Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính fredholm (LV01954)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ THỊ THU HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội-2016
2


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỖ THỊ THU HƯỜNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XẤP XỈ
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH
FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Khuất Văn Ninh

Hà Nội-2016

Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh, người đã tận tình hướng
dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong Phòng Sau đại học, Trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy
bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Học viên

Đỗ Thị Thu Hường

i


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Khuất Văn Ninh,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số phương
pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm” được hoàn
thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2016
Tác giả

Đỗ Thị Thu Hường

ii


Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3

Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm 10
1.4.1

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1 10

1.4.2

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 11

1.5

Công thức cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6

Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7

Công thức Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.8

Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến
tính Fredholm loại 2

16

2.1

Các phương pháp giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1

16

Phương pháp nhân suy biến . . . . . . . . . . . .
iii


2.2

3

2.1.2

Phương pháp phân tích Adomian . . . . . . . . .

24

2.1.3

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . .

28

2.1.4

Phương pháp chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . .

35

Phương pháp số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.2.1

39

Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . .

Một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến

tính Fredholm loại 1

48

3.1

Phương pháp chính quy hóa . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.2

Phương pháp nhiễu đồng luân

51

. . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

60

Tài liệu tham khảo

61

iv


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học phương trình tích phân là một phương trình trong
đó một hàm số chưa biết xuất hiện trong dấu tích phân. Phương trình
tích phân được xem như là công cụ toán học hữu ích trong nhiều lĩnh
vực nên được quan tâm nghiên cứu theo nhiều khía cạnh khác nhau như
sự tồn tại nghiệm, sự xấp xỉ, tính chỉnh hay không chỉnh, nghiệm chỉnh
hóa. Nó có ứng dụng rộng rãi không chỉ trong toán học mà còn trong
nhiều ngành khoa học khác, ví dụ như nghiên cứu phương trình tích
phân với các điều kiện xác định hoặc để giải quyết một số vấn đề vật lý
mà phương trình vi phân không thể mô tả được như hiện tượng khuếch
tán, hiện tượng truyền. Vì vậy việc nghiên cứu giải phương trình tích
phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học. Một số bài toán
(rất ít) có được lời giải dạng giải tích, thường gọi là “nghiệm đóng”, còn
đa phần là không. Vì thế để tìm câu trả lời cho những bài toán, ta cần
biết một số phương pháp cho nghiệm không chỉ ở dạng giải tích mà còn
ở dạng bảng số. Kiểu cơ bản nhất của phương trình tích phân là phương
trình tích phân Fredholm.
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh cùng với mong
1


muốn nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về phương trình tích phân
tuyến tính Fredholm, tôi đã chọn đề tài “Một số phương pháp giải
xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính Fredholm” làm luận
văn thạc sĩ.

2. Mục đích nghiên cứu
• Nghiên cứu phương trình tích phân tuyến tính Fredholm và hệ
thống lại một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm.

• Vận dụng các phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm để giải một số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm cụ
thể.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu khái quát các khái niệm cơ bản của giải tích hàm, phương
trình tích phân tuyến tính Fredholm.
• Làm rõ một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính
Fredholm.
• Minh họa qua các ví dụ, bài tập cụ thể.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm.
• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về một số phương pháp giải phương
2


trình tích phân tuyến tính Fredholm.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp lý luận: Trước tiên đọc và nghiên cứu các tài liệu, giáo
trình có liên quan đến phương trình tích phân tuyến tính Fredholm và
một số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Fredholm.
Sau đó phân hóa, hệ thống các kiến thức.
• Một số phương pháp và công cụ của giải tích hàm, phương pháp
giải phương trình tích phân, phương pháp số.

6. Các kết quả dự kiến
Luận văn nhằm hệ thống một số phương pháp giải phương trình tích
phân tuyến tính Fredholm và ứng dụng các phương pháp đó để giải một

số phương trình tích phân tuyến tính Fredholm cụ thể.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của giải
tích hàm, giải tích số như: Không gian metric, không gian định chuẩn,
tổng quan về phương trình tích phân tuyến tính Fredholm,... Những kiến
thức này được sử dụng để trình bày các phương pháp giải xấp xỉ phương
trình tích phân tuyến tính Fredholm. Các khái niệm này ta có thể tìm
thấy trong [2] và [6].

1.1

Không gian metric

Cho X là một tập tùy ý
Định nghĩa 1.1. Một metric trong X là một ánh xạ
d:X ×X →R
thỏa mãn các điều kiện sau đây
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
ii) d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
4


iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y ∈ X.
Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp

ấy, ký hiệu M (X, d). Các phần tử của một không gian metric được gọi
là điểm của không gian ấy. Số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các
điểm x và y.
Định nghĩa 1.2. Một dãy các điểm (xn ), n = 1, 2, ... trong không gian
metric X được gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu
lim d(a, xn ) = 0.

n→∞

Khi đó ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a khi n → ∞.
n→∞

Định nghĩa 1.3. Dãy điểm xn được gọi là dãy cơ bản trong không gian
metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, tồn tại một số n0 sao cho với
mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có
d(xn , xm ) < ε.
Nói cách khác ta có
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều là dãy hội tụ tới một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.5. Cho (X, dX ) và (Y, dY ) là hai không gian metric tùy
ý. Ánh xạ f : X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số α
với 0 ≤ α < 1 sao cho với mọi x, x ∈ X ta đều có
dY (f (x), f (x )) ≤ αdX (x, x ).
5

Định lý 1.1. (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử (X, d) là một không gian
metric đầy đủ và f : X → X là một ánh xạ của X vào chính nó thỏa
mãn điều kiện: tồn tại hằng số 0 ≤ α < 1 sao cho ∀x, y ∈ X.
dX (f (x), f (y)) ≤ αdX (x, y).
Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho f (x∗ ) = x∗ . Hơn
nữa, x0 ∈ X, dãy (xn ), n ∈ N xác định bởi xk+1 = f (xk ), ∀k ∈ N hội tụ
đến x∗ và ta có ước lượng
d(xn , x∗ ) ≤

αn
d(x1 , x0 ), ∀n ∈ N.
1−α

(1.1)

Chứng minh. Dễ thấy
d(xk+1 , xk ) = d(f (xk ), f (xk−1 )) ≤ αd(xk , xk−1 ) ≤ ... ≤ αk d(x1 , x0 ), ∀k ∈ N.
Từ đó ∀n ∈ N, ∀p ∈ N ta có
d(xn+p , xn ) ≤ d(xn+p , xn+p−1 ) + ... + d(xn+1 , xn )
≤ (αn+p−1 + ... + αn )d(x1 , x0 ),
do đó
αn
d(xn+p , xn ) ≤
d(x1 , x0 ).
1−α

(1.2)

Ước lượng (1.2) chứng tỏ dãy xn , n ∈ N là dãy Cauchy, mặt khác X là

không gian metric đủ nên tồn tại duy nhất x∗ ∈ X sao cho lim xn = x∗ .
n→∞

Cho p → ∞ trong bất đẳng thức (1.2) ta thu được ước lượng (1.1).
Ta lại có xn+1 = f (xn ) nên cho n → ∞, ta có x∗ = f (x∗ ). Vậy x∗ là điểm
mà f (x∗ ) = x∗ .
Giả sử ngoài ra còn có x cũng có tính chất f (x) = x khi đó ta có
d(x∗ , x) = d(f (x∗ ), f (x)) ≤ αd(x∗ , x),
6


với α < 1. Từ đó suy ra x∗ = x. Vậy x∗ là duy nhất.

1.2

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.6. Một chuẩn, kí hiệu

·

trong X là một ánh xạ từ X

vào R thỏa mãn các điều kiện:
i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
ii) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
iii) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và với mọi x ∈ X;
iv) x + y ≤ x + y với mọi, x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X.

Định nghĩa 1.7. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định
trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức,
tùy theo P là thực hoặc phức).
Định lý 1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X
đặt
d(x, y) = x − y .
Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.8. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là
hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0. Khi đó ta kí hiệu
n→∞

lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞.

n→∞

7


Định nghĩa 1.9. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là
một dãy cơ bản nếu
lim

m,n→∞

xm − xn = 0.

Định nghĩa 1.10. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = x − y ). Khi đó X được gọi
là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Định nghĩa 1.11. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu A thỏa mãn
i) A(x + y) = Ax + Ay, với mọi x, y ∈ X;
ii) A(αx) = αAx, α ∈ P .
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó nếu A chỉ thỏa mãn i) thì
A được gọi là toán tử cộng tính, nếu A chỉ thỏa mãn ii) thì A được gọi
là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử tuyến tính A được gọi là
phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.12. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số c ≥ 0 sao cho
Ax ≤ c x , với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.13. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
+ Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác
8


định bởi biểu thức
(A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X.
+ Tích vô hướng của α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈
L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA được xác định bởi biểu thức
(αA)(x) = α(Ax).
Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép
toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó tập L(X, Y ) trở thành
một không gian tuyến tính trên trường P .
Định lý 1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không
gian Banach.

1.3

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.14. Cho không gian tuyến tính X trên trường số P (P =
R hoặc P = C). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ
từ X × X vào trường P , kí hiệu (·, ·) thỏa mãn các tiên đề
i) (y, x) = (x, y), với mọi x, y ∈ X;
ii) (x + y, z) = (x, z) + (y, z), với mọi x, y, z ∈ X;
iii) (αx, y) = α(x, y) với mọi số α ∈ P và mọi x, y ∈ X;
iv) (x, x) > 0 nếu x = θ(θ là kí hiệu phần tử không), x ∈ X;
v) (x, x) = 0 nếu x = θ.
Các phần tử x, y, z, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y) gọi
là tích vô hướng của x và y. Các tiên đề i, ii, iii, iv, v gọi là các tiên đề
tích vô hướng.
9


Định nghĩa 1.15. Không gian tuyến tính X trên trường P cùng với
một tích vô hướng trên X gọi là không gian tiền Hilbert.
Định lý 1.4. Cho X là một không gian tiền Hilbert, với mỗi x ∈ X, ta
đặt x =

(x, x). Khi đó ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức

Schwarz)
|(x, y)| ≤ x . y , ∀x, y ∈ X.
Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian tiền
Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn x =

(x, x).

Định nghĩa 1.16. Ta gọi không gian tuyến tính H = θ trên trường P
là không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện:
i) H là không gian tiền Hilbert;
ii) H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x) với x ∈ X.

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert
H là không gian Hilbert con của không gian H.

1.4

Tổng quan về phương trình tích phân tuyến
tính Fredholm

1.4.1

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1 có dạng
b

K(s, t)ϕ(t)dt, s ∈ D

f (s) = λ

(1.3)

a

trong đó D là tập đóng, bị chặn trên trường số thực. hàm ẩn ϕ(s) chỉ
xuất hiện trong dấu tích phân, hạt nhân K(s, t) và hàm f (s) là các hàm
10


giá trị thực, λ là tham số cho trước.
Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 1 là "đặt không chỉnh"
nên nó có thể vô nghiệm hoặc nếu có nghiệm thì nghiệm đó có thể không
duy nhất.

1.4.2

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại 2 có dạng
b

K(s, t)ϕ(t)dt, s ∈ D

ϕ(s) = f (s) + λ

(1.4)

a

trong đó D là tập đóng, bị chặn trên trường số thực. Hàm ẩn ϕ(s) xuất
hiện bên trong và bên ngoài dấu tích phân, hạt nhân K(s, t) và hàm
f (s) là các hàm giá trị thực, λ là tham số.

Khi f (s) = 0 phương trình được gọi là thuần nhất.

1.5

Công thức cầu phương

Phương pháp cầu phương dựa trên sự thay thế tích phân xấp xỉ bằng
tổng tích phân. Chia đoạn [a, b] bởi các điểm chia
a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn = b
Công thức cầu phương có dạng
n

b

ϕ (x) dx =
a

Ak ϕ (xk ) + Rn (ϕ)

(1.5)

k=0

trong đó Ak và xk - tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương
n

(1.5), Rn (ϕ) - phần dư của công thức cầu phương (1.5), Ak ≥ 0,

Ak =
k=1

11


b−a tùy thuộc vào việc chọn quy tắc tính mà có các công thức cầu phương
với các đại lượng Ak , xk , Rn tương ứng.

1.6

Công thức hình thang

Giả sử ta phải tính tích phân xác định của hàm f (x) được cho bằng
bảng hoặc biểu thức giải tích nhưng không biết nguyên hàm của nó.
Do đó không thể áp dụng khái niệm nguyên hàm để tính. Còn nếu ta
dùng định nghĩa tích phân thì phải thực hiện nhiều các tính toán. Trong
trường hợp này ta tính gần đúng tích phân xác định thông qua đa thức
nội suy P (x) của nó, tức là
b

I=

b

f (x)dx
a

P (x)dx.
a

Chia đoạn [a, b] bởi các điểm chia

a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn = b
xi = a + ih, i = 0, n, h =

b−a
.
n

Khi đó ta có
b

x1

f (x)dx =
a

x2

f (x)dx +
x0

x3

f (x)dx + · · · +

f (x)dx +
x1

xn

x2

f (x)dx.
xn−1

Thay f (x) trên [xi , xi+1 ], i = 0, n − 1 bằng đa thức nội suy bậc nhất
của nó
x1

x1

f (x)dx =
x0

P (x)dx
x0
x1

=

[y0
x0

x − x1
x − x0
+ y1
]dx.
x0 − x1
x1 − x0
12

x − x0
⇒ dx = hdt.
h
Khi x = x0 thì t = 0, khi x = x1 thì t = 1.
Đặt t =

Vậy
x1

1

[y0 (1 − t) + y1 t]hdt =

P (x)dx =
x0

0

h2
(y0 + y1 ).
2

Tương tự ta có

xi−1
x1

h2
f (x)dx ≈ (yi + yi+1 ).

2

Vậy
b
a

b−a
f (x) dx ≈
f (a) + 2
2n

n−1

f (xi ) + f (b) .

(1.6)

i=1

1
A1 = An = h, A2 = A3 = · · · = An−1 = h,
2
b−a
M (b − a) 2
h=
, xi = a + h(i − 1), i = 1, n, |Rn (ϕ)| ≤
h,
n−1
12
trong đó M = sup

1.7

f (x) : x ∈ [a, b] .

Công thức Simpson

b−a
.
2n
Trên mỗi đoạn [x2i−2 , x2i ](i = 1, n) ta thay f (x) bằng đa thức nội suy
Chia đoạn [a, b] thành 2n phần bằng nhau với bước h =

Largrange P (x) bậc hai với các mốc nội suy x2i−2 , x2i−1 , x2i
(x − x2i−1 )(x − x2i )
(x2i−2 − x2i−1 )(x2i−2 − x2i )
(x − x2i−2 )(x − x2i )
+ y2i−1
(x2i−1 − x2i−2 )(x2i−1 − x2i )
(x − x2i−2 )(x − x2i−1 )
+ y2i
.
(x2i − x2i−2 )(x2i − x2i−1 )

f (x) ≈ P (x) = y2i−2

13


Từ đó

x2i

x2i

f (x)dx ≈
x2i−2

P (x)dx =
x2i−2

h
(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i ).
3

Vậy
2i

b

f (x)dx ≈ Sn :=

f (x)dx =
a

n

2i−2

i=0

h
(y2i−2 + 4y2i−1 + y2i )
3

b−a
(y0 + 4y1 + 2y2 + ... + 4y2n−1 + y2n )
6n
b−a
[y0 + y2n + 2(y2 + ... + y2n−2 ) + 4(y1 + ... + y2n−1 )].
=
6n
=

Đánh giá sai số: Người ta chứng minh được Rn =

b
a f (x)dx

− Sn ≤

h4
M
(b − a) với M = max |f (4) (x)|, x ∈ [a, b].
180

1.8

Tích phân phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1.17. Giả sử f (x, y) là một hàm số xác định với x thuộc

đoạn [a, b] và y thuộc tập hợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y cố
định thuộc Y hàm f (x, y) khả tích trong đoạn [a, b].
Đặt
b

I(y) =

f (x, y)dx.
a

Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích phân
phụ thuộc tham số của hàm f (x, y) trong đoạn [a, b].
Định lý 1.5. Giả sử f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D =
[a, b] × [c, d] thì tích phân phụ thuộc tham số
b

f (x, y)dx, y ∈ [c, d]

I(y) =
a

là một hàm liên tục trong đoạn [c, d].
14


Định lý 1.6. (Tính khả vi của tích phân phụ thuộc tham số) Giả sử
f (x, y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D liên tục theo x ∈ [a, b]
với mỗi y cố định thuộc đoạn [c, d]. Hơn nữa f (x, y) có đạo hàm riêng
∂f
(x, y) là một hàm liên tục tong hình chữ nhật D. Khi đó tích phân

∂y
phụ thuộc tham số
b

f (x, y)dx, y ∈ [c, d]

I(y) =
a

là một hàm khả vi.
Định lý 1.7. (Tính khả tích của tích phân phụ thuộc tham số) Nếu
f (x, y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d] thì ta có
công thức
d

d

b

I(y)dy =
c

b

d

f (x, y)dx dy =
c

a

f (x, y)dy dx.
a

c

Hay là
d

b

dy
c

b

f (x, y)dx =
a

dx
a

15

d

f (x, y)dy.
c

Chương 2
Một số phương pháp giải phương
trình tích phân tuyến tính
Fredholm loại 2
2.1
2.1.1

Các phương pháp giải tích
Phương pháp nhân suy biến

Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II
b

ϕ(s) = f (s) + λ

K(s, t)ϕ(t)dt.

(2.1)

a

Ta xét (2.1) trong trường hợp K(s, t) là nhân suy biến hoặc khi K(s, t)
có thể xấp xỉ bởi một nhân suy biến.
Định nghĩa 2.1. Nếu nhân K(s, t) của phương trình tích phân được
n

Ai (s)Bi (t)(a ≤ s, t ≤ b) thì

biểu diễn dưới dạng K(s, t) = Kn (s, t) =
i=1

ta nói nhân K(s, t) là nhân suy biến.
Ở đây {Ai (s)} , {Bi (t)} , i = 1, 2, ..., n được giả thiết là những hệ độc
lập tuyến tính trong không gian C[a, b].
16


Nhân suy biến bao gồm các đa thức và nhiều hàm siêu việt. Chẳng
hạn các nhân t + s, t − s, sin (t + s), et−s ... là các nhân suy biến.
Chú ý rằng nhân K(s, t) = ets tuy là nhân không suy biến nhưng ta
có thể xấp xỉ K(s, t) bằng nhân suy biến với độ chính xác tùy ý bằng
khai triển Taylor

∞
ts

e =
k=0

khi đó

n
ts

e ≈
k=0

(ts)k
,
k!

(ts)k
.
k!

Phương pháp giải
Xét phương trình tích phân tuyến tính
b

ϕn (s) = f (s) + λ

Kn (s, t)ϕn (t)dt,

(2.2)

a

trong đó Kn (s, t) là nhân suy biến
n

Kn (s, t) =

Ai (s)Bi (t).
i=1

Thay nhân Kn (s, t) có biểu diễn trên vào (2.2) ta được
n

b

ϕn (s) = λ

Ai (s)Bi (t)ϕn (t)dt + f (s).
i=1

a

Hay
n

ϕn (s) = λ

b

Ai (s)
i=1

Bi (t)ϕn (t)dt + f (s).

(2.3)

a

Do đó nghiệm của phương trình (2.2) có thể được tìm dưới dạng
n

ϕn (s) = f (s) + λ

ci Ai (s)
i=1

17

(2.4)


trong đó ci =

b
a Bi (t)ϕn (t)dt, i

= 1, 2, ..., n là các hằng số cần xác định.

Thay (2.4) vào (2.3), ta có
n

f (s) + λ

n

ci Ai (s) = λ
i=1

b

Ai (s)

Bi (t)ϕn (t)dt + f (s)
a

i=1

n

⇔ f (s) + λ

n

ci Ai (s) = λ
i=1

Ai (s)
i=1
b

n

Bi (t) f (t) + λ
a
n

⇔

n

i=1

j=1
n

b

ci Ai (s) =

Ai (s)

Bi (t)f (t)dt + λ
a

i=1

i=1

Bi (t)

cj Aj (t) dt

a

⇔

j=1

n

b

ci Ai (s) =
i=1

Ai (s)

n

b

n

cj Aj (t) dt + f (s)

Ai (s)

Bi (t)f (t)dt
a

i=1
n

+λ

n

b

Ai (s)
i=1

cj

Bi (t)Aj (t)dt .
a

j=1

Đặt
b

fi =

b

Bi (t)f (t)dt, aij =
a

Bi (t)Aj (t)dt.
a

Và vì {A1 (s), A2 (s), ..., An (s)} độc lập tuyến tính ta có
n

ci = fi + λ

cj aij .
j=1

Hay
n

ci − λ

cj aij = fi , i = 1, 2, ..., n.
j=1

18

(2.5)