Tài liệu Phương pháp số dự báo thời tiết docx

.
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội - 2007
Từ khóa: Sơ đồ sai phân, toán tử, bất ổn định, thủy động lực
học, cjính áp, tà áp, solenoiit, phân tích quy mô, phương trình
nước nông, hội tụ
Tài liệu trong Thư viện điện tử Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên
cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà
xuất bản và tác giả.
PHƯƠNG PHAP SỐ DỰ BÁO
THỜI TIẾT
Tr
ần Tân Tiến
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRẦN TÂN TIẾN
PHƯƠNG PHÁP SỐ DỰ BÁO THỜI TIẾT
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
MỤC LỤC
Mở đầu
5
Chương 1 Các phương trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí
quyển
11
1.1 Các quá trình chính trong khí quyển và vấn đề xây dựng các
mô hình dự báo
11
1.2 Các phương trình nhiệt động lực học cho các chất lỏng lý
tưởng

14
1.3 Các phương trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí quyển rối 20
1.4 Hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực với toạ độ thẳng đứng
bất kỳ
23
1.5 Hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ toạ độ áp
suất
30
1.6 Hệ toạ độ

34
1.7 Phương trình xoáy và phương trình Divecgiăng
36
1.8 Hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ toạ độ cầu
41
1.9 Tính ảnh hưởng của hình chiếu bản đồ
50
Chương 2 Phân tích quy mô
55
2.1 Phương pháp phân tích quy mô 56
2.2 Hệ phương trình nước nông 57
2.3 Các phương trình tà áp 62
2.4 Phân tích quy mô các phương trình 66
2.5 Quy mô hành tinh 68
2.6 Hệ phương trình cân bằng 69
Chương 3 Các phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình
thủy nhiệt động lực học
71
3.1 Phương pháp lưới 71
3.2 Gần đúng các đạo hàm bằng sai phân hữu hạn 72

3.3 Khái niệm về hòa hợp, ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn 79
3.4 Phương pháp xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn 82
3.5 Toán tử Jacobian 88
3.6 Sơ đồ tích phân theo thời gian 91
3.7 Hội tụ của nghiệm số 95
3.8 Tính ổn định của sơ đồ sai phân hữu hạn 96
3.9 Phân tích ổn định tính toán của sơ đồ sai phân hữu hạn 100
3.10 Bất ổn định tính toán phi tuyến 111
3.11 Ảnh hưởng của sai số đến ổn định của các nghiệm số 114
Chương 4 Các mô hình dự báo tựa địa chuyển và tựa solenoit
117
4.1. Phương trình xoáy chính áp 117
4.2 Mô hình chính áp tựa địa chuyển 125
4.3 Sơ đồ dự báo tựa địa chuyển ba chiều
131
4.4 Giải phương trình cho xu thế địa vị thế bằng phương pháp mặt
phẳng
141
4.5 Giải phương trình cho xu thế địa vị thế bằng phương pháp lồng
không gian
147
4.6 Các mô hình dự báo tựa solenoit 153
4.7 Xác định hàm dòng theo phương trình cân bằng 157
4.8 Các tính chất tích phân 161
Chương 5 Các mô hình dự báo dựa trên các phương trình thủy
nhiệt động lực học nguyên thủy
165
5.1 Bài toán dự báo dựa trên hệ các phơng trình nguyên thủy 165
5.2 Hệ phương trình nguyên thủy cho khí quyển chính áp 172
5.3 Tính chất tích phân của các mô hình dựa trên hệ các phương

trình nguyên thủy
176
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
5.4 Ngăn chặn và làm suy yếu bất ổn định phi tuyến 185
5.5 Các sơ đồ sai phân hữu hạn sử dụng trong các mô hình dự báo
188
5.6 Phương pháp tách 197
5.7. Phương trình vận chuyển thực thể theo quỹ đạo 204
5.8. Sơ đồ dự báo của Martruc G.I. đựa trên hệ phương trình đầy
đủ giải bằng phương pháp tách
207
5.9.
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
MỞ ĐẦU
Dự báo số trị là phương pháp dự báo thời tiết dựa trên cơ sở tích
phân số trị hệ phương trình thuỷ động lực học của khí quyển. Ngày nay ở
nhiều nước, phương pháp này đã được sử dụng để dự báo thời tiết trong
điều kiện nghiệp vụ. Lý thuyết của dự báo số trị là một phần của khí
tượng động lực, được tách ra thành một giáo trình độc lập vì có ý nghĩa
thực tiễn lớn và cần được nghiên cứu kỹ hơn so với các phần khác.
Nhiệm vụ của môn dự báo số trị là khảo sát một cách định lượng các quy
luật của các quá trình trong khí quyển và nghiên cứu các phương pháp
tích phân hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực học.
Môn dự báo số trị được hình thành từ đầu thế kỷ XX. Giai đoạn
đầu chủ yếu sử dụng các quy luật riêng biệt để dự báo. Đầu thế kỷ thứ
XX, Biercnes là người đầu tiên đưa ra vấn đề dự báo thời tiết bằng cách
tích phân các phương trình động lực học khí quyển. Richarson là người
đầu tiên tiến hành dự báo thời tiết bằng phương pháp số trị, năm 1922
ông đã viết cuốn “Dự báo thời tiết như một quá trình tính toán”. Kết quả
tính toán không thành công vì bấy giờ các quy luật vật lý chưa được

nghiên cứu kỹ, hệ các phương trình chưa được khảo sát, số liệu ít, nhất là
ở trên cao, phương pháp tích phân chưa ổn định, chưa có máy tính điện
tử.
Năm 1914, Fridman đã lập được bảng các đại lượng và đạo hàm
các cấp của chúng. Nhờ có bảng đại lượng này ông đã phân tích phương
trình xoáy và tìm được phương trình làm cơ sở cho việc dự báo thời tiết
bằng phương pháp trị số, mở ra một hướng phát triển mới.
Trong những năm 40 của thế kỷ XX, đã lập được các sơ đồ dự báo
đầu tiên bằng phương pháp số trị. Năm 1940, Kibel sử dụng điều kiện tựa
tĩnh và gần đúng địa chuyển đã tìm được nghiệm của bài toán dự báo
dưới dạng chuỗi. Năm 1938-1940 Rozby đã công bố nhiều công trình về
lý thuyết sóng dài và dòng vĩ hướng, các công trình này đã ảnh hưởng lớn
đến việc phát triển dự báo. Năm 1943, Blinôva đã lập được phương trình
dự báo động lực đầu tiên cho một vài ngày. Năm 1951, Bulev và Martruc
đã tìm được nghiệm giải tích của hệ phương trình dự báo khí quyển tà áp.
Kết quả này đã đánh dấu một bước nhảy vọt của dự báo số trị và đã sử
dụng rộng rãi trong các sơ đồ dự báo nghiệp vụ của nhiều nước.
Sau năm 1950, sự xuất hiện và phát triển máy tính điện tử mạnh
mẽ nên nhiều mô hình dự báo thời tiết phức tạp đã được xây dựng và sử
dụng. Trước hết phải kể đến mô hình Charny, Philips (1950 ở Mỹ),
Belousov (1954 ở Liên Xô). Từ những năm 1960, người ta đã chú ý xây
dựng các sơ đồ dự báo bỏ bớt các hạn chế của chúng. Ngày nay, các
phương pháp toán học và kỹ thuật tính toán đã cho phép xây dựng mô
hình không cần đến điều kiện gì đối với trường gió và trường độ cao địa
thế vị hay các mô hình tích phân với số bước thời gian rất lớn, các mô
hình phi đoạn nhiệt và dự báo mây, mưa, các mô hình dự báo toàn cầu.
Đến nay, hầu hết các nước đều sử dụng phương pháp số trị để dự
báo thời tiết. Các trung tâm khí tượng lớn trên thế giới đều đang sử dụng
các mô hình dự báo toàn cầu với bước lưới khoảng 100 km và đưa kết
quả trên internet. Các trung tâm khí tượng, các cơ quan nghiên cứu dự

báo khí tượng và các cá nhân quan tâm đều có thể thu nhận các kết quả
dự báo này. Các kết quả dự báo toàn cầu được sử dụng làm điều kiện biên
và điều kiện ban đầu cho các mô hình dự báo quy mô vừa của các nước.
Trong quá trình dự báo theo các mô hình quy mô vừa, có thể cập nhật
điều kiện địa phương để tăng độ chính xác của dự báo.
Giáo trình gồm 5 chương:
Chương 1 trình bày các hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học ở
các loại hệ toạ độ được sử dụng trong khí tượng.
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Chương 2 trình bày lý thuyết phân tích quy mô giúp đánh giá được
vai trò của các thành phần trong từng phương trình thuỷ nhiệt động lực.
Từ đó có thể chọn được hệ phương trình cho từng bài toán khí tượng
được quan tâm.
Chương 3 trình bày lý thuyết về xây dựng sơ đồ sai phân hữu hạn
các phương trình thuỷ nhiệt động lực học và phân tích độ ổn định tính
toán của từng loại sơ đồ sai phân sử dụng trong dự báo số trị.
Chương 4 trình bày các sơ đồ dự báo dựa trên gần đúng địa chuyển
và Solenoit.
Chương 5 trình bày sơ đồ dự báo dựa trên hệ các phương trình
nguyên thuỷ và tính bảo toàn của các đại lượng vật lý trong từng mô
hình.
Giáo trình này được dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên ngành
khí tượng và làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học, các cán bộ
nghiên cứu ngành khí tượng thuỷ văn.
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
CÁC KÝ HIỆU CHÍNH

- Dòng nhập nhiệt đến một đơn vị thể tích
O - Bậc đại lượng


- Địa thế vị
a
- Bán kính trái đất
B
- Thông lượng nhiệt trong đất
p
C - Nhiệt dung riêng đẳng áp của không khí
v
C - Nhiệt dung riêng đẳng tích của không khí
vn
C - Nhiệt dung riêng của hơi nước
y
v
x
u
D





 - Divegiăng ngang của tốc độ
d - Độ hụt điểm sương
F
- Lực tác động lên một đơn vị khối lượng
g
- Gia tốc rơi tự do
grad



- Gradien
),( BAJ - Jacobian
K
- Hệ số rối
L
- Nhiệt ngưng kết
n
L - Nhiệt tan băng


sin2

l - Tham số Coriolis
hPaP 1000

- áp suất thuần mặt biển
p
- áp suất khí quyển
R
- Hằng số khí riêng của không khí khô
n
R - Hằng số khí riêng của hơi nước
T
- Nhiệt độ tuyệt đối
d
T - Nhiệt độ điểm sương
u
- Thành phần tốc độ theo trục
ox
v

- Thành phần tốc độ theo trục
oy
w
- Thành phần tốc độ theo trục
oz
dy
dl


- Tham số Rozby
z
T




- gradien thẳng đứng của nhiệt độ
a

- gradien đoạn nhiệt khô
Èm

- gradien đoạn nhiệt ẩm
P
p


- Trục thẳng đứng không thứ nguyên

- Trục trẳng đứng tổng quát


- Nhiệt độ thế vị
cvCpx /

- Hằng số Kazman

- Mật độ không khí
n

- Mật độ hơi nước
Psp/


- Toạ độ thẳng đứng không thứ nguyên

- Vĩ độ địa lý

- Xoáy tốc độ

- Tốc độ góc của trái đất
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Chương 1
CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ
QUYỂN
1.1 CÁC QUÁ TRÌNH CHÍNH TRONG KHÍ QUYỂN VÀ VẤN ĐỀ
XÂY DỰNG CÁC MÔ HÌNH DỰ BÁO
Các quá trình xảy ra trong khí quyển có thể chia thành ba dạng
chính: Các quá trình quy mô lớn (macro), quy mô vừa (meso) và quy mô
nhỏ (micro). Các quá trình quy mô lớn có kích thước ngang hàng ngàn
km (1-10 ngàn km). Chu kỳ của quá trình này khoảng vài ngày (từ 1-10

ngày). Xoáy thuận ngoại nhiệt đới là một trong những đối tượng thuộc
quy mô lớn. Các quá trình có quy mô vừa có kích thước ngang khoảng
vài chục đến vài trăm km, chu kỳ khoảng vài giờ. Thí dụ, về các quá trình
quy mô vừa là front khí quyển, phát triển mây tích v.v Các quá trình
quy mô nhỏ có kích thước ngang từ vài centimet đến vài mét và chu kỳ từ
vài giây đến vài phút. Các quá trình trong lớp sát đất thuộc loại các quá
trình quy mô nhỏ.
Tất cả các quá trình trong khí quyển đều mang tính chất sóng. Việc
tính toán các sóng trong mô hình số là vấn đề rất quan trọng cần được chú
ý khi xây dựng mô hình dự báo số. Có ba dạng sóng chính trong khí
quyển là sóng quán tính, sóng trọng trường và sóng âm.
Sóng quán tính (sóng Rozby hay sóng quy mô lớn) có bước sóng
dài hàng ngàn km, chu kỳ khoảng vài ngày. Biên độ dao động trong
trường áp suất đạt hàng chục mb (hpa), trong trường hợp gió đạt hàng
chục m/s. Đây là các quá trình quy mô lớn. Các quá trình này cần được
tính đến trong các mô hình dự báo.
Sóng trọng trường chủ yếu tạo ra các quá trình quy mô vừa. Biên
độ của sóng này trong trường gió khoảng vài m/s. Sóng này cần tính đến
trong các mô hình dự báo số.
Sóng âm thuộc loại các qua trình quy mô nhỏ. Sóng này không ảnh
hưởng đến các quá trình khí tượng nên trong các mô hình cần lọc sóng
âm để đảm bảo độ ổn định tính toán trong quá trình tích phân.
Các mô hình dự báo thời tiết hạn ngắn (1-3 ngày) hạn vừa (3-10
ngày) tính ảnh hưởng của các quá trình quy mô lớn, quy mô vừa và quy
mô nhỏ khác nhau. Biến đổi thời tiết trên diện rộng chủ yếu do các quá
trình và các sóng quy mô lớn. Các quá trình quy mô nhỏ ít ảnh hưởng
đến thời tiết.
Thời tiết ở khu vực nhỏ và ở thời gian xác định trong ngày là do
các quá trình quy mô vừa, phát triển trên nền thời tiết quy mô lớn, tạo ra.
Các mô hình mô phỏng khí quyển trên cơ sở động lực và vật lý đã

trở thành những công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu và dự báo nghiệp
vụ trong 30 năm qua. Tuy nhiên, do hạn chế về tốc độ của máy tính và
việc giải quyết những tính chất vật lý đưa vào mô hình nên không sử
dụng một kiểu mô hình để tính tất cả các quy mô của hiện tượng. Do vậy,
nhiều mô hình đã được phát triển để mô phỏng các quy mô chuyển động
khác nhau trong khí quyển.
Hình 1.1 mô tả phổ các mô hình: từ mô hình hoàn lưu chung thuỷ
tĩnh toàn cầu với độ phân giải rất thô (cỡ 200 km), mục đích dự báo hạn
dài và các quá trình qui mô lớn đến các mô hình quần thể mây phi thuỷ
tĩnh có độ phân giải cao (cỡ 1 km hoặc nhỏ hơn) để tính được hầu hết tất
cả các quá trình động lực và vật lý trong khí quyển.
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Hình 1.1 Phổ của mô hình dự báo số
Nhận thấy các mô hình khu vực và mô hình qui mô vừa nằm giữa
mô hình qui mô lớn và mô hình mây. Không có phân biệt rõ ràng giữa
mô hình khu vực và mô hình qui mô vừa. Người ta xem mô hình khu vực
có độ phân giải từ 50 - 150 km, còn mô hình qui mô vừa là từ 1 - 50 km.
Một số mô hình qui mô vừa hiện nay như: mô hình ETA dự báo nghiệp
vụ cho khu vực Tây Bắc Thái Bình Dương, Hông Kông, Đài Loan, và
hệ thống mô phỏng khí quyển qui mô vừa (MASS) dự báo cho khu vực
Nam Corolia - Mỹ, mô hình RAMS ở Mỹ, Hy Lạp Mô hình HRM ở
Đức, các nước châu Âu, Việt Nam, MM5 ở Mỹ, Hồng Kông, Việt Nam.
Để xây dựng các mô hình dự báo số cần tiến hành các bước sau:
1/ Xác định và mô tả các quá trình vật lý dẫn đến làm thay đổi thời
tiết.
2/ Chọn hệ phương trình vi phân mô tả các quá trình vật lý đã
chọn.
3/ Thay môi trường khí quyển liên tục, phức tạp thành môi trường
đơn giản trong không gian gồm các điểm hữu hạn.
4/ Tích phân số trị các phương trình để tìm các yếu tố khí tượng ở

các điểm cố định trong không gian và ở các thời điểm.
Thực hiện 4 bước trên ta có thể xây dựng được mô hình dự báo số.
Trong các phần sau sẽ trình bày nội dung của các bước trên.
1.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO CÁC CHẤT
LỎNG LÝ TƯỞNG
Hệ các phương trình thuỷ nhiệt động lực học mô tả các quá trình
xảy ra trong khí quyển gồm các phương trình chuyển động, phương trình
liên tục, phương trình nhập nhiệt, phương trình trạng thái và phương trình
vận chuyển ẩm. Các phương trình này rút ra rừ các định luật bảo toàn
động lượng, bảo toàn khối lượng và bảo toàn năng lượng. Các yếu tố khí
tượng chính ta xét là áp suất p, nhiệt độ T, mật độ

và các thành phần
của vận tốc nằm ngang
,
,
v
u
thẳng đứng w. Hệ toạ độ sử dụng là hệ toạ
độ Đề- các (x,y,z). Trục z hướng lên trên, trục x theo tiếp tuyến với vĩ
tuyên, trục y theo tiếp tuyến với kinh tuyến. Do độ cong của mặt đất nên
hướng của các trục thay đổi khi di chuyển từ điểm này đến điểm khác
song sự ảnh hưởng này chỉ lớn khi xét các quy mô cỡ bán kính trái đất
còn đối với các quá trình quy mô nhỏ hơn, sự ảnh hưởng này không lớn
nên có thể bỏ qua và xem hệ toạ độ là hệ toạ độ vuông góc. Nếu xét khí
quyển không có nhớt phân tử, nhớt rối, không có dẫn nhiệt và trao đổi
nhiệt bức xạ thì có thể coi khí quyển như một chất lỏng lý tưởng. Xét hệ
phương trình thuỷ nhiệt động lực cho khí quyển này
1.2.1 Phương trình chuyển động
Phương trình chuyển động theo các toạ độ có dạng

x
p
F
dt
du
x




1
Phân loại các mô hình
GCM
REGION
MESO
CLD
-
PBL
GCM ECMWF NGM ETA MASS/MM5 CLOUD
300 km 100 km 20 km 1km
Macro Meso  Meso  Meso  Micro
YEARS WEEKS DAYS - DAY HOURS
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
z
p
F
dt
dw
y
p

F
dt
dv
y
y








1
1
(1.2.1)
ở đây ký hiệu:
z
w
y
v
x
u
tdt
d












 là đạo hàm toàn phần
yx
FF , và
z
F là hình chiếu của vectơ lực khối trên các trục tương ứng.
Trong khí quyển, lực khối lượng bao gồm trọng lực và lực Coriolic. Ở
đây trọng lực là tổng vectơ của lực hấp dẫn và lực ly tâm. Coi trọng lực
hướng vào tâm trái đất nên 0
yx
gg còn gg
z
 . Giá trị của
g
phụ
thuộc vào vĩ độ và độ cao của điểm được xét so với mặt biển.
)10.14.31)(2cos.0026.01(80.9
7
zg



Đối với các bài toán khí tượng sự phụ thuộc này không đáng kể
(khoảng vài phần nghìn) nên thường lấy
2

/8.9 smg  .
Lực Coriolic ở dạng vectơ có thể biểu diễn:
VK




.2 (1.2.2)
Vì vậy:
)(2
)(2
)(2
uK
wuK
wK
yxz
xzy
zyx






Vì chọn hệ toạ độ có trục y và trục x trùng với tiếp tuyến của kinh,
vĩ tuyến nên 0
x

. Kký hiệu:





Cos
y
x
.22
sin22
1





(

là vĩ độ địa lý).
Khi đó hệ phương trình (1.2.1) có thể viết về dạng:
gu
z
p
dt
dw
u
y
p
dt
dv
wv
x

p
dt
du












1
1
1
1
1






(1.2.3)
1.2.2 Phương trình liên tục
Phương trình liên tục biểu diễn định luật bảo toàn khối lượng áp
dụng cho chuyển động của chất lỏng viết dưới dạng sau:

0)( 


Vdiv
t



(1.2.4)
ở đây:














































z
w
y
v
x

u
z
w
y
v
x
u
Vdiv
z
w
y
v
x
u
z
w
y
v
x
u
VVdiv










)()(
(1.2.5)
Thay (1.2.5) vào (1.2.4)
0











z
w
y
v
x
u
t




(1.2.6)
hay
0
1



















z
w
y
v
x
u
dt
d


(1.2.7)
Trong trường hợp chất lỏng không nén được :

0
dt
d

!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Khi đó phương trình liên tục có dạng:
0








z
w
y
v
x
u
(1.2.8)
1.2.3 Phương trình trạng thái
Phương trình trạng thái biểu diễn mối quan hệ giữa ba đại lượng là
áp suất p, mật độ

và nhiệt độ không khí T:
RTp .



(1.2.9)
ở đây: ./287
22
smR  độ là hằng số khí riêng đối với không khí.
Phương trình (1.2.9) thoả mãn với áp suất rất nhỏ tức là đến tận các
lớp rất cao của khí quyển. Đối với khí quyển thực chứa hơi nước phương
trình (1.2.9) phải thay
T
bằng nhiệt độ ảo
a
T
mới chính xác song sự khác
biệt giữa
a
T
và
*
T đối với các lớp trong khí quyển tự do không lớn. Vì
vậy sử dụng phương trình trạng thái (1.2.9) trong dự báo số trị vẫn đảm
bảo độ chính xác cho phép.
1.2.4 Phương trình nhập nhiệt
Phương trình nhập nhiệt hay còn gọi là phương trình của nguyên lý
thứ nhất. Đây là phương trình biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng áp
dụng cho nhiệt năng. Phương trình có thể viết dưới dạng:


pp
Cdt
dp
Cdt

dT 11
 (1.2.10)
Ở đây: gcalC
p
/24.0 độ – nhiệt dung của không khí áp suất cố
định;

. Dòng nhập nhiệt đến một đơn vị thể tích.
Thay:
4.1/ 


vp
vp
CC
CCR

vào (1.2.10) ta viết nó về dạng:



p
Cdt
dp
p
T
dt
dT 1
.
1



 (1.2.11)
Sử dụng biểu thức của nhiệt độ thế vị:



1









p
P
T (1.2.12)
( mbP 1000

- áp suất chuẩn ở mặt biển), ta dễ dạng biến đổi (1.2.11) về
dạng:




p
CTdt

d
 (1.2.13)
Trong khí quyển có ba dạng dòng nhập nhiệt là: Nhập nhiệt bức xạ
BX

, nhập nhiệt rối
R

, và nhập nhiệt do chuyển pha của hơi nước
Ph

:
PhRBX

 (1.2.14)
1.2.5 Phương trình vận chuyển ẩm
Hơi nước luôn luôn tồn tại trong khí quyển. Nếu trong khí quyển
không có chuyển động rối thì biến đổi lượng hơi nước trong phần tử khí
chuyển động là do ngưng kết hoặc bay hơi. Nếu gọi lượng hơi nước
chuyển pha trong một đơn vị thể tích khí chuyển động sau một đơn vị
thời gian m thì phương trình mô tả biến đổi lượng hơi nước q là:

m
dt
dq
 (1.2.5)
Các phương trình (1.2.3), (1.2.7), (1.2.9), (1.2.11), và (1.2.15) tạo
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
thành hệ phương trình kín với ẩn số là u, v, w, p,


, T và q. Nếu coi quá
trình là đoạn nhiệt thì 0


hay dòng nhập nhiệt chỉ do chuyển pha của
hơi nước thì mL
Ph
.

. Trường hợp quá trình xảy ra có các dòng
nhập nhiệt khác nữa thì phải xét thêm các phương trình mô tả các đại
lượng chưa biết.
1.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC CHO KHÍ
QUYỂN RỐI
Chuyển động rối trong khí quyển đóng vai trò rất lớn trong việc
hình thành và phát triển các quá trình của khí quyển. Hiệu ứng nhớt rối ở
đây lớn hơn nhiều so với nhớt phân tử , vì vậy trong các bài toán khí
tượng động lực hay dự báo số trị hiệu ứng này thường được quan tâm và
tính đến. Chuyển động rối là không thể mô tả được. Trong khí tượng chỉ
quan tâm đến giá trị trung bình của các biến và biến động của chúng theo
thời gian nên ảnh hưởng của các nhiễu động đến đại lượng quan tâm
được tính đến như tổng trung bình của các nhiễu động.
Giả sử ),,,( tzyxf là một đại lượng nào đó, f là giá trị trung
bình của nó, fff 

là nhiễu động khi đó giá trị trung bình có thể xác
định:


2/

2/
),,,(
1
),,,(



dttzyxftzyxf (1.3.1)
ở đây

là chu kỳ lấy trung bình.
Hệ các phương trình dự báo có thể viết dưới dạng tổng quát sau:
N
dt
d


1
 (1.3.2)
Ở đây

là các yếu tố quan tâm, N là một hàm nào đó đã cho.
Thay





 ,, NNN , trong (1.3.2) và tiến hành lấy
trung bình. Sử dụng các quy tắc lấy trung bình ta dễ dàng nhận được:

)(
11
z
w
y
v
x
u
N
dt
d














(1.3.3)
Phương trình (1.3.3) mô tả biến đổi đại lượng

trong khí quyển
rối. Phương trình này khác phương trình (1.3.2) dùng cho khí quyển lý

tưởng là xuất hiện các thành phần trong ngoặc đơn. Các thành phần này
mô tả biến đổi đại lượng ta xét do chuyển động rối gây ra.
Áp dụng công thức (1.3.3) tiến hành lấy trung bình các phương
trình (1.2.3), (1.2.7), (1.2.9), (1.2.11), và (1.2.15)
)(
1
)(
11
0
)(
11
)(
11
)(
11
2
2
2
z
qw
y
qv
x
qu
m
dt
q
d
z
w

y
v
x
u
C
T
dt
d
z
w
y
v
x
u
t
z
w
y
wv
x
wu
z
F
dt
wd
z
wv
y
v
x

vu
y
F
dt
vd
z
wu
y
vu
x
v
x
F
dt
ud
p
z
y
X














































































































(1.3.4)
Trên cơ sở lý thuyết rối bán thực nghiệm ta có thể biểu diễn các đại
lượng mới trong hệ các phương trình trên qua hệ số rối theo các hướng
nằm ngang
K

, thẳng đứng
K
và gradien của đại lượng trung bình theo
các hướng.
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
z
w
Kw
z
v
Kwv
y
v
Kv
z
u
Kwu
y
u

Kvu
x
u
Kuu





































2
2
x
KCuC
pp








y
KCvC
pp









(1.3.5)
z
q
KqwC
y
q
KqvC
x
q
KquC
z
KCwC
qp
qp
qp
pp


























ở đây:
KKKK






,
là hệ số trao đổi nhiệt rối theo
phương thẳng đứng và nằm ngang;
KKKK
qqqq






,
là hệ số
trao đổi ẩm rối theo các phương trên;
q


,
là các hằng số tỷ lệ. Các
hằng số này được xác định bằng thực nghiệm, chúng gần bằng một nên
trong dự báo số trị lấy
1
q


.
Thay (1.3.5) vào (1.3.4) được hệ phương trình mô tả các đại lượng
trung bình (các dấu gạch ngang ta bỏ đi cho gọn).
z
w
K
z
wKuvg
z
p
dt
dw
z

v
K
z
vKwu
y
p
dt
dv
z
u
K
z
uKvw
x
p
dt
du
yx
xz
zy





































22
1
22
1

22
1
0











z
w
y
v
x
u
t




 
















z
K
z
K
CTdt
d
PhBx
p




1
(1.3.6)
z
q
K
z
qK

m
dt
dq








Trong thực tế, đôi khi sử dụng nhiệt độ thay cho nhiệt độ thế vị nên
thay:
P
CR
p
P
T
/










vào phương trình nhập nhiệt trên sẽ được

 












aPhBX
p
a
dz
dT
K
z
TK
Cdt
dp
gpdt
dT



1
(1.3.7)

1.4. HỆ CÁC PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC VỚI TOẠ
ĐỘ THẲNG ĐỨNG BẤT KỲ
Để xây dựng mô hình dự báo thời tiết quy mô lớn người ta sử dụng
hệ phương trình ở dạng đơn giản hơn so với hệ phương trình trong hệ toạ
độ Đê - các. Hệ phương trình này được viết trong hệ toạ độ có trục thẳng
đứng liên hệ với trục Oz qua phương trình tĩnh học. Xét phương pháp
chuyển đổi hệ phương trình trong hệ toạ độ Đề - các sang hệ toạ độ mới
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
này.
Giả sử hàm
f
là đại lượng khí tượng bất kỳ phụ thuộc toạ độ
không gian và thời gian trong hệ toạ Đề - các
),,,( ztyxf
. Trong hệ toạ
độ mới, trục thẳng đứng được thay bằng

còn các trục
y
x
,
và thời gian
t
vẫn giữ nguyên như trong hệ Đề - các. Để phân biệt các hàm và biến
trong hai hệ, ký hiệu các hàm và biến trong hệ toạ độ mới có chỉ số 1.
Hàm số nào đó tại một điểm trong không gian và thời điểm nhất định
trong hai hệ toạ độ phải bằng nhau:


1111

),,,,(,,),,,( ttzyxyxftzyxf

 (1.4.1)
Để tìm được công thức chuyển đổi đạo hàm từ hệ toạ độ cũ sang hệ
toạ độ mới, lấy vi phân hai vế (1.4.1) theo các biến
tzyx ,,,
. Ký hiệu
S
là một trong các biến trên, ta có:
S
t
t
f
S
f
S
y
y
f
S
x
x
f
S
f























1
1
111
1
11
1
1


(1.4.2)
Vì ttyyxx 
111
,, nên

0
1
111111111
111





































t
y
t
x
z
t
z
y
z
x
y
t
y
x
x
t
x
y
t
t

y
y
x
x
(1.4.3)
Theo (1.4.3) thì (1.4.2) có dạng:
S
f
S
f
S
f













1
1
1
(1.4.4)
ở đây

1
S là một trong các biến
),,,(
111
tyx

. Trong công thức
(1.4.4) cần xác định
S


/

. Để tìm được đại lượng này ta coi
f
là địa
thế vị
gz


của mặt
const


.Khi đó ta thay

vào (1.4.4) ta được.
SS 













1
1
1
0
khi
S
là
),,( tyx
và
S
g










1
khi
S
là
z
.
Từ đây ta tìm được khi
),,( tyxS

.











1
1
1
S
S
(1.4.5)
và









1
g
z
(1.4.6)
Thay (1.4.5) và (1.4.6) vào (1.4.4) được công thức chuyển đổi đạo
hàm riêng:
















1
1

1
1
1
1
S
f
S
f
S
f
(với tyxS ,,

) (1.4.7)










1
1
1
S
g
z
f

(1.4.8)
Để có công thức chuyển đổi đạo hàm toàn phần từ hệ toạ độ cũ
sang hệ toạ độ mới, thay các đạo hàm riêng trong các đạo hàm toàn phần
z
f
w
y
f
v
x
f
u
t
f
dt
df











 bằng các công thức (1.4.7) và (1.4.8)
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting

































1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
gw
y
v
x
u
t
f
y
f
v
x
f
u
t

f
dt
df




(1.4.9)
Ta viết biểu thức trên về dạng:














1
1
1
1
1
1
f

y
f
v
x
f
u
t
f
dt
df

(1.4.10)
ở đây ký hiệu.





















1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y
v
x
u
t
gw





(1.4.11)
Ta thay
f
trong (1.4.9) bằng


. Do

không phụ thuộc vào
11
,xt
và
1
y
nên ta được:




















1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
y
v
x
u
t
gw
dt
d




Đối chiếu với công thức (1.4.11) ta thấy
dt
d




Vế phải (1.4.9) là đạo hàm toàn phần của hàm

1
f
, trong hệ toạ độ
mới và có thể viết về dạng:
1
1
dt
df
dt
df
 (1.4.12)
Như vậy có công thức (1.4.12) để chuyển đổi đạo hàm toàn phần từ
hệ toạ độ cũ sang hệ toạ độ mối. Sử dụng các công thức (1.4.7), (1.4.8) và
(1.4.12) để chuyển đổi hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ
toạ độ Đê – các (x,y,z,t) sang hệ toạ độ mới (
111
,,, tyx

)
1. Phương trình trạng thái.
111
RTP

 (1.4.13)
2. Phương trình nhập nhiệt
Trong hệ toạ độ cũ phương trình có dạng
p
Cdt
dp
P

T
x
x
dt
dT





1
Khi chuyển sang hệ toạ độ mới sẽ có dạng
p
Cdt
dp
P
T
x
x
dt
dT





1
1
1
11

1
(1.4.14)
3. Phương trình tĩnh học
Thay
g
p
g
z
P
1
11












Từ đây tìm được










1
1
1
p
(1.4.15)
4. Phương trình chuyển động:
Tìm đạo hàm khí áp theo hướng
ox
và
oy
.




























1
1
1
1
1
11
1
1
xp
x
p
x
p
x
p
x
p
Thay




1
p
từ (1.4.15), được:
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
1
1
1
1
1
x
p
x
p
x
p









(1.4.16)
Sử dụng (1.4.12) và (1.4.16), phương trình chuyển động theo trục
Ox có dạng:
x

Fv
xx
p
dt
du







1
1
1
1
1
11
1
1



(1.4.17)
Tương tự phương trình chuyển động theo trục Oy sẽ là:
y
Fu
yy
p
dt

dv







1
1
1
1
1
11
1
1



(1.4.18)
5. Phương trình liên tục
Chuyển đổi các đạo hàm riêng trong phương trình liên tục theo
công thức (1.4.7) và (1.4.8)














































1
1
1
11
1
1
11
1
1
1
1
11
1
1
1
dt
dw
g
z
w
y
v
y

u
y
u
x
u
x
u
x
u








































































































































1
11
1
111
1
1
1
1
11

1
11
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
1
y
v
x
u
dt
d
y
v
x
u
y
v

x
u
t
Như vậy





































1
1
1
1
1
1
1
1
dt
d
y
v
x
u
z
w
y
v
x
u


Thay biểu thức trên vào phương trình liên tục, được:
0
11
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
































dt
d
y
v
x
u
dt
d

(1.4.19)
Sử dụng phương trình học (1.4.15) tìm được




































1
1
1
1
1
1
1
1
111
p
dt
d
p
dt
d
dt
d
như vậy phương trình (1.4.19) có dạng
0
1
1
1
1
1
1
1
1



























p
dt
d
p
y
v
x

u

(1.4.20)
Bỏ các chỉ số 1 ở hàm số và ở các biến nhận được hệ phương trình
thuỷ nhiệt động lực trong hệ toạ độ mới ở dạng:
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
0
1
1
1
1




























































p
dt
d
p
y
v
x
u
Cdt
dp
P
T
x
x
dt
dT
p
Fu
yy
p
dt

dv
Fv
xx
p
dt
du
p
y
x



(1.4.21)
Hệ phương trình (1.4.21) là hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực
học trong hệ toạ độ có trục thẳng đứng tuỳ ý. Có thể tìm được hệ phương
trình thuỷ nhiệt động lực học cho khí quyển trong hệ toạ độ áp suất khi
thay
p


, trong hệ toạ độ

khi thay
S
p
p


(
S

p là áp suất tại mặt
đất), trong hệ toạ độ dẳng entropi khi thay



(

nhiệt độ thế vị).
1.5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC TRONG HỆ
TOẠ ĐỘ ÁP SUẤT
Hệ toạ độ áp suất là hệ toạ độ có trục thẳng đứng là áp suất khí
quyển P


. Các biến độc lập khác vẫn giữ nguyên không đổi. Các biến
phụ thuộc trong hệ này là Tvu ,, và

và tương tự, tốc độ thẳng đứng
dt
dp



. Đạo hàm toàn phần trong hệ toạ độ áp suất có dạng:
py
v
x
u
tdt
d














(1.5.1)
Trong hệ toạ độ này các biến
p
y
x
,
,
là các biến độc lập nên
0





y
p
x

p
Do
p


nên
pp
p
dt
d





















,0
Hệ phương trình khi đó có dạng:
x
Fv
xp
u
y
u
v
x
u
u
t
u



















y
Fu
yP
v
y
v
v
x
v
u
t
v



















PR
p
T




0








py
v
x
u

p
CP
T
x
x
p
T

y
T
v
x
T
u
t
T

























1
Dễ dàng biến đổi:
gp
RT
p
T
x
x
p
T
a
)(
1

















Phương trình nhập nhiệt trong hệ toạ độ áp suất có dạng:
p
a
Cpg
RT
y
T
v
x
T
u
t
T














)(
(1.5.2)

Hệ toạ độ
tyx ,,,

.
Để tiện lợi trong tính toán người ta thường dùng hệ toạ độ có trục
thẳng đứng )1000( mbP
P
p


. Hệ phương trình trên khi chuyển sang
hệ toạ độ ( tyx ,,,

), chỉ thay:
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting






P
t
P
dt
dp
Ppp
















1
Như vậy thành phần










oo
oo
P
P
dp
d 1

`hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực trong hệ toạ độ ),,,( tyx

có
dạng:
x
Fv
x
u
y
u
v
x
u
u
t
u




















y
Fu
y
v
y
v
v
x
v
u
t
v



























R
T
0










y
v
x
u

p
a
Cg
RT
y
T
v
x
T
u
t
T

















)(

(1.5.3)
Sử dụng các phương trình trong hệ toạ độ áp suất có nhiều ưu điểm
so với hệ phương trình trong hệ toạ độ Đề - các. Nhưng ưu điểm đó là:
a) Gió địa chuyển trong hệ toạ độ Đề - các xác định bằng biểu
thức:
x
p
u
y
p
u
gg








1
;
1
(1.5.4)
Còn trong hệ toạ độ áp suất:
x
Hg
v
y
Hg

u
gg








; (1.5.5)
Theo các công thức trên, gió địa chuyển ở một mực nào đó phụ
thuộc vào gradien khí áp hay gradien địa thế vị tức là độ dày của các
đường đẳng áp hay các đường đẳng cao. Ở vĩ độ xác định, sự phụ thuộc
này đơn trị đối với các bản đồ hình thế khí áp, còn đối với bản đồ phân
bố áp suất thì trong công thức (1.5.4) còn chứa mật độ không khí. Như
vậy giữa tốc độ gió địa chuyển và gradien khí áp có hằng số tỷ lệ phụ
thuọc vào độ cao (

thay đổi theo z), trong khi đó hằng số tỷ lệ trong
công thức (1.5.5) không phụ thuộc vào độ cao. Đây là ưu điểm của bản
đồ hình thế khí áp so với bản đồ phân bố áp suất.
Ở mặt biển hình dạng các đường đẳng áp không khác nhiều hình
dạng các đường đẳng cao mặt

và tồn tại mối liên hệ:
n
p
n
H






00
8.0 (1.5.6)
0
H
đo bằng Đề-ca-met độ cao địa vị thế vị (dam)
Từ (1.5.6) thấy độ dày các đường đẳng cao vẽ qua 4 dam tương
đương với độ dày của các đường đẳng áp vẽ qua 5 mb.
b) Nhiều phương trình động lực khí quyển trong hệ toạ độ áp suất
đơn giản hơn trong hệ toạ độ Đề - các. Thí dụ như phương trình trạng thái
chỉ liên hệ giữa hai đại lượng

và
T
chứ không phải ba đại lượng như
trước. Phương trình liên tục trong trường hợp tổng quát tương tự như
trong trường hợp không khí không bị nén ở hệ toạ độ Đề - các, trong
phương trình chuyển động không chứa mật độ.
c) Trong hệ tọa độ Đề- các các ẩn số rất phức tạp, để khử chúng sẽ
dẫn đến một phương trình khó giải. Trong hệ toạ độ áp suất việc khử một
ẩn rất dễ dàng. Mật độ chỉ nằm trong phương trình trạng thái, bỏ phương
trình này ra được một hệ mới năm ẩn trong năm phương trình. Thay nhiệt
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
độ từ phương trình tĩnh học vào phương trình nhập nhiệt được một hệ
mới bốn phương trình chứa bốn ẩn số. Rút


từ phương trình nhập nhiệt
thay vào phương trình liên tục và phương trình chuyển động được ba
phương trình ba ẩn.
Hệ phương trình trong hệ toạ độ áp suất cũng chỉ đúng ở những
điều kiện như trong hệ toạ độ Đề- các . Mặt khác trong quá trình chuyển
đổi đã sử dụng phương trình tĩnh học nên đối với các quá trình không
thoả mãn điều kiện tựa tĩnh thì không dùng hệ phương trình mới này để
mô tả. Nếu không sử dụng điều kiện tựa tĩnh thì hệ phương trình mới sẽ
phức tạp hơn nhiều và các ưu điểm kể trên sẽ không còn nữa.
1.6 HỆ TOẠ ĐỘ

Hệ toạ độ

sử dụng trục thẳng đứng là:
S
p
p


Với
S
P là áp suất mặt đất
S
P là hàm số phụ thuộc
y
x
,
và
t
. Tương

tự tốc độ thẳng đứng trong hệ toạ độ

là









S
p
p
dt
d
dt
d



Tại biến trên và biến dưới của khí quyển

là hằng số nên 0


.
Thay




vào hệ (1.4.21) và sử dụng
S
SS
p
p
y
p
y
p
x
p
x
p
















,,
Nhận được:
x
S
S
Fv
x
p
pxdt
du








 




y
S
S
Fu
y
p
pydt

dv








 










R
T
0














SSSS
p
y
vp
x
up
t
p
p
CTdt
d





x
x
o
T
1











Ưu điểm của hệ toạ độ ),,,( tyx

so với hệ toạ độ áp suất là điều
kiện biên tương tự tốc độ thăng tại biên dưới của mô hình là chính xác.
Với biên dưới của mô hình dự báo là mặt đất
S
pp  nên 1


. Như vậy
sử dụng điều kiện biên: 0)1(


chính xác hơn điều kiện biên: 0)1(


(vì mặt 1000 mb không trùng với mặt đất nên điều kiện cuối cùng
này chỉ là gần đúng).
Các hệ toạ độ xét ở đây có trục thẳng đứng liên hệ đến các phần tử
khí chuyển động. Các hệ toạ như thế này được gọi là hệ toạ độ tựa
Lagrangian. Có nhiều hệ toạ độ khác tựa Lagrangian được đưa ra song do
những hạn chế của chúng nên ít được dùng trong thực tế. Một trong số
những hệ đó là hệ toạ độ đẳng Entropi. Hệ toạ độ này dùng để phân tích

bản đồ hình thế các mặt đẳng Entropi const


. Hệ toạ độ này có một số
ưu điểm so với các hệ toạ độ áp suất, song cũng có một số nhược điểm
là đặt điều kiện biên trong hệ này khó hơn so với hệ toạ độ áp suất, giá trị

ta không đo trực tiếp được như áp suất.
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
1.7 PHƯƠNG TRÌNH XOÁY VÀ PHƯƠNG TRÌNH DIVECGIĂNG
1.7.1 Phương trình xoáy
Một phương trình có thể dùng để dự báo được là phương trình mà
trong đó đạo hàm theo thời gian của hàm cần tìm phải là thành phần
chính trong phương trình để xác định thành phần này không gặp phải sai
số lớn do tính toán.
Xét khả năng dự báo của phương trình chuyển động:
v
x
H
g
u
y
u
v
x
u
u
t
u


















(1.7.1)
u
y
H
g
v
y
v
v
x
v
u
t
v


















(1.7.2)
Đối với các chuyển động quy mô lớn trong khí quyển tự do gần
đúng địa chuyển thoả mãn với độ chính xác lớn vì vậy vế trái của các
phương trình là hiệu của hai đại lượng lớn gần bằng nhau. Như vậy các
giá trị
t
u


và
t
v



là các đại lượng nhỏ xác định được với sai số lớn. Các
đại lượng ở vế phải xác định với sai số 1% có thể gây sai số của
t
v
t
u




,
đến vài trăm phần trăm. Vì lý do trên, các phương trình trên không thể
dùng để dự báo.
Phương trình mô tả biến đổi xoáy

:
y
u
x
v






thoả mãn điều kiện của phương trình dự báo nêu trên. Để tìm được
phương trình xoáy ta lấy vi phân phương trình (1.7.2) theo x và (1.7.1)
theo y rồi trừ hai kết quả cho nhau:

v
dy
d
y
v
x
uu
y
v
x
u
y
v
y
v
x
v
y
u
x
u
x
v
x
u
y
v
x
u
t


 




































































(1.7.3)
Ký hiệu:
y
v
x
u
D
dy
d





 ,


Biến đổi các thành phần trong (1.7.3) về dạng sau:
D
y
u
y

v
x
u
y
u
y
u
y
v
y
u
x
u
D
x
v
y
v
x
u
x
v
y
v
x
v
x
v
x
u


























































Trừ hai vế với nhau, tìm được:
DD
y
v

x
u
y
u
y
v
y
u
x
u
y
v
x
v
x
v
x
u



































Thay kết quả này vào (1.7.3) tìm được phương trình xoáy ở dạng:





















x
v
y
u
vD
t
d





)( (1.7.4)
Phương trình này có thành phần đạo hàm theo thời gian, là một
trong số các thành phần chính của phương trình. Các thành phần chính
trong phương trình chuyển động
y

H
x
H




, đã bị triệt tiêu trong quá trình
biến đổi,
u

và
v
được thay bằng D

và v

. Trong các đại lượng
cuối cùng này
D
nhỏ hơn so với từng thành phần
y
H
x
H




vµ vì gió

gần với gió địa chuyển còn

cũng rất nhỏ vì nó là biến đổi của tham số
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Coriolish theo vĩ độ.
Xét một vài trường hợp riêng của phương trình xoáy (1.7.4):
a) Giả sử trong vế phải của (1.7.4) chỉ
0


các thành phần còn
lại có thể bỏ qua vì nhỏ so với
v

, khi đó phương trình xoáy(1.7.4) viết
về dạng:
0


v
t
d

(1.7.5)
Vì chọn trục Ox theo vĩ tuyến và Oy theo kinh tuyến nên


sin2)(



y
Suy ra
0










xt
Mặt khác:
















y
v
x
u
tdt
d
Cho nên ta có thể viết:
v
y
v
dt
d






(1.7.6)
Thay (1.7.6) vào (1.7.5) viết phương trình xoáy về dạng:
0
)(



dt
d 
(1.7.7)
Hay là:
0


dt
d
a
(1.7.8)
Ở đây 
a
là xoáy tuyệt đối.
Theo kết quả này có nghĩa là phương trình (1.7.5) mô tả sự bảo
toàn xoáy tuyệt đối trong các phần tử khí chuyển động, tức là:
const
a
  (1.7.9)
Như vậy nếu phần tử khí quyển chuyển động về phía bắc (gió
Nam)

tăng lên vì thế xoáy tương đổi trong phần tử đó

phải giảm đi
và ngược lại khi phần tử khí quyển về phía Nam  giảm thì

phải tăng
lên.
b) Nếu giữ lại hai thành phần đầu trong vế phải của phương trình
(1.7.4) ta được:
D
dt
d
a
a



(1.7.10)
Ở đây
D
là độ phân kỳ, nó đặc trưng cho sự biến đổi tương đối
hình chiếu của phần tử khí trên mặt nằm ngang.
dt
sd
sy
u
x
u
D
)(1








 (1.7.11)
Thay (1.7.11) vào (1.7.10) :
 
s
dt
d
dt

sd
t
s
aa
a






)(
)( (1.7.12)
Hình 1.2 Hình chiếu của phần tử khí trên mặt đẳng áp nằm ngang
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Trong trường hợp này, phương trình mô tả tính chất bảo toàn tích
của xoáy tuyệt đối và hình chiếu của phần tử khí trên mặt đẳng áp.
1.7.2 Phương trình Divegiăng
Lấy vi phân (1.7.1) theo x, (1.7.2) theo y và cộng kết quả lại được:







u
y
u
x

vv
y
u
x
y
v
x
v
y
u
y
u
x
v
x
uD
y
D
v
x
D
u
t
D







































































2
2
2
(1.7.13)
Phương trình này có thể viết dưới dạng:





u
v
y
u
xy
v
y
u
x
v
x
u
dt
dD
























































2
2
2
2
(1.7.14)
1.8 HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUỶ NHIỆT ĐỘNG LỰC HỌC TRONG HỆ
TOẠ ĐỘ CẦU
Hệ phương trình thuỷ nhiệt động lực học đã xét ở trên chỉ sử dụng
để mô tả các quá trình Synốp và dùng để dự báo thời tiết hạn ngắn ở vùng
giới hạn. Để nghiên cứu các quá trình quy mô lớn - quy mô toàn cầu hay

bán cầu và dự báo dài hạn thì phải sử dụng hệ phương trình thuỷ nhiệt
động lực học trong hệ toạ độ cầu. Các toạ độ cầu
r,,


được biểu diễn
trên hình 1.3.
Véc tơ vận tốc trong hệ toạ độ cầu U được biểu diễn qua các thành
phần
r
vvv ,,

theo hướng
r,,


.
r
i
r
vivivU ,

(1.8.1)
r
r
vrvrv

 ,.,cos.





(1.8.2)
Đạo hàm toàn phần hệ toạ độ cầu được biểu diễn:
 
r
r
r
t
r
v
r
v
r
v
t
u
tdt
d






































cos
3
(1.8.3)
Ở đây kí hiệu:

r
r
i
r
i
r
i











cos
3
(1.8.4)
Véc tơ tốc độ góc quay của trái đất trong hệ toạ độ cầu được biểu
diễn:
r
ii


nsicos 

(1.8.5)

Các véc tơ đơn vị
r
iii ,,

phụ thuộc vào các hệ toạ độ không
gian. Đạo hàm của chúng theo các trục được biểu diễn bằng các công
thức sau:









































0
,,(
.sin
.cos
0
.sin.cos
r
iii
i
i
i
i
i

i
i
i
i
ii
i
r
r
r
r
r
r
r
















(1.8.6)

!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Đạo hàm toàn phần theo thời gian của các véc tơ này được tính
bằng các công thức:
 














ii
t
di
ii
t
di
ii
dt
di
r
r
r

sin
cos
.sin.cos










(1.8.7)
Các phương trình thuỷ nhiệt động lực học trong hệ toạ độ quay trái
đất ở dạng véc tơ có dạng:






















p
CTdt
d
divU
dt
d
DFU
r
p
dt
dU
0.
2
1

(1.8.8)
Hình 1.3 Hệ toạ độ cầu
Ở đây F là ngoại lực. Trong khí tượng hiểu F là lực hấp dẫn. D là
lực nhớt rối. Sử dụng (1.8.1) - (1.8.7) đưa các phương trình (1.8.8) về
dạng:













Dvv
P
r
r
gvvv
r
vrv
r
v
r
rv
r
v
t
v
Dv
p
r
gvv
r
vrv

r
v
r
rv
r
v
t
v
r
rr
rr

































.sin.2.cos.2
sin
1
cot
sin
.cos.2
1
cot
sin
2
r
rrrrr
r
r
Dvg
P
r

vvv
r
vv
r
v
r
v
v
t
v
























.sin.2
1
sin
22
(1.8.9)



















p
r
a

r
r
r
Cr
p
r
vp
r
v
r
p
v
t
p
g
T
r
vT
r
v
r
T
v
t
T
v
rr
gvv
r
vr

r
r
v
r
v
r
v
t































































sin
sin
0
sin
1cot
2
11
sin
2
2
Trong các công thức trên
rr
DDD ,,

là các thành phần lực ma sát
rối theo các trục r,,


tương ứng.
Các bài toán khí tượng chỉ đặt ra đến độ cao vài chục kilômét tức
là đến độ cao nhỏ hơn nhiều so với bán kính trái đất (a=6371 km). Vì vậy

trong các công thức trên lấy gần đúng:
azar
111


 (1.8.10)
Ở đây z là độ cao. Vì
a
r
z


nên
zr
vv
zr





 ,
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Một cách gần đúng, có thể thay:
z
r
v
r
r
vr

r
r
v
r
rv
r
r
v
r
vr
r















.
2
2
1

1
.
1


(1.8.11)
Sử dụng biểu thức trên, biến đổi hệ phương trình (1.8.9) về dạng:












Dvv
P
a
a
gvvv
a
vv
a
v
z
v

v
t
v
Dv
p
a
a
gv
v
a
vv
a
v
z
v
v
t
v
z
r
z
r
z

































.sin.2.cos.2
sin
1
cot
sin

.cos.2
1
cot
sin
2

z
zzzz
z
z
Dvg
z
p
a
vvv
a
vv
a
v
z
v
v
t
v
























.sin.2
1
sin
22
(1.8.12)
0
sin
1
cot
1
sin








































v
aa
gvv
az
v
a
v
T
a
v
z
v
t
z
z







p
z

a
r
C
p
a
vp
a
v
z
p
v
t
p
g
T
a
vT
a
v
z
T
v
t
T
































sin
sin
Để đánh giá các thành phần của các phương trình trong hệ (1.8.12)
phải sử dụng các đặc trưng của các yếu tố khí tượng quy mô hành tinh.
Đối với quy mô không gian theo phương nằm ngang chọn bằng bán kính

trái đất
maL
6
0
10.4.6
Quy mô của vận tốc gió
smU /10
0

.
Như vậy đối với quy mô thời gian cho các quá trình này sẽ là:
5.7;10.4.6/
0
5
000
 tsULt
ngày đêm
Quy mô thời gian này chỉ thích hợp với các quá trình bình lưu còn
các quá trình biến tính các khối khí thì không thoả mãn. Để nghiên cứu
các quá trình biến tính loại quy mô này phải chọn quy mô thời gian cho
thích hợp
Quy mô không gian theo phương thẳng đứng chọn đến độ cao
chứa 95% khối lượng của khí quyển. Để thoả mãn điều kiện này lấy:
kmH 10
0

Quy mô tốc độ thẳng đứng
0
W
được chọn sao cho

thoả mãn điều kiện:
0
0
0
0
L
U
H
W

Từ điều kiện này tìm được:
0
00
0
L
UH
W 
Thay số tìm được:
smW /10
2
0


.
Giá trị đặc trưng của yếu tố khí tượng trong lớp khí quyển 0-10km
được chọn:
Áp suất mbp 600
0
 ; Mật độ:
33

0
/10.75,0 mg



; Nhiệt độ
KT
0
0
297 .
!Invalid Character Setting !Invalid Character Setting
Số gia của các yếu tố này theo phương nằm ngang được chọn bằng
5% giá trị của hàm số tương ứng. Vì vậy :
Biến động của áp suất theo phương nằm ngang
mbP 30
0

, của
mật độ không khí
32
0
/10.4,0 mg

, của nhiệt độ
0
0
14T .
Đối với hệ số trao đổi theo phương nằm ngang dựa trên quy luật
4/3 của Ô-bu-khôv:
3/43/1

2
.)(
OOO
LDCK 
ở đây
0
D
là giá trị đặc trưng của năng lượng tiêu tán:
223
0
/10.4,0 smD


C là hằng số tỷ lệ, nó biến thiên từ 0,1 đến 10. Thay các giá trị tương ứng
của các quy mô vào biểu thức trên, tìm được :
226
2
/10.75,8)( smK
O
 (pt)
Đây là giá trị quy mô đặc trưng của hệ số trao đổi rối theo phương
nằm ngang đối với các quá trình quy mô hành tinh.
Để tìm quy mô của hệ số rối theo phương thẳng đứng, sử dụng giả
thiết: quy mô áp suất ma sát rối theo trục z tỷ lệ với các quy mô mật độ,
tốc độ gió theo phương ngang và thẳng đứng:
0000
)( WU
Z



 (1.8.13)
Khi biết:
Z
z
z
v
K
z





















11

1
(1.8.14)
Vận tốc gió

v biến đổi từ 0 ở mặt đất đế

v tại biên trên của lớp
biên khí quyển. Trên lớp biên này tốc độ gió

v hầu như không thay đổi
theo độ cao. Độ cao của lớp biên khí quyển thay đổi phụ thuộc vào vĩ độ,
nhiệt độ và các yếu tố khí tượng khác. Quy mô đặc trưng của độ cao này
được lấy là 1000 mét. )1000(
0
mH  . Thay các giá trị quy mô tương ứng
vào (1.8.14) nhận được:
00
000
000
00
)
1
(
H
uw
hH
u
o
K






Hay:
smsmmK
WhK
o
ooo
/10/10.10)(
)(
223
1
1



Quy mô của tham số Coriolic
14
10

 s
O

, của gia tốc trọng
trường
2
0
/10 smg 
.

Sử dụng các quy mô đã chọn để đánh giá các thành phần trong các
phương trình (1.8.11) như đã trình bày ở trên và bỏ đi các thành phần nhỏ
trong phương trình nhận được hệ phương trình:
TRp
Cdt
dp
gdt
dT
a
gvv
a
v
az
v
z
gp
z
p
v
p
a
vv
a
g
t
v
v
p
a
v

a
g
t
v
p
a
z

0
cot
sin
11
.cos.2
sin
1cot
.cos.2
1cot
2


























































(1.8.15)
ở đây ký hiệu:















sina
vv
a
v
z
v
tdt
d
z