Sự tồn tại nghiệm của mô hình chất bán dẫn với điều kiện biên hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ LIỄU

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ
HÌNH CHẤT BÁN DẪN VỚI
ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY CHUẨN

HÀ NỘI, 2015


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian H¨older . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính
1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L2 . . . . . . .
1.2.4 Toán tử quạt trong không gian tích . . . . . .
1.3 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

6
6
6
7
9
9
12
16
20
20

2 Mô hình chất bán dẫn
2.1 Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . .
2.1.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương .
2.1.2 Tính không âm của nghiệm địa

2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm . . . . .
2.2.2 Nghiệm toàn cục . . . . . . . .
2.3 Tập hút mũ . . . . . . . . . . . . . . .
Kết Luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

30
31
31
34
40
40
42
43
50
51

. . . . .
. . . . .

phương
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.


Mở đầu
Trong luận văn này, chúng ta sẽ nghiên cứu mô hình chất bán dẫn được nhà
Vật lý Shockley đưa ra vào năm 1950 để mô tả các dòng electron và lỗ trống
trong chất bán dẫn (xem [10]). Ý nghĩa Vật lý và chi tiết của mô hình này có
thể xem thêm trong tài liệu [6].
Cụ thể, mô hình của Shockley có dạng sau:

∂u

= a∆u − µ∇.[u∇χ] + f (1 − uv) + g(x) trong Ω × (0, ∞),



 ∂t
∂v
(1)
= b∆v + ν∇.[v∇χ] + f (1 − uv) + g(x) trong Ω × (0, ∞),

∂t


0 = c∆χ − u + v + h(x),
trong Ω × (0, ∞).
Trong đó, các hàm chưa biết u(x, t), v(x, t) là mật độ electron và mật độ lỗ trống
trong thiết bị chất bán dẫn Ω, tại thời điểm t ≥ 0. Số hạng a∆u, b∆v ký hiệu sự
tự khuếch tán của các electron và lỗ trống, trong đó a và b là hệ số khuếch tán
dương. Hàm χ đặc trưng cho điện thế tĩnh điện và được xác định bởi phương
trình Poisson, trong đó c > 0 là hằng số điện môi. Số hạng −µ∇.{u∇χ} và
ν∇.{v∇χ} ký hiệu sự khuếch tán của electron và lỗ trống phụ thuộc vào điện
thế χ, trong đó µ và ν là hệ số khuếch tán của electron và lỗ trống. Với các điều
kiện thích hợp thì các electron và lỗ trống được hình thành với tốc độ f ≥ 0 và
được kết hợp với tốc độ f uv . Các hàm g ≥ 0 và h là các hàm ngoại lực đã biết.
Luận văn bao gồm: phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài liệu
tham khảo.
Chương 1 gồm những khái niệm và kết quả trong Giải tích hàm liên quan
đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt. Cuối cùng, chúng ta
trình bày chi tiết định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán tiến hóa nửa
tuyến tính để phục vụ cho nghiên cứu ở chương tiếp theo.
Chương 2 là nội dung chính của luận văn, ở chương này chúng ta sẽ nghiên
cứu bài toán (1) với điều kiện biên hỗn hợp. Cụ thể, trong Mục 2.1 chúng ta
sẽ chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính không âm của nghiệm địa phương.
Sự tồn tại của nghiệm toàn cục sẽ được trình bày trong Mục 2.2 dựa trên một

đánh giá tiên nghiệm. Cuối cùng, chúng ta sẽ nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm của phương trình này. Cụ thể, ở Mục 2.3 chúng ta sẽ xây dựng tập hút
mũ cho hệ động lực được xác định bởi phương trình (2.1). Tập hút mũ là khái
niệm được đưa ra bởi các nhà Toán học Eden, Foias, Nicolaenko, Temam - đó
3


Mở Đầu

là một tập bất biến dương chứa tập hút toàn cục, có số chiều fractal hữu hạn
và hút mọi quỹ đạo với tốc độ mũ. Những nghiên cứu chi tiết về tập hút mũ có
thể xem trong [2].
Các nội dung chính của luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
[11], [5].
Trong luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những hạn chế và sai sót, tác
giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy Cô và bạn đọc. Qua
đây tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Lê Huy Chuẩn,
người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ để tác giả có thể hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, 02 tháng 01 năm 2015
Tác giả
Phạm Thị Liễu

4


Bảng ký hiệu
{
}
Rn = x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, n

{
}
Rn+ = x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, n − 1, xn > 0
C([a, b]) := {f : [a, b] → R liên tục trong [a, b]}

{

C m ([a, b]) = f : [a, b] → R : Dα f ∈ C 0 (Ω), ∀α : |α| ≤ m

}

C0m ([a, b]) := {f ∈ C m ([a, b]) : giá của f compact trong [a, b]}
C m,1 (Ω) := không gian các hàm khả vi liên tục m lần và đạo hàm cấp m

liên tục Lipschitz trên Ω
{

}

L(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục

{

Lp (Ω) =

f :Ω→C:

{
L∞ (Ω) =

}

∫

|f (x)|p dx < +∞ , p ≥ 1

}

Ω

f đo được trên Ω : ess sup|f | < +∞
Ω

với ess sup|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ là độ đo Lebesgue trên Ω
Ω
{
}
′
′
p
Lloc (Ω) = f đo được trên Ω : f ∈ Lp (Ω ), ∀Ωcompact ⊂ Ω .

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liên
quan đến không gian H¨older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được
sử dụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng.

Chứng minh chi tiết các kết quả này có thể xem trong [11, 9]. Và chúng ta sẽ
trình bày một số kết quả liên quan đến phương trình tiến hóa tuyến tính và nửa
tuyến tính được sử dụng trong chương sau của luận văn. Chúng ta sẽ đưa ra
định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trính tiến hóa nửa tuyến tính và trình
bày chi tiết chứng minh của định lý. Những vấn đề khác liên quan đến phương
trình nửa tuyến tính này có thể xem trong [11, Chương 4].

1.1

Những không gian hàm cơ bản

1.1.1

Không gian H¨
older

Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở và 0 < γ ≤ 1.
Định nghĩa 1.1. a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨older bậc γ nếu
tồn tại hằng số C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ ,

x, y ∈ Ω.

Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.
b) Cho u : Ω → R bị chặn và liên tục. Ta định nghĩa
∥u∥C(Ω) := sup |u(x)|.
x∈Ω

c) Nửa chuẩn H¨older bậc γ của u : Ω → R là
[u]C 0,γ (Ω) := sup

x̸=y
x,y∈Ω

6

|u(x) − u(y)|
|x − y|γ


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

và chuẩn H¨older bậc γ là
∥u∥C 0,γ (Ω) := ∥u∥C(Ω) + [u]C 0,γ (Ω) .

Định nghĩa 1.2. Không gian H¨older C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u ∈ C k (Ω),
mà chuẩn
∑
∑
∥u∥C k,γ (Ω) :=

∥Dα u∥C(Ω) +

|α|≤k

[Dα u]C 0,γ (Ω)

|α|=k

là hữu hạn.
Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất cả các hàm số u sao cho các đạo hàm riêng

cấp k của nó bị chặn và liên tục H¨older bậc γ .
Nhận xét: Không gian H¨older C k,γ (Ω) là không gian Banach với chuẩn ∥.∥C k,γ (Ω) .
Không gian hàm liên tục H¨
older có trọng F β,σ ((a, b]; X).
Cho (X, ∥.∥) là không gian Banach, với hai số mũ 0 < σ < β < 1. Không gian
β,σ
F ((a, b]; X) gồm các hàm liên tục F (t) : (a, b] → X thỏa mãn ba tính chất sau:
(1) (t − a)1−β F (t) có giới hạn khi t → a.
(2) F là hàm liên tục H¨older với số mũ σ và trọng (s − a)1−β+σ , nghĩa là
(s − a)1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥
(t − s)σ
a≤ssup

(s − a)1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥
< ∞.
(t − s)σ
a≤t≤b a≤s
= sup sup

(3) Khi t → a thì
(s − a)1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥
→0
(t − s)σ
a≤s
ωF (t) = sup

Không gian F β,σ ((a, b]; X) cùng với chuẩn

∥F ∥F β,σ = sup (t − a)1−β ∥F (t)∥ +
a≤t≤b

(s − a)1−β+σ ∥F (t) − F (s)∥
(t − s)σ
a≤ssup

là một không gian Banach.

1.1.2

Không gian Sobolev

Không gian Sobolev là một lớp không gian được dùng rất nhiều trong quá
trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Để định nghĩa lớp không gian
này, trước tiên chúng ta tìm hiểu khái niệm "đạo hàm yếu" của một phần tử
thuộc không gian L1loc (Ω).
7


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.3. Với một hàm u ∈ L1loc (Ω), ta nói rằng v ∈ L1loc (Ω) là đạo hàm
yếu của u ứng với biến xj , ký hiệu v = Dj u, nếu
∫
∫
vϕ dx = −

u

Ω

Ω

∂ϕ
dx,
∂xj

với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω). Bằng cách quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo
hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L1loc (Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp
α của u, viết là v = Dα u, nếu
∫
∫
Dα uϕ dx = (−1)|α|

Ω

uDα ϕ dx,
Ω

với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Định nghĩa 1.4. Không gian Sobolev được định nghĩa như sau
{
}
W k,p (Ω) = u : Dα u ∈ Lp (Ω), với mọi 0 ≤ |α| ≤ k ,
với chuẩn


∥u∥W k,p = 

1/p

∑

∥Dα u∥pLp 

.

0≤|α|≤k

Không gian Sobolev W k,p (Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banach
khả ly. Trường hợp p = 2, khi đó, H k (Ω) = W k,2 (Ω) là không gian Hilbert với
tích vô hướng được trang bị như sau
∑
⟨u, v⟩H k =

(Dα u, Dα v)L2 .

0≤|α|≤k

Khi đó, chuẩn của H k (Ω) tương ứng với tích vô hướng được xác định bởi công
thức

1/2
∑
∥u∥H k = 
∥Dα u∥2L2  .
0≤|α|≤k
o

Định nghĩa 1.5. Không gian H k (Ω) là bao đóng của không gian C0∞ (Ω) trong
H k (Ω), ở đây C0∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact
trong Ω.
o

Chuẩn của không gian H 1 (Ω) là ∥u∥

o

H1

=

[∫ (
Ω

)

|u|2 + |∇u|2 dx

]1/2

Định lý 1.1 (Định lý nhúng Sobolev). Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc
lớp C k trong Rm và giả sử u ∈ H k (Ω).
8


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(i) Nếu k < m/2 thì u ∈ L2m/(m−2k) (Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho
∥u∥L2m/(m−2k) (Ω) ≤ C∥u∥H k (Ω) .

(ii) Nếu k = m/2 thì u ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞ và với mỗi p tồn tại một hằng số
C = C(p) sao cho
∥u∥Lp (Ω) ≤ C∥u∥H k (Ω) .

(iii) Nếu k > j + (m/2) thì u ∈ C j (Ω) và tồn tại một hằng số C sao cho
∥u∥C j (Ω) ≤ C∥u∥H k (Ω) .

Định lý 1.2 (Định lý compact Rellich-Kondrachov). Cho Ω là một miền bị chặn
có biên thuộc lớp C 1 . Khi đó H 1 (Ω) nhúng compact trong không gian L2 (Ω).

1.2

Toán tử quạt

1.2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y . D(A)
được gọi là miền xác định của toán tử A.
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X .
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử

đóng, tức là
GA = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.

Định nghĩa 1.7. Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong

không gian Banach X . Kí hiệu
{
}
• Tập giải ρ(A) = λ ∈ C : (λ − A)−1 ∈ L(X) .
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ) = (λ − A)−1 được gọi là giải thức.
• Tập phổ của A là σ(A) = C\ρ(A).

Định nghĩa 1.8. Cho X là không gian Banach, A : X → X là toán tử tuyến
tính, đóng, xác định trù mật trên X . Giả sử rằng phổ của A nằm trong miền
hình quạt mở
Σω := {λ ∈ C : | arg λ| < ω}, 0 < ω ≤ π,
(1.1)
và giải thức thỏa mãn đánh giá
∥(λ − A)−1 ∥ ≤

M
,
|λ|

λ ̸∈ Σω ,

(1.2)

trong đó hằng số M ≥ 1. Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trong X .
9


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

Điều kiện (1.1) suy ra gốc O không thuộc σ(A), nghĩa là, A có nghịch đảo bị

chặn A−1 trên X . Nếu |λ| < ∥A−1 ∥ thì λ ∈ ρ(A) và ta có
∥(λ − A)−1 ∥ ≤

∥A−1 ∥
,
1 − ∥A−1 ∥|λ|

Với mỗi λ0 = r0 e±iω , r0 > 0 thì
{

r0
λ ∈ C : |λ − λ0 | <
M

|λ| < ∥A−1 ∥.

}

(1.3)

⊂ ρ(A)

với ước lượng
∥(λ − A)−1 ∥ ≤

M
,
r0 − M |λ − λ0 |

|λ − λ0 | <

r0
.
M

r0
1
} = sin−1 M
nên với mỗi góc ω ′ thỏa mãn ω − sin−1 M1 <
Do inf{arg λ : |λ − λ0 | < M
ω ′ < ω , ta có bao hàm thức sau là đúng

σ(A) ⊂ Σω′ := {λ ∈ C : | arg λ| < ω ′ }

(1.4)

và giải thức thỏa mãn
∥(λ − A)−1 ∥ ≤

Mω ′
,
|λ|

λ ̸∈ Σω′

với hằng số Mω′ ≥ M . Ví dụ có thể chọn Mω′ =
σ(A) ⊂ Σω thì tồn tại ω ′ < ω sao cho σ(A) ∈ Σω′ .

(1.5)

M cos(ω − ω ′ )
. Vậy nếu
1 − M sin(ω − ω ′ )

Định nghĩa 1.9. Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X . Kí hiệu
ωA = inf {σ(A) ⊂ Σω }
ω

được gọi là góc của toán tử quạt A. Khi đó, với mọi góc ω thỏa mãn ωA < ω ≤ π
thì tồn tại Mω > 1 sao cho
(λ − A)−1 ≤

Mω
,
|λ|

∀λ ∈
/ Σω .

Hàm mũ của toán tử quạt
π
Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc 0 ≤ ωA < và
2

thỏa mãn các điều kiện
σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C : | arg λ| < ω},

và
∥(λ − A)−1 ∥ ≤

Mω
,
|λ|

ωA < ω <

λ∈
/ Σ ω , ωA < ω <
10

π
.
2

π
,
2

(1.6)

(1.7)


Tài liệu tham khảo
[1] A. Bensoussan, J. Frehse, Regularity results for nonlinear elliptic systems
and applications, Springer, Berlin, 2002.
[2] A. Eden, C. Foias, B. Nicolaenko, R. Temam, Exponential attractors for
dissipative evolution equations, Research in Applied Mathematics Vol. 37,
John Weiley and Sons, New York, 1994.
[3] M. Efendiev, A. Miranville and S. Zelik: Exponential attractors for a nonlinear reaction-diffusion systems in R3 , C. R. Acad. Sci. Paris 330 Série I

(2000), 713-718.
[4] J. Frehse, J. Naumann, On the existence of weak solutions to a system of
stationary semiconductor equations with avalanche generation, Math. Models Methods Appl. Sci. 4, 1994, p. 273-289.
[5] A. Favini, A. Lorenzi, A. Yagi, Exponential attractors for semiconductor
equations, in Differential Equations, Inveres and Direct Problems, ed. by A
Favini, A. Lorenzi, Chapman and Hall, London, 2006, p. 111-130.
[6] H. Gajewski, K. Gr¨oger, Initial boundary value problems modelling heterogeneous semiconductor devices, Surveys on Analysis, Geometry and Mathematical Physics, ed. B. W. Schulze and H. Triebel, Teubner Verlag, Leipzig,
1990, p. 4-53.
[7] M. S. Mock, Asymptotic behavior of solutions of transport equations for
semiconductor devices, J. Math. Anal. Appl. 49, 1975, p. 215-225.
[8] M. S. Mock, On equations describing steady-state carrier distributions in a
semiconductor device, Comm. Pure Appl. Math. 25, 1972, p. 781-792.
[9] J. C. Robinson, Infinite-dimensional dynamical systems, An introduction to
dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors, Cambridge
Texts Appl. Math., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001.
[10] W. Shockley, Electrons and holes in semiconductors, D. Van Nostrand,
Princeton, New Jersey, 1950.
[11] A. Yagi, Abstract parabolic evolution equations and their applications,
Springer, Berlin, 2010.
[12] K. Yosida, Functional Analysis, 6th ed, Springer, Berlin, 1980.

51