Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân (LV01899)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN QUANG HUY

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN QUANG HUY

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THÀNH ANH

HÀ NỘI, 2016


i

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành Anh, Thầy đã
trực tiếp giảng dạy, tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2; các thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ và
động viên để tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Nguyễn Quang Huy


ii

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này do tôi hoàn thành dưới sự hướng dẫn của
TS. Nguyễn Thành Anh.
Trong quá trình hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học
của các nhà toán học với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc. Luận văn này không
trùng lặp với bất kỳ luận văn, luận án khác. Các kết quả trích dẫn trong luận
văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Nguyễn Quang Huy


iii

Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị . . . . . . .

3

1.2. Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3. Bao hàm thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Một số khái niệm và kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Chương 2. Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân . . . . . . . . .

15

2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32


1

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Bất đẳng thức vi biến phân (DVIs) là mô hình tổng quát của nhiều bài toán
trong các lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưu hóa và khoa học kĩ
thuật. Đến nay bất đẳng thức vi biến phân được nhiều nhà toán học nghiên
cứu và đạt được nhiều kết quả phong phú bao gồm các kết quả về sự tồn tại
nghiệm, tính duy nhất của nghiệm, cấu trúc và dáng điệu của tập nghiệm
v.v... Tuy nhiên các đề tài nghiên cứu về tính ổn định của bất đẳng thức vi
biến phân còn ít. Với mong muốn tìm hiểu thêm về tính ổn định của bất đẳng
thức vi biến phân và dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh, tôi đã
chọn đề tài "Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân". Cụ thể tôi xét
bài toán sau:
Giả sử (Z1 , d1 ) và (Z2 , d2 ) là hai không gian metric. Giả sử L ⊂ Rn là
một tập lồi đóng bị nhiễu bởi tham số u thay đổi trong (Z1 , d1 ). Điều này có
nghĩa: L : Z1 ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị với giá trị lồi đóng khác rỗng.
Giả sử H : Rn ⇒ Rn là ánh xạ đa trị bị nhiễu bởi tham số v thay đổi trên
(Z2 , d2 ). Điều này có nghĩa là H : Rn × Z2 ⇒ Rn .
Chúng tôi xét bất đẳng thức vi biến phân DM V I(H(·, v), L(u)):



x(t)
˙
= a(t, x(t)) + b(t, x(t))w(t),


w(t) ∈ S(L(u), c(t, x(t)) + H(·, v), ϕ), ∀t ∈ [0, T ],




 x(0) = x .
0

(1)

Tập nghiệm yếu Caratheodory của bài toán này được kí hiệu là S(DM V I(u, v)).
Các nghiên cứu của chúng tôi chủ dựa trên sườn chính của tài liệu tham
khảo số [5]


2

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân (1). Cụ thể chúng
tôi nghiên cứu tính nửa liên tục trên và cả tính liên tục của S(DM V I(u, v))
khi cả L và H bị nhiễu bởi hai tham số khác nhau.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các tính chất của ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory dưới một
số điều kiện.
Thiết lập những kết quả về tính liên tục và nửa liên tục liên quan đến ánh
xạ nghiệm yếu Carathéodory khi ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu bởi hai
tham số.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Bất đẳng thức vi biến phân có nhiễu dạng (1).
Phạm vi nghiên cứu: Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân (1).
5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập và nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới
trong và ngoài nước về vấn đề cần nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp của giải tích đa trị, phương pháp biến phân, ...

6. Giả thuyết khoa học
Có thể đưa ra được một số điều kiện đảm bào tính ổn định của bất đẳng
thức vi biến phân.


3

Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về ánh xạ đa
trị, bao hàm thức vi phân và một số khái niệm kết quả khác.

1.1. Tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của ánh xạ đa
trị
Nội dung trình bày ở mục này chủ yếu được lấy từ các tài liệu (xem [1][5]).
Cho X, Y là các tập bất kì và P (Y ) là tập tất cả các tập con khác rỗng
nằm trong Y .
Định nghĩa 1.1.
Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là một tương ứng mà mỗi x ∈ X cho ta một tập
khác rỗng F(x) ⊆ Y , F(x) được gọi là giá trị của x. Vì vậy ánh xạ đa trị F
có thể viết như sau
F : X → P (Y ).
Nếu A ⊆ X thì
F(A) =

F(x)
x∈A


4

và được gọi là ảnh của A qua F.
Tập ΓF ⊆ X × Y được định nghĩa
ΓF = {(x, y) : (x, y) ∈ X × Y, x ∈ X, y ∈ F(x)}
là đồ thị của ánh xạ đa trị F.
Cho V ⊆ Y , F+−1 (V ) được định nghĩa
F+−1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ⊂ V }
và F−−1 (V ) được định nghĩa
F−−1 (V ) = {x ∈ X : F(x) ∩ V = ∅}.
Cho X, Y là không gian tôpô.
Định nghĩa 1.2.
Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục trên tại một điểm x ∈ X
nếu với mỗi tập mở V ⊂ Y sao cho F(x) ⊂ V thì tồn tại một lân cận U (x)
của x sao cho F(U (x)) ⊂ V .
Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tục
trên tại mọi điểm x ∈ X.
Mệnh đề 1.1.
Các điều kiện sau là tương đương :
(i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục trên;
(ii) tập F+−1 (V ) là mở với mỗi tập mở V ⊂ Y ;
(iii) tập F−−1 (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q ⊂ Y .


5

Định nghĩa 1.3.
Ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) được gọi là nửa liên tục dưới tại một điểm
x ∈ X nếu với mỗi tập mở V ⊆ Y sao cho F(x) ∩ V = ∅ thì tồn tại một lân
cận U (x) của x sao cho F(x ) ∩ V = ∅ với mọi x ∈ V (x).
Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên tục

dưới tại mọi điểm x ∈ X.
Định lý 1.1.
Các điều kiện sau là tương đương:
(i) ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) là nửa liên tục dưới;
(ii) tập F−−1 (V ) là mở với mỗi tập mở V ⊂ Y ;
(iii) tập F+−1 (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q ⊂ Y .
Định nghĩa 1.4.
Một ánh xạ đa trị F vừa là nửa liên tục trên và vừa là nửa liên tục dưới thì
được gọi là liên tục.
Ta xét một lớp các ánh xạ đa trị quan trọng hơn.
Định nghĩa 1.5.
Một ánh xạ đa trị F được gọi là đóng nếu đồ thị của nó ΓF = {(x, y) :
x ∈ X, y ∈ F(x)} là một tập con đóng của không gian X × Y .
Mệnh đề 1.2.
Các điều kiện sau là tương đương:
(i) ánh xạ đa trị F là đóng;


6

(ii) với mỗi dãy suy rộng {xα } ⊂ X, {yα } ⊂ Y , sao cho yα ∈ F(xα ) nếu
xα → x và yα → y thì y ∈ F(x).
Điều kiện sau cùng có thể sử dụng dãy thông thường với điều kiện X và
Y là các không gian metric.
Cho Y là không gian metric. Hàm số h : K(Y ) × K(Y ) → R+ xác định
như sau
h(A, B) = inf{ > 0 : A ⊂ V (B), B ⊂ V (A)},
ở đây V là một − lân cận của một tập, được gọi là metric Hausdorff trên
K(Y ).
Mệnh đề 1.3.

Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric. Ánh xạ đa trị
F : X → K(Y ) là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục như là một ánh xạ đơn
trị từ X vào không gian metric (K(Y ), h).
Mệnh đề 1.4.
Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric và F : X → C(Y ) là
một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên. Khi đó F là đóng.
Định nghĩa 1.6.
Cho X là không gian tô pô tuyến tính. Tập A ⊂ X là tập lồi nếu ∀a, b ∈ A,
với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λa + (1 − λ)b ∈ A.
Tập A ⊂ X với mọi ∀a, b ∈ A đoạn thẳng nối a và b được xác định bởi
[a, b] = {x ∈ A : x = λa + (1 − λ)b; 0 ≤ λ ≤ 1} .


7

Định nghĩa 1.7.
Cho A ⊂ X. Khi đó
i) Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A được gọi là bao lồi của A
n

coA =

x∈X: x=

αi xi , xi ∈ A,

i = 1, 2, · · · , n ;

i=1

ii) Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa tập A được gọi là bao lồi đóng của
A, ký hiệu là coA.
Ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau:
1) A là tập lồi khi và chỉ khi A = coA;
2) coA là tập lồi nhỏ nhất chứa A;
3) coA là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A;
4) A là tập lồi đóng khi và chỉ khi A = coA.
Mệnh đề 1.5.
Giả sử A ⊂ X là một tập lồi, khi đó
i) Phần trong intA và bao đóng A là các tập lồi;
ii) Với x1 ∈ intA, x2 ∈ A thì [x1 , x2 ) ⊂ intA;
iii) Nếu intA = ∅ thì A = intA, intA = intA.
Ta có một vài khái niệm sau:
C(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là đóng};
K(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là compact};
P v(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là lồi};
Cv(Y ) = P v(Y ) ∩ C(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là đóng và lồi};


8

Kv(Y ) = P v(Y ) ∩ K(Y ) = {D ∈ P (Y ) : D là compact và lồi}.
Khi ánh xạ đa trị F nhận giá trị trong các tập C(Y ), K(Y ) hoặc P v(Y )
thì ta nói F tương ứng có giá trị đóng, compact hoặc lồi.
Từ định nghĩa ta thấy rằng một ánh xạ đa trị đóng có giá trị đóng.
Để xây dựng điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị đóng trở thành nửa liên tục
trên, ta cần các định nghĩa sau
Định nghĩa 1.8.
Một ánh xạ đa trị F : X → P (Y ) được gọi là:

(i) compact nếu miền giá trị F(X) là compact tương đối trong Y , tức là
F(X) là compact trong Y
F(X) =

F(x);
x∈X

(ii) compact địa phương nếu với mọi điểm x ∈ X có lân cận U (x) sao cho
hạn chế của F trên U (x) là compact;
(iii) tựa compact nếu hạn chế của nó trên mọi tập compact A ⊂ X là compact.
Rõ ràng (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii).
Mệnh đề 1.6.
Cho F : X → K(Y ) là ánh xạ đa trị đóng và compact địa phương. Khi
đó F là nửa liên tục trên.
Định nghĩa 1.9.
Cho X là không gian metric. Một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên
F : X → K(Y ), compact trên mỗi tập con bị chặn của X được gọi là nửa
liên tục trên hoàn toàn.


9

Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị nửa
liên tục trên.
Mệnh đề 1.7.
Cho F : X → K(Y ) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên. Nếu A ⊂ X là
một tập compact thì ảnh của nó F(A) là tập compact nằm trong Y .
Tiếp theo là những khẳng định về tính liên tục tuyệt đối của các phép toán
trên ánh xạ đa trị.
Cho X, Y và Z là các không gian tôpô.

Mệnh đề 1.8.
Nếu các ánh xạ đa trị F0 : X → P (Y ) và F1 : Y → P (Z) là nửa liên
tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích hợp thành F1 ◦ F0 : X → P (Z) được xác
định như sau
(F1 ◦ F0 )(x) = F1 (F0 )(x))
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.9.
Nếu các ánh xạ đa trị F0 : X → K(Y ) và F1 : Y → K(Z) là nửa liên
tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích Đề-các F0 × F1 : X → K(Y × Z) được
xác định như sau
(F0 × F1 )(x) = F0 (x) × F1 (x)
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.10.
Cho ánh xạ đa trị F0 : X → C(Y ), ánh xạ đa trị F1 : X → K(Y ) là nửa
liên tục trên và F0 (x) ∩ F1 (x) = ∅, ∀x ∈ X. Khi đó F0 ∩ F1 : X → K(Y ),
(F0 ∩ F1 )(x) = F0 (x) ∩ F1 (x) là nửa liên tục trên.


10

Cho X là không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô.
Mệnh đề 1.11.
Nếu các ánh xạ đa trị F0 , F1 : X → K(Y ) là nửa liên tục trên (nửa liên
tục dưới) thì tổng của chúng F0 + F1 : X → K(Y ),
(F0 + F1 )(x) = F0 (x) + F1 (x)
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.12.
Nếu ánh xạ đa trị F : X → K(Y ) là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới)
và hàm số f : X → R là liên tục, thì tích của chúng f · F : X → K(Y ),
(f · F)(x) = f (x) · F(x)

là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.13.
Cho Y là không gian Banach. Nếu ánh xạ đa trị F : X → K(Y ) là nửa
liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì bao lồi của nó coF : X → Kv(Y ),
(coF)(x) = co(F(x))
là nửa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).

1.2. Bất đẳng thức biến phân
Cho K là một tập lồi đóng trong Rn và F : K → Rn là liên tục. Xét
bài toán
Tìm u ∈ K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân sau
v − u, F (u) ≥ 0,

∀v ∈ K.

(1.1)


11

Ở đây

n

v, w =

vi wi

với v, w ∈ Rn .

i=1

Ta có một số kết quả sau đây.
Định lý 1.2 (xem [2, Định lý 3.1, trang 12]).
Cho K ⊂ Rn là compact và lồi, F : K → Rn là liên tục. Khi đó tồn tại
u ∈ K sao cho
F (u), v − u ≥ 0,

∀v ∈ K.

Định lý 1.3 (xem [2, Định lý 4.2, trang 13]).
Cho K ⊂ Rn là đóng và lồi, F : K → Rn là liên tục. Điều kiện cần và đủ
để tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.1) là tồn tại R > 0 sao cho một nghiệm
uR ∈ KR của (1.1) thỏa mãn
|uR | < R,

(1.2)

với KR = B(0, R) ∩ K.
Chứng minh.
Dễ thấy rằng nếu tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.1), thì u là một nghiệm
của (1.1) đối với miền KR , ở đây |u| < R.
Giả sử rằng uR ∈ KR thỏa mãn (1.2). Khi đó uR cũng là một nghiệm của
bài toán (1.1). Thật vậy, |uR | < R, cho v ∈ K,
w = uR + (v − uR )

∈ KR

với

≥ 0 đủ nhỏ.

Suy ra uR ∈ KR ⊂ K:
0 ≤ F (uR ), w − uR =

F (uR ), v − uR

tức là uR là nghiệm của bài toán (1.1).

với v ∈ K,


12

1.3. Bao hàm thức vi phân
Định nghĩa 1.10. Giả sử I là một khoảng trên đường thẳng thực R. Một hàm
số f : I → R là liên tục tuyệt đối trên I nếu với mỗi số dương ε, có một số
dương δ sao cho bất cứ khi nào một dãy các cặp rời nhau (xk , yk ) của I với
xk , yk ∈ I thỏa mãn
(yk − xk ) < δ
k

thì
|f (yk ) − f (xk )| < ε.
k

Ta có tính chất quan trọng sau:
Nếu f là liên tục tuyệt đối trên [a, b] thì f có một đạo hàm f hầu khắp
nơi, các đạo hàm là khả tích Lebesgue và
x

f (x) = f (a) +

f (t)dt
a

với mọi x trên [a, b].
Định lý 1.4 (Xem [4]).
Cho F : Ω ⇒ Rm là một hàm đa trị nửa liên tục trên với các giá trị khác
rỗng. Giả sử rằng tồn tại một lượng vô hướng ρF > 0 thỏa mãn
sup y : y ∈ F(t, x) ≤ ρF (1 + x ),

∀(t, x) ∈ Ω.

(1.3)

Với mỗi x0 ∈ Rn , thì bao hàm thức vi phân với giá trị ban đầu (DI)
x˙ ∈ F(t, x),

t ∈ [0, T ]

x(0) = x0
có một nghiệm yếu theo nghĩa Carathéodory.

(1.4)
(1.5)


13

Ở đây, nghiệm yếu theo nghĩa Carathéodory là hàm x(t) liên tục tuyệt đối
trên [0, T ] thỏa mãn (1.5) và thỏa mãn (1.4) với hầu khắp nơi t ∈ [0, T ].
Định lý 1.5 (Xem [4]).
Cho h : Ω × Rm → Rm là một hàm liên tục và U : Ω ⇒ Rn là một hàm
đa trị đóng sao cho với một vài hằng số ηU > 0,
sup

u ≤ ηU (1 + x ),

∀(t, x) ∈ Ω.

(1.6)

u∈U (t,x)

Giả sử v : [0, T ] → Rm là một hàm đo được và x : [0, T ] → Rm là một
hàm liên tục thỏa mãn v(t) ∈ h(t, x(t), U (t, x(t))) với mọi t ∈ [0, T ]. Khi
đó tồn tại một hàm đo được u : [0, T ] → Rn sao cho u(t) ∈ U (t, x(t)) và
v(t) = h(t, x(t), u(t)) với mọi t ∈ [0, T ].

1.4. Một số khái niệm và kết quả khác
Định nghĩa 1.11.
(i) Hàm da trị H : Rn ⇒ Rn được gọi là đơn điệu ngặt trên một tập lồi
L ⊂ Rn khi và chỉ khi với x, y bất kỳ thuộc L, x = y, (H(x)−H(y), x−y) >
0;
(ii) Hàm đa trị H : Rn ⇒ Rn được gọi là ϕ−giả đơn điệu trên một tập lồi
L ⊂ Rn khi và chỉ khi với bất kỳ x, y ∈ L, x∗ ∈ H(x), y ∗ ∈ H(y),
x∗ , y − x + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0 ⇒ y ∗ , y − x + ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0.
Dễ dàng nhận thấy rằng một ánh xạ đơn điệu ngặt là ϕ−giả đơn điệu, nhưng
ngược lại thì chưa chắc đúng.

Định nghĩa 1.12.


14

Một hàm đa trị H từ một tập X vào một tập Y được gọi là compact đều
gần x ∈ X khi và chỉ khi tồn tại một lân cận U của x sao cho bao đóng của
H(x) là compact.

tập
x∈U

Bổ đề 1.1 (Xem [1]).
Cho u(t), v(t), w(t) : [a, b] → R là ba hàm số trong đó u không âm và
khả tích Lebesgue trên [a, b], w liên tục trên [a, b] và v liên tục tuyệt đối trên
[a, b]. Giả sử rằng w(t) là một nghiệm của bất đẳng thức sau
t

w(t) ≤ v(t) +

u(s)w(s)ds, a ≤ t ≤ b
a

khi đó, với mọi t ∈ [a, b]
t

w(t) ≤ v(a)ea

u(s)ds

t

+

t

es
a

u(η)dη

.

dv
ds.
ds


15

Chương 2
Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến
phân
Trong chương này một định lý tồn tại nghiệm yếu Caratheodory của bất
đẳng thức vi biến phân được trình bày và từ đó thiết lập những kết quả về tính
liên tục và nửa liên tục liên quan đến ánh xạ nghiệm yếu Carathéodory khi
ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi hai tham số.

2.1. Phát biểu bài toán
Giả sử H : Rn ⇒ Rn là một hàm đa trị và L là một tập con đóng, lồi, khác

rỗng của Rn và ϕ : Rn → (−∞, +∞] là một hàm lồi nửa liên tục dưới thực
sự, bài toán bất đẳng thức vi biến phân là phải tìm ra u ∈ L và u∗ ∈ H(u)
sao cho với mọi u ∈ L
u∗ , u − u + ϕ(u ) − ϕ(u) ≥ 0.
Ký hiệu S(L, H, ϕ) là tập nghiệm của bài toán này. Ta viết x˙ ≡

dx
dt

là đạo

hàm thời gian của hàm x(t).
Trong chương này, ta xét bài toán bất đẳng thức vi biến phân với giá trị


16

ban đầu:

DM V I :



x(t)
˙
= a(t, x(t)) + b(t, x(t))u(t),



u(t) ∈ S(L, c(t, x(t)) + H, ϕ),




 x(0) = x0 ,

∀t ∈ [0, T ],

(2.1)

tại đó Ω ≡ [0, T ] × Rm , a : Ω → Rm , b : Ω → Rm×n , c : Ω → Rn là các
ánh xạ cho trước.
Giả sử L2 [0, T ] là kí hiệu tập tất cả các hàm đo được ω : [0, T ] → Rn , thỏa
mãn

t
0

ω(t) 2 dt < +∞.

Định nghĩa 2.1.
Cặp (x, ω) xác định trên [0, T ] được gọi là một nghiệm yếu Carathéodory
của DM V I(2.1) nếu x là một hàm liên tục trên [0, T ] và thỏa mãn phương
trình vi phân với hầu hết t ∈ [0, t] và ω ∈ L2 [0, T ] và
ω(t) ∈ S(L, c(t, x(t)) + H, ϕ) với mọi t ∈ [0, T ].
Tập nghiệm yếu Carathéodory của giá trị ban đầu DM V I(2.1) được ký
hiệu là S(DM V I) và tập tất cả các ω được kí hiệu là S(L, (q + H), ϕ).
Giả sử (Z1 , d1 ) và (Z2 , d2 ) là hai không gian mêtric. Giả thiết rằng tập
lồi, đóng, khác rỗng L ⊂ Rn bị nhiễu bởi một tham số u, (u thay đổi trên
(Z1 , d1 )) tức là L : Z1 ⇒ Rn là một ánh xạ đa trị với giá trị lồi, đóng và khác
rỗng. Cho một ánh xạ đa trị H : Rn ⇒ Rn bị nhiễu bởi một tham số v, (v

thay đổi trên (Z2 , d2 )) tức là H : Rn × Z2 ⇒ Rn . Ta xét bất đẳng thức vi biến
phân hỗn tạp tham số DM V I(H(., v), L(u)) :



x(t)
˙
= a(t, x(t)) + b(t, x(t))ω(t),



ω(t) ∈ S(L(u), c(t, x(t)) + H(., v), ϕ), ∀t ∈ [0, T ],



 x(0) = x ,
0

(2.2)


17

Tập nghiệm yếu Carathéodory của DM V I(H(., v), L(u)) được kí hiệu là
S(DM V I(u, v).
Định nghĩa 2.2.
Một hàm số a : Ω → Rm (tương ứng b : Ω → Rm×n ) được gọi là liên tục
Lipschitz khi và chỉ khi tồn tại một hằng số La > 0(Lb > 0) sao cho, với bất
kỳ (t1 , x), (t2 , y) ∈ Ω
a(t1 , x) − a(t2 , y) ≤ La (|t1 − t2 | + x − y ),

(tương ứng,

b(t1 , x) − b(t2 , y) ≤ Lb (|t1 − t2 | + x − y )) .

Trong phần tiếp theo ta sẽ sử dụng các giả thiết (A), (B) và (C) sau đây.
(A) : a, b và c là hàm liên tục Lipschitz trên Ω với lần lượt các hằng số
Lipschitz La , Lb và Lc .
(B) : b bị chặn trên Ω với σb ≡ sup

b(t, x) < ∞;

(t,x)∈Ω

(C) : a bị chặn trên Ω với σa ≡ sup

a(t, x) < ∞.

(t,x)∈Ω

Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra tính nửa liên tục trên của (DM V I(u, v))
khi cả ánh xạ và tập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi hai tham số khác nhau. Hơn
nữa, ta còn chỉ ra tính liên tục của S(DM V I(u, v)) khi cả ánh xạ và tập ràng
buộc bị nhiễu loạn bởi hai tham số khác nhau.

2.2. Tính ổn định của bất đẳng thức vi biến phân
Trong phần tiếp theo, tính nửa liên tục trên của ánh xạ tập nghiệm yếu
Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân sẽ được thiết lập trong Định
lý 2.2. Sau đó tính liên tục của ánh xạ tập nghiệm yếu Carathéodory sẽ được
thiết lập trong Định lý 2.3.

18

Bổ đề 2.1.
Giả thiết rằng H : Rn ⇒ Rn là ϕ− giả đơn điệu và nửa liên tục dưới với
các giá trị khác rỗng compact, S(L, q + H, ϕ) = ∅ với mọi q ∈ c(Ω). Khi đó
S(L, q + H, ϕ) đóng và lồi với mọi q ∈ c(Ω).
Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra rằng S(L, q + H, ϕ) đóng với mọi q ∈ c(Ω).
Giả thiết rằng ωn ⊂ S(L, q + H, ϕ) với ωn → ω0 . Khi đó tồn tại ωn∗ ∈ H(ωn )
sao cho với tất cả ω ∈ L,
q + ωn∗ , ω − ωn + ϕ (ω) − ϕ(ωn ) ≥ 0.

(2.3)

Vì H nửa liên tục trên với các giá trị khác rỗng compact, tồn tại một dãy con
của ωn∗ , ký hiệu là ωn∗ , sao cho ωn∗ → ω0∗ với ω0∗ ∈ H(ω0 ). Tính nửa liên tục
dưới của ϕ chỉ ra rằng
ϕ(ω0 ) ≤ lim inf ϕ(ωn ).
ωn →ω0

Ta suy ra từ (2.3) rằng với mọi ω ∈ L,
q + ω0∗ , ω − ω0 + ϕ(ω) − ϕ(ω0 ) ≥ 0.
Do đó ω0 ∈ S(L, q + H, ϕ) nên S(L, q + H, ϕ) là đóng.
Để hoàn thành chứng minh ta chỉ còn phải chỉ ra rằng S(L, q + H, ϕ) lồi.
Giả thiết rằng ω1 , ω2 ∈ S(L, q + H, ϕ). Ta cần chứng minh rằng
λω1 + (1 − λ)ω2 ∈ S(L, q + H, ϕ)
với bất kỳ λ ∈ [0, 1]. Thật vậy, tồn tại ω1∗ ∈ H(ω1 ) và ω2∗ ∈ H(ω2 ) sao cho
với bất kỳ ω ∈ L
q + ω1∗ , ω − ω1 + ϕ(ω) − ϕ(ω1 ) ≥ 0

19

và
q + ω2∗ , ω − ω2 + ϕ(ω) − ϕ(ω2 ) ≥ 0.
Tính ϕ− giả đơn điệu của H kéo theo rằng, với bất kỳ ω ∗ ∈ H(ω),
q + ω ∗ , ω − ω1 + ϕ(ω) − ϕ(ω1 ) ≥ 0
và
q + ω ∗ , ω − ω2 + ϕ(ω) − ϕ(ω2 ) ≥ 0.
Do vậy
q + ω ∗ , ω − (λω1 + (1 − λ)ω2 ) + ϕ(ω) − (λϕ(ω1 ) + (1 − λ)ϕ(ω2 )) ≥ 0,
với mọi ω ∈ L.
Tính lồi của ϕ kéo theo
ϕ(λω1 + (1 − λ)ω2 ) ≤ λϕ(ω1 ) + (1 − λ)ϕ(ω2 )
và do đó
q + ω ∗ , ω − (λω2 + (1 − λ)ω2 ) + ϕ(ω) − ϕ(λω1 + (1 − λ)ω2 ) ≥ 0, (2.4)
với mọi ω ∈ L.
Giả thiết rằng ω
˜ = λω1 + (1 − λ)ω2 và cho ω = ω
˜ + µ(v − ω
˜ ), với v ∈ L
và µ ∈ (0, 1]. Lấy ω
˜ µ∗ ∈ H(˜
ω + µ(v − ω
˜ ). Khi đó (2.4) kéo theo
q+ω
˜ µ∗ , µ(v − ω
˜ ) + ϕ(˜
ω + µ(v − ω
˜ )) − ϕ(˜

ω ) ≥ 0.

(2.5)

Tính lồi của ϕ kéo theo
ϕ(¯
ω + µ(v − ω
¯ )) ≤ µϕ(v) + (1 − µ)ϕ(¯
ω ).
Bây giờ (2.5) suy ra
q+ω
¯ µ∗ , v − ω
¯ + ϕ(ω) − ϕ(¯
ω ) ≥ 0.

(2.6)


20

Cho µ → 0. Vì H nửa liên tục trên với các giá trị không rỗng compact, tồn
¯ ∗ với ω
¯ ∗ ∈ H(¯
ω ). Hơn
tại một dãy con của ωµ∗ , ký hiệu là ω ∗µ sao cho ωµ∗ → ω
thế nữa (2.6) chỉ ra rằng
q + ω ∗µ , v − ω
¯ + ϕ(ω) − ϕ(¯
ω) ≤ 0
và do đó ω

¯ ∈ S(L, q + H, ϕ).
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.2.
Giả thiết rằng (a, b, c) thỏa mãn điều kiện (A) và (B), H : Rn ⇒ Rn là
một ϕ−giả đơn điệu và nửa liên tục trên với các giá trị khác rỗng compact,
L là một tập con lồi, đóng, bị chặn của Rn . Giả sử S(L, q + H, ϕ) = ∅ với
mọi q ∈ c(Ω). Khi đó bài toán DM V I(2.1) có một nghiệm yếu.
Chứng minh.
Giả sử
F(t, x) ≡ a(t, x) + b(t, x)ω : ω ∈ S(L, c(t, x) + H, ϕ).
Vì L bị chặn, tồn tại một hằng số M > 0 sao cho ω ≤ M với mọi ω ∈
S(L, q + H, ϕ). Ta suy ra từ giả thiết (A) rằng, với mọi (t, x) ∈ Ω, tồn tại
ρa > 0 và ρb > 0 sao cho
sup y : y ∈ F(t, x) ≤ (ρa + M ρb )(1 + x ).
Do vậy F có độ tăng trưởng tuyến tính. Để chứng minh tính nửa liên tục trên
của F trên Ω ta chỉ cần chỉ ra F đóng. Giả thiết rằng (tk , xk ) ⊂ Ω là một
dãy hội tụ tới (t0 , x0 ) ∈ Ω và a(tk , xk ) + b(tk , xk )ωk hội tụ tới z0 ∈ Rm khi
k → ∞, trong đó ωk ∈ S(L, c(tk , xk ) + H, ϕ) với k = 1, 2, . . . Ta suy ra tồn