Đáp án đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán 2008

TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN ( VÒNG 1 )
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2008
Câu I : ( 3 điểm )
1) ( 1,5 điểm ) Hệ đã cho tương đương với
2
2

 ( x  1)  y = 1
đặt u = x -1 ta được hệ

3
3
(
x

1)

y
=
1
.


2
2

 u  y  1(1)
từ (1) => |u|  1 và |y|  1 (3)

 3
3
u

y

1
(2).


Trừ (1) cho (2) ta được: u 2 (1  u)  y 2 (1  y)  0

Từ điều kiện (3) => u 2 (1  u)  y 2 (1  y)  0
Để có dấu đẳng thức ta phải có:
 u  0
x  1
 

y 1
 y  1
 u  1
x  2

 
  y  0
y  0

2) ( 1,5 điểm ) Điều kiện x  

7

2

Phương trình đã cho tương đương với:
(2 x  7)  (2 x  7) 2 x  7  x( x  7)  0
 ( 2 x  7  x)( 2 x  7  x  7)  0

a) 2 x  7  x  x  1  2 2
b) 2 x  7  x  7 Phương trình này vô nghiệm
Đáp số: x  1  2 2
Câu II : ( 3 điểm )
1) ( 2 điểm ) Ta có abc  bda  650
 100(a  b)  10(b  d )  c  a  650
ca 0 a c
 10(a  b)  (b  d )  65
 b  d  5
b  d  5 d  b  5  0  b  5

a) 
a  b  6 a  b  6  9  b  3

Trường hợp này không tồn tại số cần tìm
b  d  5
a  b  7
ta có: 3| a  b  c  d  (b  7)  b  (b  7)  (b  5)  4b  19

b) 

1

TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.

suy ra 3| 3b  18  b  1  3| b  1
từ a  b  7  9  b  2 Vậy chỉ có b=2
=>số cần tìm là 9297
2) ( 1 điểm ) Giả sử phương trình có các nghiệm nguyên là x1 , x2 . Khi đó:
p 1

 x1  x2  2

 x .x  p  2008
 1 2
2

Do x1 , x2 nguyên =>

p  2008
p 1
và
là các số nguyên.
2
2

Điều này không thể xảy ra. Vậy không tồn tại p
Câu III : ( 3 điểm )
1) ( 1,5 điểm )
A
d1

d2
1

4

3
2
I

B

Ta có

M

H K

N

C

CMA  A2  900
CAM  A1  900

Do A1  A2  CMA  CAM  ∆CAM cân tại C.
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được ∆BAN cân tại B
Giả sử phân giác của các góc B và C của ∆ABC cắt nhau tại I => I là tâm đường
tròn nội tiếp ∆ABC. Do ∆CAM và ∆BAN cân => các đường phân giác của B và C
chính là trung trực của AN và AM => I chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AMN
2) ( 1,5 điểm ) Từ giả thiết suy ra MAN  450  MIN  900 (góc ở tâm) => ∆MIN

vuông cân  IK  KM  KN ( IK là đường cao của ∆IMN) => đường tròn nội tiếp
∆ABC tiếp xúc với d1 và d 2 ( chú ý IK là bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC).

2


TRUNG TÂM LUYỆN THI KHOA BẢNG – Web: www.khoabang.edu.vn
Tầng 4 – Trường Tiểu học Ngôi Sao Hà Nội. Tel: (04) 0466865087 – 0983614376.

Câu IV : ( 1 điểm )
Ta chứng minh rằng một trong hai số a và b phải có ít nhất một số nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Thật vậy, giả sử ngược lại a  3 và b  3 . Không mất tổng quát có thể giả sử 3  a  b .
ab  1 3b  1 3b  1 3b 3
( mâu thuẫn với giả thiết )




ab ab
2b
2b 2
Giả sử a  2  a 1, 2

Ta có :

b3  1
 Xét a  1 . Khí đó P  3  1
b 1
8b3  1
 Xét a  2 . Khi đó P  3

b 8
ab  1 2b  1 3
Từ điều kiện

 b4
ab b2 2
Vậy b 1, 2,3
9
9
8.8  1 65
Với b  2 ta có P 

8  8 16
8.27  1 217
Với b  3 ta có P 

27  8
35
217
Từ các kết quả trên  Pmax 
35
a  2
b  2
Đạt được khi 
hoặc 
b  3
a  3

Với b  1 ta có P   1

3