Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán 2006

TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2006
MÔN: TOÁN (VÒNG 1)

Câu I (2,0 ®iÓm)
(x+1)(x+y) = 4
(x+1)(1+xy) = 4
 x  -1, (x+y) = 1+xy  (x-1)(y-1) = 0
x=1
(x+1)(x+y) = 4



y=1
(x+1)(x+y) = 4

x=1
1+y = 2



y=1
(x+1)2 = 4



x = 1, y = 1
y=1
x+1 = 2

y=1
x+1 = -2

x=1


y=1
y=1
x = -3

Đáp số: (x = 1, y = 1), (x = -3, y = 1)
Câu II (2,0 ®iÓm)
f ( x)  (2 x  1)( x  2)  ( x  3)4  2 x

Theo bất đẳng thức cosi:
(2 x  1)( x  2) 

3x  3
2

và đạt =  2x  1  x  2  x  1

x7
2
3x  3 x  7
Vậy f ( x) 

 2x  5
2
2

( x  3)4 

và đạt =  x  3  4  x  1
và đạt =  x  1

Đáp số: ymax=5
Câu III (2,0 ®iÓm)
Gọi số cần tìm là a  N, ta có:
1000  a  9999
a  100m  6 , a  51n  17

(m, n  N)

 102m  51n  11  2m 

 100m  6  51n  17

(2m  11)  51

1000  100m  6  9999



9,94...  m  99,93

30,88  2m  11  210,86

51  a = 2006
102  m 

2 m + 11 =

91
2

(loại)

153  a  7106

204  m 

193
2

(loại)

Đáp số: a = 2006 và a = 7106 .
Chú ý: Thí sinh cũng có thể viết
100m  6  51n  17  n  11  100m  50n

1


TRUNG TM LUYN THI KHOA BNG Web: www.khoabang.edu.vn
Tng 4 Trng Tiu hc Ngụi Sao H Ni. Tel: (04) 0466865087 0983614376.

v suy ra: (n 11) 50
Sau ú cỏch gii tng t nh ó trỡnh by trờn.
M

A

Câu IV (3,0 điểm)

45o

o

1) (1,5 điểm) Ta có A'MN = 180o - (60o + 45o) =75o

30
30o

F

PNM = 180o - (45o + 30o) = 105o

N

Q

A'MN + PNM = 75o + 105o = 180o MA' // PN

30o

PEQ = MA'E (so le)
Vì MAQ =

B

A'
C'

MA'Q MA'Q = MAQ = 90o

E

PEQ = MA'E = MA'Q = 90o.
D

T-ơng tự QFP = 90o.

C

P

Vậy các điểm E, F, D cùng nhìn đoạn PQ d-ới một góc 90O,
suy ra các điểm E, F, Q, D, P cùng nằm trên đ-ờng tròn đ-ờng kính PQ.
Chú ý: Thí sinh có thể giải cách khác nh- sau:
AQM = 60o A'QM = 60o DQE = 60o .

NPC =

MQA .

nên NPC = MQA = 60o DPE = 120o PEQ = 360o - 90o - 60o - 120o = 90o.
T-ơng tự có PFQ = 90o Các điểm E, F, Q, D, P thuộc đ-ờng tròn đ-ờng kính PQ.
Hoặc từ DPE = 120o và DQE = 60o Tứ giác PDQE nội tiếp, t-ơng tự có tứ giác
PDQF nội tiếp Các điểm E, F, Q, D, P cùng thuộc một đ-ờng tròn.
2) (1,5 điểm) Đặt AM = x

DP = a -

MB = a - x, AQ =

x
x
, PC =
, BN = a - x, NC = x, MN =
3
3

AC = a 2 , AC = 3MN a 2 = 3 2 (a - x) x =
Suy ra MB = BN =
AQ = PC =
QD = DP =
dt AMQ = dt

a
2a
; AM = NC =
;
3
3

x
x
, QD = a ,
3
3
2 (a - x)

2a
3
M

A

2a
3 3

B

N

Q

a(3 3 2)
.
3 3

CNP =

1 2a 2a
2a 2
. .

.
2 3 3 3 9 3

1 a a a2
.

dt BMN = . .
2 3 3 18

D

2

P

C


TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.

dt DQP =

1 a 2 (3 3  2) 2 a 2 (31  12 3 )
.

.
2
54
(3 3 ) 2

 10  2 3 
2a 2
a2
a 2 (31  12 3 )


dt h×nh thang MNPQ = a  2.


 a 2 

54
27
9 3 18


2

Chó ý: ThÝ sinh cã thÓ tÝnh diÖn tÝch h×nh thang b»ng c¸ch tÝnh MN, PQ vµ ®-êng
cao cña h×nh thang sau ®ã ¸p dông c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch h×nh thang.
C©u V (1,0 ®iÓm)
Nếu   a 2  8  0

a 2
a2
a 2
a2 2
2
f ( x)  ( x  )  2 
 (x  )  ( 2  )
2
4
2
4
2

Áp dụng:
2

 A B  A B
A B 
 

 2   2 
2

2

2

(1)

Ta được:
2
 2 a
 x   2 a

2
4
f ( x)  
2




2

2
  2 a
  x   2 a
 
2
4
 
2
 
 
 









2

(Đpcm)

nếu:   a 2  8  0

f ( x)  ( x 2  2 ) 2  ( x a  2 2 ) 2
Áp dụng (1) ta có:
2

 x2  x a  2 2  2   x2  x a  2 2  2 
 

f ( x)  




2
2

 

(Đpcm).

3

2