Luận văn các hàm điều hoà, dưới điều hoà và trên điều hoà

1


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
TR Ư Ờ NG Đ Ạ I HỌC s ư PH Ạ M H À NỘ I 2

ĐÀO TH I HƯƠNG

CÁC H ÀM Đ IỀ U HÒA, DƯỚI Đ lỀ ư HÒA
VÀ T R Ẽ N Đ IỀ U HÒA

LU Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC

H à N ộ i, 2016


BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘI 2

ĐÀO THI HƯ ƠNG

CÁC H ÀM Đ IỀU HÒA, DƯỚI Đ IÊU HÒA
VÀ T R Ê N Đ IỀU HÒA

L U Ậ N V Ă N TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC
C h u yên ngành: T oán giải tích
M ã số : 60 46 01 02

N gư ờ i hư ớng dẫn kh oa h ọc
P G S .T S . H à T iến N g o ạ n

H À N Ộ I, 2016


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn, người
thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn
th àn h luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học, các
thầy, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,
động viên để tôi hoàn th àn h luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đ à o T h ị H ương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PGS. TS. Hà Tiến
Ngoạn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: " C á c h à m đ i ề u
h ò a , d ư ớ i d i ề u h ò a v à t r ê n đ i ề u h ò a " được hoàn th àn h bởi sự nhận
thức và tìm hiểu của bản th ân tác giả.
Trong quá trìn h nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừ a
những kết quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Đ à o T h ị H ương

i

M ục lục

M ở đầu
1

1

C ác tín h ch ất củ a hàm đ iều h òa, dưới đ iều h òa và trê n đ iều
hòa

2

4

1.1

Các định lý về giá trị trung b ì n h ................................................

6

1.2

Các nguyên lý cực đại yếu và m ạnh

.........................................

8

1.3

Bài toán Dirichlet. T ính duy nhất của n g h iệ m ........................

10

1.4

Biểu diễn G r e e n ...............................................................................

12

1.5

Nghiệm của bài toán Dirichlet trong hình c ầ u ........................

16

1.6

B ất đẳng thức Harnack đối với hàm điều h ò a ........................

19

1.7

Các đánh giá bên trong miền đối với hàm điều h ò a ....................20

1.8

Mở rộng lớp hàm dưới điều hòa và trên điều h ò a ......................21

T ín h giải được củ a b ài to á n D ir ic h let đ ối với hàm đ iều h òa 23
2.1

Các hàm dưới đối với m ột hàm xác định trên biên. Phương
pháp P e r r o n ......................................................................................

23

2.2

Hàm rào cản tại m ột điểm trên b i ê n .........................................

24

2.3

Điểm biên chính quy. Điều kiện cần và đủ cho tính giải được
của bài toán D ir ic h le t.....................................................................

2.4

Điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán Dirichlet. Điều
kiện hình cầu n g o à i ........................................................................

2.5

25

26

Điều kiện cần và đủ để m ột điểm trên biên là chính quy . . 28


29

K ế t luận

30

Tài liệu th a m khảo

11


1

M ở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết hàm điều hòa là m ột bộ phận quan trọng trong lý thuyết
phương trình đạo hàm riêng. Song, các giáo trìn h hoặc sách chuyên khảo
về phương trình đạo hàm riêng thường chỉ tập trung vào nghiên cứu các
hàm điều hòa m à không hề xét tới các hàm số liên quan m ật thiết với
chúng như hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa. Việc mở rộng đối
tượng nghiên cứu là rấ t quan trọng, bởi vì hàm điều hòa sẽ có tấ t cả các
tín h chất của hai loại hàm này.
Luận văn trình bày các Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại
yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa.

T ừ các nguyên lý này dễ dàng suy ra được tính duy nhất nghiệm của bài
toán Dirichlet đối với hàm điều hòa, đồng thời cho phép chứng minh các
đánh giá độ lớn đối với hàm điều hòa và các đạo hàm của nó.
Luận văn cũng trình bày áp dụng các hàm dưới điều hòa vào việc nghiên
cứu tính giải được của bài toán Drrichlet đối với hàm điều hòa trong một
miền giới nội. Cụ thể, luận văn sẽ đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các
điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải
được.


2. M ục đích nghiên cứu
Luận văn nhằm mục đích trìn h bày m ột cách hệ thống các tính chất
định tính như Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối với
các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa, đồng thời
trìn h bày việc áp dụng các hàm điều hòa dưới nhằm đưa ra điều kiện cần
và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm
điều hòa là giải được.

3. N hiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ chính của nghiên cứu là trình bày m ột cách hệ thống các tính
chất định tính như Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên lý cực đại yếu đối
với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa, đồng thời
đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các điểm trên biên của miền để bài toán
Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiền cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là Nguyên lý cực đại m ạnh và Nguyên
lý cực đại yếu đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên
điều hòa, đồng thời đưa ra điều kiện cần và đủ đối với các điểm trên biên
của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải được.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn dùng các công cụ của Giải tích toán học đối với hàm của một
hoặc nhiều biến số và của Giải tích hàm tuyến tính.

2


6. D ự kiến đóng góp mới
Luận văn là m ột tài liệu tham khảo và bổ sung của lý thuyết định tính
đối với các hàm điều hòa, hàm dưới điều hòa và hàm trên điều hòa như
các Nguyên lý cực đại m ạnh và yếu, các điều kiện cần và đủ đối với các
điểm trên biên của miền để bài toán Dirichlet cho hàm điều hòa là giải
được.

3


4

Chương 1
Các tín h chất của hàm điều hòa,
dưới điều hòa và trên điều hòa
Cho íỉ là m ột miền trong R n và u là m ột hàm trong ơ 2(íỉ). Laplacian
của u , kí hiệu là A u được định nghĩa bởi:
( 1. 1)
3=

Hàm u được gọi là hàm điều hòa (dưới điều hòa, trên điều hòa) trong íì
nếu nó thỏa mãn:

A u (x) = 0 (A u (x) > 0, A u (x) < Q),\/x e fĩ

(1.2)

N h ậ n x é t 1.1
1. Hàm u ị x ) là hàm dưới điều hòa khi và chi khi —u ( x ) là hàm trên điều
hòa.
2. Hàm u ( x ) là hàm điều hòa khi và chỉ khi u (x) vừa là hàm dưới điều hòa
vừa là hàm trên điều hòa
V í d ụ 1.1. Trong R 2 với x , y ẽ K ta có
a. Hàm u =

X2

— y 2 là m ột hàm điều hòa vì:
du

d 2u

Suy ra A u = 2 — 2 = 0

du

d 2u

= -2


b. Hàm u = X 2 + 2 y 2 là m ột hàm dưới điều hòa vì:

du
d 2u
du
d 2u
X = 2x; A-A = 2 và ^ - = 4y\ ị - ị = 4
ơa:
dx2
dy
dyz
Suy ra A u = 2 + 4 = 6 > 0
c. Hàm u =

X2

— 8?/2 là m ột hàm trên điều hòa vì:

du
d 2u
du
d 2u
=
2;
và
^
=
-1
6
y
;
dAx = 2x] ơar

ơy
dy2
Suy ra A u = 2 — 16 = —14 < 0
Trong chương này chúng ta ph át triển m ột số tính chất cơ bản của hàm
điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa, m à chúng ta sử dụng để nghiên
cứu tính giải được của bài toán Dirichlet cổ điển cho phương trình Laplace
A u = 0. Phương trìn h Laplace và dạng không thuần nhất của nó, phương
trìn h Poisson, là mô hình cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính.
Điểm xuất phát của chúng ta là Định lý phân kỳ nổi tiếng trong Mn.
Cho Í2 là m ột miền với c 1 biên ỡ íỉ và cho V = (ưị, Ư2 , ..., Vn) là m ột vectơ
pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài ỚÍ2. w = (wi, W2,..., wn) là trường vectơ
bất kỳ trong c 1 (ỉĩ), chúng ta có:
/ d iv w d :r = J w . ư d S ,
Í2

(1.3)

díì

71 d Wj
n
d iv w = X)
w -ỉ' =
Wj.ỉ*, d S là phần tử diện tích
3= 1 9 x j
j=i
trên m ặt cong ịn — 1) chiều trong dQ. Đặc biệt nếu u là m ột hàm trong
trong đó:

ơ 2(íỉ) chúng ta có, nếu lấy w = D u trong (1.3),

Ị A u dx
n
trong đó D u =

du

I D u. V d S =
d íì

du

d x 1 ’ d x 2’

(1.4)
d íì

du\
dxn) '
5


V í d ụ 1 . 2 . G iả sử

íì = B r {0 )

c Rn

B r (0) = {íc € Mn : |:c| < R }
d íì = S R {0) = {ĩ

ễ

R " : \x \ = R }

Lấy X € ỠÍ2. Khi đó:
1

1

Ta có:

B,
và

Br {0)

1.1

Sr (0) j - 1

Các định lý về giá trị trung bình

Định lý đầu tiên là hệ quả của công thức (1.4) chứa tính chất nổi tiếng
của hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa.
Đ ịn h lý 1.1. ([1]) Cho u G

c2(íì) thỏa mãn A u =

0 (> 0, < 0) trong n .

Khi đó với bất kỳ hình cầu B = B R (y) c c rỉ, chúng ta có
(1.5)
dB
( 1 . 6)

B
trong đó uin là thể tích hình cầu đơn vị trong Mn.
N h ậ n x é t 1.2

6


Với hàm điều hòa, Định lý 1.1 khẳng định rằng giá trị của hàm tại tâm
của mọi hình cầu B luôn bằng giá trị trung bình trên cả m ặt cầu d B và
hình cầu B . Kết quả này gọi là Định lý giá trị trung bình, thực ra đó là
tính chất đặc trưng của hàm điều hòa, dưới điều hòa và trên điều hòa.
Chứng minh. Lấy P G (0; R ) và áp dụng công thức (1.4) với hình cầu
Bp = Bp(y). Chúng ta nhận được

/

dS = /

dBp

A u dx = (> , < ) 0.

Bp

'
I
I
x ~ y
'
/ \
/
.
Ta đưa vào hệ tọa độ câu r = \x — y \ , CƯ= ------- và viêt u{x) = u (y + ruj),
r
chúng ta có

Ị dỉuẩS=ídBp d^ (v+iM)ẩS=i,n~l|w|/= l

dBp

=Pn l Q~ /

u ( y + puj)d(B =

p l ~n

|w| = l
= ( > ,< ) 0 .

L

Do đó với bất kỳ p E (0; R ) ta có,
p l ~n

J u d S = ( < , > ) ß 1“ n J I

ÕBP

ÕBR

M ặt khác
lim p l ~n / u d S = ruvnu (y)
p—
>0
J
dBp

từ đó suy ra hệ thức (1.5). Chúng ta viết (1.5) ở dạng
noú. »,p1 nu { y ) = ( < , > )

J udS,
ÕBP

7

p < R

J udi.

dB


và lấy tích phân hai vế theo p với p đi từ 0 đến R ta có hệ thức (1.6) được

□

chứng minh.

1.2

Các nguyền lý cực đại yếu và mạnh

T ừ Định lý 1.1 nguyên lý cực đại m ạnh cho hàm dưới điều hòa, hàm
trên điều hòa và nguyên lý cực đại yếu cho hàm điều hòa có thể suy ra.
Đ ịn h lý 1.2. ([1]) (Nguyên lý cực đại mạnh)
Giả sử A u > 0 (< 0) trong Q và giả sử tồn tại một điểm y G íỉ sao cho
u(y) = sup u ( inf u ). Khi đó u là hằng số.

n

V^ /

Chứng minh. Giả sử A u > 0 trong ÍỈ, M

= supw và ta đặt f Im =
n
{ x £ íỉ |w(x) = M } . T ừ giả thiết suy ra ÍI m khác rỗng. Hơn nữa do u
là liên tục, Q,M là tập đóng trong íì. Lấy z là m ột điểm bất kỳ trong O.M
và ứng dụng công thức về giá trị trung bình (1.6) với hàm dưới điều hòa
u — M trong m ột hình cầu B = B R( z ) c c íỉ. Do đó chúng ta đạt được

B

Từ đó suy ra u = M trong B R (z). Do đó ÍỈM cũng là mở tương đối trong

íì. Vì vậy ÍÌ m = í l
Kết quả của hàm trên điều hòa có được bằng cách thay u bởi —u.
Giả sử A u < 0 trong íỉ và 3y G

sao cho

u(y) = inf u
Đ ặt
V = —u
Khi đó
A v = —A u > 0,
8


V (y ) = —u (y ) = —inf u = s u p ( - u ) = sup V.
ũ
n
n
Theo chứng minh trên ta có v{x) = c o n st, do đó u ( x ) = const.

□

Nguyên lý cực đại m ạnh ngay lập tức kéo theo nguyên lý cực đại yếu
sau đây.
Đ ịn h lý 1.3. ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu đối với hàm dưới điều hòa)
Giả sử u ẽ c 2(fỉ) n c ° ( í ỉ ) và A u > 0 trong íỉ. Khi đó
supw = su p ư .

(1.7)

dữ

n

Chứng minh. Nếu u ( x ) = const th ì u ( x ) thỏa m ãn (1.7).
Giả sử u (x) không là hằng số. Ta chứng minh nó thỏa m ãn (1.7).
T h ật vậy, giả sử u (x) không thỏa m ãn (1.7), tức là:
sup u > sup u
dfi

íĩ

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của u (x) trên

phải đạt được tại y G fỉ.

Khi đó theo Định lý 1.2 th ì hàm u (x) phải là hằng số. Điều này trá i với
giả thiết, tức là (1.7) phải được thỏa m ãn.

□

Đ ịn h lý 1.4. ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu đối với hàm trên điều hòa)
Giả sử u G C 2(Q) n c ° ( í ỉ ) và A u < 0 trong Q. Khi đó
inf u = inf u.
n

d íì

(1.8)

Chứng minh. Đ ặt v (x ) = —u(x), A u < 0 nên A u > 0. Do đó:
sup
Í2

V

= sup
ỡíĩ

V

mà:
—inf u = sup (—u) = sup (—u) = —inf u
ũ
n
au
ỡíĩ
nên suy ra điều phải chứng minh.

□
9


Đ ịn h lý 1.5. ([1]) (Nguyên lý cực đại yếu)
Giả sử u ẽ c 2(fỉ) n c ° ( í ỉ ) và A u = 0 trong íì. Khi đó
sup u = sup u
íì
Ỡf2
và

(1.9)
inf u = inf u.
íì
díì

Do đó, đối với hàm điều hòa u (x) ta luôn có
inf u < u ( x ) < su p ư .a: G íỉ.
dũ
dấ

1.3

Bài toán D irichlet. Tính duy nhất của nghiệm

B à i to á n D iric h le t: Tìm hàm u ( x ) € ơ 2(íì)

n ơ ° ( íì)

sao cho

A u = f ( x ) trong n

(1.10)

u (x) =
(1.11)

trong đó f ( x ) là hàm số được cho trước trong Q và ip(x) là hàm số cho
trước trên ỡ íỉ.

Đ ịn h lý 1.6. ([1]) Giả u ( x ) , v ( x )

Gơ 2(íì) n ơ ° ( íì)

và thỏa mẫn các điều

kiện sau
A u ( x ) > A v ( x ) , Va: e ÍỈ

(1.12)

u (x) < v(x), Va: € ỡ íỉ

(1.13)

u (x) < v(x ), Va: €

(1.14)

Khi đó

Chứng minh. Đ ặt
w(a:) = u (x) — f(a:)
10


K hi đó

A w (i) = A u (x) — A v ( x ) > 0 , Mx £ ÍỈ
w (x ) = u ( x ) — u(:r) < 0 , Væ £ ỚÍỈ

Do đó
supw (æ ) = supw (æ ) < 0
il

ỠÍ1

Từ đó suy ra
w (x ) < 0 , Væ G ÍỈ
hay
u (x) < v(x ), Vx £ Q

□
Đ ịn h lý 1.7. ([1]) Giả u ( x ) , v ( x ) £

c2(íì) n ơ°(fĩ) vồ thỏa mãn

các điều

kiện sau
A u ( x ) < A v ( x ) , Væ £ íỉ

(1.15)

w(x) > u(æ), Væ € ỡ íỉ

(1.16)

u ( x ) > v(x ), Vx £ n

(1.17)

Khi đó

Chứng minh. Đ ặt
—w (x) = u (x) — u(x)
Theo Định lý 1.6 ta có
sup (—w (æ)) = sup (—w (æ)) < 0
il

ỠÍ1

—inf w (æ) = sup (—w (æ)) = sup (—w (æ)) = —inf w(x) < 0
n
Í1
ỠÍ1
dçi
11


Từ đó suy ra

inf w (x ) = inf w (x)
á
dn

□
Một định lý duy nh ất cho bài toán Dirichlet cổ điển cho phương trình
Laplace và phương trình Poisson trong miền bị chặn là các Định lý 1.3, 1.4
và 1.5
Đ ịn h lý 1.8. ([1]) (Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet)

Giả u,

V

e Ơ 2(Í2) n ơ ° (fỉ) thỏa mãn A u = A v trong

Khi đó u =

V

u —

V

trên ÔÍ2.

trong íì.

Chứng minh. Lấy w = u — V. Khi đó Aw = 0 trong n và w = 0 trên ô n .
Theo Định lý 1.5 ta có w = 0 trên

n.

□

T ừ các Định lý 1.3 và 1.5, chúng ta có nếu u và
hòa và dưới điều hòa với V < u trên biên

1.4

V

ỡn th ì V <

lần lượt là hàm điều
u trong

n.

Biểu diễn Green

Trước hết chúng ta suy ra các hệ quả của Định lý phân kỳ, cụ thể đó là
công thức Green. Lấy
u và V là các

n là miền theo đó Định lý phân kỳ được thỏa mãn,

ơ2(n) hàm.

Chúng ta chọn w = v D u trong công thức (1.3)

và nhận được công thức Green thứ nhất:

Ị vAudx + /
f2

D u.D vdx =

Í2

J v — dS.

(1.18)

ỡíĩ

Đổi chỗ V và u trong (1.18) và trừ đi cho nhau, chúng ta thu được công
thức Green thứ hai:
(1.19)

12


Phương trình Laplace có nghiệm đối xứng xuyên tâm r 2_n với n > 2 và
lo g r với n = 2, r là khoảng cách từ gốc tọa độ đến m ột điểm cố định. Để
tiến triển xa hơn từ (1.19) chúng ta cố định m ột điểm y trong Í2 và đưa
vào nghiệm cơ bản của phương trình Laplace.
í ĨÕZT
” y\2~n ’ n > 2
r (x - y) = r (\x - 3/ 1) = <Ị ” (2 “
ì 2 l o g |z - y |,
n = 2

( 1 .20 )

trong đó Lún là thể tích hình cầu đơn vị trong R n.
Ta có X = {xu x 2ì . . . , x n) , y = (ĩ/1 , í/2 , - ,ỉ / n ) thì
|z - 2/1 = V (®1 - y i )2 + {x2 - ỉ/2)2 + ••• + (Zn - yn)2
Khi đó các đạo hàm (theo biến X) có biểu thức sau
DịY ( x - y ) =

—

ĨỈU)n

{Xị

D ịjT ( x - y ) = ——
ĩi0Jn

-

I |z

yị) \x

-

- y |2

y|“ n ;

- n ( x i ~ yi ) p - - ỉ/j) j |x - y |'

n—2
(

1. 21 )

trong đó

*7

1
0

{

khi ¿ j
khi Z 7^ _7

Ta có:
A ¿ r ( x - y ) = — ÍỊa: - y |2 - n {Xi - y ì ỷ \ \x - y\
nu)n <
J

—TI—2

nen

Ar =

ĩiu)n *•

|z - y |2 - ra \{xị - y i)2 + ... + (xn - yn)2j } \x - 3/1 n 2
L
JJ

0

13

Rõ ràng r là hàm điều hòa khi X ^ y. Vì mục đích sau này chúng ta có
các đánh giá đạo hàm:
\Dịr ( z - y)\ < —

\x - y ị 1 n;

TiUJn

\DịjT{x - y)\ < — \x - y\~n.

(L22)

\D “T ( x - »)| < c \ x - y\2- n- ]n, C = C ( n , 101) .
T ính kỳ dị tại X = y ngăn cản chúng ta sử dụng r ở vị trí của V trong
công thức Green thứ hai. Một cách để vượt qua khó khăn này là thay
bởi íỉ — Bp ở đây Bp = Bp( y ) với p đủ nhỏ. Chúng ta có thể kết luận từ
(1.19) rằng

/

= / (r! - “3 ds+I (rẫ - “3 ds- ^

Ĩl-Bp

dũ

dBp

ở đây
f

du

f du

Ị r3 s=r w
9BP

dBp

< nujnpn~l Y (p) sup \Du\ —>• 0 khi p —> 0
Bp
X —y
và u = ---------- , ( u là vec tơ pháp tuyến hướng ra ngoài íỉ — Bp )
nên
ÔT _ - A
du

3= 1

ar _ A
ựj' d x j

3

—— {Xj - y ỗ) \ x - y \ n
nojn

i—

3= 1

1
TUOnp1+n

(x i - Vj)2
3= 1

1
nu)npn~l

14


D o đó

udS

h i vỉs = - r ^ Ị
ÕBP

dBp

-1
nujnpri

- /

u d S —¥ —u ( y ) khi p —V 0.

dBp

Hơn nữa để cho p dần đến 0 trong (1.23) chúng ta nhận được công thức
biểu diễn Green:
u (:y ) =

J

(x-y)-T (x-y) ^

dS+

díì

Ị r(x -

y ) A u d x , (y
íĩ
(1.24)

Cho u là hàm điều hòa chúng ta cũng thu được biểu diễn
u(y) =

Ị

(u^- (x -y )-T { x -y ) ^

d S , (y
(1.25)

an
Bây giờ giả sử rằng h( x) ẽ c ^ í ỉ )

n ơ 2(íỉ)

thỏa m ãn A h ( x ) = 0 trong Q.

Một lần nữa nhờ công thức Green thứ hai (1.19) chúng ta đ ạt được
dh
du
u ĩ v - h dv
an
Đ ặt G ( x : y) =

r(:r — y)

)dS=nJ h A u d x = 0.

(1.26)

+ h{ x , y ) và thêm vào (1.24) và (1.26) chúng ta

được m ột dạng tổng quát hơn của công thức biểu diễn Green
u (y ) = J ( u ( x ) dGQX , y ^ - G( x, y ) dĩ^ X^

d S x + Ị G{x, y ) A u { x ) d

an

n
- G ( X, y ) 94 ^ ) d Sl

an
(1.27)
Nếu ta thêm điều kiện
G ( x — y) = 0,Vx e ô íỉ
15


tức là
h ( x , y ) = —T( x — y ) , V x E dQ
th ì chúng ta sẽ có
u{y) = Ị ip(x)dGQX' V^d S x

(1.28)

dũ

và hàm G = G ( x , y ) được gọi là hàm Green của bài toán Dirichlet cho
miền í ì, thỉnh thoảng cũng gọi là hàm Green dạng thứ nhất cho íỉ. Từ
Định lý 1.8, hàm Green là duy nhất. Sự tồn tại của hàm Green cho phép
biểu diễn của m ột c ^ í ỉ ) n C 2(Q) hàm điều hòa qua giá trị trên biên ỚÍ2
của nó.

1.5

N ghiệm của bài toán D irichlet trong hình cầu

Khi miền íì là m ột hình cầu thì hàm Green nói ở mục 1.4 có thể được
xác định rõ ràng bằng phương pháp ảnh và dẫn đến tích phân Poisson nổi
tiếng biểu diễn cho hàm điều hòa trong m ột hình cầu. Cụ thể là, giả sử
B r = B r {0) và cho X G B R, X ^ 0 lấy
R2
X = — ¿X
M2

(1-29)

Kí hiệu điểm nghịch đảo của nó đối với B R\ nếu X = 0, lấy X = 00. Dễ
dàng kiểm nghiệm rằng hàm Green cho B R là xác định bởi

G (X, y) =

í r d* -

- r Oế I*- ÿ|) khi v * °
khi y = ũ

ự(H )-r(Â )

= r (v(ịx\2 + |ị/|2- 2xy) - r

ịj (M-1Ể) +

B? - 2xy\
(1.30)

16


cho tấ t cả

X,

y ẽ B R, X ^ y. Hàm G xác định bởi (1.30) có tính chất
G (x,y) = G ( y , x ) ,

G(x, y) < 0 \/x,y E B R

và lại tính toán trực tiếp cho thấy tại

X

(1.31)

e ÕBR đạo hàm theo hướng pháp

tuyến của G là xác định bởi
dG
dự

dG
d\ x \

Hơn nữa nếu u E C 2( B R)

R 2 -\y\\
nu)nR

n C 1( B R)

(1.32)

là điều hòa, chúng ta có công thức

tích phân Poisson
R 2 - \y\2 [ u d S x
u(y) = ---- —
/ I
in •
WjjnR
J \x — y\

(1.33)

dBR

Vế phải của đẳng thức (1.33) được gọi là tích phân Poisson của u. Phép
tính xấp xỉ đơn giản cho thấy rằng công thức tích phân Poisson vẫn đúng
cho u € C 2( B r )

n C ° ( B r ).

Chú ý rằng bằng cách lấy y = 0 chúng ta thu

được ý nghĩa giá trị định lý cho hàm điều hòa. Thực ra tấ t cả các định

lý trước đây của chương này hẳn đã suy ra như m ột hệ quả của biểu diễn
(1.28) với

n

= B r (0).

Để th àn h lập sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet cổ điển cho hình
cầu chúng ta cần kết quả nghịch đảo với biểu diễn (1.33) và chúng ta chứng
minh nó ngay bây giờ.
Đ ịn h lý 1.9. ([2]) Lấy B = B R {0) và (p là hàm liên tục trên ÕB thì hàm
u xác định bởi
ị R 2 - \x \2 . ^ ( y ) ^
u(x) = ị nujnR n~ l dị R \x - y \n
{ ip{x)

khi x e B
khi

thuộc C 2( B) n C ° ( B ) và thỏa mãn A u = 0 trong B .

17

X

G ÕB

(1.34)

^
dG
Chứng minh. Bởi vì hàm G
và do đó hàm —
— là điều hòa theo X , nên hàm
du
u ( x ) được xác định bởi đẳng thức (1.34) là điều hòa trong B . Để chứng

minh tính liên tục của u trên ÕB chúng ta sử dụng công thức Poisson
(1.33) cho hàm u = 1. Ta nhận được đồng nhất thức

/

K ( x , y ) d S y = l,V x e B

(1.35)

dB

đối với mọi

X

€ B, ở đây K là nhân Poisson:
K(x,y) =

R 2 — \x\

(1.36)

mỉ X e B , y e d B .
nujnR \ x - y \

T ất nhiên tích phân trong (1.35) phải được tính trực tiếp nhưng nó là tính
toán phức tạp. Bây giờ lấy

Xo

G d B và £ là dương tùy ý. Chọn ỏ > 0 sao

cho \y*{x) — y>{xo)\ < £ nếu \x — Xo \ < ỏ và lấy \tp\ < M trên ÕB th ì nếu

,

, s

\x — a:0| < — chúng ta có (1.34) và (1.35)

\u(x) - u { x 0)\ = Ị K(x,y){ụ>(y) - 3B

J

Ị

K ( x , y ) \ i p ( y ) - ( p ( x 0) \ dSy +

|y-®o|<5

K ( x , y ) \ip{ỳ) - ip(xữ)\dSy

|y-a:o|>5

2M (i? 2 - |a:|2) R n~2

< e-

í ĩ* ỉ n \ n

Nếu bây giờ \x — Xol là đủ nhỏ, rõ ràng rằng Iu( x) — ư (x 0)| < 2e và hơn
nữa u là liên tục tại

X q.

D o đó

m ẽ

C ° ( B ) và định lý đã được chứng

minh.

□

Chúng ta chú ý rằng đối số có trước là địa phương. Nghĩa là nếu íp là bị
chặn và khả tích trên ÕB và liên tục tại

Xo ,

th ì u( x) —> ụ>(xo) khi

X

—> Xo-

N h ậ n x é t 1.3
Giả sử Sì = B R (y) với y € Mn. Khi đó bằng phép tịnh tiến ta đưa về hình
cầu B r (0).
18