Mot so bai toan dem co ban BG

Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM CƠ BẢN
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Ví dụ 1: (ĐVH)
a) Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?
b) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số?
c) Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn?
Ví dụ 2: (ĐVH)
a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
Ví dụ 3: (ĐVH). Cho X = {0,1, 2,3, 4,5} . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà số
đó không chia hết cho 3.
Ví dụ 4: (ĐVH). Cho A = {0,1, 2,3, 4,5} . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho
tổng hai chữ số đầu nhỏ hơn tổng hai chữ số sau 1 đơn vị.
Ví dụ 5: (ĐVH). Với các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn
a) gồm có 6 chữ số
b) gồm có 6 chữ số khác nhau
c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2
Lời giải:
a) Gọi số đó là a1 a2 a3 a4 a5 a6
⇒ Có 6.6.6.6.6.6 = 46656 số thỏa mãn
b) Gọi số đó là a1 a2 a3 a4 a5 a6
⇒ Có 6! = 720 số thỏa mãn
c) Gọi số đó là a1 a2 a3 a4 a5 a6
Chọn a6 có 3 cách
Chọn a1 a2 a3 a4 a5 có 5! cách
⇒ Có 3.5! = 360 số thỏa mãn

Ví dụ 6: (ĐVH). Với 5 chữ số 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Gồm 2 chữ số?
b) Gồm 2 chữ số khác nhau?
c) Số lẻ gồm 2 chữ số?
d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau?
e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại?
f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?
Lời giải:
a) Gọi số đó là a1 a2
⇒ Có 5.5 = 25 số thỏa mãn
b) Gọi số đó là a1 a2
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

⇒ Có A52 = 20 số thỏa mãn
c) Gọi số đó là a1 a2
Chọn a2 có 3 cách chọn
Chọn a1 có 5 cách chọn
⇒ Có 3.5 = 15 số thỏa mãn
d) Gọi số đó là a1 a2
Chọn a2 có 2 cách chọn
Chọn a1 có 4 cách chọn
⇒ Có 2.4 = 8 số thỏa mãn
e) Gọi số đó là a1 a2 a3 a4 a5
⇒ Có 5! = 120 số thỏa mãn
f) Gọi số đó là a1 a2 a3 a4 a5

Chọn a5 có 1 cách
Chọn a1 a2 a3 a4 có 4! cách
⇒ Có 1.4! = 24 số thỏa mãn

Ví dụ 7: (ĐVH). Từ 6 số: 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số:
a) Khác nhau?
b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300?
c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5?
d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn?
e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ?
Lời giải:
Gọi số đó là a1 a2 a3

a) Chọn a1 có 5 cách
Chọn a2 a3 có A52 cách

⇒ Có 5. A52 = 100 số thỏa mãn
b) TH1: a1 = 3
Chọn a2 có 5 cách
Chọn a3 có 4 cách
⇒ Có 5.4 = 20 số thỏa mãn
TH2: a1 ∈ {4;5}
Chọn a1 có 2 cách
Chọn a2 a3 có A52 cách

⇒ Có 2. A52 = 40 số thỏa mãn
Vậy có 20 + 40 = 60 số thỏa mãn
c) TH1: a3 = 0
Chọn a1 a2 có A52 cách

⇒ Có A52 = 20 số thỏa mãn
TH2: a3 = 5
Chọn a 1 có 4 cách
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

Chọn a2 có 4 cách
⇒ Có 4.4 = 16 số thỏa mãn
Vậy có 20 + 16 = 36 số thỏa mãn
d) TH1: a3 = 0
Chọn a1 a2 có A52 cách

⇒ Có A52 = 20 số thỏa mãn

TH2: a3 ∈ {2; 4}

Chọn a3 có 2 cách
Chọn a1 có 4 cách
Chọn a2 có 4 cách
⇒ Có 2.4.4 = 32 số thỏa mãn
Vậy có 20 + 32 = 52 số thỏa mãn
e) Có 100 − 52 = 48 số thỏa mãn

Ví dụ 8: (ĐVH). Từ các số: 1; 2; 3; 4; 5;6 ;7; 8.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?

Lời giải:
a) Gọi số lập được là abcdef
Có 8 cách chọn số ở vị trí a.
Với mỗi cách đó, có 7 cách chọn số ở vị trí b.
Với mỗi cách đó, có 6 cách chọn số ở vị trí c.
Với mỗi cách đó, có 5 cách chọn số ở vị trí d.
Với mỗi cách đó, có 4 cách chọn số ở vị trí e.
Với mỗi cách đó, có 3 cách chọn số ở vị trí f.
Vậy số cách lập là 8.7.6.5.4.3 = 20160.
b) Gọi số lập được là abcde
Do số đó chia hết cho 5 nên có 1 cách chọn e.
Khi đó có 7 cách chọn a.
Với mỗi cách đó, có 6 cách chọn b.
Với mỗi cách đó, có 5 cách chọn c.
Với mỗi cách đó, có 4 cách chọn d.
Vậy số cách lập là: 1.7.6.5.4 = 840.
Ví dụ 9: (ĐVH). Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ?
Lời giải:
Với 10 chữ số: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
Có 9 cách chọn chữ số đầu.
Từ vị trí thứ 2 đến thứ 6 mỗi vị trí có 10 cách chọn.
Do số chữ số chẵn và số chữ số lẻ bằng nhau nên tương ứng với mỗi cách trên có 5 cách chọn chữ số
cuối. Vậy ta lập được 9.105.5 = 4500000 số.

Ví dụ 10: (ĐVH). Cho X = {0,1, 2,3, 4,5,6}
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một?
b) Có bao nhiêu chữ số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5?
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 9.
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015

Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

Lời giải:
a) Gọi số lập được là abcd
- Số cách lập số có 4 chữ số khác nhau:
Có 6 cách chọn a. Với mỗi cách chọn a có 6 cách chọn b. Với mỗi cách chọn b có 5 cách chọn c. Với mỗi
cách chọn c có 4 cách chọn d.
⇒ Tổng số cách lập số có 4 chữ số khác nhau đôi một là 6.6.5.4 = 720.
- Số cách lập số lẻ có 4 chữ số khác nhau:
Có 3 cách chọn d. Với mỗi cách chọn d có 5 cách chọn a. Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn b. Với mỗi
cách chọn b có 4 cách chọn c.
⇒ Số cách lập số lẻ có 4 chữ số khác nhau đôi một là 3.5.5.4 = 300.
Suy ra số cách lập số chẵn có 4 chữ số khác nhau đôi một là 720 – 300 = 420.
b) Gọi số lập được là abc
Số cách lập số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5:
Có 2 cách chọn c. Với mỗi cách chọn c có 5 cách chọn a.Với mỗi cách chọn a có 5 cách chọn b.
⇒ Suy ra số cách lập số có 3 chữ số chia hết cho 5 là 2.5.5=50.
c) Ta có: 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 0 + 6 = 4 + 0 + 5
- Với mỗi nhóm: (1, 2,6 ) , (1,3,5 ) và ( 2,3, 4 ) ta lập được 6 số chia hết cho 9 ⇒ Tổng là 6.3 = 18 số.

- Với nhóm ( 3, 0, 6 ) hoặc ( 4, 0,5 ) ta lập được: 4 số chia hết cho 9 ⇒ Tổng là 4.2 = 8 số.
Vậy ta có thể lập 18 + 8 = 26 số chia hết cho 9.

Ví dụ 11: (ĐVH). Có bao nhiêu số tự nhiên có tính chất:
a) Là số chẵn và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
b) Là số lẻ và có hai chữ số (không nhất thiết khác nhau)?
c) Là số lẻ và có hai chữ số khác nhau?

d) Là số chẵn và có hai chữ số khác nhau?
Lời giải:
Kí hiệu T = {0; 1; 2;...; 9} .

a) Số cần tìm có dạng ab trong đó a ≠ 0 và b là số tự nhiên chẵn.
+) Chọn b từ tập {0; 2; 4; 6; 8} ⇒ b có 5 cách chọn.
+) Chọn a có 9 cách chọn (trừ số 0).
Theo quy tắc nhân thì có 5.9 = 45 số thỏa mãn.

b) Số cần tìm có dạng ab trong đó a ≠ 0 và b là số tự nhiên lẻ.
+) Chọn b từ tập {1; 3; 5; 7; 9} ⇒ b có 5 cách chọn.
+) Chọn a có 9 cách chọn (trừ số 0).
Theo quy tắc nhân thì có 5.9 = 45 số thỏa mãn.

c) Số cần tìm có dạng ab trong đó a ≠ 0 ; b là số tự nhiên lẻ và a, b phân biệt.
+) Chọn b từ tập {1; 3; 5; 7; 9} ⇒ b có 5 cách chọn.
+) Chọn a có 8 cách chọn (trừ b và số 0).
Theo quy tắc nhân thì có 5.8 = 40 số thỏa mãn.

d) Số cần tìm có dạng ab trong đó a ≠ 0 ; b là số tự nhiên chẵn và a, b phân biệt.
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

•

TH1. b = 0 khi đó chọn a có 9 cách chọn nên sẽ có 9 số thỏa mãn.

•

TH2. b ≠ 0 khi đó ta chọn b từ tập {2; 4; 6; 8} ⇒ b có 4 cách chọn.

www.Moon.vn

Chọn a có 8 cách chọn (trừ b và số 0).
Theo quy tắc nhân thì có 4.8 = 32 số thỏa mãn.
Tóm lại, theo quy tắc cộng có tất cả 9 + 32 = 41 số thỏa mãn.

Ví dụ 12: (ĐVH). Cho tập hợp A{1; 2;3; 4;5;6}
a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau hình thành từ tập A?
b) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2?
c) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải:
a) Số cần tìm có dạng abcd trong đó a ≠ 0 và a, b, c, d đôi một khác nhau.
+) Chọn a có 6 cách chọn.
+) Chọn b có 5 cách chọn (trừ a).
+) Chọn c có 4 cách chọn (trừ a và b).
+) Chọn d có 3 cách chọn (trừ a, b, c).
Theo quy tắc nhân thì có 6.5.4.3 = 360 số thỏa mãn.

b) Số cần tìm có dạng abc trong đó a ≠ 0 ; c chia hết cho 2 và a, b, c đôi một khác nhau.
+) Chọn c từ tập {2; 4; 6} ⇒ c có 3 cách chọn.
+) Chọn a có 5 cách chọn (trừ c).
+) Chọn b có 4 cách chọn (trừ c và a).
Theo quy tắc nhân thì có 3.5.4 = 60 số thỏa mãn.

c) Số cần tìm có dạng abcde trong đó a ≠ 0 ; e chia hết cho 5 và a, b, c, d, e đôi một khác nhau.
+) Chọn e có 1 cách chọn (là số 5).
+) Chọn a có 5 cách chọn (trừ e).

+) Chọn b có 4 cách chọn (trừ e, a).
+) Chọn c có 3 cách chọn (trừ e, a, b).
+) Chọn d có 2 cách chọn (trừ e, a, b, c).
Theo quy tắc nhân thì có 1.5.4.3.2 = 120 số thỏa mãn.

Ví dụ 13: (ĐVH). Cho các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có bao nhiêu số tự nhiên:
a) Chẵn có 4 chữ số khác nhau?
b) Có 4 chữ số khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5?
c) Lẻ có 5 chữ số khác nhau
Lời giải
Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015


Khóa học CHINH PHỤC TỔ HỢP – XÁC SUẤT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

www.Moon.vn

a) Gọi số cần tìm có dạng abcd , ( a ≠ 0 ) .
TH1. Số d = 0, khi đó a có 6 cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn. Theo quy tắc nhân, có 6.5.4
= 120 số.
TH2. Số d = { 2; 4; 6 }, tức là d có 3 cách chọn. Khi đó chọn a sao cho a khác 0 và khác d vậy nên a có 5
cách chọn. Chọn b sao cho b khác a,d nhưng có thể bằng 0 nên b có 5 cách chọn. Chọn c khác a,b,d nên c
có 4 cách chọn. Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3 = 300 số.
Vậy có 120 + 300 = 420 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Gọi số cần tìm có dạng abcde.
Vì abcde là số lẻ nên e = {1; 3; 5}, tức là e có 3 cách chọn.
Khi đó chọn a sao cho a khác 0 đồng thời khác e nên a có 5 cách chọn.
Chọn b sao cho b khác a,e nhưng có thể bằng 0 nên b có 5 cách chọn.
Chọn c khác a,b,e nên c có 4 cách chọn.
Chọ d khác a,b,c,e nên d có 3 cách chọn.

Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3.3 = 900 số cần tìm.
d) Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 lập được các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau có mặt chữ số 5 và 4
chữ số khác nhau không có mặt chữ số 5.
Xét các số gồm 4 chữ số khác nhau không có mặt chữ số 5. Gọi số cần tìm có dạng acbd. Khi đó a có 5
cách chọn, b có 5 cách chọn, c có 4 cách chọn, d có 3 cách chọn. Theo quy tắc nhân, có 5.5.4.3 = 300 số.
Xét các số gồm 4 chữ số khác nhau. Gọi số cần tìm có dạng acbd. Khi đó a có 6 cách chọn, b có 6 cách
chọn, c có 5 cách chọn, d có 4 cách chọn. Theo quy tắc nhân, có 6.6.5.4 = 720 số.
Do đó có 720 – 300 = 420 số cần tìm.
Ví dụ 14: (ĐVH). Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.
a) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau?
b) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5?
Lời giải
a) Gọi số cần tìm có dạng abcdef
Theo giả thiết, các chữ số đôi một khác nhau và a, b, c, d , e, f = 1,8
Do đó có 8 cách chọn a , 7 cách chọn b , 6 cách chọn c , 5 cách chọn d , 4 cách chọn e , 3 cách chọn f .
Nên theo quy tắc nhân, sẽ có 8.7.6.5.4.3 = 20160 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Gọi số cần tìm có dạng abcde
Vì abcde chia hết cho 5 nên e = 5 . Bài toán quy về dạng. Có bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác
nhau được lập từ các số 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8.
Theo quy tắc nhân, dễ dàng thấy có 7.6.5.4 = 860 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham gia trọn vẹn các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015