chuyên đề lượng giác lớp 11

PHẦN I: HÀM SỐ LƯNG GIÁC .
Bài 1. Tìm tập xác định của hàm số.
a. y=f(x)=x.cos3x .

1+cosx
1+cosx
1+cos 2 x
b. y=f(x)=
. c. y=f(x)=
. d. y=f(x)=
.
cosx
1-cosx
1+cosx

Bài 2 :Tìm tập xác đònh hàm số sau :
π
2π
1/ y = cot(2 x − )
2 / y = tan(3 x + )
4
3
sin x + 2
cos x + 1

cot x
cos x − 1

1
x −1
3

π
2π
7 / y = 1 − cos x
8/ y =
9 / y = cot( x − ) + tan(2 x + )
2
2
sin x − cos x
3
3
1
1
sin x
10 / y =
11/ y =
12 / y =
4 − 5cos x − 2sin 2 x
2sin x − 3
cot x − 3
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
4/ y =

5 / y = tan

x
3

3/ y =

6 / y = sin

2

-

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D

-

Số m dược gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D

∀x ∈ D, f ( x) ≤ M
⇔
.
∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = M
∀x ∈ D, f ( x ) ≥ m
⇔
∃x0 ∈ D, f ( x0 ) = m

a. y=f(x)=2+3Cosx.
b. y=f(x)=3-4Sin2x.Cos2x.
c. y=f(x)=2.Sin2x-2Cos2x.
Bài 4 : Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :
1 + 4 cos 2 x
2
2
1/ y = 2 + 3cos x
2 / y = 3 − 4sin x cos x
3/ y =
3

2
4 / y = 2 sin x − cos 2 x 5 / y = 3 − 2 | sin x |
6 / y = 3 1 + sin x − 1
Bài 5. T×m GTLN vµ GTNN cđa c¸c hµm sè sau:
a. y = 2sinx + 3cosx + 1

b. y =

1 − cosx
sinx + cosx + 2

c. y =

2 + cosx
sinx + cosx − 2

PHẦN II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
* Dạng cơ bản.
 x=α +k2π
- Sinx=Sinα ⇔ 
 x=π-α +k2π
 x=α +k2π
- Cosx=Cosα ⇔ 
 x=-α +k2π
- Tanx=Tanα ⇔ x=α+kπ
- Cotx=Cotα ⇔ x=α +kπ
Bài 1. Giải các phương trình
a. Sinx=-

sin

B
sinα=a=OK

cos
O

3
. b. Sin2x = -1.
2

2

c. Sin x=

Bài 2. Giải các phương trình:
a.

Sinx
=0 .
Cosx-1

b. Cos3x-Sin2x=0.

Bài 3. Giải các phương trình.
a. Sin 3x + Sin5x =0.

M

K

b.tanx.tan2x=-1 .
1

1
.
4

H

A


Baøi 4 : Giaûi phöông trình :
1
2
2 > 2sin x − 3 = 0
π
3 > 2sin( x + ) − 2 = 0
3
π
4 > 2sin(2 x + ) + 1 = 0
6
π
5 > 3sin(3 x − ) + 2 = 0
4
π
6 > 2sin( − 3x) + 3 = 0
3

1 > sin x =

Baøi 5:

7 > sin 2 x − sin x = 0
8 > sinx + sin 3 x = 0
9 > sin 3 x − cos x = 0
10 > sin 2 x + cos 3 x = 0

π
π
11 > sin(2 x + ) + sin( x − ) = 0
3
4
π
π
12 > sin(3 x − ) − cos(2 x + ) = 0
6
3
π
2π
13 > sin(2 x + ) + cos( x +
)=0
3
3

Giaûi phöông trình :
1
2
2 > 2 cos x − 3 = 0

1 > cos x =

3 > 2 cos( x +

π
3

4 > 2 cos(2 x +

7 > cos 2 x − cos x = 0
8 > cos x + cos 3 x = 0

)− 2 =0

π
6

9 > cos 3 x − sin x = 0

) +1 = 0

10 > cos 2 x + sin 3 x = 0

π

5 > 3cos(3 x − ) + 2 = 0
4

11 > cos(2 x +

6 > 2 cos(

12 > cos(3 x −

π

3

− 3x) + 3 = 0

π

π

) + cos( x − ) = 0
3
4

π

π

) − sin(2 x + ) = 0
6
3
π
2π
13 > cos(2 x + ) + sin( x +
) =0

3
3

Baøi 6: Giaûi caùc phöông trình :
1 > tan x = 3

5 > cot x + 3 = 0

2π
) +1 = 0
3
π
3π
3 > 3 tan(3 x + ) − 1 = 0
7 > 3cot(2 x + ) + 3 = 0
4
2
π
2π
4 > 3 tan(2 x − ) + 3 = 0
8 > 4cot(2 x − ) + 5 = 0
3
5
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−
π
π
π
9 > tan(3 x − ) − tan x = 0
13 > cot(2 x + ) − cot( x + ) = 0
4

4
4
2π
π
3π
π
10 > tan(2 x + ) + tan( x − ) = 0
14 > cot( − 2 x) + cot( x − ) = 0
3
3
2
4
5π
π
5π
π
11 > tan( x − ) + cot(2 x − ) = 0
15 > cot( − 3 x) − tan(2 x + ) = 0
3
3
3
3
4π
π
5π
π
12 > tan(3 x + ) + cot( − 2 x) = 0
16 > cot(2 x + ) + tan( x + ) = 0
3
3

6
6
2 > tan 2 x − 1 = 0

6 > cot(3 x −

2


Baứi 7:

Giaỷi caực phửụng trỡnh lửụùng giaực :

1 > 2sin 2 x + sin x = 0

8 > sin x + cos 2 x 1 = 0

4
2
) + 2 cos( x + ) = 0
3
3

2
3 > 2sin( x) + sin(
2 x) = 0
3
3
3 x
4 > 3 cos( + ) + sin(3 + x) = 0

2 2
2
x
5 > sin 2 (5 x + ) cos 2 ( + ) = 0
5
4
2

6 > cot(3 x + ).tan( x ) = 1
3
3
2
2
7 > tan 2 x.tan 3 x = 1
2 > sin(2 x +

Baứi 8:

9 > cos x + cos 2 x + 1 = 0



10 > sin( + x) + cos( + 2 x) = 1
6
3
2

11 > cos(
+ 2 x) + cos( + x) + 1 = 0
3

3
12 > tan 5 x.tan x = 1


13 > tan x.tan(2 x ) + 1 = 0
6

Giaỷi caực phửụng trỡnh lửụùng giaực sau :
1>3sinx+2=0 2>-2sinx-3=0
3> 2 cos x + 1 = 0
4>3cosx+5=0 5> 3 tan x + 3 = 0 6> 3cot x + 3 = 0

Loại Dựng Cụng thc h bc
1. 4cos2(2x - 1) = 1
2. 2sin2 (x + 1) = 1
3. cos2 3x + sin2 4x = 1
4. sin(1 - x) =

5. 2cosx + 1 = 0

6. tan2 (2x ) = 2
3

4
7. cos2 (x ) = sin2(2x +
)
5
5

3

2

Loại Dựng Cụng thc cng, bin i
1. sin2x + cos2x =
3. cos(

2 sin3x

2. cos3x sinx =


3
1
3x) +
sin 5 x + cos 5 x = 0
2
2
2

4. sin3x =

3 (cosx sin3x )

2 cos(x /5) + cos3x

5. sin(x + /4) + cos(x + /4) = 2 cos7x
3

1
6. Tỡm tt c cỏc nghim x ( ; ) ca pt: sinxcos + cosxsin =

2
8
8 2

Loại Bi toỏn bin lun theo m
1. Gii v bin lun
2sin(1-2x) = m
2
2. 3cos 3x = m
3. sin3x + cos3x = m
4. m.sin2 2x + cos4x = m
5. Gii v bin lun
sin2x 2m = (6m + 7)sin2x

6. Gii v bin lun
(3m + 5).sin(x + /2) = (2m + 3)cosx -m
7. Gii v bin lun
cos3x + m 5 = (3- 2m)cos3x
8. Cho pt sin4x + cos4x = m
a) Xỏc nh m pt cú nghim
b) Gii pt vi m = ắ

Loại Tng hp

17
+ 10 x )
2
2. sin23x cos24x = sin25x cos26x
1. cos22x sin28x = sin(

3.

sin 2 x
= 2 cos x
1 + sin x

6. Gii pt:
4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3 cos4x = 3
7.

2 3 sin( x

3




) cos( x ) + 2 cos 2 ( x )
8
8
8


4.

1
1
2
+
=

cos x sin 2 x sin 4 x

=


5. Tỡm tt c cỏc nghim x ( ;3 ) ca pt:
2
sin(2x +

3 + 4(sin 2 x + cos(



- x)cos( + x))
3
3

8. 4sin32x + 6sin2x = 3
9. Tỡm nghim nguyờn ca pt:



cos (3 x 9 x 2 + 160 x + 800 ) = 1
8


5
7
) 3 cos( x
) = 1 + 2sinx

2
2

PHN III: PHNG TRèNH LNG GIC THNG GP

Dng: Phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc.
Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:
a.

b. 4.Sinx=

Sinx+Cos2x=1.

1
.
Sinx

Bi gii.

x = k
Sinx=0

a. Sinx+Cos x = 1 Sinx ( 1-Sinx ) = 0
.


Sinx=1
x
=
+

k
2



2
b. iu kin Sinx 0 x k .

1


x
=
+ k
S
inx=


1
1
6
2
2
4.Sinx=
Sin x=

.
Sinx
4
x = 5 + k

Sinx=- 1

2
6

2

Bi 2. Gii cỏc phng trỡnh sau:
a. 2.Sin2x-5Sinx+3=0.

Baứi 3:

b. 2.Sin2x-3Cosx=0

Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :

1/ 2sin2x+3sinx+1=0

2/ sin2x+sinx-2=0

4/ 6-4cos2x-9sinx=0
7/ sin2x+cos2x+sinx+1=0

5/ 4sin 2 x 2( 3 + 1) sin x + 3 = 0 6/ sin23x-2sin3x-3=0
8/ 2sin2x+cos2+sinx-1=0
9/ cos2x+sinx+1=0

11>cos2x+cos2x+sinx+2=0 12> sin + x ữ cos + 2 x ữ+ 4 = 0
6

3


10/ cos2x+5sinx+2=0

3/ 2sin 2 x (2 + 3)sin x + 3 = 0

Baứi 4: Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :
1/ 3cos2x+2cosx-1=0
4/cos2+cosx-2=0
2
2 x
7/ 5 4sin x 8cos = 4
2

2/2sin2x+5cosx+1=0
5/16-15sin2x-8cosx=0

3>cos2-4cosx+5/2=0
6/4sin22x+8cos2x-8=0

8/2cos2x+cosx-1=0

9/sin2x-2cos2x+cos2x=0


2

11> cos( x + ) + cos(2 x + ) 2 = 0
3
3
2
2
2
12>(1+tan x)(cosx+2)-sin x=cos x
10>sin2x+cos2x+cosx=0

Baứi 5:

Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :

2

1>tan x-tanx-2=0
3> 3 cot 2 x 4 cot x + 3 = 0

2> cot 2 x (1 3) cot x + 3 = 0
3
4 tan x 2 = 0
4>
cos 2 x

Dạng 2: Phơng trình bậc nhất, bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lợng
giác
4


 2cos2x - 4cosx =1

1/ 
sinx ≥ 0


2/ 4sin3x + 3 2 sin2x = 8sinx

1-5sinx + 2cosx = 0
4/ 
cosx ≥ 0

5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)
3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0

T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx =
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0

7/ tanx +

4
+ tanx = 7
cos2 x
5π
7π
8/ sin( 2x +
) - 3cos( x −
) = 1 + 2sinx
2
2
9/ sin 2 x - 2sinx + 2 = 2sinx -1

10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0

11/ tanx + cotx = 4

12/

sin 2 2x + 4cos 4 2x -1
=0
2sinxcosx

sin x + 1 + cos x = 0

14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0

4sin 2 2 x + 6sin 4 x − 9 − 3cos 2 x
=0
cos x
1
17. sin 4 x + cos4 x =
2
π 1
4
4
19. sin x + sin  x + ÷ =
15/

4



21. sin6 x + cos6 x =

3
-2=0
cotx

c / sin6x + cos4x = cos2x

b/

13/

1)
3

16/ 2cosx -

18. sin 4 x + cos4 x = cos2x

2π 
2π  3
2
2
2
=
20. sin x + sin  x −
÷+ sin  x +
3 
3 ÷ 2



1
22. sin6 x + cos6 x + sin x cosx = 0
2

4

5
sin 4 x + cos4 x )
(
6

23. sin 4 x + cos4 x = sin 4 4x + cos4 4x
25. cos3xcos3x + sin3 xsin3x=

sinx = 1

24.

1
sin 4 x + cos4 x = sin 2 xcos2 x + sinxcosx
2

(

2
4

)

25. cos3 4x = cos3xcos3x + sin 3 xsin3x

* Dạng: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos.
- Cách giải:

a.sinx+bcosx=c ⇔
Đặt

a
a 2 + b2

= Cosα ;

a
a 2 + b2
b

.sinx+

a 2 + b2

b
a2 + b2

cosx=

c
a 2 + b2

- Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a. 3.Sin2x-Cos2x=1 .
b. Cos2x- 3Sin2x= 2 .
e.

a 2 + b2

.

= Sinα .

Ta có phương trình cơ bản sinx.cosα +cosx.sinα =

d. Cos2x- 3Sin2x=1 .
Bài giải.
a.

c

3Cosx+3Sinx=3

5

⇔ Sin ( x+α ) =

c
a2 + b2

c. Cos2x-Sin2x= 2 .

.

a= 3;b=1;c=1


x= 6 +k
1


Sin 2x- ữ= =Sin ữ
.

6 2

6
x= +k
2

a 2 +b 2 =2

b.

3
1
1
Sin2x- Cos2x=
2
2
2
a=1;b= 3;c= 2

x=-k

2



24
Sin -2x ữ=
=Sin ữ
6
2
4
x=- 7 -k

24

a 2 +b 2 =2

c.

1
3
3
Cos2x- Sin2x=
2
2
2

a=1;-b=1;c= 2
a 2 +b 2 = 2
1
1
Cos2xSin2x=1
2
2





Sin -2x ữ=1=Sin ữ x= +k
8
4

2

d.

a=1;b= 3;c=1
a 2 +b 2 =2
1
3
1
Cos2x- Sin2x=
2
2
2

e.

x=k

1

Sin -2x ữ= =Sin ữ

x=- + k
6
2
6
3


a v dng Cosx+ 3Sinx= 3

a=1;b= 3;c= 3
a 2 +b 2 =2
1
3
3
Cos2x+
Sin2x=
2
2
2


x= 6 +k2

3


Sin +x ữ=
=Sin ữ
6 2
3
x= + k2
2

Dạng 3: Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1. Nhận dạng:
2. Phơng pháp:
Đăc biệt :

a.sin x + b.cosx = c

Cách 1: asinx + bcosx = c

a
b
2
2
; sinx=
2
2
2 a + b sin(x +) = c
a +b
a +b

b


Cách 2:
a sinx + cosx = c
a


c
b
Đặt = tan a sinx + cosx.tan = c sin(x +) = cos
a
a
2
x
Cách 3: Đặt t = tan ta có sinx = 2t 2 ; cosx = 1- t 2 (b + c)t 2 - 2at - b + c = 0
2
1+ t
1+ t
Đặt cosx=

2

Chú ý: Điều kiện PT6có nghiệm:

a 2 + b2 c2

sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )
3
6


sin x cos x = 2 sin( x ) = 2 cos( x m )
4
4


sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )
3
6

1.
2.
3.

giải phơng trình:

,

2. cosx 3 sin x = 1

3. 3sin3x 3 cos9x = 1 + 4sin 3 3x ,

4
4
4. sin x + cos (x + ) =

3 cosx sin x = 2

1.


4

3(1 cos 2 x)
= cos x ,
2sin x
1
3sinx + cosx =
cosx

5.
7.

9. cos7x - 3sin7x +

11. sinx + 3cosx +
13. ( cos2x -

2
6. sin 2 x + sin x =

1
2

8. tan x 3cot x = 4(sin x + 3 cos x)

2 6
2 = 0 ; x ( ; )
5

10. 2sin15x +

7

6
=6
4sinx + 3cosx +1

3 sin2x) -

1
4

1+ cosx + cos2x + cos3x 2
= (3- 3sinx)
2cos2 x + cosx -1
3

3sinx + cosx = 3+

12.

3 sinx cosx + 4 = 0

3 cos5x + sin5x = 0 (4)

14.

1
3sinx + cosx +1

cosx - 2sinx.cosx
= 3
2cos 2 x + sinx -1

16. cos7x sin 5x =

15.

3(cos5x sin 7x)

Baứi 9: Giaỷi caực phửụng trỡnh :

1/ 2 sin x cos x = 2

2 / cos x + 3 sin x = 2

3 / sin 7 x + 3 cos 7 x = 2
5 / 5cos 2 x 12sin 2 x = 13

4 / 3 cos x + sin x = 2
6 / 2sin x 5cos x = 4

7 / 3sin x + 5cos x = 4 2

PHAN IV: PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIACTNG HP

Chỳ ý. Cỏc phng trỡnh s dng cụng thc h bc, bin i tng thnh tớch, tớch thnh tng v h bc
cụng thc bin i tng thnh tớch, tớch thng tng, h bc










p dng cỏc cụng thc trờn gii cỏc phng trỡnh sau õy:
a.
pt
( vỡ
)
7


b.
pt

c.
Tới đây biết giải rồi chứ? cos6x = 0 hoặc
d.
gép cos3x + cos7x và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Đặt nhân tử chung sau khi xuất hiện
nhân tử.
e.
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.

f.
Đây là bài toán mà các số hạng đều là bậc hai nên ta sẽ hạ bậc nó.
lưu ý:
pt
( bỏ mẫu)
pt
( biến tổng thành tích)

BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO
1. Giải phương trình:

.

Phương trình

.
2. Giải phương trình lượng giác

Đáp số:
3. Giải phương trình:
Phương trình đã cho tương đương với
8


*
*

.

Giải khác.

4. Giải phương trình lượng giác sau:

5. Giải phương trình:

.

Từ phương trình đã cho ta có :

9


6. Giải phương trình :

.

7. Giải phương trình :
Phương trình đã cho

8. Giải phương trình:

9. Giải phương trình :

<=>
<=>
<=>

<=>
<=>
10

<=>

<=>

10. Giải phương trình

11. Giải phương trình lượng giác sau:

12. Giải phương trình :

<=>
<=>

<=>
<=>

13. Giải phương trình lượng giác:
Phương trình đã cho tương đương với

Đáp số :
14. Giải phương trình :
11


Cỏc nghim s l
1. Nhận dạng:

2. P.Pháp:

Dạng 4: Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
a.sinx + b.cosx = 0
(1)
2
2
a.sin x + b.sinx cosx + c.cos x = d
(2)
3
2
2
a.sin x + b.sin x cosx + c.sinx cos x + d.sinx + e.cosx = 0 (3)

Đẳng cấp bậc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0
Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx 0, chia 2 vế cho cos2x ta đợc:
atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)
Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0
Hoặc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0
Xét cos3x = 0 và cosx 0, chia 2 vế cho cos3x ta đợc phơng trình bậc 3 đối với tanx
Giải phơng trình
1. 3sin x - 3 sinxcosx+2cos x =2
2. 4 sin2x + 3 3 sinxcosx - 2cos2x=4
3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0
4. sinx - 4sin3x + cosx = 0
5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos2x 5 - 3 = 0
6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0
7. sin3x - sinx + cosx sinx = 0
8. tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx)
9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0

10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0
11. 2cos3x = sin3x
3
3
12. cos x - sin x = cosx + sinx
13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
14. sin3(x - /4) = 2 sinx
2

2

Dạng 5: Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

1. Nhận dạng:

a ( sinx + cosx ) + b.sin x cosx = c

a ( sinx cosx ) + b.sin x cosx = c

2. Phơng pháp:
*

a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c

đặt t = sin x + cosx

t 2

t -1 = c bt2 + 2at 2c b = 0
at + b

2

2

*

a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c

đặt t = sin x - cosx

1- t = c bt2 - 2at + 2c b = 0
at + b
2

2

12

t 2


1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0


3. sin2x + 2 sin x ữ = 1
4

1. 1 + tanx = 2sinx +

2. sinxcosx = 6(sinx cosx 1)

3. tanx 2 2sinx = 1

1
cos x

2. sin x + cosx=

3. sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx
5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1
7. (1+sin x)(1+cosx)=2
9. 1 + sin3 2x + cos32 x =

1
1
tanx cot x

4. 1- sin3x+ cos3x = sin2x
6. 2 sin2x(sin x + cosx) = 2
8. 2 (sin x + cosx) = tanx + cotx

3
sin 4x
2

10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2

11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12. sin x cos x + 4sin 2 x = 1
13. sinxcosx + sinx + cosx = 1
14. cosx +

1
cosx

+ sinx +

1
10
=
sinx 3

Dạng 6: Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
1 + cos 2 x ; sin2x= 1- cos2x
2
2
3cosx + cos3x ; sin3x=
cos3x=
4

Công thức hạ bậc 2

cos2x =

Công thức hạ bậc 3

3sinx -sin3x
1/ sin2 x +4sin23x = cos22x + cos24x

Giải phơng trình
2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2

5x
9x
+ ) - 2cos2
4 2
2
3
6/ 4sin x - 1 = 3 - 3 cos3x

3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0

4/ cos3x + sin7x = 2sin2(

5/ cos4x 5sin4x = 1
7/ sin22x + sin24x = sin26x
9/ (sin22x + cos42x - 1): sinxcosx = 0

8/ sin2x = cos22x + cos23x
10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x

11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x

12/ 8cos3(x +

13/

sin5x = 1
5sinx

) = cos3x

3

14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx

sin2x + sin22x + sin23x = 3/2
16/ 3cos4x 2cos23x =1
2
2
2
2
17/ sin 4 x+ sin 3x= cos 2x+ cos x với x (0;)


2

18/ sin24x - cos26x = sin(10,5 +10x ) với x (0; )
19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3 cos4x = 3
x
20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2( ) - 7 với x -1 < 3
4 2
2
21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0
22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

Dạng 7: Phơng trình lợng giác bậc cao

* a3 b3=(a b)(a2 m ab + b2)
* a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2)

* a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4

* a b6 = ( a2 b2)( a4 m a2b2 + b4)
6

Giải phơng trình
1. sin4

x
x
+cos4 =1-2sinx
2
2

2. cos3x-sin3x=cos2x-sin2x
13

15/


3

sin 4 x + cos 4 x 1
4.
= (tanx + cotx)
sin2x
2
7π
π
6. sin4x + cos4x = cot(x + )cot( - x)
8
3

6

3

3. cos x+ sin x= cos2x
5. cos6x - sin6x =

13 2
cos 2x
8

7. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x)
8. cos3x + sin3x = cosx – sinx
6
6
9. cos x + sin x = cos4x
10. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x
11. cos8x + sin8x =

1
8

12. (sinx + 3)sin4

x
x
- (sinx + 3)sin2 + 1 = 0
2
2

D¹ng 8: Ph¬ng tr×nh lîng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2

2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0

5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx

6/

3 sin2x +
2

2 cos2x + 6 cosx = 0

7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8/

sin 3x sin 5 x
=
3
5

9/ 2cos2x - 8cosx + 7 =

10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) +

5
cos2x

4

1
cosx

11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

14/ 2sin3x -

15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx -

1
1
= 2cos3x +
cosx
sinx

16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0

17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0

18/ sin2x = 1+ 2 cosx + cos2x

19/ 1 + cot2x =

20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x +

22/ 1 + tanx = sinx + cosx
24/ 2 2

1
sin2x

23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
25/ 2tanx + cotx = 3 +

26/ cotx – tanx = cosx + sinx




1- cos2x
sin 2 2x

21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0

π
sin(x + ) = 1 + 1
4 sinx cosx

1. 2 2 sin  x +

2
sin 2x

27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

π
1
1
+
=
4  sin x cos x

π

2 sin  x + 
π
sin x + cos x
π
4


⇔ 2 2 sin(x + ) =
⇔ 2 2 sin  x +  =
4
sin x cos x
4
sin x cos x

π
π


sin(x + ) = 0
x = − + kπ



4
4
π 
1


⇔ 2 sin  x +  2 −
 = 0 ⇔  sin x cos x ≠ 0 ⇔  sin 2x ≠ 0
4 
sin x cos x 



 2sin x cos x = 1
 sin 2x = 1



π
 π
 x = − 4 + kπ ⇒ sin 2x = sin  − 2  = −1 ≠ 0
π


⇔
⇔ x = ± + kπ
4
π
π


sin
2x
=
1
⇔
2x
=
+
k2
π
⇔
x
=
+
k
π

2
4

2. C1. sin x + cos x = 2(sin x + cos x )
3

3

1
)=0
cosx

5

5

14

(k ∈ Z)


⇔ sin 3 x − 2 sin 5 x = 2 cos 5 x − cos 3 x
⇔ sin 3 x (1 − 2 sin 2 x ) = cos 3 x (2 cos 2 x − 1) ⇔ sin 3 x cos 2 x = cos 3 x cos 2 x
 cos 2x = 0
 cos 2x = 0
 cos 2x = 0
π
π
π
π
π
⇔ 3
⇔ 3
⇔
⇔ x = + m ∨ x = + kπ ⇔ x = + m
(m ∈ Z)
3
4
2
4
4
2

 tgx = 1
sin x = cos x
 tg x = 1

3
3
5
5
3
3
2
2
5
5
C2. sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) ⇔ (sin x + cos x )(sin x + cos x ) = 2(sin x + cos x )

⇔ sin 3 x cos 2 x + cos 3 x sin 2 x = sin 5 x + cos 5 x ⇔ sin 3 x (cos 2 x − sin 2 x ) = cos 3 x(cos 2 x − sin 2 x )
2
2
2
 2
⇔ (cos 2 x − sin 2 x )(cos 3 x − sin 3 x ) = 0 ⇔ cos 3 x − sin 3 x = 0 ⇔ cos x − sin x = 0
cos x = sin x
cos x − sin x = 0
2
2
π
π
⇔ cos x − sin x = 0 ⇔ cos 2 x − sin 2 x = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = + k
(k ∈ Z)

4
2
cos x = sin x

3. sin 2 x = cos 2 2 x + cos 2 3x
1 − cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x
⇔
=
+
⇔ (cos 4x + cos 2x) + (1 + cos 6x) = 0
2
2
2
⇔ 2 cos 3x cos x + 2 cos 2 3x = 0 ⇔ 2 cos 3x(cos x + cos 3x ) = 0 ⇔ 4 cos 3x cos 2 x cos x = 0
π
π
π
π
π
⇔ cos x = 0 ∨ cos 2x = 0 ∨ cos 3x = 0 ⇔ x = + kπ ∨ x = + k ∨ x = + k
(k ∈ Z)
2
4
2
6
3
4. sin x + cos x = 2(sin x + cos x )
⇔ sin 6 x − 2 sin 8 x = 2 cos 8 x − cos 6 x
⇔ sin 6 x (1 − 2 sin 2 x ) = cos 6 x (2 cos 2 x − 1) ⇔ sin 6 x cos 2 x = cos 6 x cos 2 x
6

6

8

8

cos 2 x = 0
cos 2 x = 0
⇔  6
⇔  6
⇔ cos 2 x = 0 ⇔
6
 tgx = ±1
sin
x
=
cos
x
tg
x
=
1



π
π

x = 4 + m 2

π
π
⇔ x = +m
(m ∈ Z)

π
4
2
 x = ± + kπ
4


5. sin x − cos x + sin x + cos x = 2
⇔ ( sin x − cos x + sin x + cos x

)

2

=4

⇔ 1 − sin 2 x + 1 + sin 2 x + 2 sin 2 x − cos 2 x = 4 ⇔ 2 cos 2 x = 2 ⇔ cos 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 0 ⇔ x = k
6 . cos x − sin x =
6

6

π
2

13
cos 2 2 x
8

⇔ (cos 2 x ) 3 − (sin 2 x ) 3 =

13
cos 2 2 x
8

⇔ (cos 2 x − sin 2 x )(cos 4 x + sin 4 x + sin 2 x cos 2 x ) =

13
cos 2 2x
8

1
1
13
⇔ cos 2x (1 − sin 2 2x + sin 2 2x ) = cos 2 2x ⇔ cos 2x (8 − 2 sin 2 2 x ) = 13 cos 2 2x
2
4
8
cos 2 x = 0
cos 2 x = 0
cos 2 x = 0
⇔ 
⇔ 
⇔ 
2

2
2
8
−
2
sin
2
x
=
13
cos
2
x
8
−
2
(
1
−
cos
2
x
)
=
13
cos
2
x



2 cos 2x − 13 cos 2x + 6 = 0
1
π
π
π
⇔ cos 2 x = 0 ∨ cos 2 x = ∨ cos 2 x = 6 (loaïi) ⇔ x = + k ∨ x = ± + kπ (k ∈ Z)
2
4
2
6
7. 1 + 3tgx = 2 sin 2 x (*) . Ñaët t = tgx
4t
π
(*) ⇔ 1 + 3t =
⇔ 3t 3 + t 2 − t + 1 = 0 ⇔ ( t + 1)(3t 2 − 2t + 1) = 0 ⇔ t = −1 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ
2
4
1+ t
3
sin
x
+
2
cos
x
=
2
+
3
tgx

8.
⇔ 3tgx cos x + 2 cos x = 3tgx + 2 ⇔ cos x (3tgx + 2) = 3tgx + 2
15


cos x = 1
2
⇔
⇔
 tgx = − 3 = tgα




8. sin  x −
3

 x = k 2π
 x = α + kπ

(k ∈ Z)

tgα = −

2
3

π
π


 = 2 sin x (*) . C1. Ta có : 2 sin  x − 4  = sin x − cos x
4

π
π
1


⇔ 2 2 sin3  x −  = (sin x − cos x)3 ⇔ sin 3  x −  =
(sin x − cos x)3
4
4 2 2


1
(*) ⇔
(sin x − cos x ) 3 = 2 sin x ⇔ (sin x − cos x ) 3 = 4 sin x
2 2
3
Vì cos x = 0 không thỏa mãn phương trình . Chia hai vế của phương trình cho cos x ≠ 0 ta có :
π
( tgx − 1) 3 = 4 tgx (1 + tg 2 x ) ⇔ ( tgx + 1)(3tg 2 x + 1) = 0 ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z)
4
3
2
C2. (*) ⇔ (sin x − cos x ) = 4 sin x ⇔ (sin x − cos x )(sin x − cos x ) = 4 sin x
⇔ (sin x − cos x )(1 − 2 sin x cos x ) = 4 sin x ⇔ − cos x − 3 sin x − 2 sin 2 x cos x + 2 sin x cos 2 x = 0
⇔ cos x (−2 sin 2 x − 1) + sin x (2 cos 2 x − 3) = 0 ⇔ cos x(cos 2x − 2) + sin x(cos 2x − 2) = 0
π
⇔ (cos 2 x − 2)(cos x + sin x ) = 0 ⇔ cos 2 x = 2 (loại) ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z)

tgx
=
−
1

4
1 2
4
4
9. 4(sin x + cos x ) + 3 sin 4 x = 2 ⇔ 4(1 − sin 2 x ) + 3 sin 4 x = 2
2
π
2π
⇔ 3 sin 4x − 2 sin 2 2x = −2 ⇔ 3 sin 4x + cos 4 x = −1 ⇔ cos(4x − ) = cos
3
3
π
π
π
π
⇔ x = +k
∨ x =− +k
(k ∈ Z)
4
2
12
2
10. 2(sin x + cos x) = sin x + cos x ⇔ 2 cos8 x − cos6 x = sin 6 x − 2sin8 x
8

8

6

6

⇔ cos6 x(2 cos2 x − 1) = sin 6 x(1 − 2sin 2 x) ⇔ cos 6 x cos 2x = sin 6 x cos 2x
π
π

x
=
+
m

 cos 2x = 0
 cos 2x = 0
 cos 2x = 0
4
2 ⇔ x = ± π + m π (m ∈ Z)
⇔ 6
⇔ 6
⇔
⇔
11.
6
4
2
 tgx = ±1
 x = ± π + kπ

sin x = cos x
 tg x = 1

4

s in 8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x) +

5
cos 2x
4

5
⇔ 2 cos10 x − cos8 x + 2sin 8 x − sin 8 x + cos 2x = 0
4
5
5
⇔ cos8 x(2 cos2 x − 1) − sin8 x(1 − 2sin 2 x) + cos 2x = 0 ⇔ cos8 x cos 2x − sin8 x cos 2x + cos 2x = 0
4
4
 cos2x = 0
5
π kπ
 8
8
⇔ cos 2x  cos x − sin x +  = 0  8
⇔x= +
5
8
sin x = cos x + > 1 vô nghiệm
4

4 2


4
12. sin 2 x − 2 cos x +
2

2

3
= 0 ⇔ 4(1 − cos 2 2x ) − 4(1 + cos 2x ) + 3 = 0
4

⇔ 4 − 4 cos 2 2 x − 4 − 4 cos 2 x + 3 = 0 ⇔ 4 cos 2 2 x + 4 cos 2 x − 3 = 0
1
π
3
π
π
⇔ cos 2x = = cos ∨ cos 2x = − < −1 (loại) ⇔ 2x = ±
+ k2π ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z)
2
3
2
3
6

16

13. tg x 4 tg x + 3 = 0
4

2


tg2 x = 1 tg2 x = 3 tgx = 1 = tg tgx =
4




3 = tg x = + k x = + + k (k
4
3
3

14. cos 4 2 x = 2 cos 2 2 x
cos4 2x + cos2 2x 2 = 0 cos2 2x = 1 cos2 2x = 2 > 1 (loaùi)
k
sin 2 x = 0 2 x = k x =
(k Z)
2
2
2
4
15. cos 2 2x 4 sin 4 x + 3 = 0 (1 2 sin x ) 4 sin x + 3 = 0


+ k (k Z)

2
2
2
2
2
4
2
16. cos2 x = cos2 2x 1 cos x = (2 cos x 1) 1 = 0 cos x = 4 cos x 4 cos x + 1 1 = 0
5

4 cos4 x = 5cos2 x cos2 x = 0 cos2 x = > 1 (loaùi) cos x = 0 x = + k (k Z)
4
2
4
17. 2 cos x + 1 = 3 cos 2x
2 cos 4 x + 1 = 3(2 cos 2 x 1) 2 2 cos 4 x + 1 = 3(4 cos 4 x 4 cos 2 x + 1)
cos 2 x = 1
sin x = 0
sin x = 0
4
2
2
2

1
5 cos x 6 cos x + 1 = 0 2

2 cos 2 x =
1 + cos 2 x =
cos x =

5
5


5

3

3
sin x = 0 cos 2x = = cos x = k x = + k2 (k Z) vụựi cos =
5
2
5
2
2
18. 2 sin x + tg x = 2 (1) . ẹieu kieọn : cos x 0
2
1 4 sin 2 x + 4 sin 4 x 4 sin 4 x + 3 = 0 sin x = 1 cos x = 0 x =

sin 2 x
= 2 2 sin 2 x cos 2 x + sin 2 x = 2 cos 2 x
2
cos x
2
2
2(1 cos x ) cos x + 1 cos 2 x = 2 cos 2 x 2 cos 2 x 2 cos 4 x + 1 cos 2 x = 2 cos 2 x
1
2 cos4 x + cos2 x 1 = 0 cos2 x = 1 (loaùi) cos2 x = 2 cos 2 x = 1 2 cos 2 x 1 = 0

2

k
cos 2 x = 0 2 x = + k x = +
(k Z)
2
4 2
2 tg 2 x
+ tg 2 x = 2 2 tg 2 x + tg 2 x + tg 4 x = 2 + 2 tg 2 x
C2. (1)
2
1 + tg x


tg4 x + tg2 x 2 = 0 tg2 x = 1 tg 2 x = 2 (loaùi) tgx = 1 = tg x = + k (k Z)
4
4
2
C1. (1) 2 sin x +

19. 8 sin 4 x + 13 cos 2 x 7 = 0
8 sin 4 x + 13(1 2 sin 2 x ) 7 = 0 8 sin 4 x 26 sin 2 x + 6 = 0
1
1
1
4 sin 4 x 13sin2 x + 3 = 0 sin 2 x = sin 2 x = 3 > 1 (loaùi) 2sin 2 x = 1 cos 2x =
4
2
2
1

cos 2 x = = cos 2x = + k 2 x = + k (k Z)
2
3
3
6
4
4
20. 3 3 sin x 5 cos x = 0
3 3(1 cos 2 x ) 2 5 cos 4 x = 0 3 3(1 2 cos 2 x + cos 4 x ) 5 cos 4 x = 0

2
2
2
8 cos 4 x = 6 cos 2 x cos x2 = 0 cos x = 0
cos x = 0
2(1 + cos 2x ) = 3
2 cos 2x = 1
4 cos x = 3
1





cos x = 0 cos 2x = = cos x = + k 2x = + k2 x = + k x = + k (k Z)
2
3

2
3
2
6

17


2
2
2
21. tg x + cot g x = 2 tg x +

1
= 2 (1) . ẹieu kieọn : tgx 0
tg 2 x

4
2
2
2
(1) tg x 2 tg x + 1 = 0 ( tg x 1) = 0


tg2 x = 1 tgx = 1 = tg x = + k (k Z)
4
4

22. 4 tg x =
4

1
+2
cos 2 x

(1) . ẹieu kieọn : cos x 0

(1) 4tg 4 x = 1 + tg2 x + 2 4tg 4 x tg2 x 3 = 0 tg 2 x = 1 tg 2 x =


tgx = 1 = tg x = + k
4
4
23. sin x + cos x =
8

8

3
(loaùi)
4

(k Z)

1
8

1
1
(sin 4 x + cos 4 x ) 2 2 sin 4 x cos 4 x =

8
8
4
1
1
1
1
1

(1 sin 2 2x)2 2(sin x cos x)4 = 1 sin 2 2x + sin 4 2x 2 sin 2x =
2
8
4
8
2

1
1
1
1 sin 2 2 x + sin 4 2 x sin 4 2 x = 8 8 sin 2 2 x + 2 sin 4 2 x sin 4 2 x = 1
4
8
8
4
2
2
sin 2x 8sin 2x + 7 = 0 sin 2x = 1 sin 2 2x = 7 > 1 (loaùi)

k
(k Z)

cos 2x = 0 2 x = + k x = +
2
4 2
2
24. 2(1 sin 2 x ) 5(sin x cos x ) + 3 = 0 2(sin x cos x ) 5(sin x cos x ) + 3 = 0
(sin 4 x ) 2 + (cos 4 x ) 2 =

3

2


> 2 (loaùi) sin x =
= sin
2
4
2
4


3

x = + k2 x =
+ k2 x = + k2 x = + k2 (k Z)
4 4
4 4
2
25. 5(1 + sin 2 x ) 12(sin x + cos x ) + 7 = 0
5(sin x + cos x ) 2 12(sin x + cos x ) + 7 = 0
sin x cos x = 1 sin x cos x =

7

2


7


sin x + =
= sin sin x + =
= sin
5
4
2
4
4 5 2




3
x = k2 x = + k2 x = + k2 x =
+ k2 (k Z
2
4
4
26. 3 cos 4 x 4 cos 2 x sin 2 x + sin 4 x = 0
sin x + cos x = 1 sin x + cos x =

4
2

cos x 15 = 0
+ 5
2
cos x
cos x

1

1

2
+ cos x + 2 = 0
28. cos x +
2
2
cos x

cos x




27. 2 cos x +
2

2

2

1

1

1

1


+ cos x 2 = 2
+ cos x 2
+ cos x = 2
+ cos x
cos x

cos x

cos x

cos x

1
1

+ cos x = 0 (1)
+ cos x = 2 (2) .ẹieu kieọn : cos x 0
cos x
cos x

(1) 1 + cos 2 x = 0 cos2 x = 1 (voõ nghieọm)
(2) cos 2 x 2 cos x + 1 = 0 (cos x 1) 2 = 0 cos x = 1 x = k 2 (k Z)
18


29. cos x +
2

1
1
= cos x +
2
cos x
cos x
2

2

1 
1
1  
1 


⇔  cos x +
⇔  cos x +
 − 2 = cos x +
 −  cos x +
−2 = 0
cos x 

cos x
cos x  
cos x 


1
1
⇔ cos x +
= −1 (1) ∨ cos x +
= 2 (2) .Điều kiện : cos x ≠ 0
cos x
cos x
(1) ⇔ cos 2 x + cos x + 1 = 0 (vô nghiệm)
(2) ⇔ cos 2 x − 2 cos x + 1 = 0 ⇔ (cos x − 1) 2 = 0 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π (k ∈ Z)
2
1
1 

1 
1 


= 2  cos x −
30. cos x +
 + 1 ⇔  cos x −
 + 2 = 2  cos x −
 +1
2
cos x 
cos x 

cos x 
cos x




2

2

1
1
1 
1 


2
⇔  cos x −
 − 2  cos x −
 + 1 = 0 ⇔ [cos x − cos x − 1] = 0 ⇔ cos x − cos x − 1 = 0
cos x 
cos x 


2
⇔ cos x − cos x − 1 = 0
1+ 5
1− 5
⇔ cos x =
> 1 (loại) ∨ cos x =

= cos α ⇔ x = ± α + k2π (k ∈ Z)
2
2




2
31. 2  cos x +

1 
1 

+
7
cos
x
−


+2 =0
cos x 
cos2 x 


2
2


1 

1 
1 
1 



⇔ 2  cos x −
+
2
+
7
cos
x
−
+
2
=
0
⇔
2
cos
x
−





 + 7  cos x −
+6 = 0

cos x 
cos x 
cos x 
cos x 





1
1
3
⇔ cos x −
= −2 (1) ∨ cos x −
= − (2) . Điều kiện : cos x ≠ 0
cos x
cos x
2

(1) ⇔ cos 2 x + 2 cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = −1 + 2 = cos α
⇔ x = ± α + k 2π (k ∈ Z)
cos x = −1 − 2 < − 1 (loại)
1
π
π
(2) ⇔ 2 cos2 x + 3cos x − 2 = 0 ⇔ cos x = = cos ∨ cos x = −2 (loại) ⇔ x = ± + k2 π (k ∈ Z)
2
3
3
π

Vậy nghiệm của phương trình là : x = ± α + k 2π v x = ± + k 2π (k ∈ Z)
3




2
32.  sin x +

1  
1 
−
sin
x
+


=0
sin x 
sin 2 x  
2

1  
1 

⇔  sin x +
 −  sin x +
−2 = 0
sin x  
sin x 


1
1
⇔ sin x +
= −1 (1) ∨ sin x +
= 2 (2) . Điều kiện : sin x ≠ 0
sin x
sin x
(1) ⇔ sin 2 x + sin x + 1 = 0 (vô nghiệm)
π
(2) ⇔ sin 2 x − 2 sin x + 1 = 0 ⇔ (sin x − 1) 2 = 0 ⇔ sin x = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z)
2




2
33. 4  sin x +

1 
1 

 + 4  sin x +
−7 = 0
2
sin x 
sin x 


2

2


1 
1 
1 
1 



⇔ 4  sin x +
 − 2  + 4  sin x +
 − 7 = 0 ⇔ 4  sin x +
 + 4  sin x +
 − 15 = 0
sin x 
sin x 
sin x 
sin x 





1
3
1
5
⇔ sin x +
= (1) ∨ sin x +

= − (2) . Điều kiện : sin x ≠ 0
sin x 2
sin x
2
2
(1) ⇔ 2 sin x − 3 sin x + 2 = 0 (vô nghiệm)

19


(2) ⇔ 2sin 2 x + 5sin x + 2 = 0 ⇔ sin x = −2(loại) ∨ sin x = −
⇔x=−

π
7π
+ k2π ∨ x =
+ k2π (k ∈ Z)
6
6

34. C1 : tg

2

1
 π
= sin  − 
2
 6

x + cot g 2 x + 2(tgx + cot gx ) = 6 (*)

Điều kiện : sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

kπ
(k ∈ Z)
2

(*) ⇔ ( tgx + cot gx ) 2 − 2 + 2( tgx + cot gx ) = 6 ⇔ ( tgx + cot gx ) 2 + 2( tgx + cot gx ) − 8 = 0
⇔ tgx + cot gx = 2 (1) ∨ tgx + cot gx = − 4 (2)
1
π
π
(1) ⇔ tgx +
= 2 ⇔ tg 2 x − 2 tgx + 1 = 0 ⇔ ( tgx − 1)2 = 0 ⇔ tgx = 1 = tg ⇔ x = + kπ (k ∈ Z)
tgx
4
4
sin x cos x
1
π
(2) ⇔
+
= − 4 ⇔ sin 2 x + cos 2 x = − 4 sin x cos x ⇔ − 2 sin 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = − = sin(− )
cos x sin x
2
6
π
7π
π

7π
⇔ 2x = − + k2π ∨ 2x =
+ k2π ⇔ x = − + kπ ∨ x =
+ kπ (k ∈ Z)
6
6
12
12
π
π
7π
+ kπ (k ∈ Z)
Vậy nghiệm của phương trình là : x = + kπ ∨ x = − + kπ ∨ x =
4
12
12
2
2
2
2
2
2
C2 : Đặt t = tgx + cot gx ⇒ t = ( tgx + cot gx ) = tg x + cot g x + 2 tgx cot gx = tg x + cot g x + 2
2
t ≥ 2
≥ 2 tg 2 x cot g 2 x + 2 = 4 ⇒ t ≥ 4 ⇒ t ≥ 2 ⇔  t ≤ −2

1
= 2 ⇔ tg 2 x − 2 tgx + 1 = 0 ⇔ ( tgx − 1)2 = 0
 Khi t = 2 ⇔ tgx + cot gx = 2 ⇔ tgx +

tgx
π
π
⇔ tgx = 1 = tg ⇔ x = + kπ (k ∈ Z)
4
4
sin x cos x
+
= − 4 ⇔ sin 2 x + cos 2 x = − 4 sin x cos x
 Khi t = − 4 ⇔ tgx + cot gx = − 4 ⇔
cos x sin x
1
 π
⇔ − 2 sin 2x = 1 ⇔ sin 2x = − = sin  − 
2
 6
π
7π
π
7π
⇔ 2x = − + k2π ∨ 2x =
+ k2π ⇔ x = − + kπ ∨ x =
+ kπ (k ∈ Z)
6
6
12
12
π
π
7π

+ kπ (k ∈ Z)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x = + kπ ∨ x = − + kπ ∨ x =
4
12
12
35. tg x + cot g x + 5( tgx + cot gx ) + 6 = 0 (*)
kπ
(k ∈ Z)
Điều kiện : sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠
2
2

2

(*) ⇔ ( tgx + cot gx ) 2 − 2 + 5( tgx + cot gx ) + 6 = 0 ⇔ ( tgx + cot gx ) 2 + 5( tgx + cot gx ) + 4 = 0
⇔ tgx + cot gx = −1 (1) ∨ tgx + cot gx = − 4 (2)
1
(1) ⇔ tgx +
= −1 ⇔ tg 2 x + tgx + 1 = 0 (vô nghiệm)
tgx
sin x cos x
1
π
(2) ⇔
+
= − 4 ⇔ sin 2 x + cos 2 x = − 4 sin x cos x ⇔ − 2 sin 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = − = sin(− )
cos x sin x
2
6
π

7π
π
7π
⇔ 2x = − + k2π ∨ 2x =
+ k2π ⇔ x = − + kπ ∨ x =
+ kπ (k ∈ Z)
6
6
12
12
π
7π
+ kπ (k ∈ Z)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x = − + kπ ∨ x =
12
12
20


36.

3
+ 3 cot g 2 x + 4( tgx + cot gx ) − 1 = 0 (1) .
2
cos x

Điều kiện : sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

kπ
(k ∈ Z)

2

3
+ 3 cot g 2 x + 4( tgx + cot gx ) − 1 = 0 ⇔ 3(1 + tg 2 x ) + 3 cot g 2 x + 4( tgx + cot gx ) − 1 = 0
2
cos x
⇔ 3( tg 2 x + cot g 2 x ) + 4( tgx + cot gx ) + 2 = 0 ⇔ 3[( tgx + cot gx ) 2 − 2] + 4( tgx + cot gx ) + 2 = 0
⇔ 3( tgx + cot gx ) 2 + 4( tgx + cot gx ) − 4 = 0 (*)
2
2
2
2
2
2
Đặt : t = tgx + cot gx ⇒ t = ( tgx + cot gx ) = tg x + cot g x + 2 tgx cot gx = tg x + cot g x + 2
2
t ≥ 2
≥ 2 tg 2 x cot g 2 x + 2 = 4 ⇒ t ≥ 4 ⇒ t ≥ 2 ⇔  t ≤ −2

2
(*) ⇔ 3t 2 + 4t − 4 = 0 ⇔ t = −2 ∨ t =
(loại)
3
sin x cos x
+
= − 2 ⇔ sin 2 x + cos 2 x = −2 sin x cos x ⇔ sin 2 x = −1
Khi : t = −2 ⇔
cos x sin x
π
π

⇔ 2x = − + k2π ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z)
2
4
(1) ⇔

37.

2
+ 2 tg 2 x + 5( tgx + cot gx ) + 4 = 0 (1)
2
sin x

kπ
(k ∈ Z)
2
(1) ⇔ 2(1 + cot g 2 x ) + 2tg 2 x + 5( tgx + cot gx ) + 4 = 0
⇔ 2( tg 2 x + cot g 2 x ) + 5( tgx + cot gx ) + 4 = 0 ⇔ 2[( tgx + cot gx ) 2 − 2] + 5( tgx + cot gx ) + 4 = 0
⇔ 2( tgx + cot gx )2 + 5( tgx + cot gx ) = 0 (*)
2
2
2
2
Đặt : t = tgx + cot gx ⇒ t = ( tgx + cot gx ) = tg x + cot g x + 2 tgx cot gx
= tg 2 x + cot g 2 x + 2
5
2
t ≥ 2
2
≥ 2 tg 2 x cot g 2 x + 2 = 4 ⇒ t ≥ 4 ⇒ t ≥ 2 ⇔  t ≤ −2 . (*) ⇔ 2t + 5t = 0 ⇔ t = − ∨ t = 0 (loại)


2
5
sin x cos x
5
1
+
= − ⇔ 2(sin 2 x + cos 2 x ) = −5 sin x cos x ⇔ sin 2 x = − = sin α
Khi t = − ⇔
2
cos x sin x
2
5
 2x = α + k2π
α
π α
⇔
⇔ x = + kπ ∨ x = − + kπ (k ∈ Z)
2
2 2
 2x = π − α + k2π
Điều kiện : sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin 2 x ≠ 0 ⇔ x ≠

38. (sin x + cos x) −
3

2(1 + sin 2x) + sin x + cos x − 2 = 0

⇔ (sin x + cos x)3 − 2(sin x + cos x)2 + sin x + cos x − 2 = 0
π


đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  . điều kiện: t ≤ 2 .
4

Phương trình trở thành : ⇔ t 3 − 2t 2 + t − 2 = 0 ⇔ (t − 2)(t 2 +1) = 0 ⇔ t = 2
39. 2(sin x + cos x) = tgx + cot gx
sin x cos x
⇔ 2(sin x + cos x) =
+
⇔ 2(sin x + cos x)sin x cos x = 1
cos x s inx
π

đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  . điều kiện: t ≤ 2 .
4

3
Phương trình trở thành : ⇔ t − t − 2 = 0 ⇔ (t − 2)(t 2 + 2t +1) = 0 ⇔ t = 2
40. sin 3 x + cos3 x = sin 2x + sin x + cos x
⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = 2sin x cos x + sin x + cos x
21


π
t2 − 1

đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  ⇒ sin x cos x =
. điều kiện: t ≤ 2 .
4
2


3
2
2
Phương trình trở thành : t + 2t − t − 2 = 0 ⇔ (t + 1)(t + 2t − 5) = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = − 2 (loại ) ⇔ t = 1
41. cos x +

1
1
10
+ sin x +
=
cos x
sin x 3

1

 10
⇔ (sin x + cos x)  1 +
=
 sin x cos x  3
π
t2 − 1

đặt t = sin x + cos x = 2 cos  x −  ⇒ sin x cos x =
.
4
2

điều kiện: t ≤ 2 .Phương trình trở thành :
3t 3 − 10t 2 + 3t + 10 = 0 ⇔ (t − 2)(3t 2 − 4t − 5) = 0 ⇔ t = 2 ∨ t =

2 − 19
2 + 19
∨t=
(loại)
3
3

42. (cos 4x − cos 2x) = 5 + sin 3x
VT = (cos 4x − cos 2x)2 = (2 sin 3x sin x)2 = sin 2 3x sin 2 x ≤ 4 . VP = 5 + sin 3x ≥ 4
Vậy phương trình tương đương với hệ :
sin 2 3x sin 2 x = 1
sin 2 x = 1
cos x = 0
π
⇔
⇔
⇔ x = + k2π


2
sin 3x = −1
sin 3x = −1
sin 3x = −1
2

43. (cos 4x − cos 2x) = 5 + sin 3x
VT = (cos 4x − cos 2x)2 = (2 sin 3x sin x)2 = sin 2 3x sin 2 x ≤ 4 . VP = 5 + sin 3x ≥ 4
Vậy phương trình tương đương với hệ :
sin 2 3x sin 2 x = 1

sin 2 x = 1
cos x = 0
π
⇔
⇔
⇔ x = + k2π

2
sin 3x = −1
sin 3x = −1
sin 3x = −1
2

44. sin x + cos x = 2(2 − sin 3x)
π

VT = sin x + cos x = 2 sin  x +  ≤ 2 . VP = 2(2 − sin 3x) ≥ 2
4

Vậy phương trình tương đương với hệ :
π

 
π
π
x = + k2π


sin  x +  = 1
 x = + k2π


4
⇔
⇔
vô nghiệm
4
4
 
π
m2
π
2 − sin 3x = 1
sin 3x = 1
x = +


6
3
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
45. sin13 x + sin14 x = 1
⇔ sin13 x + sin14 x = sin 2 x + sin 2 x . Vì cos x ≤ 1 ⇒ cos13 x ≤ cos2 x ; sin x ≤ 1 ⇒ sin14 x ≤ sin 2 x
Vậy sin13 x + sin14 x ≤ 1 . Dấu đẳng thức xảy ra khi:
π

 cos13 x = cos2 x
cos2 x(cos11 x − 1) = 0
x = + kπ
cos x = 0 cos x = 1
mπ


⇔ 2
⇔
∨
⇔
⇔x=
2
 14
2
12

2
sin x = ±1 sin x = 0
sin x = sin x
sin x(sin x − 1) = 0
 x = k2π
46. sin x + cos x =

2 (2 − sin 3x ) (1)

π

VT = sin x + cos x = 2 cos  x −  ≤ 2
4

VP = 2 (2 − sin 3x ) ≥ 2 (2 − 1) = 2

22




π

 
π
 
π
 2 cos  x − 4  = 2
 cos  x −  = 1
cos  x −  = 1
⇔ 
⇔ 


4
4
Vậy (1) ⇔ 
 2(2 − sin 3x) = 2
2 − sin 3x = 1
sin 3x = 1



π
π
(1) ⇔ x − = k 2π ⇔ x = + k 2π ( k ∈ Z)
4
4
3π
2
 3π


=
≠1
thế vào (2) ta có : sin 3x = sin  + k6π  = sin
4
2
 4

Vậy phương trình vô nghiệm

(1)
(2)

47. (cos 4 x − cos 2 x ) = 5 + sin 3x
2

VT = (−2 sin 3x sin x ) 2 = 4 sin 2 3x sin 2 x ≤ 4 . VP = 5 + sin 3x ≥ 5 − 1 = 4
4 sin 2 3x sin 2 x = 4 ⇔ sin 2 3x sin 2 x = 1 ⇔ sin 2 x = 1 ⇔ sin x = ±1
Vậy (1) ⇔ 5 + sin 3x = 4
sin 3x = −1
sin 3x = −1 3 sin x − 4 sin 3 x = −1




π
Khi sin x = 1 ⇔ x = + k 2π (k ∈ Z)
2
thế vào (2) ta có : sin 3x = 3 − 4 = −1 thỏa mãn
π

Khi sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π (k ∈ Z)
2
sin
3
x
= −3 + 4 = 1 ≠ −1 không thỏa
thế vào (2) ta có :
π
Vậy nghiệm của phương trình là : x = − + k 2π (k ∈ Z)
2
48. . 5 + sin 2 2x = sin x + 2 cos x (1)
VT = 5 + sin 2 2 x ≥ 5 Dấu bằng xảy ra ⇔ sin2x = 0 ⇔ x =

(1)
(2)

kπ
(k ∈ Z) (*)
2

VP = sin x + 2 cos x ≤ 1 + 4 sin 2 x + cos 2 x = 5
sin x cos x
1
=
⇔ tgx =
Dấu bằng xảy ra ⇔
(**)
1
2
2

Thế (*) vào (**) không thỏa nên phương trình vô nghiệm
49. 3 sin 2 x − cos 2 x +

3 sin x + cos x = 4 (1)

3
1
3
1
sin 2 x − cos 2 x +
sin x + cos x = 2
2
2
2
2
π
π
π
π
π
π


⇔ cos sin 2x − sin cos 2x + sin sin x + cos cos x = 2 ⇔ sin  2x −  + cos  x −  = 2 (*)
6
6
3
3
6
3



π
π


Vì sin  2x −  ≤ 1 và cos  x −  ≤ 1 nên (*)
6
3


 
π
 
π
  2π π

 π
sin  2x −  = 1
sin 
− + k4π  = 1
sin  2x − 6  = 1


sin 2 = 1
π
 

 
  3 6

6

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ x = + k2π
3
cos  x − π  = 1
x = π + k2π
x = π + k2π
x = π + k2π


 
3

3
3
3


π
Vậy nghiệm của phương trình là : x = + k 2π (k ∈ Z)
3
50. cos 2 x cos x = 1
1
⇔ (cos 3x + cos x ) = 1 ⇔ cos 3x + cos x = 2 (*)
2
(1) ⇔

23


Vì cos 3x ≤ 1 và cos x ≤ 1 nên (*)
cos x = 1
⇔ cos x = 1 ⇔ 
⇔ cos x = 1 ⇔ cos x = 1 ⇔ x = k 2π (k ∈ Z)
3
cos
3
x
=
1

4 cos x − 3 cos x = 1 4 − 3 = 1
51. cos 2 x = x 2 + 1 (*)

x 2 + 1 = 1
x = 0
Vì cos 2x ≤ 1 và x 2 + 1 ≥ 1 nên (*) ⇔ cos 2x = 1 ⇔ cos 0 = 1 ⇔ x = 0


Vậy nghiệm của phương trình là : x = 0
52. cos 3x + cos x = −2 (*)
Vì cos 3x ≥ −1 và cos x ≥ −1 nên (*)
cos x = −1
⇔ cos x = −1 ⇔ 
⇔ cos x = −1 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π (k ∈ Z)
3

cos
3
x
=
−
1
4
cos
x
−
3
cos
x
=
−
1

− 4 + 3 = −1

53. cos x + 2 cos x + tg x + 1 = 0
cos x = −1
⇔ (cos x + 1)2 + tg2 x = 0 ⇔ 
tgx = 0
⇔ cos x = −1 ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π
sin x = 0
2

2

(k ∈ Z)

2
2
54. 4sin x − 2 3tgx + 3tg x − 4 sin x + 2 = 0

⇔ 4 sin 2 x − 4sin x + 1 + 3tg2 x − 2 3tgx + 1 = 0
sin x = 1/ 2 (1)
⇔ (2sin x − 1)2 + ( 3tgx − 1)2 = 0 ⇔ 
tgx = 3 / 3 (2)
π
5π
π
(1) ⇔ x = + k2π ∨ x =
+ k2π (k ∈ Z) thế vào (2) ta có nghiệm x = + k 2π , (k ∈ Z)
6
6
6
2
55. x − 2x sin x − 2 cos x + 2 = 0
⇔ x 2 − 2x sin x + sin 2 x + cos2 x − 2 cos x + 1 = 0
⇔ ( x − sin x ) 2 + (cos x − 1) 2 = 0 ⇔ x = sin x ⇔ x = sin x ⇔ k 2π = sin k 2π = sin 0 = 0 ⇔ x = 0
cos x = 1
 x = k 2π
x = k 2π
Vậy nghiệm của phương trình là :x = 0

x2
56. cos2x = 1 +
2
⇔

x = 0
x2
x2
+ (1 − cos 2x) = 0 ⇔
+ 2sin 2 x = 0 ⇔ 
⇔x=0
2
2
sin x = 0

57.Đại học An Giang khối D năm 2000

sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x =

3
2

⇔ cos 2x + cos 4x + cos 6x = 0 ⇔ cos 4x(2 cos 2x + 1) = 0
1
π kπ
π
⇔ cos 4x = 0 ∨ cos 2x = − ⇔ x = +
∨ x = ± + kπ
2
8 4
3
58. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999

π

1
1

2 2 sin  x +  =
+
4  sin x cos x


π  sin x + cos x
π


⇔ 2 2 sin  x +  =
⇔ 2 2 sin  x +  =
4
sin x cos x
4



24

π

2 sin  x + 
4

sin x cos x


π

 2 sin  x + 4  = 0


⇔
⇔
1

 2 = sin x cos x

 
π
 
π
sin  x + 4  = 0
sin  x + 4  = 0



 
⇔
 sin x cos x ≠ 0
 sin 2x ≠ 0


 2sin x cos x = 1
 sin 2x = 1


π
 π
 x = − 4 + kπ ⇒ sin 2x = sin  − 2  = −1 ≠ 0



π
⇔  sin 2x ≠ 0
⇔ x = ± + kπ
4

 sin 2x = 1 ⇔ 2x = π + 2kπ ⇔ x = π + kπ
 
2
4
59.Học Viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 1999

cos x + cos 2x + cos3x + cos 4x = 0

5x
x
5x
x
.cos = 0 ⇔ cos x = 0 ∨ cos
= 0 ∨ cos = 0 .
2
2
2
2

π
π 2kπ
⇔ x = + kπ ∨ x = +
∨ x = π + 2kπ
2
5
5
60. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998
⇔ 4 cos x.cos

sin3 x + cos3 x = 2(sin 5 x + cos5 x)
⇔ (sin3 x + cos3 x)(sin 2 x + cos2 x) = 2(sin 5 x + cos5 x)
⇔ sin 3 x cos2 x + sin 2 x cos3 x = sin 5 x + cos5 x ⇔ sin 3 x(cos 2 x − sin 2 x) = cos3 x(cos2 x − sin 2 x)
 cos 2x = 0
 cos 2x = 0
 cos 2x = 0
π kπ
⇔ co2x sin3 x = cos 2x cos3 x ⇔  3
⇔
⇔
⇔x= +
3
4 2
sin x = cos x
 tgx = 1
sin x = cos x
61. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1998

sin 2 x = cos2 2x + cos2 3x

1 − cos 2x 1 + cos 4x 1 + cos 6x
=
+
⇔ (cos 2x + cos 4x) + (1 + cos 6x) = 0
2
2
2
⇔ 2 cos3x cos x + 2 cos2 3x = 0 ⇔ 2 cos3x(cos x + cos3x) = 0 ⇔ 4 cos3x.cos 2x.cos x = 0
π kπ
π kπ
π
⇔ cos3x = 0 ∨ cos 2x = 0 ∨ cos x = 0 ⇔ x = +
∨x= +
∨ x = + kπ
6 3
4 2
2
62. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 1999
⇔

sin 6 x + cos6 x = 2(sin 8 x + cos8 x)
⇔ sin 6 x(1 − 2sin 2 x) + cos6 x(2 cos2 x − 1) = 0
⇔ cos 2x(sin 6 x + cos6 x) = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x =
63. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 1999

π kπ
+
4 2

sin x − cos x + sin x + cos x = 2 .

Bình phương 2 vế ta được cos 2x = 1 ⇔ sin 2x = 0 ⇔ x =
64. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B năm 2000

cos6 x − sin 6 x =

kπ
2

13
8

⇔ cos 2x(2 cos2 2x − 13 cos 2x + 6) = 0
1
π kπ
π
⇔x= +
∨ x = ± + kπ
2
4 2
6
65. Đại học Quốc Gia Hà Nội khối D năm 2000
⇔ cos 2x = 0 ∨ cos 2x = 6 (loại) ∨ cos 2x =

25