Xây dựng các l hàm p adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
---------------oOo --------------

CAO TRẦN TỨ HẢI

XÂY DỰNG
CÁC L-HÀM p-ADIC

Chuyên ngành : ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số : 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS. MỴ VINH QUANG

Thành
phốNÓI
Hồ Chí
Minh – 2009
LỜI
ĐẦU


LỜI NÓI ĐẦU
Mặc dù các số p-adic đã được xây dựng hơn một thế kỷ nhưng giải tích p-adic
chỉ mới phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập trong khoảng
40 năm trở lại đây. Sự phát triển vượt bậc này chính là nhờ việc phát hiện những
mối liên quan sâu sắc của giải tích p-adic với những vấn đề lớn của số học và hình
học đại số. Chẳng hạn, A.Wiles đã dùng biểu diễn của các L-hàm p-adic của các
dạng modula như là một công cụ chủ yếu để chứng minh định lý Fermat lớn nổi

tiếng.
Vì vậy việc nghiên cứu các L-hàm, các L-hàm p-adic đóng một vai trò quan
trọng và then chốt trong lý thuyết số và chúng tôi đã chọn đề tài “ Xây dựng các Lhàm p-adic”.
Trong luận văn này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây
dựng các L-hàm p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các
L-hàm p-adic này tại s = 1 và tại các số nguyên s  2.
Về bố cục, luận văn được chia làm ba chương.
Chương 1. Đại số và giải tích p-adic. Trình bày các bước xây dựng trường số
p-adic p , nêu một số tính chất đại số và giải tích của trường p-adic, khái niệm
đại số các hàm chỉnh hình p-adic, đại số các hàm phân hình p-adic trên một tập mở
nào đó để làm nền tảng cho việc xây dựng L-hàm p-adic.
Chương 2. Hệ số Bernoulli và L-hàm phức. Bao gồm hai §.
§1 trình bày về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm về đặc trưng
Dirichlet từ đó định nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát
liên kết với các đặc trưng Dirichlet.
§2 đưa ra khái niệm hàm zeta và L-hàm phức liên kết với đặc trưng Dirichlet ,
nêu một số tính chất cơ bản của L-hàm phức như : phương trình đặc trưng của Lhàm phức, thặng dư của F ( z) z  n 1 tại z = 0, công thức L(1  n , )  

B n ,
n

với

n  1 và giá trị của L-hàm tại s = 1. Từ đó suy ra giá trị các hệ số Bernoulli tổng
quát và tính chất của hàm zeta.
Chương 3. Xây dựng L-hàm p-adic. Đây là chương quan trọng nhất của luận
văn, trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L-hàm
p-adic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và giá trị của nó tại s = 1 dựa
theoIwasawa, đặc biệt chúng tôi đã tính giá trị L-hàm p-adic tại các điểm nguyên
dương bằng cách sử dụng - biến đổi của một hàm số. Cụ thể chương III gồm năm

§.
§1. Phép nội suy hàm phân hình p-adic. Tìm điều kiện cần, điều kiện đủ để một
dãy số p-adic trong p có thể nội suy thành hàm phân hình p-adic.


§2. L-hàm p-adic. Như ta đã biết L(1  n, )  

Bn,

 () là các số đại số
n
trên  nên ta xem chúng thuộc  p . Một vấn đề đặt ra là có tồn tại hàm phân hình

p-adic f sao cho f(1  n)  

Bn,
n

 L(1  n, ) , n  0 hay không ? Rất tiếc dãy

 Bn, 

 không phải là dãy nội suy p-adic. Vì vậy chúng ta phải chỉnh sửa một
n


chút để có được dãy nội suy p-adic. Trong § này chúng tôi chứng minh dãy

 bn 
n

n 1
   với b n  1   n (p)p B n , ,  n   là dãy nội suy
 n
đó tồn tại hàm phân hình p-adic thoả L p (1  n,  )  

p-adic. Do

bn
được gọi là L- hàm p-adic
n

liên kết với đăc trưng .
§3. Toán tử – biến đổi. Xây dựng – biến đổi và một số tính chất của nó.
– biến đổi được xem như là một “công cụ” hữu hiệu để tính giá trị của L – hàm
p-adic tại các điểm nguyên dương.
§4. Công thức tính L p (1, ) . Xây dựng chi tiết cách tính giá trị của L-hàm padic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại s = 1.
§5. Công thức tính giá trị L-ham p-adic tại các điểm nguyên dương. Xây dựng
chi tiết cách tính giá trị của L-hàm p-adic liên kết với đặc trưng Dirichlet tại tại
các số nguyên s  2.
Do khả năng và trình độ có hạn, trong luận văn này chắc chắn còn nhiều sai sót.
Rất mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng
nghiệp.
Nhân dịp này chúng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô ở Trường Đại học Sư
phạm Tp Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ trong suốt quá
trình học tập. Đặc biệt xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang đã
trực tiếp ra đề tài hướng dẫn và cho những ý kiến quí báu.
Tp.HCM, ngày 01/06/2009
Người thực hiện
Cao Trần Tứ Hải

CHƯƠNG 1.
ĐẠI SỐ V GIẢI TÍCH p-ADIC.
Trong chương ny chng tơi trình by những kiến thức cơ bản nhất về đại số v giải
tích p-adic để phục vụ cho phần chính của luận văn (chương 3).

§1. CÁC TRƯỜNG SỐ p-ADIC.
1.1.1. Trường số p-adic.
Cho trước số nguyên tố p, mọi x   \ 0 đều có thể phân tích được dưới dạng
x  p p11 p2 2 ..pk k trong đó p,p1 ,p2 ,...,p k là các số nguyên tố phân biệt và
, 1,...,  k   .  được gọi là chỉ số p-dic của x, kí hiệu   ord p (x) . Ta qui

ước

ord p (0)   . Với mọi x, y



dễ dàng chứng minh được





ord p (xy)  ord p (x)  ord p (y) và ord p (x  y)  min ord p (x),ord p (y) . Khi đó

ánh xạ trên  được xác định bởi
 pord p (x) khi x  0

khi x= 0

0
lập thành chuẩn phi Archimade trên  , nghĩa là
i) x  0, x  , x  0  x  0 .
x p

 ord p (x)

ii) xy  x y , x,y  .

iii) x  y  max  x , y  , x,y  .
Nguyên lý tam giác cân có vai trò hết sức quan trọng trong trường với chuẩn
phi Archimade : “Nếu x  y thì x  y  max  x , y  ”.
Chú ý rằng trên trường  với chuẩn trên là không gian định chuẩn không đầy
đủ. Ta xây dựng được trường bao đủ  p của  , chuẩn trên  p là sự mở rộng
chuẩn trên  .
Mỗi phần tử trong  p đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
x  a m p m  ...  a0  a1p  ...  an pn  ... với 0  ai  p  1 , i  - m, a m  0

được gọi là biểu diễn p-dic của x, khi đó x  pm .
Trường  p có các tính chất đặc trưng sau đây.


i)  p chứa  .
ii)  trù mật trong  p .
iii)  p đầy đủ.
Trường thoả ba tính chất trên được xác đinh duy nhất. Trường  p được gọi là
trường

số

p-adic.



Trường



p

không

đóng

đại

số.

Vành  p  x   p : x  1   p được gọi là vành các số nguyên p-adic. Đây là





vành địa phương với ideal tố đại duy nhất p p  *p  x   p : x  1 .  p là

tập compact nên  p compact địa phương. Các tập , ,m  

m  p  1 trù

mật trong  p với tôpô cảm sinh từ  p .
Trường k   p / p p   / p  Fp được gọi là trường thặng dư của  p . Tập



 p*  x

 



x   p*  p r r   cùng với phép nhân lập thành một nhóm gọi

là nhóm giá trị của  p .
Gọi  p là bao đóng đại số của  p , với mỗi    p , ta gọi
x n  an 1x n 1  ...  a0   p  x  là đa thức tối tiểu của  . Khi đó  p cùng với

chuẩn được xác định bởi   a0

1
n

là không gian định chuẩn phi Archimade chứa

 p . Lúc này  p lại không đầy đủ theo chuẩn trên. Bao đủ của  p là không gian

p-adic phức  p . Đồng thời ta cũng có  p không compact địa phương.  p có
trường thặng dư k
*



p  x

khi

*

x  p



là bao đóng đại số của k  Fp , nhóm giá trị





 p r r   . Dãy x n    p là dãy Cauchy khi và chỉ

lim x n 1  x n  0 . Nếu lim x n  x  0 thì tồn tại N > 0 sao cho

n 

n 

x  x n , n  N .
Cho K là trường với chuẩn phi Archimade, M  0 là số p-dic cho trước.
a,bK, ta nói a quan hệ đồng dư với b theo modulo M nếu a  b  M . Kí hiệu
a  b ( mod M ) . Trên trường với chuẩn phi Archimade, quan hệ đồng dư theo

modulo M là một quan hệ tương đương.
Tiêu chuẩn Eisenstein : “Cho đa thức f(x)=an x n +...+a1x  a0 , với

ai   p , i  0,n thoả mãn ai  0 (mod p) với 0  i  n  1 , an  0 (mod p),

a0  0 (mod p2 ). Khi đó f(x) bất khả quy trên  p .”


1.1.2. Căn của đơn vị và đại diện Teichmuller .
Căn bậc n của đơn vị trên trường F là nghiệm nào đó của đa thức x n  1 . Tập
các căn bậc n của đơn vị lập thành nhóm cyclic cấp n. Căn của đơn vị là một căn
bậc n của đơn vị với n là một số nguyên dương nào đó.  được gọi là căn nguyên
thuỷ bậc n của đơn vị nếu nó là phần tử căn bậc n của đơn vị và không tồn tại số
nguyên dương m < n sao cho  là căn bậc m của đơn vị, nói cách khác  có cấp là
n trong nhóm cyclic các căn bậc n của đơn vị hay  là phần tử sinh.
Bổ đề Hensel : “Cho
F(x)  c0  c1x  ...  cn x n   p  x  . Gọi
F '(x)  c1  2c2  ...  ncn x n 1   p  x  là đa thức đạo hàm của F(x).Cho
a   p sao cho F(a)  0 (mod p) và F '(a)  0 (mod p) . Khi đó tồn tại duy nhất

b   p là nghiệm của đa thức F(x) và b  a (mod p) ”

Áp dụng bổ đề Hensel, ta suy ra được trên trường  p , phương trình
x p  x  0 luôn có p nghiệm phân biệt a0 ,a1,...,ap 1 thoả ai  i (mod p) . Các

nghiệm này tương ứng được gọi là các đại diện Teichmuller của 0,1,...,p  1 .
Nhận xét rằng các đại diện Teichmuller của 1,2, . . , p -1 là các căn bậc p -1 của
đơn vị. Hơn nữa nếu p > 2 thì các đại diện Teichmuller của 2,3, . . . , p -1 không là
số hữu tỉ.
Với mỗi a   p , tồn tại duy nhất một đại diện Teichmuller ai 0 sao cho

ai 0  a (mod p) . Kí hiệu (a)  ai0 được gọi là đại diện Teichmuller của a. Khi đó

có thể kiểm tra được (ab)  (a)(b) và (a  p)  (a) . Đặt



U = *p  x   p



x  1 , D  1  q p

khi p >2
 p
với q   2
, khi đó U là nhóm nhân các số nguyên p-dic khả nghịch
p
khi
p=2

và D là nhóm con của U chứa tất cả các phần tử dạng 1  qa , a   p . Đặt

V  1 nếu p = 2, đặt V là nhóm cyclic gồm tất cả các căn bậc p -1 của đơn vị
nếu p > 2. Với mỗi a  U , ta dễ dàng chứng minh được (a)  a (mod q) do đó

 (a)1 a  1 (mod q) . Đặt  a 

1

  (a)  a  1  q p  D , khi đó a được biểu

diễn thành tích của (a)  V và  a  D . Rõ ràng cách biểu diễn này là duy nhất
nên U  V  D .
Gọi    là trường gồm tất cả các số phức đại số trên  . Do    p nên
   p và mọi căn đơn vị trong  p đại số trên  nên đều nằm trong  . Nhóm
V   p có thể đồng nhất với nhóm nhân các căn bậc p – 1 của đơn vị trong

   p ( nếu p > 2) hoặc là đồng nhất với nhóm nhân căn bậc hai của đơn vị


trong    p

(nếu p = 2). Vì vậy ta có thể xem (a)   , (a) đại số trên  .

 : a  (a) từ    được gọi là đăc trưng Teichmuller.
Khi đó ánh xạ
Trên trường  p , nếu p > 2 thì căn bậc n của đơn vị tồn tại khi và chỉ khi
n = p –1, nghĩa là căn đơn vị trong  p chỉ có thể là các đại diện Teichmuller khác
không, nếu p = 2 thì căn đơn vị chỉ có thể là 1 hoặc – 1 . Trên trường  p đóng
đại số nên tập căn bậc n của đơn vị gồm n số khác nhau.

§2. CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC p-ADIC.
1.2.1. Hàm chỉnh hình p-dic.
Trên trường con K của trường p-dic đóng đại số  p , xét chuỗi vô hạn
nhận thấy

 n

hội tụ khi và chỉ khi lim  n  0 .

x 


 an x n

Ta gọi bán kính hội tụ của f(x) 

n0


1

r


lim  sup an
n  

1
n





. Chuỗi

 an x n

 an x n

(an   p ) là số thực được xác định

hội tụ nếu x  r , phân kỳ nếu x  r . Nếu

n0

tồn tại x 0  K, x 0  r sao cho


 n , ta



 an x0n

hội tụ ( hoặc phân kỳ ) thì chuỗi

n0

hội tụ ( hoặc phân kỳ ) x  K, x  r .

n0

Xét chuỗi luỹ thừa f(x) 



 an x n

(an  K) , với x cố định thoả x  r , nếu

n0

f(x) hội tụ thì f(x) có đạo hàm f '(x) 



 nan xn 1

, hơn nữa f’ và f có cùng bán

n 1

kính hội tụ. Từ đó suy ra hàm f(x) khả vi vô hạn lần. Vì lý do đó ta gọi hàm
f(x) 



 an x n

n0



(an  K)

BK (0, r)  x  K

là

hàm



chỉnh

hình

trong

quả

cầu

mở

x  r . Thương hai hàm chỉnh hình trên một tập mở nào đó

gọi là hàm phân hình trên tập mở đó.


1.2.2. Đại số Banach các hàm chỉnh hình PK .
Gọi K là trường mở rộng hữu hạn của  p sao cho K   p . Khi đó K là
trường compact địa phương với tôpô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimade trên K.
Gọi K[[x]] là đại số của tất cả các chuỗi hàm luỹ thừa hình thức của x. Với mỗi
A  A(x) 



 an x n

 K[[x]] ta định nghĩa A  sup an . Đặt

n0

n



PK  A  K[[x]]



A  .

Rõ ràng PK là đại số con của K[[x]] và K[x]  PK  K[[x]] , K[x] trù mật trong
PK .
Với A 



 an x n

 PK và    p thoả mãn   1 ta có

n0

n

an n  A   0 khi n   .





Do đó A chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1)  x   p

x  1 . Nhưng hàm

chỉnh hình trong quả cầu mở B(0,1) chưa hẳn thuộc PK .
A(x),B(x)  PK ;

A(x) 



 an xn , B(x) 

n0



 bn x n

ta dễ dàng khẳng định

n0

được

i) A  0,

A  0  A  0.

ii) A  B  max  A , B  .

iii) cA  c A ,

AB  A B .

Vậy (PK , . ) là đại số định chuẩn trên trường K.
1.2.3. Mệnh đề.
( PK , . ) là đại số Banach trên trường K.
Chứng minh. Giả sử
A k (x) 

A k 

là dãy Cauchy



n (k)
 a(k)
n x , an  K .

n0

Ta

có

bất kỳ trong (PK , . ) ,

(l)
A k  A l  sup a(k)
n  an  0
n

 k là dãy Cauchy trong K với n  0 nên

k,l  0 . Suy ra a(k)
n

đặt A  A(x) 



 an x n

n0

 K[[x]] ta chứng minh

(PK , . ) . Thật vậy, A k  là dãy Cauchy suy ra

A k 

khi

lim a(k)
n  an  K ,

n 

hội tụ về

A trong


(l)
  0 , N  0 : sup a(k)
n  an  , k,l  N .
n

Cho l   ta được sup a(k)
n  an  , k  N . Đặc biệt với k = N ta có
n

sup a(N)
n  an   ,
n







an  max , A N , n . Do đó



(N)
an  max a(N)
, n
n  an , an

mà



A n  max , A N

nên

 hay A n  PK . Hơn nữa từ

sup a(k)
n  an  , k  N suy ra A k  A  , k  N nên lim A k  A trong
k 

n

PK . Vậy PK là đại số Banach.
1.2.4. Hàm logarithm p-adic.

(1)n 1 n
Chuỗi hàm luỹ thừa log(1  x)  
x có bán kính hội tụ là 1 trong  p .

n
n 1



Đặt D     p





-1  1 khi hàm số log : D   p xác định bởi
(1)n
log  log 1  (  1)  
(  1)n
n 1 n


được gọi là hàm logarithm p-adic. Sau đây là các tính chất cơ bản của hàm
logarithm p-adic.
log(xy) = logx + logy ,  x,y  D
 n
x
.
và log ex  x, elogx  x trong đó ex  
n!
nn
Bây giờ ta thác triển hàm logarithm p-adic từ log : D   p thành
*

*

log :  p   p mà vẫn đảm bảo tính chỉnh hình. x   p , giả sử x  p r

với

a
 , (a,b) = 1 . Ta gọi x p   p là nghiệm nào đó của đa thức x b  pa suy
b
b
x
  1 . Ta có x1 =(x1 )  x1 
ra x p  pa . Khi đó x1 =   p     p
xp
r=

 





với (x1 ) là đại diện Teichmuller tổng quát của x1 ,  x1  nằm trong quả cầu mở
B(1,1) = D . Do đó x=x p(x1 )  x1  . Đặt
(1)n
logx  log  x1  
( x1  1)n ,
n 1 n


khi đó logx không phụ thuộc vào cách chọn nghiệm x p và là hàm chỉnh hình trên
*

 p . Đồng thời hàm này có các tính chất sau :


i) logx 

(1)n
 n (x  1)n với x  1  1 .
n 1


*

ii) log(xy) = logx + logy ,  x,y   p .
x

iii) log e  x, e

logx

xn
 x trong đó e  
.
n!
nn

iv) logp = 0.
*

v) log :  p   p là toàn ánh.

x




CHƯƠNG 2.
HỆ SỐ BERNOULLI VÀ L-HÀM PHỨC.
Chương này không liên quan gì với p-adic . Chúng tôi trình bày những kiến thức
về hệ số Bernoulli, đa thức Bernoulli, nêu khái niệm đặc trưng Dirichlet từ đó định
nghĩa hệ số Bernoulli tổng quát, đa thức Bernoulli tổng quát liên kết với các đặc
trưng Dirichlet và L-hàm phức liên kết với các đặc trưng Dirichlet. Một vài kết
quả mang tính hệ thống về tính chất của L-hàm phức chỉ được nêu ra không chứng
minh. Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1].

§1. HỆ SỐ BERNOULLI. ĐA THỨC BERNOULLI.
2.1.1. Hệ số Bernoulli.
Hệ số Bernoulli thứ k (kí hiệu Bk) l tích của k! với hệ số thứ k trong khai triển
t.et
Taylor của hm F(t)  t
tại t =0.Tức là F(t) được khai triển theo chuỗi hm luỹ
e 1
thừa của

tn
F(t)   Bn
.
(2.1)

n!
n0

Do đó Bn là đạo hm cấp n của F(t) tại t = 0, Bn = F(n)(0). R rng cc Bn , n  0 l số
1
1
hữu tỉ B0 = 1, B1 = , B3 = , B3 = 0 , . . Ta cĩ
2
6
te t
t
tet
F(t)   t

 t  t
 t  F(t) .
e  1 et  1
e 1
Khai triển Taylor tại t = 0 hai vế ta được


tn
tn
n
(
1)
B
t
B






 n n! .
n
n!
n0
n0

Suy ra B0 = 1, Bn  0 với n chẵn khc khơng, B1 =
2.1.2. Đa thức Bernoulli.
Xt hm hai biến F(t,x)  F(t).etx 
t tại t = 0, ta được

t.e(1 x)t
et  1

1
, Bn = 0 với n lẻ lớn hơn 1.
2

, khai triển Taylor hàm F(t,x) theo biến


F(t,x) 



 Bn (x)

n0

tn
.
n!

(2.2)

Khi đó Bn(x) được gọi là đa thức Bernoulli thứ n  0. Vì F(t,x) = F(t).etx nn

tn  
t n   n t n 
B
(x)
B
x


 n n!   n n! 
 

n0
 n0
 n  0 n! 
n n
 
suy ra
(2.3)
Bn (x)     Bi x n  i với n 0.

i


ni
Vì vậy Bn(x) là đa thức với hệ số hữu tỉ. Do B0 = 1 nn Bn(x) là đa thức đơn hệ bậc
1
1
n, hơn thế nữa B0 (x) = 1, B1(x) = x + , B2(x) = x2 + x + , . . v
2
6
n n
 
Bn (0)     Bi 0n  i  Bn v ới n  0.
ni  i 
2.1.3. Đặc trưng Dirichlet.

*

2.1.3.1. Cho f l số nguyn dương,   / f  l nhĩm nhn gồm tất cả lớp cc số nguyn
*

tố cng nhau với f theo modulo f. Mỗi đồng cấu nhóm  :   / f   * từ

  / f *

đến nhóm nhân các số phức khác không * được gọi là một đặc trưng

Dirichlet theo modulo f.  biến đơn vị thnh đơn vị nn ( 1  f ) = 1.
R rng ảnh của  chỉ chứa những căn của đơn vị trong  , do đó ảnh của  chỉ
gồm các số phức đại số trên  .

Cho  là một đặc trưng Dirichlet theo modulo f. Khi đó ta có thể định nghĩa
 ' :    xác định bởi
(a  f) khi (a,f)=1
.
 '(a)  
0
khi
(a,f)>1

Khi đó  ' cĩ cc tính chất
i)  '(a)   '(a  f), a   ;
ii)  '(ab) =  '(a) '(b), a,b   ;
iii)  '(a)  0 khi v chỉ khi (a,f) = 1.
Ngược lại với mỗi ánh xạ  ' :    thỏa ba tính chất trên ta cũng xác định được
*

đặc trưng Dirichlet  theo modulo f : (a  f)   '(a),  a  f    / f  . Do
đó ta có thể xem đặc trưng Dirichlet  theo modulo f l nh xạ  :    thỏa mn
ba tính chất như trn.
Cho ’ là một đặc trưng Dirichlet theo modulo n, với n là ước số của f. Khi đó
ánh xạ  :    được xác định


 '(a) khi (a,f)=1
(a)  
khi (a,f)>1
0
là đặc trưng Dirichlet theo modulo f. Ta nói đặc trưng  được cảm sinh từ đặc
trưng ’. Ta gọi đặc trưng Dirichlet theo modulo f là nguyên thủy nếu không tồn
tại đặc trưng ’ theo modulo n với n < f sao cho  được cảm sinh từ ’. Khi đó f

được gọi là conductor của .
Cho p l số nguyn tố, a   , (a)   p   là đại diện Teichmuller của a.

Dễ dàng chứng minh được ánh xạ  :    là đặc trưng Dirichlet nguyn thủy
4 khi p = 2
với conductor q  
và được gọi là đặc trưng Teichmuller.
 p khi p > 2
Cho 1, 2 là hai đặc trưng nguyn thủy với conductor tương ứng là f1, f2 . Khi
đó tồn tại duy nhất một đặc trưng nguyn thủy  với conductor f chia hết f1f2 sao
cho (a) = 1(a)2(a) , a  thoả (a, f1f2)=1.  được gọi là đặc trưng tích của 1
và 2, kí hiệu  = 1.2. Tập tất cả các đặc trưng Dirichlet nguyên thủy cùng với
phép toán nhân ở trên lập thành nhóm Abel với
+ Đặc trưng đơn vị 0 thoả 0(0) = 1, a   \{0} được gọi là đặc trưng tầm
thường. 0 có conductor f 0  1 .
+ Đặc trưng nghịch đảo của đặc trưng  là đặc trưng liên hợp  : (a)  (a) ,
a  .
Nhận xét rằng nếu (N,f) = 1 thì (a)  (N).(aN) . Thật vậy , ta cĩ (N)  (N)
(N)  0 (vì

v

(N,f) = 1)

nn (N).(N)  (N).(N)  1 v do đĩ

(a)  (N).(N).(a)  (N).(aN) .
Cho đặc trưng nguyên thủy bất kỳ 
f

với conductor

f = f > 1,

xét tổng S   (a) , do  là đặc trưng không tầm thường nên tồn tại a0 sao cho
a 1

(a0)



1,

khi

 / f  a+f

đó

f

f

a 1

a 1

a=1,2,...,f  a0a  f a=1,2,...,f nn

(a0 ).S   (a0 )(a)   (a0a)  S kéo theo ((a0) – 1 )S = 0 do đó

f

S   (a)  0

(2.4)

a 1

(-1)(-1) = (1)
khi (-1)=1
0
    
khi (-1)=-1
1
Từ



ta được (1)  (1)  .

=

1

suy

ra

(-1)

=



1,

đặt


2.1.3.2. Bổ đề.
Cho  là đặc trưng Dirichlet với conductor f > 1, p > 1 là một ước số của f.

f
Khi đó tồn tại x   sao cho   1  x.   1 .
p

Chứng minh. Nếu p = f bổ đề hiển nhiên đúng nên ta chỉ xét p < f. Giả sử phản

f
f
chứng x   ,   1  x.   1 . Chú ý rằng nếu (a,f) = 1 thì (a, ) =1, chiều
p
p

ngược lại không đúng. Xét ánh xạ  ' :    xác định bởi
f

0
khi
(a,

) 1

p

 '(a)  (a) khi (a,f) = 1
.

f
1
khi (a,f) > (a, )  1
p


f
, tức là chứng minh  '
p
thoả ba tính chất sau.Chứng minh i), với mỗi x   . Xét ba trường hợp sau.
f
f
Nếu (a, )> 1 thì  '(a)  0   '(a  ) .
p
p
f
f
Nếu (a,f) > (a, )  1 thì  '(a)  1   '(a  ) .
p
p
Nếu (a,f) = 1 thì tồn tại x,y   sao cho ax + fy = 1. Ta có
f
f

f
f
 '(a)  (a)  (a)(1  x. )  (a  ax. )  (a   fy. )
p
p
p
p
f
f
 (a  )   '(a  ) .
p
p
f
Tóm lại '(a)   '(a  ) , x   hay ' thỏa i). ' thỏa ii), iii) là hiển nhiên. Vì
p
f
vậy  được cảm sinh từ đặc trưng ' theo modulo < f. Điều này mâu thuẫn với
p
tính nguyên thủy của  .
2.1.4. Hệ số Bernoulli tổng quát. Đa thức Bernoulli tổng quát.
2.1.4.1. Cho đặc trưng  với conductor f = f. Khai triển Taylor của hàm số
f
(a).t.eat
F (t)   ft
tại t = 0, ta được
a 1 e  1

Ta chứng minh  ' :    là đặc trưng theo modulo

F (t) 



 Bn,

n0

tn
.
n!

Bn, được gọi là hệ số Bernoulli tổng quát thứ n  0.

hàm số F (t,x)  F (t)ext 

f



a 1

(a).t.e(a  x)t
eft  1

(2.5)
Khai triển Taylor của

tại t = 0, ta được

tn
F (t,x)   Bn, (x)
n!
n0


(2.6)

Bn, (x) được gọi là đa thức Bernoulli tổng quát thứ n  0. Ta có
F (t,x)  F (t)ext

tn  
t n   n t n 
  Bn, (x)    Bn,   x



n!
n!
n!
n0
 n0
 n  0

n n
 
 Bn, (x)     Bi, x n  i với n 0
i
i0  


(2.7)

Gọi () là trường mở rộng của  bởi các số đại số (a) , a = 1,2, . . ,f (nghĩa
là () = ((1), (2),..., (f)) ). Rõ ràng Bn,  () là số đại số trên  nên

Bn, (x)  () x  .

2.1.4.2. Nếu  = 0 (f = 1) thì F(t) = F(t) và F(t,x) = F(t,x) nên Bn,0  Bn và

Bn,0 (x)  Bn (x) với n  0. Bây giờ ta xét   0 khi đó
n n
 
Bn, (0)     Bi, 0n  i  Bn, , n  0
i
i0  
f

và B0,  1  (a)  0
f a 1

là hệ số của x n trong đa thức Bn, (x) . Suy ra Bn, (x) là đa thức có bậc bé hơn n
( lưu ý Bn(x) là đa thức có bậc bằng n). Xét
f
f
(a)( t)e(a  x)t
(1)(f  a)te(f  a  x)t
 (1)F (t,x)
F (t,  x)  


 ft
ft
e

1

e
1
a 1
a 1




 (1)n Bn, (x)

n0


tn
tn
 (1)  Bn, (x)
n!
n!
n0

 (1)n Bn, ( x)  (1)Bn, (x) với n  0

 (1)n Bn,  (1)Bn, với n  0 (cho x = 0)

 (1)n Bn,  (1) Bn, với n  0

Suy ra Bn,  0 nếu n   (mod 2) đồng thời ta cũng có Bn,  0 nếu n  
(mod 2) (Ta sẽ chứng minh điều này dựa vào phương trình đặc trưng của L-hàm ở
phần sau).
f
(a)te(a  x)t
2.1.4.3. Xét F (t,x)  
e ft  1
a 1
(1

f

a f  x
)ft
f

1
(a)(ft)e
1 f
 af x
 
  (a)F  ft,
,
ft
f a 1
f a 1
f



e 1
khai triển Taylor tại t =0, ta được
n

 
tn 1 f
 a  f  x  (ft) 


B
(x)
(a)
B

 n, n! f    n  f  n! 
n0
a 1
 n0

n

 
tn
1 f
af xt 
  Bn, (x)     (a)f n Bn 
 
f

n!
f

 n! 
n0
n  0  a 1
1 f
 a  f  x 
(2.8)
Bn, (x)    (a)f n Bn 

  với n  0
f  a 1
f


Thay x = 0 vào ta được
1 f
 a  f 
(2.9)
Bn,    (a)f n Bn 
  , n  0
f  a 1
 f  
k

2.1.4.4. Với mỗi k  1, đặt Sn, (k)   (a)an , n  0 ( chú ý rằng nếu  = 0 thì
a 1

k

Sn, (k)  Sn (k)   an ), ta có
a 1

f

F (t,x)  F (t,x  f)  

a 1
f

(a)te(a  x)t
eft  1

f



a 1

(a)te(a  x  f)t
eft  1

 eft
1 
  (a)te(a  x  f )t  ft
 ft
 e  1 e  1 
a 1



f

 F (t,x)  F (t,x  f)   (a)te(a  x  f)t .
a 1

Khai triển Taylor tại t = 0 hai vế ta được
f
  (a  x  f)n t n 
tn



 Bn, (x)  Bn, (x  f) n!   (a)t  
n!

n0
a 1
n
0









tn



B
(x)
B
(x
f)


  n,
n,
 n! 

n0

n 1 
 f
n t
(n
1)
(a)(a
x
f)





  
(n  1)! 

n  0  a 1

tn




B
(x)
B
(x
f)
  n,
n,
 n! 

n
 f
n 1 t 



n
(a)(a
x
f)


 
n!

n 1  a 1






n 1





 f

Bn, (x)  Bn, (x  f)  n   (a)(a  x  f)n 1  , n  1



 a 1

Cho n tăng lên 1 đơn vị suy ra
f

Bn 1, (x)  Bn 1, (x  f)  (n  1)  (a)(a  x  f)n , n  0
f

a 1

Với n = f , Bn 1, (f)  Bn 1, (0)  (n  1)  (a)an

a 1
f

Với n = 2f, Bn 1, (2f)  Bn 1, (f)  (n  1)  (a)(a  f)n
a 1

............................................
f

Với n = kf , Bn 1, (kf)  Bn 1, ((k  1)f)  (n  1)  (a)  a  (k  1)f 

n

a 1

Cộng vế theo vế ta được
Bn 1, (kf)  Bn 1, (0)
f

n

f

n

f

 (n  1)  (a)a  (n  1)  (a)(a  f) +….+ (n  1)  (a)  a  (k  1)f 
a 1

a 1

n

a 1

f
f
 f
n
 (n  1)   (a)an   (a  f)(a  f)n  ....     a  (k  1)f  a  (k  1)f  
a 1
a 1
 a 1


 kf

 (n  1)   (a)an   (n  1)Sn, (kf) .


 a 1

1
 Bn 1, (kf)  Bn 1, (0) với n,k  0.
Suy ra Sn, (kf) 

n 1 
0
Đặc biệt với  =  ta có

(2.10)


Sn (k) 

1
 Bn 1(k)  Bn 1(0) với n,k  0.
n 1

(2.11)

§2. L-HÀM DIRICHLET PHỨC.
Trong § này chúng tôi trình bày L–hàm Dirichlet phức, hàm zeta và một số
tính chất của chúng. Một vài chứng minh liên quan đến giải tích phức như phương
trình đặc trưng của L-hàm phức, thặng dư của hàm phưc F (z)z  n 1 , . . .không
được chứng minh ở đây. Bạn đọc nào quan tâm xin xem [1].
2.2.1. Khái niệm hàm zeta và L–hàm.

1
Với mỗi số phức s có Re(s) >1, chuỗi số (s)   s hội tụ đồng thời (s)
n 1 n
chỉnh hình trên nữa mặt phẳng phức Re(s) >1. Hàm (s) có thể thác triển thành
hàm phân hình trên mặt phẳng phức
1
(s)  
1 
qP 
 1  s 
 q 

với P là tập tất cả các số nguyên tố. Hàm (s) được gọi là hàm zeta phức. Hàm
này có một cực điểm đơn duy nhất s =1 với thặng dư bằng 1 (nghĩa là
lim (s  1)(s)  1 ).
s1

Tổng quát hơn, cho  là đặc trưng Dirichlet, chuỗi L(s, ) 



 (n)ns

hội tụ

n 1

tuyệt đối với Re(s) > 1. Khi đó L(s, ) là hàm chỉnh hình trên nữa mặt phẳng phức
Re(s) >1 và được gọi là L–hàm phức đối với đặc trưng . Đặc biệt nếu  = 0 thì
L(s,  0 )  (s) . Hàm L(s, ) có thể được biểu diễn bằng tích vô hạn


qP

L(s, )   1  (q)q s



1

.

Vì vậy L(s, )  0 với Re(s) > 1. Nếu    0 , L-hàm được biểu diễn bằng tích vô
hạn này chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức.


Với s là số phức cho trước, tích phân suy rộng (s)   xs 1e x dx luôn hội tụ
0

và được gọi là hàm gamma. Bằng qui nạp có thể chứng minh được
(n)  (n  1)! với n   . Hàm gamma có tính chất đặc trưng



, s   .
(1  s)sin  s
Tiếp theo là một số tính chất cơ bản của L(s, ) .
2.2.2. Tính chất cơ bản của L(s, ) .
2.2.2.1. Phương trình đặc trưng của L-hàm
(s) 

s

()  2 
L(1  s, )
L(s, )    
2i  f  (s)cos (s  )
2
f

trong đó = và ()  

2 ia
(a)e f

(2.12)

(được gọi là tổng Gauss của đặc trưng 

a 1

).

f

Kí hiệu F (z)  

a 1

(a)eaz
efz  1

, F (z) là hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Khi

L(1  n, )
là thặng dư của hàm F (z)z  n 1 tại z = 0 với n  0. Từ khai triển
(s)
Bn,
Taylor hàm F (z) suy ra L(1  n, )  
 () .
(2.13)
n

2.2.2.2. Phương trình đặc trưng của L-hàm chỉ ra rằng nếu n   (mod 2), n 1 thì

đó 

(n  )
cos
 (1)
2

(n )
2

suy ra

()  2 
L(n, )    
2i  f 

Thế (2.13) vào ta được

n 
2

n

L(1  n, )
(n )
(n)(1) 2

.

n

()  2  Bn,
(2.14)
L(n, )  (1)
 
2i  f  n!
Vì L(n, )  0, n  1 nên Bn,  0 , kết hợp với 2.1.4.2 và nếu    0 , ta có
1

B0,  0 , Bn,  0 nếu n   (mod 2) và Bn,  0 nếu n   (mod 2).

Cho  là đặc trưng khác đơn vị với conductor f, người ta chứng minh được công
thức
()
L(1, ) 
f

f



a 1
(a,f) 1



(a)log 1  

a



với f = f , 

2 i
e f .

(2.15)


CHƯƠNG 3.
XY DỰNG L-HÀM p-ADIC.
Với p là số nguyên tố, xét trên trường bao đóng đại số  p của trường số p-dic
 p . Vấn đề quan trọng đặt ra là xây dựng một hàm p-adic được xem là tương tự

p-dic của hàm L(s, ) . Để giải quyết vấn đề này chúng tôi đưa ra một hàm phân
hình p-dic lấy giá trị gần giống với giá trị của L(s, ) tại s = 0, -1, -2, . . . gọi là Lhàm p-dic L p (s, ) . Một việc hết sức tự nhiên là tính giá trị của L-hàm tại s = 1, 2,
3, . . . đặc biệt tại s = 1 có một vai trò quan trọng trong lý thuyết số . Trong chương
này trình bày chi tiết cách sử dụng phép nội suy p-adic để xây dựng các L–hàm padic liên kết với các đặc trưng Dirichlet và tính giá trị của các L–hàm p-adic này
tại s = 1 và tại các điểm nguyên dương khác .

§1. PHÉP NỘI SUY HÀM PHÂN HÌNH p-DIC.
Nội suy hàm phân hình p-dic nghĩa là tìm hàm phân hình f trên một đĩa mở nào
đó sao cho f(n) = bn với bn  ,n  0 là dãy số p-dic trong  p cho trước. Nếu tìm

được hàm phân hình p-adic thỏa điều kiện như trên thì dãy bn  ,n  0 gọi là dãy

nội suy p-adic. Trong § này chúng ta tìm điều kiện của dãy bn  ,n  0 để tồn tại

hàm nội suy p-adic. Trước hết chúng tôi xin nêu các bổ đề sau.
3.1.1. Bổ đề.
Cho x  + , x được biểu diễn x  a0  a1 p  ...  aN p N với 0  ai  p  1 ,
0  i  N, aN  0 . Đặt sx  a0  a1  ...  aN ( sx là tổng các chỉ số trong biểu
x  sx
diễn
p-dic của x). Khi dó ord p (x !) 
.
(3.1)
p 1
Chứng minh. Ta chứng minh bằng qui nạp theo n, với x = 1 hiển nhiên đúng,
x  sx
x  1  sx 1
, ta cần chứng minh ord p ((x  1)!) 
. Ta có
giả sử ord p (x!) 
p 1
p 1
x  sx
ord p ((x  1)!)  ord p (x!)  ord p (x  1) 
 ord p (x  1) .
p 1
Xét hai trường hợp sau.