Hệ phương trình đi ô phăng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

VŨ TUẤN ANH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ô-PHĂNG
TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội − 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
- - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -

VŨ TUẤN ANH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ô-PHĂNG
TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số:
60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. TRẦN VŨ THIỆU

Hà Nội − 2014


Mục lục
Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Dạng chuẩn Hecmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Ma trận đơn môđula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính

5

14

2.1

Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2

Thuật toán Ơ-clít mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3

Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 23

2.4

Một số ứng dụng của phương trình Đi-ô-phăng . . . . . . . 29

3 Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính

32

3.1

Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính . . . . . . . . . . . 32

3.2

Điều kiện tồn tại nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3

Thuật toán Hecmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4

Nghiệm nguyên dương của hệ phương trình Đi-ô-phăng . . . 38

3.5

Quy hoạch tuyến tính Đi-ô-phăng . . . . . . . . . . . . . . 41

Kết luận

44

Tài liệu tham khảo

45

1


Mở đầu
Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính (Linear Diophantine Equations)
mang tên nhà toán học cổ Hy Lạp Đi-ô-phăng ở xứ Alexandria vào khoảng
Thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên. Đi-ô-phăng đã viết một chuyên luận có
tên “Arithmetica”, đó là cuốn sách sớm nhất được biết về lý thuyết số và
đại số.
Phương trình Đi-ô-phăng là phương trình đại số đòi hỏi tìm nghiệm
hữu tỉ hoặc nguyên. Phương trình đại số là phương trình chỉ bao gồm các
biểu thức đa thức của một hoặc nhiều biến. Tính “Đi-ô-phăng” của phương
trình là ở chỗ các hệ số của đa thức phải là các số hữu tỉ (hoặc số nguyên)
và nghiệm cũng chỉ có thể là số hữu tỉ (hoặc số nguyên).
Hai phương trình quen biết từ lý thuyết số sơ khai, có từ trước thời

Đi-ô-phăng là những ví dụ về phương trình Đi-ô-phăng. Cả hai loại phương
trình này đều đã được người Babylon biết đến. Đó là
1. Phương trình bậc nhất (tuyến tính), hai biến

ax + by = c.
2. Phương trình bậc hai (phi tuyến), ba biến

x2 + y 2 = z 2 .
Luận văn này có mục đích tìm hiểu và trình bày thuật toán Ơ-clít tìm
các nghiệm nguyên của phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính n biến có dạng

a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b,

2


trong đó a1 , a2 , ..., an , b là các số hữu tỉ và thuật toán Hecmit tìm tất cả
các nghiệm nguyên của hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính Ax = b
với ma trận A và véctơ b hữu tỉ.
Luận văn được chia thành ba chương.
Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại các khái niệm của đại số về
dạng chuẩn Hecmit và ma trận đơn môđula, liên quan tới việc giải hệ
phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Đáng chú ý là mọi ma trận với các
phần tử hữu tỉ và có hạng bằng số hàng của ma trận đều đưa được về dạng
chuẩn Hecmit nhờ các phép biến đổi cột trên ma trận, dạng chuẩn này là
duy nhất. Dạng chuẩn Hecmit lại có quan hệ với các ma trận đơn môđula
(ma trận nguyên, không suy biến và có định thức bằng +1 hay −1). Với
ma trận hữu tỉ A có hạng bằng số hàng luôn tồn tại ma trận đơn môđula

U sao cho AU là dạng chuẩn Hecmit của A. Nêu cách đưa một ma trận

về dạng chuẩn Hecmit, cách tìm ma trận đơn môđula tương ứng và đưa
ra các ví dụ số minh họa cách làm.
Chương 2 "Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính" đề cập tới phương
trình Đi-ô-phăng tuyến tính của hai hay nhiều biến số. Chương này trình
bày nhiều định nghĩa và định lý cần thiết cho việc tìm tất cả các nghiệm
nguyên của phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Đó là khái niệm ước
chung lớn nhất, thuật toán Ơ-clít, thuật toán Ơ-clít mở rộng. Đưa ra các
ví dụ số và các tính toán chi tiết giúp hiểu rõ hơn các định nghĩa và định
lý. Cuối chương đề cập đến một số ví dụ ứng dụng thực tế của phương
trình Đi-ô-phăng tuyến tính.
Chương 3 "Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính" đề cập tới hệ
phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính và các điều kiện cần và đủ để hệ có
nghiệm nguyên, dựa trên các kết quả lý thuyết về dạng chuẩn Hecmit và
ma trận đơn môđula đã nêu ở Chương 1. Sau đó, trình bày thuật toán
Hecmit tìm tất cả các nghiệm nguyên của hệ phương trình Đi-ô-phăng
tuyến tính. Cuối chương đề cập tới nghiệm nguyên dương của hệ phương
trình Đi-ô-phăng tuyến tính và bài toán qui hoạch tuyến tính Đi-ô-phăng.
Các thuật toán tìm nghiệm nguyên hay nguyên dương đều có kèm theo
3


các ví dụ số để minh họa.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn
chế nên có thể luận văn này còn có những thiếu sót nhất định. Vì vậy, tác
giả mong muốn được tiếp thu và chân thành cám ơn những ý kiến đóng
góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn
sâu sắc tới GS.TS. Trần Vũ Thiệu đã hướng dẫn tận tình tác giả hoàn
thành luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến
các thầy phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý

báu cho tác giả. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa
Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học và các thầy cô giáo trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức, tạo
điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt những năm tháng tác giả học
tập tại trường. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng
nghiệp đã quan tâm, động viên và chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn
của mình.
Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014
Tác giả luận văn

Vũ Tuấn Anh

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này nhắc lại khái niệm về dạng chuẩn Hecmit và ma trận đơn
môđula có liên quan tới việc giải hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính.
Mục 1.1 nói về dạng chuẩn Hecmit: mọi ma trận với các phần tử hữu tỉ và
có hạng bằng số hàng của ma trận đều đưa được về dạng chuẩn Hecmit,
dạng chuẩn này là duy nhất. Mục 1.2 nói tới ma trận đơn môđula: với ma
trận hữu tỉ A có hạng bằng số hàng luôn tồn tại ma trận đơn môđula U
sao cho AU là dạng chuẩn Hecmit của A. Nội dung của chương được tham
khảo từ các tài liệu [3] và [4].

1.1

Dạng chuẩn Hecmit

Định nghĩa 1.1. Một ma trận cấp m × n có hạng bằng số hàng của ma
trận được gọi là ở dạng chuẩn Hecmit (Hecmit normal form) nếu:

• Ma trận có dạng [BO], trong đó B là ma trận cấp m × m có nghịch
đảo;
• B có dạng tam giác dưới;
• Các phần tử đường chéo của B dương;
• Mọi phần tử khác của B không âm;
5


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
• Phần tử lớn nhất ở mỗi hàng của B là duy nhất và nằm trên đường
chéo chính của B , còn O là ma trận không cấp m × (n − m).
Sau đây là một ví dụ về ma trận ở dạng chuẩn Hecmit:

2 0 0 0 0
3 4 0 0 0 .
1 0 3 0 0
Định nghĩa 1.2. Các phép toán sau về ma trận được gọi là phép toán cột
sơ cấp (elementary column operations):
a) Đổi chỗ hai cột;
b) Nhân một cột với −1 (tức đổi dấu một cột);
c) Thêm một bội nguyên của một cột vào một cột khác.
Định lý 1.1. (Dạng chuẩn Hecmit, [4] Định lý 4.1, tr. 45). Mọi ma trận
với các phần tử hữu tỉ có hạng bằng số hàng của ma trận có thể đưa về
dạng chuẩn Hecmit bằng cách thực hiện các phép toán cột sơ cấp.
Chứng minh. Giả sử A là một ma trận hữu tỉ với hạng bằng số hàng.
Không giảm tổng quát, có thể xem A là ma trận với các phần tử nguyên.

Giả sử ta đã biến đổi A (bằng cách thực hiện các phép toán cột sơ cấp)
về dạng

B O
C D ,
trong đó B có dạng tam giác dưới và mọi phần tử ở trên đường chéo là số
dương. Bây giờ dùng các phép toán cột sơ cấp, ta có thể biến đổi D để cho
hàng đầu của D[d11 d12 ...d1k ] không âm và sao cho tổng d11 + d12 + ... + d1k
nhỏ nhất có thể. Ta giả thiết d11 ≥ d12 ≥ ... ≥ d1k . Khi đó d11 > 0 (do A
có hạng bằng số hàng). Hơn nữa, nếu d12 > 0 thì bằng cách lấy cột thứ
nhất của D trừ cột thứ hai của D, hàng thứ nhất sẽ có tổng nhỏ hơn, trái
với giả thiết vừa nêu. Do đó d12 = ... = d1k = 0 và ta nhận được ma trận
tam giác dưới lớn hơn.
6


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Bằng cách lặp lại thao tác này, cuối cùng ma trận A sẽ được biến đổi
thành [BO] với B = (bij ) là ma trận tam giác dưới với đường chéo dương.
Tiếp theo, ta biến đổi ma trận B như sau. Với mỗi hàng i = 2, ..., m
(m × m là cấp của B ), thực hiện động tác sau với mỗi cột j = 1, ..., i − 1:
thêm một bội nguyên của cột i vào cột j sao cho phần tử (i, j) không âm
và nhỏ hơn bii .
Như vậy, thao tác trên đây được áp dụng theo thứ tự: (i, j) = (2, 1), (3, 1),

(3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), ... Có thể thấy rằng sau một số phép biến đổi cột
sơ cấp này, ma trận A sẽ đưa được về dạng chuẩn Hecmit.
Ví dụ 1.1. Đưa ma trận sau về dạng chuẩn Hecmit

2 1 4

A = −5 2 6 .
Ta có B = ∅, D = A. Ta biến đổi D như sau: cột 3 trừ hai lần cột 1,
cột 1 trừ hai lần cột 2 và đổi chỗ hai cột 1 và 2 ta lần lượt nhận được các
ma trận

2 1 0
0 1 0
1 0 0
A → −5 2 16 → −9 2 16 → 2 −9 16 .
Tiếp đó, nhân cột 2 với −1, cột 3 trừ cột 2, cột 2 trừ cột 3 và cột 3 trừ
ba lần cột 2, ta nhận được các ma trận

1 0 0
1 0 0
1 0 0
1 0 0
→ 2 9 16 → 2 9 7 → 2 2 7 → 2 2 1 .
Tiếp theo, cột 2 trừ hai lần cột 3 và đổi chỗ hai cột 2, 3 ta được ma
trận

1 0 0
1 0 0
1 0
→ 2 0 1 → 2 1 0 ⇒ B = 2 1 , (C = D = ∅).
Cuối cùng, ta biến đổi B như sau: với i = 2, lấy cột j = i − 1 = 1 trừ
hai lần cột i = 2, ta được ma trận B không âm, dạng tam giác dưới, không
suy biến và mỗi hàng của B có duy nhất một phần tử lớn nhất nằm trên
7

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
đường chéo chính. Từ đó nhận được dạng chuẩn Hecmit duy nhất [BO]
của ma trận A ban đầu:

1 0
B= 0 1

và [BO] =

1 0 0
0 1 0 .

Trước khi nêu hệ quả của Định lý 1.1, ta hãy nhắc lại các khái niệm
nhóm (group) và dàn (lattice).
Định nghĩa 1.3. Tập hợp G ⊂ Rn gọi là một nhóm (cộng tính) nếu có
(i) θ ∈ G (nhóm chứa phần tử không);
(ii) Nếu x, y ∈ G thì x + y ∈ G và −x ∈ G (tổng các phần tử thuộc
nhóm và phần tử đối của một phần tử thuộc nhóm phải là một phần
tử thuộc nhóm).
Ta nói nhóm sinh bởi các véctơ a1 , a2 , ..., am ∈ Rn nếu

G = {λ1 a1 + ... + λm am |λ1 , ..., λm ∈ Z}.
Định nghĩa 1.4. Nhóm G được gọi là một dàn nếu G sinh bởi các véctơ
độc lập tuyến tính. Khi đó, tập hợp các véctơ này được gọi là một cơ sở
(basic) của dàn.
Nhận xét 1.1. Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng các phép
toán cột sơ cấp thì các cột của B và các cột của A sinh ra cùng một nhóm.
Sau đây là một hệ quả đáng chú ý của Định lý 1.1.
Hệ quả 1.1. Nếu a1 , a2 , ..., am là các véctơ hữu tỉ thì nhóm sinh bởi

a1 , a2 , ..., am là một dàn, nghĩa là nhóm đó sinh bởi các véctơ độc lập tuyến
tính.
Chứng minh. Ta có thể giả thiết rằng a1 , a2 , ..., am sinh ra toàn bộ không
gian Rn , vì nếu trái lại ta có thể áp dụng phép biến đổi tuyến tính đối
với không gian có số chiều thấp hơn. Giả sử A là ma trận với các cột

a1 , a2 , ..., am , do dó A có hạng bằng số hàng của A. Giả sử [BO] là dạng
8


Chương 3. Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính
hay x1 = 10 − 3y3 , x2 = 28 − 9y3 , x3 = 25 − 8y3 với y3 là tham số nguyên
tùy ý.
Để đảm bảo cho x1 , x2 , x3 ≥ 0 cần phải có

10 − 3y3 ≥ 0,
28 − 9y3 ≥ 0,
25 − 8y3 ≥ 0,
nghĩa là y3 ≤ 3. Do đó cT x = −(10 − 3y3 ) − 2(28 − 9y3 ) + 3(25 − 8y3 ) =

9 − 3y3 nên bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên Đi-ô-phăng (3.5) cho ví
dụ này có dạng:
min{9 − 3y3 |y3 ≤ 3, y3 ∈ Z}.
Nghiệm tối ưu của bài toán này là y3∗ = 3. Do đó, nghiệm tối ưu của
bài toán cần giải là x∗1 = x∗2 = x∗3 = 1.

43