Tích phân p adic và các ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH

TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ
CÁC ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH, NĂM 2009


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN THỊ CẨM THẠCH

TÍCH PHÂN P-ADIC VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 604605

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện hoàn thành tại trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ
Chí Minh do công sức nghiên cứu, tham khảo tài liệu của bản thân dưới sự hướng
dẫn tận tình,chu đáo của PGS.TS. Mỵ Vinh Quang. Bằng những kiến thức mà tôi
đã học được trong hai năm qua ở lớp cao học khoá 17 ngành Đại số và lý thuyết số
làm nền tảng cho tôi nghiên cứu tiếp các sách tham khảo để viết lên cuốn luận văn
này. Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS.
Mỵ Vinh Quang, thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Lê
Hoàn Hoá, TS. Trần Huyên và TS. Đậu Thế Cấp, quý thầy đã trực tiếp trang bị
cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu, cũng như dành
thời gian quý báu đọc và góp ý cho luận văn.
Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và quý thầy cô trường Cao Đẳng Kỹ Thuật
Lý Tự Trọng Thành Phố Hồ Chí Minh nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện thuận
lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần
cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn chồng và hai con yêu quí, những người đã chấp nhận khó
khăn để tôi yên tâm học tập và luôn mong mỏi tôi được thành công.
TP Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2009

Nguyễn Thị Cẩm Thạch


MỤC LỤC

Trang phụ bìa……………………………………………………………………….1
Lời cảm ơn…………………………………………………………………………..2

Mục lục ……………………………………………………………………………..3
Danh mục các ký hiệu……………………………………………………………….4
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………5
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC……………...6
1.1.

Chuẩn trên một trường………………………………………………….6

1.2.

Xây dựng trường số p-adic

1.3.

Tính chất tô pô của

1.4.

Trường số phức và hàm chỉnh hình p-adic…………………………….23

p

p

………………………………………..11

………………………………………………..17

Chương 2. XÂY DỰNG ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC…………………….25
2.1

Không gian các hàm hằng địa phương………………………………..25

2.2

Độ đo p-adic…………………………………………………………..28

2.3

Một số độ đo thường dùng……………………………………………32

2.4

Tương tự p-dic của tích phân Riemann……………………………….33

2.5

Điều kiện khả tích…………………………………………………….35

Chương 3. TÍCH PHÂN SCHNIRELMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG…………….45
3.1

Một số kết quả về lý thuyết tích phân Cauchy trong giải tích phức…..45

3.2

Tích phân Schnirelman………………………………………………..46

3.3

Lớp   D  ……………………………………………………………..56

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN……………………………………………………64
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………….65


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
: Tập các số tự nhiên.
: Tập các số nguyên.
: Tập các số hữu tỷ.
: Tập các số thực.
p

: Tập các số nguyên p-adic.

*
p

: Tập các phần tử khả nghịch trong

p

.

: Chuẩn trên trường K.
p

: Trường số p-adic

p

: Trường số phức p-adic

p

: Chuẩn p-adic.

p

ord p a

: Số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố.

B (a, r )

: Hình cầu mở tâm a bán kính r trong

B  a, r 

: Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong

D ( a, r )

: Mặt cầu tâm a bán kính r trong

 

p

p

hoặc

a  pN

: Khoảng trong

 x

: Phần nguyên của x.

A

: Hàm đặc trưng của tập A.

 Haar

: Độ đo Haar.



: Độ đo Dirac.

 Mazar

: Độ đo Mazur.

xa , N

: Một điểm tùy ý thuộc khoảng a   p N  .

S N ,xa , N  ( f )

: Tổng Riemann của hàm f .

 f

: Tích phân của hàm f ứng với độ đo  .

p

hoặc

.

p

hoặc
p

p

p


MỞ ĐẦU
Giải tích p-adic là một trong các hướng mới mà đang phát triển nhanh của
ngành Đại số và Lý thuyết số. Gần đây đã có một số tác giả xây dựng được các tích
phân p-adic và sử dụng chúng như là các các phép biến đổi Mellin-Mazur để nội
suy các hàm giải tích p-adic và một số ứng dụng thú vị khác trong việc nghiên cứu

hàm p-adic. Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng tích phân Schnirelman và
nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Schnireman để nghiên cứu các hàm
chỉnh hình p-adic.Luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC
Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic
trường số phức p-adic

p

p

và

. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản về

trường số p-adic nhằm phục vụ cho chương 2 và chương 3.
Chương 2: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN P-ADIC
Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm độ đo p-adic, độ đo bị chặn
và độ đo tăng chậm. Từ đó chúng tôi đưa ra định nghĩa tổng Riemann, tích phân padic là tương tự p-adic của tích phân Riemann và điều kiện khả tích cho hàm liên
tục ứng với độ đo bất kỳ.
Chương 3: TÍCH PHÂN SCHINIREMAN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
Trong chương này, chúng tôi đi xây dựng tích phân Schinelman và lớp   D  .
Từ đó chúng tôi đi nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân Schinelman để tìm
tương tự p-adic của một số định lý và tính chất của tích phân Cauchy trong giải tích
phức.
Phần kết luận của luận văn chúng tôi nêu ra các đóng góp chính của luận văn và
kiến nghị về hướng phát triển của nó.
Vì thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi những những thiếu sót . Kính mong
các thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ.

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TRƯỜNG SỐ P-ADIC
Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và một số tính
chất pô tô của nó. Cách xây dựng trường số p-adic đã được nhiều tác giả trình bày
với nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trường
số p-adic bằng phương pháp giải tích của N.KOBLITZ. Vì theo chúng tôi đây là
cách xây dựng trường số p-adic một cách “tự nhiên” nhất. Sau khi xây dựng trường
số p-adic chúng tôi đưa ra một số tính chất tô pô cơ bản nhất của nó.
Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng tôi
chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến chương chính
của luận văn đó là chương 2 và chương 3.
1.1. Chuẩn trên một trường
1.1.1. Định nghĩa
Cho K là một trường. Chuẩn trên trường K là một ánh xạ (kí hiệu là

) từ tập K

vào tập các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện sau :
i) x  0  x  0

2i ) xy  x y
3i ) x  y  x  y

x, y  K
x, y  K

1.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1. Trường các số

với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn các

, ,

điều kiện của định nghĩa nên giá tri tuyệt đối là chuẩn trên
chuẩn giá trị tuyệt đối, ta ký hiệu

g

Ví dụ 2. Cho K là một trường tùy ý. Ánh xạ

được xác định :

1 nê' u x  0

x 
0 nê' u x  0


Là một chuẩn trên trường K và được gọi là chuẩn tầm thường.

, ,

và ta gọi là


1.1.3. Chú ý
Giả sử

là một chuẩn trên trường K. Ta có thể chứng minh hàm d từ KxK vào tập

các số thực không âm xác định bởi d ( x, y )  x  y là một hàm mêtric trên trường K
và được gọi là mêtric tương ứng với chuẩn .
Tô pô sinh bởi mêtric tương ứng được gọi là tô pô tương ứng của chuẩn

.

1.1.4. Các tính chất cơ bản


1   1  1 suy ra  x  x



x 1 



0 0

1
x

 x  0

1.1.5. Định nghĩa hai chuẩn tương đương
Hai chuẩn

1

và

2

trên trường K được gọi là tương đương nếu tô pô cảm sinh

hai mêtric tương ứng của chúng là như nhau. Kí hiệu

1

~

2

.

1.1.6. Định lý
Giả sử

1

,

2

là hai chuẩn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:

1. x 1  1  x 2  1 với mọi x  K
2. x 1  1  x 2  1 với mọi x  K
C

3. Tồn tại hằng số dương C > 0 sao cho x 1  x 2 với mọi x  K
4. {xn} là dãy Cauchy đối với
5.

1

~

1

 {xn } là dãy Cauchy đối với

2

2

Chứng minh
1)  2)
Với mọi x  K , giả sử x 1  1 ta cần chứng minh x 2  1
Giả sử ngược lại, tức là x 2  1 . Ta có:

1
1
1
x 2  12 1

1
x2
x 2 x2

1
 1 hay x 1  1
x1

Suy ra

Điều này vô lý vì x 1  1 . Vậy x 2  1 .
2)  1) Chứng minh tương tự như trên.
1)  3)
Giả sử x 1  1  x 2  1 với mọi x  K .Ta xét hai trường hợp sau :
 Trường hợp 1 : Nếu có một trong hai chuẩn tầm thường thì ta chứng minh
chuẩn còn lại cũng tầm thường.
Thật vậy: Gỉa sử chuẩn

1

tầm thường thì với mọi x  K , x  0 , ta có x 1  1 . Nếu

x 2  1 thì ta xét hai trường hợp sau:
x 2  1  x 1  1 (vô lý)
x 2 1

Do đó x 2  1 hay chuẩn

1
1
1
 1 (vô lý)
x2

x1
C

2

là tầm thường. Do đó tồn tại C=1 thỏa x 1  x 2 với mọi

xK

 Trường hợp 2 : Nếu cả hai chuẩn không tầm thường
Vì

1

không tầm thường nên tồn tại x0  K sao cho x0 1  1 ,do đó ta có x01 1 

Từ giả thiết của mệnh đề ta suy ra x01 2 

1
 1 . Nên x0
x0 2

2

1
1
x0 1

 1.

Đặt x0 1  a và x0 2  b thì a, b>1
Khi đó, với mọi x  K ta viết x 1  a với   log a x 1 . Ta chứng minh x 2  b
Thật vậy, lấy r 

m

n


và r 

m
  ta có :
n

m
n

m

m

n

m

x 1  a  a  x0 1n  x 1  x0 1n  x 1  x0 1  x n  x0m
1

1

Do đó
n

m

x n .x0 m  1  x n .x0 m  1  x n  x0m  x 2  x0 2
1

Suy ra

2

m

x 2  x0 2 n

2

2

m

hay

x2 bn

Như vậy, ta đã chứng minh được với mọi r 

m


n

và r   thì x 2  b r


Do đó nếu ta lấy dãy rn  

và rn   , n mà rn   thì từ bất đẳng thức trên ta

x 2  b

được :

Hoàn toàn tương tự, nếu lấy r 
Nên nếu ta lấy dãy rn  

m

n

và r   thì ta có x 2  b 

và rn   , n mà rn   thì ta có x 2  b

Vậy x 2  b  . Do đó x 1  a   (b log a )   (b  ) log
b

b

C

 x 2 với C = logba>0.

a

3)  4)
Giả sử x n  là dãy Cauchy đối với chuẩn

1

, nghĩa là xn  xm 1  0 khi m, n  

1

xn  xm 1C  0 khi m, n   với C>0 thỏa xn  xm 1  xn  xm

Hay

C
2

Do đó xn  xm 2  0 khi m, n  
Vậy xn là dãy Cauchy đối với chuẩn

2

.

4)  1)

Giả sử x 1  1 ta cần chứng minh x 2  1
n

Từ giả thiết x 1  1 suy ra x 1  0 đối với chuẩn
Nên  x n   0 theo chuẩn

1

2

.

.Mà dãy hội tụ phải là dãy Cauchy

Do đó xn là dãy Cauchy đối với
với

1

1

,từ giả thiết ta suy ra xn là dãy Cauchy đối

. Điều này có nghĩa ( x n 1  x n )  0 đối với chuẩn

với chuẩn
Vì chuẩn

2

2

2

hay x n ( x  1)  0 đối

.Do đó x n 2 1  x 2  0 .
không tầm thường nên 1  x 2  0 suy ra x n 2  0 hay x 2  1

3)  5)
C

Giả sử tồn tại hằng số dương C > 0 sao cho x 1  x 2 với mọi x  K



Khi đó ta có: B1  a, r   x  K


= x  K


 

x a1  r = xK

C

xa 2  r

1
1



x  a 2  r C  = B2  a, r C 







Do đó: A   1   a  A :  B1(a,r)  A (vì A là tập mở)
1


 a  A :  B2  a, r C   A



A  2 .
Vậy  1   2 nên theo định nghĩa ta có 1 ~

2

.

5)  1)
Giả sử x 1 < 1 suy ra x n 1  0 . Do

1

~

2

nên x n
2

 0 . Vậy x 2  1 .

1.1.7. Định nghĩa chuẩn phi Archimede.
Cho K là một trường .Chuẩn

trên trường K được gọi là chuẩn phi Archimede

trên trường K nếu với mọi x,y  K : x  y  max  x , y 
1.1.8. Ví dụ về chuẩn phi Archimede.
Ví dụ 1.
Chuẩn tầm thường trên K là chuẩn phi Archimede.
Ví dụ 2. Nếu K là trường hữu hạn thì mọi chuẩn trên K đều tầm thường, vì vậy nó
là chuẩn phi Archimede.
1.1.9. Mệnh đề (nguyên lý tam giác cân).
Cho K là một trường .Chuẩn

là một chuẩn phi Archimede trên trường K .Khi đó

nếu với mọi x,y  K mà x  y thì x  y  max x , y 
Chứng minh

Vì vai trò x,y trong mệnh đề như nhau nên ta giả sử x  y .
Khi đó ta có: max  x , y   x . Nên ta cần chứng minh

x y  x

Thật vậy, ta có x  y  max  x , y  và y  x nên x  y  x
Nhưng nếu x  y  x thì x  x  y  y  max  x  y , y   x (vô lý vì x  x ).
Vậy x  y  x hay x  y  max x , y 
1.1.10. Mệnh đề
Dãy  xn   F là dãy Cauchy khi và chỉ khi  xn 1  xn   0 khi n   .


1.1.11. Mệnh đề
Cho  xn  là dãy Cauchy. Nếu xn 
 0 khi n   thì xn là dãy dừng.
1.1.12. Định lý (Điều kiện tương đương của tính phi Archimede )
Cho

là một chuẩn trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:
là chuẩn phi Archimede.

1i)

2i) 2  1
3i) n  1, n 
4i)

là tập bị chặn.

1.2. Xây dựng trường số p-adic

p

1.2.1. Định nghĩa ord p a với a 
Giả sử p là một số nguyên tố nào đó. Với mỗi a  , a  0 ta gọi ord p a là số mũ của
p trong sự phân tích a thành các thừa số nguyên tố.
Nếu a = 0 thì ta quy ước ord p a  
1.2.2. Định nghĩa ord p x với x 

.

Giả sử p là một nguyên tố nào đó. Với mỗi x 

, ta giả sử x 

a
trong đó
b

a, b  , (a,b)=1. Ta định nghĩa ord p x  ord p a  ord p b.

1.2.3. Mệnh đề
Cho ánh xạ

p

từ

vào tập số thực không âm được xác định như sau:

ord p x
nê'u x  0
(1/ p )
xp 
nê'u x  0
0

Khi đó

p

là một chuẩn phi Archimede trên trường

và được gọi là chuẩn p-adic

1.2.4. Định lý (Oxtropxki)
Mọi chuẩn không tầm thường

trên trường

đều tương đương với

p

với p là

một số nguyên tố nào đó hoặc tương đương với giá tri tuyệt đối thông thường
trên

.

g


Chứng minh
Ta xét các trường hợp xảy ra đối với chuẩn 2
Trường hợp 1 : Nếu 2 > 1 thì từ điều kiện tương đương của tính phi Archimede ta
suy ra

không là chuẩn phi Archimede.

Lấy n  N , giả sử n  a0  a1 2  ...  as 2s , trong đó 0  ai  1 và 2s  n  2s 1
Ta viết 2  2 với   log 2 2
Khi đó ta có :
n  a0  a1 2  ...  as 2 s

 1  2  ...  2 s
1
1 

 2 s 1    ...  s 
2 
 2
1
1

 2 s .C (vì tổng trong dấu ngoặc hội tụ nên đặt C  1    ...  s
2
 2


 n .C

Suy ra

n  n .C với mọi n 

Nên với mọi k 

ta có n k  n ka C  n  n k C

Cho k   ta được n  n .
Mặt khác, do 2 s  n  2 s 1 nên ta có 2s 1  n  2 s 1  n  n  2 s 1  n
Suy ra n  2s 1  2 s 1  n  2( s 1)  (2( s 1)  n)
( vì từ chứng minh trên cho ta  n  n nên  2s 1  n    2s 1  n  )


Do đó n  2 s 1   2s 1  2s 





1





1



Hay n  2( s 1) 1  (1  )   n .C ' . với C   1  (1  )  .
2 
2 


Thay n bởi n k với mọi k 
Cho k   , ta được n  n .
Vậy n  n với mọi n 

ta có n k  n k C '  n  n k C '


)



-Với x  , x  0 ta viết x 

m
, m, n  , n  0 thì ta có :
n


m  m 

x 
     xg
n

n
n
m





-Với x  , x  0 thì  x  0 nên ta có : x   x   x g  x g


Vậy x = x g với mọi x 
hợp 1 ta có

g

. Theo điều kiện tương đương của chuẩn trong trường

.

Trường hợp 2 : Nếu 2  1 thì

là chuẩn phi Archimede

Từ giả thiết 2  1 theo điều kiện tương đương của tính phi Archimede ta có n  1
với mọi n  .
Do

là chuẩn không tầm thường nên tồn tại n0 

sao cho n0 < 1.

Gọi p là số tự nhiên bé nhất thỏa p < 1 và p  0 . Khi đó p là số nguyên tố.
Thật vậy, giả sử p là hợp số thì p  p1. p2 với p1 , p2 là số tự nhiên và 1  p1 , p2  p .
Khi đó p  p1 p2  1 nên suy ra p1  1 hoặc p2  1 ( điều này mâu thuẩn với cách
chọn p )
Gọi q là số nguyên tố khác p. Ta chứng minh q = 1.
Vì n  1 với mọi n 

nên q  1

Giả sử q < 1 vì ( q k , p k ) = 1 nên tồn tại m,n 
Ta có

sao cho mp k  nq k  1 .

1  1  mp k  nq k  m p k  n q k  p k  q k

Cho k   ta được 1  0 , điều này vô lý. Vậy q  1 .
Lấy m  , m  0 , xét sự phân tích thành tích các thừa số nguyên tố của m như sau

m  p  p1 1 ..... p k  k và  i  0 nếu  m, pi   1 .
1
Từ định nghĩa chuẩn p ta có m p   
 p
k
1
2

Mặt khác m  p p1 . p2 ... pk

ord p  m 



1
 
 p


Vì p1  p mà p1 là số nguyên tố nên p1  1 , suy ra p1  1
1

Tương tự ta có p2  p3  ...  pk  1 .
3

2

 1 log 1p
m  p   
 p 

k



C

 log 1 p


 1  
1 p
C
  
     m p với C  log 1 p .
Nên

 p  
 p
p
m
- Với x  , x  0 ta viết x  , m, n  , n  0 thì ta có :
n
C
C
m mp m
C
x 
 C 
 xp
n
n p
n


p

p

C

C

- Với x  , x  0 thì  x  0 nên ta có : x   x   x p  x p
C

Vậy x = x p với mọi x 
hợp 2 này ta có

p

. Theo điều kiện tương đương của chuẩn trong trường

.

Định lý đã được chứng minh.
1.2.5. Xây dựng trường số số p-adic

p

Từ định lý Oxtropxki ta thấy chuẩn không tầm thường trên
thông thường

g

, hoặc là chuẩn phi Archimede

Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ
đầy đủ

theo

p

theo

g

p

là giá trị tuyệt đối

.

ta được trường số thực

ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic

Cụ thể cách xây dựng như sau :
-Kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo
S

x  x 
n

n

,

 xn   Cauchy

theo

p

p



-Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau:

xn  ~ y n   lim
xn  y n
n 
-Ta gọi

p

p

0

là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên :
p

S

và ta trang bị cho

. Vậy làm


p

x 
n

 xn   S



hai phép toán cộng và nhân sau :

p

.


Phép cộng :  xn    yn    xn  yn 
. yn    xn . yn 
Phép nhân :  xn 

Khi đó, ta có thể chứng minh các phép toán trên được định nghĩa tốt và không phụ
thuộc vào phần tử đại diện.
Hơn nữa, (

p

, ,.) là một trường với các phần tử đặc biệt được xác định như sau :

. Phần tử không :

0

. Phần tử đơn vị :

1

. Phần tử đối của  xn  là  xn 
. Phần tử nghịch đảo của  xn   0 được chỉ ra như sau :
Vì  xn  là dãy Cauchy mà  xn   0 nên xn 
 0 khi n   .
Nên theo mệnh đề 1.1.11 ta có N 
0
1 xn

Ta chọn dãy  yn  cho bởi yn  
Thì

sao cho n  N : xn  a  0 .
khi n  N
khi n  N
1

 yn  là dãy Cauchy và  yn    xn  .

-Trường

p

gọi là trường số p-adic

Với x   xn  

p

p

. Chuẩn trên

, ta định nghĩa : x p  lim xn
n 

p

p

xác định như sau :

(*).

Khi đó, ta dể dàng kiểm tra định nghĩa trên là hợp lý, thỏa các điều kiện của chuẩn .
Vậy

p

xác định theo công thức (*) là chuẩn trên

Mặt khác, ánh xạ j :



p

p

.

là một đơn cấu trường. Nên ta có thể xem

là trường con của

Do vậy với a  , ta có thể đồng nhất a với j  a   a 
a p  lim a p  a p
n 

trong
Nên

p

trong

p

p

thì j  a   a

được xác định theo qui tắc với a 

trong

là mở rộng của chuẩn trong

p

p

.

và ta có :


1.2.6. Định nghĩa đồng dư trong
Với a, b 

p

p

ta nói a  bmod p N  nếu a  b p  p  N .

Từ định nghĩa ta có nhận xét : nếu a, b  thì định nghĩa đồng dư trong
với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập hợp số nguyên

p

sẽ trùng

p

lập

.

1.2.7. Vành các số nguyên p-adic
Tập hợp

p



 a

p



/ a p  1 cùng với phép toán cộng và nhân trong

thành một vành. Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic.
Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành

P


 x 


p

1
/ 
x

p




  x


p

p

là



/ x p  1  x 

1.2.8. Biểu diễn p-adic của số x trong
Với mỗi số x 

P

p

/ x  0  mod p 

p

thì x viết được dưới dạng : x  b0  b1 p  ...  bn p n  ...

Trong đó 0  bi  p  1 với i = 1,2,3,…
Công thức này được gọi là biểu diễn p-adic của x trong
Nếu x 

p

p

.

không thỏa mãn điều kiện x p  1 thì x p  p m với m  .

Ta đặt x '  xp m thì x ' p  x. p m  x p m  p m . p  m  1 nên x 

p

.

Do đó theo chứng minh trên ta có : x '  b0  b1 p  ...  bn p n  ...
Suy ra x 

x
 b0 . p  m  b1. p  m 1  ...  bm  bm 1. p  ...

pm

Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của x có dạng:
x  c m p  m  c m 1 p  m 1  ...  c0  c1 p  ...  cn p n  ...

Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic của x trong
Vậy bất kỳ x 
Trong đó m 

p

đều có khai triển p-adic : x 



 c .p

i  m

p

i

i

sao cho x p  p m và ci  0,1,..., p  1 , c m  0

.

1.3. Tính chất tô pô của
Vì tô pô trong

p

là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính

p

chất khác lạ so với tô pô thông thường.
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất tô pô cơ bản của

p

nhằm

phục vụ cho chương 2 và chương 3.
1.3.1. Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong
Cho a 

p

p

và r là số thực dương ta định nghĩa :



 Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập hợp B (a, r )  x 

p



 Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập hợp B  a, r   x 



 Mặt cầu tâm a bán kính r là tập hợp D ( a, r )  x 
Từ định nghĩa ta thấy

p

p

: xa p  r
p

: xa p  r

: xa p  r

là hình cầu đóng tâm 0 bán kính bằng 1 và



*
p





là mặt cầu

tâm 0 bán kính bằng 1.
1.3.2. Mệnh đề
1. Mọi hình cầu, mặt cầu trong
2. Hai hình cầu bất kỳ trong

p

đều là những tập vừa mở, vừa đóng.

p hoặc

3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong

p

lồng nhau hoặc rời nhau.

đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô

số bán kính.
4.

p

chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu.

Chứng minh

1. Giả sử a 

p



và r  , r  0 xét hình cầu mở : B (a, r )  x 

p

: xa p  r



Hiển nhiên B(a,r) là tập mở. Ta cần chứng minh B(a,r) là tập đóng nghĩa là
p

\ B(a, r ) là tập mở.

Thật vậy, lấy bất kỳ b 

p

\ B(a, r ) điều này có nghĩa là b  a p  r . Gọi S(b,r) là

hình cầu mở tâm b, bán kính r . Lấy y  S (b, r ) suy ra y  b p  r .
Do đó b  a p  y  b p . Mặt khác y  a p  ( y  b)  (b  a) p

Theo nguyên lý tam giác cân, ta có: y  a p  b  a p
y  a p  r .Hay y 

Nên

S (b, r ) 

Suy ra
Vậy

p

p

p

\ B ( a, r ) .

\ B ( a, r ) .

\ B(a, r ) là tập mở. Hay B(a,r) là tập đóng.


D ( a, r )   x 

Tương tự, ta cũng có B  a, r   x 


 r

p

: xa p  r

p

: xa p

là những tập vừa mở, vừa đóng
Xét hai hình cầu mở B1(a,r) và B2(b,s). Giả sử B1(a,r)  B2(b,s)  Ø ta chứng

2.

minh chúng phải lồng nhau.
Giả sử rThật vậy từ giả thiết B1(a,r)  B2(b,s)  Ø. Suy ra tồn tại c  B1 a, r   B2 b, s 
c  a p  r và c  b p  s

Hay

Lấy y  B1 (a, r ) ta có y  a p  r
Do đó

y  b p  ( y  a )  (a  c)  (c  b) p  max





y a p , a c p , c b p  s

Suy ra y  B2 (b, s)
B1 (a, r )  B2 (b, s )

Vậy

Ngược lại, nếu s  r thì bằng cách chứng minh tương tự như trên, ta cũng có
B2 (b, s )  B1 (a, r )

Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tương tự.
3. Mọi hình cầu, mặt cầu trong

p

đều có vô số tâm. Mọi hình cầu đều có vô số

bán kính.
 Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số tâm.
Bây giờ với a 



mở B (a, r )  x 
Ta có

p

và r  , r  0 ta xét một điểm b bất kỳ b  a trong hình cầu
p

: xa p  r



b  a p  r (do cách chọn b)


Mặt khác nếu x  B(a, r ) thì x  a p  r . Khi đó
x  b p  ( x  a)  (a  b) p  max

Do đó





xa p , a b p  r

x  B(b, r ) . Nên ta có B  a, r   B  b, r 

Ngược lại, chứng minh tương tự như trên ta cũng có: B  a, r   B  b, r 
Vậy B  a, r   B  b, r  với mọi b  B  a, r 
Nói cách khác B  a, r  có vô số tâm.
Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm.
 Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính.
Trước hết, ta xét hình cầu mở B(a,r). Như ta đã biết hàm chuẩn
trị trong tập  p n / n 

  0 nên tồn tại n 

p

chỉ nhận các giá

sao cho: p n  r  p n 1

Ta chứng minh B(a,s) = B(a,pn+1) với mọi s thỏa p n  s  p n 1
Thật vậy, với mọi x  B(a, s ) ta có x  a p  s  p n 1 .Do đó x  B(a, p n 1 ) .
Nên ta có B  a, s   B  a, p n 1 
Ngược lại, với mọi y  B  a, p n 1  ta có y  a p  p n 1
Suy ra y  a p  p n  s . Hay y  B (a, s) và do đó ta có B  a, p n 1   B  a, s 
Vậy B(a, s)  B(a, p n 1 )
Suy ra với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa p n  r  p n 1 ta đều có B(a, r )  B(a, p n 1 )
Do đó B(a, r )  B(a, s ) với mọi s,r thỏa p n  s, r  p n 1 .
Điều này có nghĩa là mọi hình cầu mở B(a,r) có vô số bán kính.
Đối với hình cầu đóng B  a, r  luôn tồn tại n sao cho p n  r  p n 1 .
Ta sẽ chứng minh B  a, s   B  a, p n  với mọi s thỏa p n  s  p n 1
Thật vậy, với mọi x  B  a, s  ta có x  a p  s mà p n  s  p n 1
Nên x  a p  p n .Suy ra x  B  a, p n 
Ngược lại, với mọi y  B  a, p n  ta có y  a p  p n  s . Suy ra y  Ba, s 