luận văn một số dạng phương trình tích phân tuyến tính

Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh

1

MụC LụC
Trang
Mở đầu
. 3

Chơng 1:
KIếN THứC chuẩn bị.
5
1.1. Bổ xung về không gian Banach 5
1.1.1. Không gian định chuẩn 5
1.1.2. Không gian Banach10
1.1.3. Không gian Banach khả li 10
1.1.4. Toán tử tuyến tính liên tục. 9
1.2. Không gian Hilbert 12
1.2.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert 12
1.2.2. Bất đẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert 12
1.2.3. Khái niệm không gian Hilbert 14
1.2.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn 15
1.2.4.1. Vectơ trực giao 15
1.2.4.2. Một số tính chất đơn giản .16
1.2.4.3. Hệ thống trực giao 17
1.2.4.4. Hệ thống trực chuẩn .17
1.2.4.5. Bất đẳng thức Bessel .19
1.2.4.6. Hệ trực chuẩn đầy đủ 20
1.2.4.7. Các định lý 20
1.2.4.8. Cơ sở trực chuẩn 23
1.2.5. Phép chiếu..24

1.2.6. Giá trị riêng, vectơ riêng26
1.2.7. Không gian Hilbert tách đợc28
1.2.8. Định lý biểu diễn Riesz, phiếm hàm tuyến tính và song tuyến tính trên
không gian Hilbert 31
1.2.9. Toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert 36
1.2.9.1. Toán tử tự liên hợp 36
1.2.9.2. Toán tử đối xứng 36
Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh

2

1.2.9.3. Toán tử hoàn toàn liên tục 40
1.2.10. Toán tử tích phân43
1.2.11. Phơng trình tích phân.46
1.2.12. Bài toán dẫn tới phơng trình tích phân 47
Chơng 2:
MộT Số DạNG PHƯƠNG TRìNH TíCH PHÂN TUYếN TíNH
49
2.1.Phơng trình tích phân với hạch đối xứng.49
2.1.1. Định nghĩa 2.1 49
2.1.2. Xét sự tồn tại nghiệm.49
2.2. Phơng trình tích phân với hạch thoái hoá 51
2.2.1. Định nghĩa 2.2 .51
2.2.2. Xét sự tồn tại nghiệm.51
2.2.3. Đinh lý Fredholm ( trờng hợp hạch thoái hoá ) 56
2.3.Phơng trình tích phân với hạch không đối xứng 56
2.3.1. Định nghĩa 2.3 .56
2.3.2. Xét sự tồn tại nghiệm.57
2.3.3. Định lý Fredholm ( trong trờng hợp tổng quát ) 61
2.4. Phơng trình Volterra 61

2.5. Một số cách giải phơng trình tích phân tuyến tính.62
2.5.1. Pơng pháp đại số 61
2.5.2. Phơng pháp xấp xỉ 62
2.5.3. Phơng pháp lặp liên tiếp 64
2.5.4. Bài tập áp dụng 67
Kết luận .84
Tài liệu tham khảo .85






Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh

3

Mở đầu

1) Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành Toán học đợc xây dựng vào khoảng đầu thế
kỷ XX và đến nay hầu nh đ đợc xem nh một ngành toán học cổ điển. Trong
quá trình phát triển, Giải tích hàm đ tích lũy đợc một nội dung hết sức phong
phú. Những phơng pháp và kết quả mẫu mực, tổng quát của Giải tích hàm đ
xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ
Giải tích và không gian vectơ. Chính điều đó đ mở ra phạm vi nghiên cứu lớn
cho ngành Toán học.
Phơng trình tích phân trên không gian Hilbert là một mảng trong giải tích
hàm đợc xây dựng từ các bài toán thực tế trong vật lý, hoá học và nhiều khoa
học ứng dụng khác. Cụ thể nh trong nghiên cứu tính đàn hồi, tính dẻo, nhiệt và

sự thay đổi khối lợng của vật, lý thuyết dao động, lý thuyết xếp bảng, kỹ thuật
điện, kinh tế, y học,
Với mong muốn đợc nghiên cứu và tìm hiểu sâu sắc hơn về bộ môn này
và bớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học, em đ chọn đề tài Một
số dạng phơng trình tích phân tuyến tính.
2) Mục đích v nhim v nghiên cứu
Bớc đầu giúp em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm
hiểu sâu hơn về Giải tích hàm đặc biệt về phơng trình tích phân tuyến tính trên
không gian Hilbert.
Hệ thống lại những cơ sở lý thuyết cần thiết về toán tử trên không gian
Hilbert từ đó đa ra một số dạng phơng trình tích phân tuyến tính trên không
gian Hilbert và sự tồn tại nghiệm của những phơng trình dạng này. Đặc biệt hệ
thống phơng pháp giải phơng trình tích phân bao gồm phơng pháp đại số hoá,
phơng pháp lặp liên tiếp, phơng pháp xấp xỉ và có bài tập áp dụng.
3) Đối tợng nghiên cứu
Đối tợng chính mà khoá luận nghiên cứu là những phơng trình tích phân
tuyến tính trên không gian Hilbert, bên cạnh đó khoá luận còn nghiên cứu về không
Trng H Hựng Vng Khoa Toỏn Cụng ngh

4

gian Hilbert làm cơ sở cho việc nghiên cứu đối tợng chính.
4) Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận: Trớc tiên là đọc các tài liệu liên quan tới nội dung
của đề tài. Cụ thể nh tài liệu viết về nguồn gốc thực tiễn và cơ sở lý thuyết dẫn
tới phơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert. Từ đó làm tiền đề
cho việc tìm hiểu về phơng trình tích phân tuyến tính trên không gian Hilbert và
vận dụng các kiến thức cơ sở trên để đọc hiểu về đối tợng chính ta cần nghiên
cứu, phân tích, tổng hợp rồi rút ra kết luận
- Hỏi ý kiến chuyên gia: Chủ yếu là giáo viên hớng dẫn

5) í ngha khoa hc v thc tin
Khoỏ lun l ti liu tham kho cho thy cụ giỏo, cỏc bn sinh viờn khoa
toỏn. V bn thõn bờn cnh vic ủc tỡm hiu sõu hn v phng trỡnh tớch
phõn tuyn tớnh trờn khụng gian Hilbert cũn ủc nõng cao kin thc c s v
Gii tớch hm.
6) Cấu trúc của khóa luận
Ngoi li núi ủu, mc lc, kt lun, ti liu tham kho, ni dung khoỏ
lun l ti liu dy 85 trang gm hai chng:
Chơng 1 - Kiến thức chuẩn bị
Chơng 2 - Một số phơng trình tích phân tuyến tính











Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

5

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC chuÈn bÞ
1.1. BỔ SUNG VỀ KHÔNG GIAN BANACH

1.1.1 Không gian ñịnh chuẩn
∗
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (thực hoặc
phức), hàm thực
⋅
: X
→
ℝ
thoả mãn ba tính chất:

(
)
i

x
≥
0
, 0 0,
∀ ∈ Χ = ⇔ = ∀ ∈ Χ
x x x x

(
)
ii

. ,
λ λ
=
x x

,
∀ ∈Χ
x

λ
∀ ∈Κ


(
)
iii

,
+ ≤ +
x y x y

,
∀ ∈Χ
x y


Đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t chu
ẩ
n trên
Χ

, c
ặ
p (
Χ
,
⋅
)
ñượ
c g
ọ
i là không gian tuy
ế
n

tính
ñị
nh chu
ẩ
n, hay không gian
ñị
nh chu
ẩ
n.

∗
Ví dụ 1.1.1.
Không gian
vect¬
t
ấ

t c
ả
các hàm s
ố

(
)
x x t
=
xác
ñị
nh và
ñ
o
ñượ
c trên
ñ
o
ạ
n
[
]
;
a b
v
ớ
i bình ph
ươ
ng mo
ñ

un kh
ả
tích trên
[
]
;
a b
,
(
)
−∞ < < < +∞
a b ta kí
hi
ệ
u là
[ ]
2
,
a b
L
.


[ ]
2
,
a b
L
=
2

( ) ( )
 
 
= < +∞
 
 
 
∫
b
a
x x t x t dt
Khi
ñ
ó (
[ ]
2
,
a b
L
,
⋅
) là không gian
ñị
nh chu
ẩ
n, v
ớ
i chu
ẩ
n

⋅
xác
ñị
nh b
ở
i

x
=
( )
1
2
2
 
 
 
∫
b
a
x t dt
,
[ ]
2
,
a b
x L
∈

Th
ậ

t v
ậ
y:

∀
[ ]
2
,
a b
x L
∈
:
( )
2
0
≥
x t
,
[
]
,
∀ ∈
t a b

suy ra
( )
2
0
b
a

x t dt
≥
∫
hay
( )
1
2
2
0
b
a
x t dt x
 
= ≥
 
 
∫

( )
1
2
2
0 0
b
a
x x t dt
 
⇒ = ⇔ =
 
 

∫

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

6

( ) ( )
2 2
0 0
⇔ = ⇔ =
∫
b
a
x t dt x t

hầu khắp nơi trên
[
]
,
a b


(
)
0
⇔ =
x t hầu khắp nơi trên
[
]
,

a b


(
)
[
]
0, ,x t t a b x
θ
⇔ = ∀ ∈ ⇔ =


λ
∀ ∈Κ
,
[ ]
2
,
a b
x L
∈
:
( )
1
2
2
λ λ
 
=
 

 
∫
b
a
x x t dx
=
1
2
2 2
( )
λ
 
 
 
∫
b
a
x t dt

=
( )
1
2
2
2
λ
 
 
 
∫

b
a
x t dt
=
( )
1
2
2
λ
 
 
 
∫
b
a
x t dt
=
.
λ
⋅
x


[ ]
2
,
,
a b
y x L
∀ ∈

:
(
)
(
)
(
)
(
)
,
+ = +
x y t x t y t

[
]
,
∀ ∈
t a b
nên:
( )( )
1
2
2
b
a
x y x y t dt
 
+ = +
 
 

∫
=
( ) ( )
( )
1
2
2
 
+
 
 
∫
b
a
x t y t dt
.
từ
b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Holder:

( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2
   

⋅ ≤ ⋅
   
   
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
x t y t dt x t dt y t dt

Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2
+ = + ≤ +
∫ ∫
b b
a a
x y x t y t dt x t y t dt

( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
2 2 2 2
2
b b b b
a a a a
x t dt y t dt x t dt y t dt
   
≤ + ⋅ +

   
   
∫ ∫ ∫ ∫

=
( ) ( )
2
1 1
2 2
2 2
 
   
 
+
   
 
   
 
 
∫ ∫
b b
a a
x t y t dt
=
(
)
2
+
x y

Cho nên
(
)
2
2
+ ≤ +
x y x y
hay:
.
+ ≤ +
x y x y


Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

7

∗
Tính Chất
)
+

(
)
,
d x y
=
−
x y
,

(
)
, ,
∀ ∈ Χ ⋅
x y là một mêtric trên X
)
+
Trong một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn X

(
)
i
Phép cộng và phép nhân vô hướng là một ánh xạ liên tục

(
)
ii
Chuẩn
⋅
là một hàm số liên tục trên X
Chứng minh.
(
)
i
: Giả sử hai dãy
{
}
{
}
,

n n
x y
trong không gian ñịnh chuẩn X, lần
lượt hội tụ tới
0 0
,
x y
thuộc X, tức
0
lim ,
=
n
x x

0
lim
=
n
y y
và
{
}
λ
n
là dãy số
trong trường K với lim
0
λ λ
= ∈Κ
n

. Khi ñó:
)
+
(
)
0 0 0 0 0 0
0
+ − + = − + − ≤ − + − →
n n n n n n
x y x y x x y y x x y y

⇒
lim
(
)
0 0
+ = +
n n
x y x y
.
)
+

(
)
(
)
(
)
(

)
0 0 0 0 0 0 0 0
λ λ λ λ λ λ λ λ
− = − + − ≤ − + − ≤
n n n n n n n n
x x x x x x x x

0 0 0
0
n n n
x x x
λ λ λ
≤ − + − →
(khi
→ ∞
n
)
Tõ ®ã

cã:

(
)
0 0
lim
n n
x x
λ λ
=
.

(
)
ii
: V
ớ
i m
ọ
i
,
∈Χ
x y
ta có:
= − + ≤ − +
x x y y x y y


⇒
− ≤ −
x y x y
(1)
= − + ≤ − + = − +
y y x x y x x x y x


⇒
− ≤ −
y x x y
(2)
T
ừ

(1) và (2) suy ra:
− ≤ −
x y x y
.
Do
ñ
ó, v
ớ
i
{
}
n
x
là m
ộ
t dãy ph
ầ
n t
ử
trong X mà h
ộ
i t
ụ
t
ớ
i
0
∈Χ
x thì:
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

8


0 0
0
− ≤ − →
n n
x x x x (khi
→ ∞
n
)
Suy ra
0
lim
n
x x
=
, hay ta có chuẩn
⋅
là một hàm số liên tục trên X.
1.1.2. Không gian Banach
∗
Định nghĩa 1.1.2. Một không gian ñịnh chuẩn X gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản của X ñều hội tụ trong X.
∗
Dãy
{
}
n

x
trong không gian ñịnh chuẩn X ñược gọi là dãy cơ bản nếu
ε
∀
>0
cho trước,
0
∗
∃ ∈Ν
n ñể
0
,
∀ ≥
m n n
ta ñều có
−
n m
x x
<
ε
.
∗
Ví dụ 1.1.2. Không gian
ℝ
n
với chuẩn
2
1=
=
∑

n
i
i
x x
, trong ñó
(
)
1,
=
=
i
i n
x x

Định lý 1.1.2. Không gian ñịnh chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi
mọi chuỗi hội tụ tuyệt ñối ñều hội tụ.
Chứng minh. Giả sử X là không gian Banach, chuỗi
1
∞
=
∑
n
n
x
hội tụ tuyệt ñối trong
X, tức chuỗi
1
n
n
x

∞
=
∑
hội tụ, gọi
{
}
n
S
là dãy tổng riêng của chuỗi
1
∞
=
∑
n
n
x
với
n
S
=
1
=
∑
n
k
k
x
, khi ñó với mọi số tự nhiên
,
n

p

ta có:
1 1
0
+ +
+
= + = +
− = ≤ →
∑ ∑
n p n p
n p n k k
k n k n
S S x x
khi
,
n
p

→ ∞

Suy ra
{
}
n
S
là m
ộ
t dãy c
ơ

b
ả
n trong không gian X, vì X là không gian Banach
nên dãy này h
ộ
i t
ụ
, do
ñ
ó chu
ỗ
i
1
∞
=
∑
n
n
x
h
ộ
i t
ụ
.
Ng
ượ
c l
ạ
i, X là không gian
ñị

nh chu
ẩ
n th
ỏ
a mãn m
ọ
i chu
ỗ
i h
ộ
i t
ụ
tuy
ệ
t
ñố
i
ñề
u h
ộ
i t
ụ
, ta ch
ỉ
ra X là không gian Banach. Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả

s
ử

{
}
n
x
là m
ộ
t dãy c
ơ

b
ả
n b
ấ
t kì c
ủ
a không gian tuy
ế
n
t
ính
ñị
nh chu
ẩ
n X, khi
ñ
ó v
ớ

i m
ỗ
i s
ố
t
ự
nhiên
n
t
ồ
n t
ạ
i
s
ố
t
ự
nhiên
n
k
sao cho
≥
n
m k
,
≥
n
l k
thì khi
ñ

ó

1
2
− ≤
l m
n
x x (3)
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

9

Ta chọn các
n
k
sao cho:
1 2 3

< < < < <
n
k k k k thì ta sẽ có dãy con
{
}
n
k
x
của dãy
{
}
n

x
hội tụ trong X, vì từ (3) suy ra
1
1
2
+
− <
n n
k k
n
x x ,
∗
∀ ∈
ℕ
n

Suy ra chu
ỗ
i

(
)
(
)
(
)
1 2 1 3 2 1

+
+ − + − + + − +

n n
k k k k k k k
x x x x x x x (4)
có
1
0
+
− →
n n
k k
x x khi
→ ∞
n

Do v
ậ
y (4) h
ộ
i t
ụ
tuy
ệ
t
ñố
i, theo gi
ả
thi
ế
t thì chu
ỗ

i (4) h
ộ
i t
ụ
. M
ặ
t khác,
=
n
n k
S x
, v
ớ
i m
ọ
i
n
∈
ℕ
. Do v
ậy
{
}
n
k
x
hội tụ trong X, vì
{
}
n

x
là dãy cơ bản suy ra
chuỗi
{
}
n
x
hội trong X.

Suy ra
(
)
,
Χ ⋅
là không gian Banach.
1.1.3. Không gian Banach khả li
∗
Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach X ñược gọi là khả li (hay tách ñược) nếu
tồn tại một dãy
{
}
n
n
x
các phần tử của X trù mật khắp nơi trong X.
∗
Ví dụ 1.1.3. Không gian các hàm số liên tục trên
[
]
0,1

kí hiệu là
[ ]
0,1
C
, là không
gian khả li với dãy
{
}
[ ]
0,1
⊂
n
x C
xác ñịnh bởi:
0
1
=
x ,
(
)
,
= ∈
ℕ
n
n
x t t n trù mật khắp
nơi trong
[ ]
0,1
C

.
1.1.4.Toán tử tuyến tính liên tục
∗
Định nghĩa 1.1.4. Cho
(
)
, .
X
X và
(
)
, .
Y
Y là hai không gian tuyến tính ñịnh
chuẩn trên cùng một trường K. Ánh xạ A :
X Y
→
gọi là toán tử tuyến tính liên
tục nếu nó vừa tuyến tính vừa liên tục.
∗
Chú ý. A liên tục tại ñiểm
0
∈Χ ⇔
x với mọi dãy
{
}
n
x
các phần tử của
Χ

th
ỏa mãn
0
lim 0
− =
n
X
x x thì
0
lim 0
n
y
Ax Ax
− =

)
+
A liên tục trên X khi A liên tục tại mọi ñiển thuộc X
)
+
A ñược gọi là tuyến tính nếu
,
∀ ∈ Χ
x y
:



(
)

A x y Ax Ay
+ = +

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

10




(
)
x,A x A
λ λ λ
= ∀ ∈Κ

Định lý 1.1.4. Giả sử cho
A
:
→
X Y
là một toán tử tuyến tính từ không gian
ñịnh chuẩn
X
vào không gian ñịnh chuẩn Y, khi ñó 3 mệnh ñề sau là tương
ñương:

i
A liên tục

ii
A liên tục tại
θ
∈ Χ

iii
A bị chặn
(
)
0: Ax ,
∃ > ≤ ∀ ∈Χ
M M x x
Chứng minh.
i
⇒
ii
: A liên tục, tức A liên tục tại mọi ñiểm thuộc X do vậy A
hiển nhiên liên tục tại
θ
∈Χ
.
ii
⇒
i
: Giả sử A liên tục tại
θ
∈Χ
, với mỗi
x
bất kỳ thuộc

Χ
và dãy
{
}
n
n
x

hội tụ tới ñiểm
∈Χ
x
, ta chỉ ra
lim x
n
Ax A
=
. Thật vậy, vì
n
x
,
∈ Χ
x
,
∗
∀ ∈
ℕ
n
nên
(
)

− ∈Χ
n
x x và
(
)
lim 0
→∞
− =
n
n
x x
(do tính liên t
ụ
c c
ủ
a phép c
ộ
ng trên không gian
ñị
nh chu
ẩ
n ). Theo gi
ả
thi
ế
t
A
liên t
ụ
c t

ạ
i
θ
∈ Χ
suy ra:
(
)
lim 0
n
A x x A
θ
− = =
lim
n
Ax Ax
⇒
=
.
Nên A liên t
ụ
c t
ạ
i
x
, v
ớ
i m
ọ
i
∈ Χ

x
nên
A
liên t
ụ
c.
i
⇒
iii
: Gi
ả
s
ử
A liên t
ụ
c, ta ch
ứ
ng minh A b
ị
ch
ặ
n. Th
ậ
t v
ậ
y, vì A liên t
ụ
c
trên X nên A liên t
ụ

c t
ạ
i ph
ầ
n t
ử

θ
∈Χ
, do
ñ
ó
0
∃∂ >
sao cho m
ọ
i
x
∈ Χ
mà
≤ ∂
x thì ta có
1
Ax
≤
. Bây gi
ờ
v
ớ
i m

ọ
i
∈Χ
x
,
0
≠
x

ñặ
t
∂
=
x
u
x
thì
= ∂
u

nªn:

Au 1
≤

Thay
∂
=
x
u

x

ñượ
c:
1
A 1 A
x
A x x x
x x
∂ ∂
= ⋅ ≤ ⇔ ≤ ⋅
∂
(5)
B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c (5)
ñ
úng cho c
ả
tr
ườ
ng h
ợ
p
θ
=

x
, do
ñ
ó A b
ị
ch
ặ
n.
iii
⇒
i
: Gi
ả
s
ử

A
b
ị
ch
ặ
n, ta ch
ứ
ng minh
A
liên t
ụ
c. Th
ậ
t v

ậ
y, v
ớ
i
x
là ph
ầ
n

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

11

tử bất kỳ của
Χ
,
{
}
n
x
là dãy phần tử trong X hội tụ tới x, tức
0
− →
n
x x khi
→ ∞
n
. Do
Α
bị chặn nên tồn tại

M
sao cho
,
≤ ∀ ∈ Χ
Ax M x x
V×
(
)
, 1,2,
− ∈Χ ∀ =
n
x x n nên:
(
)
0
n
n n
A x x M x x
→∞
− ≤ − →

Kéo theo

(
)
0
n
A x x
− →
khi

→ ∞
n
.
Do tính tuy
ế
n tính c
ủ
a A suy ra
lim
n
Ax Ax
=
. Vậy A liên tục tại
x
, với
x
là bất kỳ
suy ra A liên tục.
∗
Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn
Cho X,Y là các không gian tuyến tính ñịnh chuẩn trên cùng trường K. Ta
ký hiệu L
(
)
,
X Y
là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Khi
ñó với phép cộng các toán tử và phép nhân vô hướng thông thường:
)
+

(
)
A , ,
+ = + ∀ ∈
A B x x Bx A B
L
(
)
,
X Y
,
∈ Χ
x

)
+

(
)
(
)
A ,
λ λ
= ∀ ∈
A x x A
L
(
)
,

X Y
,
,
λ
∈Χ ∈Κ
x

Tậ
p
L
(
)
,
X Y
là m
ộ
t không gian vect
ơ
trên tr
ườ
ng
Κ
và v
ớ
i chu
ẩ
n
ñượ
c xác
ñị

nh nh
ư
sau:

{
}
(
)
: , , ,
= ∀ ∈ ≤ ∀ ∈
A Inf M x X Ax M x A L X Y

Thì L
(
)
,
X Y
là một không gian ñịnh chuẩn, hay còn còn gọi là không gian các
toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y. Đặc biệt khi
Y
= Κ
ta viết
∗
Χ
thay cho
L
(
)
,
X Y

và gọi
∗
Χ
là không gian liên hợp của không gian ñịnh chuẩn X. Mỗi
phần tử của
∗
Χ
ñược gọi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục.


Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

12

1.2. KHÔNG GIAN HILBERT

1.2.1. Khái niệm không gian tiền Hilbert
∗
Định nghĩa 1.2.1. Cho E là một không gian vectơ trên trường K, hàm
g :E E
× →
ℝ
thỏa mãn:

i

(
)
(
)

, , , , .
g x y g y x x y E
= ∀ ∈


ii

(
)
(
)
(
)
, , , , , ,
g x y z g x z g y z x y z E
+ = + ∀ ∈
.

iii

(
)
(
)
, , , , ,
λ λ λ
= ∀ ∈ ∈Κ
g x y g x y x y E .

iiii

(
)
(
)
, 0, , , 0
g x x x E g x x x E
θ
≥ ∀ ∈ = ⇒ = ∈
.
Khi ñó g ñược gọi là một tích vô hướng trên E, thường kí hiệu là
,
⋅ ⋅

(
)
, .,.
Ε ñược gọi là không gian tích vô hướng hay không gian tiền Hilbert.
∗
Nhận xét:

i

, , 0
θ θ
= =
x x (
θ
là vectơ không trên
E

).
Thật vậy:
, 0 , 0 , 0
θ
= ⋅ = =
x x x x x
, , 0 0 , 0
θ
= ⋅ = =
x x x x x .

ii
, , , , , ,
λ µ λ µ
+ = + ∀ ∈
x y z x y x z x y z E
.
Thật vậy:
, , , ,
λ µ λ µ λ µ
+ = + = +
x y z y z x y x z x

=
, ,
λ µ
+
y x z x
=
, ,

λ µ
+
x y x z

1.2.2. Bất ñẳng thức schwarz, chuẩn trên không gian tiền Hilbert
Kí hiệu
,
=
x x x
, v
ớ
i m
ọ
i
∈Ε
x
thì ta có:
, , ,x y x y x y
≤ ∀ ∈Ε

B
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c trên
ñượ
c g
ọ

i là b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Schwarz.
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

13

Chứng minh. Nếu
θ
=
y
thì , , 0,
θ
= = ∀ ∈Ε
x y x x và
0
=
y nên hiển nhiên
bất ñẳng thức ñúng. Nếu
θ
≠
y
, khi ñó 0 , ,
α α α
≤ + + ∀ ∈Κ
x y x y :

2
, , , , ,
α α α α α
+ + = + + +
x y x y x x x y y x y y

=
2 2 2
, , .
α α α
+ + + ⋅
x y x x y y

Vì ñẳng thức ñúng với mọi
α
∈Κ
nên ta có thể chọn
2
,
α
−
=
x y
y
, khi ñó:

2 2 2
2 2
2 2 4
, , ,

0 ≤ − − + ⋅
x y x y x y
x y
y y y

Kéo theo
2
2 2
0 ,
x y x y
≤ ⋅ − hay
2
2 2
,
x y x y
≤ ⋅

suy ra:
,
x y x y
≤ ⋅

Bây giờ ta xét xem dấu
" "
=
xảy ra khi nào?. Chúng ta sẽ chứng minh dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi
,

x y
phụ thuộc tuyến tính. Thật vậy, giả sử x và y phụ thuộc
tuyến tính, tức
,
λ λ
= ∈Κ
x y
thì:
(
)
(
)
2
, , ,
λ λ λ λ
= = = =
x y y y y y y y y
=
λ
= ⋅
y y x y

Ngược lại, giả sử dấu
" "
=
xảy ra, tức có:
,
x y
=
⋅

x y

Suy ra
2
, , ,
x y x x y y
=
Từ ñó

, , , ,
x x y x x x y y
=

Hay
, , , , 0
x y y x y y x x
− =

ñúng với mọi
∈Ε
x
. Suy ra:

, , 0
− =
x y y y y x
Hay
,
x y
phụ thuộc tuyến tính.

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

14

∗
Công thức
,
=
x x x
là
m
ộ
t chu
ẩ
n trên không gian tích vô h
ướ
ng E.
Th
ậ
t v
ậ
y:

∀ ∈Ε
x
, , 0 , 0,
≥
⇒
= ≥ ∀ ∈Ε
x x x x x x

. Và
0 , 0 , 0
θ
= ⇔ = ⇔ =
⇒
= ∈Ε
x x x x x x


,
∀ ∈Ε
x y
, ta
có:

2
, , , , ,
x y x y x y x x x y y x y y
+ = + + = + + +
=
2 2
2Re ,
x x y y
+ +
Vì rằng
( ) ( )
2 2
, Re , Im , Re ,
= + ≥
x y x y x y x y

nên:
2 2 2
2 ,
x y x x y y
+ ≤ + +
Mặt khác theo bất ñẳng thức Schwarz ,
≤ ⋅
x y x y
ta có:

(
)
2
2 2
2
2
x y x x y y x y
+ ≤ + + = +
Kéo theo
x y x y
+ ≤ +

Với mọi
,
λ
∈Κ ∀ ∈Ε
x
ta có
:

2
, , ,
λ λ λ λ λ λ
= = ⋅ = = ⋅
x x x x x x x x

Do v
ậ
y
⋅
xá
c
ñị
nh nh
ư
trên
là
m
ộ
t chu
ẩ
n trên
E
và
(
)
,
Ε ⋅
là
m

ộ
t không gian
ñị
nh chu
ẩ
n.
∗
Nhận xét
. M
ọ
i không gian
tí
ch vô h
ướ
ng
ñề
u
là
không gian
ñị
nh chu
ẩ
n và
chu
ẩ
n xác
ñị
nh nh
ư
trên

ñượ
c
gọ
i
là
chu
ẩ
n sinh b
ở
i
tí
ch vô h
ướ
ng
,
⋅ ⋅
.
∗
Đẳng thức hình bình hành

,
∀ ∈Ε
x y
:
(
)
2 2 2 2
2 + = + + −
x y x y x y

1.2.3. Khái niệm không gian Hilbert
∗
Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi không gian Hilbert là không gian tích vô hướng ñầy
ñủ (tức mọi dãy cơ bản ñều hội tụ trong nó).
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

15

1.2.3.2. Một số không gian Hilbert
)
+
Không gian tích vô hướng các số phức
ℂ
, với tích vô hướng
, ' '
z z zz
=
là không
gian Hilbert.
)
+
Không gian
,
ℂ ℝ
k k
là những không gian Hilbert với tích vô hướng ñược xác
ñịnh lần lượt là:



'
1
, '
=
=
∑
k
j j
j
z z z z
,
(
)
(
)
1, , 1 '
, ' ', ,
= =
k
Z k
z z z z z
.



1
,
=
=
∑

k
i i
i
x y x y
,
(
)
1,
=
=
i
i k
x x
,
(
)
1,
=
=
i
i k
y y

)
+
Không gian
[ ]
2
,
a b

L

cá
c
hà
m s
ố xá
c
ñị
nh
và ñ
o
ñượ
c trên
[
]
,
a b
và
có
bì
nh
ph
ươ
ng mo
ñ
un
khả tí
ch trên
[

]
,
a b
là
không gian Hilbert v
ớ
i
tí
ch vô h
ướ
ng
ñượ
c

xá
c
ñị
nh:
( ) ( )
, =
∫
b
a
x y x t y t dt
,
[ ]
2
,
, ∈
a b

x y L
.
)
+
Không gian
2
l
(
cá
c
dã
y s
ố
th
ự
c ho
ặ
c ph
ứ
c
(
)
n
n
x
thỏ
a
mã
n
2

1
∞
=
< ∞
∑
n
n
x
)
là
không gian Hilbert v
ớ
i
tí
ch vô h
ướ
ng
ñượ
c
xá
c
ñị
nh nh
ư
sau:

( )
1
,
∞

=
=
∑
n n
n
x y x y
,
(
)
(
)
2
,
= = ∈
n n
n n
x x y y l
.
1.2.4. Hệ thống trực giao và trực chuẩn
1.2.4.1.Vect¬ trực giao. Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng, ta có thể
ñịnh nghĩa khái niệm trực giao giống như trong không gian
3
ℝ
thông thường.
Ta nói hai véctơ
,
x y
của một không gian Hilbert
Η
trực giao với nhau, và kí hiệu

⊥
x y
nếu
, 0
=
x y .
1.2.4.2. Một số tính chất ñơn giản
)
+
Nếu
⊥
x y
thì
⊥
y x
. Ta nói
⊥
x x
khi và chỉ khi
θ
=
x
,vectơ
θ
trực giao với
mọi vectơ.
)
+
Nếu
1 2

, , ,
⊥
n
x y y y
thì
(
)
1 1 2 2

α α α
⊥ + + +
n n
x y y y
.
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

16

)
+
Nếu
(
)
,
⊥ → → ∞
n n
x y y y n thì
⊥
x y
.

)
+
Nếu tập hợp
Μ
trù mật trong H thì
M
⊥
g
ồ
m m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
duy nh
ấ
t
là

θ
,
nghĩ
a l
à
θ
⊥ Μ ⇒ =
x x
, trong
ñó

M
⊥
là
ph
ầ
n
bù
tr
ự
c giao
củ
a
Μ
, t
ứ
c:

{
}
:
⊥
Μ = ∈ ⊥ Μ
x H x .
Thật vậy, vì M trù mật trong H nên mọi
∈Η
x
ñều là giới hạn của một dãy
{
}
n

x

thuộc M và
lim
n
x x
=
vậy
⊥ Μ
x
kéo theo
⊥
n
x x
với mọi
n
, và do ñó
⊥
x x
suy
ra
θ
=
x
.
)
+
Nếu
⊥
x y

thì
2 2 2
+ = +
x y x y
(ñinh lý Pythago). Mở rộng
{
}
1,
=
i
i k
y là một
dãy các phần tử của H ñôi một trực giao nhau thì khi ñó
2
2
1 1
.
− =
=
∑ ∑
k k
i i
i i
y y

Chứng minh.
Ta ch
ứ
ng minh theo qui
nạ

p, v
ớ
i
1 2
2,
= ⊥
k y y
:
1 2 1 2 1 2
,
+ = + +
y y y y y y
1 2 1 2 2 1 2 1
, , , ,
= + + +
y y y y y y y y

Vì
1 2
y y
⊥

nên
1 2 2 1
, , 0
y y y y
= =

suy ra:
2 2 2

1 2 1 2
y y y y
+ = +

Giả
s
ử ñẳ
ng th
ứ
c
ñú
ng v
ớ
i
(
)
2
= ≥
n k k , t
ứ
c
có

2
2
1 1= =
=
∑ ∑
k k
i i

i i
y y

Khi
ñ
ó:
1
2 2 2
1
1 1
+
+
= =
= +
∑ ∑
k k
i i k
k i
y y y

2 2 2
1
1 1 1
1 1 1 1
,
+
+ + +
= = = =
= + = + +
∑ ∑ ∑ ∑

k k k k
i i k i k i k
i i i i
y y y y y y y

2
2
1 1 1
1 1 1
, ,
+ + +
= = =
= + + +
∑ ∑ ∑
k k k
i i k k i k
i i i
y y y y y y
2
2
1
1
+
=
= +
∑
k
i k
i
y y

2
1 1
2 2 2
1
1 1 1
+ +
+
= = =
= + =
∑ ∑ ∑
k k k
i i k i
i i i
y y y y

V
ậ
y ta
có ñẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh.
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

17

2
2
1 1= =
=
∑ ∑
k k
i i
i i
y y

1.2.4.3. Hệ thống trực giao.
Một họ S các vect¬ khác
θ
trong không gian tích vô hướng E ñược gọi là một hệ
thống trực giao nếu
⊥
x y
với mọi
, ,
∈ ≠
x y S x y
.
1.2.4.4. Hệ thống trực chuẩn.
Hệ thống trực giao S thỏa mãn ñiều kiện
1
=
x với mọi
∈
x S

thì S ñược gọi
là một hệ trực chuẩn của
Ε
.
∗
Ví dụ:
)
+
Trong không gian tích vô hướng
2
l
dãy các véctơ
(
)
δ
=
n mn
n
x
(
)
,
∗
∈ Ν
m n
(
)
( )
( )
1

2
1,0,0, ,0,
0,1,0, ,0,
0, ,0,1,0,
=
=
=
n
x
x
x

là m
ộ
t dãy tr
ự
c chu
ẩ
n.
)
+
Trong không gian tích vô h
ướ
ng
[ ]
2
,
π π
−
L dãy các ph

ầ
n t
ử

(
)
n
n
y
c
ủ
a
[ ]
2
,
π π
−
L

xác
ñị
nh
b
ở
i
in
,
2
x
n

e
n
ϕ
π
= ∈
Z
là m
ộ
t dãy tr
ự
c chu
ẩ
n trong không gian
[ ]
2
,
π π
−
L , vì v
ớ
i
≠
m n
ta có:

( ) ( )
( )
1
,
2

i n m x
n m n m
x x dx e dx
π π
π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
π
−
− −
= =
∫ ∫

=
( )
( )
( )
2
0
π
π
π
− −
−
−
−
=
i n m
i n m
i n m
e e

Khi
=
n m
thì:

,
ϕ ϕ
n m
=
1
1
2
π
π
π
−
=
∫
dx

∗
Nhận xét. Mọi hệ trực giao ñều ñộc lập tuyến tính.
Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s

ử
S là m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c giao c
ủ
a không gian tích vô h
ướ
ng E, ta ph
ả
i
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

18

chỉ ra với mọi
∗
∈
ℕ
n
:
1
n
i i
i
x
α θ

=
=
∑
kéo theo
0,
i
α
=
1,
=
i n
. Trong ñó
i
x
là các phần
tử tùy ý của S. Khi ñó:

1 1
, , , , 1,
α α α α
= =
= = = =
∑ ∑
n n
j i i i j j j j j j
i i
x x x x x x j n

Suy ra
,

j j
x
θ α
=
hay
0 , 1,
j
j n
α
= = .
Ng
ượ
c l
ạ
i: M
ộ
t h
ệ
các
vect¬

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính
{
}
n

y
trong không gian tích vô
h
ướ
ng E, bao gi
ờ
c
ũ
ng t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t h
ệ
tr
ự
c chu
ẩ
n
{
}
n
x
sao cho v
ớ
i m
ọ
i

∗
∈
ℕ
n
:
{
}
{
}
1 2 1
, , , , ,
=
n n
span y y y span x x
.
Th
ậ
t v
ậ
y,
ñặ
t
1 1
ω
=
y
và
1
1
1

ω
ω
=x


1
1
,
k
k k k i i
i
y y x x
ω
−
=
= −
∑
và
, 2,3,
k
k
k
x k
ω
ω
= =
Khi
ñ
ó các
ω θ

≠
k
, n
ế
u không
ω θ
=
k
thì
{
}
1
, ,
k
y y
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính
ñ
i
ề
u
này mâu thu
ẫ
n v
ớ

i dãy
{
}
n
y

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính. H
ệ

{
}
ω
k
k
tr
ự
c giao ta s
ẽ
ch
ứ
ng
minh b
ằ
ng qui n
ạ

p. V
ớ
i
1
=
k
vì
1
ω θ
≠
hi
ể
n nhiên.
V
ớ
i
2
=
k
, ta có:

2 1 2 2 1 1 1
, , ,
ω ω ω
= −y y x x
2 2 1 1 1
, ,
= −
y y x x y

2 1 2 1 1 1
, , ,
= −
y y y x x y
=
2 1 1 1
1 2
2
1
, ,
, −
y y y y
y y
y


2 1 2 1
, , 0
= − =
y y y y
2 1
.
ω ω
⇒ ⊥

Giả sử
2 1 1
, , ,
ω ω ω

−
k
ñôi một trực giao với nhau, ta có:

1
1
, , ,
ω ω ω
−
=
= −
∑
k
k m k k i i m
i
y y x x =
1
2
1
, ,
,
ω ω ω
ω
ω
−
=
−
∑
k
k i i m

k m
i
i
y
y
với mọi
≠
i m
thì
,
ω ω
⊥
i m
1, 1
= −
i k
(theo qui nạp) nên:
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

19


1
2 2
1
, , , ,
,
ω ω ω ω ω ω
ω
ω ω

−
=
= =
∑
k
k i i m k m m m
k m
i
i m
y y
y
, , , 0
ω ω ω ω
⇒ = − =
k m k m k m
y y . Suy ra hệ
{
}
1
, ,
ω ω
k
trực giao.
Vậy hệ
{
}
ω
n
n
là một hệ trực giao, do ñó

{
}
n
n
x
là một hệ trực chuẩn của không
gian tích vô hướng
Ε
.
Với mỗi
∗
∈
ℕ
n
ta có: Mỗi tổ hợp tuyến tính của các vect¬
1
, ,
n
y y
ñều biểu
diễn ñược qua các vect¬
1
, ,
n
x x
và ngược lại, do ñó:

{
}
{

}
1 1
, , , ,
=
n n
span y y span x x
.
1.2.4.5. Bất ñẳng thức Bessel
Giả sử
{
}
n
n
x
là một dãy trực chuẩn trong không gian tích vô hướng E. Khi ñó với
mỗi số tự nhiên
0
≠
n
,
∀ ∈Ε
x
ta có:.

2
2
2
1 1
, ,
= =

− = −
∑ ∑
n n
k k
k k
x x x x x x
(6)
t
ừ

ñ
ó kéo theo:
2
2
1
,
n
k
K
x x x
=
≤
∑

ñặ
c bi
ệ
t
2
1

,
∞
=
≤
∑
k
k
x x x
(b
ấ
t
ñẳ
ng th
ứ
c Bessel).
Chứng minh.
V
ớ
i m
ỗ
i
∗
∈
ℕ
n
,
á
p
dụ
ng

ñị
nh
lý
Pythago ta
có
:

2
2 2
1 1 1
α α α
= = =
= =
∑ ∑ ∑
n n n
k k k k k
k k k
x x
v
ớ
i
mọ
i
1
, ,
α α
∈Κ
n

suy ra

:


2
1 1 1
0 ,
α α α
= = =
≤ − = − −
∑ ∑ ∑
n n n
k k k k k k
k k k
x x x x x x

2
1 1 1
, , ,
n n n
k k k k k
k k k
x x x x x x
α α α
= = =
− − +
∑ ∑ ∑

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

20

2
2
1 1 1
, ,
n n n
k k k k k
k k k
x x x x x
α α α
= = =
= − − +
∑ ∑ ∑

2 2
2
1 1
, ,
α
= =
= − + −
∑ ∑
n n
k k k
k k
x x x x x .
Chọn
,
α
=

k k
x x
ta có:
2
2
2
1 1
, ,
n n
k k k
k k
x x x x x x x
= =
− = −
∑ ∑

vì rằng
2
1
, 0
=
− ≥
∑
n
k k
k
x x x x
nên:

2

2
1
,
=
≥
∑
n
k
k
x x x
(7).
Mặt khác vì bất ñẳng thức (7) ñúng với mọi
∗
∈
ℕ
n
và chuẩn là hàm số liên tục
cho nên khi
→ ∞
n
ta có:

2
2
1
,
∞
=
≤
∑

k
k
x x x
.
Bất ñẳng thức trên ñược gọi là bất ñẳng thức Bessel.
∗
Chú ý. Từ ñó suy ra rằng chuỗi
1
,
=
∑
n
k n
k
x x x
bao giờ cũng hội tụ.
1.2.4.6. Hệ trực chuẩn ñầy ñủ.
Một hệ trực chuẩn
{
}
n
n
e
trong không gian tích vô hướng E gọi là ñầy ñủ khi
chỉ duy nhất vect¬
θ
trực giao với tất cả các phần tử của hệ nghĩa là:
⊥
n
x e

(
1,2,
=
n
) kÐo theo

x
θ
=
.
1.2.4.7. Các ñịnh lý
Định lý 1.2.4.8.1.

Giả
s
ử
{
}
n
n
x
là
m
ộ
t
dã
y tr
ự
c chu

ẩ
n trong không gian Hilbert H

và giả
s
ử
{
}
α
n
n
là
m
ộ
t
dã
y
cá
c ph
ầ
n t
ử
trong tr
ườ
ng
Κ
khi
ñó
chu
ỗ

i
1
α
∞
=
∑
n n
n
x
h
ộ
i
tụ
khi
và chỉ
khi chu
ỗ
i
2
1
α
∞
=
< +∞
∑
n
n
và
trong tr
ườ

ng
nà
y:
2
1 1
α α
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
n n n
n n
x
.

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

21

Chứng minh. Với mọi ,
∗
∈
ℕ
k m mà
<
k m
ta có:

2
2

α α
= =
=
∑ ∑
m m
n n n
n k n k
x
(theo pythago)
Do vậy dãy tổng riêng
{
}
n
n
S
với
1
α
=
=
∑
n
n k k
k
S x
là dãy cơ bản trong
Η
khi và chỉ khi
dãy
2

1
α
=
 
 
 
∑
n
k
k
n
là dãy cơ bản trong K. Do H và K ñều là những không gian ñầy
ñủ nên ñiều trên tương t−¬ng với chuỗi
2
1
α
∞
=
< +∞
∑
n
n
.Do tính liên tục của chuẩn
⋅
, nên chọn
1
=
k
, cho
→ ∞

m
ñược:

2
2
1 1
α α
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
n n n
n n
x
.
Định lý 1.2.4.7.2. Cho
{
}
n
n
e
là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert, là ñầy
ñủ khi và chỉ khi
∀ ∈
x H
:
1
,
∞
=

=
∑
n n
n
x x e e
.
Chứng minh. Giả sử
{
}
n
n
e
là một dãy trực chuẩn ñầy ñủ trong không gian Hilbert
H, tức với mọi
,
∈Η
x

⊥
n
x e
(
1,2,
=
n
)
θ
⇒ =
x
. Đặ

t
1
,
∞
=
=
∑
n n
n
y x e e
, ta
chØ
ra
=
y x
, th
ậ
t v
ậ
y:


1 1
, , , , , ,
∞ ∞
= =
− = − = −
∑ ∑
m n n m m n n m
n n

x y e x x e e e x e x e e e

=
, , 0, 1,2,
− = ∀ =
m m
x e x e m
Theo giả thiết suy ra:
,( 1,2, )
n
x y e n
− ⊥ =
kéo theo
x y
θ
− =

suy ra
x y
=
hay
1
, .
n n
n
x x e e
∞
=
=
∑

Giả sử
{
}
n
n
e
là một dãy trực chuẩn của không gian Hilbert H thỏa mãn:
∀ ∈Η
x
,
1
,
∞
=
=
∑
n n
n
x x e e

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

22

ta cần chỉ ra
{
}
n
n

e
là một hệ trực chuẩn ñầy ñủ , tức
⊥
n
x e
,
( 1,2, )
=
n
kéo theo
x
θ
=
. Thấy nếu
⊥
n
x e

( 1,2, )
=
n
thì
, 0,
=
n
x e
1,2,
=
n

suy ra:
1
,
n n
n
x x e e
∞
=
=
∑
1
0 .
θ
∞
=
= ⋅ =
∑
n
n
e
Định lý 1.2.4.7.3. Mọi dãy trực chuẩn trong không gian Hilbert H là dãy trực
chuẩn ñầy ñủ khi và chỉ khi
2
2
1
, ,
∞
=
= ∀ ∈
∑

n
n
x x x x H
.
Chứng minh.
G
iả
s
ử
cho
{
}
n
n
e
là
m
ộ
t
dã
y tr
ự
c chu
ẩ
n
ñầ
y
ñủ
trong không gian
Hilbert H, khi

ñó
v
ớ
i
mọ
i
1
: ,
∞
=
∈Η =
∑
n n
n
x x x e e
v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
t
ự
nhiên
Ν
ta
có
:
2
2

2
1 1
, ,
= =
− = −
∑ ∑
N N
n n n
n n
x x e e x x e
(*)
§ẳ
ng th
ứ
c (
∗
)
ñú
ng v
ớ
i
mọ
i
Ν
,
và vì
chu
ẩ
n
là

m
ộ
t
hà
m s
ố
liên
tụ
c cho nên khi
cho
Ν → ∞

ñượ
c:

2 2
2 2
1 1
0 , ,
∞ ∞
= =
= − ⇔ =
∑ ∑
n n
n n
x x e x x e
.
G
iả
s

ử
{
}
n
n
e
l
à
m
ộ
t
dã
y tr
ự
c chu
ẩ
n trong không gian Hilbert H
thỏ
a
mã
n:

2
2
1
: ,
∞
=
∀ ∈Η =
∑

n
n
x x x e
(8)
T
ừ ñẳ
ng th
ứ
c:
2
2
2
1 1
, ,
= =
− = −
∑ ∑
N N
n n n
n n
x x e e x x e

cho
Ν → ∞

ñượ
c:
2
1
,

∞
=
−
∑
n n
n
x x e e
=
2
2
1
,
∞
=
−
∑
n
n
x x e
=0

1 1
, ,
n n n n
n n
x x e e x x e e
θ
∞ ∞
= =
− =

⇒
=
∑ ∑
.

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

23

1.2.4.8. Cở sở trực chuẩn.
Hệ trực chuẩn B trong không gian tích vô hướng E ñược gọi là một cở sở trực
chuẩn của E nếu mọi
∈
x
E có biểu diễn duy duy nhất:
1
α
∞
=
=
∑
n n
n
x x
, trong ñó
α
∈
n
E,
n

x
là các phần tử ñôi một phân biệt trong B.
∗
Nhận xét. Mỗi dãy trực chuẩn ñầy ñủ là một cơ sơ trực chuẩn.
Thật vậy, giả sử
{
}
n
n
x
là một dãy trực chuẩn ñầy ñủ trong không gian tích vô
hướng E, nếu
1
α
∞
=
=
∑
n n
n
x x
và
1
β
∞
=
=
∑
n n
n

x x
thì:

2
2
1 1
0
α β
∞ ∞
= =
= − = −
∑ ∑
n n n n
n n
x x x x


( )
2 2
1 1 1
lim lim
α β α β
→∞ →∞
= = =
= − = −
∑ ∑ ∑
N N N
n n n n n n n
N N
n n n

x x x

=
( )
2
1
α β
∞
=
−
∑
n n n
n
x
( )
2
1
α β
∞
=
= −
∑
n n
n
suy ra:
(
)
0, 1,2,
n n
n

α β
− = ∀ = hay

(
)
n n
n
α β
= ∀

v
ậ
y bi
ể
u di
ễ
n c
ủ
a
x
là
duy nh
ấ
t.
∗
Nhận xét.
N
ế
u
{

}
n
n
x
là
m
ộ
t
dã
y tr
ự
c chu
ẩ
n
ñầ
y
ñủ
trong không gian
tí
ch vô
h
ướ
ng E
thì
{ }
1
1
, , , ,
α α
∗

=
 
= ∈ ∈Κ
 
 
∑
ℕ
n
n i i i
i
Span x x x n trù mật trong E.
Thật vậy, mỗi tổ hợp tuyến tính
n
phần tử của dãy
{
}
n
n
x
ñều có dạng
1
α
=
∑
n
i i
i
x
trong
ñó

α
∈Κ
i
. Ngược lại mọi phần tử có dạng
1
α
=
∑
n
i i
i
x
trong ñó
n
là một số tự nhiên
bất kì thuộc
∗
ℕ
,
i
x
là những phần tử của dãy
{
}
n
n
x
,
α
∈

i
K ñều là một tổ hợp tuyến
tính của các phần tử
1
, ,
n
x x
của dãy
{
}
n
n
x
, do vậy:
{ }
1
1
, , , ,
α α
∗
=
 
= ∈Ν ∈Κ
 
 
∑
n
n i i i
i
Span x x x n

Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

24

Biết
{
}
n
n
x
là hệ trực chuẩn ñầy ñủ, thì
∀ ∈
x
E ta có:
1
,
∞
=
=
∑
n n
n
x x x x
hay
1
lim ,
→∞
=
=
∑

n
i i
x
i
x x x x

tức là mỗi
x
ñều là giới hạn của một dãy các tổ hợp tuyến tính trù mật trong E.
1.2.5. Phép chiếu
Tập S trong không gian vect¬ E ñược gọi là tập lồi nếu với mọi
,
∈
x y
S và với
mọi
λ
[
]
0,1
∈

thì
[
]
(
)
{
}
, 1

λ λ
= − + ⊂
x y x y
S.
∗
Ví dụ 1.2.5. Mọi không gian vect¬ con ñều là tập lồi.
Định lý 1.2.5. Cho S là tập lồi ñóng trong không gian Hilbert H khi ñó
x H
∀ ∈

tồn tại duy nhất
y
∈
S sao cho:
inf
∈
− = −
z S
x y x z
trong
ñó

inf
∈
−
z S
x z

ñượ
c

gọ
i
là khoả
ng
cá
ch t
ừ
x
t
ớ
i S,
kí
hi
ệ
u
là
:
(
)
,
d x S
.

Chứng minh.
Theo
ñị
nh
nghĩ
a c
ậ

n d
ướ
i
ñ
úng t
ồ
n
tạ
i
dã
y
{
}
n
y
∈
S sao cho:

lim
→∞
∈
− = −
n
n
z S
x y Inf x z

Đặt
∈
= −

z S
d Inf x z
, do S là tập lồi cho nên
( )
1
2
+ ∈
n m
y y S suy ra:
( )
1
, ,
2
∗
− + ∈ ≥ ∀ ∈
ℕ
n m
x y y S d m n
X
é
t chu
ẩ
n:

( ) ( )
2 2
2 2
1 1
4 4
2 2

− = − + + − − − +
n m n m n m n m
y y x y y y y x y y
=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1
4
2
− + − + − − − − − +
n m n m n m
x y x y x y x y x y y
=
( )
( )
2
2 2
1
2 4
2
− + − − − +
n m n m
x y x y x y y
Vì
(
)
2 2
2
2 4

− + − →
n m
x y x y d
;
( )
2
2
1
4 4
2
 
− + →
 
 
 
n m
x y y d
nên:
2
0
n m
y y
− →
khi
,
→ ∞
n m
.
Trường ĐH Hùng Vương Khoa Toán – Công nghệ

25

Vậy
{
}
n
y
là dãy cơ bản trong H, và vì H là không gian ñầy ñủ cho nên
{
}
n
y
hội
tụ trong H. Đặt
lim
→∞
=
n
n
y y
, S là tập ñóng nên
∈
y
S và:
− =
x y
lim
→∞
∈
− = −

n
n
z S
x y Inf x z

Bây giờ, giả sử nếu tồn tại phần tử
,
y
∈
S thỏa mãn:
,
z S
x y Inf x z
∈
− = −
thì
( )
,
1
2
y y S
+ ∈

do
ñó
:
2
,
, 2
4 4 0

2
y y
y y d x
 
+
− = − − ≤
 
 

Suy ra:

,
0
y y
− =
kéo theo
,
y y
=

∗
Hệ quả. Nếu
1
H
là không gian con ñóng của không gian Hilbert H thì mỗi
∈
x H
có biểu diễn duy nhất:
= +
x y z

trong ñó
1
∈
y H
và
1
⊥
∈
z H
.
Chứng minh.
V
ì
không gian con tuy
ế
n
tí
nh
củ
a m
ộ
t không gian tuy
ế
n
tí
nh
là
m
ộ
t

t
ậ
p l
ồ
i
ñó
ng, cho nên theo
ñị
nh
lý
5.1, v
ớ
i m
ỗ
i
∈Η
x
t
ồ
n
tạ
i duy nh
ấ
t ph
ầ
n t
ử

1
∈Η

y
sao cho
1
1
,
∈
− = − ≤ − ∀ ∈Η
u H
x y Inf x u x u u
.
Đặ
t
= −
z x y
, ta ch
ứ
ng
minh
⊥
z x
, th
ậ
t v
ậ
y v
ớ
i
mọ
i
1

∈Η
u
và mọ
i s
ố
α
∈Κ
ta
có
:
α α
= − ≤ − − = −
z x y x y u z u

suy ra:

2 2
,
α α α
≤ − = − −
z z u z u z u
=
2 2 2
, ,
α α α
− − +
z u z z u u

c
họ

n
,
α
=
z u
và
1
=
u
ñượ
c:
2 2 2
2 2
, , ,
≤ − − +
z z z u z u z u
hay
2
0 ,
z u
≤ −

Kéo theo
, 0
z u
=
,
∀ ∈Η
u
;

1
=
u suy ra:
1
, 0,z u u
= ∀ ∈Η
hay
1
z
⊥ Η