 5 xn 9 xn xn 3 0

Do x1 2013 3 nờn xn1 xn 0 suy ra dóy xn l dóy tng.
Chng minh (xn) khụng b chn hay lim xn :
Gi s (xn) b chn, do dóy tng v b chn nờn tn ti gii hn hu hn.
Gi s dóy (xn) cú gii hn hu hn, t lim xn a, a 2013 .
T cụng thc truy hi xn1 xn2 5 xn 9
Ly gii hn hai v, ta c: a a 2 5a 9 a 3 (khụng tha món)
Do ú dóy ó cho khụng cú gii hn hu hn.

Tên tác giả : Vũ trung thành

14 THPT Bình Giang

.


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh



1
un
u1
1
1
1

2
Ta cú: vn
...
2

...
...
n 1
2
1 u1
1 un
x

2
x

2
2 2


1
n

2
u
u
n
1


M:

1
1
1
1


2

x1 3 xn1 3
2013 3 xn1 3

1
1
1


xn 2 xn 3 xn1 3

M lim xn nờn lim vn

Do ú, ta cú: vn 2
1
1005

2(n 1)
2(n 2)
2( n n)


......

(n 1) 2 1 (n 2) 2 1
(n n) 2 1

Bi 36 Cho Sn =

Vi n = 1,2,3.... Tỡm gii hn nu cú ca S n khi n




U


Bi 37 Cho dóy s (Un) xỏc nh bi
a) Chng minh rng - 1 < Un < 0 vi
b) Chng minh rng

0 Un 1

U

n

1
a

2

n 1

1

a

1

U

1

n

U

2
n

1

1

1

trong ú -1
v (Un) l mt dóy s gim.

(U n 1)

vi

n

c) Tỡm Lim Un
HD
a) Chng minh rng - 1 < Un < 0 (2) vi n v (Un) l mt dóy s gim.CM bng quy np
- vi n = 1 thỡ U1 = a theo gi thit - 1 < a < 0 nờn (2) ỳng vi n = 1.
- Gi s (2) ỳng vi n = k - 1 < Un < 0 ta CM (2) ỳng vi n = k + 1.
T (2) ta cú 0 < Un + 1 < 1 (*) Do ú 0 U n 2 1 1 v 1 U n 2 1 1 0
Un 1

U

n

1

U n2

tc l - 1 < Un+1 < 0 Vỡ - 1 < Un < 0 nờn Un + 1 v 0 vi n
T (1) suy ra U n 1 U n2 1 (U n 1) 1 U n Vy Un l dóy gim.
Un 1

b) T ng thc (1) suy ra Un1 1

1

(Un 1) n (3) Vỡ U l dóy gim; -1 < U <
n
n
Un2 1
0 vi mi n v U1 = a nờn 1 Un a 0 vi n t ú suy ra U n a U n2 a 2
1

Do ú

U n2

1

1



a 1

Theo chng minh trờn ta cú
c) t Vn
Ta cú V2

U n 1;

q

v t (3) ta cú

n

2

0 U n 1 1

1
2

a 1

U n 1 1
1
a2 1

1
2

a 1

(U n 1)

ta cú 0 < q < 1, Vn > 0 v Vn 1

(U n 1)

n

n

qV

. n

n

V1 .q (a 1).q

V3 V2 .q (a 1).q 2
...................................
0 Vn (a 1).q n 1

n

n-1

Vỡ Lim (a + 1). q = (a + 1). Lim qn - 1 nờn Lim Vn = 0 Hay Lim Un = - 1
Bi 38(CS) Cho dóy (Un), bit U1 = 1, v dóy (Vn) vi Vn = Un+1 - Un , n = 1,2 . Lp thnh
cp s cng, trong ú V1 = 3; d = 3 . Tớnh S U 1 U 2 U n
Gii
Tên tác giả : Vũ trung thành

15 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
Vn V1 n 1d 3 3n 1 3n . Vỡ

Vn U n1 U n U n 1 U n 3n U n1 U n 3n

2

Nờn U n cú dng an + bn + c an 12 bn 1 c an 2 bn c 3n
3

a 2
3
3
n 2a - 3 a b 0 (ng nht).
U n n2 n c
2
2
b 3

2
3
3
Chn n = 1 c =1 . Vy U n n 2 n 1 .
2
2
3
3
3 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1)
n3 n
Nờn S n 1 2 ... n 1 2 ... n n

n
2
2
2
6
2

2
2
1 x 1
x
1
x
tg 2 tg 2 ... n tg n
2 2 2
2
2
2
u
x
1
x
HD Ap dng ln u / / co (ln cos n ) / tg n
2 2
u
2
x
x
x
Do ú nu t Pn cos . cos 2 ... cos n S n (ln Pn ) /
2
2
2
1
x
x
x

x
1
1
cú Pn
sin n cos n . cos n 1 ... cos
...
. n sin x
x
x
2
2
2
2
sin n
sin n 2
2
2

Bi 39(LG) Tớnh tng sau

Sn =

/

do ú

1
1
1
x
S n ln
. n sin x cot gx n cot g n
x 2


2
2
sin n

2



Bi 41(Binh_Phuoc_08_09) Cho dóy s (an) xỏc nh bi
a1 2008
Tớnh a2008 .

2
a1 a2 ... an 1 an n an , n 1

Bi 42 Cho dóy s U n c xỏc nh bi
u1 5
u n 1

n
1 2

1
u n u n 9 ; n N ; n 1 . t v n
;n N ; n 1

5
k 1 u k 2

Tớnh nlim
vn

Tên tác giả : Vũ trung thành

16 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
1 2
5
1
1
2
u n u n 9 u n u 2n 6u n 9 u n 3 0 ; n 1

5
5
5
5
l dóy tng Mt khỏc nu dóy u n b chn trờn thỡ nú s cú gii hn

Li gii u n 1 u n

Vy u n

1 2
1
un un 9 a a2 a 9 a 3

5
5
1
iu ny khụng th xy ra vỡ a 5 Vy lim u n Ta cú u k 1 u k2 u k 9
n
5
2
5 u k 1 3 u k u k 6 5 u k 1 3 u k 3 u k 2

Gi s lim u n a a 5 lim u n 1 lim
n
n
n



1
u k 1 3



5

u k 3 u k 2

do

1
1
1


u k 2 u k 3 u k 1 3

u k 5 ; k 1

n

1
1
1
1
1



u1 3 u n 1 3 2 u n 1 3
k 1 u k 2

Do ú v n

Vy nlim
vn

x1 2007

Bi 43(DH) Cho dóy s thc (xn) xỏc nh bi x 3
n 1


1
2

xn
xn2 1

n 1

1/ Chng minh dóy s (xn) b chn.
2/ Chng minh dóy s (xn) cú gii hn v tỡm gii hn ú.
HD
(1) Quy np xn > 3 (hc sinh nhn xột m khụng chng minh thỡ cng chõm trc)
xn 1 3

xn
2
n

= 3 1

x 1

1

3 2 n 1 Vy xn 2007 vi mi n ==> dóy b chn
x 1
2
n

x

(2) Cỏch 1 Hm f(x) = 3

x2 1

= 3 1

1
nghch bin trờn ( 3; ) nờn chng minh
x 1
2

c cỏc dóy con (x2n) v (x2n+1) l n iu.
Theo 1/cỏc dóy ú b chn nờn cú limx2n =a;limx2n+1 =b; T
b

a 3
b2 1


a
b 3

a2 1

Suy ra

a

a

a2 1

b

b

g(x) = x

b2 1

xn

xn 1 3

x
x2 1

qua gii hn ta cú

x n2 1

cú g(x) = 1 -

1
( x 2 1) x 2 1

x 3 nờn g(x) ng bin t ú a = b hay limx2n =limx2n+1 ==> limxn = a= b.

Lỳc ú a l nghim pt
Cỏch 2 f(x) = 3

x 3

x
2

x
x 2 1

==> f(x) = -

x 1

Cú

f(x) = x <==> x 3

3 15
==> lim xn =
2

<==> x =

1
2

( x 1)

x
x 2 1

3

==> f ' ( x)

<==> ( x 3 ) 2

1
2 2

3 15
2

khi x > 3 .

x2
<==>
x2 1

x 2 3x 1(l )
3 15
( x 2 3 x ) 2 2( x 2 3 x ) 3 0
<==>

x
=
=a
2
2
x 3x 3

Tên tác giả : Vũ trung thành

17 THPT Bình Giang

>0


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

p dng nh lý Lagrang cú
x n1 a f ( x n ) f (a) f ' ( n ) x n a

limxn = a =

1
2 2

x n a ... (

1
2 2

) n x1 a n

0


Do ú

3 15
.
2

Bi 44(Ha_Noi_08_09) Cho dóy s (un) vi un

1
2

4n 1

. Thnh lp dóy s (sn) vi s1 = u1, s2 =

u1 + u2, s3 = u1 + u2 + u3, , sn = u1 + u2 ++ un. Tỡm lim sn
Bi 45 Cho dóy s (an) bit

1

a1 a2 2 a3 1
a a
a
a
Hóy tớnh F= 2008 2006 2007 2005

a .a 5

a2007
a 2006
an3 n1 n 2

an

Bi 46 Cho dóy s (u n ) xỏc nh bi cụng thc
u1 = 2008

2
2
u n+1 = u n - 4013u n + 2007 ; n 1, n N.
a) Chng minh u n n + 2007; n 1, n N .
b) Dóy s (xn) c xỏc nh nh sau
1
1
1
xn =
+
+ ... +
; n 1, n N.
u1 - 2006
u 2 - 2006
u n - 2006
Tỡm lim x n ?
Bi 47(Quang_Nam_06_07) Cho dóy s (an) c xỏc nh nh sau

a1 1,a 2 2,a3 24

2a n-1 (3a n-1.a n-3 4a 2n-2 )

, n 4
a n
a
.a
n-2 n-3


Tỡm an

Bi 48(Quang_Nam_07_08) Tỡm s hng tng quỏt un ca dóy s (un) tha món iu kin sau

u1 a, u2 b, a R , b R

1

2
un 2 un .un 1 3 , n N *
Bi 49(Binh_Dinh_08_09) Xột dóy s nguyờn dng (an ) , (n=0, 1, 2.) tha món cỏc iu
a 1
kin 02

an an 1an 1

vi mi n= 1, 2, ..

a) Chng minh rng an n vi mi n 1 .
b) Tỡm nlim

1 1 2 3
n
( ........ ) .
2
n a1 a2 a3
an

Bi 50*(Dong_thap_07_08) Cho dóy {un} , n l s nguyờn dng , xỏc nh nh sau
u1 1

1 un2 1

Tớnh un v chng minh rng u1+u2++ un 1 [1 ( 1 )n1 ]
un 1
un
4
2

un 0


Tên tác giả : Vũ trung thành

18 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
1
1 tg 2 1 cos 1

HD un tg 0, 0 ta c un1

tg
sin
2
tg
2
cos





V 0 tg sn u1 u2 ... un m u1 1 tg tg
u2 tg
,..., un tg
2
2
4
2.2
2.2
2.2n





1
1

1
sn tg
tg
... tg
1
...
1 ( 2 ... n ) 1 (1 ( ) n 1 ) (pcm)
2
n
2
n
2.2
2.2
2.2
2.2
2.2
2 2
2
4
2
1

u1 2
Bi 53(Dong_thap_08_09) Cho dóy s (un) xỏc nh bi
u 3 u 2 1 u 3 n 1
n 1 2 n 2 n

Chng minh rng dóy s (un) cú gii hn hu hn v tỡm gii hn ca dóy s
Bi 53.1(Dong_thap_08_09) . Cho dóy s un ; n = 1,2, c xỏc nh nh sau:

u1 1

u n 1

n

t S n

u n ( u n 1)( u n 2)( u n 3) 1; n 1, 2, ...

i 1

1
ui 2

Sn
(n =1,2,). Tớnh lim
n

HD
Ta cú: un1 un (un 1)(un 2)(un 3) 1
(un2 3un )(un2 3un 2) 1
(un2 3un 1) 2 un2 3un 1

( vỡ un 0, n )

un1 1 (un 1)(un 2)


1

un1 1



1
1
1
1
1
1





(un 1)(un 2) un 1 un 2
un 2 un 1 un1 1

n

n
1
1
1
1
1
1
1
Sn
(

)


ui 1 1 u1 1 un1 1 2 un 1 1
i 1 ui 2
i 1 ui 1

Vỡ un 1 un2 3un 1 un 1 3un
Ta cú:

u1 1
u 2 3u1 3
u3 3u 2 3 2

lim
n

...

1
u n 1

1
1
1
)
0 lim S n lim(
n
n 2

un 1 1 2
1

u n 1 3 n
Bi 53.2(Dong_thap_08_09) Cho dóy s (Un) xỏc nh bi:



U


U
n 1



U

1

1

n

U

a

2
n

1

1

(1 )

1. Chng minh rng: - 1 < Un < 0 vi

trong ú -1
n

v (Un) l mt dóy s gim.

2. Tỡm Lim Un
HD
CM bng quy np:
Tên tác giả : Vũ trung thành

19 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

- vi n = 1 thỡ U1 = a theo gi thit - 1 < a < 0 nờn (2) ỳng vi n = 1.
- Gi s (2) ỳng vi n = k: - 1 < Un < 0 ta CM (2) ỳng vi n = k + 1.
T (2) ta cú: 0 < Un + 1 < 1 (*)
Do ú

0

Un 1
U n2 1

1

v 1

U

1

n

U

2
n

1

1 0

tc l: - 1 < Un+1 < 0
Vỡ - 1 < Un < 0 nờn Un + 1 v U n2 0 vi n
T (1) suy ra: U n 1 U n2 1 (U n 1) 1 U n
Un 1

Vy Un l dóy gim.

(2) t Vn U n 1;
v Vn 1

qV
. n

Ta cú: V2

q

1
2

a 1

ta cú: 0 < q < 1, Vn > 0

n

V1 .q (a 1).q

V3 V2 .q (a 1).q 2
...................................
0 Vn (a 1).q n 1

Vỡ Lim (a + 1). qn - 1 = (a + 1). Lim qn - 1 nờn Lim Vn = 0
n

Hay Lim Un = - 1
u1 3

Bi 53.3(Dong_thap_10_11) Cho dóy s
un2 2 . Hóy tỡm cụng thc s hng tng quỏt
u

n1 2u 3

n

Tên tác giả : Vũ trung thành

20 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

1
2

Bi 53.4(Dong_thap_12_13) Cho dóy s (an ) tha món iu kin a1 , an1 an

an2
2013

(n 1)

a) Chng minh rng dóy (an ) l dóy s tng nhng khụng b chn trờn.
n

b) t Sn
i 1

1
. Tỡm lim Sn .
n
ai 2013

HD
Theo bi ta suy ra an 1 an

an2
0
2013

, n 1 Vy (an ) l dóy s tng

Gi s nú b chn trờn thỡ nú phi cú gii hn hu hn L. Chuyn ng thc truy hi sang gii
hn, ta cú L L

L2
L0
2013

Nhng (an ) l dóy s tng v bt u bng

1
nờn iu ny khụng th xy ra. Mõu thun. Vy
2

iu gi s l sai v nh th dóy s (an ) khụng b chn trờn.
an2

1
1
a a
1
2013
(b) Ta cú

n 1 n

2
a n a n 1
a n a n 1

a an 2013
an an n
2013

n

T ú

Sn
i 1

1
1
1
1
1

Ta cú lim an nờn lim Sn lim
2
n
n
n a
ai 2013 a1 an 1
1 an 1

x1 2007

Bi 54(Ninh_Binh_07_08) Cho dóy s thc (xn) xỏc nh bi x 3
n1


xn
x n2 1

n 1

1/ Chng minh dóy s (xn) b chn.
2/ Chng minh dóy s (xn) cú gii hn v tỡm gii hn ú
2
2
2
Bi 55 Cho dóy s U n c xỏc nh nh sau U n n 2 n 1 n 2 n 3 , n 1, 2,3,... Tỡm
tt c cỏc s hng ca dóy chia ht cho 10.
Bi 56 Cho f(x) lmt a thc vi h s hu t, l s thc sao cho
3
3 [ f ( )]3 f ( ) 32007 Chng minh rng f ( 2007) ( ) f ( 2007) ( ) 32007 .
Trong ú f ( n ) ( )

f ( f (... f ( ))...) vi mi s t nhiờn n 1.

n

HD
3
Ta xột phng trỡnh x3 x = 32007 (1)T gi thit 3 f ( ) f ( ) = 32007
suy ra v f( ) l nghim ca phng trỡnh (1)
Ta xột hm s g(x) = x3 x trờn khong ( - ; + )
Tên tác giả : Vũ trung thành

21 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

Ta cú g/(x) = 3x2 1 , g/(x) = 0 x

1
1
, x
3
3

Bng bin thiờn

T bng bin thiờn ta thy phng trỡnh (1) ch cú mt nghim duy nht
( vỡ 32007 >

2

3 3

) t ú suy ra f ( )

Do ú f (n) ( ) =
f ( f (... f ( ))...) = vi mi s t nhiờn n 1

n

3

Vỡ vy f (2007) ( ) f (2007) ( ) = 32007
Bi 57*(DH)(An_Giang_12_13) Cho dóy s un xỏc nh nh sau
x
x
u1 sin 3 , u2 3sin 3 2
3
3
tớnh lim u1 u2 .... un


n 1
3 x
,........, un 3 sin n

3



; x 0; Xột tớnh tng, gim ca dóy s v

2

x

Tên tác giả : Vũ trung thành

22 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

Bi 58(Ba_Ria_12_13) Cho dóy s xn xỏc nh bi x1 5; xn 1
n

yn
k 1

1
2012
k

x

7

1. CMR xn l dóy s tng.

xn2013 3xn 16
, t

xn2012 xn 11

2. Tớnh lim
yn
x

Bi 58.1(Ba_Ria_13_14) Cho dóy s xn xỏc nh bi

x1 2013

xn2 8

xn1 2 x 1
n


Chng minh dóy s xn cú gii hn v tỡm gii hn ú.

Tên tác giả : Vũ trung thành

23 THPT Bình Giang


HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh
Bi 59(Bac_Lieu_08_09) Cho dóy s nguyờn dng an tha món iu kin a 2 n an1an 1

n N * Tớnh lim

n

11 2
n
... .
2
n a1 a2
an

HD Ta cú dóy an l mt dóy tng thc s,
Tht vy: nu tn ti s t nhiờn k sao cho ak 1 ak thỡ do gi thit a 2 k 1 ak ak 2 ta thu c
ak 1 ak 2 (do ak N * ) v c nh th ta c mt dóy s nguyờn dng gim thc s, iu ny
khụng th xóy ra vỡ dóy an l dóy vụ hn.
Do a1 a0 1 nờn theo phng phỏp quy np ta cú ngay an n, n N * .
Suy ra:

1 2
n
... n
a1 a2
an



1
t 12 1 2 ... n un thỡ 0 un
n
n a1 a2
an


Vy lim 12 1 2 ... n 0 (theo nguyờn lớ kp)

n
n a1

a2

an

Bi 60(Bac_Lieu_10_11) Cho dóy s khụng õm ai , vi i 0,1, 2,... tha iu kin
am n am n

1
a2m a2n vi mi cp ch s m,n tựy ý m m n . Tớnh a2010 bit a1 1
2

HD

Bi 60.1(DT)(Bac_Lieu_11_12) Tỡm lim
vn Bit dóy vn tha món
x
2
4
v1 ; v2 , vn1.vn 2vn 2 .vn1 3vn 2 .vn vn 2 3vn1 2vn , vn # 1, n 1
3
5

HD

Tên tác giả : Vũ trung thành

24 THPT Bình Giang

HSG: Một số bài toán dãy số và phương trình hàm trong các đề thi HSG tỉnh

Bi 60.2(DT)(Bac_Lieu_11_12) Cho dóy sụ un tha món u1 3; u2 5, un 2 3un1 2un n 1
Tỡm s hng tng quỏt

Bi 60.3(DT)(Bac_Lieu_13_14) Cho dóy s un cú u1

1
u2
; un 1 un n n 1
2013
2014

a) CMR dóy un l dóy s tng nhng khụng b chn trờn
n

1
. Tớnh lim
Sn
x
k 1 u k 2014

b) t S n
HD

Tên tác giả : Vũ trung thành

25 THPT Bình Giang