Đề thi chọn HSG lớp 12

THI CH N H C SINH GI I KH I 12
Nm hc 2008 - 2009
Thi gian 180 (không k thi gian phát )
Câu 1: (2 đ)
Cho hàm số :
( ) ( )
mxmxmxy 2323
23
+++=
(1)
1. Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua m
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành
một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó
Câu 2: (2 đ)
1. Cho ABC có ba góc A, B, C thoả mãn :





=+
=+
1coscos
3
32
22
BA
B
tg
A
tg

Chứng minh ABC là tam giác đều.
2. Giải hệ phơng trình







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
Câu 3: (2 đ)
1. Giải bất phơng trình :
( )

( )
13log
1
3log
1
2
2
4

<
+
x
xx
2. Xác định a, b để hàm số :





<

+
=
0
4cos2cos
0
xkhi
x
xx
xkhibax

y
có đạo hàm tại x = 0
Câu 4: (3 đ)
Trên mặt phẳng toạ độ cho elíp
( )
1
49
:
2
2
=+
y
x
E
và 2 đờng thẳng :
d
1
: mx ny = 0, d
2
: nx + my = 0. (m
2
+ n
2
> 0)
1. Tìm toạ độ của các giao điểm M, P của d
1
với (E) và các giao điểm N, Q của d
2

với (E)

2. Tìm điều kiện của m, n để diện tích tứ giác MNPQ đạt Max, Min.
Câu 5: (1đ)
Với n là số nguyên dơng, gọi a
3n

3
là hệ số của x
3n

3
trong khai triển thành đa thức của
(x
2
+ 1)
n
(x + 2)
n
. Tìm n để a
3n

3
= 26n
--------(Hết)--------
Câu 1: (2,5 đ)

1. Tìm trên mặt phẳng các điểm cố định mà đồ
thị hàm số luôn đi qua m
Giả sử M( x; y) là điểm cố định mà mọi đờng
cong của họ (C
m

) đều đi qua Pt ẩn m :
( )
023.23
232
=+++
yxxxmxx
có vô số
nghiệm
( ) ( )
0;2,0;1
023
023
21
23
2
MM
yxxx
xx






=+
=+
2. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập
thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó
Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số
cộng (C

m
) phải có 2 cực trị và điểm uốn phải nằm trên trục hoành
( )
( ) ( )
( ) ( )
.
2
3
3,0
0992
033
02
3
3
.32
3
3
.3
3
3
03233
0
0
23
2
23
2
'
,
===

=+
>+






=






+
++






+
+

+
>++






=
>

mmm
mm
mm
m
m
m
m
m
m
mm
xf
u
y

Câu 2: (2 đ)
1. Cho ABC có ba góc A, B, C thoả mãn :
( )
( )





=+
=+
21coscos
1
3
32
22
BA
B
tg
A
tg

Ta có
( )
2
3
2
1
1
2

1
1
2
3
2
cos
2
cos2
22
22
=
+
+
+
=+
B
tg
A
tg
BA
3
1
2
.
23
1
01690
3
4
123

2
3
12
22
2
3
1
2
.
22
.
2
2
22
22
22
2
22
2
.
2
2222
22
===+=+
=
++
+
=
+++
++

+=
=
B
tg
A
tgPPPPP
PSP
PS
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg
B
tg
A
tgS
B
tg
A
tgP
Vậy hệ

=
=+

3
3
2
.
2
3
32
22
B
tg
A
tg
B
tg
A
tg

2
;
2

B
tg
A
tg
> 0 là nghiệm của Pt :
3
1
22
3
1
01.3230
3
1
.
3
32
22
====+=+
B
tg
A
tgttttt
A = B = 60
0
ABC là tam giác đều.
1. Giải hệ phơng trình:
Cách 1 :
( ) ( )
1
0

23
03
23
0
23
03.
23
33
23
23
23
0
23
23
2
3
2
3
22
22
22
22
2222
22
22
22
22
22
2
2

2
2
==
⇔





>



=−
+=
⇔










=++
+=




=−
+=
⇔



=++−
+=
⇔



−=−
+=
⇔



+=
+=
⇔





≠
+=
+=

⇔







+
=
+
=
yx
yx
yyx
yxxy
yyx
yx
yyx
yxxyyx
yyx
xyxyyx
yyx
xxy
yyx
xy
xxy
yyx
y
x

x
x
y
y
0xy vi ngiÖmv«

C¸ch 2 : Tõ hÖ ta cã x; y > 0. ⇒
2
2
2
2
+
+
=
x
y
y
x
Gi¶ sö 0 < x ≤ y ⇒
11
2
2
2
2
==⇒=
+
+
=
yx
y

y
y
x
C©u 3: (2 ®)
1. Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh :
( )
( )
13log
1
3log
1
2
2
4
−
<
+
x
xx
ĐK: x > 1/ 3 Khi đó
( )
03log13
9
1
3
2
4
2
>+>+=+
xxxx

Nếu
( ) ( )
( )
( )
xxxxxxx 3133log
2
1
13log1
3
2
3
1
2
2
2
22
+>+><<
8
1
10198
2
<>>+
xxxx
Không thoả mãn.
Néu x > 2/ 3
( ) ( )
( )
( )
xxxxxx 3133log
2

1
13log1
2
2
2
22
+<+<
1
8
1
0198
2
<<<+ xxx
Kết hợp ĐK tập nghiệm của Bpt là







3
2
;
3
1
x
2. Xác định a, b để hàm số :

<

+
=
0
4cos2cos
0
xkhi
x
xx
xkhibax
y
có đạo hàm tại x = 0
Để hàm số có đạo hàm tại x = 0
( ) ( )
+
=
00
''
ff
Hàm số có đạo hàm tại x = 0 liên tục tại x = 0
( ) ( )
xfxf
xx
+

=

00
limlim
( ) ( )
0lim,0
sin2sin4cos2cos
limlim
0
22
00
===

=

=
+

bbxf
x
xx
x
xx
xf
xxx
Hàm số có đạo hàm tại x = 0
( ) ( )
xfxf
xx
+

=

00
limlim
( )
( )
3limlim
314
sin2sin
lim
4cos2cos
limlim
00
2
22
0
2
00
===
==

=

=
++



aa
x
ax
xf

x
xx
x
xx
xf
xx
xxx
Vậy a = 3, b = 0 hàm số có đạo hàm tại x = 0.
Cõu 4: (2 ) Trờn mt phng to cho elớp
( )
1
49
:
2
2
=+
y
x
E
v 2 ng thng :
d
1
: mx ny = 0, d
2
: nx + my = 0. (m
2
+ n
2
> 0)
1. Tỡm to ca cỏc giao im M, P ca d

1
vi (E) v cỏc giao im N, Q ca d
2

vi (E)
Vit Pt d
1
& d
2
di dng tham s:
( ) ( )
2:,1:
21



=
=



=
=
nly
mlx
d
mty
ntx
d
To ca M & P l nghim ca H (E) & (1)

( )
22
2222222
94
6
36.943694
mn
ttmntmtn
+
==+=+