- Trang chủ >>
- Đại cương >>
- Toán cao cấp
Tài Liệu Toán Cao Cấp A1_Giải tích 3 năm học 2016_2017 Thầy Nguyễn Đức Trung
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (963.57 KB, 78 trang )
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
TÀI LI U THAM KH O
TOÁN CAO C P A4 - GI I TÍCH 3
GI NG VIÊN: TS. NGUY N
C TRUNG
N M H C: 2016 -2017
TRANG CH :
/>
Link />
1
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
L I NịI
U
§TRÌNH GI NG D Y TOÁN CAO C P
TRểN MOON.VN N M H C 2016 - 2017
Chúc m ng các b n đƣ b c vào m t ng ng c a m i c a cu c đ i. Vi c đ
i h c m ra cho các em m t trang m i v i đ y c h i nh ng không kém thách
th c. Thách th c không ch vi c h c xa nhà ho c môi tr ng mƠ c h i ti p
xúc đ h i đáp v i Gi ng viên r t h n ch trên nh ng gi ng đ ng l n hƠng tr m
Sinh viên mà kh i l ng ki n th c đ x .
T i b c h c i h c, m t môn h c đ c chia ra làm các phân môn (hay còn
g i là h c ph n). Các h c ph n có tính đ c l p t ng đ i v n i dung ki n th c nên
đ c t ch c h c vƠ đánh giá k t qu h c t p đ c l p hoàn.
Bài t p hoƠn toƠn đ c t p trung d n vào cu i §ho c chuyên đ ch không
theo bài (các bu i h c). Các bài t p c ng đ c gi i theo tính ch đ ng h c t p c a
Sinh viên. R t nhi u b n Sinh viên ng ngàng v i vi c h c b c i h c nên k t
qu h c t p các môn h c i c ng th ng th p h n nh ng môn h c chuyên
ngành n m th 3, th 4 (ho c th 5).
Tuy nhiên, §trình gi ng d y Toán Cao C p t i Moon.vn v n thi t k bài t p
t i cu i các bài h c lý thuy t (qua Video theo truy n th ng Moon.vn) và cu i các
§(Ph n luy n t p chuyên đ ). C ng nh m đ làm quen v i cách h c
i h c, m t
s video bài t p đ c đ a ra v i m c đích h ng d n các em cách làm bài t p và
trình b y b c i h c.
Th y thi t k §trình v i l ch phát sóng s m đ các em có c h i ti p c n s m
v i ki n và k n ng lƠm bƠi t p t t. Hy v ng v i s chu n b s m và t t, các em s
thƠnh đ t b i theo kinh nghi m: 95% thành công do vi c chu n b .
Link />
2
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
các b n Sinh viên ti n theo dõi §trình h c, Th y thi t k §trình đƠo t o
đ c đánh mƣ s chi ti t theo các phơn đo n đ n v ki n th c tu n t đ các em d
dàng theo dõi. Các em có th vƠo đ ng link sau đ bi t rõ v toàn b §trình:
/>T i b c Ph thông, các em h c m t §trình Toán duy nh t còn đ i v i Toán Cao
C p thì s khác bi t r t l n đ c th hi n t ng Tr ng, thâm chí t ng kh i
ngành h c trong Tr ng.
i v i các kh i ngƠnh K thu t, Khoa h c (S ph m, KHTN), Công ngh ,
§trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán A g m có 4 h c ph n riêng bi t v i
đ ng link chính cho Toán A ( />o Toán A1: i s tuy n tính
o Toán A2: Gi i tích 1
o Toán A3: Gi i tích 2
o Toán A4: Gi i tích 3
i v i các kh i ngƠnh Nông – Lâm – Y – D c, §trình Toán Cao C p đ c
h c lƠ Toán B g m có 2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán
B ( />o Toán B1: i s tuy n tính
o Toán B2: Gi i tích
i v i các kh i ngƠnh Kinh t , Th ng m i, TƠi chính, Ngơn hƠng, Lu t
ho c Qu n tr kinh doan ... §trình Toán Cao C p đ c h c lƠ Toán C g m có
2 h c ph n riêng bi t v i đ ng link chính cho Toán C
( />o Toán C1: i s tuy n tính
o Toán C2: Gi i tích
T i Moon.vn, ki n th c lý thuy t đƣ đ c b trí v i các n i dung chi ti t cho
t ng kh i ngành thông qua h th ng video bài gi ng cùng giáo trình đ y đ c ng
nh các tóm t t lý thuy t v n d ng đ nhanh chóng có th gi i bài t p cho c Toán
A, Toán B vƠ Toán C. i kèm lỦ thuy t c b n là m t kho d li u kh ng bài t p
đ c t ng h p t các
thi gi a và cu i H c k các n m g n đơy c a các kh i
ngành:
Toán A1, A2, A3 và A4: h n 3500 bƠi t p
Link />
3
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
Toán B1 và B2: g n 2000 bƠi t p
Toán C1 và C2: g n 2000 bƠi t p
Các bài t p tr ng y u đ c quay Video đi kèm l i gi i giúp các em ôn t p d
dàng, ti p c n ph ng pháp gi i nhanh chóng và chính xác.
Th y vƠ đ i ng các Supper Mods (c ng đ u là các Gi ng viên d y i h c) r t
vui đ c trao đ i trên di n đƠn Toán cao c p t i Moon.VN trên Facebook v i
đ ng link sau: />Các em c ng có th th c tr c ti p v i th y t i trang Facebook cá nhân v i
đ ng link sau: />Chúc các em nhanh chóng thu l
và v n d ng sáng t o !
mđ
c nh ng ki n th c, hoàn thi n k n ng
Link />
4
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
M CL C
PH N I. PH
§1. PH
NG TRỊNH VI PHÂN .....................................................................8
NG TRỊNH VI PHÂN C P I. ..................................................................8
1.
ic
ng v ph
ng trình vi phơn c p 1 .........................................................8
2. Ph
ng trình phơn ly. .........................................................................................9
3. Ph
ng trình thu n nh t. ..................................................................................10
4. Ph
ng trình khuy t bi n. ................................................................................10
5. Ph
ng trình tuy n tính. ..................................................................................12
6. Ph
ng trình Bernoulli. ...................................................................................14
7. Ph
ng trình vi phơn toƠn ph n. ......................................................................15
§2. PH
NG TRỊNH VI PHÂN C P HAI ...........................................................17
1.
ic
ng v ph
ng trình vi phơn c p 2. ......................................................17
2. Ph
ng trình khuy t.........................................................................................18
3. Ph
ng trình tuy n tính thu n nh t..................................................................19
4. Ph
ng trình tuy n tính không thu n nh t. .....................................................21
5. Ph
ng trình tuy n tính có h s không đ i. ...................................................23
§3. H PH
1.
ic
NG TRỊNH VI PHÂN ......................................................................30
ng .........................................................................................................30
2. Cách gi i h ph
ng trình vi phơn. ..................................................................30
PH N II. LÝ THUY T CHU I .............................................................................32
§1.
IC
NG V H CHU I S ....................................................................32
1. Chu i s ...........................................................................................................32
2. Tính ch t ..........................................................................................................33
§2. CHU I S D
1.
NG .........................................................................................34
nh ngh a ......................................................................................................34
Link />
5
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
2. Các đ nh lý so sánh ..........................................................................................34
3. Các tiêu chu n h i t ........................................................................................35
§3. CHU I S CÓ D U V I H NG T
B T K .............................................39
1. Chu i v i s h ng có d u b t k ......................................................................39
2. Chu i đan d u ..................................................................................................39
3. Tính ch t c a chu i h i t tuy t đ i ................................................................40
§4. CHU I HÀM S ...............................................................................................42
1. Chu i hàm s h i t .........................................................................................42
2. Chu i hàm s h i t đ u ..................................................................................42
3. Tính ch t c a chu i hàm s h i t đ u ............................................................43
§5. CHU I L Y TH A .........................................................................................45
1.
nh ngh a ........................................................................................................45
2. Các tính ch t c a chu i l y th a ......................................................................47
3. Khai tri n thành chu i l y th a .......................................................................48
4. Khai tri n m t s hàm s s c p c b n ..........................................................49
§6. CHU I FOURIER .............................................................................................52
1. Chu i l
ng giác chu i fourier ........................................................................52
2. i u ki n đ hàm s khai tri n thành chu i Fourier ........................................53
3. Khai tri n hàm ch n l .....................................................................................54
PH N III. PH
§1. PHÉP BI N
NG PHÁP TOÁN T
LAPLACE .............................................57
I LAPLACE VÀ PHÉP BI N
I LAPLACE NG
C .....57
1. Phép bi n đ i Laplace ......................................................................................57
2.
nh ngh a. .......................................................................................................57
3. Tính ch t c a phép bi n đ i Laplace ...............................................................58
4. Phép bi n đ i Laplace ng
§2. PHÉP BI N
c ...........................................................................60
I C A BÀI TOÁN V I GIÁ TR BAN
U .......................64
1. Phép bi n đ i c a đ o hàm ..............................................................................64
Link />
6
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
2. Nghi m c a bài toán giá tr ban đ u. H qu . Phép bi n đ i c a đ o hàm b c
cao ........................................................................................................................64
3. H ph
ng trình vi phơn tuy n tính .................................................................66
4. Nh ng k thu t bi n đ i b sung .....................................................................67
§3. PHÉP T NH TI N VÀ PHÂN TH C
N GI N .........................................69
1. M đ u .............................................................................................................69
2. Quy t c phân th c đ n gi n .............................................................................69
3. S c ng h
§4.
ng và nhân t tích l p b c 2 .........................................................70
O HÀM, TÍCH PHÂN VÀ TÍCH CÁC PHÉP BI N
I .........................72
1. M đ u .............................................................................................................72
2. Tích ch p c a hai hàm .....................................................................................72
3. Vi phân c a phép bi n đ i ...............................................................................73
4. Tích phân c a phép bi n đ i ............................................................................75
5. Phép bi n đ i c a hàm liên t c t ng khúc .......................................................75
Link />
7
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
PH N I. PH
NG TRÌNH VI PHÂN
Ph ng trình vi phơn lƠ ph ng trình có d ng F(x, y, y', y", ... , y(n)) = 0,
trong đó x lƠ bi n đ c l p, y = y(x) là hàm ph i tìm, y', ... , y(n) lƠ các đ o hàm c a
nó.
C p cao nh t c a đ o hƠm có trong ph ng trình, g i là c p c a ph
trình. Giáo trình này ch xét các ph ng trình c p 1 và 2.
Nghi m c a ph
ng trình vi phơn lƠ m i hàm s th a mƣn ph
Nghi m c a ph
ng trình có th tìm đ
cd
i d ng t
ng
ng trình đƣ cho.
ng minh y = y(x),
ho c d ng tham s x = x(t); y = y(t); ho c d ng n (x,y) = 0.
§1. PH
1.
ic
ng v ph
NG TRỊNH VI PHÂN C P I.
ng trình vi phơn c p 1
nh ngh a. Ph ng trình vi phơn c p 1 lƠ ph ng trình d ng F(x,y,y') = 0. N u
t ph ng trình đƣ cho gi i đ c theo y' thì ph ng trình có d ng y' = f(x,y).
Bài toán Cauchy. Là bài toán tìm nghi m c a ph ng trình y' = f(x,y) th a
mƣn đi u ki n y(x0) = y0, trong đó (x0, y0) là các giá tr cho tr c. Bài toán Cauchy
đ c vi t
y' f x, y 1
y x x 0 y0 2
i u ki n (2) g i lƠ đi u ki n ban đ u, hay đi u ki n Cauchy.
nh lý t n t i và duy nh t nghi m. Xét bài toán Cauchy (1), (2). Gi s
f(x,y) liên t c trên D
2
, và x 0 , y0 D . Khi đó, trong m t lân c n nƠo đó c a
x0, bài toán Cauchy (1), (2) luôn có nghi m. N u có thêm đi u ki n f y' x, y liên
t c trên D, thì nghi m là duy nh t.
Link />
8
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
Nghi m t ng quát. Ta g i ghi m t ng quát c a ph
ng trình y' = f(x,y) lƠ hƠm
s y (x,C) , trong đó C lƠ h ng s tùy ý, th a mƣn các đi u ki n sau:
a) Hàm s y (x,C) th a mƣn ph
ng trình đƣ cho v i m i giá tr c a C.
b) x 0 , y0 D , v i D là mi n mƠ đi u ki n t n t i và duy nh t nghi m
đ
c th a mƣn, luôn tìm đ
c giá tr c a h ng s
C C0 , sao cho nghi m
y (x,C0) th a mƣn đi u ki n ban đ u (2).
Nghi m riêng, tích phân riêng. N u trong công th c nghi m t ng quát ho c tích
phân t ng quát, ta cho C giá tr c th C0, thì nghi m nh n đ c g i là nghi m
riêng ho c tích phân riêng.
Nghi m k d . Có th t n t i các nghi m không n m trong h nghi m t ng quát.
Nh ng nghi m nh v y g i là nghi m k d .
2. Ph
ng trình phơn ly.
LƠ ph
ng trình d ng f(x)dx + g(y)dy = 0.
Cách gi i: Tích phân hai v ph
ng trình, đ
G i F(x) vƠ G(y) lƠ các nguyên hƠm t
ph ng
c f (x)dx g(y)dy C .
ng ng, thì tích phân t ng quát c a
trình là F(x) + G(y) =C.
Ví d : Gi i ph
ng trình ex 1 ydx y 1 dy 0 .
Gi i: N u y 0 , chia hai v cho y, đ
hai v ,đ
1
c e x 1 dx 1 dy 0 Tích phân
y
c ex x y ln y C . Ngoài ra, y(x) 0 c ng lƠ nghi m. Nghi m này
không n m trong h nghi m t ng quát, nên là nghi m k d .
Link />
9
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
3. Ph
ng trình thu n nh t.
LƠ ph
y
ng trình có d ng y' f .
x
Cách gi i:
đƣ cho,đ
t y = tx.
o hƠm theo x, đ
c y' = xt' + t. Th vƠo ph
c xt ' f t t . N u f t t 0 , chia hai v cho x(f(t) - t) đ
ng trình
c
y
dt
dx
dt
dx
ln x t ln C x Ce x .
f t t x
f t t
x
t
N u f(t) t, thì y' = y/x. Nghi m t ng quát là y = Cx.
N u t n t i t0 sao cho f(t0) = t0 thì th tr c ti p, th y y = t0x là nghi m riêng.
Ví d : Gi i ph
ng trình y'
xy
.
xy
Gi i: Chia t và m u cho x, d th y đơy lƠ ph
đ c
ng trình thu n nh t.
t y = tx,
1 t
1 t
1 t2
dx 1 t
xt '
t
xt ' t
dt.
1 t
1 t
1 t
x 1 t2
Tích
ph n
x y
2
4. Ph
2
hai
v ,
đ
c
1
ln x arctan t ln(1 t 2 )
2
+
lnC.
V y
y
arctan
x.
Ce
ng trình khuy t bi n.
a) Ph
ng trình khuy t y. D ng ph
+ N u gi i đ
ng trình lƠ F(x,y') = 0.
c y' = f(x) thì nghi m t ng quát là y = f x dx + C.
Link />
10
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
+
gi i
N u
đ
c
x
=
g(y')
thì
đ t
y'
=
t
đ
c
dy tdx tg' t dt y tg' t dt
Ngoài ra x = g(t). V y nghi m t ng quát d ng tham s
là x = g(t);
y tg ' t dt
Ví d : Gi i ph
Gi i:
ng trình x = y'2 + y' + 1.
t y' = t, đ
c x = t2 + t + 1. T đó dy = tdx = t(2t + 1)dt,
2t 3 t
y
C . Nghi m c a ph
3
2
+ N u gi i đ
'(t)dt.
2t 3 t
ng trình lƠ y
C ; x = t2 + t + 1.
3
2
c x, y' d ng tham s x = f(t) ; y' = g(t) thì dy = f(t)dx = g(t)f
x f t
Do đó y = g t f ' t dt +C. V y nghi m t ng quát là
y g t f ' t dt C
Ví d : x2 + y'2 = 1.
Gi i: đ t x = cost ; y' = sint. T đó dy sin tdx sin 2 tdt 1 cos 2t dt / 2 .
V y y
b) Ph
t sin2t
t sin2t
C . áp s { x = cost ; y
C }.
4
4
ng trình khuy t x. D ng ph
ng trình lƠ F(y,y') = 0.
dy
dy
dx x
C .
f y
ln y
+ N u gi i đ
c y' = f(y) thì
+ N u gi i đ
c y = g(y') thì đ t y' = t. Do dy = tdx nên g'(t)dt = tdx. V y
dx
g ' t
g ' t dt
dt x
C . V y nghi m t ng quát là
t
t
Link />
11
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
g ' t dt
C
x
t
y g t
Ví d : Gi i ph
Gi i:
ng trình y y' e y ' .
2
t y' = t, nh n đ
c
y t 2e t . Có dy y'dx 2t t 2 e t dt tdx dx 2 t e t dt x t 1 e t
. V y nghi m t ng quát là x t 1 e t C; y t 2e t .
+ N u gi i đ
c y, y' d ng tham s y = f(t) ; y' = g(t) thì do dy = y'dx,
nên f '(t)dt = g(t)dx. Do đó x
f ' t dt
dt C V y nghi m t ng quát là
gt
y f t
f ' t dt
x
gt C
Ví d : y2 y'2 1 .
Gi i: T ph
ng trình đƣ cho, đ
c y cos t ; y sin t . Do dy = y'dx
nên costdt = costdx, dt = dx, x = t + C. áp s y sin t sin(x C) .
5. Ph
ng trình tuy n tính.
LƠ ph
ng trình có d ng y' + p(x)y = f(x).
N u f(x) 0 thì ph
a) Gi i ph
ng trình trên đ
c g i lƠ ph
ng trình thu n nh t
ng trình thu n nh t y' + p(x)y = 0.
N u y 0 , chia hai v cho y, ph
ng trình tr thành phân ly bi n
Link />
12
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
dy
p x dx
. Tr
p x dx, ln y p x dx ; y Ce
y
ng h p y = 0 c ng lƠ
nghi m
và là nghi m riêng khi C = 0
b) Gi i ph
ng trình không thu n nh t y' + p(x)y = f(x).
Chúng ta tìm nghi m d
p x dx
i d ng y C x e
, trong đó C(x) lƠ hƠm s c n
tìm.
Tính đ o hàm t bi u th c c a y r i th vƠo ph
ng trình đƣ cho, đ
c
'
p x dx
p x dx
p x dx
f x
p x C x e
Cx x e
p x C x e
p x dx
p x dx
C' x f x e
; C x f x e
dx
x
V y nghi m t ng quát là y
f x e
p x dx
Ph ng pháp tìm nghi m nh trên g i lƠ ph
đƣ bi t
m t nghi m riêng thì ta d dƠng tìm đ
p x dx
.
dx K e
ng pháp bi n thiên h ng s . N u
c nghi m t ng quát nh đ nh lý sau:
nh lý. G i Y(x) là nghi m t ng quát c a ph
ng trình thu n nh t y' + p(x)y =
0
và g i y*(x) là nghi m riêng c a ph
thì nghi m t ng quát c a ph
ng trình không thu n y' + p(x)y = f(x),
ng trình không thu n nh t là y = Y(x) + y*(x).
Ví d 1: Tìm nghi m riêng c a ph
ng trình y'
Link />
y
x 2 , y(1) = 1.
x
13
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
Gi i:
ye
dx
x
Theo
công
th c
nghi m
t ng
quát,
đ
c
dx
x3
2 x
K x e
Kx .
2
Khi x = 1, thay vào nghi m t ng quát, đ
c K = 1/2. V y nghi m riêng c n tìm là
y = x(1 + x2)/2 .
Ví d 2: Gi i ph
ng trình e y xe y 1 y' 0 .
Gi i: Coi x là hàm c a y, ph
ng trình đƣ cho vi t thành eyx' + (xey - 1) = 0, hay
dy
dy
x' + x = e-y. V y nghi m t ng quát là x e K e ye dy e y K y
6. Ph
ng trình Bernoulli.
LƠ ph
ng trình có d ng y p(x)y yq(x) (v i 1 ).
Cách gi i: Chia hai v cho y , đ
c z (1 )y y . Ph
đ
ơy lƠ ph
Ví d : y'
ze
ng trình tr thành z (1 )z (1 )q(x) .
y
x 2 y4 .
x
Gi i: Chia hai v cho y đ
y3
c y y'
x2 .
x
ng trình tr thành y4 y'
3dx
x
t z y1 ,
ng trình tuy n tính đƣ bi t cách gi i.
4
Ph
c y- y' p(x)y1- q(x) .
4
t z = y -3, đ
c z' = -3y -4y'.
3z
3x 2 . Nghi m t ng quát là
x
3dx
1
2 x
K 3x e
x 3 K 3ln x , Thay z y 3 , thì y
x. 3 K ln x
Link />
14
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
7. Ph
ng trình vi phơn toƠn ph n.
LƠ ph
ng trình d ng P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0,
trong đó P, Q liên t c cùng các đ o hàm riêng c a chúng trên miên D nƠo đó.
Ngoài ra Py' Q'y , x, y D .
Cách gi i: V i đi u ki n đƣ cho, v trái c a ph ng trình lƠ vi phơn toƠn ph n
c a hƠm u(x,y) xác đ nh b i m t trong hai công th c sau
X
y
X0
y0
P x 0 , y dx Q x, y dy ho c
u x, y
X
y
X0
y0
P x, y dx Q x, y0 dy
u x, y
Trong đó (x0, y0) lƠ đi m b t k trong mi n D. Khi đƣ có hƠm u(x,y) nh trên
thì nghi m t ng quát là u(x,y) = C.
Ví d : Gi i ph
ng trình (4xy2 + y)dx + (4x2y + x)dy = 0.
Gi i: D ki m tra đi u ki n đ v ph i là vi phân toàn ph n. v y tích phân t ng
quát c a ph ng trình là
1
1
0dx 4x
0
2
0
Nh n xét: trong tr
ph
y x dy C 2x 2 y 2 xy C .
ng trình
ng h p Py' Q'y , x, y D mà t n t i hàm (x, y) đ
(x, y) P x, y dx Q x, y dy 0 lƠ ph
ng trình vi phơn toƠn
ph n.Khi đó hƠm
(x, y) đ
c g i là th a s tích phơn.Nói chung không có ph
ng pháp
chung đ tìm (x, y) khi nó ph thu c vào c hai bi n x,y.
c bi t khi (x) thì ta có
Link />
15
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
Py Qx
T
P
Q d Py Qx
d
Q
y
x
dx
Q
ng t khi (y) thì ta c ng tính đ
th a s tích phơn t ng ng,t đó có đ
đ c nghi m t ng ng.
c
c ph
Py Qx
d
qua đó ta tìm đ
P
c
ng trình vi phơn toƠn ph n và tìm
Link />
16
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
§2. PH
1.
ic
ng v ph
nh ngh a. Ph
N u gi i đ
NG TRỊNH VI PHÂN C P HAI
ng trình vi phơn c p 2.
ng trình vi phơn c p 2 lƠ ph
c ph
ng trình d ng F(x,y,y',y'') = 0.
ng trình trên theo y' thì nó có d ng y'' = f(x,y,y').
Bài toán Cauchy. Là bài toán tìm nghi m c a ph ng trình y' = f(x,y,y') th a
mƣn đi u ki n y(x0) = y0, y'(x0) = y0' , trong đó x0, y0 ,y0' là các giá tr cho tr c.
BƠi toán Cauchy đ
c vi t
y' f x, y, y'
'
y x x 0 y0 ; y' x x 0 y0
3
4
i u ki n (4) g i lƠ đi u ki n ban đ u, hay đi u ki n Cauchy
nh lý t n t i và duy nh t nghi m. Xét bài toán Cauchy (3, 4). Gi s các
hàm s
f x, y, y' ,
f x, y, y' f x, y, y'
,
liên t c trên mi n V
y
y'
3
.
Khi đó, v i x 0 y0 , y0' V ,thì trong m t lân c n nƠo đó c a đi m x0, t n t i
nghi m
duy nh t y = y(x) c a ph
ng trình (3) th a mƣn đi u ki n ban đ u (4).
Nghi m t ng quát. Ta g i nghi m t ng quát c a ph
hàm s
ng trình y' = f(x,y,y') lƠ
y (x,C1,C2 ) , trong đó C1,C2 là h ng s tùy ý, th a mƣn các đi u ki n sau:
a) Hàm s y (x,C1,C2 ) th a mƣn ph
ng trình đƣ cho v i m i C1, C2.
b) x 0 , y0 , y0' D , v i D là mi n mƠ đi u ki n t n t i và duy nh t nghi m
đ
c
Link />
17
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
th a mƣn, luôn tìm đ
c giá tr c a các h ng s
C1, C2 sao cho nghi m
y (x,C1,C2 ) th a mƣn đi u ki n ban đ u (4).
Nghi m riêng, tích phân riêng. N u trong công th c nghi m t ng quát ta cho
C1, C2 các
giá tr c th thì nghi m nh n đ
c g i là nghi m riêng.
Nghi m k d . Có th t n t i các nghi m không n m trong h nghi m t ng
quát.
Nh ng nghi m nh v y g i là nghi m k d .
2. Ph
ng trình khuy t.
a) Ph
ng trình khuy t y, y'. D ng ph
t y' = t, đ
c F(x,t') = 0. ơy lƠ ph
ng trình F(x,y'') = 0.
ng trình c p 1 khuy t bi n t đƣ bi t cách
gi i.
N u nghi m c a ph
đ u là
ng trình nƠy lƠ t = f(x,C) thì nghi m ph
ng trình ban
y = T(x,C) + D, trong đó T(x) là nguyên hàm c a f(x).
Ví d : Gi i ph
ng trình y'' = x2 + xex + 1.
Gi i:
y'
x3
x4 x2
x
x
xe e x C y
xe x Cx D
x xe 1 dx
3
12 2
2
b) Ph
x
ng trình khuy t y. D ng ph
t y' = t, đ
Ví d : Gi i ph
ng trình lƠ F(x,y',y'') = 0.
c F(x,t,t') = 0. ó lƠ ph
ng trình c p 1 đ i v i t.
ng trình y'' 1 x 2 2xy' ; y x 0 1 , y'
Link />
x 0
3.
18
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
t t = y', đ
t C 1 x 2 y' C 1 x 2
Thay đi u ki n đ u đ
c) Ph
c y x 0 D 1 ; y'
ng trình khuy t x. D ng ph
t y' = t, đ
ơy lƠ ph
t'
2x
2xdx
ln 1 x 2 ln C
ln
t
2
2
t 1+x
1+x
C
y x 3 Cx D
3
c t'(1 + x2) = 2xt
x 0
C 3. Nên y = x3 + 3x +1.
ng trình lƠ F(y,y',y'')= 0.
c y'' t 'y .y'x t t 'y . Th vƠo ph
ng trình, đ
c F(y, t, t t 'y ) = 0.
ng trình c p 1 đ i v i t(y).
Ví d : Gi i ph
t y' = t, đ
ng trình 2yy'' = y'2 +1.
c y t.ty . Th vƠo ph
ng trình đƣ cho, đ
c 2y t ty t 2 1;
2tdt dy
ln t 2 1 ln y ln C y C t 2 1 .
2
t 1 y
M t khác, do y' = t, nên dy = tdx. Th y t k t qu trên vƠo đơy,
đ
c C2tdt tdx x 2Ct D .
áp s y = C(t2 + 1) ; x = 2Ct + D (d dàng vi t dƠng t
3. Ph
ng minh).
ng trình tuy n tính thu n nh t.
ó lƠ ph
ng trình d ng y'' + p(x)y' + q(x)y = 0.
(5)
a) C u trúc nghi m t ng quát.
nh lý. N u y1(x) và y2(x) là hai nghi m c a ph
ng trình thu n nh t (5),
thì y x Cy1 x Dy2 x c ng lƠ nghi m c a ph
ng trình nƠy.
N u có thêm đi u ki n hai nghi m riêng y1(x) và y2(x) đ c l p tuy n tính thì
nghi m
y = C y1(x) + D y2(x) là nghi m t ng quát c a (5).
Link />
19
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
(Hai hàm s
y1(x)/y2(x)
y1(x), y2(x) đ
c g i lƠ đ c l p tuy n tính n u phân th c
không đ ng nh t b ng h ng s )
Ch ng minh: D ki m tra r ng n u y1(x) và y2(x) là các nghi m c a (5) thì y(x)
c ng lƠ nghi m c a (5). Ta s ch ng minh y(x) là nghi m t ng quát. Xét đi u ki n
y0 Cy1 x 0 Dy 2 x 0
đ u b t k y x x y0 ; y' x x y0' . Khi đó '
'
'
0
0
y0 Cy1 x 0 Dy 2 x 0
ơy lƠ h ph ng trình đ i s tuy n tính v i đ nh th c c a h khác 0(do gi i
thi t v tính đ c l p tuy n tính c a y1 và y2). V y, h luôn có nghi m, t c là luôn
tìm đ c các h ng s C, D đ nghi m y th a mƣn đi u ki n ban đ u. FCM.
nh lý trên cho th y, đ tìm nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t, ch
vi c tìm hai nghi m riêng đ c l p tuy n tính lƠ đ c. Ng i ta ch a có cách chung
đ tìm hai nghi m này. Tuy nhiên, n u đƣ bi t m t nghi m riêng thì có th tìm
đ c nghi m riêng th hai b ng ph ng pháp d i đơy.
b) Ph
ng pháp tìm nghiêm riêng th hai.
B đ . N u y1(x), y2(x) là hai nghi m riêng c a ph
Wronsky W=
y1 x y 2 x
y1' x y'2 x
ng trình (5) thì đ nh th c
- p x dx
th a mãn h th c W Ce
Ch ng minh. Vì y1(x), y2(x) là hai nghi m c a ph
.
ng trình (5), nên
y1 p(x)y1 q(x)y1 0
y2 p(x)y2 q(x)y 2 0
Nhân h th c đ u v i -y2, sau v i y1, r i c ng l i, đ
y1y2
c
y2 y1 p x y1y2 y2 y1 0 Mà
W y1y2 y2 y1 , W' y1 y2 y1y2 y2 y1 y2 y1 y1y2 y2 y1 .
Th vào k t qu trên, đ
c
Link />
20
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
W ' + p(x)W = 0
dW
p x dx
. FCM.
p x dx W(x) Ce
W
nh lý. N u y1(x) 0 là m t nghi m riêng c a ph ng trình (5) thì nghi m
riêng th hai y2(x), đ c l p v i y1(x) tìm đ c theo công th c
1
p x dx
y2 x y1 x 2
e
dx
y1 x
Ch ng minh. Theo b đ , có
- p x dx
W Ce
- p x dx
y1y2 y2 y1 Ce
y1y2 y2 y1 C - p x dx
2e
y12
y1
(C=1,D=0)
d y2 C - p x dx
y2
C - p x dx
1 - p x dx
e
e
dx
+D
y
y
dx
2
1
y2 e
dx y1 y12
y1 y12
1
Ví d : Gi i ph
ng trình 1 x 2 y'' 2xy' 2y 0 , bi t m t nghi m riêng y = x.
Gi i: Chia hai v cho 1- x2, thì
px
2x
2xdx
p x dx
ln x 2 1 .
2
2
1-x
1-x
V y nghi m th hai là
ln x 1
1
e
1
p x dx
1 p x dx
y2 x y1 x 2
e
dx x 2 e
dx x
dx
x
x
x
x2
x
y1 x
T đó nghi m t ng quát y = Cx + D(x2 + 1).
2
4. Ph
ng trình tuy n tính không thu n nh t.
LƠ ph
ng trình có d ng y'' p x y' q x y f x .
Link />
(6)
21
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
nh lý. Nghi m t ng quát c a ph ng trình tuy n tính không thu n (6) b ng
t ng c a nghi m t ng quát c a ph ng trình thu n nh t t ng ng (5) v i m t
nghi m riêng nƠo đó c a ph ng trình không thu n (6).
Nói cách khác, nghi m t ng quát c a (6) là y = Y(x) + y*(x), trong đó Y(x) lƠ
nghi m t ng quát c a (5), y*(x) là nghi m riêng c a (6).
a) Ph ng pháp bi n thiên h ng s . Gi s đƣ bi t nghi m t ng quát c a
ph ng trình thu n nh t (5) là Y(x) = Cy1(x) + Dy2(x). Ch còn ph i tìm nghi m
riêng c a (6) là xong. Ta Coi C, D là các hàm ph thu c x, và ph i tìm các hàm s
nƠy đ bi u th c y(x) = C(x)y1(x) + D(x)y2(x) là nghi m c a ph ng trình (6).
Có y Cy1 C'y1 Dy2 Dy2 . Ch n C, D sao cho C'y1 D'y2 0 . Khi đó
y' = Cy1' + Dy2' (7)
L y đ o hƠm, đ
trình (6), đ
c y C'y1 Cy1 D'y2 Dy2 . Th y' vƠ y'' vƠo ph
ng
c
C'y1 Cy1 D'y2 Dy2 pCy1 Dy2 q Cy1
Dy2 f x ;
C y1 py1 qy1 D y2 py2 qy 2 C'y1 D'y2 f x .
Vì y1, y2 là nghi m c a ph
ng trình thu n nh t, nên
C' y1 D' y2 f x (8)
T ng h p đi u ki n (7) (8) nhơn đ
c k t qu :
nh lý: Bi u th c y = Cy1 + Dy2 là nghi m riêng c a ph
ng trình không
C' y1 D' y 2 0
thu n nh t (6) , n u th a mãn h
C' y1' D' y 2' f x
H trên là h đ i s tuy n tính v i n C', D'. T đó tìm đ
Ví d : Gi i ph
c a ph
c C, D.
ng trình 1 x 2 y 2xy 2y 1 x 2 , bi t m t nghi m riêng
ng trình thu n nh t t
ng ng là y = x. (xem ví d
Link />
m c trên)
22
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
Gi i: Ph
ng trình vi t thành y'
Theo bài gi i đƣ có
ng là
Y = Cx + D(x2 + 1),
2x
2
y'
y 1
1-x 2
1 x2
trên, nghi m t ng quát c a ph
ng tình thu n nh t t
ng
đơy y1 = x ; y2 = x2 + 1.
tìm nghi m riêng, ta gi i h
2
C' 1 2
2
C'x D' x 1 0
x 1
1
C' D'2x
D' x
x2 1
x 1
C x ln
x 1
D 1 ln x 2 1
2
x 1 x2 1
+
ln x 2 1 . Nghi m t ng quát
V y nghi m riêng là y* x x ln
x 1
2
2
là
x 1 x2 1
y Cx +D x 1 x x ln
+
ln x 2 1
x 1
2
5. Ph
2
2
ng trình tuy n tính có h s không đ i.
ó lƠ ph
ng trình có d ng y'' + py' + qy = f(x), trong đó p, q lƠ các h ng s .
1) Gi i ph
ng trình thu n nh t
y'' py' qy 0
(9)
Ta s tìm các nghi m riêng đ c l p tuy n tính c a ph
d ng
ng trình thu n nh t d
i
y = ekx, trong đó k là h ng s c n tìm. Có y' = kekx ; y'' = k2ekx. Th y'', y' , y
vƠo ph
ng trình đƣ cho, đ
c
k 2ekx kpekx +qekx 0 hay k 2 +pk q 0 (10)
Link />
23
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
ph
ng trình (10) đ
c g i lƠ ph
ng trình đ c tr ng. Xét các tr
a) N u (10) có hai nghi m đ n k1, k2. Khi đó ph
ng h p:
ng trình thu n nh t (9) có hai
nghi m riêng y1 ek1x ; y2 ek 2 x . Hai nghi m nƠy đ c l p tuy n tính. V y
nghi m t ng quát là y Cek1x Dek 2 x .
b) N u (10) có nghi m kép k0. Khi đó ph
ng trình thu n nh t (9) có m t
nghi m riêng y1 ek 0 x . Nghi m t ng quát là y C Dx ek 0 x .
c) N u (10) có nghi m ph c k = a bi. Khi đó ph
hai nghi m riêng
ng trình thu n nh t (9) có
a bi x
a bi x
y1 e
eax cosb isin b ; y2 e
eax cosb isin b .
y1 y2
y y2
eax cosb ; z2 1
eax sin b c ng lƠ hai nghi m
2
2i
riêng. Chúng đ c l p tuy n tính, v y nghi m t ng quát là
T đó, z1
y Ccosb Dsinb eax .
Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a các ph
ng trình sau
(a) y 3y 2y 0
(b) y 4y 4y 0
(c) y 2y 5y 0
Gi i: (a) Ph
ng trình đ c tr ng k2 - 3k + 2 = 0, k = 1, k = 2. Nghi m t ng quát
là
y Ce x +De2x .
(b) Ph
quát c a ph
ng trình đ c tr ng k2 + 4k + 4 = 0, k = -2 là nghi m kép. Nghi m t ng
ng trình vi phơn lƠ y C+Dx e2x .
Link />
24
TLTK: LT – TOỄN CAO C P A4 - GI I TệCH 3 (N M H C 2016 -2017)
GI NG VIểN: TS. NGUY N
C TRUNG
(c) Ph
ng trình đ c tr ng k2 + 2k + 5 = 0, (k +1)2 + 4 = 0, k = -1 2i. Nghi m
t ng quát c a ph
2) Ph
ng trình vi phơn lƠ y (C cos 2 Dsin 2)e x .
ng trình có v ph i đ c bi t.
Xét ph ng trình y'' + py' + qy = f(x). Trong tr ng h p t ng quát, ta đƣ bi t
cách gi i ph ng trình thu n nh t, nên có th dùng ph ng pháp bi n thiên h ng s
đ tìm m t nghi m riêng, t đó tìm đ c nghi m t ng quát c a ph ng trình không
thu n nh t đƣ cho.
Tr ng h p v ph i f(x) có d ng đ c bi t, chúng ta tìm đ
cách nhanh chóng nh trình bƠy d i đơy.
a) Tr
c nghi m riêng m t
ng h p f (x) P(x)ex , (P(x) lƠ đa th c b c n cho tr
Ta s xác đ nh d ng c a nghi m riêng y*(x), tùy theo các tr
nghi m c a ph ng trình đ c tr ng hay không
+ N u không là nghi m c a ph
c).
ng h p có là
ng trình đ c tr ng, y ex Q(x) .
+ N u là nghi m đ n c a ph
ng trình đ c tr ng, y xex Q(x) .
+ N u là nghi m kép c a ph
ng trình đ c tr ng, y x 2ex Q(x) .
Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a các ph
ng trình sau
(a) y'' 3y' 2y 2x
(b) y'' 3y' 2y xe x
(c) y'' 2y' y 2 x 1 ex
Gi i: (a) Ph ng trình đ c tr ng k2 - 3k + 2 = 0, k = 1, k = 2. Nghi m t ng quát
c a ph ng trình thu n nh t t ng ng là Y = Cex + De2x.
V ph i f(x) = 2xe0x, ( = 0). V y tìm nghi m riêng d ng y* = ax + b. Tính các
đ o hàm c a y* r i th vƠo ph ng trình đƣ cho, đ c
- 3a + 2(ax + b) 2x, t đó a = 1, b = 3/2.
Link />
25
