Bài toán bù trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ ANH TUẤN

BÀI TOÁN BÙ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ ANH TUẤN

BÀI TOÁN BÙ
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội - 2016


Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm Trường ĐHSP Hà Nội II đã hướng dẫn để tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn các Thầy cô giảng viên của trường ĐHSP
Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập tại
trường vừa qua. Tôi xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã
chia sẻ, giúp đỡ, động viên tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đỗ Anh Tuấn


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trong luận văn là trung thực và
không trùng lặp với các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đỗ Anh Tuấn


MỤC

LỤC

Trang
Lời cảm ơn

i

Lời cảm ơn

ii

CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG

v

Phần mở đầu

vi

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1

1.1

Khái niệm về không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Tôpô yếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

6

Chương 2. Bài toán bù trong không gian Hilbert hữu hạn
chiều
2.1

10

Khái niệm về bài toán bù trong không gian Hilbert hữu hạn
chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

iii


2.2

Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bù trong không gian Hilbert
hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3

Tính chất tập nghiệm của bài toán bù trong không gian
Hilbert hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4

Bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert hữu hạn

chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Chương 3. Bài toán bù trong không gian Hilbert

23

3.1

Khái niệm về bài toán bù trong không gian Hilbert . . . . . 23

3.2

Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bù trong không gian Hilbert

3.3

Tính chất tập nghiệm cho bài toán bù trong không gian

24

Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4

Bài toán bù tuyến tính trong không gian Hilbert . . . . . . 35

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo

46

iv


CÁC KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG

A

toán tử

A∗

toán tử liên hợp của toán tử A

K

nón

K∗

nón đối ngẫu của K

H

không gian Hilbert

H∗

không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục

Rn

không gian Hilbert n chiều

·

chuẩn trong không gian Hilbert

x, y

tích vô hướng của hai vector x và y

xT y

tích vô hướng của hai vector x và y

x⊥y

x trực giao với y

S⊥

phần bù trực giao của S

x⊥y

x trực giao với y

∂(E)

biên của tập E

∂K (E)

biên của tập E trong K

int(C)

phần trong của C

intK (C)

phần trong của C trong K

Ec

phần bù của E

v


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nhiều bài toán xuất hiện trong một số lĩnh vực (ví dụ như: Kinh tế, Lý
thuyết trò chơi, Quy hoạch toán học, Cơ học, Lý thuyết đàn hồi, Kĩ thuật,
Những bài toán cân bằng) có thể phát biểu dưới cùng dạng như sau: Cho

H là một không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · và K là một nón lồi

đóng trong H với nón đối ngẫu K ∗ = {y ∈ H : x, y ≥ 0, ∀x ∈ K}. Bài
toán bù N CP (f, K) xác định bởi ánh xạ f từ K vào H là tìm x ∈ K sao
cho f (x) ∈ K ∗ và f (x) , x = 0.
Bài toán trên được gọi là bài toán bù và (hình như) có nguồn gốc từ
Định lý Kuhn-Tucker (về điều kiện cần cực trị) trong tối ưu phi tuyến. Vì
bài toán bù có nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũng như trong thực tế,
nhiều tác giả trong và ngoài nước đã và đang quan tâm nghiên cứu theo
nhiều hướng, nhiều khía cạnh. Sau khi học được các kiến thức về Toán
giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học, mối
quan hệ và ứng dụng của chúng. Tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Bài toán
bù trong không gian Hilbert”.
2. Mục đích nghiên cứu


Tìm hiểu về một số nội dung của bài toán bù trong không gian Hilbert.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số nội dung định tính của Bài toán bù trong không
gian Hilbert.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bài toán bù trong không gian Hilbert.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dùng phương pháp của giải tích hàm và giải tích biến phân.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu nghiên cứu và làm rõ được khái niệm bài toán bù cũng như tổng
hợp, hệ thống được một số kết quả đã được các nhà khoa học nghiên cứu
và công bố về bài toán bù trong không gian Hilbert thì chúng ta có thêm
những hiểu biết mới về Toán giải tích.

vii

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Nội dung chính của chương bao gồm một số kiến thức cơ sở về không
gian Hilbert và một số toán tử trên không gian Hilbert. Những kiến thức
trong chương này được lấy từ [1], [2].

1.1

Khái niệm về không gian Hilbert

Cho H là không gian vector trên trường số thực R.
Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi mỗi ánh xạ

., . : H × H → R; (x, y) → x, y
là một tích vô hướng trên H nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn với

∀x, y, z ∈ H, α ∈ R
i) x, y = y, x
ii) αx, y = α x, y
iii) x + y, z = x, z + y, z
1


iv) x, x ≥ 0, x, x = 0 ⇔ x = 0.
Số x, y được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x và y . Không gian
vector H cùng với một tích vô hướng xác định được gọi là không gian có
tích vô hướng và thường được viết là (H, ., . ).
Mệnh đề 1.1.2 Cho không gian H cùng với một tích vô hướng ., . xác
định. Khi đó công thức

x, x

x =
xác định một chuẩn trên H .

Định nghĩa 1.1.3 Nếu không gian có tích vô hướng (H, ., . ) với chuẩn
xác định như trên là một không gian đủ, thì ta gọi (H, ., . ) là một không
gian Hilbert. Ta gọi số chiều của H là số chiều của không gian Hilbert

(H, ., . ).
Ví dụ 1.1.4 Lấy H = Rn với x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ) ∈ H biểu
thức
n

x, y =

xi yi ,
i=1

Xác định một tích vô hướng trên không gian Rn và với chuẩn

x =

x, x .

Khi đó, Rn trở thành một không gian Hilbert hữu hạn chiều.

2

Định nghĩa 1.1.5 Tập S ⊂ H được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ S , đoạn
thẳng nối x, y đều nằm trong S . Nói cách khác, S ⊂ H là tập lồi khi và
chỉ khi: ∀x, y ∈ S, ∀λ ∈ [0, 1] ta có: x = λx + (1 − λ)y ∈ S .
Định nghĩa 1.1.6 Cho S ⊂ H là một tập hợp khác rỗng. S được gọi là
nón nếu ∀λ > 0 và x ∈ S ta luôn có λx ∈ S . Nón S được gọi là nón lồi
nếu S là tập lồi. Nón S được gọi là nón lồi đóng nếu S vừa là nón lồi, vừa
là tập đóng.
Định nghĩa 1.1.7 Cho một tập hợp khác rỗng S ⊂ H . Nón đối cực của
S, được ký hiệu là S ∗ , là tập hợp

{y ∈ H| y, x ≤ 0, ∀x ∈ S} .
Nếu S là tập rỗng thì nón đối cực sẽ là H .
Định lý 1.1.8 Cho H là không gian Hilbert với x, y ∈ H ta luôn có bất
đẳng thức sau:

| x, y | ≤ x

y .

Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức Cauchy − Schwartz .
Định lý 1.1.9 Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó

., . : H × H → R
là một hàm liên tục.
3


Định lý 1.1.10 Cho S là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian
Hilbert H . Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ S sao cho

x − y = inf { x − z |z ∈ S} .
Ta ký hiệu d(x, S) = inf { x − z |z ∈ S}.
Định nghĩa 1.1.11 Hai phần tử x và y của không gian Hilbert H gọi là
trực giao nếu x, y = 0 kí hiệu,

x⊥y.
Nếu S là một tập con của không gian Hilbert H thì tập

S ⊥ = {x ∈ H| x⊥y, ∀y ∈ S}
gọi là phần bù trực giao của S .
Từ định nghĩa ta có thể suy ra tính chất đơn giản sau:
i) 0⊥x, ∀x ∈ H ,
ii) x⊥y ⇒ y⊥x,
iii) x⊥ {y1 ; y2 ; ...; yn } ⇒ x⊥α1 y1 +α2 y1 +...+αn yn , n ∈ N ∗ , αi ∈ R, i =

1, 2, 3, ..., n,
iv) x⊥yn , yn → y . khi n → ∞ ⇒ x⊥y .
Định lý 1.1.12 Giả sử S là một không gian con đóng của không gian
Hilbert H. Khi đó mỗi phần tử x ∈ H biểu diễn được một cách duy nhất
4


dưới dạng x = y + z , trong đó y ∈ S và z ∈ S ⊥ .
Định nghĩa 1.1.13 Theo định lý trên, mọi x ∈ H đều biểu diễn được
duy nhất dạng x = y + z với

y ∈ S, z ∈ S ⊥ .
Như vậy, H = S ⊕ S ⊥ . Ánh xạ p : H → S , xác định p(x) = y với

x = y + z ∈ S ⊕ S ⊥ , được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên S .
Định lý 1.1.14 Phép chiếu trực giao p từ không gian Hilbert H lên không
gian con đóng S = {0} là một toán tử tuyến tính liên tục.
Định lý 1.1.15 (Định lý F.Riesz).
Với mỗi vector a cố định thuộc không gian Hilbert H , hệ thức:

f (x) = a, x

(1.1)

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H, với

f = a .

(1.2)

Ngược lại bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục nào trên không gian Hilbert
H cũng có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng (1.1), trong đó a là một vector
của H thỏa mãn (1.2).

5


Định nghĩa 1.1.16 Cho m1 , m2 ∈ H , ta ký hiệu m1 ⊗ m2 là toán tử
tuyến tính trên H xác định bởi

(m1 ⊗ m2 )(x) = (m1 , x)(m2 ).

1.2

Tôpô yếu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Tôpô yếu nhất trên H để các ánh xạ tuyến tính f ∈ H ∗
vẫn liên tục được gọi là tôpô yếu trên H .
Mệnh đề 1.2.2 Dãy {xk } ⊂ H hội tụ yếu đến x nếu và chỉ nếu

f (xk ) → f (x)
với mọi f ∈ H ∗ .
Mệnh đề 1.2.3 Hình cầu đơn vị đóng trong không gian Hilbert H là compact yếu.

1.3

Toán tử trong không gian Hilbert

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H . Với
mỗi y ∈ H cố định ta xét phiếm hàm f : H → R được xác định như sau:

f (x) = Ax, y , x ∈ H.
6


Định nghĩa 1.3.1 Cho A là một toán tử trong không gian Hilbert H ,
ánh xạ A∗ : H → H được xác định như sau:

∀y ∈ H, A∗ y = y ∗
trong đó

Ax, y = x, A∗ y = x, y ∗ ,
khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A.
Định lý 1.3.2 Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử

liên tục từ H vào H. Khi đó: A∗∗ = A và A∗∗ = A .
Định lý 1.3.3 Giả sử H là một không gian Hilbert và A, B là một toán
tử liên tục từ H vào H, λ ∈ R. Khi đó:

(A + B)∗ = A∗ + B ∗
(λA)∗ = λA∗
(B ◦ A)∗ = A∗ ◦ B ∗
I ∗ = I (I là toán tử đồng nhất trên H).
Định lý 1.3.4 Giả sử H là một không gian Hilbert và A là một toán tử
liên tục từ H vào H. Khi đó A là một phép đồng phôi khi và chỉ khi A∗ là
∗

một phép đồng phôi và (A∗ )−1 = A−1 .

7


Định nghĩa 1.3.5 Với M ⊂ H , ta kí hiệu spanM là không gian tuyến
tính nhỏ nhất của H chứa M , intM là phần trong của M trong H , ∂M
là biên của tập M và

M ⊥ = {x ∈ H : x, e = 0, ∀e ∈ M } = 0.
Với mỗi toán tử T , chúng ta viết

ranT = {T x : x ∈ H} ,
kerT = {x ∈ H : T x = 0} ,
lần lượt là ảnh và nhân của T .
Định nghĩa 1.3.6 Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử
tuyến tính bị chặn trên H , K và L là những nón lồi đóng trong H . Ta nói

T là đồng dương cộng trên K nếu:
i) k ∈ K thì T k, k ≥ 0,
ii) k ∈ K và T k, k = 0 thì (T + T ∗ ) k = 0.
Định nghĩa 1.3.7 Cho H là một không gian Hilbert, T là một toán tử
tuyến tính bị chặn trên H , K nón lồi đóng trong H . Ta nói T là đơn điệu
trên K nếu T x − T y, x − y ≥ 0; x, y ∈ K .
Định nghĩa 1.3.8 Cho M là một tập trong không gian Hilbert H . M
được gọi là khả ly nếu M chứa một tập con đếm được trù mật trong M .

8


Kết luận
Trong chương 1 đã trình bày một số khái niệm về không gian Hilbert,
toán tử trong không gian Hilbert, định nghĩa về tập lồi, nón, nón lồi đóng
các kết quả sẽ dùng trong các chương sau.

9


Chương 2
Bài toán bù trong không gian
Hilbert hữu hạn chiều
Chương 2 sẽ trình bày một số kết quả về bài toán bù trong không gian
Hilbert hữu hạn chiều. Các kết quả trình bày trong chương này được lấy
từ [4], [6].

2.1

Khái niệm về bài toán bù trong không gian

Hilbert hữu hạn chiều
Định nghĩa 2.1.1 ([4], tr.164). Cho X là tập con khác rỗng của Rn và
cho F là ánh xạ từ Rn vào chính nó. Bài toán tìm vector x∗ ∈ X sao cho

F (x∗ )T (y − x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ X

(2.1)

được gọi là bất đẳng thức biến phân. Kí hiệu là V I(X, F ).
Tập tất cả các vector x∗ ∈ X thỏa mãn (2.1) được gọi là tập nghiệm

10


của V I(F, X) và ký hiệu là Sol(V I(F, X)).
Trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức biến phân V I(X, F ) là bài toán
bù phi tuyến N CP (F ) được định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 2.1.2 ([4], tr.166). Cho F là một ánh xạ từ Rn vào chính
nó. Bài toán tìm vector x∗ ∈ Rn+ sao cho,

F (x∗ ) ∈ Rn+
và

F (x∗ )T x∗ = 0,

(2.2)

trong đó
Rn+ = {u ∈ Rn | u ≥ 0}

được gọi là bài toán bù phi tuyến trong không gian Hilbert hữu hạn chiều,
kí hiệu N CP (F ).
Tập tất cả các vector x∗ ∈ Rn+ thỏa mãn (2.2) được gọi là tập nghiệm
của N CP (F ) và ký hiệu là Sol(N CP (F )).
Ví dụ 2.1.3 ([6], tr.15). Cho ∆ = Rn+ , F : Rn −→ Rn . Khi đó F (x∗ )T x∗ =

0 tương đương với
n

x∗i Fi (x∗ ) = 0 ⇔ x∗i Fi (x∗ ) = 0
i=1

với ∀i = 1, ..., n.
11


Vậy Sol(N CP (F )) = {x ∈ Rn+ | x⊥F (x)}.
Định nghĩa 2.1.4 ([4], tr.166). Cho X là một nón lồi của Rn và cho F
là một ánh xạ từ Rn vào chính nó. Bài toán tìm vector x∗ ∈ X sao cho

F (x∗ ) ∈ X ∗ và F (x∗ )T x∗ = 0
được gọi là bài toán bù tổng quát trong không gian Hilbert hữu hạn chiều,
kí hiệu GCP (X, F ). Ở đó, X ∗ là nón đối ngẫu của X, cho bởi công thức

X ∗ = {y ∈ Rn : y T x ≥ 0}.

2.2

Sự tồn tại nghiệm cho bài toán bù trong không

gian Hilbert hữu hạn chiều
Mệnh đề 2.2.1 ([4], tr.166). Cho X là một nón lồi trong Rn và cho F
là một ánh xạ từ Rn vào chính nó. Thì x∗ ∈ X là nghiệm của bài toán

V I(X, F ) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán GCP (X, F ).
Định nghĩa 2.2.2 ([4], tr.167). Cho tập X là tập con lồi, đóng của Rn
và G là ma trận đối xứng, xác định dương cấp n × n. Khi đó, phép chiếu
theo chuẩn G − chuẩn của điểm y ∈ Rn lên tập X , kí hiệu là prG,X (y),
được xác định là nghiệm duy nhất của bài toán sau đây:
minimize y − x
x∈X

12

G.


Trong đó, x

G

= (xT Gx)1/2 là ký hiệu G − chuẩn của vector x ∈ Rn .

Sử dụng định nghĩa ta có các kết quả sau đây:
Mệnh đề 2.2.3 ([4], tr.167 − 168). Cho tập X là tập con lồi, đóng của
Rn và G là ma trận đối xứng, xác định dương cấp n × n. Khi đó, x∗ là
nghiệm của bài toán VI(X,F) khi và chỉ khi

x∗ = prG,X (x∗ − G−1 F (x∗ ));
khi và chỉ khi x∗ là điểm bất động của ánh xạ H : Rn −→ Rn xác định bởi

H(x) = prG,X (x − G−1 F (x)).

(2.3)

Trong bài toán bù phi tuyến N CP (F ) (trong đó X = Rn+ ), công thức
(2.3) được viết dưới dạng đơn giản:

H(x) = max(0, x − F (x))
cùng với G là ma trận đồng nhất. Trường hợp tổng quát, nếu

H : Rn −→ Rn
thì x∗ là điểm bất động nếu và chỉ nếu x∗ là không điểm của ánh xạ

H(x) = H(x) − x. Do đó, bài toán bất đẳng thức biến phân V I và bài
toán bù phi tuyến N CP có thể được viết dưới dạng bài toán cổ điển của
việc giải hệ phương trình phi tuyến.
13


Định lý 2.2.4 ([4], tr.168). Cho θ : R −→ R là một hàm tăng ngặt với

θ(0) = 0. Khi đó, vector x∗ ∈ Rn là nghiệm của N CP (F ) khi và chỉ khi
H(x∗ ) = 0, trong đó H : Rn −→ Rn được xác định bởi
Hi (x) = θ(|Fi (x) − xi |) − θ(Fi (x)) − θ(xi ), ∀i = 1, 2, ..., n.

(2.4)

Chứng minh. Với mỗi i = 1, 2, ..., n thì xi = 0 hoặc Fi (x) = 0.
+ Điều kiện cần

Nếu xi = 0, thì θ(|Fi (x) − xi |) − θ(Fi (x)) − θ(xi ) = θ(|Fi (x) − xi |) −

θ(Fi (x)) − 0 = 0.
Nếu Fi (x) = 0, thì θ(|Fi (x) − xi |) − θ(Fi (x)) − θ(xi ) = θ(|Fi (x) − xi |) −

0 − θ(xi ) = 0.
+ Điều kiện đủ
a) Ta chứng minh F (x) ≥ 0. Giả sử ngược lại Fi (x) < 0 với một vài

i = 1, ..., n khi đó, ta có
0 ≤ θ(|xi − Fi (x)|) = θ(Fi (x)) + θ(xi ) < θ(xi ).
Từ tính chất tăng của θ ta có xi > 0 và xi > |xi − Fi (x)| = xi − Fi (x).
Suy ra Fi (x) > 0 mâu thuẫn với Fi (x) < 0.
b) Ta chứng minh x ≥ 0.
Thật vậy, bằng cách hoán vị xi và Fi (x) trong mục a) ta có điều phải
chứng minh.
c) Từ phần a) và phần b), chúng ta có x ≥ 0 và F (x) ≥ 0.
14


Ta sẽ chứng minh xT F (x) = 0. Giả sử xi > 0 và Fi (x) > 0 với một vài

i = 1, ...n.
Nếu

Fi (x) ≥ xi ,
thì

θ(|Fi (x) − xi |) = θ(Fi (x) − xi ) < θ(Fi (x)) + θxi .
Điều này mâu thuẫn với

θ(|Fi (x) − xi |) − θ(Fi (x)) − θ(xi ) = 0.
Tương tự ta chứng minh được Fi (x) ≤ xi là vô lý. Do đó điều giả sử là
sai, do vậy ta có xT F (x) = 0.
Bổ đề 2.2.5 ([4], tr.168). Cho F : Rn −→ Rn . Vector x∗ ∈ Rn là nghiệm
của bài toán N CP (F ) nếu và chỉ nếu x∗ thỏa mãn
minimize F (x)T x,
với F (x) ≥ 0, x ≥ 0 và F (x∗ )T (x∗ ) = 0.
Định nghĩa 2.2.6 ([4], tr.175). Cho ánh xạ F : X −→ Rn . Khi đó, F
được gọi là P − hàm trên X , nếu

max [Fi (x) − Fi (y)](xi − yi ) > 0

1≤i≤n

với ∀x, y ∈ X và x = y .
15


Định lý 2.2.7 ([4], tr.176). Cho F : Rn+ −→ Rn là hàm P − hàm trên Rn+ .
n
Thì tồn tại ít nhất một vector x∗ ∈ R+
là nghiệm của bài toán N CP (F ).

Chứng minh. + Nếu x∗ ∈ Rn+ và y ∗ ∈ Rn+ thỏa mãn bài toán N CP (F ),
thì

(x∗i − yi ∗)[fi (x∗ ) − fi (y ∗ )] = −yi∗ fi (x∗ ) − x∗i fi (y ∗ ) ≤ 0
với mỗi i và do hàm F là hàm P − hàm nên x∗ = y ∗ .
n

+ Nếu F : Rn −→ Rn là khả vi trên R+
và F (x) là P − ma trận với
n
. Vì vậy, nếu F (x) là P − ma trận
mỗi x ∈ Rn+ , thì F là P − hàm trên R+
n
là nghiệm của bài toán
với mỗi x ∈ Rn+ , thì tồn tại ít nhất x∗ ∈ R+

N CP (F ).

2.3

Tính chất tập nghiệm của bài toán bù trong

không gian Hilbert hữu hạn chiều
Định nghĩa 2.3.1 ([4], tr.177). Cho ánh xạ F : Rn −→ Rn . Ánh xạ

F được gọi là Z − hàm, nếu cho bất kỳ i = j và bất kỳ x ∈ Rn hàm
gij : R −→ R xác định bởi
gij (t) = fi (x + tej ), t ∈ R là giảm.
Định nghĩa 2.3.2 ([4], tr.172). Tập khả thi của bài toán bù suy rộng

16