Phương trình với ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Phan Tự Vượng

PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ
TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số

: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2009


LỜI CẢM ƠN
Tôi gởi cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Bích Huy đã tận tình
hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy trong
thời gian tôi học tập tại trường Đại học Sư phạm Tp HCM và đã tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong
quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Tp. HCM, tháng 10 năm 2009
Học viên

Phan Tự Vượng


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG ......................... 3
1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón .................................................. 3
1.2 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị ............................................................................ 10
1.3 Nguyên lý đệ quy tổng quát ......................................................................... 14
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG ......................... 19
2.1 Điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng ........................................................... 19
2.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm............................................................ 27
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ PHỤ THUỘC
THAM SỐ ........................................................................................ 39
3.1 Véctơ riêng của ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự............................. 39
3.2 Nhánh liên tục của tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa
trị phụ thuộc tham số..................................................................................... 43
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 47


1

MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Phương trình với ánh xạ đơn trị trong không gian có thứ tự đã

được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1940 trong các công trình mở đầu của
M.Krein và A.Rutman và được phát triển rực rỡ vào khoảng 1950-1980 trong các
công trình của M.A.Krasnoselskii , H .Schaffer, H.Amann, N.E.Dancer …….Các
kết quả trừu tượng của lý thuyến này đã có rất nhiều ứng dụng trong việc nghiên
cứu định tính và định lượng nhiều lớp phương trình và bất phương trình vi phân
xuất phát từ vật lý, hoá học, y-sinh học… Đặc biệt các định lý về điểm bất động của
ánh xạ đơn trị trong không gian có thứ tự được chứng minh và áp dụng rộng rãi
trong lý thuyết phương trình vi phân. Sử dụng bổ đề Zorn , nguyên lý Entropy ,
nguyên lý đệ quy tổng quát, … các nhà toán học đã bỏ được giả thiết liên tục và
compact của các ánh xạ. Do đó, một cách rất tự nhiên ngưới ta tìm cách mở rộng
các kết quả này sang đa trị và tìm ra các ứng dụng của nó trong lý thuyết phương
trình. Một số định nghĩa và định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị được
Nishnianidze, W. V. Petryshyn, P. M. Fitzpatrick….. đưa ra đầu tiên trong các công
trình của họ vào những năm 1970. Trong những năm gần đây các tác giả S.Carl ,
S.Heikkila , Nguyễn Bích Huy….. đã chứng minh một số kết quả mới và ứng dụng
của nó trong phương trình vi phân , bài toán kinh tế và lý thuyết trò chơi…..
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng các nguyên lý trên và phương pháp
xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng cũng như phương pháp bậc tôpô để nghiên cứu sự tồn
tại điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng , ánh xạ đa trị lõm và vectơ riêng của ánh
xạ đa trị trong không gian có thứ tự cùng áp dụng của nó trong phương trình với ánh
xạ đa trị phụ thuộc tham số.Các kết quả này gần giống với các kết quả ở trong đơn
trị.


2

2.

Nội dung luận văn
Nội dung của luận văn gồm có 3 chương:

Chương 1 nhắc lại các khái niệm, kết quả được sử dụng.Trong đó gồm có
các khái niệm về không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ; Bậc tôpô của ánh xạ
đa trị và Nguyên lí đệ quy tổng quát. Các kết quả này được trích dẫn từ các tài liệu
tham khảo.
Chương 2 gồm các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị .
Phần 2.1 trình bày điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng và áp dụng vào
phương trình dạng Lu  Nu

1

trong đó L : V  P là ánh xạ đơn trị và

N : V  2 P \  là ánh xạ đa trị với V, P là các tập được sắp thứ tự, phần này chúng

tôi tham khảo trong [3] , [4].
Phần 2.2 trình bày về điểm bất động của ánh xạ đa trị lõm. Đây là một số
mở rộng của một kết qủa cổ điển và một số kết quả trong [10],[11].
Chương 3 gồm các kết quả về phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc
tham số.
Phần 3.1 sử dụng bậc tôpô của ánh xạ đa trị cô đặc trình bày các kết quả về
vectơ riêng của ánh xạ đa trị cô đặc trong không gian có thứ tự . Các kết qủa này
chúng tôi tham khảo trong [8].
Phần 3.2 trình bày mở rộng của một kết qủa cổ điển về nhánh liên tục của
tập nghiệm dương của phương trình với ánh xạ đa trị phụ thuộc tham số.

3.

Phương pháp nghiên cứu

1.

Sử dụng các nguyên lí tổng quát về tập có thứ tự như bổ đề Zorn,

nguyên lí Entropy, nguyên lí đệ qui.
2.

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp dạng mở rộng.

3.

Phương pháp bậc tôpô.


3

Chương 1: CÁC KHÁI NIỆM - KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG
1.1 Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.1.1
Cho X là không gian Banach và K là tập con của X. K được gọi là nón nếu:
i)

K đóng, khác rỗng và K    .

ii)

a, b  ; a, b  0; x, y  K  ax  by  K .

iii)

x  K và  x  K  x  0

Ví dụ 1: Cho X 

n

Khi đó K là nón trong

.Ta xét K  1 ,  2 ,...,  n  :  i  ,  i  0, i  1, 2,..., n
n

.

Định nghĩa 1.1.2
Trong không gian Banach X với nón K, ta xét quan hệ  như sau:
x, y  X , x  y  y  x  K

Khi đó quan hệ  có các tính chất:
1) Phản xạ: x  x  0  K  x  x, x  X
2) Phản xứng: x, y  K , nếu x  y và y  x thì y  x  K và x  y  K .
Do iii) ta có y  x  0 nên x  y
3) Bắc cầu:
x, y , z  X nếu x  y và y  z thì y  x  K và z  y  K

Do ii) ta có z  x   y  x    z  y   K . Do đó x  z .
Vậy  là quan hệ thứ tự trên X.


4

Mệnh đề 1.1.1
Cho X là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K. Khi đó:
 x   y
i)   0, x, y, z  X ; x  y  
x  z  y  z

ii) Nếu xn  yn , n và lim xn  x, lim yn  y thì x  y.
n 

n 

iii) Nếu dãy  xn  tăng (giảm) và hội tụ về x thì xn  x,  xn  x  n.
Chứng minh
i)

Ta có x  y  y  x  K   y   x    y  x   K   x   y.

Tương tự x  y  y  x  K  y  x   y  z    x  z   K  x  z  y  z.
ii)

xn  yn  yn  xn  K .

Vì lim  yn  xn   y  x và K đóng nên y  x  K .Do đó x  y .
n 

iii)

Giả sử  xn  tăng. Với mỗi n, ta có xn  xn  m .

Cho m   ta có xn  x, n.

Định nghĩa 1.1.2
i)

Nón K trong X được gọi là nón miniheral mạnh nếu mọi tập M bị

chặn trên trong X đều tồn tại supM.
ii)

Nón K trong không gian Banach X được gọi là nón chuẩn nếu N  0

sao cho x, y  X , x  y thì x  N y
Khi đó số N được gọi là hằng số chuẩn của K.
iii)

Nón K trong X được gọi là nón đều (chính qui) nếu mọi dãy đơn điệu

tăng bị chặn trên trong X đều hội tụ.
iv)

Nón K trong X được gọi là nón tách (nón sinh) nếu
x  X , u , v  K : x  u  v


5

Ví dụ 2:
1) K   f  C 1  0,1 : f  0 không là nón chuẩn trong C1  0,1 .
2) K   x  C 1  0,1 : x  t   0, x  t   0, t   0,1 là nón chuẩn trong C1  0,1 .
3) Nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L  0,1 là nón đều trong L  0,1
4) Nón các hàm không âm trong C0,1 không là nón đều.

Mệnh đề 1.1.2
Cho K là nón chuẩn trong X . Khi đó:
i) u , v  X , u  v thì u,v   x  X : u  x  v là tập đóng và bị chặn.
ii) Nếu xn  yn  zn ,  n  1, 2,... và lim xn  lim zn  x thì lim yn  x
n 

n 

 

iii) Nếu dãy đơn điệu  xn n có dãy con xn

k

k

n 

hội tụ về x thì  xn n hội tụ về x

Chứng minh
i) u , v đóng:
Giả sử xn  u , v , n và lim xn  x .
n 

Ta có u  xn  v, n  u  x  v  x  u , v
u , v bị chặn:
x  u , v thì u  x  v  x-u  K, v-u  K và x-u  v-u

Vì K là nón chuẩn nên x  u  N v  u  x  u  N v  u

Do đó x  N v  u  u  M
ii) Giả sử xn  yn  zn , n  0  yn  xn  zn  xn
Do K là nón chuẩn nên yn  xn  N zn  xn
Vì lim xn  lim zn  x nên z n  xn  0.
n 

n 

Từ (*) cho n   thì yn  xn  0
Do đó yn   yn  xn   xn  x  n   

 *


6

 

iii) Giả sử  xn n là dãy tăng có dãy con xn

k

Ta có xn  x   , k0 : x  xn
k

k0





N

k

hội tụ về x

.

Ta có
xn  x, k và x n  xn nên x n  x, n
k

k

Khi đó n  nk thì
0

xn  xn  x  0  x  xn  x  xn
k0

k0

 x  xn  N x  xn

k0



Vậy lim xn  x .
n 

Định lí 1.1.1

Trong không gian Banach X với nón chuẩn K tồn tại chuẩn . * tương
đương với chuẩn ban đầu . sao cho
x, y  X , 0  x  y  x *  y *

Chứng minh

Đặt A   B  0,1  K    B  0,1  K 
* Ta chứng minh: B  0,1  A  B  0, r  , với r  0 đủ lớn.
+ Do 0  K    K  nên B  0,1  A.
+ Chứng minh A  B  0, r  , r  0 .
Thật vậy, nếu ngược lại ta có thể xây dựng dãy

 xn n  A

xn  n và y n , zn  B  0,1 , un , vn  K sao cho xn  yn  un  zn  vn

Vì un  vn  zn  yn nên un  vn  2
Do K là nón chuẩn nên un  N un  vn  2 N
Do đó n  xn  yn  un  1  2 N , n

(vô lý)

với


7

* Xét phiếm hàm Minkovski của tập A:
x


x *  inf   0 :  A x  A




* x  X , x  0, gọi 0  x * thì

x
x
 B  0,1 và
 A.
2 x
0

x
x
x
 A và
 B  0, r  nên x *  2 x và
r
2 x
0
x *

Theo trên ta có



1
x * x  r x *
2

Khi x  0 thì đẳng thức xảy ra.
Do đó chuẩn . * tương đương với chuẩn ban đầu .
y 
x

* Giả sử 0  x  y , ta có   0 :     0 : 
 



Thật vậy, xét  sao cho
Vì x  0 nên
Vì x  y nên
Mà

y



Do đó
Vì vậy

x


x



K 


y





y


x


y



A
0



x



x



 B  0,1  K

K

 K nên theo định nghĩa A ta có
x



A
x *  y *.

y



 u  v với u  B  0,1  K