Bài tập ôn tập toán cao cấp 2 giải tích
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (182.01 KB, 23 trang )
I.Bài tập hàm nhiều biến số:
1. Giới hạn hàm 2 biến:
1.1. Chứng minh các hàm số sau không có giới hạn kép khi
f ( x, y ) =
2 x2 + y2
x2 − y2
f ( x, y ) =
a,
b.
1.2. Tính các giới hạn bội sau:
3 xy 2 − y 3
x2 + y2
f ( x, y ) =
c.
2 xy 3
lim 2
x →0 x + y 2
a. 11Equation Section (Next)
x2 y2
x4 + 5 y 4
d.
lim
3( x 2 + y 2 )
x →0
y →0
x →0
y →0
b.
:
f ( x, y ) =
4 xy ( x 2 − y 2 )
lim
y →0
x → 0, y → 0
2x2 y
x 3 + 3( x + y ) 2
x2 y − 3 y 2 x
sin 2 xy
c.
d.
5 x 2 y.ln(1 + 4 xy )
x →0
3 x 4 + 12 y 2
lim
y →0
2. Tính đạo các đạo hàm riêng
các hàm số:
f ( x, y ) = x 3 y + 3x(1 + sin y )
a.
z=e
z=
xy − x3 y 4
b.
f 'x ( x, y); f ' y ( x, y )
f ''xx ( x, y ), f '' xy ( x, y) f '' yy ( x, y )
,
,
f (x, y) = xy3ln(1 + 3xy)
x
arcsin( y )
y
c.
z = ( xy )1−sin xy
d.
của
z = (1 + x tan y ) x / y
z = y arctan(1 + x)
e..
f.
g.
h. Các hàm số ở mục 1.1
i. Và của các hàm ẩn z=z(x,y) xác định bởi các phương trình:
i1.
xyz = x + z ln y + 2
ln z =
z
i2.
2y
+ x arctan yz
xz
i3.
yz = x arccos z
3. Viết biểu thức vi phân toàn phần của các hàm số sau:
w = ln(1 − xy + 2 yx − z x)
2
a.
w=
e.
3x − 2 y
2 x3 y − 3 y 2
3
b.
w = yxarccot(xz/y)
w = arctan(1 + 2 xy ) +
f,
z = x − y ln( xy )
3
c.
d.
y
zy
w = 2 ln( ) − 3
z
x
y
x 1− z2
g.
w = 2 xy ln( y + zx)
h.
z = z ( x, y )
h1.
xác định bởi các phương trình:
x 3 − yz = ln( y / z)
h2.
yz + e z − xy = sin(xyz)
h3.
(1 + y) zx = x ln yz
h4.
yze x − x ln z = yz
4.Bài toán cực trị :
4.1 Tìm cực trị của các hàm số sau:
a.
w = x 2 + 5(y 2 + z 2 ) − 4 xy + 2 yz − 16 zx + 4
b.
w = − x − 4 y − 9 z − 4 yz + 6 x + 8 z + 5
2
2
2
c.
e.z=z(x,y) xác định bởi pt:
d.
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 2 y − 4 z − 10 = 0
e1.
e2.
4.2. Cực trị có điều kiện-nhân tử Lagrange.
Tìm cực trị các hàm số sau:
w=4x+5y+29
a.
b.
với điều kiện:
w = −2 x 2 − y 2 − 3 z 2 − 4 zx + 6 y − 6 z
w = x 2 + 5 y 2 + 10 z 2 − 4 xy − 6 yz − 10 z + 1
x2
+ y 2 + 4 z 2 − x + 2 y − 8 z = 10
4
w = x 0,4 y 0,8
với ràng buộc:
5 x + 2 y = 240
3 x 2 + 2 y 2 − 6 x − 4 y = 640
w = 4x + 3y +1
4 x2 +
y2
= 31
3
c.
với
d.
4.3. Các bài toán lựa chọn tối ưu về “kinh tế”:
w = x− y+ z
a. Giả sử hàm tổng chí phí của doanh nghiệp là TC
. Giá các mặt hàng
kết hợp sản lượng
Q1 , Q2
Q1 , Q2
với
4x2 + y2 + z 2 = 4
= 7Q12 + 2Q22 + 5Q1Q2 (Q1 , Q2 > 0)
tương ứng trên thị trường là
p1 = 60, p2 = 45
. hãy xác định mức
để daonh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận.
b. Một công ty độc quyền sản xuất kết hợp hai loại sản phẩm với hàm chi phí (
lượng cầu sản phẩm i) :
TC = 3Q12 + 2Q22 + 2Q1Q2 + 55
Qi
là
Cầu của thị trường đối với hai loại sản phẩm là:
Q1 = 50 − 0,5 pi , Q2 = 76 − p2
. Tìm mức kết
(Q1 , Q2 )
hợp
và giá bán để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa.
c. Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó tại hai thị
trường khác nhau. Cho biết hàm chi phí biên:
MC = 1, 75 + 0, 05(Q1 + Q2 )
p1 = 12 − 0,15Q1; p2 = 9 − 0, 075Q2
Và cầu cua rthij trường đối với sản phẩm của công ty là:
Hãy xác định sản lượng và gái bán trên mỗi thị trường để công ty thu được lợi nhuận tối
đa.
U = ( X 1 + 3) X 2
X1
d. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng:
, trong đó
là giá sản phẩm A, X2 là
giá sản phẩm B. . Hãy chọn túi hàng tối đa trong điều kiện giá hàng hóa A là $5 , giá
hàng hóa B là $20, ngân sách cho tiêu dùng là $185. Lợi ích tối đa sẽ thay đổi như thế
nào khi ngân sách tối đa tăng 1 đơn vị, tăng 1%.
Q = 10 K 0,3 L0,3
e. Một doanh nghiệp có hàm sản suất
. Giá thuê 1 đơn vị lao động là $9, giá
thuê 1 đơn vị tư bản là 6 và doanh nghiệp tiến hành tiến hành sản xuất với ngân sách cố
đinh là $216. Tìm mức sử dụng lao động và tư bản để doanh nghiệp có sản lượng cạc đại.
Sản lượng cực đại sẽ thay đổi ra sao khi ngân sách cố định tăng 1 đơn vị, tăng 1%.
Q = 20 K 0,4 L0,4
f. Một doanh nghiệp có hàm sản xuất
. Giả sư giá thuê 1 đơn vị lao động
là $10, giá thuê 1 đơn vị tư bản là $8 và doanh nghiệp sản xuất với ngân sách cố định là
$320. Tìm mức sử dụng K,L để Q đạt cực đại. Nếu muốn Q cực đại tăng 1 đơn vị, 1% thì
ta cần đầu tư ngân sách tương ứng cho các trương hợp như thế nào ??.
= 20X 0,4Y 0,7
g. Một nam sinh “ghi điểm” với bạn gái theo hàm ghi điểm GĐ
do bạn gái
cung cấp :3 ; trong đó, X là số giờ đạp xe đạp, Y là số lần mời đi xem phim. Giả sử chi
phí cho 1 lần đi xem phim là $16, chi phí thuê xe đạp là 4 và “ngân sách hạn hẹp” của
nam sinh này dành cho việc “ghi điểm” là 20. Tìm kết hợp 2 phương pháp sao cho nam
sinh đạt số điểm cao nhất có thể. Giả sử “cô gái bị đổ” khi số điểm cao nhất ở trên tăng
thêm 1% , thì a nam sinh cần phải vay lãi thêm bao nhiêu $ để chi cho việc “ghi điểm” .
4.5. Tìm khoảng tăng giảm và cực trị hàm số:
3 x2
y=
∫
1 + t dt
b.
e− x
y=
∫
2
3
2 3
c.
2 − ln tdt − e
∫
dt
3
0
f.
g.
2 x+4
y = ∫ 4 t 4 − 2t 2 + 7dt ÷
2
II. Tích phân.
1. Tính các tích phân bất định sau:
a.
f.
l.
(2 + 5 x )2
∫ x dx
b.
x3
∫ ( x − 1) 3 x − 1dx
∫ (5 x − 1)
7
∫ cot dx
g.
dx
m.
c.
3x +1 − 2 x −1
∫ 6 x dx
∫
5
∫
h.
∫
5 − 9xdx
n.
ln 2 xdx
∫ x
dx
∫ 1 + ex
r.
s.
Tích phân từng phần:
a1.
a5.
∫ 5x
2
sin 3 xdx
a2.
∫( x
∫
xdx
∫ cos2 x
4
dx
∫ x (x
2
∫ cot xdx
t.
2
4 cos 2 xdx
sin 2 2 x
i.
∫x
p.
a3.
− 1)
e.
dx
∫ 1 − cos 2 x
2
k.
7
q.
dx
u.
∫e
∫ x+
−x
∫ s inx.cos
( x − 1) dx
3
1 − x (arccos x)
a6.
7
a7.
2
e x dx
∫ 1 + ex
dx
x
v.
∫ x ln xdx
sin xdx
a4.
∫ ln( x − 10)dx
a8.
ex
∫ cot xdx
2. Tích phân xác định.
1
∫
0
a.
π
4
2x −1
dx
2x
x −1
∫3 3 + 2 x − 2 dx
b.
ln 3
s inxdx
∫0 s inx + 3cosx
c.
∫
0
d.
x
∫ s inx + cos x
dx
2
dx
cos 2 x
∫
dx
cos xdx
∫ 2 − 3cos 2 x
− 3x + 2 ) e x dx
2
d.
dx
3 − 6x
1 + 4t 2
8
(3t + 2) 4 − t
y=∫
dt
3
9
−
2
t
0
−x
x2 − x
d.
x
3
1
e.
y = (3x − 5 x + 4) . 4 − 5 x
y = (2 x − 1) 5 − x
3
0
a.
y=
4
1
dx
e −1
∫x e
2x
0
e.
3 −2 x
dx
2
∫ (x
3
− 3x + 7)2
−2 x
π
dx
0
f.
g.
π /2
∫
0
h.
x 2 + sin 2 x − s inx
dx
x + cos x
2
∫
l.
m.
x 2 e −3 x
∫0 x − 3 dx
2
2
dx
∫0 sin 4 x
1
x3 + 3x
∫1 3x2 − 2 x + 1 dx
e
∫ x ln(2 x + 3)dx
0
i.
k.
e −2 x x3 − 4e − x x + 4 x
x x
dx
3. Tích phân suy rộng:
+∞
∫
+∞
∫
( x − 1) 2 e1− x dx
3
1
a.
4
c.
0
(1 − ln x)dx
x ln 3 x
∫x3
2
d.
+∞
dx
∫−∞ (1 + x 2 )(4 + x 2 )
f.
dx
∫−∞ ( x 2 + 6 x + 13)( x 2 + 6 x + 6)
2
1
∫
∫ (3x − 2) s in2xdx
h.
∫
b.
+∞
e.
+∞
dx
2
x − 7 x + 12
1
−∞
i.
+∞
dx
∫
−x + 4 x − 3
k.
1
+∞
dx
−∞
dx
∫ x arctan
g.
−3 x
1
2x −1
1
ln(1 + x)dx
x2
∫ ( x log x)
2
0
m.
III. Phương trình vi phân
1. Phương trình vi phân cấp 1.
a. Các bài tập trong sách giáo trình.
b. Một số bài tự luyện:
y '−
b1.
4y
= ln(2 x + 1)
2x +1
(4 y 2 − 6 / y) dx + (
6x
+ 4 xy ) dy = 0
y2
b3.
b5.
(2e y − x ) y ' = 1
b4.
(6 x 2 − 7 y cos x)dx − 7 sinxdy = 0
y' =
b6.
y ' = 4x + 2 y −1
b7.
(2 y + y sin xy )dx + (2 x + 1 + x sin xy )dy = 0
b2.
b8.
y 2 − 4 xy
2 x 2 − 2 xy + 2 y 2
( y + xy 2 ) dx = xdy
dx
b9.
( x + y − 2) dx + ( x − y + 4) dy = 0
b11.
b13.
b15.
b17.
b10.
(−2 x + 6 y + 3)dx − ( x − 3 y + 1)dy = 0
xy '+ y = x 3 y 4
(3 x − 2 y ) dx + ( x + 5 y ) dy = 0
b12.
b14.
ydx − x(1 + xy) dy = 0
2 xydx = ( y + x 2 ) dy
b16.
y '− y = x e x
b.18
(2 y − 4 x + 1)dx + (2 x − y + 3) dy = 0
xy '
1
+
=0
y
2x + 3
xy '− 2 x 2 y = y 3 ( x + 1)
2. Phương tình vi phân cấp 2.
2.1 Dạng hạ cấp được.
y ''−
y'
=0
2x −1
y ''−
2y '
=0
y
a.
b.
2.2. Các bài tập trong giáo trình.
c.
y '' = y '− ( y ')
y ''− 3
2
y'
=0
y
d.
e.
xy '' = ( y ') 2
2.3. Bài tập tổng hợp:
1.
y ''+ 2 y ' = −3 y + x − 1
y ''− y =
4.
7.
(2 − x)e x
x3
13.
y ''+ 16 y = (3x − 4) cos 4 x
5.
y ''+ 3 y ' = 4 y + 8 − 2 x
10.
2.
y ''− 4 y '+ 5 y = s inx + 2e x − 5
x2 + 2x + 2
y ''− 2 y '+ y =
x3
8.
y ''+ 9 y = sin 3 x
6.
y ''+ 16 y = (2 x + 5) s in4x
11.
9.
y ''+ 2 y '+ 10 y = e3 x + 2
( y ')3
= y ''
2 y2
14.
3.
15.
y ''+ 4 y = (5 x + 2) cos 2 x
y ''− 2 y '+ 2 y = cosx + e x
y ''+ 16 y = (2 x + 5) cos 4 x
12.
y ''− y ' = 4 x + x −3/2
y ''+ 2 y '+ 2 y = cos 2 x − 3 x sin 2 x
TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Câu 1: Cho biết một phương trình vi phân nào đó có nghiệm tổng quát y = Cx. Đường
cong tích phân nào sau đây của phương trình trên đi qua A(1, 2)?
a) y = 2
b) y = 3x
c) y = 2x
d) y = x/2
Câu 2 : Hàm số y = 2x + Cex, C là hằng số, là nghiệm tổng quát của phương trình vi
phân nào dưới đây ?
a y’ – y = (1 + x)2
C) y’ – y = 2(1-x)
2
b y’ + y = (1+x)
D) y’ + y = 2(1-x)
Câu 3 : Phương trình vi phân nào sau đây đưa được về dạng phân lý biến số ?
a)
x 2 ( x + 1)arctgydx + x(1 + y 2 )dy = 0
b)
x 2 ( x + y ) ln ydx + (1 + y 2 )( x − 1)dy = 0
x ( x + 1) ln ydx + ( x + y )( x − 1)dy = 0
[ x 2 + ( x + y ) 2 ] ln ydx + (1 + y 2 )( x − 1)dy = 0
x 2 ( x + 1) ln ydx + ( x + y 2 )( x − y )dy = 0
x 2 ( x + y ) ln ydx − (1 + y 2 )( x − 1)dy = 0
2
2
c)
d)
Câu 4 : Phương trình nào sau đây đưa được về dạng phân lý biến số ?
a)
c)
b)
x ( x + y ) ln ydx + ( x + y )( x − 1)dy = 0
2
2
d)
[ x 2 + ( x + 1) 2 ] ln ydx − (1 + y 2 )( x + 1)dy = 0
y '+
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
( x + 1) y = C
b)
( x + 1) + y = C
c)
C1 ( x + 1) + C 2 y = 0
y
=0
x +1
d)
( x + 1) 2 + y 2 = C
dx
dy
+
=0
sin y cos x
Câu 6: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
c)
sin x + cos y = C
b)
C1 sin x + C2 cos y = 0
d)
sin x − cos y = C
C1 cos x + C2 sin y = 0
dx
dy
+
=0
2
1+ x
1 − y2
Câu 7: : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
c)
arcsin x + arctgy = C
arctgx + arcsin y = C
b)
arcsin x − arctgy = C
arctgx + ln | y + 1 − y 2 |= C
d)
Câu 8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
x2 y + y = C
b)
xy 2 + y = C
2 xydx + dy = 0
c)
2 xy + 1 = C
c)
x 2 + ln | y |= C
Câu 9: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
(1 + y 2 ) x + x ln x = C
b)
ln | ln x | + 1 + y 2 = C
c)
d)
(1 + y 2 ) dx + x ln xdy = 0
ln | ln x | + arcsin y = C
ln | ln x | + arctgy = C
(1 − y 2 )dx + x ln xdy = 0
Câu 10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
x 1 + y 2 + xy ln x = C
a)
b)
ln | ln x | + 1 − y = C
2
c)
d)
ln | ln x | + arcsin y = C
ln | ln x | + arctgy = C
1 − y2
dx + 1 + x 2 dy = 0
y
Câu 11: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
arctgx − 1 − y 2 = C
a)
b)
ln | x + 1 + x 2 | − 1 − y 2 = C
c)
d)
arctgx − ln | 1 − y 2 |= C
ln | x + 1 + x 2 | − ln(1 − y 2 ) = C
1 + y 2 dx + xy ln xdy = 0
Câu 12: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
x 1 + y 2 + xy ln x = C
a)
b)
ln | ln x | + 1 + y 2 = C
c)
d)
ln | ln x | + arcsin y = C
ln | ln x | + arctgy = C
Câu 13: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
c)
arctg ( x 2 + 1) + arctg ( y 2 + 1) = 0
arctgx + arctgy = C
b)
x( y 2 + 1)dx + y ( x 2 + 1)dy = 0
arctg ( x + y ) = C
ln( x + 1) + ln( y 2 + 1) = C
2
d)
Câu 14: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
xdy − 2 y ln xdx = 0
a)
c)
ln x
+C
x
y=
y = ln x + C
2
b)
ln | y |= x(1 + ln x ) + C
d)
ln | y |= ln x 2 + C
Câu 15: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
c)
arctg ( x 2 − 1) + arctg ( y 2 − 1) = C
b)
ln | x 2 − 1 | + ln | y 2 − 1 |= C
d)
x( y 2 − 1)dx + y ( x 2 − 1)dy = 0
arc cot g ( x 2 − 1) + arc cot g ( y 2 − 1) = C
arctgx + arctgy = C
1 + y 2 dx + xy ln xdy = 0
Câu 16: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
(1 + y 2 ) x + xy ln x = C
b)
ln | ln x | + 1 + y 2 = C
c)
d)
ln | ln x | + arcsin y = C
ln | ln x | + arctgy = C
x y 2 + 1dx + y x 2 + 1dy = 0
Câu 17: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
x2 + 1
y2 + 1
=C
ln(x + x 2 + 1) − ln( y + y 2 + 1) = C
a)
b)
ln( x + x + 1) + ln( y +
2
y + 1) = C
x2 + 1 + y 2 + 1 = C
2
c)
d)
Câu 18: Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân đẳng cấp ? (Dạng vế phải là
hàm thuần nhất bậc 0)
a)
dy 2 x + 3 y + 5
=
dx
x+5
b)
dy x 2 + y 2
=
dx
x+ y
dy x 2 + y 2
=
dx
xy
c)
d)
dy x 2 y + y 2 x
= 2
dx
x + y2
y' =
Câu 19: Chọn các biến đổi thích hợp để giải phương trình vi phân
a) Đặt
b) Đặt
u = y2
u=x
, (1) trở thành
u'
x2 − u
=
2 u u−x u
y' =
2
, (1) trở thành
u−y
y −y u
2
2
.
.
x2 − y 2
y 2 − xy
(1)
y = ux
c) Đặt
u'=
, (1) trở thành
y = ux
d) Đặt
u'=
, (1) trở thành
1 − u3
x(u 2 − u )
1− u
u2 − u
.
3
.
y' =
Câu 20: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y=
a)
−x
C + ln | x |
y=
b)
x
C + ln | x |
y=
c)
x
C − ln | x |
Câu 21: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = x (C + ln | x |)
y = x (C − ln | x |)
y y2
−
x x2
y=
−x
C ln | x |
d)
.
xy ' = y + x
y = x /(C + ln | x |)
y = x /(C − ln | x |)
a)
b)
c)
d)
Câu 22: Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?
a)
( ye x − xe x )dx + (e x − y 2 sin y ) dy = 0
b)
( ye + xe )dx + (e + y sin y ) dy = 0
x
y
x
( ye x + xe x )dx + (e x + x 2 sin y )dy = 0
( ye x − xe y ) dx + (e x − y 2 sin y ) dy = 0
2
c)
.
d)
Câu 23: Phương trình nào sau đây là phương trình vi phân toàn phần?
a)
b)
c)
d)
( y sin x − cos y ) dx + (cos x − x sin y ) dy = 0
( y sin x − cos y )dx − (cos x − x sin y )dy = 0
( y sin x + cos y ) dx + (cos x + x sin y ) dy = 0
( y sin x + cos y )dx − (cos x − x sin y )dy = 0
.
.
.
Câu 24: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
xy = C
b)
y = Cx
c)
x+ y =C
d)
x− y =C
ydx + xdy = 0
.
Câu 25: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân :
a)
.
xy − e x = C
b)
xy + e x = C
c)
x + y + ex = C
( y + e x ) dx + xdy = 0
d)
x − y + ex = C
Câu 26: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân :
a)
xy − xe y = C
b)
xy + xe y = C
c)
x + y + xe y = C
Câu 27: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
xy − x cos y = C
b)
y − x + x cos y = C
xy + x cos y = C
(e y + 1) dx + ( xe y + 1)dy = 0
d)
x − y + xe y = C
.
(1 + cos y )dx − (1 + x sin y) dy = 0
.
x − y + x cos y = C
c)
d)
Câu 28: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần:
( x − x / y )dy + ( y − ln y )dx = 0
x ln y + xy = C
x ln y − xy = C
y ln x + xy = C
y ln x − xy = C
a)
b)
. c)
. d)
Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần
.
(cos y − 2 y sin 2 x) dx − ( x sin y − cos 2 x)dy = 0
a)
c)
x cos y − y cos 2 x = C
x sin y − y sin 2 x = C
.
b)
.
d)
x cos y + y cos 2 x = C
x sin y + y sin 2 x = C
.
.
y '+ 2
Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y=
a)
C
x2
y=
.
b)
2C
x3
y=
.
c)
C
x
Câu 31: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân :
a)
y ( x + x3 / 3) − y 2 / 2 = C
b)
y = C.e1/ arctg
2
x
c)
a)
y = Ce− tgx
b)
y = Cetgx
c)
y = C + etgx
Câu 33: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
a)
y = Ce−3x
b)
y = C − e3x
c)
y=−
d)
y = Ce3x
C
x
.
(1 + x 2 )arctgx. y '− y = 0
y = C.arctgx
Câu 32: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân :
y
=0
x
d)
y = C / arctgx.
y 'cos 2 x + y = 0
d)
y = eC .tgx
.
y '− 3 y = 0
d)
y = C + e3x
.
Câu 34: Phương trình
a)
y = Cxe
y '− y cos x = 0
− cos x
b)
y = Cx + e
có nghiệm tổng quát là:
y = C + e − sin x
sin x
c)
Câu 35: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân :
a)
c)
y ( x + cos x) − sin x. y 2 / 2 = C
b)
y = C .(1 + sin x )
c)
d)
y = C /(1 + sin x )
y ( x − ln | cos x |) − (tgx) x. y 2 / 2 = C
b)
y = C /(1 + tgx)
.
d)
a)
b)
y = C + 4tgx
y = C ln(1 + tgx)
c)
a)
c)
y = C .(1 + sin x )
b)
d)
a)
y = C.( x + x + 1)
b)
2
c)
c)
y = C /(1 + sin x )
a)
y = C (1 − e )
b)
x
c)
d)
(1 + sin x ) y '+ y cos x = 0
.
y '( x 2 + x + 1) = y (2 x + 1)
y = C /( x 2 + x + 1)
y = C.(2 x + 1)
Câu 40: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
y( x − e x ) − e x y 2 / 2 = C
d)
y = C + sin 4 x
y = C ln(1 + sin x)
Câu 39: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
y = C + ( x 2 + x + 1)
y 'sin x = 4 y cos x
y = C.sin 4 x
Câu 38. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
y ( x + cos x) − sin x. y 2 / 2 = C
y '(1 + tgx) − (1 + tg 2 x) y = 0
y = C (1 + tgx)
Câu 37: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân :
y = C.cotgx
(1 + sin x) y '− y cos x = 0
y = C ln(1 + sin x)
Câu 36: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
a)
d)
y = C.e − sin x .
y '(1 − e x ) − e x y = 0
y = C ln(1 − e x )
y = C /(1 − e x )
Câu 41: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân:
y ' 4 + x2 + y = 0
a)
y = C( x + 4 + x2 )
b)
yarctg ( x / 2) = C
y( x + 4 + x2 ) = C
y arcsin( x / 2) = C
c)
d)
Câu 42: Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta tìm nghiệm tổng quát của phương
y '+ 2
trình
y=
y
= 4 x ln x
x
dưới dạng
C ( x)
x2
y=
C ( x)
x3
y=
C ( x)
x
y=−
C ( x)
x
a)
b)
c)
d)
Câu 43: Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta tìm nghiệm tổng quát của phương
y '− 3
trình
y=
y
= x 4 ln x
x
dưới dạng:
C ( x)
x3
y = C ( x) − x 3
y = C ( x) + x 3
y = C ( x) x 3
y = C ( x) + etgx
y = C ( x ) − etgx
a)
b)
c)
d)
Câu 44: Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta tìm nghiệm tổng quát của phương
trình
y 'cos 2 x + y = 1 + tg 2 x
y = C ( x)e
− tgx
dưới dạng:
y = C ( x )etgx
a)
b)
c)
d)
Câu 45: Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta tìm nghiệm tổng quát của phương
trình
a)
xy '+ 3 y = x 4 ln x
y = C ( x )e
dưới dạng:
3x
b)
y = C ( x)e −3 x
c)
y = C ( x) / x 3
Câu 46: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = x4 + C / x
b)
y = x 4 + Cx
c)
y = x3 + C
Câu 47: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = x4 + C / x
b)
y = x 4 + Cx
c)
y = 2 x3 + Cx 2
Câu 48: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
d)
y = C ( x) x 3
xy '− y = 3x 4
d)
y = 9x2 + C
xy '− 2 y = 2 x 3
d)
y = −2 x3 + Cx 2
xy '+ 2 y = 3x
a)
y = x + C / x2
b)
y = x + Cx 2
y = x 3 + Cx 2
c)
Câu 49: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = x + C / x2
b)
y = x + Cx 2
c)
a)
b)
y = ( x + C ) e2 x
xy '+ 2 y = 5 x 3
y = x 3 + Cx 2
Câu 50: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = ( − x + C )e 2 x
d)
d)
Câu 51: Chon cách biến đổi thích hợp để giải phương trình:
a) Đặt
b) Đặt
c) Đặt
d) Đặt
z=y
5
z=y
z '− 20 z = 5 x
, (1) trở thành
5
z '− 4 z = x 4
, (1) trở thành
y = ux
u = x/ y
, (1) trở thành
a) Đặt
b) Đặt
c) Đặt
d) Đặt
, (1) trở thành
u = x/ y
z = y4
z=y
, (1) trở thành
4
, (1) trở thành
5u '− 5 x / u = u
4u '− 4 x / u = u
.
2
.
a) Đặtt
b) Đặt
c) Đặt
z=y
, (1) trở thành
3
y = ux
, (1) trở thành
, (1) trở thành
(1)
2
.
.
.
3
.
Câu 53: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình
z = y3
4 y '− 4 y = x 3 / y 3
2
4 4 z ' − 4 4 z = x2 4 z3
z '− 4 z = x
(1)
.
4u ' x + 4u − 4ux = 1/ u
, (1) trở thành
5 y '− 4 y = x 4 / y 4
.
Câu 52: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình
y = ux
d)
y = ( x + C )e x
4
5u ' x + 5u − 4ux = 1/ u 2
, (1) trở thành
y = x3 + C / x 2
y '− 2 y = e2 x
y = ( − x + C )e x
c)
y = x3 + C / x 2
z '− 12 z = 3 x 2
z '− 4 z = x
.
2
.
u ' x + u − 4ux = 1/ u 2
.
y '− 4 y = x 2 / y 2
(1)
d) Đặt
u = x/ y
, (1) trở thành
u '− 4 x / u = u 2
.
Câu 54: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình
a) Đặt
b) Đặt
z=y
−2
z = y −2
, (1) trở thành
x = uy
d) Đặt
, (1) trở thành
y = ux
z '+ 2 xz = −4( x 2 + 1)
x' = u' y + y
, (1) trở thành
.
.
.
y' = u'x + x
.
Câu 55: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình
a) Đặt
b) Đặt
z=y
4
z=y
5
, (1) trở thành
, (1) trở thành
u = x/ y
5 zy '− 4 zy = x
z '− 20 z = 5 x
b) Đặt
z=y
.
.
5u '− 5 x / u = u 2
.
z=y
−2
, (1) trở thành
d) Đặt
, (1) trở thành
y = ux
z '+ 2 xz = −4( x + 3)
.
2
x = uy
c) Đặt
z '− 2 xz = −4( x + 3)
y '− xy = 2( x 2 + 3) y 3
2
, (1) trở thành
, (1) trở thành
x' =u' y + y
y' = u'x + x
.
.
.
(2 x + x) y 2 dx + y 3 x 3 dy = 0
3
Câu 57: Xét phương trình vi phân
Khẳng định nào không đúng?
a) (1) là phương trình vi phân đẳng cấp
b) (1) đưa được về dạng phân ly biến
c) (1) là phương trình tuyến tính cấp 1.
d) (1) là phương trình Bernoulli.
(1)
4
Câu 56: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình
−2
5 y '− 4 y = x 4 / y 4
4
c) Đặt
, (1) trở thành
d) Các cách trên đều không thích hợp
a) Đặt
(1)
2
, (1) trở thành
c) Đặt
z '− 2 xz = 4( x + 1)
y '− xy = 2( x 2 + 1) y 3
(1).
(1)
( y 2 + 3xy )dx + (7 x 2 + 4 xy )dy = 0
Câu 58: Xét phương trình vi phân
Khẳng định nào không đúng?
a) (1) là phương trình vi phân đẳng cấp
b) (1) đưa được về dạng phân ly biến
c) (1) là phương trình tuyến tính cấp 1.
d) (1) là phương trình Bernoulli
( y 2 − 2 xy )dx + ( x 2 − 5 xy )dy = 0
Câu 59: Xét phương trình vi phân
Khẳng định nào không đúng?
a) (1) là phương trình vi phân đẳng cấp
b) (1) đưa được về dạng phân ly biến
c) (1) là phương trình tuyến tính cấp 1.
d) (1) là phương trình Bernoulli.
Câu 60: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
c)
y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x)
b)
y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x
d)
Câu 61: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
c)
y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x)
b)
y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x
d)
Câu 62: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = C1 cos 2 x + C2 sin 2 x
y = e (C1e + C2e )
x
c)
x
b)
2x
d)
a)
b)
(1).
y ''− 2 y '+ 5 y = 0
y = e x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x)
y = C1e x + C2e 2 x
y ''+ 4 y = 0
y = e x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x )
y = C1e2 x + C2 e −2 x
y ''− 3 y '+ 2 y = 0
y = e x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x )
y = C1e x + C2 e 2 x
Câu 63: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = C1e x + C2e − x
(1).
y = (C1 x + C2 )e x
c)
y = C1 + C2e x
Câu 64: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y ''− y = 0
d)
y = C1 + C2 sin x
y ''− 8 y '+ 41 y = 0
a)
y = C1e 4 x + C2e5 x
b)
y = e (C1 cos 5 x + C2 sin 5 x)
4x
c)
d)
y = C1e −4 x + C2e −5 x
y = e5 x (C1 cos 4 x + C2 sin 4 x)
Câu 65: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = e3 x ( xC1 + C2 )
b)
y = C1e (C1 cos x + C2 sin x)
3x
c)
d)
y = e −3 x ( xC1 + C2 )
y = (C1 + C2 )e3 x
Câu 66: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = C1e2 x + C2 e−2 x
b)
y = e (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x)
2x
c)
d)
a)
c)
b)
y = C1e11x (C1 cos x + C2 sin x)
d)
y = e −2 x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x)
a)
−x
c)
y = C1e + C2e
b)
3x
d)
y = (C1 + C2 )e11x
y = C1e x + C2 e3 x
y = e x (C1 cos 3x + C2 sin 3x)
b)
−x
c)
y = e (C1 cos 3x − C2 sin 3x)
d)
a)
b)
y ''− 2 y '+ 10 y = 0
y = e3 x (C1 cos x + C2 sin x)
y = e − x (C1 cos 3 x + C2 sin 3 x)
Câu 70: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = C1e x + C2 e2 x
y ''+ 4 y '+ 3 y = 0
y = C1e − x + C2e −3 x
Câu 69: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y ''− 22 y '+ 121 y = 0
y = e −11x ( xC1 + C2 )
Câu 68: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = C1e x + C2e−3 x
4 y ''− 16 y = 0
y = C1e 2 x + C2e 2 x
Câu 67: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = e11x ( xC1 + C2 )
y ''− 6 y '+ 9 y = 0
y = C1e − x + xC2e−2 x
y ''− 3 y '+ 2 y = 0
c)
y = e x (C1 cos 2 x + C2 sin 2 x)
d)
y = e2 x (C1 cos x + C2 sin x)
Câu 71: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
c)
y = C1e−3 x + C2 e −3 x
y = C1e
−3 x
+ xC2 e
b)
−3 x
d)
3 y ''+ 18 y '+ 27 y = 0
y = e3 x ( xC1 + C2 )
y = C1 cos( −3 x) + C2 sin(−3 x)
Câu 72: Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
y=x e
y ''− 2 y '+ 2 y = 2e x
là
2 2
a)
, hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên:
y = x 2e x + Ce x
c)
b)
y = x e + C1e + C2 xe
2 x
x
x
d)
y = Cx 2 e 2
y = x 2e x + C1e x + C2e x
Câu 73 Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
y = − cos 2 x − x cos x
a)
y ''+ y ' = 2sin x + 3cos 2 x
là
, hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên
y = C1 cos 2 x + C2 x cos x
b)
y = cos 2 x + x cos x + C1e x + C2 e − x
y = − cos 2 x − x cos x + C1 cos x + C2 sin x
y = − cos 2 x − x cos x + C1e x + C2 e − x
c)
d)
Câu 74: Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
y ''− 4 y '− 5 y = 4sin x − 6 cos x
là
y = cos x
, hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên
y = cos x + e (C1 cos 5 x + C2 sin 5 x)
x
a)
b)
c)
d)
y = 4sin x − 6 cos x + e− x (C1 cos 5 x + C2 sin 5 x)
y = cos x + C1e− x + C2 e5 x
y = 4sin x − 6 cos x + C1e − x + C2 e5 x
Câu 75: Cho biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân
y =e
a)
x
, hãy tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên
y = e x + e − x (C1 cos 5 x + C2 sin 5 x)
−x
y = e + C1e + C2 e
x
c)
y ''+ 2 y '+ 26 y = 29e x
b)
5x
d)
y = 29e x + e − x (C1 cos 5 x + C2 sin 5 x)
y = 29e x + C1e − x + C2 e5 x
y ''− 4 y '+ 4 y = e ( x3 − 4 x + 2)
2x
Câu 76: Phương trình
a)
y = x 2 e2 x ( Ax 3 + Bx 2 + Cx + D)
c)
3
2
Câu 77: Phương trình
a)
y = ( x + A)e
2x
b)
Câu 78: Phương trình
a)
a)
b)
c)
c)
y = Ae2 x
d)
y = Ax
có nghiệm riêng dạng:
−2 x
b) y = e ( A sin x + B cos x)
y = e2 x ( A sin x + B cos x)
d)
y = A sin x + B cos x
y ''− 4 y '+ 3 y = e3 x sin x
y = A sin x + B cos x + C
y = xe ( A sin x + B cos x )
Câu 80: Phương trình
y = Ax3 + Bx 2 + Cx + D
có nghiệm riêng dạng:
y ''+ 4 y '+ 4 y = cos x
có nghiệm riêng dạng:
y = e ( A sin x + B cos x)
3x
b)
3x
c)
y = x 2 ( Ax3 + Bx 2 + Cx + D)
2x
y = Ax + B
a)
Câu 79: Phương trình
d)
y ''+ 4 y ' = 2e
y = A sin x
c)
b)
y = e ( Ax + Bx + Cx + D )
2x
có nghiệm riêng dạng:
d)
y = x( A sin x + B cos x )
y ''+ 6 y '+ 8 y = 2 x sin x + cos x
y = −2 x(( Ax + B) sin x − 4 x(Cx + D) cos x)
y = e − 2 x( Ax + B) sin x
y = ( Ax + B )sin x + (Cx + D) cos x
có nghiệm riêng dạng::
là
d)
y = e −4 x ( Ax + B ) cos x
Câu 81: Phương trình
y = x ( Ax + Bx + C )e
2
a)
2
y = ( Ax + Bx + C )e
2
c)
a)
y = (e + e
a)
c)
b)
c)
d)
b)
d)
y = ( Ax 2 + B) e2 x
y ''+ 3 y '+ 2 y = e x x 2
)( Ax + Bx + C )
−x
−2 x
−x
2
y = (e + e
y = xe
)( Ax + Bx + C )
c)
có nghiệm riêng dạng:
y = xe−2 x + Ax 2 + Bx + C
b)
d)
y = e− x ( Ax 2 + Bx + C )
y ''− 6 y '+ 10 y = xe3 x sin x
có nghiệm riêng dạng:
( Ax + B ) sin x
y = e3 x [( Ax + B) sin x + (Cx + D) cos x)]
y = xe3 x [( Ax + B)sin x + (Cx + D) cos x)]
y = xe3 x ( A sin x + B cos x)
y ''+ 3 y = x 2 sin x
y = ( Ax + Bx + C ) sin x
2
b)
y = xe x ( Ax 2 + Bx + C )
y ''+ 3 y '+ 2 y = e− x x 2
2
Câu 85: Phương trình
a)
b)
d)
y = xe ( Ax + Bx + C )
−2 x
có nghiệm riêng dạng:
y = e−2 x ( Ax 2 + Bx + C )
2
Câu 84: Phương trình
a)
y = x( Ax + Bx + C )e 2 x
2
Câu 83: Phương trình
có nghiệm riêng dạng::
2
y = e ( Ax + Bx + C )
x
c)
−2 x
2x
2x
Câu 82: Phương trình
−x
y ''− 8 y '+ 12 y = e 2 x ( x 2 − 1)
y = ( Ax 2 + Bx + C ) cos x
y = ( Ax 2 + Bx + C )(sin x + cos x)
có nghiệm riêng dạng::
d)
y = ( Ax 2 + Bx + C ) sin x + (Cx 2 + Dx + E ) cos x
Câu 86: Phương trình
y ''− 6 y '+ 8 y = e 2 x sin 4 x
có nghiệm riêng dạng::
y = e ( A sin 4 x + B cos 4 x)
2x
a)
b)
c)
d)
y = xe2 x ( A sin 4 x + B cos 4 x)
y = x 2e 2 x ( A sin 4 x + B cos 4 x)
y = A sin 4 x + B cos 4 x + C
Câu 87: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình
a) Đặt
c) Đặt
p=y
, (1) trở thành
p = y'
, (1) trở thành
p ''− xp ' = x
p ''− xp ' = 0
b) Đặt
p = y'
, (1) trở thành
p=y
b) Đặt
, xem y’, y’’ là biến theo hàm p, (1) trở thành
p = y'
(1)
p '+ xp = x
d) Cả 3 cách trên đều không thích hợp
Câu 88: Chọn cách biến đổi thích hợp để giải phương trình
a) Đặt
y '' = x − xy '
, xem p như là hàm theo y, (1) trở thành
(1)
p ''− ( y + 1) p ' = 0
p '− ( y + 1) p = 0
p
p = y'
y '' = yy '+ y '
dp
− ( y + 1) p = 0
dy
c) Đặt
, xem p như là hàm theo y, (1) trở thành
d) Cả 3 cách đều không thích hợp
Câu 89: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = C1 x 3 + C2
b)
y = C1 / x 3 + C2
c)
y = C1 / x 2 + C2
Câu 90: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = C1 x + C2
b)
y = C1 / x + C2
c)
y = C1 / x 2 + C2
Câu 91: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = C1 / x3 + C2
b)
y = C1 x 3 + C2
c)
y = C1 x 2 + C2
y ''+ 3 y '/ x = 0
d)
y = C1 ln | x | +C2
y ''+ y '/ x = 0
d)
y = C1 ln | x | +C2
y ''+ 4 y '/ x = 0
d)
y = C1 / x 2 + C2
Câu 92: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = C1 x 2
b)
y = C1 x 3 + C2
c)
y = C1 x 3 + C2
y ''− 2 y '/ x = 0
d)
y = C1 x 2 + C2 / x
Câu 93: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y '' = 0 ?
a)
y=2
b)
y = 3x + 2
c)
y = −3 x + 2
Câu 94: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = x 2 + C1 x + C2
b)
y = x 3 + C1 x + C2
c)
y = x 2 + Cx
Câu 95: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
c)
y = sin x + Cx
y = − sin x + C1 x + C2
b)
d)
a)
y = 2e
x/2
c)
+ C1 x + C2
a)
c)
y = − ln | cos x | +C1 x + C2
a)
y=e
c)
−2 x
+ C1 x + C2
y '' = cos x
b)
d)
c)
d)
b)
d)
y '' = e − x / 2
y = −4e − x / 2 + C1 x + C2
y = 4e− x / 2 + C1 x + C2
y ''cos 2 x − 1 = 0
y = ln | sin x | +C1 x + C2
y = ln | cos x | +C1 x + C2
Câu 98: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = 2e−2 x + C1 x + C2
d)
y = x3 + Cx
y = −cosx + C1 x + C2
Câu 97: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = − ln | sin x | + C1 x + C2
y '' = 6 x
y = cos x + C
Câu 96: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
y = 2e − x / 2 + C
d) Cả 3 hàm ở trên.
e 2 x y ''− 4 = 0
y = 2e2 x + C1 x + C2
y = e 2 x + C1 x + C2
y ''−
Câu 99: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
4x
=0
(4 + x 2 ) 2
a)
y = − arctg ( x / 2) + C1 x + C2
y=
c)
1
+ C1 x + C2
4 + x2
b)
y = ln( x 2 + 4) + C1 x + C2
y = ln
d)
x−2
+ C1 x + C2
x+2
y ''+
Câu 100: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
a)
y = ln | cos x | +C1 x + C2
y=
c)
b)
y = − ln | cos x | +C1 x + C2
3
tg x
+ C1 x + C2
3
d)
y = ln | sin x | +C1 x + C2
1
=0
cos 2 x
