Nhập môn kỹ thuật dự báo thời tiết số ĐHKHTN (ĐHQGHN)

Đại học quốc gia Hà nội
Trường Đại học khoa học tự nhiên
T. N. Krishnamurti & L. Bounoua

Nhập môn
Kỹ thuật dự báo thời tiết số
Người dịch: Kiều thị Xin

Hà nội, 52002

3


Lời nói đầu

Giáo trình Nhập môn Kỹ thuật dự báo thời tiết số của hai tác giả T. N.
Krishnamurti & L. Bounoua đầu tiên được viết cho các lớp đào tạo của Tổ chức Khí
tượng thế giới. Người tham gia các lớp này phần lớn là những sinh viên xuất sắc
chuẩn bị tốt nghiệp. Trong lần xuất bản này tài liệu được mở rộng và cập nhật
hoàn toàn những nguồn số liệu mới, các kết quả và giải thích code nguồn được
trình bày chi tiết. Các chương được sắp xếp logic theo trình tự phát triển của dự
báo số, trải rộng từ các phương pháp sai phân hữu hạn đến các bài tập động lực học
và nhiệt động lực học; cuối cùng là giới thiệu những mô hình dự báo đơn giản. Mỗi
một chương được soạn thảo có tính hợp lý riêng của nó. Tuy vậy, để thuận tiện các
chương trình cần sử dụng trong các chương khác nhau được tập hợp trong một thư
viện Fortran duy nhất.
Kèm theo giáo trình này, các phần mềm cho tất cả các bài tập trích dẫn
trong giáo trình được biên tập riêng trong Phụ lục hay lưu giữ trên một đĩa mềm.
Các đoạn mã nguồn chính cũng như những tập số liệu mẫu được giới thiệu trong
giáo trình để minh hoạ một số ví dụ. Tuy nhiên, người sử dụng cần lưu ý là không
nhất thiết phải nghiên cứu chi tiết hết những trình bày bằng sử dụng mã nguồn

trong giáo trình. Ngoài ra, phần mềm đồ hoạ không có trong thư viện. Các mã
nguồn được viết bằng ngôn ngữ Fortran chuẩn và được soạn thảo để có thể chạy
trên nhiều loại máy tính trạm (workstations) cũng như trên máy tính cá nhân.
Công trình này được biên soạn trong nhiều năm dưới sự cộng tác của nhiều
nhà khoa học và nhiều sinh viên thuộc Phòng thí nghiệm tính toán Đại học tổng
hợp California, với nhiều nguồn tài trợ kinh phí khác nhau như Quỹ khoa học quốc
gia (NSF), Hàng không Vũ trụ Quốc gia (NASA), Cơ quan nghiên cứu Hải quân
(ONR) và Cơ quan quản lý Khí quyểnĐại dương Quốc gia (NOAA).
Giáo trình Nhập môn Kỹ thuật dự báo thời tiết số được xuất bản năm 1996
tại Nhà xuất bản CRC Press,Inc., 2000 Corporate Blvd., N.W., Boca Raton, Florida
33431.
ở Việt nam, tại Bộ môn Khí tượng, Trường ĐHTH Hà nội trước đây và Trường
ĐHKHTN thuộc ĐHGQ Hà nội hiện nay, một môn học chuyên nghành tương tự là
Dự báo thời tiết bằng phương pháp số đã được giảng dạy trong nhiều năm qua,

4


chủ yếu dựa theo các tài liệu giáo khoa của Liên xô cũ, xuất bản từ những năm 70
về trước. Trong lúc đó, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của Khoa học máy tính và
Công nghệ viễn thông, chuyên nghành Dự báo thời tiếtkhí hậu bằng phương pháp
số đã và đang phát triển cực mạnh trên thế giới trong khoảng 20 năm gần đây, cả
về lý thuyết và áp dụng nghiệp vụ. ở các nước đã phát triển (Mỹ, Anh, Đức, Pháp,
Nhật, ...) đã và đang áp dụng nghiệp vụ những mô hình dự báo thời tiết , khí hậu
toàn cầu cực hiện đại, với độ phân giải ngang đến 0.5x 0.5 độ kinh vĩ trên 4050
mực theo chiều đứng.., trong số đó đã có những mô hình lồng cả khí quyển và đaị
dương. Lồng ghép vào mô hình toàn cầu là những mô hình khu vực có độ phân giải
ngang và đứng rất cao hơn, có khả năng dự báo thời tiết, khí hậu quy mô vừa
và khá tốt. Phương pháp dự báo số đã hoàn toàn thống trị ở rất nhiều nước
trên thế giới.

Để sinh viên, NCS, cán bộ nghiên cứu và tác nghiệp trong nước có thể hiểu
biết và tiệm cận với các loại mô hình hiện đại công nghệ cao như vậy và tiến tới
áp dụng chúng, trong chuyên nghành Dự báo thời tiếtkhí hậu cần cập nhật những
giáo trình mới hiện đại bổ sung làm tài liệu tham khảo trong giảng dạy bậc đại
học và sau đại học , đồng thời cần cập nhật những mô hình dự báo công nghệ cao
làm phương tiện nghiên cứu trong nhà trường cũng như áp dụng nghiệp vụ trong
sản xuất. Việc biên dịch giáo trình Nhập môn Kỹ thuật dự báo thời tiết số nhằm
góp phần thực hiện một phần nhiệm vụ nêu ra này.
Trong vài năm gần đây chúng tôi đã thử trích giới thiệu một số phần trong
giáo trình này cho SV năm thứ 4, SV hệ cử nhân tài năng Ngành Khí tượng,
Trường ĐHKHTNHN dưới dạng chuyên đề hẹp. Thực tế cho thấy, SV đã tiếp thu
rất hiệu quả, sáng tạo và rất lý thú. Đối với SV ta hiện nay nhiều nội dung trong
giáo trình này còn có thể dùng làm công cụ tập sự trong nghiên cứu khoa học.
Người biên dịch hy vọng, giáo trình Nhập môn Kỹ thuật dự báo thời tiết số
sẽ được dùng làm tài liệu bổ ích trong giảng dạy môn Dự báo thời tiết khí hậu
bằng phương pháp số trong trường đại học ở Việt nam vào những năm tới, và là
tài liệu tham khảo lý thú cho cán bộ nghiên cứu, tác nghiệp trong nghành Khí
tượngThuỷ văn cũng như các nghành khác quan tâm đến phương pháp dự báo số.
Người dịch xin chân thành cảm ơn TS Phan Văn Tân đã trao đổi và góp
nhiều ý kiến bổ ích trong quá trình dịch, CN Vũ Thanh Hằng và CN Hoàng Thanh
Vân đã góp nhiều công sức trong việc chế bản điện tử và hoàn thiện bản dịch này.

Người dịch
Hà nội, 5-2002.

5


Mục lục

Chương 1. Nhập môn .................................................................................................. 9
Chương 2. Các phương pháp sai phân hữu hạn.................................................12
2.1 Hình thành sai phân hữu hạn ..................................................................... 12
2.2 Đạo hàm bậc nhất........................................................................................ 12
2.3 Đạo hàm bậc hai.......................................................................................... 14
2.4 Toán tử Laplaxian ....................................................................................... 16
2.5 Toán tử Jacobian ......................................................................................... 21
2.6. Sai phân thời gian ..................................................................................... 25
Chương 3. Tính chuyển động thẳng đứng ........................................................33
3.1. Tính tốc độ thẳng đứng từ số liệu gió phân bố không điều hòa
trong không gian ........................................................................................ 34
3.2. Tốc độ thẳng đứng từ số liệu gió điều hòa trong không gian ....................... 42
3.3. Tốc độ thẳng đứng từ phương trình omega tựa địa chuyển......................... 43
3.4. Phương trình omega cân bằng phi tuyến đa mực........................................ 52
3.5. Các thuật toán số........................................................................................ 58
Chương 4. Xác định hàm dòng, thế tốc độ, Và độ cao địa thế vị
từ trường gió ....................................................................................................60
4.1. Phương pháp lỏng dần (relaxation method) ................................................ 61
4.2. Phương pháp biến đổi Fourier .................................................................... 63
4.3. Độ cao địa thế vị từ trường gió.................................................................... 69
Chương 5. Phân tích khách quan ........................................................................74
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.

Phương pháp Panofsky, gần đúng đa thức.................................................. 74
Phương pháp Cressman và kỹ thuật hiệu chỉnh liên tiếp ........................... 76
Sơ đồ phân tích khách quan Barnes ........................................................... 81
Kỹ thuật nội suy tối ưu............................................................................... 87

Chương 6. Những khái niệm vật lý cơ bản........................................................94
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.

Biến đổi các biến ẩm................................................................................... 95
Xác định mực ngưng kết nâng (LCL) .......................................................... 98
Profin đoạn nhiệt ẩm................................................................................ 101
Điều chỉnh đối lưu .................................................................................... 102
Một mô hình mây đơn giản ....................................................................... 108

Chương 7. Đối lưu cumulus và ngưng kết quy mô lớn ..............................117

6


7.1 Đối lưu Cumulus ....................................................................................... 117
7.2. Sơ đồ tham số hoá Cumulus của Arakawa- Shubert ................................. 126
7.3 Ngưng kết quy mô lớn ............................................................................... 127
chương 8. Lớp biên hành tinh..............................................................................130
8.1.
8.2.
8.3.
8.4.
8.5.
8.6.

Tính toán khí động học Bulk trên đại dương và trên lục địa..................... 130
Tham số gồ ghề......................................................................................... 131
Những thông lượng bề mặt từ lý thuyết tương tự ..................................... 132
Độ cao của lớp biên trong điều kiện bất ổn định ....................................... 143
Độ cao của lớp biên hành tinh trong điều kiện ổn định............................. 145
Phân bố thẳng đứng của các thông lượng ................................................. 146

Chương 9. Vận chuyển bức xạ .............................................................................149
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
9.5.

Bức xạ sóng dài ........................................................................................ 149
Bức xạ sóng ngắn...................................................................................... 152
Đặc điểm mây........................................................................................... 154
Cân bằng nhiệt bức xạ trên mặt đất ......................................................... 155
Mã nguồn (code) ....................................................................................... 156

Chương 10. Mô hình chính áp ...............................................................................160
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
10.6.
10.7.

Động lực học của mô hình chính áp ........................................................ 161

Các tính chất của dòng chính áp............................................................. 162
Trao đổi năng lượng chính áp ................................................................. 163
Cấu trúc mô hình và các điều kiện biên.................................................. 164
Thể hiện các thành phần bình lưu và sơ đồ sai phân thời gian ............... 165
Điều kiện ban đầu .................................................................................. 165
Mô tả chương trình nguồn ...................................................................... 165

Chương 11. Mô hình phương trình nguyên thuỷ một mực........................179
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
11.6.

Động lực học của mô hình phương trình nguyên thuỷ một mực .............. 179
Những đặc điểm của mô hình phương trình nguyên thuỷ một mực......... 180
Cấu trúc mô hình và các điều kiện biên.................................................. 181
Giải các số hạng bình lưu và sơ đồ sai phân thời gian............................. 181
Tính những hàm ép buộc (forcing) .......................................................... 182
Ban đầu hoá mô hình phương trình nguyên thuỷ một mực..................... 183

Chương 12. Cơ sở dữ liệu cho dự báo thời tiết số ........................................190
12.1. Phân bố mưa từ bức xạ phát sóng dài ..................................................... 191
12.2 .Tốc độ mưa căn cứ vào SSM/I, tốc độ gió và tổng mưa lỏng..................... 194
12.3. Chỉ số thực vật chênh lệch chuẩn hoá..................................................... 200
12.4. Độ phủ mây ............................................................................................ 201
chương 13. Những sản phẩm cảnh báo của mô hình....................................202
13.1. Năng lượng và các thành phần biến đổi năng lượng ............................... 202
13.2. Tính quỹ đạo bốn chiều........................................................................... 206

Tài liệu tham khảo ................................................................................................214
Danh mục các chương trình con (Subroutines)..........................................218

7


8


Chương 1. Nhập môn

Đây là một giáo trình nhập môn về phương pháp luận của dự báo thời tiết số.
Giáo trình được viết cho trình độ sinh viên tài năng trước tốt nghiệp và làm tốt
nghiệp ngành Khí tượng. Tài liệu được trình bày giới hạn trong 13 chương với tư
liệu thực tập trong một học kỳ. Thực tập synôp tiếp theo sẽ rất bổ ích cho mỗi sinh
viên. Giáo trình này cũng thích hợp cho những cán bộ khoa học muốn tự học môn
này.
Tài liệu này xuất phát từ một giáo trình đào tạo mà tác giả có kinh nghiệm
đã viết cho Tổ chức Khí tượng thế giới (WMO) bắt đầu từ năm 1982, đã được sinh
viên và cán bộ khoa học từ nhiều Trung tâm nghiên cứu và đào tạo trên thế giới
quan tâm. Văn bản hiện nay đã được sửa đổi rất nhiều, mở rộng và đưa vào nhiều
tập số liệu mới. Văn bản đưa vào những tập số liệu mẫu, kèm theo một đĩa mềm
cùng với mã nguồn.
Giáo trình này mở đầu bằng việc giới thiệu hệ phương pháp sai phân hữu
hạn, được trình bày trong chương 2. Trước hết là kỹ thuật sai phân không gian, các
sơ đồ bậc hai và bậc bốn, biểu diễn các toán tử Laplaxian, Jacobian và cách giải các
phương trình dạng Poisson và Helmholtz. Phần lớn chương này dành cho mô tả
khoảng biến đổi rất rộng của phần lớn các sơ đồ sai phân thời gian phổ biến nhất
nên dùng trong dự báo thời tiết số. Điều kiện ổn định đối với từng sơ đồ cũng được
bàn đến trong chương này.

Chương 3 liệt kê một số kỹ thuật tính tốc độ thẳng đứng. Tốc độ thẳng đứng
là biến khí tượng không thám sát được; trong phần lớn các trường hợp xác định nó
đều kèm theo tính phân kỳ gió ngang. Độ thiếu chính xác nhỏ trong đo đạc gió
ngang sẽ gây ra sai số lớn trong việc xác định tốc độ thẳng đứng. Hiểu biết được các
phương pháp tính tốc độ thẳng đứng là một vấn đề quan trọng.
Chương 4 mô tả hai phương pháp mạnh và phổ biến để tính hàm dòng và thế
tốc độ, đó là kỹ thuật lỏng dần (relaxation) và kỹ thuật biến đổi Fourier. ở đây còn
giới thiệu cả mối quan hệ giữa áp và gió. Không giống vùng ôn đới nơi sự ép buộc
địa chuyển là quan trọng, ở vùng nhiệt đới do gió không là gió địa chuyển nên phải
khảo sát một số quan hệ được gọi là cân bằng. Quan hệ này sẽ giải đối với áp suất
và cho ra trường gió. Chương này sẽ cho thấy trường áp được rút ra từ các định
luật cân bằng tuyến tính và phi tuyến như thế nào?
Chương 5 viết về phân tích khách quan, chương này sẽ giới thiệu 4 phương
pháp phân tích số liệu gần đúng, từ đa thức đơn giản đến nội suy tối ưu. Chúng

9


minh họa số liệu thô được phân tích như thế nào vào mảng nút lưới.
Các quá trình vật lý thực sự quan trọng đối với sự tiến triển của thời tiết.
Chương 6 đưa vào những khái niệm vật lý cơ bản gắn liền với dự báo thời tiết số.
Về cơ bản, chương này đề cập đến việc sử dụng các biến ẩm trong khí tượng cùng
với một số thuật toán mô tả về các khía cạnh tính toán. ở đây cũng sẽ giới thiệu
một số nguyên tắc về tính ổn định.
Chương 7 giới thiệu một mô hình đối lưu đơn giản minh họa sự tiến triển của
lực nổi điều khiển khí quyển khô về nhiệt. Mô hình này là một ví dụ mở đầu của
mô hình hoá đối lưu. Bài toán tổng hợp tham số hoá đối lưu cũng được giới thiệu
trong chương này. Một vài sơ đồ chung nhất xác định tốc độ mưa phát sinh từ đối
lưu cumulus cũng được giới thiệu ở đây. Chương này còn có một tiết giới thiệu về
ngưng kết quy mô lớn.

Lớp biên hành tinh là một thành phần quan trọng cần được mô hình hoá.
Trong chương 8 giới thiệu biện pháp tốt nhất để mô hình hóa các thông lượng động
lượng, nhiệt và ẩm từ bề mặt (cả trên đất và trên biển). Chương 8 trình bày một số
phương pháp tính các thông lượng này. ở đây còn đề cập đến một lớp khí quyển của
các thông lượng không đổi có độ cao khoảng vài chục mét sát bề mặt. Chương này
còn trình bày cách tính các thông lượng bề mặt cũng như phân bố thẳng đứng của
chúng.
Chương 9 giới thiệu cách tính vận chuyển bức xạ. Sự thể hiện của độ chói bức
xạ sóng dài và sóng ngắn, vai trò của mây; cân bằng năng lượng mặt đất và kết quả
biến trình ngày của chúng cũng được nêu ra ở đây, tuy nhiên chỉ thể hiện quá trình
vật lý cơ bản quan trọng này một cách đơn giản và nổi bật.
Chương 10 giới thiệu một mô hình chính áp đơn giản. Đối với những ứng dụng
ở nhiệt đới thì hàm dòng là một biến phụ thuộc cơ bản và nhận được từ trường gió
đã được phân tích. Mô hình dự báo này áp dụng nguyên tắc bảo toàn xoáy tuyệt
đối. Nói chung đây là một mô hình hữu ích đầu tiên để bắt đầu nghiên cứu dự báo
số. Mô hình này có khả năng áp dụng thực tế đối với những vùng nhất định của
nhiệt đới (phía đông Đại Tây Dương và Tây Phi).
Một mô hình dự báo thời tiết số thứ hai dựa vào nguyên tắc bảo toàn xoáy thế
được trình bày trong chương 11. ở đây giới thiệu cho người đọc mô hình phương
trình nguyên thủy đầu tiên. Dự báo gió cũng như độ cao địa thế vị được thực hiện
trên một mực đơn.
Chương 12 liệt kê một số tập số liệu vệ tinh hiện có và dựa vào mô hình thích
hợp cho dự báo thời tiết số.
Tính toán cảnh báo từ sản phẩm của mô hình là một lĩnh vực quan trọng, nó
giúp ta biểu diễn các sản phẩm của mô hình. Nếu như dự báo có độ chính xác cao
có thể mô phỏng được các hiện tượng như xoáy xoáy thuận thì những nghiên cứu
cảnh báo này có thể cho ta biết ít nhiều về chu trình sống của hiện tượng ấy. Nếu

10

như dự báo nghèo nàn thì tính toán cảnh báo thực hiện trên sản phẩm của mô hình
cũng như các trường phân tích có thể cho ta những nguyên nhân về thiếu sót của
mô hình. Đây là những hợp phần quan trọng đối với việc phát triển khả năng dự
báo thời tiết số và được đề cập đến trong chương 13.

Điều quan trọng cần nhớ là rất nhiều minh hoạ trong giáo trình này không
thể phục hồi nếu thiếu những phần mềm đồ hoạ. Ngoài ra các bảng minh hoạ trong
giáo trình không chính xác như trong phần mềm. Phần mềm được nêu ra trong
giáo trình cũng được biểu diễn rút gọn. Sinh viên học qua giáo trình này phải có
kiến thức cơ sở về khí tượng động lực, khí tượng vật lý và khí tượng synôp. Ngoài
ra còn đòi hỏi sinh viên phải hiểu biết và làm việc tốt trên ngôn ngữ Fortran. Sau
đây là những tài liệu tham khảo cần thiết nhất
1. Wallace and Hobbs, 1977: Atmospheric Science.
2. Holton, 1992: An introduction to Dynamic Meteorology.
3. Houghton, 1985: Physical Meteorology.
4. Nyhoff and Leestma, 1988: Fortran 77 for Engineers and Scientists.

11


Chương 2. Các phương pháp sai phân hữu hạn

Trong khí tượng, các phương trình cơ bản thống trị hoàn lưu xuất hiện trong
khí quyển nói chung bao gồm một hệ các phương trình vi phân riêng phi tuyến.
Chúng không có nghiệm giải tích và được giải bằng phương pháp số. Những toán tử
chung nhất thường gặp trong khi giải các phương trình này có dạng đạo hàm bậc
nhất và bậc hai, Jacobian và Laplaxian. Những toán tử này là những đạo hàm
không gian và đòi hỏi biết được biến tại một thời điểm cố định. Đạo hàm thời gian
thường gặp trong các phương trình dự báo thời tiết số; tuy nhiên vì biến của trạng

thái tương lai là chưa biết nên sơ đồ sai phân hữu hạn kèm theo những sai số phụ
thuộc thời gian. Chúng có thể được khuyếch đại trong quá trình tích phân và sinh
ra bất ổn định tính toán. Do vậy tích phân thời gian các phương trình dự báo thời
tiết số được thực hiện nhờ những kỹ thuật đặc biệt và được bàn riêng trong chương
này.
Phép gần đúng các đạo hàm không gian tại một điểm nút cho trước dựa vào
khai triển Taylor của biến quanh điểm này. Các giá trị của biến coi như đã biết
trên những điểm rời rạc trong không gian, và những tổ hợp khác nhau của các khai
triển Taylor có thể dẫn đến xác định được các đạo hàm của hàm số với mức độ
chính xác khác nhau.

2.1 Hình thành sai phân hữu hạn
Giả sử có hàm u(x) đã biết trên những vị trí rời rạc điều hòa trong không gian
cách nhau một khoảng x. Các đạo hàm của u(x) có thể nhận được nếu sử dụng sai
phân hữu hạn. Khai triển Taylor quanh điểm x sẽ cho ta
u(x+x)=u(x)+

du
dx

x

x d 2 u

1! dx 2

x

x 2
dn u

... n
2!
dx

x

x n
n!

,

(2.1)

hay nếu gia số hữu hạn x là âm thì
u(xx)=u(x)

du
dx

x

x d 2 u

1! dx 2

x

x 2
dnu
... ( 1) n n

2!
dx

x

x n
n!

.

(2.2)

2.2 Đạo hàm bậc nhất
Từ những khai triển này có thể hình thành ba biểu thức vi phân khác nhau
để xác định đạo hàm bậc nhất của hàm u.

12


du
dx



u ( x x ) u ( x ) d 2 u ( x ) x

... ,
x
dx 2 2!

(2.3)



u ( x ) u ( x x ) d 2 u ( x ) x

... ,
x
dx 2 2!

(2.4)

x

hay
du
dx

x

hay cuối cùng
du
dx


x

u ( x x ) u ( x x )
d 3u ( x ) x 2
2

... .
2x
3!
dx 3

(2.5)

Bậc đại lượng của độ chính xác trong sơ đồ số được xác định bởi bậc của số
hạng lớn nhất được bỏ qua trong chuỗi khai triển trong quá trình lấy gần đúng
hàm. Vì vậy (2.3), (2.4) và (2.5) có thể viết lại như sau :
du
dx
du
dx
du
dx



u ( x x ) u ( x )
( x ) ,
x

(2.6)



u ( x ) u ( x x )
( x ) ,
x

(2.7)



u ( x x ) u ( x x )
(x ) 2 ,
2x

(2.8)

x

x

x

trong đó (x) và (x2) biểu diễn những sai số trong xác định đạo hàm và được gọi
là sai số bậc nhất và bậc hai của x tương ứng. Các phương trình (2.6) và (2.7) cũng
được coi là những đạo hàm của độ chính xác bậc nhất trong khi (2.8) lại là đạo hàm
của độ chính xác bậc hai. Do mẫu của các điểm dùng trong đánh giá sai phân hữu
hạn mà các sơ đồ trên được gọi là sai phân tiến, sai phân lùi và sai phân trung tâm
tương ứng (Hình 2.1).

u(x-x)


u(x)

u(x+x)

Hình 2.1: Mẫu ba điểm

Cũng theo cách trên có thể mở rộng để nhận đạo hàm bậc nhất của hàm đến
độ chính xác bậc bốn. Sơ đồ bậc bốn tất nhiên là chính xác hơn, nhưng đòi hỏi phải
biết giá trị của hàm ở 4 điểm lân cận. Sơ đồ này dẫn đến các phương trình sau đây:

u(x2x)=u(x)

du
d 2u
2 x 2
dx x
dx

u(xx)=u(x)

du
d2u
x 2
dx x
dx

x

( 2x ) 2 d 3 u
3
2!
dx

x

x 2 d 3 u
3
2!
dx
2

2

u(x+x)=u(x)+

du
d u
x 2
dx x
dx

x

x

x

( 2 x ) 3
dnu
... (1) n n
3!
dx

x 3
dnu
... ( 1) n n
3!
dx
3

3

x
d u
3
2!
dx

x

x

n

x
d u
... n
3!
dx

x

x

x n
n!
x n
n!

(2x ) n
, (2.9)
n!

,

(2.10)

,

(2.11)

13


u(x+2x)=u(x)+

du
d 2u
2 x 2
dx x
dx

x

( 2 x ) 2 d 3 u
3
2!
dx

x

(2x ) 3
dn u
... n
3!
dx

x

( 2x ) n
n!

.

(2.12)

Sơ đồ chính xác bậc bốn được hình thành như một tổ hợp từ (2.9) đến (2.12)
sao cho các số hạng trong x2 , x3 và x4 biến mất. Điều đó có thể nhận được bằng
cách viết
du
x = Au(x) + B[u(x+x)u(xx)]+C[u(x+2x)u(x2x)]+(x)5 .
dx x

(2.13)

Số hạng trong móc ở đây có thể khai triển để cho ta
[u(x+x)u(xx)]= 2

du
d 3u
x 3
dx x
dx

x

x 3 d 5 u
5
3
dx

x

x 5
d 2n 1 u
... 2 2n 1
60
dx

x

x 2n 1

,
( 2n 1)!

(2.14)

và
[u(x+2x)u(x2x)]= 2

du
d3u
2 x 3
dx x
dx

x

( 2 x ) 3 d 5 u
5
3
dx

x

( 2 x ) 5
d 2n 1u
... 2 2n 1
60
dx

x

(2x ) 2 n1
.
(2n 1)!

(2.15)
Từ (2.13), (2.14) và (2.15) sẽ nhận được
d3u
du
du
x = Au(x)+(2B+4C)
x+(B+8C)
dx x
dx x
dx 3

x

x 3
+(x5) ,
3

(2.16)

trong đó các hệ số A, B và C là nghiệm của hệ sau
A 0

2B 4C 1
B 8C 0

.

(2.17)

Vậy thì, bài toán xác định độ chính xác bậc bốn của đạo hàm bậc nhất của hàm u(x)
có thể có dạng cuối cùng sau
du
4 u ( x x ) u ( x x ) 1 u ( x 2x ) u ( x 2x )
=

3
dx x 3
2x
4x




.

(2.18)

2.3 Đạo hàm bậc hai
Đạo hàm bậc hai với độ chính xác bậc hai của hàm u(x) có thể nhận được dễ
dàng bằng cách cộng (2.10) và (2.11). Đó là
u(x+x)+u(xx)=2u(x)+ 2

d2u
dx 2

x

d4u
x 2
2 4
2!
dx

x

x 4
d 2n u
... 2 2 n
4!
dx

x

x 2 n
2n!

(2.19)

Vậy thì
d2u
dx

=

2

u ( x x ) u ( x x ) 2u ( x )

x

Cộng (2.9) và (2.12) và thay cho

14

x 2
d4u
dx 4

x

(x 2 )

(2.20)

x 4
của (2.19) thì đạo hàm bậc hai với độ
4!


chính xác bậc bốn sẽ biểu diễn được dưới dạng sau
d2u
dx

2

=

1
x 2

4
1

1
4
5 u ( x ) 3 u ( x x ) u ( x x ) 12 u ( x 2x ) u ( x 2x ) (x ) .(2.21)



Mặc dù đối với nhiều nghiên cứu cảnh báo thì sơ đồ chính xác bậc hai là đủ,
nhưng sơ đồ bậc bốn thích hợp hơn trong dự báo số. Hai chương trình con DDX2 và
DDX4 xác định đạo hàm bậc nhất với độ chính xác bậc hai và bậc bốn tương ứng. ở
đây cung cấp cả một chương trình điều khiển (driver) (DERIV). Kết quả từ bài tập
đơn giản này được tổng kết trong Bảng 2.1.
Bảng 2.1: Đạo hàm bậc hai và bậc bốn của f(z) = p o exp(-az)

Nghiệm Giải tích
-0.125062
-0.110360
-0.097386
-0.085938
-0.075835
-0.066920
-0.059053

-0.052111
-0.045985
-0.040579

Xác định bậc hai
-0.117558
-0.110648
-0.097640
-0.086162
-0.076033
-0.067095
-0.059207
-0.052247
-0.046105
-0.043226

Xác định bậc bốn

-0.097368
-0.085939
-0.075834
-0.066920
-0.059053
-0.052111

PROGRAM DERIV
C
C THIS SIMPLE PROGRAM COMPUTES THE FIRST DERIVATIVE OF A FUNCTION
C USING THE SECOND AND FOURTH ORDER ACCURATE SCHEMES. THE FOLLOWING
C DRIVER ESTIMATES THE DERIVATIVES OF P(Z) = PO*EXP(-A*Z)

C
PARAMETER(L=10)
REAL Z(L),P(L),P2(L),P4(L),ANAL(L)
C
DATA Z /0000.,1000.,2000.,3000.,4000.,
&
5000.,6000.,7000.,8000.,9000./
DATA A,P0,DZ/0.000125062,1000.,1000./
C
C INITIALIZE THE WORK ARRAYS
C
DO 2100 K = 1, L
P2(K) = 0.
P4(K) = 0.
2100 CONTINUE
C
DO 2102 K = 1, L
C
C CONSTRUCT THE FUNCTION P(Z)
C
P(K)
= P0*EXP(-A*Z(K))
C

15


C COMPUTE THE ANALYTICAL DERIVATIVE
C
ANAL(K) = -A*P0*EXP(-A*Z(K))

C
2102 CONTINUE
C
C COMPUTE THE SECOND ORDER ESTIMATE
C
CALL DDX2 (P,P2,L,DZ,1)
C
C COMPUTE THE FOURTH ORDER ESTIMATE
C
CALL DDX4 (P,P4,L,DZ)
C
C WRITE OUTPUT . THE 4TH ORDER DERIVATIVE IS OMITTED AT THE FIRST
C AND LAST 2 POINTS SINCE IT IS NOT DEFINED AS 4TH ORDER.
C
WRITE (6,1000)
WRITE (6,1001)
C
DO 2104 K = 1, L
IF (K.LE.2.OR.K.GE.(L-1)) THEN
WRITE(6,1002) ANAL(K), P2(K)
ELSE
WRITE(6,1003) ANAL(K), P2(K), P4(K)
ENDIF
2104 CONTINUE
C
1000 FORMAT (5X,'ANALYTICAL',15X,'SECOND ORDER',13X,'FOURTH ORDER')
1001 FORMAT (5X,' SOLUTION ',15X,' ESTIMATE ',13X,' ESTIMATE ',/)
1002 FORMAT (5X,F10.6,15X,F10.6)
1003 FORMAT (5X,F10.6,15X,F10.6,15X,F10.6)
STOP

END

2.4 Toán tử Laplaxian
Laplaxian của hàm u(x,y) về hình thức được xác định bởi
2 u ( x , y)

2u
x 2



2u
y 2

(2.22)

và xuất hiện trong rất nhiều các phương trình cảnh báo và dự báo trong khí tượng.
Việc ứng dụng tương tự hữu hạn của chúng rất thuận tiện cho việc giải nhiều bài
toán. Phát triển dạng sai phân hữu hạn của toán tử Laplaxian dựa vào khai triển
Taylor hai chiều quanh một điểm (a,b)
u(x,y) = u(a,b)+(xa)
+

16

u (a , b)
u (a , b)
( x a ) 2 2 u (a , b )
+(yb)
+

y
x
2!
x 2

2 u ( a , b)
( y b) 2 2 u ( a , b)
+
(xa)(yb)
+... .
xy
2!
y 2

(2.23)


Thừa nhận một lưới điều hoà theo hai hướng x và y thì khai triển Taylor của
hàm u(x h, y h) quanh (x, y) có thể biểu diễn như sau:
2




h2
u ( x , y) ... ,
u(x+h,y+h)=u(x,y)+ h u ( x, y)
2! x y
x y

(2.24)

2




h2
u ( x , y) ... ,
u(xh,yh)=u(x,y) h u ( x, y)
2! x y
x y

(2.25)

2




h2
u ( x, y) ... ,
u(xh,y+h)=u(x,y) h u ( x, y)
2! x y
x y

(2.26)

2

h2
u ( x, y) ... ,
u(x+h,yh)=u(x,y)+ h u ( x, y)
2! x y
x y

(2.27)

trong đó h là khoảng cách giữa hai điểm kề nhau của lưới. Tương tự, bốn phương
trình khác có thể viết cho u(x,y+h), u(x-h,y), u(x,y-h) và u(x+h,y) quanh (x,y). Cộng
(2.24) đến (2.27) sẽ nhận được biểu thức sau
u(x+h,y+h)+u(xh,y+h)+u(xh,yh)+u(x+h,yh)=4u(x,y)+
6
4
4

2u 2u h 4 4

u 4 u + h 6 u 12 2 u
2h 2 2 2
x
x 2 y 2
x 2 y 2 180
y 6

(h 8 ) .



(2.28)

Sử dụng bốn khai triển khác ta sẽ tạo ra tổng sau
u(x,y+h)+u(xh,y)+u(x,yh)+u(x+h,y)=4u(x,y)
2

u 2u
h 4 4 u 4 u
h 6 6 u 6 u
+ h2 2 2 +
+

6 + (h2) .
4
4
6

x


12
360
y
y
y

x
x

Tổng này sẽ đưa đến Laplaxian bậc hai mẫu lưới 5 điểm ( Hình 2.2)
1
2 u = 2 u ( x , y h ) u ( x h , y) u ( x , y h ) u ( x h , y) 4( u ( x, y) (h 2 ) .
h
u(x,y+h)

u(x-h,y)


u(x,y)


(2.29)

(2.30)

u(x+h,y)


u(x,y-h)

Hình 2.2. Mẫu lưới 5 điểm

Tương tự, sử dụng (2.28) và (2.29) sẽ có Laplaxian bậc hai trên mẫu lưới 9 điểm.
(Hình 2.3)
2u =

1
6h 2

44u ( x h , y) u (x h , y) u (x , y h ) u (x , y h )

+ u ( x h, y h ) u ( x h , y h ) u ( x h, y h ) u ( x h , y h ) 20u ( x, y) + (h 2 ) . (2.31)

17


u(x-h,y+h)




u(x+h,y+h)




u(x,y)





u(x-h,y-h)

u(x+h,y-h)

Hình 2.3. Mẫu lưới 9 điểm

Cần lưu ý: cả hai biểu thức (2.30) và (2.31) đều là sơ đồ chính xác bậc hai. Sơ
đồ mẫu lưới 9 điểm nói chung chính xác hơn sơ đồ mẫu lưới 5 điểm trong nhiều ứng
dụng. Tuy nhiên trong nghiệm của phương trình Laplax đối với các điều kiện biên
không thuần nhất thì Laplaxian tương đương không và do đó sơ đồ mẫu 9 điểm trở
thành chính xác bậc bốn. Giải Laplaxian mẫu 9 điểm chính xác bậc bốn tổng quát
nhận được bằng kỹ thuật lặp. Quá trình này bao gồm đánh giá liên tiếp 4g =2f,
trong đó f = 2g, với sử dụng mẫu 9 điểm trên giá trị lặp của f bắt đầu từ f = 0 ở lần
lặp đầu tiên.
Sau đây là mã nguồn máy tính các Laplaxian khác nhau. Số liệu dùng để
đánh giá những giá trị khác nhau của Laplaxian tạo ra bằng một hàm lượng giác
có nghiệm đã biết. Sai số trung bình bình phương giữa các xác định sai phân hữu
hạn và nghiệm lý thuyết cũng đã được tính. Chương trình điều khiển dùng ba
chương trình con khác nhau: LAP94, LAP92 và LAP52; Chúng xác định những
Laplaxian bậc bốn 9 điểm, bậc hai 9 điểm và bậc hai 5 điểm tương ứng. Sản phẩm
(outputs) minh họa ví dụ này cho trong Bảng 2.2.

18


B¶ng 2.2. TÝnh Laplacian ®é chÝnh x¸c bËckh¸c nhau

9 ®iÓm . bËc 4

RMS = 0.3526635E - 07

RMS ERROR/RMS ZTA = 0.195E + 01 %

9 ®iÓm . bËc 2

RMS = 0.2346851E - 06

RMS ERROR/RMS ZTA = 0.129E + 02 %

5 ®iÓm . bËc 2

RMS = 0.1656866E - 06

RMS ERROR/RMS ZTA = 0.914E + 01 %

§iÓm

NghiÖm ph©n tÝch NghiÖm x¸c ®Þnh NghiÖm x¸c ®Þnh NghiÖm x¸c ®Þnh
bËc 4, 9 ®iÓm

bËc 2, 9 ®iÓm

bËc 2, 5 ®iÓm

0.30498759E-05

0.30498759E-05

0.30498759E-05

I

J

1

4

0.30498759E-05

2

4

-0.41585830E-04 -0.41345917E-04 -0.34947032E-04 -0.36936442E-04

3

4

-0.24536503E-04 -0.23390865E-04 -0.20471325E-04 -0.21700844E-04

4

4

0.30636264E-04

0.31358573E-04

0.26373036E-04

0.27602553E-04

5

4

0.47685582E-04

0.47303711E-04

0.40848721E-04

0.42838128E-04

6

4

0.30498677E-05

0.20453918E-05

0.29508433E-05

0.29508442E-04

7

4

-0.41585830E-04 -0.41290550E-04 -0.34947028E-04 -0.36936435E-04

8

4

-0.24536515E-04 -0.23376351E-04 -0.20471340E-04 -0.21700860E-04

9

4

0.30636271E-04

0.31288360E-04

0.26373045E-04

0.27602566E-04

10

4

0.47685582E-04

0.47685582E-04

0.47688582E-04

0.47685582E-04

PROGRAM LAPLACIAN
C
C THIS PROGRAM COMPUTES THE LAPLACIAN USING THE FIVE-POINT SECOND
C ORDER,NINE-POINT SECOND ORDER AND THE ITERATED NINE-POINT FOURTH
C ORDER LAPLACIAN SCHEMES.IT ALSO COMPUTES THE ROOT MEAN SQUARE ER
C -RORS AND COMPARES THE ACCURACY OF THE DIFFERENT SCHEMES TO THE A
C -NALYTICAL SOLUTION.
C
PARAMETER (L=10,M=20)
C
C DECLARE VARIABLES AND DEFINES SOME CONSTANTS.
C
REAL PSI(L,M),ZTA(L,M),A(L,M)
REAL B (L,M),C(L,M),X(L),Y(M)
PI
= 4.*ATAN(1.0)
H
= 200.
YK
= 2.*PI/1000.
YL
= PI / 1000.
C
X(1)
= 0.
Y(1)
= 0.

DO 2200 I = 2, L
IM1 = I-1
DO 2200 J = 2, M
JM1 = J-1
X(I) = X(IM1) + H
Y(J) = Y(JM1) + H
2200 CONTINUE

19


SUM

= 0.

C
C CONSTRUCT THE STRAMFUNCTION(PSI) PSI = SIN (KX)*SIN(LY)+ COS(LY)
C AND THE VORTICITY (ZTA) AS
ZTA = D2(PSI)/DX2 + D2(PSI)/DY2
C
DO 2202 I = 1, L
DO 2202 J = 1, M
PSI(I,J) = SIN(YK*X(I)) * SIN(YL*Y(J)) + COS(YL*Y(J))
ZTA(I,J) = -(YK**2+YL**2)*SIN(YK*X(I)) * SIN(YL*Y(J))
&
-YL**2 * COS(YL*Y(J))
A(1,J) = ZTA(1,J)
A(L,J) = ZTA(L,J)
A(I,1) = ZTA(I,1)
A(I,M) = ZTA(I,M)

SUM
= SUM + (ZTA(I,J) / (L*M))**2
2202 CONTINUE
SU
= SQRT( SUM )
N
= 1
25 GO TO ( 30,40,50,60 ) N
30 WRITE(6,1000)
C
C COMPUTE THE 9 PTS 4TH ORDER.
C
CALL LAP94 (PSI,A,B,C,H,L,M)
C
GO TO 70
40 WRITE(6,1001)
C
C COMPUTE THE 9 PTS 2TH ORDER.
C
CALL LAP92 (PSI,A,H,L,M)
C
GO TO 70
50 WRITE(6,1002)
C
C COMPUTE THE 5 PTS 2TH ORDER.
C
CALL LAP52 (PSI,A,H,L,M)
C
70 CONTINUE
DIF = 0.

DO 2204 I = 1, L
DO 2204 J = 1, M
DIF = DIF + ((ZTA(I,J) - A(I,J)) / (L*M))**2
2204 CONTINUE
DIF
= SQRT(DIF)
SUM
= (DIF / SU ) * 100
WRITE(6,1003) DIF, SUM
C
C OUTPUT DISPLAY FOR ONE COLONE.
C
WRITE(6,1004) ((I,J,ZTA(I,J),A(I,J),I=1,L), J=4,4)
N
= N + 1

20


GO TO 25
60 CONTINUE
1000 FORMAT(//,20X,'NINE POINTS FOURTH ORDER LAPLACIAN SCHEME.'//)
1001 FORMAT(//,20X,'NINE POINTS SECOND ORDER LAPLACIAN SCHEME.'//)
1002 FORMAT(//,20X,'FIVE POINTS SECOND ORDER LAPLACIAN SCHEME.'//)
1003 FORMAT(9X, 'RMS ERROR = ',E13.7,8X, 'RMS ERROR/RMS ZTA = ',
&E9.3,1X, 'PERCENT.'//,2X,'I J',5X, 'ANALYTICAL
SOL',1X,'ESTIMATED
& SOL.',2X,'I J',5X, 'ANALYTICAL SOL',1X,'ESTIMATED SOL',/)
1004 FORMAT( 2(2I3,4X,2E15.8) )
STOP

END

2.5 Toán tử Jacobian
Jacobian cũng là một toán tử thường dùng trong khi giải nhiều bài toán địa
vật lý. Phần lớn nó xuất hiện trong các số hạng bình lưu phi tuyến. Ví dụ trong
phương trình xoáy, bình lưu của xoáy sinh ra bởi gió ngang cho bằng

A d Vg. p .

Vg là vectơ gió địa chuyển và xác định bởi


gz
Vg k k ,
fo

(2.32)

(2.33)

trong đó g là gia tốc trọng trường, z là độ cao, fo là tham số Coriolis. Xoáy tương
đối, , xác định bởi



= k . V 2 ,

trong đó là hàm dòng địa chuyển. Như vậy

A d = k . p =

.
y x x y

(2.34)

(2.35)

Đại lượng này thường biểu diễn tượng trưng bằng

A d = J ( , ) .

(2.36)

J là Jacobian. Toán tử này xuất hiện trong rất nhiều phương trình, trong đó một số
đại lượng là bất biến (invariant). Tuy nhiên, khi một tương tự sai phân hữu hạn
được áp dụng vào các phương trình như vậy thì cần thận trọng để cho sai số sinh ra
bởi phương pháp sai phân sẽ không làm sai lệch các nguyên lý bảo toàn. Ví dụ,
trong động lực học chính áp thì Jacobian xuất hiện trong phương trình xoáy dạng
sau:
a

= J ( , )
,
t
x

trong đó =

(2.37)

f
và f là tham số Coriolis. Các biến a và biểu diễn xoáy tuyệt đối và
y

tương đối tương ứng. Khi lấy tích phân trên một vùng khép kín thì phương trình

21


2
này có hai đại lượng bất biến vùng. Đó là động năng tổng trung bình

2



xoáy bình phương trung bình 2 f



2

2

và

. Những bất biến tích phân này sẽ được bàn

trong hai chương 10 và 11. Arakawa (1966) đã nghiên cứu rất nhiều về thiết lập
nên những tương tự sai phân hữu hạn Jacobian và đưa ra ba dạng sau đây


,
J ( , ) =
x y y x

,
x y y x

(2.39)


.


y x x y

(2.40)

J ( , ) =
J ( , ) =

(2.38)

Dạng đầu tiên gọi là dạng bình lưu, còn hai dạng cuối là hai dạng thông lượng
của Jacobian. ở đây còn có thể chứng minh được sự bảo toàn của động năng trung
bình vùng, và các điều kiện xoáy bình phương trung bình có thể biểu diễn tương
ứng bằng

.J(, ) =0 ,

(2.41)

.J( , ) =0 .

(2.42)

và

2.5.1 Jacobian bậc hai
Trong trường hợp này, thiết lập các Jacobian sai phân hữu hạn nên chọn
thích hợp để thỏa mãn những yêu cầu trên. Dạng sai phân của (2.38), (2.39) và
(2.40) cho bằng:

JJ1 =

1
4h 2

i1, j i1, j i, j1 i, j1 i, j1 i, j1 i1, j i1, j

JJ 2

1
i, j1 i 1, j1 i 1, j1 i, j1 i 1, j1 i 1, j1
4h 2
i 1, j i 1, j1 i 1, j1 i 1, j i 1, j1 i 1, j1

JJ 3













1
i 1, j i 1, j1 i 1, j1 i 1, j i 1, j1 i 1, j1
4h 2
i, j1 i 1, j1 i 1, j1 i , j1 i 1, j1 i 1, j1

Arakawa chỉ ra rằng, Jacobian chính xác bậc hai sau đây
1
JJ JJ1 JJ 2 JJ 3
3





,

(2.43)

,

(2.44)

.

(2.45)

(2.46)

thỏa mãn những đòi hỏi tích phân về động năng toàn phần và xoáy bình phương
trung bình. Để chứng minh điều đó đem nhân JJ với hoặc và cộng với nhau
trên một mẫu 9 điểm. Khử bỏ hợp lý giữa các điểm cạnh nhau để cho các đại lượng
này biến mất trên toàn vùng.

22


Chương trình con JAC xác định Jacobian bậc hai Arakawa và thỏa mãn các
quan hệ tích phân của bảo toàn động năng toàn phần và xoáy bình phương trung
bình. Một ví dụ của tính toán Jacobian Arakawa với sử dụng cùng một hàm giải
tích như trong (LAPLACIAN) dược thực hiện bởi chương trình (JACOBIAN). Sản
phẩm từ chương trình này được biểu diễn trong Bảng 2.3.
Bảng 2.3. Sơ đồ Jacobian Arakawa

Điểm
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ước lượng Jacobian

J
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4

-0.38074524E-09
-0.14543172E-09
0.38074521E-09
0.38074513E-09
-0.14543179E-09
-0.47062687E-09
-0.14543169E-09
0.38074519E-09
0.38074519E-09
-0.38074521E-09

2.5.2 Jacobian bậc bốn
Jacobian Arakawa với độ chính xác bậc bốn có thể nhận được bằng một tổ
hợp đầy đủ của những Jacobian bậc hai 5 điểm với mẫu 13 điểm như trên Hình 2.4.
Nguyên tắc là tổ hợp sẽ cung cấp cho ta một phép khử chính xác những số hạng bậc
hai và bậc ba. Cấu trúc của Jacobian chính xác bậc bốn giống với cấu trúc của
chính xác bậc hai và sẽ không được trình bày trong giáo trình này. Khó khăn cơ
bản gặp phải trong quá trình giải số cả Jacobian bậc bốn và bậc hai là ở xác định

điều kiện biên. Sự bảo toàn những bất biến bậc hai, trong những biểu diễn sai
phân hữu hạn, đòi hỏi khử J ( , ) , J ( , ) và J ( , ). Đó là khử bỏ từng số
hạng trong khai triển biểu thức trên cho từng nút lưới gắn liền với những phần
đóng góp từ những điểm đứng cạnh trực tiếp. Điều này dễ dàng ứng dụng cho
những điểm của miền trong của vùng, nhưng lại đòi hỏi một gần đúng cho các biểu
thức sai phân hữu hạn ở trên vùng biên để đảm bảo được phép khử nêu trên là hợp
lý. Tính hợp lý này được trình bày trong Arakawa (1966). Tuy nhiên, kinh nghiệm
cho thấy rằng việc chọn hàm dòng bất biến theo thời gian và các điều kiện xoáy
trên biên dọc theo kinh tuyến cùng với một điều kiện biên chu kỳ dọc theo vĩ tuyến
là đơn giản hơn và không có hại cho các bất biến bình phương đối với Jacobian
Arakawa bậc hai 9 điểm. Người ta còn tìm thấy rằng các đại lượng này duy trì gần
như không đổi trong ba đến bốn ngày tích phân.

23



























H×nh 2.4. MÉu l­íi 13 ®iÓm

PROGRAM JACOBIAN
C
C THIS PROGRAM COMPUTES THE ARAKAWA JACOBIAN OVER A DOMAIN OF GRID
C -ED DATA.IT USES A NINE POINT FOUTH ORDER SCHEME.
C
PARAMETER (L=10,M=20,L1=L-1,M1=M-1,L2=L-2,M2=M-2)
REAL PSI(L,M),ZTA(L,M),A(L,M),X(L),Y(M),DX(M)
PI
= 4.*ATAN(1.0)
H
= 200.
DY
= H
DO 2300 J = 1, M
2300 DX(J) = DY
YK
= 2.*PI/1000.

YL
= PI / 1000.
X(1)
= 0.
Y(1)
= 0.
DO 2302 I = 2, L
IM1 = I-1
DO 2302 J = 2, M
JM1 = J-1
X(I) = X(IM1) + H
Y(J) = Y(JM1) + H
2302 CONTINUE
SUM
= 0.
DO 2304 I = 1, L
DO 2304 J = 1, M
C
C DEFINE THE ANALYTICAL FUNCTIONS PSI AND ZTA.
C
PSI(I,J) = SIN(YK*X(I)) * SIN(YL*Y(J)) + COS(YL*Y(J))
ZTA(I,J) = -(YK**2+YL**2)*SIN(YK*X(I))*SIN(YL*Y(J))&
YL**2 * COS(YL*Y(J))
A(1,J) = ZTA(1,J)
A(L,J) = ZTA(L,J)
A(I,1) = ZTA(I,1)
A(I,M) = ZTA(I,M)
SUM
= SUM + (ZTA(I,J) / (L*M))**2
2304 CONTINUE

C
C COMPUTE THE JACOBIAN
C
CALL JAC (A,PSI,ZTA,DX,DY,L,M,L1,M1,L2,M2)
C

24


C DISPLAY OUTPUTS FOR 1 COLUMN .
C
WRITE (6,1000)
WRITE (6,1001)
WRITE (6,1002)((I,J,A(I,J),I=1,L),J=4,4)
1000 FORMAT(//,20X,'ARAKAWA JACOBIAN SCHEME.',//)
1001 FORMAT(2X,'I J',10X, 'ESTIMATED JACOBIAN',//)
1002 FORMAT( (2I3,8X,E15.8) )
STOP
END

2.6. Sai phân thời gian
Một vấn đề khác thường gặp khi giải các phương trình thống trị chuyển động
trong khí quyển là vấn đề tích phân thời gian. Những khái niệm toán học chi tiết
sử dụng trong kỹ thuật sai phân hữu hạn để giải các phương trình vi phân riêng
vượt ngoài khuôn khổ giáo trình này. Tuy vậy, ở đây cũng giới thiệu khái quát một
số khía cạnh quan trọng vốn có gắn liền với việc giải các phương trình phụ thuộc
thời gian bằng các phương pháp số. Không giống như các sơ đồ sai phân không
gian, sơ đồ sai phân thời gian đòi hỏi độ chính xác bậc nhất và bậc hai. Những sơ
đồ bậc cao hơn thể hiện quá cồng kềnh và không được ứng dụng rộng rãi trong dự
báo thời tiết số.

Để đơn giản và không làm mất tính tổng quát của các sơ đồ sai phân thời
gian, vấn đề bàn đến sau đây tập trung vào tích phân một phương trình tuyến tính
đơn giản dạng sau:
u ( x, t )
u ( x, t )
c
0 ,
t
x

(2.47)

trong đó c là một hằng số. Ta thừa nhận u(x,t) là một hàm có dạng



u(x,t)= Re u ( t )e ikx



,

trong đó k là một hằng số. Thế vào (2.47) với sử dụng = -kc sẽ đưa đến
u ( x , t )
iu ( x , t ) 0 .
t

(2.48)

(2.49)

Lấy tích phân giữa hai mực thời gian , t0 và t, và thừa nhận t0 = 0 ta sẽ có
u(x,t)= u ( x , t 0 )e it ,

(2.50)

trong đó u(x,t0) là biên độ của hàm tại thời điểm t0. Cần nhớ rằng u(x,y) được xác
định chính xác tại bất kỳ thời điểm t nào với điều kiện biên độ ban đầu của nó đã
biết. Bởi vậy nó cho ta giá trị chính xác nền để so sánh với các nghiệm của (2.47)
nhận được nhờ sử dụng bất kỳ sơ đồ sai phân thời gian nào. Thêm vào đó, vì biên
độ của sóng bị giới hạn bởi u ( x , t 0 ) , nên bất kỳ sự biến đổi nào của u(x,t) ngoài
những giới hạn này trong quá trình tích phân (2.49) bằng phương pháp số đều quy
kết cho sơ đồ tích phân. Vậy thì, rất quan trọng là xác định được những sơ đồ sai
phân thời gian nào không làm khuyếch đại nghiệm. Cuối cùng (2.50) có thể viết lại

25


dạng sau
u(x,nt)= u ( x, t 0 )e int

(2.51)

trong đó n là mực thời gian. Nếu bỏ qua tọa độ không gian và chỉ khảo sát tích
phân thời gian thì cuối cùng có thể biểu diễn (2.51) dưới dạng sau
u(nt)= u ( t 0 )e int .

(2.52)

Để xác định được độ ổn định của sơ đồ, người ta đưa vào sử dụng nhân tố khuyếch

đại sau
u n 1 u n .

(2.53)

Độ ổn định của sơ đồ khi đó xác định bởi
1

ổn định ,

0

phiếm định

1

bất ổn định .

(2.54)

Với sử dụng phương trình vi phân tuyến tính đơn giản, nhưng quan trọng này thì
độ ổn định của một số sơ đồ sai phân thời gian cổ điển sẽ được bàn trong các tiết
sau. ở đây cần nhớ rằng, sự thiết lập sơ đồ sai phân thời gian phải là quan trọng
trung tâm trong việc mã hóa một mô hình phụ thuộc thời gian.
2.6.1. Sơ đồ tiến (Euler), sơ đồ lùi và sơ đồ bậc thang
Khái niệm cơ bản của tích phân thời gian là dự báo giá trị của một hàm phụ
thuộc thời gian ở mực thời gian (n+1) khi gía trị của nó ở mực thời gian n đã biết.
Bởi vậy ta viết lại (2.49) dạng sau
du ( t )
F(u , t ) ,

dt

(2.55)

và lấy tích phân nó giữa thời điểm nt và (n+1)t ta sẽ nhận được
u n 1 u n

( n 1) t

F(u, t )dt

,

(2.56)

nt

trong đó F(u,t) là hàm bắt buộc và nhận các giá trị
F F n

F F n 1

tại t nt

,

(2.57)

tại t (n 1)t

Nếu Fn+1 là hàm của un+1 thì sơ đồ được gọi là sơ đồ ẩn, ngược lại sẽ được gọi là sơ
đồ hiện. Trong khoảng (nt, (n+1)t), F(u,t) có thể được biểu diễn bằng một tổ hợp
các giá trị của nó ở các bước thời gian n và (n+1) dạng sau
F F n F n 1 .

(2.58)

Trong trường hợp này (2.56) có thể viết lại dạng





u n 1 u n t F n F n 1 với +=1 ,

26

(2.59)


trong đó các giá trị khác nhau của và sẽ đưa đến các sơ đồ khác nhau. Ví dụ
= 1, = 0

sơ đồ tiến (Euler) ,

= 0, = 1

sơ đồ lùi ,

= 1/2, = 1/2

sơ đồ bậc thang .

Thay các giá trị này vào hệ số của F trong (2.59) sẽ cho ta



u n 1 u n t (iu n ) (iu n 1 )



(2.60)

hay
u n1

1 i t n
u .
1 it

(2.61)

Nhân tố khuyếch đại khi đó sẽ nhận giá trị sau
1





1 p 2 2 2 p 2 2

,

2 2 2


1 p







(2.62)

trong đó p = t.
2.6.1.1. Sơ đồ tiến Euler
Trong trường hợp này = 1, = 0, và nhân tố khuyếch đại cho bằng



1 p2

1
2



.

(2.63)

Vì p2 luôn luôn dương, luôn luôn lớn hơn đơn vị và sơ đồ được gọi là bất ổn định.
2.6.1.2. Sơ đồ lùi
ở đây = 0, = 1, và nhân tố khuyếch đại trở thành



1 p2





1
2

(2.64)

Sơ đồ này là ổn định vô điều kiện vì nhân tố khuyếch đại luôn luôn nhỏ
hơn một. Hơn nữa nhân tố khuyếch đại giảm khi tần số sóng tăng, và do đó làm
suy yếu nhanh hơn những mode cao tần. Bởi vậy, việc sử dụng sơ đồ lùi là mong
muốn khi bắt đầu tích phân mô hình để làm giảm biên độ sóng trọng trường.
2.6.1.3. Sơ đồ bậc thang
Đối với sơ đồ này = = 1/2 và nhân tố khuyếch đại cho bằng
=1 .

(2.65)

Những sơ đồ như vậy được gọi là sơ đồ phiếm định hay sơ đồ không khuyếch đại .

27