Bài tập sự tương giao của hàm bậc ba có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

S

T

NG GIAO

ng)

Hàm s

TH C A HÀM B C BA

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng S t ng giao đ th c a hàm b c ba thu c khóa h c
Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u
qu , B n c n h c tr

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

Bài 1. Cho hàm s : y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m đ (Cm) c t Ox t i 3 đi m phân bi t
Gi i
Ph

ng trình hoành đ giao đi m c a (C) và tr c Ox: x3 -3x2-9x+m = 0  x3 -3x2-9x=-m

Xét hàm s y=x3 -3x2-9x có:
+ y'=3x2 -6x-9 =3( x2 -2x-3)
+y'=0  x=-1 ho c x=3
+ BBT:
x

-

y'

-1
+

0

+

3
-

0



+
+

5
y
-

-27

D a vào b ng bi n thiên ta có: (C) c t Ox t i 3 đi m phân bi t  27  m  5  5  m  27
Bài 2. Cho hàm s : y  x3  (m  4) x2  (m2  4m  3) x  m2  3m (1)
Tìm m đ đ th hàm s (1) c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ đ u d

ng.

Gi i
đ th hàm s (1) c t Ox t i ba đi m phân bi t có hoành đ đ u d
x3  (m  4) x2  (m2  4m  3) x  m2  3m  0 ph i có 3 nghi m d
 ( x  1)  x2  (m  3) x  m2  3m  0 ph i có 3 nghi m d

 x2  (m  3) x  m2  3m  0 ph i có 2 nghi m d

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng thì:

ng phân bi t.

ng phân bi t.

ng phân bi t khác 1.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

  3m2  6m  9  0

1  m  3
 b  3  m  0

1  m  0
 a
m  3
.



m  1  3
 c  m2  3m  0
m  0, m  3
a
m2  2m  2  0  m  1  3

2
2

1
(
3).1
3
0





m
m
m


Bài 3. Cho hàm s : y  x3  (m  4) x2  (m2  4m  3) x  m2  3m (1)
Tìm m đ đ th hàm s (1) c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ đ u d

ng.

Gi i
đ th hàm s (1) c t Ox t i ba đi m phân bi t có hoành đ đ u d
x3  (m  4) x2  (m2  4m  3) x  m2  3m  0 ph i có 3 nghi m d
 ( x  1)  x2  (m  3) x  m2  3m  0 ph i có 3 nghi m d

 x2  (m  3) x  m2  3m  0 ph i có 2 nghi m d

ng thì:

ng phân bi t.

ng phân bi t.

ng phân bi t khác 1.

  3m2  6m  9  0

1  m  3
 b  3  m  0
m  3
1  m  0
 a

.



0,
3


m
m
c
1
3


m
2



  m  3m  0

a
m2  2m  2  0  m  1  3

2
2





1
(
3).1
3
0
m
m
m


Bài 4. Cho hàm s : y  x3  (2m  1) x2  (m  1) x  m  1 (Cm)
Tìm m đ (Cm) c t Ox t i 3 đi m phân bi t, trong đó 2 đi m có hoành đ âm.
Gi i
–

(Cm) c t Ox t i 3 đi m phân bi t thì ph

ng trình:

x3  (2m  1) x2  (m 1) x  m  1  0  ( x 1)( x2  2mx  m 1)  0 ph i có 3 nghi m phân bi t.
 x2  2mx  m  1  0 ph i có 2 nghi m phân bi t x1, x2 khác 1.
2

m
 '  m  m  1  0
 2

 m 0
1  2m.1  m  1  0
m  0


-

 x1  x2  0
 2m  0
m  0


 m  1 (T/m (1))
2 đi m có hoành đ âm ta ph i có: 
m  1  0
m  1
 x1 x2  0
áp s : m < -1.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Bài 5. Cho hàm s y  f ( x)  x3  mx2  2 m (Cm) ( m là tham s ). Tìm m đ đ th (Cm) c t tr c hoành
t i m t đi m duy nh t.
Gi i
Ta có: y  3x 2  2mx  x(3x  2m)
+ Khi m = 0 thì y  3x 2  0  (1) đ ng bi n trên R  tho yêu c u bài toán.
+ Khi m  0 thì (1) có 2 c c tr x1  0 , x2 

2m
. Do đó đ
3

th c t Ox t i duy nh t 1 đi m khi

m  0


 2m 2 
4 m3 

f ( x1). f  x2   0  2m  2m 
  0  4m 2  1 
0  3 6
3 6
27 
27 


 2  m  2
 3 6 3 6
;
 thì đ th (Cm) c t Ox t i duy nh t m t đi m.
2 
 2

K t lu n: khi m   

Bài 6. Cho hàm s y  2 x3  3(m  1)x 2  6mx  2 có đ th (Cm). Tìm m đ đ th (Cm) c t tr c hoành t i m t
đi m duy nh t.
Gi i
y  6 x 2  6(m  1) x  6m ; y '  9(m  1)2  36m  9(m  1)2 .

+ N u m  1 thì y  0, x => hàm s đ ng bi n trên R => đ th c t tr c hoành t i 1 đi m duy nh t
=> m  1 tho mãn YCBT.
+ N u m  1 thì hàm s có các đi m c c tr x1, x2 ( x1, x2 là các nghi m c a PT y  0 )
=> x1  x2  m  1; x1x2  m .

L y y chia cho y’ ta đ
=>PT đ

x
3

c: y   

m 1
2
 y  (m  1) x  2  m(m  1) .
6 

ng th ng đi qua 2 đi m c c tr là: y  (m  1)2 x  2  m(m  1)

th hàm s c t tr c hoành t i 1 đi m duy nh t  yCÑ .yCT  0







 (m  1)2 x1  2  m(m  1) . (m  1)2 x2  2  m(m  1)  0

 (m  1)2 (m2  2m  2)  0  m2  2m  2  0 (vì m  1)  1  3  m  1  3 .

K t lu n: 1  3  m  1  3 .
Bài 7. Cho hàm s y  x 3  3m2 x  2m có đ th (Cm). Tìm m đ đ th (Cm) c t tr c hoành t i đúng hai
đi m phân bi t.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

Gi i
(Cm) c t tr c hoành t i đúng hai đi m phân bi t thì (Cm) ph i có 2 đi m c c tr
 y  0 có 2 nghi m phân bi t  3x 2  3m2  0 có 2 nghi m phân bi t  m  0
Khi đó y '  0  x  m .
(Cm) c t Ox t i đúng 2 đi m phân bi t  yC = 0 ho c yCT = 0
Ta có:

+ y(m)  0  2m3  2m  0  m  0 (lo i)

+ y(m)  0  2m3  2m  0  m  0  m  1
V y: m  1
Bài 8. Cho hàm s : y  x3  3x2  4 (C). Tìm m đ đ

ng th ng d đi qua I(-1, -2) v i h s góc m c t (C)

t i 3 đi m phân bi t A, I, B sao cho I là trung đi m AB.
Gi i
d có ph
-

ng trình: y = m(x + 1) – 2

d c t (C) t i 3 đi m phân bi t A, I, B thì ph

ng trình:

x3  3x2  4  m( x  1)  2
 x3  3x2  4  mx  m  2  0

 ( x  1)( x2  2 x  m  2)  0 ph i có 3 nghi m phân bi t.
 x2  2 x  m  2  0 (*) ph i có 2 nghi m phân bi t khác -1.

 '  m  3  0
m  3


 m  3 (1)
2
m  3
(1)  2(1)  m  2  0

G i A(x1; y1); B(x2; y2) (x1; x2 là nghi m c a (*))
 x1  x2
 2  1

I(-1, -2) là trung đi m AB ta ph i có: 
 y1  y2  2
 2

 x1  x2  2
 x1  x2  2
 x1  x2  2
2  2




 m (2)
m.0  0
 y1  y2  4
m( x1  1)  2  m( x2  1)  2  4
m( x1  x2  2)  0

K t h p (1) và (2)

Hocmai.vn – Ngôi tr

áp s : m > -3.

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

1
2
Bài 9. Cho hàm s : y  x3  mx2  x  m  (Cm)
3
3
Tìm m đ (Cm) c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ x1, x2, x3 th a mãn đi u ki n x12  x22  x32  15
Gi i
(Cm) c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ x1, x2, x3 thì ph

ng trình:

1 3
2
x  mx2  x  m   0  x3  3mx2  3x  3m  2  0
3
3
  x  1  x2  1  3m x  2  3m  0 ph i có 3 nghi m phân bi t x1, x2, x3.

 x2  1  3m x  2  3m  0 ph i có 2 nghi m phân bi t x1, x2 khác 1 (Ch n x3 = 1)
2

m

   9m  6m  9  0
 2

 m  0 (*)
0

m
1
(1
3
).1
2
3
0





m
m




- Ta có: x12  x22  x32  15  x12  x22  12  15

 x12  x22  14   x1  x2   2 x1 x2  14
2

  3m  1  2(2  3m)  14  9m2  9  m  1 (Th a mãn (*))
2

áp s : m  1 .
Bài 10. Cho hàm s : y  x3  3(m  1) x2  (2m  1) x  m  4 (1). CMR: V i m i m, đ th hàm s (1) luôn
có các đi m c c đ i, c c ti u. Tìm m đ các đi m c c tr c a đ th hàm s (1) n m v 2 phía khác nhau
c a đ ng th ng: y = 1.
Gi i
y '  3x2  6(m  1) x  2m  1

Ph

ng trình y’ = 0  3x2  6(m 1) x  2m 1  0

Có  '  9m2  12m  12  0 m nên y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t v i m i m. T đó suy ra đ th hàm
s (1) luôn có c c đ i, c c ti u v i m i m.
- Các đi m c c tr c a đ th hàm s (1) n m v 2 phía khác nhau c a đ ng th ng y = 1 khi và ch
khi đ th hàm s (1) c t đ ng th ng y = 1 t i 3 đi m phân bi t. i u này t ng đ ng v i ph ng
trình:
x3  3(m  1) x2  (2m  1) x  m  4  1
  x  1  x2  (3m  2) x  m  3  0 ph i có 3 nghi m phân bi t

 pt : x2  (3m  2) x  m  3  0 có 2 nghi m phân bi t khác 1.

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph

ng)

Hàm s

2

m
  9m  16m  16  0
 2

 m1

m  1
1  (3m  2).1  m  3  0  4m  4  0

áp s : m  1.
Bài 11. Cho hàm s : y  x3  3x2  4 (C). G i d là đ

ng th ng đi qua đi m I(-1,0) và có h s góc m.

Tìm m đ d c t (C) t i 3 đi m phân bi t I, A, B sao cho AB = 2 2
Gi i
– Ph
-

ng trình c a d: y = m(x + 1)
d c t (C) t i 3 đi m phân bi t I, A, B thì ph

ng trình:

x3  3x2  4  m( x  1)  x3  3x2  mx  4  m  0
 ( x  1)  x2  4 x  4  m  0 ph i có 3 nghi m phân bi t.
 x2  4 x  4  m  0 (*) có 2 nghi m phân bi t khác -1.

 '  m  0
m  0


(1)
2
m  9
(1)  4(1)  4  m  0  9  m  0
G i A(x1; y1); B(x2; y2) (x1; x2 là nghi m c a (*))
Ta có: AB = 2 2  AB2 = 8
 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  8  ( x1  x2 )2   m( x1  1)  m( x2  1)  8
2

2
2
 (1  m2 )  x1  x2   8  (1  m2 )  x1  x2   4 x1 x2   8



 (1  m2 ) 42  4(4  m)   8

 4m3  4m  8  m3  m  2  0  (m  1)(m2  m  2)  0

 m = 1 (Th a mãn (1))
áp s : m = 1

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 6 -