Bài tập dùng đồ thị để biện luận số nghiệm có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

DÙNG

TH BI N LU N S

ng)

Hàm s

NGHI M C A PH

NG TRÌNH

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
Các bài t p trong tài li u này đ

NG

c biên so n kèm theo bài gi ng Dùng đ th bi n lu n s nghi m c a ph

ng trình

thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

1 3 3 2
x  x 5
4

2
a. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s đã cho.

Bài 1. Cho hàm s : y 

b. Tìm m đ ph

ng trình: x3  6 x2  m  0 có 3 nghi m th c phân bi t.

Gi i:
a. Các em t kh o sát

b. Ta có: x3  6 x2  m  0 
Do đó đ ph

m
1 3 3 2
x  x 5  5
4
2
4

ng trình đã cho có 3 nghi m phân bi t thì đ

đi m phân bi t  3  5 

ng th ng y  5 

m
ph i c t đ th (C) t i 3

4

m
 5  0  m  32 .
4

Bài 2: Cho hàm s : y   x3  3x2  2
a. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
b. Tìm m đ ph

ng trình: x3  3x2  log 1 m  0 có 3 nghi m phân bi t, trong đó có 2 nghi m nh h n 1.
2

Gi i:
a. Các em t kh o sát

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

b. Ta có: x3  3x2  log 1 m  0 (m  0)
2

t log2 m  2  M , M  (; )  (*)   x3  3x2  2  M
Do đó đ ph

ng trình đã cho có 3 nghi m phân bi t, trong đó có 2 nghi m nh h n 1 thì 2 đ th :

 y   x3  3x2  2 (C )
ph i c t nhau t i 3 đi m phân bi t, trong đó có hoành đ nh h n 1

 y  M , M  (; )
 2  M  0  2  log 2 m  2  0  0  log 2 m  2  1  m  4

áp s : 1  m  4
Bài 3: Cho hàm s : y  x3  3x (1)
a. Kh o sát và v đ th hàm s (1)
b. Tìm m đ ph

ng trình: x3  3x 

2m
có 3 nghi m phân bi t.
m2  1

Gi i:
a. Các em t kh o sát

b.

t

2m
 M , 1  M  1
m2  1

vì coi M là hàm s bi n m, khi đó ta có M ' 

2m2  2
; M '  0  m  1
(m2  1)2

B ng bi n thiên :
-

m
M’

-1
-

M

0

+

1

+

0

0

-

1
-1

0

T b ng bi n thiên suy ra 1  M  1
Khi đó ph

ng trình đã cho  x3  3x  M , M   1;1

S nghi m c a ph

ng trình này đúng b ng s nghi m c a 2 đ th : y  x3  3x (C ) và y  M v i

M   1;1 .
Do đó đ ph

ng trình đã cho có 3 nghi m phân bi t thì 2 đ th :

 y  x  3x (1)

ph i c t nhau t i 3 đi m phân bi t.


y
M
(
M
1;1
)







3

 1  M  1  1 
Hocmai.vn – Ngôi tr

2m
1
m2  1
ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

2
2


 m  2m  1  0
(m  1)  0
 m2  1  2m  m2  1   2

m
2





m
m
m
2
1
0
(
1)
0






Bài 4: Cho hàm s : y  x4  4 x2  3
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho.
b. Tìm m đ ph

ng trình: 2

x4  4 x2 3

 m có 4 nghi m phân bi t.

Gi i:
a. Các em t kh o sát

b. Ta có: 2

x4  4 x2 3

 m (m  0)  x4  4 x2  3  log 2 m

 s nghi m c a ph

ng trình đã cho b ng s giao đi m c a 2 đ th :

4
2


 y  x  4 x  3 (C ')


 y  log 2 m (m  0)

Trong đó (C’) đ c suy ra t (C) b ng cách:
- gi nguyên ph n đ th (C) phía trên Ox.
- l y đ i x ng ph n còn l i c a (C) qua Ox.

C n c vào đ th thì ph

ng trình đã cho có 4 nghi m phân bi t khi và ch khi:

1  log 2 m  3  2  m  8
log m  0   m  1

 2
Bài 5. Cho hàm s y  x3  3x2  2
a. Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s .
b. Bi n lu n s nghi m c a ph

ng trình x2  2 x  2 

m
theo tham s m.
x 1

Gi i:
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y  x3  3x2  2.

 T p xác đ nh: Hàm s có t p xác đ nh D  R.

x  0
S bi n thiên: y '  3x2  6 x. Ta có y '  0  
x  2

yCD  y  0  2; yCT  y  2   2.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

 B ng bi n thiên:

th :

b. Bi n lu n s nghi m c a ph
Ta có x2  2 x  2 

ng trình x2  2 x  2 

m
theo tham s m.
x 1

m
  x2  2 x  2  x  1  m, x  1.
x 1

Do đó s nghi m c a ph

ng trình b ng s giao đi m c a y   x2  2 x  2  x  1 , C '  và đ

ng th ng

y  m, x  1.


 f  x khi x  1
 Vì y   x2  2 x  2  x  1  
nên  C ' bao g m:


f
x
khi
x
1





+ Gi nguyên đ th (C) bên ph i đ

ng th ng x  1.

+ L y đ i x ng đ th (C) bên trái đ

ng th ng x  1 qua Ox.

th :
 D a vào đ th ta có:
+ m  2 : Ph

ng trình vô nghi m;

+ m  2 : Ph

ng trình có 2 nghi m kép;

+ 2  m  0 : Ph
+ m  0 : Ph

ng trình có 4 nghi m phân bi t;

ng trình có 2 nghi m phân bi t.

Bài 6 : Cho hàm s : y  x3  3x2  9 x  7 (C )
a. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C).

b. Tìm m đ ph

ng trình: x3  3x2  9 x  log3 m  0 có đúng 2 nghi m phân bi t.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Gi i:
a. Các em t kh o sát.

b. Ph

ng trình  x3  3x2  9 x  7   log3 m  7, m  0

Do đó s nghi m c a ph

ng trình đã cho b ng s giao đi m c a 2 đ th :

y  x3  3x2  9 x  7 (C ') và y   log 3 m  7 (m  0)
3
2

 x  3x  9 x  7 , x  0
Ta có: (C;) : y  x  3x  9 x  7   3
2

 x  3x  9 x  7, x  0
3

Nên (C’) đ

2

c suy ra t (C) b ng cách:

- gi nguyên ph n đ th (C) ng v i x  0 (bên ph i Oy)
- l y đ i x ng ph n v a gi l i qua Oy
C n c vào đ th ,
đ ph ng trình cho có đúng 2nghi m ph i có:

 log3 m  7
 log3 m  7

  log3 m  7  7
0  m  1
  log m  7  12   m  243


3

x 1
x 1
a. Kh o sát và v đ th (C) hàm s đã cho.

Bài 7: Cho hàm s : y 

b. Bi n lu n theo m s nghi m c a ph

ng trình:

x 1
x 1

 m.

Gi i:
a. Các em t kh o sát.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

b. S nghi m c a ph

ng)

Hàm s

ng trình đã cho b ng s giao đi m c a 2 đ th .

 x 1
, x0
x  1  x  1

(C ') : y 
x 1  x 1
, x0
  x  1

Do đó (C’) đ

c suy ra t (C) b ng cách:

+ gi nguyên ph n đ th (C) ng v i x  0
+ l y đ i x ng ph n v a gi l i qua Oy
C n c vào đ th (C’) và d ta th y
+ N u m < -1, m > 1 thì ph ng trình có 2 nghi m.
+ N u m = -1 thì ph ng trình có 1 nghi m
+ N u 1  m  1 thì ph

ng trình vô nghi m.

áp án bài t p tham kh o
Bài 1: Cho (C): y  x4  2 x2  1 .
Tìm m đ ph

ng trình: x4  2 x2  1  log 4 m có 6 nghi m phân bi t.

Gi i:
• Kh o sát và v đ th hàm s (C): y  x4  2 x2  1
• Ta v đ th hàm y = x4  2 x2  1 nh sau:
- Gi nguyên đ th (C1) c a (C) n m trên Ox.
- L y đ i x ng ph n v a b c a (C) qua Ox ta đ

c ph n (C2)

V y (C’) = (C1)  (C2)
Nhìn vào (C’) ta th y đ PT: x4  2 x2  1  log 4 m có 6 nghi m
phân bi t thì:
1  log 4 m  2  4  m  16

Bài 2: (HVHCQG – A) Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x. Bi n lu n s

nghi m c a ph

ng trình:

x  6 x2  9 x  3  m  0 (*)
3

Gi i:
• Kh o sát và v đ th hàm s (C): y  x3  6 x2  9 x
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

• Ta v đ th hàm (C): y  x  6 x2  9 x  f ( x ) nh sau:
3

- Gi ph n đ th (C1) c a (C) n m bên ph i Oy.
- L y đ i x ng ph n (C1) v a l y c a (C) qua Oy ta đ
ph n (C2)

c

V y (C’) = (C1)  (C2)
Nhìn vào đ th ta có:
+ N u 3  m  0  m  3  (*) vô nghi m.

+ N u 3  m  0  m  3  S  3;0  PT (*) có 3 nghi m phân bi t.
+ N u 0  3  m  4  1  m  3  PT (*) có 6 nghi m.
+ N u 3  m  4  m  1  S  1; 4  PT (*) có 4 nghi m phân bi t.
+ n u 3  m  4  m  1  PT (*) có 2 nghi m phân bi t.
Bài 3: Cho (C): y = 2x4 – 4x2. Tìm m đ ph

ng trình: x2 x2  2  m có đúng 6 nghi m phân bi t.

Gi i:
Ta có: x2 x2  2  m  2m  2 x2 x2  2  2 x4  4 x2  f ( x)
• Tr

c h t ta Kh o sát và v đ th hàm s (C): y  2 x4  4 x2

• Ta v đ th hàm f ( x)  2 x4  4 x2 nh sau:
- Gi nguyên đ th (C1) c a (C) n m trên Ox.
- L y đ i x ng ph n v a b c a (C) qua Ox ta đ

c ph n (C2)

V y (C’) = (C1)  (C2)
Nhìn vào (C’) ta th y đ PT: 2 x4  4 x2  2m có 6 nghi m phân bi t thì 0  2m  2  0  m  1

Bài 4. a) Kh o sát và v đ th (C): y  f ( x)  4 x3  3x  1
b) Tìm m đ 4 x  3 x  mx  m  1  0 có 4 nghi m phân bi t.
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Gi i:
a) f '( x)  12 x2  3  0  x  

1
2

f ''( x)  24 x  0  x  0

 1 
1

 C c đ i   ;0  ; c c ti u  ;  2 
 2 
2


i m u n U(0; -1)

b) 4 x  3 x  mx  m  1  0  f  x   4 x  3 x  1  m( x  1) (*)
3

3

th (C’): y  f  x  đ

c v t đ th (C): y  f ( x) theo qui t c:

- Gi nguyên ph n đ th (Ca) c a (C) ng v i x ≥ 0.
- L y (C’a) đ i x ng v i (Ca) qua Oy, khi đó (C’) = (Ca)  (C’a)
Nghi m c a (*) là hoành đ giao đi m
c ađ

ng th ng (dm): y = m(x – 1) v i đ th (C’): y  f  x  .

Ta th y (dm) luôn đi qua đi m A(1; 0)  (C’)
và (dm) qua B(0; -1) là (AB):
y = x – 1 có h s góc k1 = 1.
ng th ng c a h (dm) ti p xúc v i (C’a)
t i đi m có hoành đ x0 < 0 là nghi m c a ph

ng trình:

4 x3  3x2  1  k2 ( x  1)

4 x3  3x  1  3(1  4 x2 )( x 1)


2


3(1  4 x )  k2

 x(1  4 x2 )  2 x  1  3(1  4 x2 )( x  1)
 2(2 x  1)(2 x2  2 x  1)  0.

Do x0 < 0 nên x0 

1 3
 k2  6 3  9
2

Nhìn vào đ th (C’) ta th y:

ph

ng trình có 4 nghi m phân bi t thì

(dm): y = m(x – 1) ph i c t đ th (C’): y = f  x  t i 4 đi m phân bi t

 k1  m  k2  1  m  6 3  9
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Bài 5. Gi i bi n lu n BPT: x2  5x  4  a
Gi i:
2

 x  5 x  4 khi x  R \ 1; 4
(C ) : y  x  5 x  4   2

 x  5 x  4 khi x  1; 4
2

G i (C1) là ph n đ th n m phía trên tr c hoành c a y = x2 – 5x + 4 còn (C2) là ph n đ th đ i x ng
qua Ox v i ph n đ th n m phía d i Ox c a y = x2 – 5x + 4.
Khi đó (C )  (C1 )  (C 2 ) . Xét (C1 )  ( y  a ) : x2  5x  4  a  x  x1 

Xét (C2 )  ( y  a ) : x2  5x  4  a  x  x3 

5  9  4a
5  9  4a
; x  x2 
2
2

5  9  4a

5  9  4a
; x  x4 
2
2

Nhìn vào đ th ta có:
• N u a ≤ 0 thì BPT vô nghi m.
•N u 0a 
•N u a

9
thì BPT có nghi m x  ( x1; x3 )  ( x 4 ; x2 )
4

9
Thì b t ph
4

ng trình có nghi m x  ( x1; x2 )

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 9 -