Luận văn đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục trong không gian banach và ứng dụng

BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘ I 2

HÀ THỊ HÒA

Đ Á N H GIÁ SỐ CH IỀU FRACTAL
C Ủ A TẬP H Ú T T O À N c ụ c
TR O N G K H Ô N G G IA N B A N A C H
VÀ Ứ N G D Ụ N G

L U Ậ N V Ă N TH ẠC s ĩ T O Á N HỌC
C h u yên ngành: T oán giải tích
M ã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
P G S .T S C u n g T h ế A n h

H À N Ộ I, 2016


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h và sâu sắc đến PG S.TS Cung
Thế Anh, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn
để tôi có thể hoàn th àn h luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân th àn h tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng
nghiệp đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn th àn h luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

H à T h ị H òa


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của PG S.TS Cung
Thế Anh, luận văn chuyên ngành Toán Giải tích với đề tầi:“Đ á n h g iá số
c h iều f r a c ta l c ủ a tậ p h ú t to à n cụ c tro n g kh ôn g g ia n B a n a c h v à
ứng d ụ n g ” được hoàn th àn h bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản th ân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừ a
những kết quả của các nhà khoa học với sự trâ n trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả

H à T h ị H òa


2

M ục lục

M ở đầu
1

3

Đ á n h giá số ch iều fractal củ a tậ p hú t to à n cục tro n g k h ôn g
gian B a n a ch

2

6

1.1

Tập hút toàn cục

1.2

Khái niệm, tính chất của số chiều fractal

...............................

8

1.3

Định lí về đánh giá số chiều f r a c t a l .............................................

9

M ộ t số ứng

............................................................................

dụng

2.1

Áp dụng cho m ột lớp phương trình vi phân t h ư ờ n g ...............

2.2

Áp dụng cho m ột lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến
tính loại p a ra b o lic ............................................................................

K ế t lu ận
Tài liệu th a m khảo

6

15
15

17
21
22


3

M ở đầu
1. Lí do chọn đ ề tà i
Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm khi thời gian ra vô cùng của
các hệ động lực vô hạn chiều sinh bởi các phương trình đạo hàm riêng phi
tuyến hoặc các phương trình vi phân hàm là m ột bài toán quan trọng và
có nhiều ý nghĩa thực tiễn. Một trong những cách tiếp cận bài toán này
đối với các hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều là nghiên cứu sự tồn tại và
các tính chất của tập hút toàn cục. Đó là m ột tập com pact, bất biến, hút

các tập bị chặn và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của
hệ đang xét. Cụ thể ta có thể xấp xỉ dáng điệu tiệm cận nghiệm của một
quỹ đạo bất kì của hệ đang xét bằng các quỹ đạo nằm trên tập hút toàn
cục.
Một vấn đề quan trọng cần nghiên cứu là đánh giá chặn trên của số
chiều fractal của tập hút toàn cục, bởi vì theo định lí Hõlder-M ané cải biên
ta biết rằng nếu m ột tập hút toàn cục có số chiều fractal hữu hạn thì, về
nguyên tắc, ta có thể chuyển việc nghiên cứu hệ động lực trên tập hút về
nghiên cứu các hệ động lực trong không gian hữu hạn chiều.
Trong những năm qua, đã có nhiều kết quả tổng quát về đánh giá số
chiều fractal của tập hút toàn cục và áp dụng chúng cho tập hút toàn cục
của nhiều lớp phương trìn h đạo hàm riêng cụ thể, xem [6]. Tuy nhiên,
phần lớn các kết quả đã có mới dừng lại trong trường hợp tập hút toàn


4

cục trong không gian Hilbert. Các kết quả về tương ứng trong trường hợp
tập hút toàn cục trong không gian Banach vẫn còn ít. Vì vậy, chúng tôi
chọn vấn đề này làm đề tài nghiên cứu của luận văn.

2. M ụ c đích n gh iên cứu
Nghiên cứu việc đánh giá chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn
cục trong không gian Banach. Áp dụng kết quả tổng quát này để chứng
minh tính hữu hạn chiều của tập hút toàn cục của m ột số lớp phương trình
cụ thể.

3. N h iệ m v ụ n gh iên cứu
• Đ ánh giá chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn cục trong
không gian Banach.

• Áp dụng xét tính hữu hạn chiều của tập hút toàn cục của m ột số lớp
phương trình cụ thể.

4. Đ ố i tư ợ n g và p h ạm v i n gh iền cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục của hệ động lực tiêu hao vô
hạn chiều và số chiều fractal của nó.
• Phạm vi nghiên cứu: Chặn trên của số chiều fractal của tập hút toàn
cục trong không gian Banach. Áp dụng cho tập hút của m ột số lớp phương
trìn h cụ thể.


5

5. P h ư ơ n g p h áp n gh iên cứu
Sử dụng các phương pháp của lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn
chiều.

6. K ế t quả trìn h bày củ a luận văn
• T hiết lập được kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của số chiều
fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach.
• Áp dụng được các kết quả tổng quát để xét tính hữu hạn chiều của
tập hút toàn cục của m ột lớp phương trình vi phân thường và m ột
lớp phương trìn h đạo hàm riêng nửa tuyến tính loại parabolic.


6

Chương 1
Đ ánh giá số chiều fractal của tập
hút toàn cục tron g không gian

B anach
Chương này trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về sự tồn tại
của tập hút toàn cục; khái niệm và các tính chất của số chiều fractal của
tập hút toàn cục; thiết lập kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của
số chiều fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach.

1.1

Tập hút to à n cục

Mục này trình bày các định nghĩa về nửa nhóm liên tục, tập hút toàn
cục, tập hấp thụ và trình bày định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn
cục. Mục này được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [2].

Giả sử X là không gian Banach.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .1 . Một họ các ánh xạ liên tục
S{t) : X ^

X , t > 0,

gọi là m ột nửa nhóm liên tục trên X nếu nó thỏa m ãn các điều kiện sau:
1. 5 (0 ) = Id-


7

2. S ( t + s) = S ( t ) S ( s ) ,V t , s > 0;
3. Với mỗi Xq € X , ánh xạ t I—>■s (ị ) íCo liên tục trên [0; +oo);
4. Với mỗi t > 0, ánh xạ x ữ H-> s (t ) x ữ liên tục trên X .
Đ ịn h n gh ĩa 1.1.2. Tập con khác rỗng A c X gọi là tập hút toàn cục của

nửa nhóm (S'(í) nếu:
1. A là compact;
2. A là bất biến đối với nửa nhóm S { t ) , tức là

S (t) A = A, Ví > 0;
3. A hút mọi tập con bị chặn B c X , tức là với mọi £ > 0, tồn tại

T —T (e, B) sao cho

s (t)B c A Í (A: e) , Ví > T (e, B ) ,
ở đây N (A, £) là £-lân cận của tập A trong X .
T ính chất hút 3. tương đương với điều kiện sau đây: Với mọi tập bị chặn

B cx,

dist (S (t) B, A) —> 0 khi t —>■+00
ở đó dist(E ,F ) là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập E , F c X , xác
định bởi
di s t (E , F ) := sup inf ||a; — y II .
xeE veF

T ừ định nghĩa suy ra tập hút toàn cục A của nửa nhóm
tại là duy nhất.

s

(t ), nếu tồn


8

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.3. Tập bị chặn B ữ c X gọi là m ột tập hấp thụ của nửa
nhóm

s

sao cho

(t ) nếu với b ất kì tập bị chặn B c X , tồn tại thời điểm T = T (B )

s

(t) B c B ữ với mọi t > T (B).

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.4. Giả sử Ả c X . Tập Oú-giới hạn của A được định nghĩa
bởi
UJw

u

= n

S (t)A

s > 0 <-t>s

X

ở đó S ( t ) A = {u = S ( t ) u : u E A } và [E]x là bao đóng của E trong X .

Định lí sau đây là định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục.
Đ ịn h lí 1.1.1. Giả sử nửa nhóm

s

(t ) trong X là liên tục và có m ột tập

hấp thụ compact B q. Khi đó nửa nhóm

s

(t ) có m ột tập hút toàn cục Ả và

A — Oủ ( B q), tập Lú-giới hạn của B q. Hơn nữa, A là tập liên thông.

1.2

K h ái n iệm , tín h ch ất củ a số ch iều fractal

Mục này trình bày khái niệm và tính chất của số chiều fractal. Mục này
được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [1].
Đ ịn h n g h ĩa 1.2 .1 . Giả sử M là m ột tập com pact trong không gian m etric
X . Khi đó, số chiều fractal của M được định nghĩa bởi

d im F M = lim
e—
^0

log 2 N x ( M, e )

logỉd)

= lim

e—>0

ln N x ( M, €)
In ©

ở đó N ỵ (M , e) là số tối thiểu các hình cầu đóng bán kính e cần dùng
để phủ M . Hơn nữa, số H e( M) := log2 N x ( M : e) gọi là Kolmogorov e entropy của M .


9

Định lí sau đây nói về tính chất của số chiều fractal.
Đ ịn h lí 1.2.1. (Tính chất của số chiều fractal )
1. Nếu M l c M 2 thì dim F M ị < dim ^ M 2.
2. d im ^ (M i u M 2) < m ax {dim ^ M l, dim^r M 2}.
3. dim í ’(M 1 X M 2) < dim F M i + dim ^ M 2.
ị . Nếu f : X —> X liên tục Holder với số mũ 6 tức là :

If(x) - f(y)\ < L\ x - y \ 9,
thì
,
d im rM
dim f ( / (M )) < — J — .

1.3

Đ ịn h lí v ề đ án h giá số ch iều fractal

Mục này trình bày định lí về đánh giá số chiều fractal. Mục này được
viết chủ yếu dựa trên tài liệu [3].
Trước khi nghiên cứu định lí ta xét hai bổ đề sau:
B ổ đ ề 1.3 .1 . Nếu

u

là m ột không gian con n chiều của không gian Banach

thực X thì
N x (Bu ( 0 , r ) , p ) < ( n + i r ( f j

,

0 < p < r,

(1.1)

trong đó hình cầu được lấy có thể có tâm trong u . Các kết quả tương tự
đúng trong không gian Banach phức nếu ta thay vế phải của (1.1) bởi bình
phương của nó.


10

Chứng minh. Giả sử K = R. Vì U và

là n chiều nên cIb m (U ,R q0) <

logn: cụ thể, tồn tại m ột đẳng cấu tuyến tính T :

—>

u

sao cho

i m i i m i - ' < n . Vì
0 ,r ) = T T - \ B a (ũ ,r)) Ç T ( B R.J 0 , IIT“ » ) ,
và Bỵ_n (0, ||T _1||r) có thể được phủ bởi

(■ + S

H

-

hình cầu trong
được phủ bởi số

+I

s <» + . > • © '

có bán kính p /||T ||, điều này suy ra B ụ ( 0 :r) có thể

u

- hình cầu bán kính p tương tự. Nếu X là phức ta cần

(1 + (a /ò ))2n b - hình cầu trong C£, để phủ hình cầu bán kính a.

□

Ta kí hiệu £ ( X ) là không gian các phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ
X vào chính nó, /C(x) là không gian con đóng của £ ( x ) chứa tấ t cả các
biến đổi tuyến tính com pact từ X vào chính nó và định nghĩa

£ ,( X ) = {T e £( x) :T = L + c, C e X(X), ||L|Um < A}.
Ta ký hiệu dist(^4, B ) là bán khoảng cách Hausdorff giữa A và B ,
dist(A , B ) = sup ( inf IIa. — b\\x I •
a^A \b£B

J

BỔ đ ề 1.3.2. Cho X ỉà không gian Banach và T G L x / 2{ X) . Khi đó, tồn
tại m ột không gian con hữu hạn chiều z của X sao cho
dist(T[Bx ( 0, 1) ] , T[ BZ ( 0 , 1)]) < A.

(1.2)

Ta kí hiệu ư\ (T) là giá trị nhỏ nhất của n G N sao cho (1.2) đúng với
không gian con n chiều nào đó của X .
Chứng minh. Viết T = L + C với c G ỈC(X) và L G £ ( x ) , với ||¿ ||£(X) <
A/2. Đầu tiên ta sẽ chứng minh với mọi € > 0, tồn tại m ột không gian con


11

hữu hạn chiều z sao cho

dist(C [B x (0,l)],C [B z (0,l)]) < e.
Giả sử có m ột trường hợp không thỏa m ãn. Chọn Xị € X với 11^1 ||x = 1
và cho Zi = sp a n ị x i}. Khi đó,
d is t(ơ [B x ( 0 ,l ) ] ,ơ [ B Zẩ( 0 , l ) ] ) > e ,
và cũng tồn tại X2 ẽ X với 11^2 ||x = 1 sao cho

\\Cx2 - C x i||x > e.
Với z 2 = s p a n { xi , x 2}, ta có thể tìm được X3 với lịa^llx = 1 sao cho
||ơ a ;3 —C x i||x > e

và

IIC x 3 —ơ a^ llx > e.

Tiếp tục quá trìn h quy nạp này, ta có thể xây dựng dãy {¿Ej} với ||xj|| = 1
sao cho

\ \ C x i - C x j ||x > e,

%Ỷh

điều này m âu thuẫn với tính com pact của c .
Bây giờ, cho À < À sao cho 2 ||L ||£(X) < A < À và chọn z sao cho

diat(ơ[B x(0, 1)], C[BZ{0, 1)]) < A - Ã.
Nếu

X

€ B ỵ { 0,1) và z € B z ( 0,1) thì

IIT x - Tz\\x < IIL(x - z)\\x + \\Cx - Cz\\x < Ã + ||ơa; - c ^ ll* .
Nên

dist(T[Bx (0,l)],T [B z (0,l)]) < Ã + dist(C[Bx (0,l)],C [B z (0,l)]) < X.
Ta có điều phải chứng minh.

□


12

Bây giờ ta đi nghiên cứu định lí về đánh giá số chiều íractal.
Đ ịn h lí 1.3.1. (Định lí về đánh giá số chiều ỷractal)
Cho X là không gian Banach, u c X là tập mở và f : u —»■ X là một
ánh xạ khả vi liên tục. Giả sử K là m ột tập compact và X e (o, ị ) ,
D f ( x ) € £ a/2 (X ) với mọi X G K.
Khi đó, n = sup ư x ( Df ( x ) ) và D = sup ||£)/(a:)|| là hữu hạn và
x€K

x€K

.
£>]an
(n + l ) y

N ( D f ( x )[Bx (0 ,1 )],2 A )<

với mọi X G K,

trong đó a = 1 nếu X là thực và a = 2 nếu X là phức. Từ đó suy ra
1

flog((n+ 1)£>/A)1

dinij?(K) < a n I

Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng minh n = sup V \ ( D f ( x ) ) là hữu hạn. Với
X€K

mỗi X G K , tồn tại không gian con tuyến tính hữu hạn chiều Z x sao cho

dist(£ự0r)[iJ;aO,l)],£>/0r)[.Bíí,(O ,l)]) < A.
Vì D f ( . ) liên tục nên dẫn đến tồn tại ỏx > 0 sao cho

dist(Df(y)lBx (0,l)],Df(y)ịBZ' ( 0 , m

< A

với mọi y G B x (x, ỏx), tức là V\(y) < ^ a(^) với mọi y. Phủ mở của K có
dạng hợp của các B x ( x , ổx) trên X có phủ con hữu hạn,từ đây suy ra khi
n < 00 .
Vì n = sup ư \ ( D f ( x ) ) < oo nên với mỗi X G K tồn tại m ột không gian
X€K
con Z x của X với d im ( Zx) < n sao cho
ả i s t ( Df ( x ) [ B x ( 0 , l ) ] , D f ( x ) [ B Zx(0,l)]) < X.
Để cho đơn giản ký hiệu, ta viết thêm X vào chỉ số dưới lên Z x và viết

T = Df(x).


13

Chú ý rằng T ( z ) cũng là m ột không gian con n chiều của X , ta có
thể sử dụng Bổ đề 1.3.1 để phủ hình cầu B T(Z){0, ||T ||) với các hình cầu
-5x(y¿,A), 1 < i < k sao cho
k <

G B x { 0, IlT II) với mỗi ỉ và

(n + 1) H
A

Do đó
k
T [ B Z ( 0 , 1 )] Ç B n z ì (0, ||T||) = B x (0, ||T||) n

T(z) ç U

B x (y„ A).

i=1
(1.3)
Ta sẽ kết thúc chứng m inh bằng việc chứng tỏ
k

\ j B x (Vi,2X)DT[Bx (Ũ,l)].
i=1

T h ật vậy, nếu X G B x { 0,1) thì từ (1.2) suy ra tồn tại y G T [ B z ( 0,1)] sao
cho ||T x —y\\x < A. Vì y G T [ B Z {0,1)] nên từ (1.3) suy ra IIy - yi\\x < A
với i G { 1 , . . . , A:} và

II^ÍC - yi\\x < IIT x - y\\x + Il y - yi\\x < 2A,
tức là Ta; G Bx ( y i , 2A).
Kết quả này suy ra phát biểu của định lí vì n đều trên X G K .

□

Các hệ quả dưới đây là kết quả suy ra từ định lí trên:
H ệ quả 1.3 .1 . Giả sử rằng X là một không gian Banach, U c X là một
tập mở và f : u —¥ X là ánh xạ khả vi liên tục. Giả sử K c

u

là một tập

compact sao cho f ( K ) I) K và D f ( x ) G £ i ( X ) với mọi X G K . Khi đó
dim F (K') < oo.


14

Chứng minh. Từ khẳng định tương tự được sử dụng trong Định lí 1.3.1 để
chứng minh n < oo suy ra tồn tại a < 1 sao cho D f ( x ) G L a ( X ) với mọi
X

G K . Chú ý rằng
D Ư * ] = D f ư * - 1( x ) ) o . . . o D f ( x ) ,

và nếu Cị G JC(X) và Lị G L ( X ) , i — 1,2 thì

(ƠI + L ì) o (Ơ2 + L 2) = [ƠI o Ơ2 + ƠI o L 2 + L ị o Ơ2] -\-L\ o L 2
'----------------------- V----------------------- "

e/cpo

Từ đó suy ra rằng nếu D f ( x ) G L a ( X ) với a < 1 th ì [ D ự p)](x) G L ap(X).
Suy ra với

p

đủ lớn th ì D ( f p) ( x ) G

với A < 1/4, mọi

X

G K . Bây giờ ta

có thể áp dụng Định lí 1.3.1 vào f p trong vị trí của / (chú ý f p( K ) 5 K )
suy ra d f ( K ) < 00 .

□

H ệ q u ả 1.3.2. Cho X là không gian Banach và giả sử T G C1( X ) , K là
m ột tập compact sao cho T ( K ) = K và D XT có hạng là v( x) hữu hạn với
su p z ^ x ) := u < 00 . Khi đó,

x€K

dimj?(K) <
Chứng minh. Rõ ràng với mỗi A > 0 và

V.

X

G K , D XT G L \ / 2( X ) với mọi

A > 0. Hệ quả là với 0 < A < —,

dim ir(R") < V

lo g ((i/+ l ) f )
log(l/2A )

Lấy giới hạn khi A —> 0 suy ra d im j’(Ä’) <

V.

□


15

Chương 2
M ột số ứng dụng
Chương này áp dụng kết quả tổng quát ở Chương 1 để đánh giá số chiều

fractal của tập hút toàn cục của m ột lớp phương trình vi phân thường và
m ột lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính loại parabolic. Chương
này được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [2] và [3].

2.1

Á p d ụ n g cho m ột lớp phư ơng trìn h v i p h ân
th ư ờ n g

Cho / : Mn —>Mn là hàm khả vi liên tục. Giả sử nửa nhóm { S (t) : t > 0}
trong R n sinh bởi phương trìn h vi phân

21

x = f(x)

( . )

X (0) = x 0.

(2.2)

với điều kiện ban đầu

ở đây, X = ( x u ..., x n) e

x0 e

/ (z) = ( /i ( z ) ,..., fn {x)).

Ta giả sử hàm / thỏa m ãn điều kiện Lipschitz địa phương
\\f {x) - f {y)\\ < K { R ) ị ị x - y ị ị ,
với mọi x , y € Mn m à ||xỊỊ , \\y\\ < R. Khi đó với mọi Xq ẽ Mn, bài toán
Cauchy (2.1)-(2.2) có duy nhất nghiệm xác định trên khoảng tồn tại cực


16

đại [0, T (¿Eo)). Hơn nữa, nếu T (íCo) hữu hạn th ì lịa; (í)II —> + oo khi t
T { x 0)~.
Tiếp theo ta giả sử / thỏa m ãn điều kiện tiêu hao kiểu Lyapunov, tức là
tồn tại hàm dương V : Kn —> R + thuộc lớp c 1 sao cho
n

v v (X) ■f { x ) =

VXi (X) fi (x)

<

-c +

ỏv (X), Vz e Mn,

(2.3)

i=1
và
V (x) —> +oo khi ||a;|| —»• +oo.

(2.4)

Hàm V (x) là m ột hàm Lyapunov đối với hệ (2.1) khi ||x|| lớn, tức là bên
ngoài miền D = {x G R n : V (X) < |} . Hàm V (X (í)) giảm dọc theo quỹ
đạo của (2.1) trong khi V (X (t )) > |. Miền D bị chặn do (2.4).
Bây giờ ta sẽ chỉ ra rằng nếu f ( x ) thỏa m ãn điều kiện (2.3)-(2.4) thì
nghiệm x ị t ) của bài toán (2.1)-(2.2) sẽ tồn tại toàn cục trên cả khoảng
[0; Too) và nửa nhóm S ị t ) sinh bởi (2.1) sẽ có tập hút toàn cục Ả trong

T h ật vậy, lấy tích vô hướng của phương trình (2.1) với v y (x (t )) trong
]Rn và sử dụng (2.3) ta có
W {x)-x

= v (z) = - w (z)

■f { x ) > c - Ỗ V ( z ) .

Do đó
V (X) + ỖV (x) < c.
Áp dụng b ất đẳng thức Gronwall ta được
V (x (t )) < e~StV (x (0)) + Yò
T ừ đây suy ra nghiệm x ị t ) tồn tại với mọi t > 0 và tập hợp

(2.5)


17

là m ột tập hấp thụ của S(t ).
Do điều kiện (2.4), tập Bo bị chặn (và do đó com pact vì nó đóng) trong

R n.
Vậy nửa nhóm S( t ) có m ột tập hút toàn cục A c BoChú ý rằng nếu c
mỗi

=

0 thì từ (2.5) suy ra V (X (t )) —> 0 khi

X

—> + oo với

G 1 " . Hệ quả là

A c {x e Kn \v {x) = 0} .
Hơn nữa ta biết rằng V (æ) = 0 kéo theo

X

=

X*,

ở đó

X*

là điểm dừng (vì

V là hàm Lyapunov), và khi đó A = {a;*}. Trong trường hợp này tập hút

toàn cục là tầm thường.
Tiếp theo ta đi đánh giá số chiều của tập hút toàn cục A.
Nếu rank (D xf ) < k < n với mọi X ẽ A th ì dim ^ (^4) < k.
Cụ thể, nếu / : R n —> R n,/3 > 0 và tồn tại hằng số M > 0 sao cho
f ( x ) ■X < 0 với ||x ||R„ > M , khi đó nửa nhóm {51(t) : t > 0} tương ứng

có tập hút toàn cục A trong R n xM" với dim^r (^4) < k.

2.2

Á p d ụ n g cho m ột lớp phương trìn h đạo hàm
riền g nửa tu y ế n tín h loại p arab olic

M ệ n h đ ề 2 .2 .1 . Cho Ả : D ( A ) c X

X là toán tử quạt với R e ơ ( A ) >

0. Nếu f : x a —> X là khả vi liên tục và liên tục Lipschitz trên các tập
con bị chặn của x a và nửa nhóm { S( t ) : t > 0} trong x a tương ứng với


bai toan parabolic

x + Ax = f(x )

vdi :r(0) = x$ E X a

co tap hut toan cue A va hoac e~At la compact vdi mdi t > 0 hoac f x G
K. ( Xa, X ) la compact vdi mdi x € A thi dimg(.A) < oo.
Chting minh. Vdi moi x G A , cho

S ( t ) x = e~Atx + f e_j4(i_s)f ( S ( s ) x ) d s
•*0
nen dao ham S x (t) G £ ( X “ ) vdi tildng ling x thuoc S( t ) tai x thoa m an

Sx{t) = e~At + [ ‘ e-AI-‘-'>f'{S(s)x)SI{s)ds.
Jo
Do do, vdi t ldn thich hdp, gia thiet cua He qua 1.3.1 diidc thoa m an va
ta co dieu can phai chiing minh.

□

Bay gid ta se diia ra lidc liidng tho so chieu cua tap hut toan cue. Dau
tien chu y rang neu A : D ( A ) C X —> X la toan til hinh quat vdi giai
thiic com pact va X@, /3 > 0, ki hieu khong gian phan tiidng ling vdi A, thi
ton tai m ot day cac phep chieu vdi hang hhu han {Pn}neN va cac day so
thiic dildng {An}neN va {M n}neN sao cho
IIe~A,(I - Pn) |U(X,,X«,) <

t > 0,0 < ■y < 0 < a (2.6)

Ta noi rang A la toan til quat chap nhan diidc neu no la toan til quat
va ton tai day {An}n£N va M > 0 sao cho (2.6) vdi M n = M , moi n £ N .
Khong kho de thay rang, neu A la toan til quat chap nhan diidc th i A co
giai thiic com pact


19

trong đó
N = s u p { ||//(x )||/C(x«!;n : x e A } .

Từ b ất đẳng thức Gronwall (xem [4, Bổ đề 7.1.1]) suy ra

1 —a
Bây giờ, nếu Qn = ự - Pn),

IIQ „ĩ;(í)IU p :") < M e x-‘ + M N [ \ t - s ) e - >' - ^ \ \ S , ( s ) ỵ fx. )ds

Jo

và
||Qn2Ịc (¿) ||,C(X“)

J

t

, M M N (MNrn_
< M e ~ K t +~— — e{MNT{1~- * ) ) 1 / ( 1 _ q J

1 —a

( t -

s y a e - { Xn + ( M N T ( l - a ) Ÿ n i - a) ) ( t - s ) d i

0

í

MMN

< M e ~ Kt + —— — e{MNT{1--«))1/(1_“)í J

u - a e - ( X n + ( M N T ( l - a ) ) i n i - a) ) u d u

1 —a

0

„ _x t
M M N e(MNT( l - a) ỷ^- ahV
_ )
< M e ~ Xnt +
—-------------------------------- ---------— =
1 - a An + (M N T (1 - a ) ) 1/(1_a)

An

it) ,

t > 0.

T ừ tính chấp nhận được của A và (2.6), ||Qn|U(X“) < Af, với mọi n € N.
Do vậy,
Ị|Qn^à;(í)Qn|U(X“) 5: M Ả ( t ) ,

t > 0.

Chọn í = 1 và ĩio G N sao cho A (l) < A < —. Nếu F = S ( l ) , L = Q noS ( 1)
và

c

= PnoS ( l ) thì

L x = Qn0S x { l ) và

A

cx=

bất biến qua F . Hơn nữa, Fx = L x + Cx với
Pn0S x ( 1) và nếu

zx=

R ( C X) và W x là m ột không


20

gian con của X sao cho Cx : W x —> Z x là m ột đẳng cấu, Fx G L \ ị 2 { x )
với mọi

X G

A

và A < —. Thêm nữa,
V = su p d im (Z a;) < d im ( R( P) ) .
XÇlA

Điều này chứng minh các giả thiết của Định lí 1.3.1 được thỏa m ãn và ta
có
log((z/ + l ) ậ
d im f ^

y log(l/2À )

< °°'


21

K ết luận
Luận văn đã trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản về sự tồn tại tập
hút toàn cục; khái niệm và các tính chất của số chiều fractal của tập hút
toàn cục; thiết lập kết quả tổng quát về đánh giá chặn trên của số chiều
fractal của tập hút toàn cục trong không gian Banach.
Luận văn cũng áp dụng được các kết quả tổng quát để xét tính hữu
hạn chiều của tập hút toàn cục của m ột lớp phương trìn h vi phân thường
và m ột lớp phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính loại parabolic.