Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp monte carlo

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ NGỌC HÀ

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ
BẰNG PHƢƠNG PHÁP MONTE-CARLO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội, 2014


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

VŨ NGỌC HÀ

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ
BẰNG PHƢƠNG PHÁP MONTE-CARLO

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Hoàng Oanh

Hà Nội, 2014

LỜI CẢM ƠN
Trƣớc hết, em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo
TS. Nguyễn Hoàng Oanh. Cảm ơn thầy đã truyền đạt cho em những kiến thức
chuyên ngành hết sức cần thiết, đã chỉ bảo em nhiệt tình trong quá trình học tập
môn học và quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Vật lý,
các thầy cô trong khoa Vật lý, các thầy cô trong tổ Vật lý trƣờng Đại học Khoa
học tự nhiên đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt thời gian làm luận
văn cũng nhƣ trong suốt quá trình học tập, rèn luyện tại trƣờng.
Em xin đƣợc gửi lời cảm ơn đến các anh chị nghiên cứu sinh, các bạn học
viên cao học khóa 2011-2013 đang học tập và nghiên cứu tại bộ môn Vật lý lý
thuyết và Vật lý toán- Khoa Vật lý - Trƣờng ĐH KHTN - ĐHQGHN đã nhiệt tình
giúp đỡ và hƣớng dẫn em trong quá trình học tập.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm
động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn này.
Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, ngày 8 tháng 01 năm 2015
Học viên

Vũ Ngọc Hà


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC BẢNG – HÌNH
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 6
CHƢƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG KÊ ...... 7
1.1. Vật lý thống kê ......................................................................................... 7

1.2. Các mô hình Vật lý thống kê .................................................................... 9
CHƢƠNG 2. GIỚI THIỆU VỀ PHƢƠNG PHÁPError! Bookmark not defined.
MONTE CARLO .......................................... Error! Bookmark not defined.
2.1.Giới thiệu................................................. Error! Bookmark not defined.
2.2. Tích phân Monte Carlo .......................... Error! Bookmark not defined.
2.3. Ƣớc lƣợng sai số .................................... Error! Bookmark not defined.
2.4. Số ngẫu nhiên ......................................... Error! Bookmark not defined.
2.4.1. Tạo số giả ngẫu nhiên ......................... Error! Bookmark not defined.
2.4.2. Phân bố xác suất .................................. Error! Bookmark not defined.
2.5. Lấy mẫu điển hình .................................. Error! Bookmark not defined.
2.6. Chuỗi Markov ........................................ Error! Bookmark not defined.
CHƢƠNG 3. NGHIÊN CỨU MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LÝ THỐNG
KÊ BẰNG PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLOError! Bookmark not defined.
3.1. Mô hình Ising.......................................... Error! Bookmark not defined.
3.1.1. Xây dựng thuật toán và chƣơng trình . Error! Bookmark not defined.
3.1.2. Chạy chƣơng trình ............................... Error! Bookmark not defined.
3.2. Mô hình XY 2D ...................................... Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN ................................................... Error! Bookmark not defined.
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 11
PHỤ LỤC ...................................................... Error! Bookmark not defined.


DANH MỤC BẢNG – HÌNH
Danh mục bảng
Bảng 3.1. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độ βError! Bookmark not defined.
Danh mục hình
Hình 2.1. Minh họa thuật toán loại trừ ....................Error! Bookmark not defined.
Hình 3.1. Quá trình tiến tới cân bằng ......................Error! Bookmark not defined.

Hình 3.2. Độ từ hóa với 12000 lần nâng cấp cấu hình với các giá trị BetaError! Bookmark not

Hình 3.3.a. Tìm kiếm điểm chuyển pha ..................Error! Bookmark not defined.
Hình 3.3.b. Tìm kiếm điểm chuyển pha (chi tiết hơn)Error! Bookmark not defined.

Hình 3.4. Mô phỏng tại điểm chuyển pha theo lý thuyết Onsager[7]Error! Bookmark not defin

Hình 3.5.a. Sự tự tƣơng quan của số liệu tại Beta = 1,5 (Bin Size ≡ n)Error! Bookmark not de

Hình 3.5.b. Sự tự tƣơng quan của số liệu tại Beta = 0,9 (Bin Size ≡ n)Error! Bookmark not de
Hình 3.5. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độError! Bookmark not defined.

Hình 3.6. Kết quả thực nghiệm về sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising[8]Error! Bookmar

Hình 3.7. Kết quả mô phỏng sự cố hữu (persistence) của mô hình IsingError! Bookmark not d

Hình 3.8. Sự phụ thuộc của mật độ độ từ hóa theo các bƣớc nâng cấp cấu hìnhError! Bookmar

Hình 3.9. Sự phụ thuộc của mật độ năng lƣợng theo các bƣớc nâng cấp cấu hìnhError! Bookm
Hình 3.10. Sự phụ thuộc của độ từ hóa theo nhiệt độError! Bookmark not defined.
Hình 3.11. Sự phụ thuộc của mật độ năng lƣợng theo nhiệt độError! Bookmark not defined.


MỞ ĐẦU
Ngày nay việc sử dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê là
vô cùng phổ biến, đặc biệt là sử dụng phƣơng pháp Monte Carlo, phƣơng pháp giải toán
trên máy tính bằng cách sử dụng các giả số ngẫu nhiên. Phƣơng pháp này có vị trí hết sức
quan trọng trong vật lý tính toán, nhƣ việc tính toán trong sắc động lực học lƣợng tử, mô
phỏng spin có tƣơng tác mạnh,…Chính vì vậy, luận văn này chúng tôi nghiên cứu : Một
số mô hình vật lý thống kê bằng phƣơng pháp Monte Carlo nhằm tìm hiểu việc sử
dụng máy tính để nghiên cứu một số mô hình Vật lý thống kê, cụ thể là các bƣớc của quá
trình sử dụng phƣơng pháp Monte Carlo, phƣơng pháp số quan trọng nhất và đƣợc sử

dụng rộng rãi nhất để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê.
Mục đich của luận văn :


Xây dựng các chƣơng trình mô phỏng mô hình Ising 2D trong Vật lý thống kê sử
dụng thuật toán Heat bath và Metropolis bằng ngôn ngữ Scilab.



Sử dụng các chƣơng trình để mô phỏng hệ spin Ising 2D và tính toán điểm
chuyển pha trật tự - hỗn loạn khi nhiệt độ của hệ spin tăng dần. So sánh với kết
quả tính toán giải tích của Lars Onsager trong tài liệu trích dẫn.



Mô phỏng hiện tƣợng sự cố hữu (persistence) của mô hình Ising 2D, so sánh với
kết quả thực nghiệm của B. Yurke et. al trong tài liệu trích dẫn.



Dựa trên các kết quả thu đƣợc, xây dựng chƣơng trình mô phỏng cho mô hình
XY.

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm
3 chƣơng:
Chương 1:Giới thiệu về các mô hình vật lý thống kê
Chương 2:Giới thiệu về phương pháp Monte Carlo
Chương 3:Nghiên cứu một số mô hình vật lý thống kê bằng phương pháp Monte
Carlo

CHƢƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ CÁC MÔ HÌNH VẬT LÝ
THỐNG KÊ
1.1. Vật lý thống kê
Các bài toán Vật lý thống kê [1, 2] chủ yếu tính toán tính chất Vật lý của các hệ môi
trƣờng đậm đặc. Điểm khó khăn nhất khi thực hiện các tính toán với các hệ Vật lý này là
chúng bao gồm rất nhiều phần hợp thành nhƣ phân tử và nguyên tử. Những hợp phần này
thƣờng là giống nhau hoặc khác nhau rất ít và chúng thƣờng tuân theo các quy luật
chuyển động đơn giản sao cho biểu hiện của cả hệ đƣợc biểu diễn theo một quy luật toán
học rõ ràng. Tuy nhiên số lƣợng các phƣơng trình cần phải giải, bằng cỡ của các hợp
phần của hệ, là rất lớn nên không thể giải đƣợc chúng một cách chính xác. Ví dụ xét một
khối khí đƣợc chứa trong bình. Một lít khí Oxy tại nhiệt độ và áp suất chuẩn bao gồm
3x1022 phân tử Oxy. Các phân tử này liên tục di chuyển, va chạm với nhau và với thành
bình chứa. Đây là một ví dụ về hệ nhiều vật hợp phần. Ta thậm chí có thể xét một ví dụ
hệ có kích thƣớc lớn hơn nữa với bầu khí quyển của trái đât. Một lít không khí tại cùng
điều kiện chứa cùng một số lƣợng phân tử nhƣng chúng là một hỗn hợp của Oxy, Nitơ,
CO2 và một số thứ khác. Bầu khí quyển của Trái đất bao gồm 4x1021 lít không khí hay
khoảng 1x1044 phân tử. Tất cả những phân tử này liên tục chuyển động, va chạm với
nhau, với mặt đất, cây cối, nhà cửa, con ngƣời, v.v. Rõ ràng là không khả thi khi giải hệ
các phƣơng trình Hamilton cho mỗi phân tử này bởi vì có quá nhiều phƣơng trình cần
phải giải. Tuy nhiên nếu chúng ta nghiên cứu các tính chất vĩ mô của khối khí, chúng vẫn
có những biểu hiện có thể tiên đoán đƣợc. Nhƣ vậy các nghiệm của các phƣơng trình
riêng rẻ có một tính chất đặc biệt là trung bình của chúng có thể cho các tiên đoán về sự
vận động của cả hệ. Ví dụ áp suất và nhiệt độ của một khối khí tuân theo những quy luật
đơn giản mặc dù chúng đều là các đại lƣợng đo đặc trung bình trên cả khối khí. Vật lý
thống kê không hƣớng tới việc giải từng phƣơng trình chuyển động riêng lẻ mà tập trung


vào tính toán những tính chất của cả hệ thống kê bằng cách sử dụng các mô hình xác
suất. Thay vì tìm nghiệm chính xác, chúng ta tìm các xác suất để cả hệ thống kê nằm ở

một trong các trạng thái khả dĩ và vì thế có các đại lƣợng Vật lý vĩ mô nhận các giá trị
tƣơng ứng với trạng thái đó.
Hình thức luận điển hình thƣờng đƣợc sử dụng để nghiên cứu Vật lý thống kê là
hình thức luận Hamilton với hệ thống kê đƣợc chi phối bởi một Hamiltonian H cho ta
tổng năng lƣợng của hệ thống kê. Khi hệ thống kê là hữu hạn, chúng ta sẽ làm việc với
các tập hợp trạng thái rời rạc với mỗi trạng thái có giá trị năng lƣợng có giá trị E0, E1,
E2,... với E0 là trạng thái cơ bản. Tuy nhiên Vật lý thống kê nói chung và phƣơng pháp
Monte Carlo nói riêng có khả năng giải các bài toán có phổ năng lƣợng là liên tục. Nếu
chỉ xét đến đây, bài toán là khá đơn giản khi năng lƣợng là bảo toàn. Hệ thống kê sẽ có
giá trị năng lƣợng không đổi theo thời gian và vì thế nó sẽ ở trong một trạng thái hoặc
chuyển đổi giữa các trạng thái của một tập hợp các trạng thái suy biến có cùng một giá trị
năng lƣợng mãi mãi. Tuy nhiên, thông thƣờng trong các bài toán thực tế sẽ phải xét đến
sự tƣơng tác với môi trƣờng bên ngoài. Sự ảnh hƣởng của môi trƣờng bên ngoài sẽ đóng
vài trò nhƣ một nguồn thu nhiệt làm thay đổi giá trị năng lƣợng của hệ thống kê liên tục
cho đến khi nhiệt độ của hệ thống kê đƣợc xét dần tiến tới giá trị của nhiệt độ của môi
trƣờng. Khi ảnh hƣởng của môi trƣờng là nhỏ so với giá trị năng lƣợng của hệ, chúng
ta có thể coi nó nhƣ là một ảnh hƣởng nhiễu loạn và có thể bỏ qua khi tính toán các
giá trị năng lƣợng của hệ thống kê. Tuy nhiên, ảnh hƣởng này sẽ có tác động để hệ
luôn luôn có xu hƣớng thay đổi trạng thái và vì thế có giá trị năng lƣợng khác. Chúng
ta có thể tính toán ảnh hƣởng của môi trƣờng bằng cách đƣa vào hệ thống kê một
động lực – một quy luật để hệ thống kê thay đổi trạng thái theo thời gian. Bản chất của
động lực sẽ đƣợc thể hiện qua dạng nhiễu loạn mà môi trƣờng gây ra trong Hamiltonian
tổng cộng.
Giả sử hệ thống kê hiện đang ở trong trạng thái u. Chúng ta định nghĩa R(u  v)dt
là xác suất để hệ thống kê ở trạng thái v sau khoảng thời gian dt. R(u  v)dt là xác suất


chuyển trạng thái từ u sang v. Xác suất chuyển trạng thái thƣờng đƣợc coi là không phụ
thuộc vào thời gian. Chúng ta xác định các giá trị xác suất chuyển trạng thái này với tất
cả trạng thái v khả dĩ mà hệ thống kê có thể chuyển đến. Sau một thời gian dt, hệ thống

kê có thể ở một trong các trạng thái khả dĩ với các xác suất khác nhau. Chúng ta cũng
định nghĩa một tập hợp các trọng số wu(t) biểu diễn xác suất để hệ thống kê ở trong trạng
thái u tại thời điểm t. Vật lý thống kê sẽ tính toán các giá trị trọng số này và chúng sẽ thể
hiện toàn bộ những gì chúng ta biết về các trạng thái của hệ thống kê. Chúng ta có thể
viết phương trình cơ bản của việc tiến hóa của wu(t) theo các xác suất chuyển trạng thái
R(u  v)dt:
dwu
  wv t Rv  u   wu t Ru  v  .
dt
v

(1.1)

Số hạng đầu tiên trong vế phải của phƣơng trình biểu diễn xác suất để hệ thống kê
chuyển đến trạng thái u và số hạng thứ hai biểu diễn xác suất để hệ chuyển từ trạng thái u
đến các trạng thái khác. Các xác suất wu(t) sẽ phải tuân theo quy luật:

 w t   1
u

(1.2)

u

tại mọi thời điểm t do bất kỳ lúc nào hệ cũng phải ở trong một trạng thái nào đó. Nghiệm
của phƣơng trình (1.1) với điều kiện (1.2) cho chúng ta sự biến đổi của wu theo thời gian.
Nếu chúng ta nghiên cứu đại lƣợng Q nào đó có giá trị Qu trong trạng thái u,
chúng ta định nghĩa giá trị kỳ vọng của Q tại thời điểm t với hệ thống kê đang xét là
Q   Qu wu t 

(1.3)

u

Đây chính là một ƣớc lƣợng (gần đúng) giá trị vĩ mô của Q chúng ta mong đợi sẽ
đo đạc đƣợc trong thực nghiệm với hệ thống kê đang xét.
1.2. Các mô hình Vật lý thống kê
Để nghiên cứu các bài toán Vật lý thống kê ta phải mô hình hóa[3–6] chúng bằng
cách đơn giản hóa hệ Vật lý nhƣng vẫn giữ đƣợc những đặc tính Vật lý đặc thù.


Ví dụ khi nghiên cứu các hệ từ tính, nếu một chất sắt từ có tính bất đẳng hƣớng
đơn trục mạnh chúng ta có thể mô tả nó bằng mô hình Ising với N spin Si tƣơng tác với
nhau
N

H I sin g   J  S i S j  H  S i ,
i , j 

i 1

S i  1

(1.4)

với spin Si tại nút mạng i có thể hƣớng lên trên hoặc xuống dƣới theo trục dễ định hướng
của chất sắt từ đang xét. Năng lƣợng trao đổi J trong (1.4) đƣợc giới hạn trong các lân
cận gần nhất và H là từ trƣờng (số hạng thứ 2 trong 1.4 biểu diễn năng lƣợng Zeeman của
hệ).
Các trƣờng hợp khác khi chất sắt từ có tính bất đẳng hƣớng theo mặt phằng, spin

bị giới hạn nằm trong mặt phẳng xy chúng ta mô hình hóa nó theo XY model:





N

H XY   J  S ix S jx  S iy S jy  H x  S ix ,
i , j 

S   S 
x 2
i

i 1

y 2
i

 1.

(1.5)

Và khi spin là đẳng hƣớng ta sử dụng mô hình Heisenberg:
N

H Heisenberg   J  S  S   H z  S iz ,
i , j 

i 1

S   S   S 
x 2
i

y 2
i

z 2
i

 1.

(1.6)

Tất nhiên là với sự đa dạng của các vật liệu thực đƣợc tạo ra trong phòng thí
nghiệm, chúng ta phải chọn lựa các biến thể của các mô hình trên cho phù hợp. Thay vì
chọn lựa số trạng thái khả dĩ của spin là 2 nhƣ trong (1.4) hay là vô cùng nhƣ trong (1.5)
và (1.6) ta có thể chọn lựa một giá trị xác định khác. Thay vì chỉ chọn lựa tƣơng tác gần
nhất, chúng ta mở rộng tƣơng tác trao đổi cho đến lân cận gần thứ hai hoặc gần thứ ba,...
Thay vì chọn lựa hoàn toàn đối xứng nhƣ trong (1.6) ta có thể bổ sung thêm các số hạng
đơn trục hoặc đơn diện. Thay vì năng lƣợng trao đổi J nhận giá trị hằng số trên các nút
mạng nó có thể nhận các giá trị ngẫu nhiên Jij. Từ trƣờng Hi cũng có thể nhận các giá trị
năng lƣợng ngẫu nhiên. Nhƣ vật 3 mô hình (1.4) đến (1.6) chỉ là 3 mô hình điển hình mà
dựa trên chúng ta có thể có đƣợc vô số biến thể phù hợp với bài toán Vật lý ta quan tâm.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt

1.

Nguyễn Quang Báu, Bùi Đằng Đoàn, Nguyễn Văn Hùng, (2004), Vật lý thống kê,
Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

2.

Nguyễn Xuân Hãn, (1998), Cơ học lượng tử, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà
Nội.

3.

Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa, (2005), Phương pháp toán cho vật lý, Nhà xuất
bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.

Tiếng anh
4.

B. Yurke et. al, Experimental measurement of the persistence exponent of the
planar Ising model, Physical Eeview E 56(1) R40 –R42, 1997

5.

Barry M. McCoy and Tai Tsun Wu, The Two-Dimensional Ising Model, Harvard
University Press 1973

6.

Kerson_Huang, Statistical_Mechanics (2nd Edition ), John Wiley & Sons 1987

7.

Kurt Binder, Dieter W. Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics:
An Introduction (Fifth Edition), Springer 2010

8.

Lars Onsager, Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an OrderDisorder Transition, Phys. Rev. 65, 117 (1944)

9.

Newman, Barkema, Monte Carlo methods in Statistical Physics, Oxford
University Press 1999

10. Peter Olsson, Monte Carlo analysis of the two-dimensional XY model. II
Comparison with the Kosterlitz renormalization-group equations, Phys. Rev. B
52, 4526 - 4535 (1995)
11. R. J. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics, Academic Press
1982