Tính đầy đủ của không gian metric nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU TRANG

TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU TRANG

TÍNH ĐẦY ĐỦ CỦA KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Hà Đức Vượng,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Trang


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng, luận văn
Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Tính đầy đủ của không
gian metric nón” do tôi tự làm.
Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2016
Tác giả

Nguyễn Thị Thu Trang

2

Mục lục

Bảng kí hiệu

3

Mở đầu

4

1

Kiến thức chuẩn bị

8

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2

Bổ sung của không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

Tính đầy đủ của các không gian metric nón

23

2.1

Không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Bổ sung của không gian metric nón . . . . . . . . . . . . . 30

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45


3

Bảng kí hiệu
N

Tập số tự nhiên

R

Tập số thực

Q

Tập các số hữu tỷ

∅

Tập rỗng

int(P )

Phần trong của P

p

Quan hệ thứ tự theo nón P
Kết thúc chứng minh


4

Mở đầu

1. Lí do chọn đề tài
Cho một tập hợp X tùy ý khác rỗng và ánh xạ T : X → X . Nếu tồn
tại x0 ∈ X mà T x0 = x0 thì x0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ T
trên tập hợp X . Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên

lý thuyết điểm bất động (fixed point theory).
Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của
khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng. Các kết quả về điểm
bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, như Định lý điểm bất
động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Định lý điểm
bất động Caristi (1976). . .
Các kết quả quan trọng về điểm bất động đã công bố đều gắn liền với
tính đầy đủ của không gian metric. Mặt khác, với mọi không gian metric
không đầy đủ ta đều xây dựng được một không gian metric đầy đủ chứa
nó và gọi là bổ sung của không gian metric.
Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc là H. Long. Guang và


5

Z. Xian đã giới thiệu khái niệm metric nón, bằng cách thay tập số thực R
trong định nghĩa metric bởi không gian Banach thực E [4].
Năm 2009, nhà toán học Thabet Abdeljawad người Thổ Nhĩ Kỳ đã mở
rộng cách bổ sung một không gian metric thành không gian metric đầy đủ
sang lớp không gian metric nón được đăng trong bài báo: “ Completion of
cone metric spaces” trên tạp chí Hacettepe Journal of Mathematics and
Statistics. Trong bài báo này tác giả đã giới thiệu định lý về kỹ thuật bổ
sung của không gian metric nón để có không gian metric nón đầy đủ.
Với mong muốn tìm hiểu sâu về kỹ thuật bổ sung làm đầy đủ một không
gian metric, không gian metric nón, được sự giúp đỡ và hướng dẫn của TS.
Hà Đức Vượng, tôi chọn đề tài nghiên cứu:
“Tính đầy đủ của không gian metric nón” .

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về tính đầy đủ của không gian metric nón.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Hệ thống các kết quả về tính đầy đủ của các không gian metric nón.
- Nghiên cứu cách bổ sung để được không gian metric nón đầy đủ từ
một không gian metric nón cho trước.


6

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tính đầy đủ của không gian metric nón dựa trên hai bài báo:
1. Comepletion of cone metric space [3] của Thabet Abdeljawad.
2. Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings
[4] của H. Long-Guang và Z. Xian.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu.

6. Đóng góp của luận văn
Qua đề tài này chúng tôi sẽ xây dựng luận văn là một tài liệu tổng quan
về kỹ thuật bổ sung để được một không gian metric và không gian metric
nón đầy đủ. Luận văn được trình bày gồm hai chương nội dung:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không
gian metric, không gian metric đầy đủ. Kỹ thuật làm đầy đủ không gian
metric. Sau mỗi khái niệm chúng tôi đã đưa ra ví dụ hoặc phản ví dụ để
minh họa.
Chương 2. Tính đầy đủ của không gian metric nón.

7

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về nón, nón
chuẩn tắc, metric nón và không gian metric nón đầy đủ. Sau mỗi khái niệm
chúng tôi cũng đưa ra ví dụ hoặc phản ví dụ để minh họa.
Cuối cùng chúng tôi trình bày định lý về kỹ thuật làm đầy đủ một không
gian metric nón.


8

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không
gian metric, sự hội tụ trong không gian metric. Khái niệm không gian
metric đầy đủ và kỹ thuật làm đầy đủ một không gian metric không đầy
đủ. Sau mỗi khái niệm chúng tôi đều đưa ra ví dụ để minh họa.

1.1

Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X = ∅ cùng với
một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau:
1. d(x, y)

0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X .

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X .
3. d(x, y)

d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X .


9

Ánh xạ d gọi là metric trên X .
Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y .
Các phần tử của X gọi là các điểm.
Không gian metric được kí hiệu là (X, d).
Ví dụ 1.1.1. Ánh xạ d : Rm × Rm → R, xác định bởi:
1
2

m

(xi − yi )2

d (x, y) =

, x = (x1 , ..., xm ) , y = (y1 , ..., ym )

i=1

là một metric trên Rm , gọi là metric thông thường của Rm .
Khi m = 1, trên R ta có d (x, y) = |x − y| là khoảng cách thông thường .
Trên Rm ta cũng có các metric khác như:
m

|xi − yi | .

d1 (x, y) =
i=1

d2 (x, y) = max |xi − yi | .
1≤i≤m

Ví dụ 1.1.2. Ta kí hiệu C[a,b] là tập hợp tất cả các hàm số với giá trị thực,
xác định và liên tục trên đoạn [a, b].
Với hai hàm số bất kỳ x = x(t), y = y(t) ∈ C[a,b] ta đặt:
d (x, y) = max |x(t) − y(t)| .
a≤t≤b

Khi đó C[a,b] là một không gian metric.
Nhận xét 1.1.1. Trên cùng một tập hợp ta có thể trang bị các metric khác
nhau để nhận được các không gian metric khác nhau.


10

Định nghĩa 1.1.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy điểm {xn } ⊂ X .
Dãy điểm {xn } được gọi là hội tụ đến điểm x0 , nếu với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ :
∀n

n0 thì d(xn , x0 ) < ε.

Kí hiệu lim xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞.
n→∞

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn }.

Nhận xét 1.1.2. Cho (X, d) là không gian metric.
1. Dãy {xn } ⊂ X là dãy hội tụ thì giới hạn là duy nhất.
2. Dãy {xn } ⊂ X , {yn } ⊂ X , nếu lim xn = a, lim yn = b
n→∞

n→∞

thì lim d(xn , yn ) = d(a, b).
n→∞

Thật vậy
1. Nếu lim xn = a. Ta chứng minh a là duy nhất bằng phản chứng.
n→∞

Giả sử ta cũng có

lim xn = b. Ta có

n→∞

d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b), ∀n ∈ N.

Ta suy ra
d(a, b) ≤ lim d(a, xn ) + lim d(xn , b) = 0.
n→∞

n→∞

Vậy d(a, b) = 0, do đó a = b.
2. Từ lim xn = a, lim yn = b ta suy ra

n→∞

n→∞

d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b), ∀n ∈ N.

Vậy ta có
d(a, b) − d(xn , yn ) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b), ∀n ∈ N.


11

Tương tự ta có
d(xn , yn ) ≤ d(xn , a) + d(a, b) + d(b, yn ), ∀n ∈ N.

Suy ra
d(xn , yn ) − d(a, b) ≤ d(xn , a) + d(b, yn ), ∀n ∈ N.

Vậy ta suy ra
|d(xn , yn ) − d(a, b)| ≤ d(xn , a) + d(b, yn ), ∀n ∈ N.

Do đó ta có
lim |d(xn , yn ) − d(a, b)| = 0, hay lim d(xn , yn ) = d(a, b).

n→∞

n→∞

Ví dụ 1.1.3. Trong Rm ta xét metric thông thường. Xét phần tử
a = (a1 , ..., am ) và dãy {xn } với xn = (xn1 , xn2 , ..., xnm ).

Ta có
m

(xni − ai )2

d(xn , a) =

|xni − ai | , ∀i = 1, 2, ..., m.

i=1

Vậy trong (Rm , d) ta có:
lim xn = a ⇔ lim xni = ai , ∀i = 1, 2, ..., n.

n→∞

n→∞

Vì vậy sự hội tụ trong (Rm , d) được gọi là hội tụ theo tọa độ.
Định nghĩa 1.1.3. [1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy điểm {xn } ⊂ X
được gọi là dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀n, m

n0

thì

d(xn , xm ) < ε

12

hay
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Nhận xét 1.1.3. Cho (X, d) là không gian metric.
1. Mỗi dãy hội tụ trong X đều là dãy Cauchy.
Thật vậy, giả sử {xn } ⊂ X là dãy hội tụ, ta có lim xn = x0 . Tức là
n→∞

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N ∗ sao cho ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 ta có
ε
d(xn , x0 ) < ,
2
ε
d(xm , x0 ) < .
2

Vậy ta có
d(xn , xm ) ≤ d(xn , x0 ) + d(x0 , xm ) < ε.

Do đó dãy {xn } là dãy Cauchy.

2. Ngược lại, một dãy Cauchy có thể không hội tụ.
Thật vậy, ta có tập số hữu tỷ Q với metric
d(x, y) = |x − y| , ∀x, y ∈ Q.

Xét dãy {xn } =
Ta có d(xn , xm ) =

1
1+
n

n

⊂ Q, n = 1, 2, ....

1
1+
n

n

1
− 1+
m

m

.

Suy ra
lim d(xn , xm ) =

n,m→∞

lim

n,m→∞

1
1+
n

n

1
− 1+
m

m

= 0.


13

Vậy

1
1+
n

Do lim

n→∞

Vậy dãy

n

là dãy Cauchy trong Q.

1
1+
n
1
1+
n

n

=e∈
/ Q.
n

là dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q.

Định nghĩa 1.1.4. [1]. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X .

Ví dụ 1.1.4. Cho l2 là không gian các dãy số khả tổng bậc hai.
Không gian l2 là không gian metric đầy đủ.
(n)

(n)

(n)

Thật vậy, giả sử x(n) = (x1 , x2 , ..., xk , ...), n = 1, 2, ... là một dãy
Cauchy tùy ý trong không gian l2 .
Theo định nghĩa của dãy Cauchy, ta có
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , ∀m, n ≥ n0 :
∞

d(x

(n)

(m)

,x

(n)

(m)

|xk − xk |2 < ε.

)=
k=1

Ta suy ra

p
(n)

(m)

|xk − xk |2 < ε, ∀m, n ≥ n0 , p ∈ N∗ .

(1.1)

k=1

Vậy ta có
(n)

(m)

|xk − xk | < ε, ∀m, n ≥ n0 , ∀k = 1, 2, ...

(1.2)


14
(n)

Các bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ, với mỗi k cố định tùy ý thì dãy xk
là dãy số Cauchy, nên tồn tại giới hạn
(n)

lim xk = xk , k = 1, 2...

n→∞

Đặt x = (x1 , x2 , ..., xk , ...) = (xk ). Do các bất đẳng thức trong (1.1) không
phụ thuộc vào p nên khi cho m → ∞ ta được

p
(n)

|xk − xk |2 ≤ ε, ∀n ≥ n0 , p ∈ N∗ .

(1.3)

k=1

Trong (1.3) cho p → ∞ ta có
∞
(n)

|xk − xk |2 ≤ ε, ∀n ≥ n0 .

(1.4)

k=1

Mặt khác ta có
(n)

(n)

|xk |2 = (|xk − xk + xk |)2
(n)

(n)

≤ (|xk − xk | + |xk |)2
(n)

(n)

≤ 2|xk |2 + 2|xk − xk |2 , ∀k, n = 1, 2, ...

Từ (1.4) và (1.5) ta suy ra
p

p

|xk | ≤ 2
k=1

p
(n )
|xk 1 |2

2

k=1
∞

− xk |2

(n1 )

− xk |2

k=1
∞
(n )

|xk 1 |2 + 2

≤2

(n1 )

|xk

+2

k=1
∞

|xk
k=1

(n )

|xk 1 |2 + 2ε2 , n1 > n0 , p = 1, 2, ...

<2
k=1

(1.5)

15

Ta suy ra

∞

∞
(n )

2

|xk 1 |2 + 2ε2 , n1 > n0 .

|xk | < 2
k=1

k=1

Do đó dãy x = (xk ) ∈ l2 , kết hợp với các bất đẳng thức trong (1.4) chứng
tỏ dãy Cauchy x(n) hội tới x ∈ l2 . Vậy l2 là không gian đầy đủ.

1.2

Bổ sung của không gian metric

Định lý 1.2.1. [1]. Giả sử (X, d) là không gian metric không đầy đủ. Khi
ˆ sao cho:
ˆ d)

đó, tồn tại một không gian metric đầy đủ (X,
ˆ;
1. X đẳng cự với một không gian con X1 của X
ˆ.
2. X1 trù mật trong X
ˆ được xác định một cách duy nhất nếu coi các không
ˆ d)
Không gian (X,

gian đẳng cự là đồng nhất.
ˆ được gọi là bổ sung của không gian (X, d).
ˆ d)
Không gian (X,

Chứng minh. Gọi Z là tập tất cả các dãy Cauchy của X . Ta đưa vào Z
quan hệ tương đương ∼ được xác định như sau:
Các dãy {xn } , {yn } ∈ Z , gọi là tương đương và kí hiệu là
{xn } ∼ {yn } ⇔ lim d(xn , yn ) = 0.
n→∞

ˆ là tập các lớp tương đương: X
ˆ = Z/ ∼.
Gọi X
ˆ bởi xˆ, yˆ, ...
Ta kí hiệu các phần tử của X
ˆ , yˆ ∈ X
ˆ và {xn } ∈ xˆ, {yn } ∈ yˆ.
Lấy xˆ ∈ X

16

Với hai số tự nhiên n, m bất kỳ, ta có:
d(xn , yn ) ≤ d(xn , xm ) + d(xm , ym ) + d(ym , yn ).

Ta suy ra:
d(xn , yn ) − d(xm , ym ) ≤ d(xn , xm ) + d(ym , yn ).

Tương tự ta có:
d(xm , ym ) − d(xn , yn ) ≤ d(xn , xm ) + d(ym , yn ).

Do đó ta suy ra :
|d(xn , yn ) − d(xm , ym )| ≤ d(xn , xm ) + d(yn , ym ).

Vì {xn } , {yn } là các dãy Cauchy nên dãy {d(xn , yn )} là dãy Cauchy trong
không gian metric đầy đủ R. Do đó dãy {d(xn , yn )} hội tụ.
Hơn nữa lim d(xn , yn ) không phụ thuộc vào việc chọn dãy Cauchy {xn } , {yn }.
n→∞

Thật vậy, giả sử {xn } ∈ xˆ, {yn } ∈ yˆ. Tương tự trên, ta có:
d(xn , yn ) − d(xn , yn ) ≤ d xn , xn + d(yn , yn ), ∀n.

Vậy ta có
lim d(xn , yn ) = lim d(xn , yn ).

n→∞

n→∞

ˆ yˆ ∈ X

ˆ , ta đặt:
Với xˆ ∈ X,
ˆ x, yˆ) = lim d(xn , yn ) trong đó {xn } ∈ xˆ, {yn } ∈ yˆ.
d(ˆ
n→∞

ˆ . Ta sẽ chứng minh:
Dễ kiểm tra được dˆ là một metric trong X
ˆ;
a) X đẳng cự với không gian con X1 của X


17

ˆ;
b) X1 trù mật trong X
ˆ là không gian metric đầy đủ.
c) X

Thật vậy:
a) Giả sử x ∈ X , suy ra {x, x...} là dãy Cauchy trong X . Gọi x˜ là lớp
ˆ.
tương đương chứa dãy {x, x, ...}, ta có x˜ ∈ X
ˆ được xác định bởi ϕ(x) = x˜ là một phép
Hiển nhiên, ánh xạ ϕ : X → X

đẳng cự.
ˆ.
Vậy, X đẳng cự với không gian con X1 := ϕ(X) của X
ˆ,

b) Lấy xˆ ∈ X

> 0, {xn } ∈ xˆ suy ra ∃n0 , ∀m ≥ n0 , n ≥ n0 sao cho

d(xn , xm ) < .

Gọi x˜n0 là phần tử chứa dãy xn0 , xn0 , ..., vậy xˆn0 ∈ X1 .
Khi đó
ˆ x, x˜n ) = lim d(xn , xn ) = 0
d(ˆ
0
0
n→∞

ˆ.
Vậy X1 trù mật trong X
ˆ . Vì X1 trù mật trong X
ˆ , cho nên
c) Giả sử {ˆ
xn } là dãy Cauchy trong X
ˆ xn , x˜n ) < 1 .
∀n, ∃˜
xn ∈ X1 : d(ˆ
n

Do đó, với mọi m, n ta có:
ˆ xn , x˜m ) ≤ d(˜
ˆ xn , xˆn ) + d(ˆ
ˆ xn , xˆm ) + d(ˆ
ˆ xm , x˜m )

d(xn , xm ) = d(˜
<

1
1
ˆ xn , xˆm ).
+ + d(ˆ
n m

Vì {xˆn } là dãy Cauchy nên ta có
ˆ xn , xˆm ) = 0,
lim d(ˆ

n→0


18

nên ta có
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Vậy {xn } là dãy Cauchy trong X .
ˆ chứa dãy {xn }, ta chứng minh:
Gọi xˆ là phần tử của X
lim xˆn = xˆ.

n→∞

Thật vậy, với mọi n ta có:
ˆ x, xˆn ) ≤ d(ˆ
ˆ x, x˜n ) + d(˜
ˆ xn , xˆn ) < d(ˆ
ˆ x, x˜n ) + 1
d(ˆ
n

(1.6)

Theo định nghĩa của dˆ ta có:
ˆ x, x˜n ) = lim d(xm , xn ),
d(ˆ
m→∞

tức là
∀ > 0, ∃n0 , ∀m ≥ n0 , ∀n ≥ n0 : d(xm , xn ) < .
2

Vậy ∀n ≥ n0 , ta có lim (xm , xn ) ≤ .
m→∞
2
Tức là ∀n ≥ n0 :
ˆ x, x˜n ) ≤ .
d(ˆ
2

Chọn n0 đủ lớn sao cho

(1.7)

1
< . Khi đó, từ (1.6) và (1.7) suy ra:
n0
2

ˆ x, xˆn ) <
d(ˆ

2

+

2

= , ∀n ≥ n0 .

Vậy lim xˆn = xˆ.
n→∞

ˆ được xác định duy nhất nếu đồng
ˆ d)
Bây giờ ta chứng minh không gian (X,

nhất các không gian đẳng cự. Tức là, nếu (Y, dY ) cũng là một không gian


19

metric đầy đủ, sao cho X đẳng cự với không gian con X2 trù mật của Y ,

ˆ
thì Y đẳng cự với X.

Thật vậy, vì X1 và X2 cùng đẳng cự với X , nên chúng đẳng cự với nhau.
ˆ . Khi đó tồn
Gọi ψ : X1 → X2 là phép đẳng cự từ X1 lên X2 . Ta lấy x˜ ∈ X

tại
{˜
xn } ⊂ X1 sao cho lim {˜
xn } = xˆ.
n→∞

Vì ψ là phép đẳng cự và {˜
xn } là dãy Cauchy trong X1 , nên {ψ(˜
xn )} là dãy
Cauchy trong X2 , do đó {ψ(xˆn )} là dãy Cauchy trong Y . Do Y là không
gian đầy đủ, nên tồn tại
lim ψ(˜
xn ) = y.

n→∞

Dễ thấy rằng y chỉ phụ thuộc vào xˆ, không phụ thuộc vào việc chọn dãy
{˜
xn }.
ˆ → Y là một toàn ánh.
Đặt φ(ˆ
x) = y , ta được φ : X

Thật vậy, nếu y ∈ Y , thì tồn tại {yn } ⊂ X2 sao cho
lim yn = y với y ∈ Y .

n→∞

Vậy {yn } là dãy Cauchy trong X2 và ψ −1 là phép đẳng cự nên ψ −1 (yn )
ˆ . Vì X
ˆ
là dãy Cauchy trong X1 do đó ψ −1 (yn ) là dãy Cauchy trong X

đầy đủ, cho nên tồn tại
lim ψ −1 (yn ) = xˆ.

n→∞

Hiển nhiên, φ(ˆ
x) = y .
Để kết thúc chứng minh, ta chỉ cần chỉ ra φ là một phép đẳng cự.


20

ˆ {˜
Thật vậy, lấy xˆ, yˆ ∈ X,
xn } và {˜
yn } là hai dãy của X1 sao cho:
lim x˜n = xˆ, lim y˜n = yˆ.

n→∞

n→∞

Đặt φ(ˆ
x) = u, φ(ˆ
y ) = v , ta có:
ˆ x, yˆ) = lim d(˜
ˆ xn , y˜n )
d(ˆ
n→∞

= lim dY (ψ(˜
xn ), ψ(˜
yn ))
n→∞

= dY (u, v).

Do đó φ là một phép đẳng cự.

Ví dụ 1.2.1. Xét tập hợp các số hữu tỷ Q với metric.

d(x, y) = |x − y| , ∀x, y ∈ Q.

Dễ dàng kiểm tra được (Q, d) là một không gian metric.
Thật vậy,
|x − y| ≥ 0, ∀x, y ∈ Q.
|x − y| = 0 ⇔ x = y.

Vậy ta có
d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ Q.

d(x, y) = 0 thì x = y.

Do |x − y| = |y − x| nên ta có d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ Q.
Cuối cùng ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác.


21

|x − y| = |(x − z) + (z − y)| ≤ |x − z| + |z − y| , ∀x, y, z ∈ Q.

Vậy ta có d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ Q.
Hay (Q, d) là một không gian metric.
Bây giờ ta chỉ ra (Q, d) là không gian metric không đầy đủ.
Xét dãy {xn } ⊂ Q, xác định bởi
1
xn = (1 + )n .
n

Ta chứng minh {xn } là dãy Cauchy.
1
1
Thật vậy, ta có d(xn , xm ) = (1 + )n − (1 + )m .
n
m
Do đó

1
1
lim d(xn , xm ) = lim (1 + )n − lim (1 + )m
n,m→∞

n→∞
m→∞
n
m
= e − e = 0.

Ta có {xn } là dãy Cauchy trong Q.
Hiển nhiên (Q, d) là không gian metric không đầy đủ.
1
Bởi vì dãy Cauchy {xn } = (1 + )n ⊂ Q ta có
n
1
lim xn = lim (1 + )n = e ∈
/ Q.
n→∞
n→∞
n

Tóm lại ta có:
a) (Q, d) đẳng cự với (R, d) ⊂ (R, d).
b) Q trù mật trong R vì Q = R.
c) (R, d) là không gian metric đầy đủ.
Vậy R chính là bổ sung của không gian metric (Q, d).


22

Kết luận chương 1
Như vậy trong chương này sau phần khái niệm về không gian metric, sự
hội tụ trong không gian metric là khái niệm về không gian metric đầy đủ.

Phần cuối của chương là định lý bổ sung một không gian metric không
đầy đủ thành không gian metric đầy đủ. Định lý được trình bày phần chứng
minh chi tiết trong cuốn sách Tô pô đại cương của Đỗ Văn Lưu trong [1].