Tài Liệu Toán Cao Cấp A1_Giải tích 2 năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung

TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

TÀI LI U THAM KH O
TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2

GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

N M H C: 2016 -2017

TRANG CH :
/>
Link: />
1


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

L I NịI
CH

U

NG TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P

TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017

Chúc m ng các b n đã b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i. Vi c đ
i h c m ra cho các em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không kém thách
th c. Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mà c h i ti p
xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch trên nh ng gi ng đ ng l n hàng tr m
Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x .
T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn
g i là h c ph n). Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên
đ c t ch c h c và đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn.
Bài t p hoàn toàn đ c t p trung d n vào cu i ch ng ho c chuyên đ ch
không theo bài (các bu i h c). Các bài t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c
t p c a Sinh viên. R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c
nên k t qu h c t p các môn h c
i c ng th ng th p h n nh ng môn h c
chuyên ngành n m th 3, th 4 (ho c th 5).
Tuy nhiên, ch ng trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k
bài t p t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và
cu i các ch ng (Ph n luy n t p chuyên đ ). C ng nh m đ làm quen v i cách h c
i h c, m t s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách
làm bài t p và trình b y b c i h c.
Th y thi t k ch ng trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p
c n s m v i ki n và k n ng làm bài t p t t. Hy v ng v i s chu n b s m và t t,
các em s thành đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b .
Link: />
2


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

các b n Sinh viên ti n theo dõi ch ng trình h c, Th y thi t k ch ng
trình đào t o đ c đánh mã s chi ti t theo các phân đo n đ n v ki n th c tu n t
đ các em d dàng theo dõi. Các em có th vào đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b
ch ng trình: />T i b c Ph thông, các em h c m t ch ng trình Toán duy nh t còn đ i v i
Toán Cao C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng
kh i ngành h c trong Tr ng.
i v i các kh i ngành K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,
ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán A g m có 4 h c ph n riêng
bi t v i đ ng link chính cho Toán A ( />o Toán A1: i s tuy n tính
o Toán A2: Gi i tích 1
o Toán A3: Gi i tích 2
o Toán A4: Gi i tích 3

i v i các kh i ngành Nông – Lâm – Y – D c, ch ng trình Toán Cao
C p đ c h c là Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính
cho Toán B ( />o Toán B1: i s tuy n tính
o Toán B2: Gi i tích

i v i các kh i ngành Kinh t , Th ng m i, Tài chính, Ngân hàng, Lu t
ho c Qu n tr kinh doan ... ch ng trình Toán Cao C p đ c h c là Toán C
g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C
( />o Toán C1: i s tuy n tính
o Toán C2: Gi i tích


T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đã đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho
t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng

nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán
A, Toán B và Toán C. i kèm lý thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p
đ c t ng h p t các
thi gi a và cu i H c k các n m g n đây c a các kh i
ngành:

Link: />
3


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

 Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bài t p
 Toán B1 và B2: g n 2000 bài t p
 Toán C1 và C2: g n 2000 bài t p
Các bài t p tr ng y u đ c quay Video đi kèm l i gi i giúp các em ôn t p d
dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng và chính xác.
Th y và đ i ng các Supper Mods (c ng đ u là các Gi ng viên d y i h c) r t
vui đ c trao đ i trên di n đàn Toán cao c p t i Moon.VN trên Facebook v i
đ ng link sau: />Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i
đ ng link sau: />Chúc các em nhanh chóng thu l
và v n d ng sáng t o !

mđ

c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng

Link: />
4


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

M CL C
Ch

ng 1: Hàm s nhi u bi n ...................................................................................9

§1. T ng quan hàm s nhi u bi n ..............................................................................9
1.1.

nh ngh a hàm nhi u bi n .............................................................................9

1.1.1.

nh ngh a :..............................................................................................9

1.1.2. Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s . .................................................9
1.2 Gi i h n c a hàm s hai bi n s ....................................................................10
1.3. Tính liên t c c a hàm s hai bi n s :...........................................................10
1.3.1. Khái ni m: ..............................................................................................10
1.3.2. Chú ý: .....................................................................................................11
§2.

o hàm riêng. ...................................................................................................12

2.1.

o hàm riêng: ..............................................................................................12

2.1.1.

nh ngh a:.............................................................................................12

2.1.2. Ý ngh a hình h c c a đ o hàm riêng: ....................................................12
2.2.

o hàm riêng c p cao:.................................................................................13

2.2.1

nh ngh a :.............................................................................................13

2.2.2

nh lý : ..................................................................................................14

§3: Vi phân toàn ph n và vi phân c p hai ................................................................19
3.1 inh ngh a : ....................................................................................................19
3.2. i u ki n kh vi c a hàm s nhi u bi n : .....................................................19
3.3.

ng d ng c a vi phân toàn ph n vào tính g n đúng: ...................................20

3.4. i u ki n đ bi u th c P  x, y dx  Q  x, y dy là m t vi phân toàn ph n: ..20

Link: />
5


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

3.5. Ph

C TRUNG

ng trình c a ti p tuy n, pháp di n c a đ

3.5.1.

ng cong trong không gian. ..............................................................20

3.5.2. Ph

ng trình c a ti p tuy n. ..................................................................21

3.5.3. Pháp di n c a đ
§4.

ng cong : ...................................................................21

o hàm c a hàm s h p.

4.1.

ng cong t i m t đi m. .......20

o hàm c a hàm s

n. .........................................24

o hàm c a hàm s h p ..............................................................................24

4.1.1.

nh ngh a:.............................................................................................24

4.1.2.

nh ngh a 2:..........................................................................................24

4.2.

o hàm c a hàm s

n ................................................................................24

4.2.1.

nh ngh a hàm n: ................................................................................25

4.2.2.

o hàm c a hàm n ..............................................................................25

§5. C c tr .................................................................................................................30
5.1. C c tr t do c a hàm s hai bi n s :............................................................30
5.1.1.

nh ngh a ..............................................................................................30

5.1.2. i u ki n c n c a c c tr .......................................................................30
5.1.3. i u ki n đ c a c c tr : .......................................................................30
5.2. C c tr có đi u ki n: ......................................................................................31
5.2.1. Khái ni m: ..............................................................................................31
5.2.2.

nh lý: ..................................................................................................31

5.3. Giá tr l n nh t và bé nh t c a hàm hai bi n s trong m t mi n đóng gi i
n i.........................................................................................................................32
Ch

ng 2: Tích phân b i .........................................................................................34

§1. Tích phân kép: ....................................................................................................34
1.1. Phép đ i bi n s trong tích phân kép ............................................................34
1.1.1. Phép đ i bi n s t ng quát .....................................................................34
Link: />
6


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)

GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

1.1.2. Phép đ i bi n s trong t a đ c c ..........................................................37
1.1.3. Phép đ i bi n s trong t a đ c c suy r ng ...........................................43
§2. Tích phân b i ba................................................................................................45
2.1.

nh ngh a và tính ch t .................................................................................45

2.2. Tính tích phân b i ba trong h t a đ Descartes ..........................................46
2.3. Ph

ng pháp đ i bi n s trong tích phân b i ba ..........................................49

§3. Các ng d ng c a tích phân b i .........................................................................62
3.1. Tính di n tích hình ph ng ............................................................................62
3.2. Tính th tích v t th .....................................................................................68
Ch

ng 3: Tích phân đ

§1. Tích phân đ
1.1.

ng ....................................................................................75

ng lo i I .......................................................................................75

nh ngh a ....................................................................................................75

1.2. Các công th c tính tích phân đ
§2. Tích phân đ
2.1.

ng lo i I ..................................................75

ng lo i II......................................................................................78

nh ngh a .....................................................................................................78

2.2. Các công th c tính tích phân đ

ng lo i II ..................................................78

2.3. Công th c Green ...........................................................................................82
2.4.

ng d ng c a tích phân đ

2.5. i u ki n đ l y tích phân đ
Ch

ng lo i II ..........................................................88
ng không ph thu c đ

ng l y tích phân. ...89

ng 4:Tích phân m t .........................................................................................92

§1. Tích phân m t lo i I ...........................................................................................92
1.1.

nh ngh a ...................................................................................................92

1.2 Các công th c tính tích phân m t lo i I .........................................................92
2. Tích phân m t lo i II ............................................................................................95
2.1.

nh h

ng m t cong ...................................................................................95

Link: />
7


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

2.2.

C TRUNG

nh ngh a tích phân m t lo i II ...................................................................95

2.3. Các công th c tính tích phân m t lo i II .......................................................95
2.4. Công th c Ostrogradsky, Stokes...................................................................98
2.5. Công th c liên h gi a tích phân m t lo i I và lo i II. ...............................102

Ch

ng 5: Lý thuy t tr

§1. Tr

ng vô h

ng ..................................................................................105

ng .............................................................................................105

1.1.

nh ngh a ...................................................................................................105

1.2.

o hàm theo h

ng ...................................................................................105

1.3. Gradient .......................................................................................................106
§2. Tr

ng vecto ....................................................................................................110

2.1

nh ngh a ....................................................................................................110

2.2. Thông l

ng, dive, tr

ng ng. ..................................................................110

2.3. Hoàn l u, vecto xoáy. .................................................................................110
2.4 Tr

ng th - hàm th v ...............................................................................111

Link: />
8


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

Ch

C TRUNG

ng 1: HƠm s nhi u bi n

§1. T ng quan hƠm s nhi u bi n
1.1.
1.1.1.

nh ngh a hƠm nhi u bi n

nh ngh a :
Cho D  R2 , ánh x f : D  R đ

Kí hi u là :

c g i là hàm s hai bi n s .

f :DR

 x, y  Z  f  x, y
 D là mi n xác đ nh c a f ; x,y là hai bi n s đ c l p.


f  D   z  f  x, y /  x, y  D g i là mi n giá tr c a hàm f

Hàm s n bi n f  x1, x2 ,..., xn  đ

c đ nh ngh a t

ng t .

Mi n xác đ nh :
Cho hàm s Z  f  x, y , mi n xác đ nh c a hàm f là t p h p các c p  x, y
sao cho f  x, y có ngh a. Ký hi u là D.
 Dđ

c g i là liên thông trong R2 n u v i M1 , M2 b t k thu c D luôn có

th n i v i nhau b i đ

ng cong liên t c n m hoàn toàn trong D

 Dđ

c g i là m n u nh ng đi m biên L c a D không thu c D

 Dđ

c g i là đóng n u m i đi m biên L c a D đ u thu c D

 D đ c g i là đ n liên n u nó b gi i h n b i nhi u đ
t ng đôi m t.

ng cong kín r i nhau

1.1.2. Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s .
Gi s Z  f  x, y xác đ nh trong mi n D c a m t ph ng xOy

Link: />
9


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

MP // OZ và MP  f  x, y  Z
Khi M bi n thiên trong D thì P bi n thiên trong R3 và
sinh ra m t S, S g i là đ th c a hàm Z  f  x, y và

Z  f  x, y còn g i là ph

ng trình c a m t S.

M i đ ng th ng song song v i tr c OZ c t m t S
không quá m t đi m.
1.2 Gi i h n c a hƠm s hai bi n s
nh ngh a :
Cho hàm s

f  M   f  x, y , xác đ nh trong mi n D ch a đi m M0  x0 , y0 

, có th tr đi m M 0 . Ta nói r ng L là gi i h n c a f  x, y khi đi m M  x, y 
d n t i đi m M0  x0 , y0  n u v i m i dãy Mn  xn , yn  thu c D d n t i M 0 ta đ u có
lim f  xn , yn   L

n

Kí hi u :

lim

 x, y x0 , y0 

hay :

f  x, y  L

lim f  M   L

M M0

1.3. Tính liên t c c a hƠm s hai bi n s :
1.3.1. Khái ni m:
Cho hàm s

f  M   f  x, y , xác đ nh trong mi n D, M0  x0 , y0  là m t

đi m thu c D. Ta nói hàm s
lim

f  x, y

lim

f  x, y  f  x0 , y0 

 x, y x0 , y0 

và
Hàm s

f  x, y liên t c t i M 0 n u t n t i :

 x, y x0 , y0 

f  x, y g i là liên t c trong mi n D n u nó liên t c t i m i đi m thu c

D.
Link: />

10


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

1.3.2. Chú ý:
t x  x0   x ; y  y0   y ta có :
f  x, y  f  x0   x ; y0   y  và f  f  x0   x ; y0   y   f  x0 , y0 

Có th phát bi u: Hàm s
lim

f  x, y liên t c t i M0  x0 , y0  n u :

  x , y  0,0

f  0

Ví d 1.1: Tìm gi i h n ( n u có ) c a hàm s sau

L i gi i:

Link: />
11


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)

GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

§2.
2.1.

o hƠm riêng.

o hƠm riêng:

2.1.1.

nh ngh a:
Cho hàm s z  f  x, y xác đ nh trong mi n D, đi m M0  x0 , y0   D . N u

cho y  y0 , v i y0 là h ng s , mà hàm s m t bi n s x  f  x, y0  có đ o hàm
t i x  x0 thì đ o hàm đó đ

c g i là đ o hàm riêng đ i v i x c a hàm s

f  x, y

t i  x0 , y0  .
Ký hi u : f 'x  x0 , y0  hay

f
z
 x0 , y0  hay  x0 , y0 
x

x

Ngh a là : f 'x  x0 , y0   lim

x0

T

ng t :

f  x0  x, y0   f  x0 , y0 
x

o hàm riêng đ i v i y c a hàm s

f  x, y t i  x0 , y0  , kí

hi u:
f ' y  x0 , y0   lim

y0

f  x0 , y0  y  f  x0 , y0 
y

Chú ý :


o hàm riêng c a hàm s n bi n đ c l p ( n > 2) đ nh ngh a t

ng t .

 Khi tính đ o hàm riêng c a m t bi n nào đó xem bi n còn l i nh m t
h ng s .
2.1.2. Ý ngh a hình h c c a đ o hàm riêng:
G i S là đ th c a hàm s z  f  x, y .
C1 là giao tuy n c a S v i m t ph ng y  y0 .
T1 là ti p tuy n c a giao tuy n C1 c a m t ph ng S v i m t ph ng y  y0 t i

đi m P  x0 , y0 , z0  .
Link: />
12


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

( C1 là đ th c a hàm 1 bi n s y  f  x, y0  trên m t ph ng y  y0 )
T2 là ti p tuy n c a giao tuy n C2 c a m t ph ng S v i m t ph ng x  x0



f 'x  x0 , y0  = H s góc c a ti p tuy n T1 c a C1 t i P  x0 , y0 , z0  v i
z0  f  x0 , y0  .



f ' y  x0 , y0  = H s góc c a ti p tuy n T2 c a C2 t i P  x0 , y0 , z0  v i

z0  f  x0 , y0  .

2.2.

o hƠm riêng c p cao:

2.2.1

nh ngh a :

Cho hàm s z  f  x, y . Các đ o hàm f 'x , f ' y là nh ng đ o hàm riêng c p m t.
Các đ o hàm riêng c a đ o hàm riêng c p m t g i là các đ o hàm riêng c p hai.
Các đ o hàm riêng c a đ o hàm riêng c p hai g i là đ o hàm riêng c p ba,....
Ký hi u đ o hàm riêng c p hai nh sau :
  f   2 f
//
   2  fx2  x, y
x  x  x

  f   2 f
 f yx//  x, y 
 
x  y  xy
  f   2 f
 fxy//  x, y
 
y  x  yx
  f   2 f
//

   2  f y2  x, y
y  y  y

Link: />
13


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

2.2.2

C TRUNG

nh lý :
N u trong m t lân c n U nào đó c a đi m M0  x0 , y0  hàm s

z  f  x, y

có các đ o hàm riêng fxy// , fyx// và n u các đ o hàm y liên t c t i M 0 thì fxy//  fyx//
t i M0 .
Ví d 2.1: Tính các đ o hàm riêng c a các hàm s sau

L i gi i:

Link: />
14


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)

GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

Ví d 2.2: Kh o sát s liên t c và s t n t i, liên t c c a đ o hàm riêng c a các
hàm s f  x, y sau :

Link: />
15


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

L i gi i:

Link: />
16


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

Ví d 2.3:

L i gi i:

Ví d 2.4:

Link: />
17


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

L i gi i:

Link: />
18


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

§3: Vi phơn toƠn ph n vƠ vi phơn c p hai
3.1 inh ngh a :
Cho hàm s

z  f  x, y xác đ nh trong mi n D  R2 , M0  x0 , y0  và

M  x0   x ; y0   y  là hai đi m thu c D.

N u s gia f  x0 , y0   f  x0   x ; y0   y   f  x0 , y0  có th bi u di n d

i d ng

f  x, y kh

vi t i

f  x0 , y0   A x  By   x   y thì ta nói hàm s

M0  x0 , y0  , bi u th c A x  B y g i là vi phân toàn ph n c a hàm s

f  x, y t i

 x0 , y0 

ng v i các s gia  x ,  y và đ

c ký hi u là df  x0 , y0  hay dz.

Hàm s

f  x, y g i là kh vi trong mi n D n u nó kh vi t i m i đi m c a mi n

y.
Chú ý :
 N u f  x, y kh vi t i  x0 , y0  thì t n t i các đ o hàm riêng
f 'x  x0 , y0  , f ' y  x0 , y0  .
 Khác v i hàm s m t bi n , n u hàm s hai bi n f  x, y có các đ o hàm

riêng f 'x  x0 , y0  , f ' y  x0 , y0  thì ch a ch c nó đã kh vi t i  x0 , y0  .
3.2. i u ki n kh vi c a hƠm s nhi u bi n :
nh lý :
N u hàm s

z  f  x, y có các đ o hàm riêng trong m t mi n D, ch a đi m

M0  x0 , y0  và n u các đ o hàm riêng y liên t c t i M 0 thì hàm s

t i M 0 , vi phân toàn ph n c a f  x, y t i M 0 đ

f  x, y kh vi

c tính theo công th c :

df  x0 , y0   f 'x  x0 , y0   x  f ' y  x0 , y0   y

Chú ý : Ta có  x  dx;  y  dy do đó :
df  x0 , y0   f 'x  x0 , y0  dx  f ' y  x0 , y0  dy
Link: />
19


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

3.3.

C TRUNG

ng d ng c a vi phơn toƠn ph n vƠo tính g n đúng:

Khi  x ,  y khá nh , ta có th xem f  x0 , y0  x p x b ng df  x0 , y0  t c là:
f  x0 , y0   f 'x  x0 , y0   x  f ' y  x0 , y0   y hay

f  x0   x ; y0   y   f  x0 , y0   f 'x  x0 , y0   x  f ' y  x0 , y0   y .

3.4. i u ki n đ bi u th c P  x, y dx  Q  x, y dy lƠ m t vi phơn toƠn ph n:
nh lý:
Gi s các hàm s

P  x, y , Q  x, y có các đ o hàm riêng liên t c trong m t

mi n D nào đó. Bi u th c P  x, y dx  Q  x, y dy là m t vi phân toàn ph n khi và
ch khi :
P Q
;   x, y  D

y x

3.5. Ph

ng trình c a ti p tuy n, pháp di n c a đ

3.5.1.

ng cong trong không gian.
Cho I  R, t  I , Ánh x cho t

ng cong t i m t đi m.

ng ng m i

s th c t v i m t vecto trong R3 duy nh t r  t  g i là
m t hàm vecto. N u x t  , y  t  , z  t  là ba thành ph n
c a vecto r  t  thì ta vi t :
r  t    x t  , y  t  , z  t  

hay

r  t   x t  i  y  t  j  z  t  k .

t OM  r  t  , đi m M có t a đ là x t  , y  t  , z  t  .Gi s các hàm s
x t  , y  t  , z  t  liên t c trên I.

Link: />
20


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

Khi t bi n thiên trong I đi m M v ch nên m t đ

R3 . Ta nói r ng x  x t  , y  y  t  , z  z t  là các ph

ng cong C liên t c trong
ng trình tham s c a đ

ng

cong C.
r  t   x t  i  y  t  j  z  t  k là ph

3.5.2. Ph

ng trình vecto c a đ

ng cong C.

ng trình c a ti p tuy n.

Gi s các đi m
M0  x t0  , y  t0  , z  t0   và M  x t0  h  , y  t0  h  , z t0  h  

thu c đ

ng cong C. Các hàm s

x t  , y  t  , z  t  kh

vi t i t0 thì

r '  t0    x '  t0  , y '  t0  , z '  t0   . V trí gi i h n c a cát tuy n M0 M khi M d n t i
M 0 trên đ

ng cong C n u t n t i là ti p tuy n c a C t i M 0 .

thu c ti p tuy n C t i M 0 khi và ch khi M0 P cùng ph
ph

ng trình ti p tuy n c a đ

i m P  x, y, z 

ng v i r '  t0  , ngh a là

ng cong C t i M 0 là :

x  x  t0  y  y  t 0  z  z  t 0 


x '  t0 
y '  t0 
z '  t0 

3.5.3. Pháp di n c a đ

ng cong :

M t ph ng đi qua M 0 vuông góc v i ti p tuy n c a đ
g i là pháp di n c a đ

ng cong C t i M 0 .

ng cong C t i M 0

i m P  x, y, z  n m trên pháp di n

c ađ

ng cong C t i M 0 khi và ch khi M0 P  r '  t0  hay M0 P.r '  t0   0 , ngh a

là ph

ng trình pháp di n c a đ

ng cong C t i M 0 là :

 x  x t0  x '  t0    y  y  t0  y '  t0    z  z  t0  z ' t0   0

Link: />
21


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

Ví d 3.1:

L i gi i:

Ví d 3.2:

L i gi i:
Link: />

22


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

C TRUNG

Link: />
23


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

§4.
4.1.

C TRUNG

o hƠm c a hƠm s h p.

o hƠm c a hƠm s

n.

o hƠm c a hƠm s h p

4.1.1.

nh ngh a:
Cho hàm s z  f  u, v , trong đó u  u  x , v  v x là nh ng hàm s c a x.

Ta nói r ng z  f  u  x , v x  là hàm s h p c a x.
nh lý :
N u z  f  u, v là hàm s kh vi c a u, v và u  u  x , v  v x là nh ng
hàm s kh vi c a x thì z là hàm s kh vi c a x và ta có :
dz f du f dv


dx u dx v dx

4.1.2.

(1)

nh ngh a 2:
Cho z  f  u, v , trong đó u  u  x, y , v  v x, y là nh ng hàm s c a hai

bi n s đ c l p x,y. Khi đó z  f  u  x, y , v x, y  là hàm s h p c a x,y.
nh lý :
N u hàm s z  f  u, v là hàm s kh vi c a u,v và các hàm s u  u  x, y ,
v  v x, y có các đ o hàm riêng u 'x , u ' y , v 'x , v ' y thì t n t i các đ o hàm riêng

z z
,
và ta có :
x y
z f u f v



x u x v x
z f u f v


y u y v y

4.2.

o hàm c a hàm s

n.

Link: />
24


TLTK: LT – TOÁN CAO C P A3 - GI I TÍCH 2 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIÊN: TS. NGUY N

4.2.1.

C TRUNG

nh ngh a hàm n:
Gi s hai bi n s x,y r ng bu c v i nhau b i ph

ng trình F  x, y  0 . Ta

nói y  f  x là m t hàm s xác đ nh trong m t kho ng nào đó sao cho khi th

y  f  x vào ph

4.2.2.

ng trình F  x, y  0 ta đ

c m t đ ng nh t th c.

o hàm c a hàm n
N u F  x, y kh vi tr m t s đi m, hàm s y  f  x kh vi thì :
Fx'  x, y  Fy'  x, y y '  0

hay

Fx'  x, y 
n u Fy'  x, y  0
y'= y '   '
Fy  x, y 

Ví d 4.1:

L i gi i:

Link: />
25