BÀI TẬP THỦY LỰC CHỌN LỌC

TS. PHÙNG VĂN KHƯƠNG - NGƯT.ThS. PHẠM VĂN VĨNH

BÀI TẬP

THỦY Lực CHỌN LỌC
(Tái bản)

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DựNG

HÀ N Ộ I-2 0 1 0


LỜI NÓI ĐẦU
Cơ học chất lỏng ứng dụng hay thuỷ lực là m ôn học được g iả n g
d ạ y cho nhiều ngành ở trường k ĩ th u ậ t khác nhau. S in h viên kh i
học môn này thường gặp nhiều khó kh ă n trong việc ứng d ụ n g lí
thu yết đê g iả i các bài tập, nh ấ t là các bài tập tương đối khó. Với
m ụ c đích trang bị cho sinh viên những k ĩ năng g iả i các bài tập đó,
ch ú n g tôi tập hợp trong tài liệu này nhiều bài tập có tín h chát
chọn lọc. P hần lớn sô bài được giải hoặc hướng d ẫ n chi tiết cách
giải. Có m ột sô ít bài chí cho đáp sô đ ể sinh viên tự kiểm tra và rèn
luyện k ĩ nàn g tín h toán. Tài liệu này còn giú p cho sin h viên nâng
cao trinh độ đê d ự thi các k ì thi O lympic toàn quốc được tô chức
h à n g nám , củng n h ư làm tài liệu nghiên cứu cho các học viên
cao học.
C húng tôi sắp xếp các bài tập thành 5 chương cơ bản, trong mỗi
chương đều có tóm tắt lí thuyết đê sinh viên tiện theo dõi uà
ứng dung.
Cuối cùng, xin chăn th ành cảm ơn Phòng Q uản lí và N g hiên
cứu khoa học của Trường đại học Giao thông vận tải cùng các bạn
đồng nghiệp và N h à xuất bản Xây dựng đã g iú p đỡ ch ú n g tôi.

trong việc xu á t bản cuôìĩ sách này.
C ác tác giả

3


C hương 1

TĨNH HỌC CHẤT LỞNG

1.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂN BẰNG CỦA CH ẤT LỎNG TĨNH (phương
trìn h ơle tĩnh)
a) Dạns vectơ:

f - —cradp = 0
p"

( 1. 1)

Ở đ ày : f = X i + Yj + Zk ;
f - lực khối đơn vị;
p - áp suất thủy tình;
{X, Y, ZỊ - hình chiêu của lực f lên các trục toạ độ Đềcac Oxyz.
b) Dạng hình chiếu:

( 1.2)
z - i ^ =o
p dx
1.2. PHƯƠNG TRÌNH c ơ BẢN THỦY TĨNH (trường hợp lực khối là trọng lực: X = 0,
Y = 0, z = - g)

(1.3)

1.3. ÁP SUẤT TAI MỘT ĐIẾM t r o n g c h ấ t l ỏ n g
p = Po + yh

(1.4)

Ỏ đày: h - chiều sâu (khoảng cách từ mặt thoáng đến điểm tính áp suất). Khi p xác
định theo công thức (1.4), thì gọi áp suất tuyệt đối: pt(1 =

Po +

yh.

Gọi p., là áp suất khí trời: pa = 9,81 N /cnr = lat, thì sẽ có hai trường hợp sau:
+ Nếu pU| > pa thì pUỊ - pa = pd ; pd gọi là áp suất dư.
+ Nếu pld < p., thì pa - pId = pt k ; ptk gọi là áp suất chân không.
5


Như vậy:

pck = - pd

- Áp suất dư trên mặt thoáng của chất lỏng tiếp xúc với khí trời thì bằng không.
- Áp suất dư tại một điểm trong chất lòng có mặt thoáng tiếp xúc với khí trời bằne:
Pd = yh.

Sau đây áp suất dư thường được viết là p.
1.4. ÁP

Lực

CHẤT LONG LÊN THÀNH PHANG (áp lực dư)
( 1. 5 )

p = PCÍ0 = yzt 0)
ơ đây pc - áp suất tại trọng tâm của diện
tích chịu lực 03; zc là chiều sâu của trọng
tâm c (hình 1.1).

__JL

Tàm áp lực D:
( 1.6)

Ớ đày:
c - trục đối xứng di qưa trọng tâm

c.

Jc - mômen quán tính eủa diện tích ũ)
ứng với trục đi qua trọng tâm

c.

Trường hợp thàiah llnảng đứng («. = 90°);
Zn = z,. +■

Hình 1.1

.1,

(1.7)

7 .. .0 1

Ta cung có thê tìm áp lực p và tâm áp lực theo phương pháp biểu đồ (hình 1.2) nếu
diện tích chịu lực có dạng hình chữ nhật hoặc hình vuông có chiều rộng b:

_ ỵ(za + z ft)ABx b
( 1 .8 )

=

2
Điểm đặt đi qua trọng tâm của ABB A'.
1.5. ÁP L ự c CHẤT LỎNG LÊN THÀNH CONG
p = ,/P,2 + R?
Ở(đâịí:

Px = Yzcwx

0)

x - hình chiếu của thàBỉh cong lên mặt vuông
gộcSvớii triụo Ox.
6 ()

Hình 1.2

/v - toạ độ trọng tâm của diện tích (úx.

P2 = yw

w -

thể tích của vật thể

(1.11)

áp

lực,

w

w

inang dấu dương nếu ngay bên trên mặt
chịu lực có chất lỏng (hình 1.3a) còn w
mang dấu âm nếu ngay bên trên mặt chịu
/

1ực không có chất lỏng (hình 1.3b).
Đế tìm tâm áp lực ta kết hợp hai điều

V

kiện:
- Áp lực p đi qua tâm của mặt cầu hoặc

b)

mật trụ;
- Tìm góc giữa Px và Pz:

tgp=ipỊ
I XI

1.6. ĐỊNH LUẬT A CSIM ET
Một vật ngập từng phần hoặc toàn phán trong chất lỏng sẽ chịu một áp lực thẳng đứng
lừ dưới lên gọi là lực đẩy Acsimet (kí hiêu A), có trị số bằng trọne lượiiíỉ của thể tích
chất lỏng mà vật chiếm chỗ và đi qua trọng tâm của khối chất lỏng đó (hình 1.4):
A = yV

Hình 1.4

(1.12)

H ình 1.5

1.7. TĨNH TƯƠNG Đ ố i
a) Vật chứa chất lỏng chuyển động thẳng đểu với gia tốc a không đổi (hình 1.5).
' Phân bố áp suất:
p = -pax-pgz + c

(1-13)

7


- Mặt đẳng áp:
ax + gz = c

(1-14)

b) Vật
Vạt chứa
chưa chất
cnât lỏng
long quay xuns quanh trục
t
đối
xứng với vận tốc góc co không đổi (hình 1.6).
- Phân bố áp suất:
p = por r2

(z

)

(1.15)

- Mặt thoáng của chất lỏng
(1.16)

< z -z 0) = í p r 2
2e

Trong đó:

r

= X 2 + y 2.

1.8. S ự CÂN BẰNG CỬA C H Ấ T KHÍ
Phương trình vi phân cân bằng của chấl khí trọng lực nén được (p ^ const):
dp = - p g d z

(1.17)

Phương trình trạng thái khí:
p = p(p, T)

(1.18)

ơ đây T là nhiệt độ tuyệt đối.
Hài l . l . Đường ống dẫn nước có dườne kính trong d - 5()()mm, dài I - lOOOm eliứu
đầy nước ở trạng thái tĩnh dưới áp suất p„ =4at và nhiệt độ ban đầu t„= 5°c. -Hãy xác
định áp suất trong ống khi nhiệt độ tương ứngtăng lên đến t,=15°c. Biết hệ số giàn nứ
do nhiệt độ của nước p, = 0,000014 và hệ số nén p p

21000

c m 2 / k g . Bỏ qua sự biên

dạng và nén, giãn nở của thành ốníĩ.
B ài giải
Thê tích nước trong đường ống ban đáu,

wD=
Khi nhiệt độ tăng đến t| =

lúc

t„ = 5°c là:

ná2

3,14x0,52

4

4

15°c thì

X1000 = 196,2 5 n r

lượng tăng nhiệt độ là:

At = t, - t „ = 1 5 - 5 = 10°c
Thể tích nước cũng tăng lèn:
Aw = w0 X At X

p,

= 196,25

X

10

X

0,000014 = 0,0275m \

Số gia áp suất trong ống Ap khi thế tích nước tăng lên được xác định theo:
Ap =

=
w oPp

0,0275 X

196,25

Ap = 249.300N/nr.
8

21,000 * 3, O k G /cm 2 = 3at.


Vây áp suất nước trong ống là: Ap = p0 + Àp = 7at.
Đ áp số: Ap = 7at
Bai 1.2. Một kiểu áp kê nhạy được cấu tạo như saư: Một bình trụ tròn trục thẳng đứng,
bán kính R = lOOmm, dày e = lmm, được treo qua hai ròng rọc với một đối trọng, miệng
của bình nhúng vào nước úp lên một đầu ống dẫn khí với áp suất p cần đo (hình 1.7). Hãy
tính độ di chuyên theo chiều cao của bình khi áp suất của khí tăng lm m cột nước.
Bài giải:

Bình dược cân bằng bởi trọng lượng bản thân và vật đối trọng với áp suất từ chất lỏng
(nước và khí). Các áp suất đó bao gồm một phần áp suất khí p tác dụng lên toàn bộ bề
mặt bên trong của bình sẽ là 7iR:p và áp
suất yz tác dụng lên vành xung quanh
(có chiểu dày là e) của bình là lực đẩy:
2ĩtRey/.. Vậy có phương trình:

;

2nReyz + 7tR:p = trọng lượng bình + đối
trong = const.

p
1mm

1
u

T

Láy đạo hàm có:

200mm

ị

- r Ỷ-

I
= ị

2nReydz + 7TR2dp = 0
R dp

hay:

ớ /. =

H ình 1.7

Trong đó — là độ biến thiên của áp suất được biểu thị bằng cột nước và được khuếch
y
■
đại tuy thuộc vào ti sô — = — = 50 .
2e 2x1
Vậy nếu áp suất tăng lên Imm nước thì chiều sâu
là bình sẽ lên cao một trị số là 50mm.

2

sẽ giảm một lượng tương ứng, tức

Bài 1.3. Càn một bình nước có diện tích đáy là 0 ), độ sâu nước là hj, cân đã cân bằng
(hình 1.Sa). Nếu thả một quả cầu (có thể tích đáng kể) ngập vào bình nước, nhung có tay
người thả giữ lấy quả cầu (hình 1.8b). Hỏi cân có cân bằng nữa không?

(O
nùhì
a)
Hình 1.8

9


H ư ớ ng dần
Theo điều kiện đã cho, cân sẽ không cân bằng
nữa và sẽ lệch về phía bên trái.
Bài 1.4. Một đoạn sông cong có bán kính
cong của trục dòng là R, vận tốc dòng nước
trung bình là

V,

chiều rộng mặt nước là B

(hình 1.9). Hãy tìm phương trình mặt thoáng và
độ chênh mực nước giữa hai bờ.
B ài giải
Bài này có nhiều quan điểm diễn giải, ở đây
giải theo dạng tĩnh tương đối.

Hinh 1.9

- Tìm phương trình m ặt thoáng
Đã biết phương trình mặt đẳng áp (vì mặt thoáng cũng là mặt đẳng áp) dp = 0 =>
Xdx + Ydy + Zdz = 0.
V2

ở đây: x = — ; Y = 0; z = -g.
X

Vậy có: — dx - g d z = 0 <=> Phương trình mặt thoáng là v2lnx - gz = c
X

-T ín lì Az
Độ chênh mực nước hai bờ sông là Az tính được như sau:
Az = z2 - z.
Az = — ln R +

EO

V2 , f n
B)
- — ln R - 2,
l
2
g

Vậy:
A _

_ v2 o
t , R + B /2
2 ,3 l e - — -—
g
R -B /2

Az = z, -Z | = —

Bài 1.5. Xác định độ cao mức thủy ngân tại A
khi cho biết áp suất chỉ trong các áp kế là

p, = 0,9at; p2 = 1,86 at và độ cao mức chất lỏng
biểu diễn như hình 1.10. Biết tỉ trọng của dấu
ỗd = 0,8, của thủy ngân ỗ Hg =13,5.
H ư ớ ng dẩn
Áp dụng công thức tính áp suất một điểm trong
chất lỏng:
10


Pa = P: + Yn ( M 2 - hA)
Mặt khác,

pA = pB+ yHg (1,06 - hA)
Pb = P

i

+ Yd ( 1 , 2 — 1 , 0 6 )

Giải ba phương trình trên ta nhận được:
hA = 0,30m

*s *'ỳjí

ỉ

■

Bài 1.6. Bình hình trụ chiều cao H = 70cm

",

’•»',* V* V'

.*•/! , ••/.*•[•i >.*•’*•Vp /■*'!'■/■

có hai khoá A và B (hình 1.11). Trước hết đóng
khoá B, mở khoá A để rót thuỷ ngân vào với áp
suất khí trời tới độ cao h, = 50cm. Sau đó đóng
khoá A, mờ khoá B cho thủy ngân chảy ra. Xác
định áp suất chân không trong bình tại thời

h,(Hg)

điổrn cân bằng, khi mực thuỷ ngân đạt tới trị sô

B

h2 và tính h2. Giả thiết rằng quá trình xảy ra là

s=

đẳng nhiệt.
H ư ớ n g dẫn

H ình 1.11

Gọi áp suất tuyệt đối trong bình tại thời điểm cân bằng là ptd thì ta có phương trình:
P,d + YHgh2 = pa

(1)

Theo điều kiện quá trình xảy ra là đẳng nhiệt, ta có phưomg trình thứ hai:
P a ( H - h | ) = P , đ ( H - h 2)

Giải hai phương trình trên và thay pa

(2)

9,81 X 104 N/m2, Yh = 133416N/m2, ta nhận

được phương trình bậc hai đối với h2.
Đáp số: h-, = 0,334m
Pck = Pa -

Ptd = 0 , 4 5 4 a t

Bài 1.7. Để đo độ sâu của dầu trong bể
chứa hở ta đặt một ống thẳng đứng, đầu
hở của nó gần chạm đáy bể (hình 1.12).
Người ta truyền không khí vàọ ống với
vận tốc nhỏ nên có thể bỏ qua sức cản
thuỷ lực. Xác định chiều sâu của dầu có
yd = 8730,9N/m3, nếu áp suất của không
khí truyền vào bể tương đương với chiều
cao h = 890mmHg.
B ẳi giải:
Hình 1.12
Áp suất của dầu ở gần đáy bể chính bằng áp suất của không khí truyền vào. Do vậy, ta
có phương trình:

11


YdH = Yngh
Chiều sâu H của bể sẽ là:
132886,2

H=

X

yci

8730,9

0,89 = 13,55m

Bài tậ p 1.8. Trong kênh dẫn đến công
trình làm sạch nước người ta đặt một thiết

Không khí

é

bị đo mực nước tự ghi (xem hình 1.13).

T

Đ ầu dưới của ống 1 nằm trong nước với
chiểu sâu H 2. Một thể tích không khí

được truyền theo ống 2 vào đầu trên của
—

ống 1 dưới áp suất đủ để cho không khí

—H

đi theo ống 1 vào cuối ống. Xác định
c

mực nước trong kênh dẫn H, nếu áp suất

H,

không khí trong ống 1 theo số đọc của
máy tự ghi bằng h| = 80mm cột thúy
H ình 1.13

ngân và h2 = 29mm cột thuỷ ngân. Cho
khoảng cách từ đáy kênh đến đáu dưới của ống 1, H; = (),30m.

Dáp sò: Khi h; = 80mm Hg thì H = l,39m
Khi hi = 29mm Hg thì H = 0,6()m
Bài 1.9. Một chuông chứa khí có đường kính D = 6,6m.
Trọng lượng chuông G = 34,3.10(N (hình 1.14). Xác định độ
chênh mực nước H trong chuông và trona bình 2.
Po.

H ư ớ n g dẫn:
Từ p0 = ỵH và p0CD= G, ta tĩnh được H.

Đáp số: H = 0,102m
Bài 1.10. Sự thay đổi nhiệt độ của khí trời là một hàm bậc
nhất so với độ cao. v ề mùa hồ sự thay đổi như sau:
Tại

z = 0, T0 = 273 + 29 = 293 K;
z = H, (H, = lO.OOOrrO, T, = 273 - 50 = 223K.

Hình 1.14

Hãy xác định khối lượng riêng và áp suất của không khí dưới dạng hàm số của độ cao
0 < z < 10,000m khí hoàn hảo có p = pRT, R = 287Jkg~'K_l.
B ài giải:
Vì nhiệt độ T phụ thuộc tuvến tính so với độ cao : nên:
dT
dz
12

= Cị, C| = const.


Tir dó

T = c ,z + C2.
z=

Như vậy,

0

, T = T0 —> C2 = T0 ; z = H|, T = T, —> c, =

T |- T 0
H,

T = T „ - T() - T| z
H,
T0_-T,

Hoặc

z_

To

—> dt ——T,1

T ọ -T ,

dz = (T0 - T , )

dz

T0H,

H,

Từ

p = pR T có dp = RTdp + pRdt.

Hay

dp = RT()

T ọ -T ,
T„

dz
dp-pR (T 0 - T , ) - ^
H, )
“ 1
7-

Chia hai vế cho pg:
I_ ĩ l

^

7 d p — ^ -( T 0 -T ,)d z,
gH
H ,,

To
Vì — = - d z nên
pg
RT0
FP
Hay

Vậy

r1 t 0 - t ,

zi

L

Hị

To

đp =

r

[R(T0 - T , ) - g H ,] (

pg

[T0HI - (T0 - T| )z]c 7
1 T q-T ,
To

Po

z

H,

1dz

_gH,

dp

_p_

R

crỊ-ỊM,
R (T „ - T .)

JZ_ = J L X

Po

Po To

Hài 1.11. Người ta đậy đường vào hầm ngầm bằng
cua cống vuông (yc = ll,8 k N /n r) có kích thước
ii X a X o = 3 X 3 X 0 ,0 8 (m). Clio biết các chiểu sâu

ciui nước: h = l,40m; h| = 4,4m; h2 = l,8m. Hệ số
ma sát ỏ' rãnh f = 0,5 (hình 1.15).
Yêu cầu:
1) Tính tống áp lực p của nước lcn cốnc (coi áp
suất uong hầm ngầm là áp suất khí trời).
2) Tìm tâm áp lực D.
3) Tính lực nâng T.

Iỉìn h 1.15
13


B ài giải:
1) Tính tổng áp lực p (hình 1.16):
Áp lực từ phía thượng lưu:
p, = yhcC0 = y(h, - a / 2 ) a 2
= 9,81(4,4-1,5)32 =256,041 kN.
Áp lực từ phía hầm ngầm:
h2

1 g2

P2 = Y ^ a = 9,81—

3 = 47,676 kN.

Tổng áp lực p bằng:
p = p, - p2 = 208,364 kN.
2) Tính hD:
‘DI

^C! +

hclco

1 2 (h ,-V

2,9 + = 3,16m
1 2 x 2,9

2
2
h m = —h, = —x l,8 = l,2m
3
3
Từ định lí Varinhông ta có:
pX AD = P| X ADị - P i X ADi, suy ra
AD = PIA D 1 - P2A D 2 = 236, 041(4,4 - 3,16) - 47,678(1,8 - 1 ,2 ) = 1 386
p
"
208,364
’
m
Như vậy h0 = 4,4 - 1,386 = 3,0 lm tính từ phía thượng lưu.
3) Tính lực nâng T:
Lực nâng T ban đầu để nâng cửa ông lên sẽ bằng: T = Gc+ fP + Pzl,
ở đây: Gc = yca2ơ = 11,8 X 32 X 0,08 = 8,496 kN. Lực ma sát
= 104,182kN. Áp lực nước tác động lên mặt trên của

ms = fp = 0,5 X 208,364
G

cống: Pz, = ya ơ h = 9,81 x3x 0,08 X 1.4 = 3,296 kN.

Vậy

T = 115,974 kN.

Bài 1.12. Xác định trọng lượnc G của vật
được giữ ở giá của máy nén thuỷ lưc, nếu trọng
lượng

của pittồng

G|

=

10T, đường kính

D = 500mm, chiều cao đai da h = lOOmm, hệ số
ma sất của da với mặt pittông f = 0,15; áp suất
trong máy nén p = 24at (hình 1.17).

14

H nh 117


H ướng dẩn
Viết phương trình cân bằng lực:
T + P = G + G ,d o đ ó G = T + P - G ,
Ở đây: T - lực ma sát: T = ípnDh ; p - áp lực chất lỏng lên đáy pittông: p = p

TtD

Đ áp sỏ': G = 42,76 T.

Hài 1.13. Van đĩa đường kính d = 50cm đây kín
đường vào hầm ngầm và có cơ cấu như hình 1.18.

w
^

Cho a = lOcm. Xác định lực căng của lò xo AB.
H ư ớ n g dẩn
với bản lể o , khi

Viết phương trình mômen đối

,,
, _ PxOD ,
cl 7td2
dó ta có T = — ----- , ở đây P = yN(h + —
,
a
2
4
J,

()D =
(h +

7 td

)

2

64(h +

-

4

d

2

)

7 ĩd

4

Đáp sô: T =

64a

= 300N
H ình 1.18

Bài 1.14. Xác định mômen M = GL để có thể
giữ cánh cống hình tam giác với các kích thước biểu diễn như hình 1.19.
H ư ớng dẩn
Tính áp lực của nước lên cánh cống:
Ớ đày: p = yhj (1) -> hc = 1 + 1,3 = 2,3m;
co - diện tích cánh công.

Lấy mômen ứng với điểm o
M = GL = p (1 +0,7).

ta có

Đáp số: M = 57535 Nm
Bài 1.15. Xác định độ cao h đê nưóc có
thể tràn qua cánh cống AB. Cánh cống
này có thể quay xung quanh bản lề o
(hình 1.20).
H ướng dẩn

Hình 1.19

Tìm điểm đặt D:
AD = —AM = —— - —
3
3 sin 45°
15


Nước tràn qua AB khi AD > AO, từ đó lính ra //.

Bài 1.16. Xác định độ sâu của nước trong
bê chứa đủ để m ở van hình chữ nhật AB có
a = lOOcm quay xung quanh trục o nằm
ngang và có kích thước biếu diễn như hình
vẽ 1.21.
H ư ớ n g dần
Giái bất phương trình h0 > hu tức là khi tâm

áp lực nằm trên trục o thì van quay.
Đáp sổ: li > 2,6m
Hình 1.20

Bài 1.17. Cánh cửa chữ nhật có tiết diện
(0

= L x b = 3 x 1 (m)

và nặng Q = 747N. Đối trọng G = 6000N
(hình 1.22).
Tính độ sâu h dế cánh cửa càn bằng như
hình vẽ ( a = bơ').
H ư ớ n g dẩn

Bản lé 0
45;m

Tính áp lực theo phươim pháp biểu đồ
(hình 1.23).

4ũcm

■5'4*
p = — — b ; OD = -— 7^—;OB - ———
2 sin a
3 sina
s in u

(I)

777777777777. 7 7 7 7 7
y~Á%

|Á

lỉìn h Ị.21

Tổng inôinen ứng với truc () bằn lĩ 0, do dó: CìL - Ọ —c o s a - P.OD = 0
Tliay (1) vào (2) và sau khi giái phương trình ta lính dược h.
Đáp sổ: h = 2m

Hình 1.22
16

Hình 1.23

(2 )


Bài 1.18. Cửa cống AB có kích thước 5\Ỉ2

X

5yỈ2 (rrr), trọng lượng G = 141

X

9810N

có thể quay xung quanh trục B. Mực nước thượng hạ lưu cho như hình 1.24. Xác định
phản lực mấu A.

Hình 1.24

■Hình 1.25

H ướng dẫn
Bài này nên giải bằng phương pháp biểu đồ.
Từ biểu đồ ta thấy tổng áp lực thuỷ tĩnh p = 5 ỵ x 5 -j2 x 5 \Í2 và đi qua trung điểm của
AB (hình 1.25).
Phương trình mômen:
im

h -0

s
s
R A x 5 > / 2 - P - { - + G — COS45" = 0
2
2
F )

Suy ra:

F )

Từ đó:
Đáp số: R a - 737,22/kN
Bài 1.19. Cánh cửa cổng cao H = lOm, rộng b = 20 m

~Ỷ

chịu áp lực nước ở thượng lưu (hình 1.26). Cần gia cố 8
dầm chữ I sao cho áp lực nước lên mỗi dầm đều như nhau.

H

Xác định vị trí của mỗi dầm.
Bài giải:
Đê cho tổng quát, ta giải bài toán này với giả thiết số
dầm là n chiếc. Theo điều kiện bài toán, mỗi dầm chịu

H

H
H
H
H

H

một áp lực như nhau, cho nên phải chia biểu đồ áp lực
ra làm /7 diện tích bằng nhau (hình 1.27).
Qua các trọng tâm của các diện tích nhỏ này ta kẻ

H ình 1.26

các đường thẳng vuông góc với mặt bản và tại các giao điểm này là vị trí để đặt dầm.
Gọi p là áp lực lên mỗi dầm, theo biểu đồ áp suất như hình vẽ ta có quan hệ sau:

17


Ỵh
p = —— — b
2 sin a
p

Y ( h |- h f) b
2 sin a

p =

g ( h ;_ Ị - h g _ 2)b
2 sin a

p =

Y d iỉ-O b
2 sin a
Hình 1.27

Ở đây: h„ = H.
So sánh từng cặp một các vế phải
của công thức (1) ta có:
h n = h,%/n

(2 )

H = h,\fn

(3)

h ,=

_H_

Còn trọng tâm của diện tích thứ n có thể tìm theo công thức:
1 V n (n -l) + 2 n - :
V

hoặc:

7cn = A

Trong đó:

A =•

n + \/n -1

“1
sin IX

(4)

s in a

sjn(n -1 ) + 2n - 1
c + Vn

/ - 17
\ln

Áp dụng các công thức tìm được trên ta có thể dễ dàng giải bài toán với số dầm cho
bằng 8 và góc a = 90°. Thay các số liệu vào các công thức từ (1) - (4) ta nhận được kếl
quả sau:
Dầm số

1

2

3

4

5

6

7

8

Khoảng cách từ
trên xuống (m)

2,36

4.31

5,58

6,61

7,5

8,29

9,05

9,60

Bài 1.20. Xác định chiểu dày tối thiểu e của thành ống nước bằng thép (hình 1.28) có
đường kính trong d = 900mm và chiu một áp suất dư trung bình p = 30at, nếu ứng suất
kéo cho phép của thép |ơ | = 137,34

X

10APa.

B ai giải
Theo công thức tính thành phần áp lưc lên thành cong ta có:

18


px = pLd
ỏ đây: d - đường kính ống;
L - chiều dài ống.

Vì rằng áp lực Px có xu hướng làm vỡ ống tại hai
diêm a và c, cho nên khi tính chiều dày ống, ta lấy áp
lực bằng —Px và lúc đó chiểu dày e của ống tính theo
công thức sau:
pd

e=

2[ơ]
30x9 8x90
Thay số vào ta nhận được: e = -------- — -------- = 0,96cm.
2 x 1 3 7 ,3 4 x l 0 2

Bài 1.21. Van hình nón có chiều cao h và làm
bằng thép có y = 76,44 kN/m3 dùng để đậy lỗ
tròn

ở

đáy

bê

chứa

nước.

Cho

biết

D = 0,4h và đáy van cao hơn lỗ —h (hình 1.29).
Tính iực R cần để mở van.
H ướng dần
Lực R bằng:

R = G + p - Pb

Ở đây:
G - trọng lượng van;
p - áp lực nước lên đáy van;
Pb - áp lực nước lên mặt bên theo phương thẳng đứng.
Đáp số: R = 5,581h3kN.
Bài 1.22. Van hình cầu dùng để đậy lỗ hở
của thùng chứa chất lỏng được đặt trên cơ cấu
đòn bẩy và có kích thước như hình 1.30.
Xác định lực tối htiểu p để đóng kín van
dó nếu bỏ qua trọng lượng của van.
H ư ớ n g dẫn
Lập phương trình mômen đối với điểm o
ta có:
PR = p,

X

8R, như vậy p = 8P3

Hình 1.30
19

Ở đây: p, - áp lực nước tác động lên phần mặt cầu ngập trong nước.
.2
í
P3 =Y 71 — X 2R - —7th2(3R - h)
V2 J
3
h = R - JR 2-

R'
— I = R -R — = R 1 -^ 2 .
2)
2
Đáp số: p = 3,86 R 37ty

Bài 1.23. Trên mặt phẳng người ta úp một bình

d

bằng thép không đáy có dạng hình nón cụt với các
kích thước: D = 2m, d = lm; II = 4m; ơ = 3mm
(hình 1.31).
Hãy tính với mức nước trong bình bằng bao
nhiêu thì bình bị nhấc khỏi mặt bằng.
Đáp số:

X

= 0,62 lm

Bài 1.24. Người ta đậy một lỗ tròn ở đáy bể chứa
bằng quả cầu trọng lượng G; bán kính cầu băng R,
mức nước là 4R và khoảng cách từ tâm cầu đến
Hình 1.31
đáy bình bằng R/2 (hình 1.32). Tính lực Q cần thiết để nâng quả cầu lên.

h = R/2

Hình 1.33
B ài giải:
Lực nâng quả cầu Q bằng:

Q = G + Pz

(1)

ơ đây: G - trọng lượng quả cầu đã cho;
Pz - lực của nước tác động lên quả cầu theo phương thẳng đứng cần tìm.
Để tìm P2: chia cầu ra làm 2 phần bằng mặt cắt ab và khi đó:
P2 = Y (w, + w,)
20

yw

(2)


Ớ đây: w, - vật thế áp lực lên mặt acb và mang dấu
w2 - vật thể áp lực mặt acdb và mang dấu

(hình 1.24).

Wl = V ,baV - vacb,
w: = V.lbaW+ v.)cdb —^aic d' = ^aba b' + v.,n, —Vd'd - ^cdc d’>
w = w, - w, = Vabvb.

- v acb - v aba.b.- v alb+

Vcffd +v cdc.d.

w
w —
=V
+ VJ
V T...(1 +
w= w
W| - w2
Vnb;>-,.- VV_K.h- Vv ,lhlly - vVnt>„, ^

V
cđctĩ

=_ V
, + V ... 4- V
v cáu “ v ctíđ ^ v Cik d
V..

Í ^ R 3;
3

V.cfd

-7Th2(3R - h) = 5 —
3
24

3

R2
v cdc.d. = 7tr24R = n ^ R 2 - ^ - 4 R = ìn R *
Thay tất củ vào (2) ta có:
4
3 5ĩiR
p7 = y - —7lR + —— + 3ttR 31 = — TiR3y
1
24
1 8
Vậy lực nâng Q sẽ là:
Q = G + — Ỵ7TR\
8
Bài 1.25. Van hình trụ có thể quay xung
quanh trụ nằm ngang (hình 1.34). Trọng tàm
của van nằm trên đường bán kính tạo thành
góc ọ = 45° theo phương ngang và cách trục
quay inột khoảng OA = —r . Biết bán kính
van I' = 40cm, chiều rộng van b = lOOcm.
Xác định trọng lượng của van đê van ờ vị
trí cân bằng như hình vẽ.
B ài giải:
Đê’ cho van ở vị trí cân bằng như hình vẽ

thì tổng mômen của các lực đối với trục o
phải bằng không, tức là I m u = 0

(1)

Theo biểu đồ áp lực (hình 1.35) ta viết được phương trình (1) như sau:
Pz X D ị O - Pxl X D ịO + G X O A coscp = 0

(2 )
21


Ở đây:
1
?4r
p, = —yrtr b, D 20 = —
4
3ĩt
Pxl = yr2rb = 2yr2b.
D ,0 = ị r ; OA =

ị r .

Do vậy từ (2) ta có:

Q _ PX|xODị -PzxOD2 _
OAcoscp
o 2. 1
1
2,

4r
2y.r b X - r - - Ỵ7i r b X —_________ 3
4_______ 3n_
1
-rco scp

5br Ỵ

H ình 1.35

3coscp

9 8 1 0 x 5 x 1 x 0 ,4
XT
Thay số: G = ----------- -—------- = 3700N = 3,7kN
3cos45°
Bài 1.26. Bình chứa chất lỏng trong đó
có thả phao hình cầu. Bình này lại nối
trong bê chứa cùng loại chất lỏng đó
(hình 1.36). Cho biết trọng lượng của bình
là G|, của chất lỏng chứa trong bình là G ị ,
tỉ số giữa các chiều sâu K =

z

Tính

trọng lượng G của phao.
B ài giải:

H ỉnh 1.36

Gọi co là diện tích đáy của bình, ta có
các phương trình cân bằng:
Ỵ( 0 Z | =

G,

ỵcoz2 =

G

+
+

G2 + G
G2

(1)
(2)

Giải 2 phương trình trên ta nhận được:
G = — — G, - G 7
K -1 1
2
Bài 1.27. Trên 2 con lăn gỗ hình tròn có
các đường kính D và d, chiều dài' L, ta đặt
tấm gỗ trọng lượng G sao cho 2 mút thừa ở
hai đầu đều bằng c (hình 1.37).
22

H ình 1.37


Cần đặt tái trọng phụ p ở vị trí nào để giữ cho tấm gỗ ở vị trí nằm ngang?
B à i giải:
Khi tấm gỗ ở vị trí nằm ngang thì khoảng cách / từ mặt thoáng đến tấm gỗ sẽ
không đổi.
Ta tính các diện tích C0 | và co2 của các con lăn ngập trong nước theo r, R và f:
co, =7 ĩ R 2 - R 2 arccos —— - + (R - f )V z r 7--7^
R
r-f
= Tir2 - r 2 arccos------- h (r —f ) a/ 2 rf —f
r

(1)
(2 )

Lực đẩy Acsimct tác đôn lí vào các cọn lăn sẽ là:

Aị=cO|Ly,

A 2 = oj2Lỵ,

(3)

Viết phươní? trình cân bằng mômen ứng với điểm A:
A ,(x + y ) - G | t - c

Px = 0

(4)

Ớ đây:
y=L-

X

- 2c, Vì vạy:

(L -2 c )(2 A ,-G )

X = ■

2P

(5)

Mặt khác, ta viết phương trình cân bằng lực lên trục tháng đứng:
A ,+ A 2- P - G = 0

(6)

Sửdụim các còng thức và phương trình trên sau khi biến đổi ta nhận được:
tt(K ' + r

2

n 2
R- 1

2
) - K ~ a r c c o s -------------- 1 “ a r c c o s

r-f

R

+ ( R - f ) V 2 R f - f 2 + ( r - f ) n/ 2 rf2 - f 2 =

_ P+G
yL
Từ phương trình này la có thể tính được f theo các đại lượng R, r, p, G, L và Ỵ. Với f
cỉó thay vào (1) ta tìm được 031 và nhờ (3) ta có A| đã được tính.
Bài 1.28. Một thanh gỗ đồns chất dài
L„ = 2m. diện tích ngano là

s,

có khối

lơơim dơn vị là pg = 840 k s/m 3 được
ạắn vào bán lề A đặt cách mặt nước
một khoaníi a = 0,4m (hình 1.38). Tính
góc

nchicne

a

khi

thả

thanh

£>ỗ

vào nước.

23


H ư ớ ng dẫn
Tính trọng lượng G của thanh gỗ. Tính lực đẩy Acsimet A tác động lên phần thanh gồ
ngập trong nước. Lập phương trình cân bằng mômen ứng với trục quay A (hình 1.39):

(1)

PgLoLc - P n^ L ạ

A

Thay các công thức trên vào (1) và
giải ra ta được:

Hình 1.39
(2)

Thay số vào ta có a = 60°.

Bài 1.29. Tính áp lực p lên mặt bên của hình nón tròn kín nằm nghiêng dưới nước có
kích Ihước như hình 1,40a. Tim góc Ị3 tạo bởi lực đó với trục hình nón.
H ướng dẩn
Cỏ 3 lực tác động vào hình nón: lực Acsimet A, lực p, lên đáy và lực p lên mặt bên; 3
lực này tạo thành tam giác lực (hình 1.40b) và từ đó có biểu thức:
A

p

Pị

sin (3

sin a

sin (a-P )

(1)


Theo (1) và (2) ta có:

h sin a
tgp =

3H + h c o s a
2.
1 2 , sin a
nr Ỵ ị ~ 2
Ti 7777

"
p = Ỵ—Tcr h —— = —— v 9 H + h + 6 H h c o s a
3
sin p
3

và

Bài 1.30. Thùng bằng thép có trọng lượng
G = 45,12 kN với đáy hình vuông có kích

4m
------------------- T ■
—

thước 4 x 4 (m2) và chiểu cao H = 5m nằm
úp trong nước (hình 1.41). Thùng chứa đầy

V
ỉ —
1 1 1! 1 1 1 1

H ư ớ ng dẫn

1; 1; nq! 1' 1! 1'
1 1 ' 11

dầu có trọng lượng riêng yd = 8,6328 kN/m3.
Xác định áp suất p của dầu lên đáy thùng và
chiéu sâu /í của bể ngập trong nước.

V
—
H

(Yd)

_

■------:

Dựa vào điều kiện áp lực lên đáy thùng
càn bằng với trọng lượng thùng, ta tìm được
áp suất p.

-]K K Ĩ-I

Hình 1.41

Áp dụng định luật Acsimet, tìm được h.

Đáp số: p = 0,2820N/crrr;
h = 4,688m.
Bài 1.31. Đường hầm CED có dạng nửa trụ

tròn, bán kính R = 2m, nằm dưới đáy biển

sàu H = 25m (hình 1.42). Giả thiết rằng:
1) Từ mặt thoáng đến mặt A-A (hj = 20m), trọng lượng riêng của nước biển thay đổi
theo quy luật sau:

Y = Yo

1 + 0,02 —
h 1/

Trong đó: y0 = 10.000 N/m3;
h - độ sâu tính từ mặt thoáng
đến điểm được xét.
2) Từ mặt A - A đến đáy biển trọng lượng
riêns; nước biển coi như không đổi.
Yêu cầu:
a) Tính áp suất dư tại các điểm

c, D,

E.

b) Tính lực do nước biển tác dụng lên lm
chiểu dài đường hầm.
Bài giải:
a)

Hình 1.42

Để tính áp suất pc, pD, pE, trước hết tính

áp suất dư trên mặt A-A (kí hiệu là pA) (hình 1.43).
25

Từ công thức dp = ydh, suy ra:
hi
I
P a = ĩ » í(l + 0 , 0 2 f ) d h = l,01y0h,
0
hi
hị = 2 0 m , y0 = 1 0 .0 0 0 N /m 3.

H ình 1.43

Áp suất tại E bằng:
pc = PD= PA+ yA (H - h, - R) = 2,02
Áp suất tại D bằng áp suất tại
pc =

PD

c

X

105 + 0,102 X 105 (2 5 -2 0 -2 ) = 2,326

X

10sN /n r

và bằng:

= PA + yA (H - h ,) = 2 ,0 2 X 105 + 0 , 1 0 2

X

105= 2 ,5 3

X

105N / n r

b) Tính áp lực lên lm chiều dài hầm.
Áp lực theo phương ngang triệt tiêu. Áp lực theo phương thẳng đứng bằng:
Pz = P a ® z + Y a W >

ở đây:

( Dz =

2R

X

1.

w = 2R X lh 2

%R ■xl = 2 R ( H - h , ) - 7rR
2
2
0,102 X 105[2 X 2 X5 - 3,14
'

Vây pz = 2,02

X 105 X

2

X

2

+

X

2

X

2/21 = 9,479

Lực p, hướng xuống dưới đi qua tâm trục.
Bài 1.32. Một hình trụ có bán kính
I = 2,5cm, chiều đài L = lOOcm đậy một
lỗ thoát ử đáy bình chứa có kích thước
(0 = a

X

b = 3

X

100 (cm) (hình 1.44).

Hãy tính áp lực nước lên trụ nếu H = 3m;
Po = 0,8at.
H ư ớ ng dần
Giải như bài 1.24, chỉ khác ở đây nắp là
hình trụ.
Đáp số: p, = 3218,95N
Bài

1.33. Ong tròn có đường kính

d = 15mm dùng để dẫn nước vào bể chứa.
Biết áp suất của nước trong ống dẫn
p = 3at. Khi nước đầy bể thì nắp K gắn liền
với hệ thống đòn bẩy có các cánh tay đòn
a = l,9cm; b = 40cm sẽ đậy kín miệng
ống dẫn.
Phía đầu kia của đòn bẩy gắn liền với quả
cầu rỗng có đường kính D = 8cm (hình 1.45).
26

Hình 1.44

Ẩ_L
a

H ình 1.45

X

105N


Xác định chiều sâu cực đại

X

của quả cầu ngập trong nước nếu bỏ qua trọng lượng của

quá cầu, đòn bẩy và nắp.
Đáp số: X = 6,8cm.
Bài 1.34. Toa xe chở dầu chuyển động theo phương ngang vói vận tốc V = 36km/h và
có các kích thước:
D = 2m, h = 0,3m, 1 = 4m (hình 1.46)
Tại một thời điểm đoàn tàu hãm phanh và
sau

đó

chạy

được

một

quãng

K

đường

L = lOOm thì dừng lại.
Xem chuyển động của đoàn tàu là chuyển
động chậm dần đều, hãy xác định tổng áp
lực p của dầu lên đáy trước của toa xe. Cho
trọng lượng riêng của dầu y = 9810 N/m3.
Hình 1.46

B à i giải

Khi đoàn tàu chuyển động chậm dần đều thì mặt thoáng của dầu nghiêng về phía
trước (hình 1.47). Như vậy, để tìm áp lực p lên đáy trước thì cần tìm độ chênh mức đầu
Ah và:

o đây:

P = y(Ah + h + — ) —
2
4

(1)

Ah
An = —
la-l = tga, —» Ah
A1 = la /

—

( )

2

Tính a:
V = v 0 + at
Hình 1.47

v 0 = 36 km/h = lOm/s
t = t ! thì V = 0, do đó a = ---- t,
T , , at ị
v 0t,
L = v 0t ị + —^ =
0
2
Vậy a =

Từ (1):

20

2

2L
=—
1 v0

2x100

10

20s

= - 0 ,5 m / s . Thay a vào (2): Ah = • ^ • x 4 = 0,2m
10

p = 9810 (0,2 + 0,3 +
2

X-2 = 46205N = 46,205 kN
4

lỉài 1.35. Bình chứa khối lượng m, với đáy vuông 1

X

1 chứa nước đến độ cao h và

tnrọt theo mặt phẳng ngang dưới tác động của vật có khối lượng m2 (hình 1.48).
27