Giải tích malliavin và ứng dụng

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Công thức tích phân từng phần trừu tượng
1.1

1.2

2.2

1

Trường hợp một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Vấn đề độ nhạy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Mật độ của phân bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Trường hợp nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 Giải tích Malliavin Brown
2.1

iii

12

Trường hợp hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1

Các định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2

Các toán tử vi phân. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 14

Trường hợp vô hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1

Miền xác định tập Domp (D) = D1,p

2.2.2

Miền xác định tập Domp (δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.4

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5

Công thức Clark - Ocone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.6

Miền xác định tập Domp (L) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.7

Công thức tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

. . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3

Chuyển động Brown nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4

Các đạo hàm bậc cao và các công thức tích phân từng phần . . . . . . 41

2.5

Quá trình khuếch tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

i


2.6

Phụ lục. Phân tích hỗn độn Wiener (Wiener chaos decomposition) . . . 48

3 Áp dụng vào Tài chính

53

3.1

Công thức Clark - Ocone và danh mục đầu tư tái tạo . . . . . . . . . . 53

3.2

Tính toán độ nhạy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.3

3.2.1

Tập Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2

Một số ví dụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Kỳ vọng có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3.1

Thủ tục đường chéo và các công thức cơ bản . . . . . . . . . . . 69

3.3.2

Công thức địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

ii


LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích Malliavin được hình thành từ những năm 70 của thế kỷ XX và đến những
năm 80, 90 một lượng khổng lồ các công việc đã được thực hiện trong lĩnh vực này. Lý
thuyết phần lớn được xây dựng trên tính toán ngẫu nhiên Itô nhằm mục đích nghiên
cứu cấu trúc cũng như phân bố của không gian các hàm Wiener. Đầu tiên năm 1974,
Malliavin đã dùng tiêu chuẩn liên tục tuyệt đối để chứng minh rằng dưới điều kiện
Hormander phân bố của quá trình khuếch tán có mật độ mịn và với cách này ông đã
chứng minh được định lý xác suất Hormander. Sau đó người ta đã dùng phương pháp
giải tích này trong nhiều bài toán khác nhau có liên quan tới quá trình ngẫu nhiên.
Cuối cùng người ta đã tìm ra ứng dụng của giải tích Malliavin trong phương pháp số
xác suất, chủ yếu trong lĩnh vực toán tài chính. Những ứng dụng này hơi khác những
phương pháp trước đó bởi công thức tích phân từng phần trong giải tích Malliavin
được dùng để giải thích một cách chắc chắn các vấn đề trong thuật toán phi tuyến.
Bố cục luận văn gồm ba chương :

Chương 1: “Công thức tích phân từng phần trừu tượng ”. Chương này nhằm
giới thiệu công thức tích phân từng phần trừu tượng. Từ đó ta đưa ra được những kết
quả quan trọng như : vấn đề độ nhạy, mật độ của phân bố và kỳ vọng có điều kiện.
Chương 2: “Giải tích Malliavin Brown”. Chương này đưa ra các khái niệm về các
hàm đơn giản, các quá trình đơn giản, từ các khái niệm này người ta mới đưa ra định
nghĩa đạo hàm Malliavin. Tiếp theo đưa ra định nghĩa tích phân Skorohod, mối quan
hệ giữa tích phân Skorohod với tích phân Itô, từ mối quan hệ này ta thấy được tích
phân Skorohod là mở rộng của tích phân Itô như thế nào. Áp dụng công thức tích
phân từng phần trừu tượng để suy ra được các tính chất quan trọng của tích phân
như : công thức đối ngẫu, quy tắc chuỗi, công thức Clark – Ocone và công thức tích
phân từng phần Malliavin. Ngoài ra chương 2 còn giới thiệu quá trình khuếch tán và
phân tích hỗn độn Wiener, các tập Domp (D), Domp (δ), Domp (L).
Chương 3: “Áp dụng vào tài chính”. Ta áp dụng các kết quả của chương 1 và
iii


chương 2 vào chương này. Trước tiên áp dụng công thức Clark – Ocone để tìm danh
mục đầu tư tái tạo, tức là tìm được những cổ phiếu φit để lựa chọn việc đầu tư tái tạo;
tìm giá của tùy chọn (H, T ) kiểu châu âu tại thời điểm t, nghĩa là tại kỳ hạn thanh
toán T tương ứng với chi trả ngẫu nhiên H. Áp dụng việc tính toán độ nhạy ở chương
1 và công thức tích phân từng phần Malliavin để tính toán độ nhạy. Việc tính toán
độ nhạy cho ta biết phương án đầu tư có an toàn hay không, khi độ nhạy thấp thì
phương án đầu tư là an toàn ngược lại khi độ nhạy cao thì cần tính đến việc thay đổi
phương án đầu tư khác. Một áp dụng nữa là tính kỳ vọng có điều kiện, tính kỳ vọng
có điều kiện giúp ta quyết định có bán cổ phiếu theo giá bảo hiểm hay không.
Luận văn được dựa trên cơ sở chính là tài liệu "An Introduction to Malliavin Calculus
and its applications to Finance" của các tác giả : Vlad Bally trường đại học Paris - Est
Marne - la - Vallée, Lucia Caramellino trường đại học Roma -Tor Vergata và Luana
Lombardi trường đại học L’Aquila.
Tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến các thầy cô trường đại học Khoa học

tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các thầy cô viện Toán học đã trang bị kiến
thức, dìu dắt tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại đây, đặc biệt là thầy
TS. Nguyễn Thịnh đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi hoàn thành luận văn
này.

Hà Nội, ngày 01 tháng 7 năm 2015

Bùi Hùng Cường

iv


Chương 1
Công thức tích phân từng phần
trừu tượng
Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu một phép tính Malliavin trừu tượng, đó là công
thức tích phân từng phần và ta nhấn mạnh vài kết quả quan trọng như :tính toán độ
nhạy, mật độ của phân bố và kỳ vọng có điều kiện.

1.1

Trường hợp một chiều

Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất và E là kỳ vọng chuẩn trên P . Bộ Cck (Rd )
và Cbk (Rd ) là không gian các hàm f : Rd → R khả vi liên tục bậc k, compact và các
đạo hàm được hạn chế trên các tập tương ứng. Khi các hàm khả vi vô hạn, ta có các
tập tương ứng là Cc∞ (Rd ) và Cb∞ (Rd ) .
Định nghĩa 1.1.1:
Cho F, G : Ω → R là các biến ngẫu nhiên khả tích. Ta nói rằng công thức tích phân
từng phần IP (F ; G) là đúng nếu tồn tại biến ngẫu nhiên khả tích H(F ; G) sao cho:

IP (F ; G) : E(φ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R)

(1.1)

Hơn nữa, ta có công thức tích phân từng phần IPk (F ; G) là đúng nếu tồn tại biến
ngẫu nhiên khả tích Hk (F ; G) sao cho:
IPk (F ; G) : E(φ(k) (F )G) = E (φ(F )Hk (F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R).
1

(1.2)


Nhận xét 1.1.2:
- Bằng cách sử dụng kết quả tiêu chuẩn chính quy, có thể kiểm tra các hàm Cc∞ (R)
trong IPk (F ; G) có thể chuyển thành Cck (R) hoặc Cb∞ (R), Cbk (R).
- Rõ ràng IP1 (F ; G) chính là IP (F ; G) và H1 (F ; G) chính là H(F ; G).
Hơn nữa, nếu ta có các công thức IP (F ; G) và IP (F ; H(F ; G)) thì ta sẽ suy ra công
thức IP2 (F ; G) với H2 (F ; G) = H(F ; H(F ; G)) .
Tương tự như vậy cho các đạo hàm bậc cao hơn.
Ví dụ: Trong IPk (F ; 1) cho chúng ta xác định Hk (F ; 1) ≡ Hk (F ) bằng cách xác định
lại:
H0 (F ) = 1,

Hk (F ) = H(F ; Hk−1 (F )), k ≥ 1

- Nếu có công thức IP (F ; G) thì từ E(H(F ; G)) = 0 suy ra G = 1 ở (1.1).
Hơn nữa, H(F ; G) trong IP (F ; G) không phải là duy nhất : Với bất kỳ biến ngẫu
nhiên R thỏa mãn E(φ(F )R) = 0 (nghĩa là E(R |F ) = 0) ta cũng có thể sử dụng như
H(F ; G) + R ( thực tế E(H(F ; G) |F )) là duy nhất ). Trong số học điều này đóng vai
trò quan trọng bởi vì nếu ta muốn tính E(φ(F )H(F ; G)) sử dụng phương pháp Monte

Carlo thì nó có thể cho ta phương sai tối thiểu. Cũng lưu ý rằng để thực hiện thuật
toán Monte Carlo ta có mô phỏng F và H(F ; G). Trong một số trường hợp, H(F ; G)
có thể tính toán trực tiếp. Nhưng giải tích Malliavin cho ta một hệ thống phép toán
để tính toán điều này. Thường trong các ứng dụng F là lời giải của phương trình ngẫu
nhiên và H(F ; G) xuất hiện như một sự tổng hợp của các toán tử vi phân trên F .
Những điều này cũng có liên quan tới các phương trình ngẫu nhiên và vì vậy ta có thể
sử dụng một số xấp xỉ của các phương trình để tạo ra các thuật toán cụ thể.
Ví dụ: Cho f = ∆ và G = g(∆) trong đó f, g là các hàm khả vi và ∆ là biến ngẫu
nhiên Gauss có kỳ vọng 0 của phương sai σ. Khi đó:
E(f (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆)

∆
− g (∆)]
σ

(1.3)

∆
− g (∆). Từ ứng dụng trực
σ
tiếp của công thức tích phân từng phần nhưng với sự có mặt của mật độ Gauss

vì vậy ta có công thức IP (F ; G) với H(F ; G) = g(∆)

2


p(x) = √

x2

exp(− ) ta có :
2σ
2πσ 2
1

E(f (∆)g(∆)) =

f (x)g(x)p(x)dx

=−

f (x)(g (x)p(x) + g(x)p (x))dx

=−

f (x)[g (x) + g(x)

= E(f (∆)[g(∆)

p (x)
]p(x)dx
p(x)

∆
− g (∆)])
σ

Giải tích Malliavin tạo ra H(F ; G) cho một lớp lớn các biến ngẫu nhiên - (1.3) đại
diện cho ví dụ đơn giản kiểu này, nhưng đó không phải là mục tiêu của phần này . Ở
đây ta chỉ đưa ra một vài hệ quả của tính chất trên.

1.1.1

Vấn đề độ nhạy

Trong nhiều ứng dụng ta xem xét đến những số có dạng E(φ(F x )) trong đó F x là một
loại biến ngẫu nhiên chỉ số trên tham số hữu hạn x. Một ví dụ điển hình là F x = Xtx
là một quá trình khuếch tán bắt đầu từ x. Để nghiên cứu độ nhạy của yếu tố này với
tham số x, ta chứng minh rằng x → E(φ(F x )) là khả vi và tìm biểu thức đạo hàm
của nó. Có hai cách để giải quyết vấn đề này, đó là : cách tiếp cận theo từng quỹ đạo
hoặc cách tiếp cận theo phân bố.
Cách tiếp cận theo từng quỹ đạo : giả sử rằng x → F x (ω) là khả vi hầu khắp nơi
ω ( và đây là trường hợp x → Xtx (ω) trong ví dụ) và φ cũng khả vi. Khi đó :
∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x )
nhưng cách tiếp cận này không thực hiện được nếu φ không khả vi.
Cách tiếp cận theo phân bố : vượt qua trở ngại trên nhờ sử dụng sự uyển chuyển
mật độ của phân bố của F x . Vì vậy trong cách tiếp cận này ta giả thiết rằng F x ∼
px (y)dy và x → px (y) là khả vi với mỗi y.
Khi đó:
∂x E(φ(F x )) =

φ(y)∂x px (y)dy =

φ(y)∂x ln px (y)px (y)dy = E (φ(F x )∂x ln px (F ))
3


Đôi khi người ta gọi ∂x ln px (F ) là hàm điểm. Nhưng cách làm này chỉ dùng được khi
ta biết mật độ của phân bố của F x . Nếu không biết mật độ của phân bố của F x thì
sử dụng công thức tích phân từng phần IP (F x ; ∂x F x ) ta có đẳng thức :

∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x ) = E (φ(F x )H(F x ; ∂x F x )) .
Ta thấy rằng đẳng thức trên đúng ngay cả khi φ không khả vi bởi vì không có đạo
hàm của các số hạng đầu và cuối. Trong thực tế ta có thể sử dụng một số lập luận
thông thường và sau đó chuyển qua giới hạn. Do đó ta thu được H(F x ; ∂x F x ).
Giải tích Malliavin như một cái máy cho phép tính toán số lượng lớn các lớp biến
ngẫu nhiên cho trường hợp mật độ của phân bố không biết một cách rõ ràng (ví dụ
như quá trình khuếch tán). Đây là cách tiếp cận trong Fourni’e, [12] và [13] đối với
tính toán kiểu Hy Lạp (độ nhạy của giá của người châu Âu và lựa chọn của người Mỹ
với các tham số nhất định) trong các vấn đề Toán tài chính.

1.1.2

Mật độ của phân bố

Sau đây ký hiệu 1A (x) hoặc 1x∈A


 1, nếu x ∈ A
là hàm chỉ tiêu, nghĩa là: 1A (x) =
 0, nếu x ∈
/A

Bổ đề 1.1.3
Giả sử rằng F thỏa mãn công thức IP (F ; 1). Khi đó phân bố của F là liên tục tuyệt
đối đối với độ đo Lebesgue và mật độ của phân bố được cho bởi:
p(x) = E(1[x,∞) (F )H(F ; 1))

(1.4)

Hơn nữa p liên tục và p(x) → 0 khi |x| → ∞

Chứng minh:
Hình thức lập luận như sau: Từ δ0 (y) = ∂y 1[0;∞) (y), áp dụng công thức IP (F ; 1) ta
có
E(δ0 (F − x)) = E ∂y 1[0;∞) (F − x)
= E 1[0;∞) (F − x)H1 (F ; 1)
= E(1[x;∞) (F )H(F ; 1))
4


Để có suy luận chính xác, ta làm theo hàm Dirac. Vì vậy ta có một hàm dương
φ ∈ Cc∞ (R) nhận giá trị không đổi trên [-1;1]. Như vậy

φ(y)dy = 1 và với mỗi δ > 0

ta xác định φδ (y) = δ −1 φ(yδ −1 ). Hơn nữa ta xác định Φδ là nguyên hàm của φδ ,
y

Φδ (y) =

φδ (z)dz và ta xây dựng một vài biến ngẫu nhiên θδ của phân bố φδ (y)dy,
−∞

cái mà độc lập với F . Vì θδ hội tụ yếu tới 0 khi δ → 0 nên với mỗi f ∈ Cc∞ (R) ta có :
E(f (F )) = lim E(f (F − θδ ))
δ→0

(1.5)

Đặt Λ là phân bố của F , ta có thể viết :
E(f (F − θδ )) =

(f (u − v)φδ (v)dvdΛ(u)

=

f (z)φδ (u − z)dzdΛ(u)

=

f (z)E(φδ (F − z))dz

=

f (z)E(Φδ (F − z))dz

=

f (z)E(Φδ (F − z)H(F ; 1))dz

Bây giờ Φδ được hạn chế trên δ và Φδ (y) → 1[x,∞) (y) khi δ → 0 với ∀ y. Khi đó sử
dụng định lý hội tụ Lebesgue thông qua giới hạn ta được :
E(f (F )) =

f (z)E(1[z;∞) (F )H(F ; 1))dz

với bất kỳ f ∈ Cc∞ (R), vì vậy z → E(1[z;∞) (F )H(F ; 1)) là hàm mật độ xác xuất của
F , nó cũng là hàm liên tục. Thật vậy, nếu zn → z ta có 1[zn ;∞) (F ) → 1[z;∞) (F ). Vì
vậy áp dụng định lý hội tụ Lebesgue, ta có:
p(zn ) = E(1[zn ;∞) (F )H(F ; 1)) → E(1[z;∞) (F )H(F ; 1)) = p(z)
tức p là hàm liên tục.

Cuối cùng, nếu z → +∞ thì 1[z;∞) (F ) → 0 và khi đó p(z) → 0 .
Nếu thay bằng z → −∞ thì ta sử dụng lập luận tương tự nhưng biểu diễn là :
p(x) = −E(1(−∞;x) (F )H(F ; 1))

(1.6)

điều đó được suy từ thực tế sau 1[x;+∞) = 1 − 1(−∞;x) và nhắc lại rằng E(H(F ; 1)) = 0
(Xem Nhận xét 1.1.2). Ta có điều cần chứng minh.
Nhận xét 1.1.4. [Bị chặn]
5


Giả sử rằng H(F ; 1) là bình phương khả tích. Khi đó sử dụng bất đẳng thức Chebishev
ta có :
p(x) ≤

P(F ≥ x) H(F ; 1)

2

Đặc biệt, lim p(x) = 0 và tỉ lệ hội tụ được điều chỉnh lên đến tận cùng của phân bố
x→∞

−p/2
.

của F . Ví dụ nếu F có bậc p hữu hạn cho bởi p(x) ≤ Cx

Điều đáng chú ý trong

các ví dụ, quá trình khuếch tán thường có dạng mũ. Vì vậy vấn đề của giới hạn trên
cho hàm mật độ là khá đơn giản ( Ngược lại, vấn đề giới hạn dưới cho hàm mật độ là
một thách thức lớn). Công thức ở trên áp dụng cho trường hợp x → ∞. Trường hợp
tương tự khi x → −∞ ta sử dụng công thức (1.6)
Bây giờ ta nghiên cứu xa hơn nữa và nghiên cứu vấn đề đạo hàm của hàm mật độ.
Bổ đề 1.1.5:
Giả sử ta có công thức IPi (F ; 1), i = 1, ..., k + 1 . Khi đó mật độ là khả vi bậc k và :
p(i) (x) = (−1)i E(1(x;∞) (F )Hi+1 (F ; 1)), i = 0, 1, ..., k

(1.7)

Chứng minh:
x

Cho i = 1. Ta xác định Ψδ (x) =

Φδ (y)dy, khi đó Ψδ = φδ và ta quay trở lại với
−∞

chứng minh Bổ đề 1.1.3, sử dụng IP2 (F ; 1) ta có :
E(φδ (F − z)) = E(Ψδ (F − z)) = E(Ψδ (F − z)H2 (F ; 1))
Do đó :
E(f (F − θδ )) =
Từ

f (z)E(Ψδ (F − z)H2 (F ; 1))dz

lim Ψδ (F − z) = (F − z)+ ta thu được :

δ→0

E(f (F )) =

f (z)E((F − z)+ H2 (F ; 1))dz

do đó
p(z) = E((F − z)+ H2 (F ; 1))
Cái hay ở đây là biểu diễn tích phân mới của mật độ z → (F − z)+ là khả vi. Lấy đạo
hàm công thức trên cho ta :
p (z) = −E(1[z;∞) (F )H2 (F ; 1))
6


Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến: Cơ sở lý thuyết Xác suất, NXB Đại học
Quốc gia Hà Nội, 2004.
[2] Trần Hùng Thao: Nhập môn Toán học Tài chính, NXB Khoa học và kỹ thuật,
2004.
[3] Đặng Hùng Thắng: Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013.
[4] V. Bally: An elementary introduction to Malliavin calculus. Rapport de recherche
4718. INRIA, 2003.
[5] V. Bally, M.P. Bavouzet, M. Messaoud: Integration by parts formula for locally
smooth laws and applications to sensitivity computations. Annals of Applied
Probability, 17, 33-66, 2007.
[6] V. Bally, L. Caramellino, L. Lombardi: An Introduction to Malliavin Calculus
and its applications to Finance, 2010.
[7] V. Bally, L. Caramellino, A. Zanette: Pricing and Hedging American Options by
Monte Carlo methods using a Malliavin calculus approach. Monte Carlo Methods
and Applications, 11, 121-137, 2005.
[8] M.P. Bavouzet-Morel, M. Messaoud: Computation of Greeks uning Malliavin’s

calculus in jump type market models. Electronic Journal of Probability, 11, 276300, 2006.
[9] K. Bichteler, J.-B. Gravereaux, J. Jacod. Malliavin calculus for processes with
jumps. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1987.
78


[10] B. Bouchard, I. Ekeland, N. Touzi: On the Malliavin Approach to Monte Carlo
Approximation of Conditional Expectations.Finance and Stochastics, 8, 45-71,
2004.
[11] N. Chen, P. Glasserman. Malliavin Greeks without Malliavin calculus. Stochastic
Processes and their Applications, 117, 1689-1723, 2007.
[12] E. Fourni’e, J.M. Lasry, J. Lebouchoux, P.-L. Lions, N. Touzi: Applications of
Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance. Finance and Stochastics,
3, 391 - 412, 1999.
[13] E. Fourni’e, J.M. Lasry, J. Lebouchoux, P.-L. Lions: Applications of Malliavin
Calculus to Monte Carlo methods in finance II. Finance and Stochastics, 5, 201 236, 2001.
[14] P.E. Kloeden, E. Platen: Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations.
Applications of Mathematics, Stochastic Modeling and Applied Probability 23,
Springer, 1991.
[15] A. Kohatsu-Higa, R. Petterson: Variance Reduction Methods for Simulation of
Densities on Wiener Space. SIAM Journal of Numerical Analysis, 4, 431-450,
2002.
[16] S. Kusuoka, D. Strook: Applications of the Malliavin calculus. II. J. Fac. Sci.
Univ. Tokyo Sect. IA Math., 32, 1–76, 1985.
[17] N. Ikeda, S. Watanabe:Stochastic differential equations and diffusion processes.
North Holland, second ed. 1989.
[18] D. Lamberton, B. Lapevre. Introduction to stochastic calculus applied to finance.
Chapman and Hall, London, 1996.
[19] P-L. Lions, H. Reqnier: Calcul du Prix et des Sensibilit’es d’une option
Am’ericaine par une M’ethode de Monte Carlo. Preprint, 2000.

[20] P. Malliavin: Stochastic analysis. Springer, 1997.

79


[21] P. Malliavin, A. Thalmaier: Stochastic calculus of variations in mathematical finance. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
[22] D. Nualart: The Malliavin calculus and related topics. Springer-Verlag, 1995.
[23] M. Sanz-Sol’e: Malliavin calculus, with applications to stochastic partial differential equations. EPFL Press, 2005.

80